Bölüm 2: Kuvvet Vektörleri Mühendislik Mekaniği: Statik
Hedefler Kuvvetleri toplama, bileşenlerini ve bileşke kuvvetlerini Paralelogram Kuralı kullanarak belirleme. Diktörtgen (Cartesian) koordinat sistemi ile kuvvet ve yön belirleme ve herhangi bir vektörün büyüklüğü ile doğrultusunun bulunması.
Bölüm Öğrenme Çıktıları Skaler ve Vektör Vektör İşlemleri Vektör Kuvvetlerinde Toplama Düzlem Sisteminde Kuvvetlerin Toplamı
Bölüm Öğrenme Çıktıları Dik Bileşenli Vektörler Dik Bileşenli Vektörlerde Toplama ve Çıkarma Birim Vektörleri Aynı Etki Çizgisi üzerindeki Kuvvet Vektörleri
Skalerler ve Vektörler Sayı Herhangi artı veya eksi değer. Ör: 5, -3.07, π... Skaler Ölçü birimi ile birlikte ifade edilen herhangi artı veya eksi bir büyüklük (sayı). Ör: kütle (5.1 kg), hacim (0.028 m 3 )...
Skalerler ve Vektörler Vektör Sayı, ölçü birimi ve yön ifade eden herşey. (ölçü birimi ve yönü olan herangi bir sayı) Ör: Uzaklık (3.4 km Kuzey), Kuvvet (8.73 N sağ tarafta),... Üzerinde ok olan büyük harf A veya sadece kalın büyük harf ile ifade edilir A. Boyutu veya basitce A ile ifade edilir. A Bu derste, vektör A ile büyük de (artı değer olarak) A ile ifade edilecektir.
Sayılar, Skalerler ve Vektörler Karakteristiği Sayılar Skalerler Vektörler DEĞER (ARTI VEYA EKSİ) DEĞER (ARTI VEYA EKSİ) & ÖLÇÜ BİRİMİ (her ikisine birden BÜYÜKLÜK denir) DEĞER (ARTI VEYA EKSİ) ÖLÇÜ BİRİMİ (her ikisine birden BÜYÜKLÜK denir) & YÖN Örnek 5 5 m/s 5 m/s yukarı Uygulama Manasız kütle, sürat, hacim, zaman hız, ivme, kuvvet Toplama Kuralı Basit Aritmetik Basit Aritmetik Paralelogram Kuralı Özel İşaret Yok Yok Üzerinde ok çizgisi olan veya kalın yazılmış büyük harf
Skalerler ve Vektörler Vektör Grafiksel olarak ok çizgisi ile ifade edilirler Okun Uzunluğu = Vektörün Büyüklüğüne Referans ekseni ile ok çizgisi arasındaki açı = Vektörün doğrultu çizgisini Okun başı (ucu) = Vektörün yönünü Doğrultu çizgisi Okun başı (ucu) Okun sonu
Örnek Skalerler ve Vektörler Vektörel Büyüklük = 4 birim Vektörel Doğrultu = 20 ölçüm yatay eksenden saatin ters yönüne doğru ölçülerek belirlendi Vektörel Yön = Yukarı ve sağa taraf O noktasına vektör okunun sonu ve P noktasına vektör okunun başı veya ucu denir. Okun sonu Doğrultu çizgisi Okun başı (ucu)
Vektörel İşlemler Vektörün Skaler ile Çarpımı veya Bölümü - Vektör A nın skaler a ile çarpımı = aa - Büyüklüğü = aa - Eğer a değeri artı (+)ise, aa nın yönü A vektörünün yönü ile aynı yönde - Eğer a değeri eksi (-)ise, aa nın yönü A vektörünün yönüne terstir A vektörü ve A vektörü
Vektörel İşlemler Vektörün Skaler ile Çarpımı veya Bölümü - Bir vektörün negatifi o vektörün ( -1 ) ile çarpımından elde edilir. - Çarpım kuralı uygulanır Ör: A/a = ( 1/a ) A, eğer a 0 Vektörün skaler ile çarpımı ve bölümü
Vektörel Toplama Vektörel İşlemler A ve B olarak verilen iki vektörün bileşke vektörü R paralelogram kuralı ile bulunur. Yöntem: Ok ile ifade edilen kuvvetler, ortak ölçekte değerlendirilerek okların sonları bir noktada birleştirilip paralelogram oluşturulmaya çalışılır. Bileşke iki okun birleştirildiği nokta ile o noktanın diyagonalındaki (karşı köşesindeki) noktanın birleştirimesiyle elde edilir.
Vektörel İşlemler Bileşke R üçgen oluşturularak da bulunabilinir. Yöntem: Ok ile ifade edilen kuvvetler, ortak ölçekte değerlendirilerek oklar arka arkaya birinin ucu diğerinin sonuna eklenerek oluşturulur. Bileşke de birinci okun sonu ile eklenmiş okun başının birleştirilmesinden elde edilir. Yer Değiştime Kuralına uyar Ör: R = A + B = B + A
Vektörel İşlemler Vektörel Toplama Paralelogram Kuralı Üçgen Oluşturma Paralelogram kuralı Üçgen oluşturma Üçgen oluşturma
Vektörel İşlemler Vektörel Toplama Özel durum: Eğer A ve B vektörleri kolineer (her ikisi de aynı doğrultu çizgisinde) ise yani üçgen bir şekil oluşmazsa o zaman basit aritmetik kuralı uygulanır. Kolineer vektörlerin toplamı
Vektörel İşlemler Vektörel Çıkarma Toplama işleminin özel bir durumudur. Ör: R = A B = A + ( - B ) Vektörel Toplama Kuralları Uygulanır Paralelogram kuralı Üçgen oluşturma
Vektör Bileşenleri Vektörel İşlemler Herhangi bir vektör paralelogram kuralına göre iki bileşene ayrıştırılabilinir. Bu iki bileşke A ve B vektörlerinin sonları R vektörünün sonu uzatılarak elde edilir. Bileşke R vektörünün ucuna paralel çizgiler çizerek bileşenler oluşturulur. Bileşenler
Vektör İşlemleri Vektörü bileşenlerine ayırmak paralelogram kuralının tersini uygulamak demektir. Bileşke R vektörünün ucuna paralel çizgiler çizerek bileşenler oluşturulur. Bileşenler
Vektör İşlemleri Örnek: p ve q eksenleri birbirlerine dik değildir. Eğer 365 N kuvvetin pp eksenindeki bileşke kuvveti 237.5 N ise, qq ekseninde oluşan diğer bileşke kuvveti ile bilinmeyen β açısını bulunuz. q p 365 N 38.5 β Sinüs Kuralı p Kosinüs Kuralı q
Vektör İşlemleri Çözüm: p ve q eksenleri birbirlerine dik değildir. Eğer 365 N kuvvetin pp eksenindeki bileşke kuvveti 237.5 N ise, qq ekseninde oluşan diğer bileşke kuvveti ile bilinmeyen β açısını bulunuz. Paralelogram veya üçgen oluştur. Verilenler: Bileşke kuvvet ile pp eksenindeki bileşen. q p 38.5 β Sinüs Kuralı Kosinüs Kuralı p q
Vektör İşlemleri Çözüm: p ve q eksenleri birbirlerine dik değildir. Eğer 365 N kuvvetin pp eksenindeki bileşke kuvveti 237.5 N ise, qq ekseninde oluşan diğer bileşke kuvveti ile bilinmeyen β açısını bulunuz. Paralelogram veya üçgen oluştur. Verilenler: Bileşke kuvvet ile pp eksenindeki bileşen. q p 38.5 β Sinüs Kuralı 38.5 Kosinüs Kuralı p q
Vektör İşlemleri Çözüm: p ve q eksenleri birbirlerine dik değildir. Eğer 365 N kuvvetin pp eksenindeki bileşke kuvveti 237.5 N ise, qq ekseninde oluşan diğer bileşke kuvveti ile bilinmeyen β açısını bulunuz. Paralelogram veya üçgen oluştur. Verilenler: Bileşke kuvvet ile pp eksenindeki bileşen. q p 38.5 β β Sinüs Kuralı 38.5 Kosinüs Kuralı p q
Vector Operations Solution: 55use sine rule (237.5/ sinβ) = 365/sin38.5 q sinβ = 0.405 p 38.5 β β 38.5 β = 23.895 Angle c = 180-38.5-23.895 Use cosine rule p C = (365) 2 + (237.5) 2-2 ( 237.5) (365) cos 117.605 = 519.585 N q
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Metot 1: Paralelogram Kuralı graphical method Metot 2: Trigonometri Sinüs Kuralı Kosinüs Kuralı
F R = ( F 1 + F 2 ) + F 3 den oluşur Kuvvetlerin Vektörel Toplamı İki veya daha fazla kuvvetin toplanıp bileşkesinin bulunabilmesi için ardışık paralelogram kuralının uygulanmasını gerektirir. Ör: O noktasında bulunan F 1, F 2 ve F 3 kuvvetlerinin bileşkesi için - İlk, F 1 + F 2 bileşkesi - Toplam bileşke de,
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Analiz Paralelogram Kuralı Uygulaması - Paralelogram kuralı kullanılarak diyagramı (skeçi) çiz. - İki bileşen kuvvetinin toplamı bileşke kuvvetini oluşturur. - Bileşke kuvveti paralelogramın diyagonal idir. - Bileşenleri ise paralelogram ın kenarlarıdır.
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı 1- Paralelogram Kuralı Uygulaması - Kuvvetin bileşenlerini bulmak için paralelogramın herhangi bir köşesini oluşturan iki yan kenarı, iki eksen olarak değerlendir ve bileşenleri bulunacak olan ok şeklindeki kuvvet vektörünün sonu ile örtüştür, - Bu okun ucunu esas alarak paralel çizgiler üret, - Tüm bilinen ve bilinmeyen büyükleri ve açıları isimlendir, - Bilinmeyen iki bileşeni hesapla.
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı 2- Trigonometeri yöntemi - Paralelogramın yarısını (üçgeni) çiz - Bileşke kuvvet Büyüklüğü için KOSİNÜS (COSINE) kuralı - Bileşke kuvvet Doğrultu açısı için SİNÜS (SINE) kuralı
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı ileşke kuvvet Büyüklüğü için KOSİNÜS (COSINE) kuralı ileşke kuvvet Doğrultu Açısı için SİNÜS (SINE) kuralı Sinüs Kuralı Kosinüs Kuralı
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Örnek: Şekildeki çengele iki kuvvet etki etmektedir. Kuvvet F 1 ve kuvvet F 2. Bileşke kuvvetinin büyüklüğünü ve doğrultu açısını bulunuz?
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Çözüm I Paralelogram Kuralı Bilinmeyenler: F R büyüklüğü ve θ açısı.
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı F R = Bileşke kuvvetinin büyüklüğü (kosinüs kuralı ile) θ= açı (sinüs kuralı ile) ϕ = bileşke kuvvet açısı = θ +15.0000 Paralelogramın yarısı
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Çözüm II Trigonometri Kosinüs kuralı F R 2 2 100 N 150 N 2 100 N 150 N 10000 22500 30000 0.4226 212.552 N cos115
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Çözüm II Trigonometri Sinüs Kuralı 150N 212.552N sin θ sin115 150 N sin θ 0.9063 212.552 N θ 39.7613
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Çözüm II Trigonometri Φ açısı yatay eksen baz alınarak ϕ 39.7613 15 54.7613
Ayni noktadan geçen : 2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı F R F
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Dikdörtgenal Eksende Vektör Notasyonu - Dikdörtgenel eksende birim vektörleri i ve j harf sembolleri kullanılır ve sırası ile x ve y eksenlerini ifade ederler. - i ve j birim vektörleri boyutsuzdurlar ve büyüklükleri bir birimdir ( = 1 ) Büyüklük = 1
Dikdörtgenel Eksendeki Vektör Notasyonu 2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı F = F x i + F y j F = F x i + F y (-j) F = F x i F y j
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Vektörleri x ve y eksenlerini kullanarak bileşenlerine ayır. Vektörün her bileşeni büyüklük ve doğrultu dan oluşur. Yönler ise x ve y eksenlerince belirlenir. Birim vektörler i ve j harfleri ile sembolize edilirler ve sırası ile x ve y eksenlerini ifade ederler. x ve y eksenleri herzaman birbirlerine diktir (90 ). Birlikte kullanıldıklarında herhangi eğimli bir çizgiyi ifade ederler. F = F x i + F y j
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi Vektör bileşenleri birim vektörlerle skaler büyüklüğün çapımından oluşur.. F x ve F y F F F x i F y j vektörünün skaler bileşkeleridir. Büyüklük = 1
Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi İki veya daha çok Kuvvetin Bileşkesi: Verilen her kuvveti istenilen eksenlerdeki bileşenlere ayır; Bezer bileşenleri cebirsel topla, Bileşkeyi elde et. 2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi Ayni düzlemdeki birçok, 2 boyutlu, kuvvetin bileşkesi: - Her kuvvetin bileşenleri x ve y ekseni için bul, - Ayni bileşen skaler gruplarını cebirsel topla - Bileşke kuvveti ise paralelogram kuramı ile bulunur.
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi - Positif (artı) skaler = ok yönü positif (artı) eksen yönü ile örtüşen, - Negatif (eksi) skaler = ok yönü negatif (eksi) eksen yönü ile örtüşen - F R (bileşke) büyüklüğü ise Pisagor Bağıntısından hesaplanır. F R F 2 Rx F 2 Ry
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi - Bileşkenin x-ekseni ile saatin ters yönüne doğru yapmış olduğu açı (bileşkenin eğimi) θ trigonometri ile hesaplanır. tan 1 F F Ry Rx Kuvvetlerin toplamı okların birinin uçuna diğerinin başı eklenerek poligon oluşturularak bulunur.
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Örnek: Ayni düzlemdeki 3 kuvveti toplayınız?
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Dikdörtgenel Eksen Metotu (3 aşamalı çözüm) Aşama 1: her kuvveti x-y bileşenlerine ayır, Aşama 2: tüm x bileşenleri ayrı ve tüm y bileşenleri ayrı TOPLA Bu iki toplanmış bileşen bileşke vektörüdür, Aşama 3: bileşke vektörünün büyüklük ve açısını bul.
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Örnek: Ayni düzlemdeki 3 kuvveti toplayınız? Aşama 1: Dikdörtgenel notasyonda F 1 = F 1x i + F 1y j F 2 = - F 2x i + F 2y j F 3 = F 3x i F 3y j
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Aşama 2: Vektörel bileşke F R = F 1 + F 2 + F 3 = F 1x i + F 1y j - F 2x i + F 2y j + F 3x i F 3y j = (F 1x - F 2x + F 3x )i + (F 1y + F 2y F 3y )j = (F Rx )i + (F Ry )j
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Ayni Düzlemdeki Kuvvetlerin Bileşkesi F Rx = (F 1x - F 2x + F 3x ) F Ry = (F 1y + F 2y F 3y ) F Rx = F x F Ry = F y * Kullanılan + ve işaretlerine dikkat et...
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Aşama 3: Bileşke vektörünün büyüklük ve x- ekseninden saatin ters yönüne ölçülen açısı. Scalar Notation: F R F 2 Rx F 2 Ry tan 1 F Ry F Rx
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı 2 Boyutlu Kuvvetin Bileşenlerini bulmak için 3 farklı yöntemle de kullanılabilinir: 1- Vektör ile herhangi bir eksen arasındaki AÇI θ ile ifade. (Her zaman açı hangi eksen baz alınarak verilmişse, bileşen o eksenin Kosinüsü ile ifade edilir). 9 birim
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı 2- Vektör dik üçgenin değerleri bilinen kenarları yardımı ile ifade edilir. 7 birim
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı 3- Vektör koordinatlar veya uzunluklar yardımı ile ifade edilir. (18. 10) 10 cm (0, 0) 18 cm
Örnek: 2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Mile bağlı bir kaldıracın ucu olan O noktasına ayni düzlemde ve ayni noktadan geçen 2 boyutlu, 3 kuvvet etki etmektedir. Bileşke kuvvetinin: büyüklüğünü, etki çizgisini ve yönünü bulunuz? 3 35
Çözüm: 2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı 35 F F Rx Rx Σ F x : 400N 250 sin35 416.606 N N 4 200 N 5 F Ry Σ F y : 324.788 N F Ry 250cos35 324.788 N N 3 200 N 5 416.606 N
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Bileşke kuvveti (vektörel toplama): F R 2 416.606 N 324.788 N 528.250 tan 1 N X-ekseninden saatin ters yönünde ölçülen açı θ: θ 37.9402 324.788 N 416.606 N 180-37.9402 142.0598 2 416.616 N 324.788 N 142.0598
Örnek: 2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı Tümü de dirseğin A noktasına etki ve farklı yollarla ifade edilmiş F 1, F 2 ve F 3 kuvvetlerinin x ve y bileşenlerini bulunuz? Tüm kuvvetlerin bileşkesini ve yönünü bulunuz.
Örnek: 2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı V = V 1 + V 2 bileşkesinin büyüklüğü ile positif x-eksenine olan açısını (θ) bulunuz? 7 birim 9 birim
2 Boyutlu (2D) Ayni Düzlemde (Koplanar) Ayni noktadan geçen (Konkörent) Kuvvetlerin Toplamı