Yosulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin B u yazıda yosulu azandıracağız. Küçü bir olasılıla da olsa, yosul azanabilece. Oyunu açılamadan önce, Sonlu Oyunlar adlı yazımızdai oyunu anımsayalım: İi oyuncu yazı-tura oynuyorlar. İl yazı-tura atışında ortaya lira sürülüyor. Oyunculardan biri, diyelim birinci oyuncu, aybettiçe ortaya oyduğu parayı arttırıyor, bir öncei atışta aybettiğinin ii atını oyuyor. Kazandığındaysa ortaya lira oyuyor. Örneğin birinci oyuncu il atışta aybederse, iinci atışta ortaya lira sürüyor. İinci atışta da aybederse, üçüncü atışta ortaya 4 lira sürüyor. Yine aybederse 8 lira sürüyor Kazanana değin bu böyle devam ediyor. Kazandığında gene lira ortaya sürüyor. Birinci oyuncu stratejisine devam edebildiçe devam ediyor. Devam edemediğinde, yani cebinde yeterli parası almadığında, oyun bitiyor. Sonlu Oyunlar yazısında, ii oyuncunun da sonlu parası olduğunda bu oyunun uygulamada esinlile biteceğini anıtlamıştı. Aynı oyunu oynayacağız. Anca bu ez iinci oyuncunun sonsuz parası olduğunu varsayacağız (zengin oyuncu.) Birinci oyuncununsa yalnızca lirası var (yosul oyuncu.) Yosul, birinci oyuncu ve yuarda açıladığımız stratejiyle oynuyor. Eğer stratejisini sürdüremezse oyun bitiyor; oyun daha önce bitemez. Zenginin parası hiç bitmediğinden, zenginin bu oyunu aybetme olasılığı yotur. Daha il yazı-tura atışında yosul aybederse, yosul cebindei te lirayı aybeder ve oyun hemen biter. Dolayısıyla en az / olasılıla yosul oyunu aybedecetir. Yosulun oyundan beş parasız alma olasılığını bulamadım. Yazının sonunda bu olasılığı bulma için hesaplanması gereen bir sonsuz toplamı vereceğim. Yosul il atışta azanıp iinci atışta aybederse ne olur? Oyun gene biter, ama bu ez yosulun cebinde lirası vardır. Yani yosul tapi alar. Çünü, yosul, birinci yazı-tura atışında azanmıştır, dolayısıyla iinci atıştan hemen önce cebinde lirası vardır. İinci atışta aybettiğinde yalnızca lirası almıştır. Üçüncü atış için ortaya lira oyması geremetedir ama lirası yotur. Deme i en az /4 olasılıla yosul oyundan ne azançlı ne de zararlı alar. Yosulun oyundan ne azançlı ne de zararlı alma olasılığını da bulamadım. Yosulun Şansı başlılı yazıdai oyunun tersine bu oyunda yosul azanabilir. Öyle bir an gelebilir i, yosulun cebinde liradan fazla para olmasına arşın, yosul stratejisini sürdüremez (yani oyun biter.) Örneğin, yosul il dört atışta azanır da sonrai ii atışta aybederse yosulun cebinde lira olmasına arşın oyun biter. Deme i en az / 6 = /64 olasılıla yosul oyundan azançlı ayrılır. Yosulun oyundan lira azançlı alma olasılığını da bilmiyorum. Bu hesaplayamadığım olasılıların yalaşı hesaplanabilmesi için gereen malzeme bu yazıda vardır. Dileyen our bu sayıları yalaşı hesaplayabilir. Bu tam olara hesaplayamadığım olasılılar henüz ad verilmemiş sayılar da olabilirler. Sözcü sayımız sonsuz ama anca sayılabilir sonsuzluta. Gerçel (reel) sayılarsa sayılamaz sonsuzluta. Dolayısıyla her sayıya ad veremeyiz. Önemli bulduğumuz sayılara ad veririz. Örneğin π önemli olduğundan π ye bir ad verilmiştir: π. π nin aresinin ve areöünün de adları vardır: π ve π. Tam olara hesaplayamadığım bu üç olasılığa daha önce bir ad verilmiş midir bilmiyorum. Verilmemişse hiçbir zaman tam olara hesaplayamayız. Nasıl π nin aç olduğunu hiçbir zaman tam olara bilemeyecese ve anca adını söyleyere π nin imliğini
Bu oyun sonsuza de sürebilir, örneğin fair hep azanırsa... Ama göreceğiz i oyunun sonsuza de sürebilme olasılığı 0 dır. Bunu anıtlayabildim! Dolayısıyla oyun %00 (yani ) olasılıla biter. Deme i oyun uramsal olara sonsuza de sürebilse bile, uygulamada sonlu sayıda yazı-tura atışından sonra biter. Bu yazıda işte bu sonucu anıtlayacağız. Oyunun il anlarda alabileceği durumları gösteren bir şema çizeceğiz. Önce oyunun alabileceği durumlarını saptayalım. Oyunun her durumunu ii sayıyla gösterebiliriz. Birinci sayı yosulun cebindei para olsun; iinci sayıysa bir sonrai atış için ortaya sürülen (daha doğrusu yosulun ortaya sürmesi gereen) para olsun. İinci sayı hep nin üstleri olma zorunda,,, 4, 8, 6 gibi. Oyunun en başındai durum (,) durumu. Çunü, yosul oyuna lirayla başlıyor ve il atışta ortaya lira sürüyor. Bu durumda yosul azanırsa oyun (,) durumuna geçece, aybederse de (0,) durumuna (ve oyun bitece.) (,) durumundan sonra oyun ya (,) durumuna ya da (3,) durumuna erişir. Birinci şıta oyun biter, iinci şıta sürer. Eğer bir durumdan sonra oyun bitmemişse, oyun ii durumdan birini alır: yosul o atışta ya azanmıştır ya da aybetmiştir. İşte oyunun il biraç yazı-tura atışında alabileceği durumlar:, 0,,, 3,, 4, 0,4 3, 5,,4 4, 6,,4 5, 7, 3,4 6, 8, 4,4 7, 9, 0,8 5,4 8, 0, (Gri arelerde oyun bitmiştir. Sola giden olar aybettiğimizi, sağa giden olarsa azandığımızı gösteriyorlar.) belirtebiliyorsa, bu sayıları da hiçbir zaman bilemeyebiliriz, hatta daha önceden adı onmuş sayılarla arasında cebirsel bir bağıntı bile olmayabilir. Özet olara deme istediğim, bu sayıların tam olara hesaplanamayabileceleri. Bu bağlamda ala gelen il soru şu: Hesaplayamadığım olasılılar esirli sayılar mıdır? Sanmıyorum. Bu oyunun olasılıla bitmesi yosulun cebindei paraya bağlı değildir. Aşağıdai şemadan da anlaşılacağı üzere, yosulun cebinde lira olduğunda oyun olasılıla biterse, yosulun cebinde aç para olursa olsun oyun gene olasılıla biter.
Yuarda da dediğimiz gibi oyunun sonsuza değin sürme olasılığının 0 olduğunu anıtlayacağız. (n, ) durumuna gelme olasılığına p(n, ) diyelim. Örneğin, p( =,) p(0 = /,) p( = /,) p( = /4,) p(3 = /4,) p( = /8,) p(4 = /8 + /6 = 3/6,) p(0 = /6,4) p(3 = /6 + /3 = 3/3,) p(5,) = /6 + /3 + /64 = 9/64 Oyunun sonsuza gidebilmesi için bütün (n,) durumlarına ulaşılmalıdır. Bu, şemadan olayca anlaşılıyor. Deme i oyunun sonsuza de sürebilme olasılığı, p(n,) dizisinin n sonsuza gittiğinde aldığı değerdir. Dolayısıyla, lim n p(n,) sayısını hesaplamamız gereiyor. Bu sayının 0 olduğunu göreceğiz. Bu limitin sıfır olduğunu anıtlama için, aşağıdai eşitliği bulma yeterlidir: lim n p( n,) = 0. (*) Bu son eşitliği anıtlama daha olay olaca. Önce p(n, ) sayılarını bulma istiyoruz. Bunun için biraz matemati yapmalıyız. Ourun, yapacağımız matematiği daha iyi anlaması için, sı sı yuardai şemaya baması gereecetir. İl olara, eğer > 0 ise, p(n, ) = p(n+, )/ () eşitliğine diatinizi çeerim. Çünü, eğer > 0 ise, > dir, yani oyuncumuz den büyü bir para ortaya sürmetedir; dolayısıyla (n, ) durumuna gelmenin bir te yolu vardır, o da bir öncei oyunda aybetmiş olma. Bir öncei oyunun durumu ne olabilir? (n, ) durumunda ortaya oyduğumuza göre, bir öncei oyunda ortaya oymuşuzdur (ve aybetmişizdir.) Dolayısıyla (n, ) durumuna anca (n+, ) durumundan geçilebilir. () eşitliği işte bu yüzden geçerlidir. Eğer > ise, () eşitliğinde yerine ve n yerine n + oyabiliriz ve p(n+, ) = p(n+ +, )/ eşitliğini elde ederiz. Bu son eşitliği () in sağ tarafına yerleştirere, p(n, ) = p(n+ +, )/4 eşitliğini elde ederiz. Bunu böylece sürdürürse, p(n, ) = p(n+ + +...++,)/
eşitliği elde edilir. Bu eşitlitei + +...++ sayısı sayısına eşit olduğundan, eğer > 0 ise, ppppp niye > 0??? p(n, ) = p(n+,)/ () eşitliği geçerlidir. () eşitliğinden, p(n, ) sayılarını bulma için, p(n,) sayılarını bulmamız geretiği anlaşılıyor. Bu sayıları bulalım. (n,) durumuna anca azanara gelinir. Yani (n,), (n,), (n 4,4) gibi durumlardan. Dolayısıyla, p(n,) sayısı, p(n,)/, p(n,)/, p(n 4,4)/,... sayılarının toplamıdır. Yani, bir için, p(n, )/ biçiminde yazılabilen sayıların toplamıdır. () eşitliği, p(n, ) = p(n,)/ eşitliğini verdiğinden, p(n,) sayısının p(n,)/ + sayılarının toplamı olduğu anlaşılır. Ama buradai sayıları n oşulunu, yani + n oşulunu sağlamalıdır, çünü asi halde (n, ) durumunda oyun bitmiştir ve bu durumdan (n,) durumuna geçilmez. (n), n eşitsizliğini sağlayan sayılarının en büyüğü olsun. Deme i, p(n,) = ( n) p( n, ) / = ( n) = p(n, ) / = = p(n, )( / (n) ) Bu eşitliği n ez ullanara, buluruz. Ama p(,) =. Deme i, Burada n yerine n alırsa, p(n,) = p(,) ( / ) n n ( i) ( i) p(n,) = ( / ) n ( i) p( n,) = ( / ) buluruz. Şimdi herhangi bir doğal sayı olsun. Hangi i sayıları için (i) = eşitliğinin doğru olduğunu bulalım. i, (i) = eşitliğini sağlayan bir sayı olsun. sayısı, i eşitsizliğini sağlayan sayıların en büyüğü olduğundan, i < + eşitsizliği geçerlidir. Ve bunun tersi de doğrudur: eğer i < + ise, (i) = eşitliği geçerlidir. Bu eşitsizlileri sağlayan aç tane i sayısı vardır? Biraz düşünme, tane olduğunu gösterir. (4) eşitliğinin sağındai çarpılaca terimler bu tane i sayısı için birbirlerine eşittirler. Dolayısıyla (4) eşitliğini, n p( n,) = ( / ) olara yazabiliriz. Bu eşitliği ullanara p( n,) sayılarının n sonsuza gittiğinde sıfıra yaınsadılarını anıtlayacağız. Bunun için onumuzdan biraz uzalaşıp ii önsav anıtlayacağız: = Önsav. Eğer 0 < x < ise ve n > 0 bir doğal sayıysa, ( x) n nx + n(n ) x. (3) (4) (5)
Kanıt: Eğer n = ise önsav elbette doğru. Şimdi önsavın n için doğru olduğunu varsayıp n + için anıtlayalım. Deme i, ( x) n nx + n(n ) x eşitsizliğini biliyoruz, daha doğrusu bildiğimizi varsayıyoruz. Aynı eşitliği n yerine n+ için, yani ( x) n+ (n+)x + (n+)n x eşitsizliğini anıtlamaya çalışacağız. Her ii tarafı da x ile çarpalım, 0 < x olduğundan, ( x) n+ ( nx + n(n ) x )( x) elde ederiz. Üsttei eşitliğin sağ tarafını açaca olursa, ( x) n+ (n + )x + n(n+) x n(n+) buluruz. x > 0 olduğundan, yuardai son terimi atıp, ( x) n+ < (n + )x + n(n+) elde ederiz. Deme i önsav n+ için doğru. Tümevarımla önsav her doğal sayı için doğrudur. Önsavımız anıtlanmıştır. x x 3 Önsav. ise, ( / ) < /. Kanıt: Üsttei önsavda x = / ve n = alalım. ( / ) (/ ) + ( ) (/ ) elde ederiz. Eşitsizliğin sağ tarafındai il ii terim sadeleşir. En sağdai terimi hesaplayalım: ( ) + = + = + < İinci önsav da anıtlanmıştır 3. Şimdi (5) tei sayıların sıfıra yaınsadığını anıtlayabiliriz. İinci önsavı ve (5) eşitliğini ullanara, p( n,) / n buluruz. n sonsuza gittiğinde sağdai terimler 0 a yaınsadığından, p( n,) sayıları da sıfıra yaınsar. Deme i oyunun sonsuza de sürme olasılığı 0 dır ve oyun olasılıla biter. Oyundan yosulun zararlı (yani 0 lirayla) alma olasılığı nedir? Bu olasılığı bulma için p(0, ) sayılarını toplamalıyız. p o = = p( 0, ) olsun. p o, yosulun oyundan zararlı alma olasılığıdır. () eşitliğinde n = 0 alırsa, 3 Bu önsavın doğruluğu biraz analizle de çıabilir. ( / ) sayılarının /e sayısından (dolayısıyla / sayısından da) üçü olduları analiz ullanara olaylıla anıtlanabilir.
p(0, ) = p(,)/ buluruz. (5) eşitliğini de ullanara, elde ederiz. Dolayısıyla, p o = dir. Bu sayıyı hesaplayamadım. p(0, ) = ( / i ) = ( / ) i i i