SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4 belirsiz integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 4. cos sin ln (sin ) belirsiz integralini bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 5. Aşa¼g daki integralleri hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. Z +cos Z 4 e 6. f () = 7. 8. 9. Z 3+ Cevab n z n aşa- malar n belirtiniz. Z b sin t 4 dt fonksiyonunun türevini bulunuz. a integralleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. Z Z. lim + integralini maksimum yaan a ve b reel de¼gerleraşa¼g daki belirsiz integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. + cos + + 4 belirsiz integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. np n! k= n 3 limitini hesalay n z. (n + k)
. Aşa¼g da verilen fonksiyonlar n belirtilen aral klardaki ortalama de¼gerini bulunuz. f() = 4, [; ] f() =, [; 4] f() = sin, ;. Kalkülüsün Temel Teoremini kullanarak verilen fonksiyonlar n türevini hesalay n z. 3. f() = (t + ) 7 dt f() = (t + t )dt f() = + t3 dt f() = sin (t + ) 3 dt = = ifadesi do¼gru mudur? Bu durum Kalkülüsün Temel Teoremi ile çelişir mi? Neden? Integrant n gra ¼gini çiziniz ve bu durumu yorumlay n z. 4. lim n! n X i= i limitini bir integralin de¼geri oldu¼gu fark na vararak hesalay n z. n 5. Yar ça 3 birim olan küre merkezinden birim uzakl kta bir düzlemle kesiliyor. Dairesel dik kesitin alan n n ortalama de¼gerini bulunuz. 6. kk integralini hesalay n z. Buradan f() = kk fonksiyonunun [; ] aral ¼g ndaki y ortalama de¼gerini bulunuz. [; ] aral ¼g nda f() = y eşitli¼gini sa¼glayan bir noktas var m d r? 7. 3 + integraline alt ve üst s n r bulunuz. 8. Aşa¼g daki integralleri hesalay n z. ( e ) 4 + 4 +cos cos 9. f(t) = t +u 4 u du ve F () = f() ise F () yi hesalay n z.
. [ ; ] aral ¼g nda f() = 4 fonksiyonunun ortalam de¼gerini bulunuz. (Belirli integrali alan gibi yorumlayarak hesalay n z). f(t)dt = cos ise f(4) nedir?. f türevlenebilen bir fonksiyon, f = = 4 ve y = tolam n n = =4 noktas ndaki de¼gerini bulunuz. 3. integralini hesalay n z. ( + 3= ) cos n integraline indirgeme formülü bu- n ozitif tamsay olsun. lunuz. (a) ş kk ndaki indirgeme formülünü kullanarak sin f (t) dt ise y + y = cos 3 = 3 hesalay n z. 4. f () = cos, f = 6 ve f 3 3= = ise f () integralini hesalay n z. = 5. 9 6 integralini hesalay n z. 6. Aşa¼g daki integralleri belirli integral tan m n kullanarak hesalay n z e ( 3 ) 7. Aşa¼g daki belirsiz integralleri hesalay n z. 4 + a + a 3 4 + + 6 + e ( + ) 4 3
sin sin 4 + e cos + cos tan sin sin + cos 8. Aşa¼g daki belirli integralleri hesalay n z. 6 tan 3 6 4 + kk ( ) e sin(ln ) 9. ( + 3) 4 integralini iki integralin tolam biçiminde yazarak ve integrallerden birini alan olarak yorumlayarak hesalay n z. 3. 4 integralini, de¼gişken de¼gişikli¼gi yaarak ve ç kan integrali alan olarak yorumlayarak hesalay n z. 3. f sürekli ve 4 f() = ise f() integralini hesalay n z. 3. f sürekli ve 9 f() = 4 ise 3 f( ) integralini hesalay n z. 33. f sürekli bir fonksiyon olmak üzere Z a f() f() + f(a ) integralini hesalay n z. Bundan yararlanarak Z 3 3 3 + ; Z 3 sin 3 sin + 3 cos integrallerini hesalayn 34. Aşa¼g daki integralleri hesalay n z 4
3 kk 3 3 3 + +4 sin q ( ) 8 3 ( ) 8 sin +sin ln( + + ) 8 < j j ; 35. f() = : jj ; < ise f() =? 36. f(t)dt = ise f() =? 37. f(t)dt = cos ise f(4) =? 38. f() t dt = cos ise f(4) =? 39. Sürekli türeve sahi f fonksiyonu için f() = f () f() e =? 4. lim n! e n ln n Y k= +! k(e ) n =? ve f() = e oldu¼guna göre 3 sin t 4. lim! 3 +h 4. lim h! h t dt =? dt ln t =? d ln 43. f(t)dt = ise f() =? 44. Aşa¼g daki integralleri hesalay n z 3 + ( +)(+) ln(+) + ln (+ ) cos cos (+)e 5
4 ln(sec + tan ) 4 45. Türevi kendisinin iki kat na eşit olan ozitif bir f fonksiyonu için f() = oldu¼gu biliniyor. f() nedir bulunuz. 46. Her noktas ndaki e¼gimi, o noktan n asisi ile ordinat çar m na eşit olan ve (; ) noktas ndan geçen e¼grinin denklemimi bulunuz. 47. f() = e (+) fonksiyonunun [; ] aral ¼g ndaki ortalama de¼gerini bulunuz. Bu aral kta f alt ndaki görüntüsü f nin ortalama de¼gerine eşit olan bir nokta var m d r? Neden? 48. Aşa¼g daki fonksiyonlarn [ 3; 3] aral ¼g ndaki ortalama de¼gerini bulunuz. Bu aral kta f alt ndaki görüntüsü f nin ortalama de¼gerine eşit olan bir nokta var m d r? 8 < ; 3 < f() = : + ; 3 8 < ; 3 < f() = : ; = + ; < 3 49. n bir do¼gal say olmak üzere n kk integralini hesalay n z. 5. f() = sin t t dt olsun. (f Elektirik mühendisli¼ginde önemli bir fonksiyon- f() ve lim! limitlerini f() dur ve k saca Si ile gösterilir.) lim! bulunuz. + t4 dt ile verilen e¼grinin = asisli noktas ndaki te¼getinin 5. f() = denklemini bulunuz. 5. y =, y = e¼grileri ile y = do¼grusu aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 53. y = + ve y = + e¼grileri taraf ndan s n rlanan bölgenin -ekseni etraf nda döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulunuz. 54. y = 8 + ln e¼grisinin = ve = 4 asisli noktalar aras nda kalan arças n n uzunlu¼gunu bulunuz. 55. Denklemi = y; y olan e¼gri arças n n y-ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan yüzeyin alan n bulunuz. 56. y = 3 9 e¼grisi ile y = 7 do¼grusu aras nda kalan bölgenin alan n hesalay n z. 57. y = e e¼grisi ile bu e¼griye(; e) noktas nda te¼get olan do¼gru ve y- ekseni aras nda kalan bölge y- ekseni etraf nda döndürülüyor. Oluşan cismin hacmini hesalay n z. 6
58. Birinci bölgede y = sin ve y = cos e¼grileri ile = do¼grusu aras nda kalan bölge - ekseni etraf nda döndürülüyor. Oluşan cismin hacmini hesalay n z. 59. y = e¼grisinin = ve = asisli noktalar aras nda kalan arças n n uzunlu¼gunu hesalay n z. 6. cos (sin +cos ) 3 integralini hesalay n z. 6. kk cos integralini hesalay n z. 6. y = ve y = do¼grular ile y = arabolü aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 63. y = 3 3 e¼grisi ile bu e¼griye ( ; ) noktas nda te¼get olan do¼gru aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 64. y = + ve y = do¼grular ile y = 4 e¼grisi aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 65. y = e¼grisi ile bu e¼griye (; 4) noktas nda te¼get olan do¼gru ve - ekseni aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 66. y = + do¼grusu ile = y e¼grisi aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 67. y = 9 3 e¼grisi ile bu e¼griye ( ; 8) noktas nda te¼get olan do¼gru aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 68. y = ln e¼grisi ile = ; y = ve y = do¼grular aras nda kalan bölgenin alan n hesalay n z. 69. y = ve y = e¼grileri aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. + 7. = y e¼grisi, y+ = 3 do¼grusu ve y-ekseni kalan bölge y-ekseni etraf nda döndürülüyor. Meydana gelen dönel cismin hacmini bulunuz. 7. y = 3 3 + denklemi ile verilen e¼grinin = ve = 3 asisli noktalar 4 aras nda kalan arças n n uzunlu¼gunu bulunuz. 7. y = + ve y = 3 e¼grileri aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 73. y = e¼grisi, y+ = 3 do¼grusu ve -ekseni aras nda kalan bölge -ekseni etraf nda döndürülüyor. Meydana gelen dönel cismin hacmini bulunuz. 74. y = 3 + denklemi ile verilen e¼grinin = ve = asisli noktalar aras nda kalan arças n n uzunlu¼gunu bulunuz. 7
75. y = ln e¼grisi, bu e¼griye (e; ) noktas nda çizilen te¼get ve y = do¼grusu aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 76. y = e e¼grisi, bu e¼griye (; e) noktas nda çizilen te¼get ve = do¼grusu aras nda kalan bölge y-ekseni etraf nda döndürülüyor. Meydana gelen dönel cismin hacmini bulunuz. 77. y = e e¼grisi, bu e¼griye (; e) noktas nda çizilen te¼get ve = do¼grusu aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 78. y = ln e¼grisi, bu e¼griye (e; ) noktas nda çizilen te¼get ve y = do¼grusu aras nda kalan bölge -ekseni etraf nda döndürülüyor. Meydana gelen dönel cismin hacmini bulunuz. 79. y = c ve y = c arabolleri aras nda kalan alan 576 yaan c de¼gerini bulunuz. 8. y = e¼grisi ile y = 4 do¼grusu aras nda kalan bölge y = b do¼grusu ile ikiye bölünmüştür. Iki bölümün alanlar n n eşit olmas için b de¼geri ne olmal d r. 8. y = 4 e¼grisinin alt nda kalan alan = a do¼grusu ile iki eşit arçaya bölünmüştür. a de¼gerini bulunuz. 8. Bir önceki sorudaki alan y = b do¼grusu ile iki eşit arçaya bölünmüstür. b de¼gerini bulunuz. 83. Taban, dik kenarlar b ve b olan bir dikdörtgen ve yüksekli¼gi h olan iramidin hacmini bulunuz. 84. ( ) + y 4 = elisinin -ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini ve yüzey alan n bulunuz. 85. y = 4 ve y = e¼grileri aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 86. y =, y = ; = ve = 3 ile s n rl bölgenin y = do¼grusu etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 87. y = ve y = ile s n rl bölgenin = do¼grusu etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 88. Birinci bölgede = 4y ve y = 3 ile s n rl bölgenin = 8 do¼grusu etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. Ayn bölgenin y = do¼grusu etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 89. S cisminin taban, yar ça r olan bir dairedir. Tabana dik olan aralel kesitler, yüksekli¼gi h olan ve farkl kenar tabanda olan ikizkenar üçgenlerdir. S nin hacmini bulunuz. 9. S cisminin taban yar ça r olan bir dairedir. Tabana dik olan aralel kesitler karedir. S nin hacmini bulunuz. 8
9. y = 3 e¼grisi ile bu e¼griye = asisli noktadan çizilen te¼get do¼gru aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 9. y = + 3 arabolü, bu arabole ( ; 3) noktas ndan çizilen te¼get ve y-ekseni aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz. 93. + y =, = ve y = ile s n rl bölgenin -ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 94. y = ; y = ve = ile s n rl bölgenin, (a) -ekseni, (b) y-ekseni, (c) y = do¼grusu, (d) = 4 do¼grusu etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 95. y = ; y = ve = ile s n rl bölgenin, (a) = do¼grusu, (b) = do¼grusu etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 96. y = + e¼grisi ile bu e¼griye = asisli noktas ndan çizilen te¼get ve = do¼grusu aras nda kalan bölgenin y = ve = ile s n rl bölgenin, (a) -ekseni, (b) y-ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 97. y =, y = 4, = ve = ile s n rl bölgenin y-ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 98. y = 3 arabolu, y = 3 do¼grusu ve y-ekseni taraf ndan s n rlanan bölge y-ekseni etraf nda döndürülüyor. Oluşan cismin hacmini (a) Disk yöntemi, (b) Silindirik kabuk yöntemi ile hesalay n z. 99. y = 3 ( + ) 3 e¼grisinin = ve = asisli noktalar aras nda kalan arças n n uzunlu¼gunu bulunuz.. + (y ) = çemberinin -ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin yüzey alan n bulunuz.. y = cosh,, e¼gri arças n n -ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin yüzey alan n bulunuz.. y = sin,, e¼gri arças n n -ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin yüzey alan n bulunuz. 3. Taban yar ça r, yüksekli¼gi h olan dairesel koninin yanal yüzey alan n n r r + h oldu¼gunu gösteriniz. 4. e = oldu¼gu biliniyor. ( ), ( 3 ), ( 5 ) ifadelerini hesalay n z. 5. fonksiyonu yard m yla (a) e 3, (b) e, (c) integrallerini hesalay n z. ln 6. Birinci bölgede y = e e¼grisi ile -ekseni aras nda kalan bölgenin (a) alan n, (b) -ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz. 9
7. 4 8. + e 6 integralini hesalay n z. integralini hesalay n z. 9. için -ekseni ile (a) y = e¼grisi, (b) y = e¼grisi aras nda kalan bölgenin alan n hesalay n z. (a) da belirtilen bölgenin -ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin yüzey alan n bulunuz... integralinin yak nsakl ¼g n nin durumlar na göre irdeleyiniz. ln ; 3. f sürekli ve her için ise f() i bulunuz. 3 ( ) ve Z + integrallerini hesalay n z. f(t)dt = e + Z e t f(t)dt 3. f fonksiyonu [; ) aral ¼g nda sürekli ve lim! f() = ise f () = f() oldu¼gunu göstriniz. 4. lim!3 3 3 sin t t dt limitini hesalay n z. 5. Aşa¼g daki integrallerin bir genelleştirilmiş integral olu olmad ¼g n belirleyiniz. Integrallerin yak nsak olu olmad ¼g n araşt r n z. Yak nsak olanlar n (mümkünse) de¼gerini bulunuz. 3 e sin arcsin + 4 6. a n n hangi de¼geri veya de¼gerleri için Z a + integrali yak nsakt r. Karş l k gelen integral(ler)i hesalay n z. 7. Her > için G() = e t dt olsun. G() = oldu¼gunu gösteriniz.
8. Birinci bölgede koordinat eksenleri ve y = ln e¼grisi aras nda kalan sonsuz bölge bir cisim oluşturmak için -ekseni etraf nda döndürülüyor. Oluşan cismin hacmini bulunuz. 9. Aşa¼g daki integralleri hesalay n z. =3 v v dv ( +) + + ( +)(+arctan ) e jj ln ( +4) 3= s+ ds 4 s ( ln ) ln te t dt e sin e cos e +e. Aşa¼g daki integrallerin yak nsak olu olmad ¼g n testleri kullanarak belirleyeniz. tan d sin ln e = cos ( ) =3 d +sin
dt t sin t ( Iucu: t için t sin t) ln jj +cos +sin e +e sin +cos cos h sin + i. [ ; ] aral ¼g üzerinde y = + bölgeyi göz önüne alal m. Bölgenin sonlu alana sahi oldu¼gunu gösteriniz. ve y = n gra kleri ile s n rlanan Bölgenin -ekseni etraf nda döndürülmesiyle meydana gelen dönel cismin sonsuz hacme sahi oldu¼gunu gösteriniz.. f ve g nin sürekli oldu¼gunu ve a için f() g() oldu¼gunu kabul edelim. E¼ger a g() yak nsak ise bu durumda f() de a yak nsakt r. E¼ger a f() raksak ise g() de raksakt r. Aşa¼g da a verilen integrallerin yak nsak veya raksak olu olmad ¼g n göstermek için bu sonucu kullan n z. sin +e 3 +4 e +e e 3. y = e (+), y = e (+) ve = aras nda kalan bölge = do¼grusu etraf nda döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmini bulunuz. 4. y = e, y = e ve y-ekseni aras nda kalan bölge y-ekseni etraf nda döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmini bulunuz. 5. y = 3 + ile y = 3 + aras nda kalan bölge y-ekseni etraf nda döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmini bulunuz. 6. Aşa¼g daki integrallerin karakterlerini araşt r n z. cos 4 + ++
4 4 5 3 3 4 4 (+) 3 sin cos cos (+) 4 5 ( 3) 3 4 (6 +3) ln ( 3 +) ln(+) ( 3) =3 5 7. + integralinin raksak odu¼gunu ve dolay s yla + integralinin de raksak oldu¼gunu gösteriniz. Sonra oldu¼gunu gösteriniz. Z b lim b! b + = 8. Birinci bölgede y = e ile -ekseni aras nda kalan bölgenin alan n bulunuz y-ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz -ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz 9. y = sec ve y = tan aras nda = dan = ye kadar olan bölgenin alan n bulunuz -ekseni etraf nda döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulunuz 3. Aşa¼g daki integralleri yak nsak yaan C sabitini bulunuz. Bu C sabiti için integralleri hesalay n z. C +4 + C + 3+ 3. a jf()j yak ns yorsa f() integraline mutlak yak nsakt r denir. a E¼ger a f() yak nsak fakat a jf()j raksak ise f() integraline şartl yak nsakt r denir. a cos + integralinin mutlak yak nsak oldu¼gunu gösteriniz. 3
3. sin integralinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz. 33. e integralinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz. 34. cos integralinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz. 35. n e integrali n > için yak nsak n için raksakt r, göstriniz. 36. ln(sin ) = ln eşitli¼ginin sa¼gland ¼g n göstriniz. 37. Gama fonksiyonu yard m yla aşa¼g daki integralleri hesalay n z. 3 e = 6 6 e = 45 8 e 3 = 3 3 4 = 4 ln 3 ln = 4 e 4