Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 11 Enerji Yöntemleri Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
11.1 Giriş Önceki bölümlerde çeşitli yükleme koşulları altında, kuvvetler ve deformasyonlar arasındaki bağıntılar ile ilgilendik. Analizimiz iki temel kavram üzerine kuruldu: 1. Gerilme kavramı, 2. Şekil değiştirme kavramı. Üçüncü önemli kavram olan şekil değiştirme enerjisi kavramı bu bölümde ele alınacaktır.
11.2 Şekil Değiştirme Enerjisi Yükün P büyüklüğünün, çubuğun x deformasyonuna karşı gelen değerlerini işaretleyerek yük-deformasyon diyagramı elde edilir.
11.2 Şekil Değiştirme Enerjisi Alan Şekil Değiştirme Enerjisi P yükü çubuğa yavaşça uygulanırken, bu yük tarafından yapılan iş, çubuğun deformasyonuyla ilişkili bir enerji artışı ortaya çıkarmalıdır. Bu enerji, çubuğun şekil değiştirme enerjisi olarak adlandırılır. İş ve enerji, kuvvet ve uzunluk birimleri çarpılarak elde edilir: N m (joule, J).
11.2 Şekil Değiştirme Enerjisi Lineer ve elastik deformasyon halinde, yük-deformasyon diyagramının karşı gelen kısmı, P = kx denklemli bir doğruyla temsil edilebilir.
11.2 Şekil Değiştirme Enerjisi Şekil değiştirme enerjisi kavramı özellikle darbe yüklemelerinin etkilerinin belirlenmesinde kullanışlıdır. Çubuğun kazandığı U m maksimum şekil değiştirme enerjisi, T kinetik enerjisine eşittir. Çubukta aynı şekil değiştirme enerjisini üretecek olan P m değeri belirlenip A kesit alanına bölünürse, çubukta meydana gelen gerilme değeri belirlenebilir.
11.3 Şekil Değiştirme Enerjisi Yoğunluğu Yük-deformasyon diyagramı ve şekil değiştirme enerjisi denklemi, çubuğun boyutlarına bağlıdır. Boyut etkisini yok etmek için, birim hacme düşen şekil değiştirme enerjisi ele alınır. Şekil Değiştirme Enerjisi Şekil Değiştirme Enerjisi Yoğunluğu Şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu birimi, enerji birimlerinin hacim birimlerine bölünmesiyle elde edilir: J/m 3, kj/m 3, MJ/m 3.
11.3 Şekil Değiştirme Enerjisi Yoğunluğu Eğri altındaki alan (O-ε 1 ), şekil değiştirme enerjisi yoğunluğuna eşittir. Yük kaldırılırsa, gerilme sıfıra düşer fakat kalıcı deformasyon söz konusudur (ε p ). Birim hacim başına düşen şekil değiştirme enerjisinin sadece üçgensel alana karşı gelen kısmı geri alınır. Malzemenin deformasyonu sırasında harcanan enerjinin kalanı, ısı enerjisi şeklinde dışarı verilir.
11.3 Şekil Değiştirme Enerjisi Yoğunluğu Şekil Değiştirme Enerjisi Yoğunluğu Dayanıklılık Modülü Kırılma ε R ile elde edilen ŞDEY, malzemenin dayanıklılık modülü olarak bilinir. Eğri altındaki tüm alana eşittir ve malzemenin kırılması için gereken enerjiyi temsil eder. Buradan, malzemenin dayanıklılığının kopma mukavemeti ile olduğu kadar sünekliği ile de ilişkili olduğu görülür.
11.3 Şekil Değiştirme Enerjisi Yoğunluğu Şekil Değiştirme Enerjisi Yoğunluğu Gerilme değeri, malzemenin orantı sınırı içinde kalırsa, Esneklik Modülü Esneklik modülü. Esneklik modülü, OY doğru parçasının altındaki alana eşittir. Akma olmaksızın, malzemenin soğurabildiği birim hacim başına düşen enerjidir. Darbe yüküne direnme kapasitesi, esnekliğe bağlıdır.
11.3 Şekil Değiştirme Enerjisi Yoğunluğu Dayanıklılık Modülü Kırılma Demiryolu kavraması, büyük dayanıklılık modülüne sahip sünek çelikten imal edilir.
11.4 Normal Gerilmeler için Elastik Şekil Değiştirme Enerjisi Önceki kesimde ele alınan çubuk, düzgün yayılı σ x gerilmelerine maruz kaldığından, şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu, çubuk boyunca sabitti ve U/V olarak tanımlanabildi. Gerilme dağılımı düzgün değilse, integral işlemi gerekir. Sadece elastik deformasyonlar için geçerli olan bu ifade, cismin elastik şekil değiştirme enerjisi olarak adlandırılır.
11.4 Normal Gerilmeler için Elastik Şekil Değiştirme Enerjisi Eksenel Yüklemede Şekil Değiştirme Enerjisi.
Örnek 11.01 Alan Bir çubuk, aynı malzemeden yapılmış ve aynı uzunluklu, fakat farklı kesitli BC ve CD parçalarından oluşmuştur. Çubuk bir P merkezi eksenel yüküne maruz kaldığına göre, çubuğun şekil değiştirme enerjisini, P, L, E, CD parçasının A kesit alanı ve iki çapın n oranı cinsinden ifade ederek belirleyiniz.
Örnek 11.01 Alan Darbe yüklemesi gibi enerji soğurma kapasitesinin önemli olduğu yüklere maruz elemanlarda, kesit alanındaki gereksiz değişimlerden kaçınılmalıdır.
Örnek 11.02 P yükü, B noktasında, aynı malzemeden yapılmış ve aynı A düzgün kesit alanına sahip iki çubuk tarafından taşınmaktadır. Sistemin şekil değiştirme enerjisini hesaplayınız.
Örnek 11.02
11.4 Normal Gerilmeler için Elastik Şekil Değiştirme Enerjisi Eğilmede Şekil Değiştirme Enerjisi. Kesme kuvvetinin etkisi ihmal edilmiştir.
Örnek 11.03 Sadece normal gerilmelerin etkisini hesaba katarak, AB prizmatik ankastre kirişinin şekil değiştirme enerjisini belirleyiniz.
Örnek 11.03
11.5 Kayma Gerilmeleri için Elastik Şekil Değiştirme Enerjisi u şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu, kayma gerilmesi-kayma şekil değiştirmesi diyagramı altındaki alana eşittir.
11.5 Kayma Gerilmeleri için Elastik Şekil Değiştirme Enerjisi Burulmada Şekil Değiştirme Enerjisi.
Örnek 11.04 Çap Çap Bir dairesel şaft, aynı malzemeden yapılmış ve aynı uzunluklu, fakat farklı kesitli BC ve CD parçalarından oluşmuştur. Şaft, D ucunda bir T burulma çiftine maruz kaldığına göre, şaftın şekil değiştirme enerjisini, T, L, G, küçük kesitin J kutupsal eylemsizlik momenti ve iki çapın n oranı cinsinden ifade ederek belirleyiniz.
Örnek 11.04 Çap Çap
Örnek 11.05 Normal gerilmelerin ve kayma gerilmelerinin etkisini hesaba katarak, AB dikdörtgen kesitli ankastre kirişinin şekil değiştirme enerjisini belirleyiniz.
Örnek 11.05
11.6 Genel Gerilme Halinde Şekil Değiştirme Enerjisi Bir izotropik cismin elastik deformasyonu halinde, ortaya çıkan altı σ-ε bağıntısının her biri lineerdir ve şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu yanda verildiği gibi hesaplanabilir.
11.6 Genel Gerilme Halinde Şekil Değiştirme Enerjisi Verilen bir gerilme halinin, bir sünek malzemenin akmasına neden olup olmadığını kestirmek için kullanılan ölçütlerden biri olan maksimum distorsiyon enerjisi ölçütü, söz konusu malzemenin distorsiyonu veya şeklindeki değişimle ilişkili birim hacim başına enerjinin belirlenmesi üzerine kuruludur. Bu yüzden, verilen bir noktadaki u şekil değiştirme enerjisi yoğunluğunu, söz konusu noktada malzemenin hacmindeki bir değişimle ilişkili u v parçası ve aynı noktada malzemenin distorsiyonu veya şeklindeki değişimle ilişkili u d parçası olmak üzere, iki parçaya ayıralım.
11.6 Genel Gerilme Halinde Şekil Değiştirme Enerjisi u v ve u d yi belirlemek için, göz önüne alınan noktada, asal gerilmelerin ortalama değerini devreye sokalım. Ayrıca, diyelim. Böylece, verilen gerilme hali, şekilde gösterildiği gibi süperpozisyonla elde edilebilir.
11.6 Genel Gerilme Halinde Şekil Değiştirme Enerjisi (b) deki gerilme hali, elemanın şeklini değil hacmini değiştirebilir. Öte yandan, bulunur. Bu, (c) deki gerilmelerin bazılarının çekme ve diğerlerinin basınç gerilmeleri olduğunu gösterir. Dolayısıyla, bu gerilme hali elemanın şeklini değiştirebilir. Ancak hacmini değiştiremez.
11.6 Genel Gerilme Halinde Şekil Değiştirme Enerjisi Elemanın hacmindeki değişime karşılık gelen şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu u v, her bir asal gerilme yerine ortalama gerilme değeri yazılarak elde edilir.
11.6 Genel Gerilme Halinde Şekil Değiştirme Enerjisi Elemanın distorsiyonuna karşılık gelen şekil değiştirme enerjisi yoğunluğu u d : Düzlem gerilme halinde:
11.6 Genel Gerilme Halinde Şekil Değiştirme Enerjisi Çekme deney numunesi özel halinde: Genel gerilme halinde:
Örnek Problem 11.1 Üretim esnasında, AB çubuğu 120 in lb lik bir elastik şekil değiştirme enerjisi kazanmalıdır. Kalıcı deformasyona göre emniyet katsayısı beş olacağına göre, E=29x10 6 psi alarak, çeliğin gerekli akma mukavemetini belirleyiniz.
Örnek Problem 11.1 Esneklik modülü
Örnek Problem 11.2 (a) Sadece eğilmeden kaynaklanan normal gerilmelerin etkisini hesaba katarak, gösterilen yükleme için, AB prizmatik kirişinin şekil değiştirme enerjisini belirleyiniz. (b) Kiriş bir W10x45 profili ve P = 40 kips, L = 12 ft, a = 3 ft, b = 9 ft ve E = 29x10 6 psi olduğuna göre, şekil değiştirme enerjisini hesaplayınız.
Örnek Problem 11.2 A dan D ye B den D ye
Örnek Problem 11.2 a. Şekil Değiştirme Enerjisi. b. Şekil Değiştirme Enerjisinin Hesaplanması.
11.7 Darbe Yüklemesi Alan = A Çubuk darbe etkisiyle deforme olurken, çubuk içinde gerilmeler ortaya çıkar ve bir maksimum değerine ulaşır. Bir süre titreştikten sonra, çubuk hareketsiz kalır ve tüm gerilmeler ortadan kalkar. Böyle olaylar dizisi darbe yüklemesi olarak adlandırılır.
11.7 Darbe Yüklemesi Alan = A Gerilmenin maksimum değerini belirlemek için, birçok basitleştirici varsayım yapılır. İlk olarak, çarpan cismin kinetik enerjisinin tamamıyla yapıya aktarıldığı varsayılır. Uygulamada bu varsayım gerçekleşmez ve yapının tasarımının ihtiyatlı olmasına yol açar.
11.7 Darbe Yüklemesi Alan = A Ayrıca, malzemenin statik deneyinden elde edilen gerilme-şekil değiştirme diyagramının, darbe yüklemesi halinde de geçerli olduğu varsayılır. Bu ifadeden, büyük V hacimli ve düşük E elastisite modüllü bir çubuk seçmenin, verilen bir darbe yüklemesi için daha küçük bir gerilme değeri ortaya çıkaracağı görülmektedir.
11.7 Darbe Yüklemesi Alan = A Birçok problemde, yapıdaki gerilme dağılımı düzgün değildir ve yukarıdaki formül geçerli olmaz. Bu taktirde, darbe yüküyle aynı şekil değiştirme enerjisi üretecek P m statik yükünü belirlemek ve P m den, yapıda ortaya çıkan en büyük gerilmenin karşı gelen σ m değerini hesaplamak uygundur.
Örnek 11.06 Alan = 4A Bir v 0 hızıyla hareket eden m kütleli bir cisim, düzgün olmayan BCD çubuğuna B ucundan çarpmaktadır. BC kısmının çapı CD kısmınınkinin iki katı olduğuna göre, çubuktaki gerilmenin σ m maksimum değerini belirleyiniz.
Örnek 11.06 Alan = 4A
Örnek 11.07 AB ankastre kirişinin serbest ucuna, h kadar yükseklikten W ağırlıklı bir blok düşürülüyor. Çubuktaki gerilmenin maksimum değerini belirleyiniz.
Örnek 11.07 h mesafesinden düşerken, bloğun Wh potansiyel enerjisi kinetik enerjiye dönüşür.
11.8 Darbe Yükleri için Tasarım U m darbe yüklemesinin bir sonucu olarak çubuğa aktarılan enerji miktarı, V ise çubuğun hacmi olmak üzere, düzgün kesitli bir çubuktaki maksimum gerilme: Bir darbe yüküne etkin olarak dayanacak şekilde tasarlanan bir yapı: 1. Büyük hacme sahip olmalıdır. 2. Düşük elastisite modüllü ve yüksek akma mukavemetli bir malzemeden yapılmalıdır. 3. Gerilmelerin yapının tamamında mümkün olduğu kadar eşit şekilde yayılmasını sağlayacak bir şekle sahip olmalıdır.
11.9 Tek Bir Yük Halinde İş ve Enerji Düzgün kesitli bir çubuğun ucuna uygulanan bir P eksenel yükü tarafından yapılan işe karşılık oluşan şekil değiştirme enerjisi: Şekil Değiştirme Enerjisi Bir yapı veya eleman tek bir tekil yüke maruzsa, yük ve oluşan deformasyon arasındaki ilişki biliniyorsa, elastik şekil değiştirme enerjisini belirlemek için yukarıdaki denklem kullanılabilir.
11.9 Tek Bir Yük Halinde İş ve Enerji
11.9 Tek Bir Yük Halinde İş ve Enerji Bir otomobilin bir bariyere çarpması, bir blok ve bir basit kirişten oluşan bir model kullanılarak ele alınmaktadır.
Örnek 11.08 Bir v 0 hızıyla hareket eden m kütleli bir blok, AB prizmatik elemanına C orta noktasından düz bir şekilde çarpmaktadır. (a) Eşdeğer P m statik yükünü, (b) Elemandaki σ m maksimum gerilmesini, (c) C noktasındaki x m maksimum yer değiştirmesini belirleyiniz.
11.10 Tek Bir Yük Halinde İş-Enerji Yöntemiyle Yer Değiştirme P eksenel yükü veya M kuvvet çifti etkisindeki bir yapının şekil değiştirme enerjisi aşağıdaki denklemlerden elde edilebilir: Şekil değiştirme enerjisi biliniyorsa, aynı denklemler, yer değiştirme ve açı değerlerinin belirlenmesi için de kullanılabilir.
Örnek 11.09 P yükü, B noktasında, aynı malzemeden yapılmış ve aynı A düzgün kesit alanına sahip iki çubuk tarafından taşınmaktadır. B noktasının düşey yer değiştirmesini belirleyiniz.
Örnek 11.03 AB ankastre kirişinin A ucunun yer değiştirmesini, (a) sadece normal gerilmeleri, (b) normal gerilmeleri ve kayma gerilmelerini hesaba katarak belirleyiniz.
Örnek Problem 11.3 Hareketsiz duran m kütleli D bloğu serbest bırakılıyor ve bir h mesafesinden düşerek, AB alüminyum kirişinin C orta noktasına çarpıyor. E = 73 GPa alarak, (a) C noktasının maksimum yer değiştirmesini, (b) kirişte oluşan maksimum gerilmeyi belirleyiniz.
Örnek Problem 11.3 Ek D den 1. Konum 2. Konum
*11.11 Çok Sayıda Yük Halinde İş ve Enerji Kirişin şekil değiştirme enerjisi, P 1 ve P 2 tekil yüklerinin, kirişe C 1 ve C 2 de yavaşça uygulanırken yaptıkları işe eşittir. Ancak bu işi hesaplamak için, önce x 1 ve x 2 yer değiştirmelerini, P 1 ve P 2 yükleri cinsinden ifade etmeliyiz.
*11.11 Çok Sayıda Yük Halinde İş ve Enerji Tesir katsayıları Kirişe sadece P 1 in uygulandığını varsayalım. C 1 ve C 2 yer değiştirmiştir bunların yer değiştirmeleri P 1 yükü ile orantılıdır.
*11.11 Çok Sayıda Yük Halinde İş ve Enerji Tesir katsayıları Kirişe şimdi de sadece P 2 nin uygulandığını varsayalım.
*11.11 Çok Sayıda Yük Halinde İş ve Enerji
*11.11 Çok Sayıda Yük Halinde İş ve Enerji P 1 ve P 2 tarafından yapılan işi ve dolayısıyla kirişin şekil değiştirme enerjisini hesaplamak için, önce P 1 in C 1 de yavaş yavaş uygulandığını varsaymak uygun olur. C 2, x 21 kadar hareket ederken, P 2 nin bir iş yapmadığına dikkat ediniz.
*11.11 Çok Sayıda Yük Halinde İş ve Enerji Şimdi de P 2 yi C 2 de yavaşça uygulayalım. P 2, C 2 de yavaşça uygulanırken, P 1 in uygulama noktası, C 1 den C 1 e x 12 kadar hareket eder ve P 1 yükü iş yapar.
*11.11 Çok Sayıda Yük Halinde İş ve Enerji
*11.11 Çok Sayıda Yük Halinde İş ve Enerji
*11.12 Castigliano Teoremi
*11.12 Castigliano Teoremi ile Yer Değiştirme
Örnek 11.12 AB ankastre kirişi, bir w düzgün yayılı yükünü ve bir P tekil yükünü taşımaktadır. L = 2 m, w = 4 kn/m, P = 6 kn ve EI = 5 MNm 2 olduğuna göre, A daki yer değiştirmeyi belirleyiniz.
Örnek 11.13 AB ankastre kirişi, bir w düzgün yayılı yükünü taşımaktadır. A noktasındaki yer değiştirmeyi ve eğimi belirleyiniz.
Örnek 11.13 w = 27 kn/m W250 x 22.3 a = 1.35 m L = 3.6 m b = 2.25 m Gösterilen kiriş ve yükleme için, D noktasındaki yer değiştirmeyi belirleyiniz. E = 200 GPa alınız.
Örnek 11.13 A dan D ye B den D ye