2. 2.2 2.3 2.4 Giriş Bir Kuvvetin ve Bir Momentin İşi Virtüel İş İlkei Genelleştirilmiş Koordinatlar Örnekler Potaniyel Enerji 2.5 Sürtünmeli Makinalar ve Mekanik Verim 2.6 Denge 2.7 Örnekler PROBLEMLER Joeph-Loui LAGRANGE (736-83) 37 37 373 376 377 384 388 389 39 395 Franız matematikçinin ayılar kuramına, analitik mekaniğe ve gök mekaniğine ciddi katkıları olmuştur. Lagrange ın geliştirdiği değişimler heabıyla, bir mekanik itemin gerçekte izlediği yola göre kavramal olarak olanaklı (virtüel) yer değiştirmelerden doğan değişimleri bir integral (ya da toplam) yapıya getirilebildi ve itemin bazı davranışları belirlenebildi. Böylece Lagrange denklemleri ve genelleştirilmiş koordinatlar denen bağımız koordinatların kullanılmaı gerçekleşti. Sein yayılmaı, durağanlık (makimum ve minimum) kavramı üzerinde araştırmalar yaptı ve makaleler yazdı. Döneminin en meşhur matematikçileri araında yer aldı, Torino Bilimler Akademii nin kurucuu oldu, Pari Bilimler Akademii nden ödül aldı. 776 da Berlin Bilimler Akademii nde Euler den boşalan yere getirildi. 789 daki Franız Devrimi ıraında büyük kimyacı Antoine-Laurent Lavoiier in giyotinle idamının arkaından, Onun kafaını düşürmek için bir aniye yetti, ama o kafanın bir benzerini ortaya çıkarabilmek için belki bir yüzyılı aşkın üre yetmeyecektir demiştir.
2. GİRİŞ Bir taşıyıcı itemi oluşturan parçalara, onun bağ koşulları ile uyumlu olacak biçimde bir takım küçük hareketler vermek mümkündür. O zaman bunların çözümünde denge denklemleri, F= 0 ve M= 0 yerine, kuvvet ve kuvvet çiftlerinin yapacağı işi heaplayarak onuca gitmek bazen daha kolay olabilir. Çok parçalı bir item iş yöntemi ile çözülürken, onu tek bir parça gibi ele alınır ve daha onra iteme giren ve çıkan enerji tanımlanır. Enerji yöntemleriyle çözüm, yapı mekaniğinde çok büyük öneme ahiptir. Şöyle ki; özellikle inşaat, makine, gemi ve uçak mühendiliği alanındaki uygulamaları bilgiayar ortamında çözülürken kullanılan paket program yazılımlarının dayandığı "onlu eleman" yöntemi eaı itibariyle enerji tabanlıdır. O nedenle bu bölüm mühendilik eğitiminde ileriye dönük bilgi birikimi açıından yararlı bir başlangıçtır. 2.2 BİR KUVVETİN VE BİR MOMENTİN İŞİ Skaler bir büyüklük olan işi, heaplayabilmek için, Şekil (2.) de konumu r vektörüyle tanımlanmış ve F kuvvetinin etkii ile harekete zorlanan P noktaını inceleyelim. Bir Kuvvetin İşi: Bir cimin bir noktadan bir başka noktaya hareket etmeine ebep olan ya da bu hareketten etkilenen her kuvvet bir iş yapar. Şu halde Şekil (2.) de P noktaındaki maddeel noktaya etkiyen F kuvvetinin, d r kadar yer değiştirerek P noktaına giderken yapacağı iş,
372 STATİK du = F dr (2.) olur ve kaler çarpım kuralına göre, du Fdco =, ( 0 ) (2.2) yazılır. Skaler bir büyüklük olan enerjinin bir işareti vardır. Çünkü; her ne kadar F > 0 ve d > 0 ie de, F ve d r vektörleri araında ölçülen açıı (2.2) den heaplanacak enerjinin işaretini belirler. Şöyle ki, 0 < 2 için du > 0 ï ïï = 2 için du = 0 ý ïï 2 için du 0 < < ïþ olur. (2.) de eşitliğin ağındaki vektörler, bileşenleri cininden, F= F i+ F j+ Fk x y z dr= dxi+ dyj+ dzk dir. Bunlar (2.) de yerleştirilip, denklem integre edilire, elde edilir. L ( xd yd zd ) ü (2.3) U = ò F x+ F y+ F z (2.4) Bir Kuvvet Çiftinin İşi: Bir ciimde dönmeye ebep olan ya da bu dönmeden etkilenen her kuvvet çifti ( F, -F) bu ciimde bir iş yapar. Şu halde Şekil (2.2) deki kuvvet çifti ( F, -F) ye eşdeğer M= r F momentinin işi, du = M dθ (2.5) dir. (2.5) de kaler çarpım kuralı uygulanıra, du = Md co (2.6) biçiminde yazılır. Burada açıı, M ve d θ vektörleri araında ölçülür. (2.6) dan heaplanacak enerjinin işareti, (2.3) de belirtildiği gibi, açıına bağlıdır. (2.5) deki eşitliğin ağındaki vektörler, bileşenleri cininden, M= Mxi+ M yj+ Mzk dθ = d i+ d j+ d k x y z dir. Bunlar (2.5) de yerleştirilip, nokta çarpım işlemi yapıldıktan onra ifade integre edilire,
376 STATİK (2.4) ün özdeş olarak ağlatılabilmei, ancak parantez içindeki ifadenin ıfıra eşit olmaı ile mümkündür. Şu halde, U = 0 (- FL co + M A ) = 0 üï ï ýï ve ¹ 0 ïþ - FL co + M A = 0 MA = FLco olur. Bu moment değeri için item dengededir ve C y = 0 olur. Ayrıca dikkat edilire (2.4) de parantez içindeki ifade A noktaına göre yazılacak moment denge denklemidir. Virtüel iş ilkeinde heapları doğru onuçlandırabilmek için erbetlik derecei kavramı iyi bilinmelidir. 2.4 GENELLEŞTİRİLMİŞ KOORDİNATLAR Virtüel iş kapamında erbetlik dereceinin tanımı, bir taşıyıcı itemdeki tüm noktaların konumları belirlenirken gerekli olan bağımız koordinat ayıı diye yapılabilir. Bir başka tanım ie; itemdeki bağımız virtüel yer değiştirmelerin ayıı biçiminde olabilir. Bunlara aynı zamanda genelleştirilmiş koordinatlarlar ütünden de ulaşılabilir. En bait itemler tek erbetlik derecelidir. Şekil (2.6a) daki mekanizmada kol boyları AB ve BC belli ie, adece AB kolunun yatayla yaptığı açıını kullanarak tüm noktaların konumlarının kolayca belirlendiğini yukarıda gördük. İkinci örnek olarak Şekil (2.7a) daki makara itemini inceleyelim. Burada T kuvvetinin uygulandığı uzamaız kablonun erbet ucuna verilecek bir yatay x T yer değiştirmei onucu, W ağırlığının düşeydeki yeni konumu y W yi x T cininden heaplanabilir. Tek erbetlikli itemlere on bir örnek vermek için Şekil (2.7b) deki mekanizmayı ele alalım. Burada AB, BC ve CD kol boyları belli olmak koşulu ile, örneğin AB koluna ait açıı biliniyora diğer iki kola ait bütün konumlar, açıına bağlı olarak heaplanabilir. Bu üç örnekten de açıkça belli olduğu gibi, tek erbetlik dereceli itemlerde, uygun eçilmiş bir koordinat yardımıyla tüm itemin konumu tam olarak belirlenir. İki erbetlik dereceli itemlere de iki örnek verelim. Şekil (2.7c) deki makara iteminde W ağırlığının düşey konumu, ancak uzamaız kablonun erbet uçlarında birbirlerinden tamamen bağımız her iki yer değiştirmenin de belli olmaı halinde mümkündür. Şekil (2.7d) deki mafallarla bağlı dört çubuğun oluşturduğu mekanizmada çubuk boyları bilinin. Şimdi B, C ve D noktalarına ait konumların tam olarak belirlenebilmei, ancak herhangi iki kola ait dönme açıının, örneğin AB ve DE kolları için ve açılarının belli olmaı ile mümkündür.
2. VİRTÜEL İŞ YÖNTEMİ 389 ( ) giriş işi= Win + Wco d (2.42) olur. W ağırlığını dh= in d kadar yukarıya çıkartmak için yapılmaı gereken yararlı iş W( din ), ya da, çıkış işi= ( Win ) d (2.43) olur. Buna göre; (2.39) de (2.42) ile (2.43) yerleştirilire, eğik düzlemin verimi, Win d = = ( Win + W co ) d + tan (2.44) bulunur. Dikkat edilire, (2.44) de = 0 için = ve > 0 için < olur. 2.7 DENGE Denge ve potaniyel enerji araındaki ilişki, (2.8) de, / X i = 0, ( i=,, n) biçiminde kurulmuştu. Tek erbetlik dereceli itemlerde ağlatılmaı gereken koşul, = 0 (2.45) olup, (2.45) deki, itemin konumunu tanımlamakta kullanılan bir genelleştirilmiş koordinat olup, bunun ayıı itemin erbetlik dereceine bağlıdır. Denge hali için üç eçenek öz konuudur. Kararlı Denge: Şekil (2.2a) daki iç bükey kap içinde duran topu ele alalım. Eğer topa ufak bir dokunuşla çok küçük bir apma verirek, top bu apma miktarını aşmayacak biçimde küçük alanımlar yapar ve daha öteye de gitmez. Eğer kapla top araında çok az miktarda ürtünme vara, o zaman alanımlar yavaşça öner. Her iki halde kararlı dengeye işarettir. Kararız Denge: Şekil (2.2b) deki dış bükey kabın ütünde durmakta olan topa ufak bir dokunuş onraında, top bir daha geri gelmemek üzere gider. Tarafız Denge: Şekil (2.2c) deki düzlemde durmakta olan topa ufak bir donuş yaptığımızda, eğer topla yüzey araında da az miktarda ürtünme vara, top biraz öteye gider ve orada tekrar durur. Top hiç