VII. BÖLÜM ELEKTROSTATİK ENERJİ

114 VII. BÖLÜM ELEKTROSTATİK ENERJİ 7.1 ELEKTROSTATİK ALANIN ENERJİSİ Elektrik alaıı bir potasiyel eerjiye sahip oluğuu ve bu potasiyel eerjii elektrikle yüklü cisimler üzerie keisii gösteriğii biliyoruz. Yie elektrikle yüklü cisimler arasıa kuvvetleri var oluğuu a biliyoruz. Bu yükleri yerlerii eğiştirilmesi içi bir eerjiye ihtiyaç varır. Veya bu yükler kei hallerie bırakılıklarıa bir iş yapabilirler. Koasatörlere epolaa eerji bir elektrostatik eerjiir. Bu eerji koasatörü elektrik alaıa epo eilmiştir. Koasatör olarke elektrik alaı oluşmaya başlar ve bu ala epolaa eerji ile ilgiliir. Şimi epolaa eerji ile elektrik alaı arasıaki ilişkiyi bulalım. Paralel levhalı üzlem bir koasatörü alaı üzgü olup bu ala içieki eerji, bütü hacim içie üzgü olarak ağılmıştır. Bu eerjiyi vere ifae; W e = 1 Q C olarak yazmıştık. Buraa, Q = σ. s, C = S yazılırsa; W e = 1 σ S olur. Formüle; V =. s eğeri koasatör ielektriğii hacmi olup W e eerjisi bu hacme bölüüğüe birim hacimeki elektrostatik eerji eerjiyi buluruz. Birim hacimeki eerjiye elektrostatik eerji yoğuluğu eir. Elektrostatik eerji yoğuluğu küçük harf (w e ) şeklie gösterilir. w e = W 1 e = V σ S. S = 1 σ, w e = 1 σ buluur. Dekleme, σ ı eşeğer karşılıkları ola, D = σ =. E ve E = D = σ, yazılırsa; w e = 1 D = 1. E = 1.. E = 1. D. E = 1. D. E olur. Yapıla üzelemeler soucua, aşağıaki eerji yoğuluğu formülleri ele eilir. Eerji yoğuluğuu birimi Joule/m 3 tür. w e = 1 σ = 1 D = 1. E = 1. D. E

115 7. YÜKLER TOPLULUĞUNUN ENERJİSİ Aşağıaki şekile görüle Q 1 ve Q oktasal yükleri, öce birbirie sosuz uzaklıkta olsular. Bu yükleri aralarıaki uzaklık r 1 olucaya kaar bir birie yaklaştıralım. Buu içi gerekli ola ış iş, kuvvet (F) ile l yer eğiştirmesii kuvvet oğrultusuaki bileşeii çarpımıı itegralie eşittir. Yükleri ayı cis olmaları halie; bir yükü iğerie yaklaştırmak içi uygulaacak kuvvet, büyüklükçe yükler arasıaki itme kuvvetie eşit ve zıt yölüür. Q Q 1 r 1 l r u r F 1 Q Q i hareket ettiği yol Şu hale gerekli ış iş (W); W = F 1. r. u r = r 1 Q 1 Q 4πr 1 r. = Q 1.Q 1 r 1 Q 4π r W = 1. Q 4πr 1 olur. Bu ış iş, iki oktasal yük topluluğua epolaa elektrik eerjisi (W e ) e eşittir. Yai, W = W e = Q 1. Q 4π r 1 ir. Bu eklemi aşağıaki şekile üzeleirse, W e = 1 [ Q 4πr 1 Q 1 + Q 1 4πr 1 Q ] yazılabilir. Buraa, U 1 = Q 4πr 1, Q 1 yüküü buluuğu oktaa, Q yükü tarafıa oluşturula potasiyel ve U = Q 1, Q yüküü buluuğu oktaa Q 1 yükü tarafıa oluşturula 4πr 1 potasiyel oluğua iki oktasal yük topluluğuu eerjisi; W e = 1 (U 1. Q 1 + U. Q ) şeklie e yazılabilir. Yukarıa açıklaığı gibi iki yükü birbirie yaklaştırılması soucu yapıla iş, elektrik alaıa potasiyel eerjisi olarak toplamıştır. Yükler serbest bırakılığıa, ala kuvvetlerii etkisi ile hareket eecekler ve alaı potasiyel eerjisi bir iş yapmış olacaktır. Kayıplar ihmal eiliğie, bu iş yükleri birbirie yaklaştırılması içi yapıla ış işe eşit olacaktır. Yukarıaki işlemlere yükleri ayı polariteli oluklarıı kabul etmiştik. Bu eele yükleri birbirie yaklaştırmak içi yapıla iş pozitiftir.

116 Şimi, bir Q 3 oktasal yüküü, sosuz uzaklıkta, Q 1 yüküe r 31 ve Q yüküe r 3 uzaklığıa getirelim. Buu içi gerekli ola ış iş; W = W e = r 31 F 31 r r 3 F 3 r, W e = Q 1. Q 3 4πr 31 + Q. Q 3 4πr 3 olur. Dış kuvvetleri yaptığı bu iş soucua elektrik alaıa yie bir eerji toplamıştır. Dış işi epolaa eerjiye eşit oluğu yukarıa belirtilmişti. Üç yükte oluşa topluluğu kurulması içi gerekli ola toplam iş veya söz kousu ola yükler topluluğuu toplam eerjisi; W e = Q 1. Q 4πr 1 + Q 1. Q 3 4πr 31 + Q. Q 3 4πr 3 olarak ele eilir. r 1 Q r 3 r 31 Q 3 Q 1 l Q 3 ü hareket ettiği yol Q 3 F 31 F 3 Bu eklemi aha öce oluğu gibi potasiyeller cisie yazarsak, W e = 1 (U 1 Q 1 + U Q + U 3 Q 3 ) olur. Buraa, U 1, Q ve Q 3 yüklerii Q 1 yüküü buluuğu oktaa oluşturukları toplam potasiyel, U, Q 1 ve Q 3 yüklerii Q yüküü buluuğu oktaa oluşturukları toplam potasiyel, U 3 ise, Q 1 ve Q yüklerii Q 3 yüküü buluuğu oktaa oluşturukları toplam potasiyelir. Bu ekleme aet oktasal yük içi; W e = 1 (U 1 Q 1 + U Q +. +U Q ), W e = 1 Q i=1 i potasiyel eerjisi) U i olur. (yükler topluluğuu Yükler, bir yüzey veya hacme ağılmaları halie e; W e = 1. σ. U. s S, W e = 1. ρ U v v ifaeleri ile eerji yoğuluğu buluur.

117 7.3 ELEKTROSTATİK KUVVETLERİN ENERJİ YARDIMI İLE BULUNMASI Elektrostatik alaaki kuvvetler Coulomb kauu ile hesaplaır. Bu kauu oktasal yüklere uygulaması kolay oluğu hale, iğer yüklere uygulaması aha karışıktır. Bua olayı kuvvetleri hesaplamasıa aha kolay yol ola eerji eğişimie fayalaılır. sayıa, yüklü iletkeler topluluğuu alalım. Bu topluluğu bir iletke veya bir iletke grubu üzerie uygulaığı kuvveti bulmak istiyoruz. Buu içi yerleştirme ilkesi uygulaabilir. Eğer toplulukta bulua iletkelere birie küçük bir yerleştirme verilirse yai hareket eerse, toplulukta bir eerji eğişimi olur. Eerjii koruumu ilkesie göre bu eğişimi eklemi; W k = W + W e + kayıp ır. Bu ekleme, W k yer eğiştirme sırasıa kayakları topluluğa veriği eerji, W yerleştirme soucua elektrostatik kuvvetler tarafıa yapıla mekaik iş ve W e epo eile elektrik eerjisieki artış miktarıır. Kayıplar ihmal eilirse eerji eklemi; W k = W + W e Şu hale yer eğiştirme sırasıa kayakları veriği eerjii bir kısmı potasiyel eerji olarak epolaırke, bir kısmı a mekaik işte harcamaktaır. Sosuz küçük yer eğiştirme içi elektrostatik kuvvetleri yaptığı mekaik yaptığı iş; W = F r r ir. Buraa, F r, r yer eğiştirme oğrultusuaki elektrostatik kuvvettir. W k = F r r + W e bu ekleme kuvveti çekersek, F r = W k r W e r olarak buluur. W e = 1 Q i=1 i U i eklemie alaşılığıa göre; Bir iletkei yükü ile potasiyeli arasıa oğrusal bir ilişki varır. Potasiyel eerjii eğişmesi soucua ya yük veya potasiyel eğişmeliir. Şu hale eerji yolu ile kuvveti hesaplamasıa iki urum söz kousuur. Yer eğiştirme soucua yük sabit tutulursa, potasiyel eğişir veya potasiyel sabit tutulursa yük eğişir. Şimi bu iki urum içi kuvveti buluuşuu iceleyelim.

118 a) Sabit yük urumu: Eğer kayakları sistemle ola bağlatıları kesilirse, yerleştirme soucua iletkeleri yükleri eğişmez. Çükü kayaklar ile iletkeler arasıa bir yük akışı yoktur. Böylece topluluktaki iletkeleri yükleri sabit kalırke, potasiyelleri eğişir. Ayı zama a kayaklar a topluluğa eerji veremeyeceğie, W k = 0 ( W k r = 0) olur. Bu uruma; F r = 0 W e r a, F r = W e r Q i =sabit buluur. Bu ifaee sabit yük içi iletkeii yer eğiştirmesi soucua, epo eile eerjieki eğişimi kuvveti veriğii göstermekteir. İletkeii hareketi ile yapıla iş, (F r. r ) pozitif oluğua, eklemeki egatif işaret, eerjieki azalmayı göstermekteir. Çükü hareket soucu yapıla iş, ala tarafıa karşılamaktaır. Şu hale yükü sabit oluğu sisteme F r kuvveti sistemi eerjisii azaltacak yöeir. w e = 1 i=1 Q i U i ifaesii F r = W e r Q i =sabit kullaırsak, F r = r [1 Q i=1 i U i ] = 1 Q i=1 i F r = W e r Q i =sabit U i r ifaesie, eerjii tam iferasiyelii alımasıa, yükü sabit olmasıa olayı, Q i r = 0 olacağı hatırlamalıır. b) Sabit potasiyel urumu: Eğer yerleştirme sırasıa kayakları sistemle ola bağlatıları kesilmez ise, kayaklarla sistem arasıa bir yük alış verişi olur ve iletkeleri potasiyelleri eğişmez. Hareket soucu meyaa gele eerji eğişimi kayaklar tarafıa karşılaır. İletkelere meyaa gele Q yük eğişimii karşılamak içi kayakları yaptığı iş; W k = i=1 U i Q i ir. W k = i=1 U i Q i ifaesi ve W e = 1 Q i=1 i U i i iferasiyeli, F r = W k r W e r eklemie kullaılarak kuvvet ifaesi yazılırsa; F r = i=1 U i Q i 1 U r i=1 i Q i r Q i r, (U = sab. ) F r = 1 U i=1 i ele eilir.

119 Yükler topluluğuu elektrik potasiyel eerjisii vere, w e = 1 Q i=1 i U i ifaesi ikkate alıarak, F r = W e r U i =sabit buluur. Şu hale potasiyel koşulu altıa yer eğiştirme soucu yapıla iş (F r r ), epo eile eerji eğişimie eşittir. Bu ifaee sabit potasiyel içi epo eile eerjieki artma miktarıı kuvveti veriği alaşılmaktaır. Bu uruma yie ( F r. r ) işi pozitif oluğua, eerjie bir artma söz kousuur. Bua göre sabit potasiyelli sisteme F r kuvveti sistemi eerjisii artıracak yöeir. Yüklü iletkeler topluluğua sabit yük içi bulua kuvvet ifaesi, F r = W e r Q i =sabit ile, sabit potasiyel içi bulua kuvvet ifaesi, F r = W e r U i =sabit söz kousu eklemleri her ikisi e ayı souca götürür. Şu hale; birbiri ile özeştir. Yai F r = W e r Q i =sabit = W e r U i =sabit eklemi yazılabilir. Yukarıaki eklemleri ele eilmesie yer eğiştirme ilkesi kullaılarak, bir hareketi varlığı üşüülmüştür. Gerçekte böyle bir hareket yoktur. 7.4 DİELEKTRİKLERE ETKİ EDEN KUVVETLER Paralel levhalı üzlem koasatöre, levhalara birisi pozitif iğeri egatif yüklü oluğu içi aralarıa bir çekme kuvveti varır. Dolayısı ile levhalar arasıaki ielektriği sıkıştırmaya çalışırlar. Yai levhalara ielektriğe oğru yöele bir kuvvet varır. Şimi bu kuvveti eerji yoluyla bulalım. Koasatörleri levhaları arasıaki ala şieti E, levhaları arasıaki yalıtkaı ielektrik katsayısı ise, alaaki toplam eerji; W e = 1 E v = 1. D. E v = 1 D v olarak ifae eilmişti. Bu eerjieki bir miktar eğişme, koasatör levhalarıı r kaar hareketie ee olur. r hareketii yapılmasıı gerektire işi, alaaki eerjisii eğişimie eşit oluğu bilimekteir. W e = 1. D. E v formülüe, v = S. r koyarak; W e = 1. ( D. E). S. r = F. r yazılabilir ve 1. ( D. E). S. r = F. r e yalıtkaı S yüzeyie etki ee kuvveti; F = 1. D. E S oluğu görülür. Bu kuvvet, ala oğrultusua olup, levha yüzeyie iktir.

10 7.4.1 Dielektriklere etkiye elektrostatik basıç: Birim yüzeye etki ee kuvvete elektrostatik basıç eiliği açıklamıştı. Bu uruma yalıtkaa etkiye elektrostatik basıç; P = F S, P = 1. D. E S S e, P = 1 D. E (N/m ) olmaktaır. İki çeşit sıır yüzeyi varır. Bular, iletke - ielektrik sıırı ve ielektrik-ielektrik sıırı. Şimi bu sıırlaraki basıçları iceleyelim. a) İletke- ielektrik sıırı: Bu sııra basıcı iletkee ielektriğe oğruur. Yukarıa açıklaa ielektriğe etkiye P ifaesii aşağıaki gibi yazabiliriz. P = 1 D. E, P = 1 D, P = 1 E, P = 1 σ b) Dielektrik - ielektrik sıırı: Bu sııraki basıç, yüksek ielektrik katsayılı ielektriktek, üşük ielektrik katsayılı ielektriğe oğruur. Basıcı eğerii hesaplamak içi aşağıa verile şekli ikkate alalım. Seri urumaki bu ielektriklere ala şietleri farklı oluğu hale, akı yoğulukları ayıır. S + + + + + + + + E 1 1 + + D D + + _ E _ + _ + _ + _ 1 > Dielektrikleri; v = S. r iferasiyel hacimlerie epolaa toplam eerji; W e = 1. D. E 1 S. r + 1. D. E. S. r = F. r ir. Buraa r yer eğiştirmesie olayı. Dielektriği kalılığı artarke, 1. Dielektriği kalılığıı azalığıı kabul eelim. Bua göre elektrik alaıaki kuvvet ve basıç; F = 1 S(D. E - D. E 1 ) (N), P = 1 (D. E D. E 1 ) = 1 ( 1 1 1 ) D = 1 E 1 E ( 1 ) (N/m ) olur.

11 İletke- ielektrik sıırıaki elektrostatik basıç ile ielektrik-ielektrik sıırıaki basıç karşılaştırılığıa, iki ielektrik sıır arasıaki basıcı, ielektriklerle iletke sıırıaki basıcı farkıa eşit oluğu görülür. Eğer 1 > ise, iki ielektrik sıırıaki yüzey yükleri yukarıaki şekile gösteriliği çoklukta olacaktır. Bu a ielektrikler arası sııraki kuvveti egatif levhaya oğru olması emektir. Şu hale basıç, yüksek ielektrik katsayılı yalıtkaa, üşük ielektrik katsayılı yalıtkaa oğru ik olarak etki etmekteir. Yukarıa ala şieti vektörüü sıır yüzeyie ormal oluğu urumu iceleik. Şimi e ala şieti vektörüü sıır yüzeyie paralel olması halii iceleyelim. S: ielektriği alaı + + _ + _ + + _ + _ + 1 D 1 E E E D _ 1 _ + + + + + + + + + D 1 D 1 > Yukarıaki şekile ala şietleri eşit olurke her iki bölgee e elektrik akıları farklıır. Şekile 1 > alıığıa göre, D 1 > D ir. Buraa a, yukarıaki yol izleerek, her bir ielektriği v hacmie epolaaa eerjilerii toplamı; W e = 1. D 1. E. S. r + 1. D. E. S. r = F. r ir. Buraa r yer eğiştirmesie olayı ielektriklere birii büyümesie karşılık, iğerie bir küçülme olacağıa, sıır yüzeyieki kuvvet ifaesi, F = 1 S(. D 1. E -D. E) olur. Buraa basıcı yazalım, P = 1 (D 1. E D. E) = 1 ( 1 ). E = 1 D 1. D ( 1 1 1 ) ele eilir. Bu basıç, ielektriklereki elektrik akısı yoğuluklarıı farklı olmasıa oğmaktaır. Eğer ala şieti vektörü, ielektrikleri ayıra sıır yüzeyie eğik ise, sııraki kuvvet iki bileşee ayrılır. Bular sıır yüzeyie ik ve teğet bileşelerir. Yukarıa açıklaa ifaeler göz öüe alıarak; P = 1 ( 1 ). E t1 + 1 ( 1 1 1 )D 1 olur.

1 ÖRNEKLER 1. Q yüküü taşıya R yarıçaplı bir küre tarafıa meyaa getirile alaı eerjisii buluuz. ÇÖZÜM: W e = 1 v = 4π r. r, D =. W e = 1 E. D. v = 1 V = Q E. r. D. E v ifaesie; Q 4π r E. r Q 4π r. 4π r. r R r r Q. r r ve buraa, r E. r = U kürei yüzey potasiyeliir. Yerie yazılırsa; W e = 1 Q U. buluur.. Bir koasatörü epo ettiği eerjiyi, W e = 1 Q i=1 i U i formülüe yarararlaarak buluuz ve koasatörler kısmıa buluaa eerji formülü ile karşılaştırıız. ÇÖZÜM: Koasatör levhalarıı yükleri eşit ve zıt ciste olacaklarıa, Q 1 = Q = Qyazılarak, w e = 1 Q i=1 i U i = 1 (Q 1U 1 Q U ), U = U 1 U oluğua, W e = 1 Q U. buluur. 3. Aşağıaki şekile verile eş merkezli iletke küreleri yükleri, Q 1 ve Q ir. Sistemi eerjisii buluuz. Q Q 1 a 0 0 b Bölüm 7.1 e çıkarıla W e = 1 W e =. v E. E v ifaesii üzeleyerek yazalım. v = 0 b. E a iç v + 0 b. E ış Buraa, a r b içi, E iç = Q 1 4 π 0 r, b r içi, E ış = Q 1+Q 4 π 0 r ve v = 4π r. r v W e = Q 1 1 b (Q 8 π 0 r + 1 +Q ) 1 a 8 π 0 r We = Q 1 ( 1 1 ) + (Q 1+Q ). 1 b 8 π 0 a b 8 π 0 b olur. 4. Paralel levhalı bir koasatör, a) Potasiyel kayağıa evamlı olarak bağlı kalığı uruma. b) Öce U gerilimie olurulup, sora kayağı ayrılması U S Q C urumua, ielektriğe etki ee kuvveti buluuz.

13 a) Sabit potasiyel içi: F = W e U=sabit ekleme. W e = 1 C. U ve F = 1 U C, C = S. F = 1 U ( S. b) Sabit yük içi: F = W e Q=sabit ) = U.S. ( 1 ) = U.S. = U C buraa epolaa eerjii eklemi; W e = Q C ve F = ( Q C ) F = Q ( 1 ) = Q C = Q. c = S. c Q. c S. ( 1 S. ) = Q. ( ) = Q = Q, S. S. S. = U C = U c S.. S. S. = U C Her iki yötemle yapıla çözüme e ayı souç ele eilmiştir. 5. Şekileki paralel levhalı koasatörü ielektriğie etki ee kuvveti buluuz. a Dilektrik U b + + + + + + + + + 0 _ Dielektriğe etki ee kuvvet, ielektriği koasatörü levhaları arasıa oğru çekmeye çalışmaktaır. F = 1 S(D 1. E - D. E) = 1 S( 1. - )E, E = U, S = a. ifaelerie; F = 1 S( 0 )E = 1 a. ( 0 ) U = U. a. ( 0 ) Newto. 6. Kearları 1m ola karei köşelerie 4C luk oktasal yükler bulumaktaır. Sisteme epo eile eerjiyi buluuz. W e = Q 1. Q 4πr 1 + Q 1. Q 3 4πr 31 + Q. Q 3 4πr 3 Deklemi kullaılarak, 4C r =1m 4C Q 1 = Q = Q 3 = Q 4 = Q = 4 C oluğua, = m W e = 1 ( 4Q + Q ) = 9. 4π 0 r 109 ( 4(4.109 ) 1 W e = 7,8. 10 11 J. = 780 J. + (4.109 ) ) 4C 4C