Eskşehr Teknk Ünverstes Mühendslk Fakültes Endüstr Mühendslğ Bölümü Doç. Dr. Nl ARAS ENM411 Tess Planlaması 018-019 Güz Dönem
Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
3 Tek tess erleştrme prolem Tess erler sürekl gösterme sahp Ugulamada sık karşılaşılan r durumdur. Mevut tesslere en r tess ekleneeğ zaman, dğerlernn erleşm sat kalır. Yen tesse, mevut sstem çnde verleek en ern neres olaağı araştırılır. Kuramsal önem üüktür. Bu gruptak prolemler, toplam taşıma malet g tek r ölçütün ağırlıklı olduğunu, dğer ölçütlern u ana amaç anında önemsz kaldığını varsaar. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Talep noktaları (Hzmet verleek tessler) / Mevut erler Yen kurulaak tess er / Hzmet vereek tess 4 T Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
5 Yen tess nerede olmalı? Sonsuz er seçeneğ Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
6 ÖRNEKLER Bölüme en r ça oağı Kampüse en r na Hastanee en amelathane Asker rlğe helkopter alanı Şehr ç ulaşım sstemne en durak Atölee en tezgah Bekleme salonuna en koltuk Mutfağa en ulaşık maknes Br ofse fotokop maknes Elektrk trafosunu neree koalım? Bölüm, kampüs, hastane v. çok saıda esk tessten oluşan sstem MEVCUT SİSTEM, en na, amelathane v. se ssteme ekleneek YENİ TESİS tr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Tek tess prolemnn modellenmes 7 m P =(a, ) X=(x, ) d (X, P ) w : Esk tesslern saısı, :. esk tessn koordnatları, : Yen tessn koordnatları, : Yen tessn. esk tesse uzaklığı : Yen tess le. esk tes arasındak malet (ağırlık) katsaısı Enk f(x) = m =1 w d (X,P) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Öle r X noktası ulalım k, u nokta ağırlıklar x uzaklıklar toplamını enküçüklesn. : Brm uzaklığa taşıma malet [TL/m] f : Brm zamandak sefer saısı [sefer/ıl] d (X, P ): Yen tess le. mevut tess arasındak uzaklık [m/sefer] 8 Toplam malet = w d(x, P ) Toplam malet = f d X, P Τ TL ıl Enk f(x) = m =1 w d (X,P) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
9 Tek tess çn mekank analoj Br masa düşünelm. Mevut tessler üzerne şaretlenor ve herrne p geçrlp, w lerle orantılı ağırlıklar takılıor. Sürtünme ok. İpte uzama ok. İpn dren ok, kopmaz, çeklelr. İpler A noktasında rrne ağlanıor. İpn uundan tutup çekersek, denge noktası ENİYİ noktaı vereektr. A Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Tek tess çn mekank analoj 10 İpler çıkarttık. Yerne çv vea çuuklar taktık. Etraflarına lastk gererek sarıoruz. Yen tessn, eskler çersne alan dışüke zarf çnde r nokta olmasını eklerz. Bütün mevut tessler anı doğru üzernde olsadı, dışüke zarf r doğru olaaktı. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018 11
1 A ve B noktaları arasındak dkdoğrusal uzaklık l DD X a X Y a Y Yen tess le. esk tess arasındak dkdoğrusal uzaklık: d (X, P ) = x-a + - Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
13 Enk f(x) = m =1 w d (X,P) Enk f(x) = m =1 w ( x - a ) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
14 Ağırlıkların tek outta etksn görmek çn, r hat üzernde farklı aralıklarla açılan delklern olduğu şekle akalım. DURUM 1: w 3 > w / dğerlernn söz hakkı kalmaz. Ağırlıklardan rs (ÖRN, w 3 ), dğer ağırlıkların toplamından daha fazlasa, denge durumunda dğer ağırlıkların r söz hakkı kalmaaak, A düğümü (en tess er), 3 noktasının üzerne geleektr. (ÇOĞUNLUK KURAMI- Majort Theorem). Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
15 DURUM : w sol > w sağ se A düğümü 3 e, aks halde 4 e gder. A düğümü, 3 le 4 noktaları arasına öneldse, noktasına mı oksa 3 noktasına mı gdeeğ, düğümü sola ve sağa çeken toplam kuvvetlern dengesne ağlıdır. Sağa çeken kuvvetlern toplamı, sola çeken kuvvetlern toplamından fazla se, denge durumunda A düğümü 4 noktasına geleek, aks halde 3 noktasına geleektr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
16 DURUM 3: w sol = w sağ se, (özel r durum) 3 le 4 noktaları arasındak ütün noktalar anı değerdedr. Br önek durumda, sağa çeken kuvvetler toplamı, sola çeken kuvvetler toplamına eşt olursa (özel r durum), le 3 noktaları arasında kalan tüm noktalar anı değere sahp olaaktır. Denge durumunda A noktası u noktaların herhang rle çakışır. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
17 İk öneml özellk: Mekank modeln kullanılması, tek tess prolemnn çözümünü sağlaaak k özellğ ortaa çıkarır. 1. Yen tess çn en ern koordnatı, esk tesslerden rnn koordnatı le anıdır. (ÇAKIŞMA ÖZELLİĞİ). Yen tessn kurulaağı ern solundak (a da sağındak) ağırlıkların toplamı, ağırlıklar toplamının arısını geçemez. (ORTANCALIK MEDYAN- ÖZELLİĞİ) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
18 Tek out çn gelştrlen görüşler outa uarlanırsa, 1. Yen tessn x (vea ) koordnatı, esk tesslerden rnn x (vea ) koordnatına eşttr.. X n (vea nn) solundak (vea altındak) w lern toplamı, Σw değernn arısını geçemez. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
19 Enk f(x) = m j=1 w ( x - a ) DD uzaklıkları kullanmanın r sonuu olarak, her out rrnden ağımsız r alt prolem olarak ele alınalr. Enk f(x) = m =1 w ( x - a ) Enk Enk f(x,) = f(x,) = f 1 m =1 (x) w f x - () a m =1 w f 1 (x) m =1 w x - a ve f () m =1 w Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Çözüm algortması (En çözümü veren algortma) Her koordnat çn zleen adımlar tekrarlanır: 1. Mevut tesslern x (vea ) koordnat değerler küçükten üüğe (vea üükten küçüğe) sıralanır.. Sıralı her. koordnat çn rkml ağırlıklar hesaplanır. k m 1 w k w k 1 k 1 k w k 0 3. olan lk nokta, en tess çn en koordnatı verr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
1 ÖRNEK: Tompkns et al. Bakım atölesne en r tezgah erleştrleektr. Mevut 5 tezgah le en tezgah arasında gerçekleşeek malzeme taşıma saıları elldr. Mevut ve en tezgah arasındak rm uzaklık taşıma maletlernn anı olduğunu varsaarak, en tezgah çn en er ulunuz. Mevut tezgah Tezgah er Mevuten tezgah arası taşıma P 1 (1,1) 5 P (5,) 6 P 3 (,8) P 4 (4,4) 4 P 5 (8,6) 8 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Mevut tesslern konumları Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Mevut tessler arası dkdoğrusal ollar 3 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
4 Mevut tesslern ulunduğu noktalardan çzlen ata ve dke çzgler, lglenlen alanı dkdörtgen şeklndek ölgelere aırır. Örnekte 5*5=5 kesşme noktası vardır, unlardan eş üzernde de mevut tessler er almaktadır. Çakışma lkes gereğ, en çözüm mevut tesslerden geçen doğru parçalarının kesşme noktalarından rndedr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
5 Yen tessn erleşeeğ alan lkenn gereğ olarak: 1. En ern koordnatları, mevut tesslern koordnatları le anıdır.. En nokta, toplam ağırlığın en az arısına ulaşılan çzg üzerndedr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
6 En x-koordnatının ulunması Tezgah x w Σw P1 1 5 5 P3 7 P4 P 4 5 4 5 11 17 < 5/ > 5/ x*=5 P5 8 8 5 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
7 En -koordnatının ulunması Tezgah w Σw P1 P P4 P5 P3 1 4 6 8 5 6 4 8 5 11 15 3 5 <5/ >5/ *=4 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
8 Yen tezgah çn en noktanın koordnatları X* = ( 5, 4) En nokta çn toplam malet (toplam ağırlıklandırılmış mesafe) Enk f(x, ) = Enk f(5,4) = Enk f(5,4) = f 1 m =1 m =1 (5) w w f x - a 5 - a (4) m =1 m =1 w w 4 54 51 105 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
9 Bulunan çözümün en çözüm olduğu spatı 140 130 10 110 100 f1(x) 90 80 Örnek çn: (4 < x 5 aralığında) f 1 (x)= 5(x-1) + (x-) + 4(x-4)+6(5-x) + 8(8-x) f 1 (x)= - 3 x + 69 (5 x < 8 aralığında) f 1 (x)=5(x-1) + (x-) + 4(x-4) + 6((x-5)+8(8-x) f 1 (x)= +9 x + 9 x = 5 de eğmn şaret değşt (Yerel En ) 70 60 50 40 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 x Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
140 30 10 100 80 60 f 1 (x) 40 0 0 0 4 6 8 10 a x Y = x a nn grafğ, uu a de ulunan V şeklnde DIŞBÜKEY r eğrdr. w poztftr w x a dışüke w x a dışüke w x a de dışüke olur. f 1 (x) dışüke Yerel en ütünsel en olur. Enk f(x,) = m m w x a = 1 = 1 w Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018 31
3 Maletler uzaklığın kares le orantılı arttığında ugundur. A (X a, X ) ve B (Y a, Y ) noktaları arasındak KUK uzaklığı zleen şeklde hesaplanmaktadır: l (X X (Y Y KUK a a ) ) KUK uzaklık ölçümü çn tek tess erleştrme prolemnn amaç fonksonu Enk f(x,) = m =1 w ((x - a ) ( ) ) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
33 Ağırlık Merkez Prolem f(x,) = w [(x-a ) + (- ) ] Türev sıfıra eştlenrseen İ Çözüm f/x = w (x a ) = 0 f/ = w ( - ) = 0 w x*= w a ve w *= w x* = m 1 m w 1 w a * = m 1 m w 1 w Yen tessn koordnatları, sstemn ağırlık merkezdr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018 X* ve Y*, ağırlıklı ortalamalardır.
34 Enk f(x,) = m =1 w ((x - a ) ( ) ) (x-a ) +(- ), taanı (a, )olan r paraoloddr. Bunun k noktasını rleştren doğru parçası, eğrnn u k nokta arasında kalan kısmının üstünde kalırdişbükey w ler poztftr (x-a ) +(- ) le çarpımları da poztf Toplamları w [(x-a ) + (- ) ] da poztf Yerel En İ Bütünsel En İ Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
35 ÖRNEK: Tompkns et al. 1. 5 5. 6. 4. 4 X* = 5 6 4 8 X* 119 5 4. 76 8. 8 1. 5. 6 8. 4. 4 Y* = 5 6 4 8 Y* 97 5 3. 88 6. 8 en er (4.76, 3.88) Enk Enk f(x*,y*) = w ((4.76 - =1 f(x*,y*) = 17.56 13.64 m a ) (3.88 305. ) ) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018 36
37 A (X a, X ) ve B (Y a, Y ) noktaları arasındak KU uzaklığı zleen şeklde hesaplanmaktadır: l KU (Xa X ) (Ya Y ) KU uzaklık ölçümü çn tek tess erleştrme prolemnn amaç fonksonu Enk f(x,) = m =1 w (x - a ) ( ) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
38 m =1 ) ( ) a (x - w f(x,) = Enk 0 ) ( ) a (x - ) (x - w 1 = / f(x,) 0 ) ( ) a (x - ) a (x - w 1 = x / f(x,) m =1 m =1 m 1 m 1 ) ( ) a (x - w ) ( ) a (x - w.a = x m 1 m 1 ) ( ) a (x - w ) ( ) a (x - w. = Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
39 g (x,) (x - a ) w ( ) olsun. m a.g (x, ) m.g (x, ) x = 1 m g (x, ) = 1 m g (x, ) 1 1 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
40 Bu prolemn çözümü DD ve KUK uzaklıklarına göre daha karmaşıktır ve en çözümü veren r algortma oktur. Kısm türevler sıfıra eştleerek doğrudan ulamadığımız prolemn çözümü, r aşlangıç (x K, K ) noktasından hareketle, ardıştırma olu le ulunalmektedr. Bu şeklde elde edleek çözüm en çözüm olmaaak fakat ene akın olarak kaul ettğmz r çözüm olaaktır. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
41 Üçgen eştszlğ Üçgen eştszlğ adı verlen r ağıntı, kuşuçuşu uzaklık çn r alt ve üst sınır elrlemede kullanılır. (x 0, 0 ) (x*, *) E (x, ) R(x) : KU çn aranan nokta : DD çn ulunan en nokta : KU amaç fonksonunun (x,) de aldığı değer : f 1 (x) (DD uzaklık çn) R() : f () (DD uzaklık çn) E(x*, *) E(x 0, 0 ) R(x*) R(*) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
4 Örnek: Önek örneğmz çn alt ve üst sınırı hesaplaalım. (x*, *)=(5, 4) E(5,4) = 5 =1 w (5 - a ) (4 ) 79.84 R(5) = f 1 (x) 5 =1 w 5 - a 54 R(4) = f 1 () 5 =1 w 4-51 R(x*) R(*) 54 51 74. 7 79. 84 E(x, ) 0 0 74. 7 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
43 Üçgen eştszlğ, ardıştırma apmamıza değer m değmez m sorusuna evap verelr. Euld İk noktaı rleştren en kısa ol r doğrudur. demştr. Her zaman geçerl olmasa da; herkes alışkın olduğu çn, çapraz ollar sözkonusu olaldğnden, r alt sınır vermes açısından, DD r ortam çn KU da le maletler şu kadar oluor, DD da daha fazla olur kıaslamasını apmak v. seeplerden u uzaklık ölçümü kullanılmaktadır. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
44 KU uzaklıklar çn geometrk özel durumlar Ağırlıklar rrne eşt ve 4 nokta varsa, unların ağırlık merkez (kesşm noktası) en çözümü verr. Ağırlıklar rrne eşt ve 3 nokta varsa, en çözüm: Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
45 ÖRNEK: KU uzaklık çn seçenek karşılaştırma Mevut konumları ve ükler ell 4 mevut tesse hzmet götüreek en tess çn 3 ada er elrlenmş olsun. En ugun er ulmak çn, u konumların her r çn kuşuçuşu uzaklığına göre toplam taşıma maletler hesaplanıp karşılaştırması apılır. ADAY TESİS YERİ KONUM S1 (X 1, Y 1 ) (360, 180) S (X, Y ) (40, 450) S3 (X 3, Y 3 ) (50, 400) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
46 C (50, 600) 135 B (100, 500) 105 3 D (500, 300) 60 A (00, 00) 75 1 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
47 S1 çn toplam taşıma malet Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
48 d A = (X a X 1 ) +(Y a Y 1 ) d A = (00 360) +(00 180) = 161. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
49 d A = (00 360) +(00 180) = 161. d B = (100 360) +(500 180) = 41.3 d C = (50 360) +(600 180) = 434. d D = (500 360) +(300 180) = 184.4 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
50 S çn toplam taşıma malet Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
51 d A = (00 40) +(00 450) = 333 d B = (100 40) +(500 450) = 33.9 d C = (50 40) +(600 450) = 6.7 d D = (500 40) +(300 450) = 170 TM = 333 75 + 33.9 105 + 6.7 135 + 170(60) = 99, 789 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
5 S3 çn toplam taşıma malet Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
53 d A = (00 50) +(00 400) = 06. d B = (100 50) +(500 400) = 180.3 d C = (50 50) +(600 400) = 00 d D = (500 50) +(300 400) = 69.3 TM 3 = 06. 75 + 180.3 105 + 00 135 + 69.3(60) = 77,555 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
54 En ugun er S3 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018 55
56 En noktaı ulmanın çözüm çn etersz kaldığı durumlarda, eş malet eğrler çzlerek duarlılık analz apılalr. Tek tess prolemnn çözümü sonuunda, en tessn kurulaağı en nokta, mevut tesslerden rnn üzernde çıkalr. Vea, ol, sütun, çukur g kullanılamaaak r nokta en çözüm olarak ulunalr. Bu durumlarda, en noktanın çevresnn kullanılma mkanı aranaaktır. Maletn en noktadan uzaklaştıkça ne şeklde değşeeğnn araştırılması, r çeşt duarlılık analzdr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
57 Eş malet eğrler / zdüşüm eğrler soost lnes/ ontour lnes Eş malet eğrler, ç çe geçmş kapalı eğrler şeklnde olup, toplam malet k- olan noktaların geometrk erdr. Br aşka deşle, amaç fonksonunun sat r değer çn (x,) noktalarının alaleeğ değerler göstermektedr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Örneğe at toplam malet fonksonu (D/D uzaklık çn) 58 f(x, ) = m m w j=1 x - a w j=1 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Fonksonun eşmalet / zdüşüm eğrler (Statgraphs le çzdrlmş) 59 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
60 Örnek çn MATLAB le çzdrlmş eş-malet eğrler Uzaklık ölçümü dkdoğrusal olduğunda, eşmalet eğrler uç ua eklenmş doğru parçalarından oluşur. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
61 Mevut tesslern ulunduğu noktalardan çzlen ata ve dke çzgler, lglenlen alanı dkdörtgen şeklndek ölgelere aırır. Anı ölgenn çnden geçen tüm eş malet eğrler anı eğme sahptr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
6 Anı eğr üzerndek her noktadak malet anıdır. İç ölgelere grdkçe en çözüme aklaşılır, ç ölgelerden uzaklaştıkça malet artar. En çözümü veren eğr r nokta şeklndedr. Bölee taşıma maletnn değşmn gösteren r harta elde edlmş olur. Bu eğr üzerndek her noktanın erleşm malet=10 dr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
63 Maletn hızlı değştğ (çzgler daha sık) ölgelerde verleek hatalı kararlar, daha üük zararlara ol açaağı çn uralarda dkkatl davranılmalıdır. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Kuşuçuşunun kares uzaklığına göre eşmalet eğrler 64 Eş malet eğrler (X*,Y*)=(4.76, 3.88) noktasını merkez kaul eden eş merkezl çemerlerdr. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Kuşuçuşu uzaklığına göre eşmalet eğrler 65 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018 66
67 Yen tess, sstemdek en uzak tesse le mümkün olduğuna çauk ulaşaak erde konumlandırmak. Br aşka deşle, en tessn erleştrleeğ ere, en uzak kalaak tessn uzaklığının enküçüklenmes sözkonusudur. En uzak tesse ulaşmanın enküçüklenmes. ENK f(x) ENB d(x,p ) 1 m Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
68 ENK f(x) ENB d(x,p ) 1 m Dkdoğrusal uzaklık çn enk f(x,) en 1 m x - a Kuşuçuşu uzaklık çn enk f(x,) en 1 m (x - a ) ( - ) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
69 Kapsaan enküçük çemer prolem m tane nokta var hepsn çne alan en küçük arıçaplı çemer? Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
70 Çemer nedr? Br tess erleştrldğnde, u tessten r uzaklığı çnde erşlelr tüm noktaların geometrk er Kuşuçuşu uzaklık çn, r arıçapındak çemer r r Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
71 Dkdoğrusal uzaklık çn, r arıçapındak çemer r r r Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
7 Thehev uzaklığı çn, r arıçapındak çemer r Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
D/D uzaklık çn EnkEn prolemnn modellenmes 73 m P =(a, ) X=(x, ) d (X, P ) w h : Esk tesslern saısı, :. esk tessn koordnatları, : Yen tessn koordnatları, : Yen tessn. esk tesse uzaklığı, : Ağırlık katsaısı, :. mevut tesse en akın olan hzmet noktasının uzaklığı (sıfır alınalr) Enk f(x) = En { w d (X,P ) h } Enk f(x)= En { w ( x a ) h } Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
74 Örnek: Mevut hastane ve en fazla kaza olan trafk noktalarına göre, Hızır Al Servs noktasının er seçm (D/D uzaklık) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Enk f(x)= En { w ( x a ) h } Bunun eşdeğer: 75 w [ x - a + - ] + h z =1,,,m k.a. Enk z Vea tüm w ler poztf kaul edlerek, x - a + - (z - h )/ w =1,,,m k.a. Enk z Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
76 Modeln doğrusallaştırılması Genelde w ler eşt ve 1, h değerler de sıfır kaul edlr. Doğrusallaştırırken ağırlıkların =1 olduğunu varsaalım. x a z h 1,,..., m k.a. ENK z Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
77 h z a x (4) h z a x (3) h z x a () h z x a (1) h z a x Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
78 Doğrusal karar model ENK Z k.a. m 1,,...,, h a z x m 1,,...,, h a z x m 1,,...,, h a z x m 1,,...,, h a z x Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
79 4xm kısıt erne 4 kısıta ndrgeelrz. ENK Z k.a. h a z x h a z x h a z x h a z x ENK Z k.a. } h a en{ z x } h a enk{ z x } h en{a z x } h enk{a z x Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
80 ENK Z k.a. (4) z x (3) z x () z x (1) z x 4 3 1 ENK Z k.a. h } a en{ z x h } a enk{ z x h } en{a z x h } enk{a z x h } a en{ h } a enk{ h } en{a h } enk{a 4 3 1 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
81 z }, en{ ENK Z k.a. ) ( z z x z x ) ( z z x z - x 5 3 4 1 5 3 4 4 3 1 1 ENK Z k.a. (4) z x (3) z x () z x (1) z x 4 3 1 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
8 x çn alt ve üst sınır x x z z x z x z k.a. 1 4 3 (1) () (3) (4) ENK Z 1 den 3 ü çıkarırsak den 4 ü çıkarırsak, 1 x (1 3) 1 x ( 4) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
83 çn üst ve alt sınır x x z z x z x z k.a. 1 4 3 (1) () (3) (4) ENK Z Benzer şeklde 1 ve 3 ü toplarsak, ve 4 ü toplarsak, 1 (1 3 5) 1 ( 4 5) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
84 En çözüm algortması Prolem versnden 1,, 3 ve 4 hesaplanır. h } a en{ h } a enk{ h } en{a h } enk{a 4 3 1 5 3 4 1 5 z }, en{ Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
85 1 ( x1, 1) (1 3; 1 3 5) 1 ( x, ) ( 4; 4 5) En çözüm (x 1, 1 ) ve (x, ) noktalarını rleştren doğru parçası üzerndek herhang r noktadır. Bu öntem ağırlıklar eşt ve r e eşt olduğunda kullanalrz. Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
86 ÖRNEK: Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
87 a a + -a + 1 1 1 0 1 3 4 enk{a en{a enk{ a en{ a h } h } h } h } 5 7-3 3 8 10 6 4 4 4 8 0 5 8 6 14-1 =Enk {, 7, 10, 8, 14 } = =En {, 7, 10, 8, 14 } =14 3 =Enk {0, -3, 6, 0, - } = -3 4 =En {0, -3, 6, 0, - } = 6 5 =En { 14-, 6-(-3) } =1 En uzaklık = 5 / =1 /=6 (x 1, 1 )=(.5, 5.5) ve (x, )=(4, 4) Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018 88
89 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
90 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
91 Eş malet eğrs nasıl çzlr? (Enken çn) Verlen r z değerne göre eş malet eğrs çzlmek stenrse, zleen eştszlkler kullanılır. Çzlen alanın sınırları z maletne (uzaklığına) sahp noktaları verr. z - x z x z - x z x 4 3 1 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018
9 Örnek: z=8 olan eş malet eğrs x 10 x 6 x 5 x - z=8 Doç. Dr. Nl Aras, ENM411, 018