DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ

DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ

Değşel (Yayılım) Ölçüler İ arlı aaütley brbrde ayırma ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etraıda değşm date alara heaplaa tattlere değşel(yayılım) ölçüler adı verlr.

Frea Aşağıda gra = 500 hacml alıa arlı öre doğrultuuda oluşturula htogramlardır. Her öre ortalamaı yalaşı olara 00 olduğua göre öreğ ayı aaütlede alıdığı öyleeblr m? 400 00 300 00 000 800 600 00 400 00 0 67,33 8,33 95,33 09,33 3,33 0 67,33 8,33 95,33 09,33 3,33 X X 3

İ öreğ ayı aaütlede geldğ öyleemez. Buu ede alıa öre oucuda oluşturula htogramda dağılımları ortalama etraıda arlı olmaıda ayalamatadır. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla yayılım ölçüler artmet ortalama etraıda değşmler date ala taımlayıcı tattlerdr. Br ver etde artmet ortalamalarda her br gözlem arı alııp bu değerler tümü topladığıda oucu 0 olduğu görülür. 4

Öre: 4,8,9,3,6 şelde verle br bat er ç; 4 8 9 3 6 5 0 4 0 8 0 9 3 0 6 0 0 0 Bu örete görüleceğ üzere gözlemler artmet ortalamada uzalığı alıp topladığıda 0 elde edldğde dolayı bu problem mutlaa değer ullaara veya areel uzalı alıara ortada aldırılır. 5

) Varya Ortalama mutla apmada ullaıla mutla değerl adeler le şlem yapmaı zor hatta bazı durumlarda maız olmaı ebebyle ye değşel ölçüüe htyaç bulumatadır. Mutla değer adede zorlu artmet ortalamada arları areler alımaıyla ortada almatadır. Ver etde her br gözlem değer artmet ortalamada arlarıı areler toplamıı öre hacm br eğe bölümede elde edle değşel ölçüüe öre varyaı adı verlr. 6

7 Bat erler İç: Populayo Varyaı: m : Populayo Ortalamaı N : Populayo Hacm Öre Varyaı : Gruplamış Serler İç: Sıılamış Serler İç : N m ) ( m ) (

8 ade tattte br ço ormülde ullaılır ve areler toplamı olara adladırılır. Matematel olara heaplama olaylığı ağlamaı açııda ormüllerde areler toplamıı açılımı ola aşağıda eştl ullaılablr.

9 m m Gruplamış Serler İç: Sıılamış Serler İç : Bat Serler İç:

) Stadart Sapma Varya heaplaıre ullaıla verler areler alıdığıda verler ölçü brm are varyaıda ölçü brm mevcut ölçü brm are olur. Öre: g, cm gb. Bu teledrme verler açııda br alam taşımayacağıda varya yere ortalama etraıda değşm br ölçüü olara ou pozt areöü ola tadart apma ullaılır. 0

Bat erler İç: Populayo Stadart Sapmaı: m : Populayo Stadart Sapmaı N : Populayo Hacm Öre Stadart Sapmaı : Gruplamış Serler İç: Sıılamış Serler İç : N m ) ( m ) (

Öre: İtatt I der ala 0 öğrec vze otları aşağıda gb ıralamıştır. Bua göre vze otları ç varya ve tadart apmayı heaplayıız. 30,4,53,6,68,79,8,88,90,98 30 4... 98 0 69 30 69 4 69... 98 69 4538 9 504, 504, 9 504,,45 İtatt I vzede alıa otları ortalama etraıda yalaşı olara pua değştğ görülmetedr.

Ayı oru areler ortalamaıı açılımı ullaılara çözüldüğüde ayı ouçları verecetr. 30,4,53,6,68,79,8,88,90,98 30 900 4 68 53 809 6 37 68 464 79 64 8 674 88 7744 90 800 690 548 504, 690 504, 548 9 0,45 3

Öre: Yada tabloda br Samug bayde LCD televzyoları era boyutlarıa göre atış mtarları verlmştr. Frea dağılımıı varya ve tadart apmaıı heaplayıız. Grup Frea 5 5 60 66 3 98 3068 7 4 88 0736 8 5 40 3360 94 7 658 685 =0 605 3607 3607 9 605 0 47,67 47,67,5 4

Öre: Aşağıda tabloda 30 gülü üre çde br retoraı ulladığı et mtarıı dağılımı verlmştr. Gülü ullaıla et mtarıı varyaıı ve tadart apmaıı heaplayıız. Sıılar m ( m ) 30-36 da az 33 (33-46,6) 36-4 de az 6 39 6(39-46,6) m 4-48 de az 0 45 0(45-46,6) 48-54 da az 7 5 7(5-46,6) 46,6 54-60 de az 4 57 4(57-46,6) 60-66 de az 63 (63-46,6) Toplam 30 579, ( m ) 579, 30 54,46 54,46 7,38g. g. 5

%57.5 %68.7 %95.45 %99.73 - OMS OMS -3 - - m 3 gözlemler %68.7 OMS gözlemler %57.5 apar 6

3) Rage (Değşm Aralığı) Ver etde yayılımı ade etmede ullaıla e bat tatt değşm aralığıdır. Geel olara bat erler ç ullaılır. E büyü gözlem değer le e üçü gözlem değer araıda ar değşm aralığıı verr. Ver etde te br gözlem aşırı derecede üçü veya büyü olmaıda etledğ ç br başa adeyle örete yer ala adece ver ullaılara heaplamaıda dolayı tüm ver et değşelğ açılama ç yeterz almatadır. 7

R = X ma X m R = X ma X m + X: SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ X: KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ Öre: Br abrada çalışa 5 edütr mühed bldğ yabacı dl ayıları aşağıda verlmştr. Bua göre bu mühedler bldğ yabacı dl ayıı ç değşm aralığıı heaplayıız.,0,,,0 X İ = 0,0,,,. = 5 :,,3,4,5. R = X ma X m + = 0 + = 3 8

4) Değşel(Varyayo) Katayıı İ veya daha azla populayo üzerde ayı şa değşeler ç yapıla araştırmalarda değşeller arşılaştırılmaı ç ullaıla br ölçüdür. Stadart apmayı ortalamaı br yüzde olara ade ede ve veya daha azla populayoda varyayou (değşelğ) arşılaştırmada ullaıla ölçüye varyayo(değşel) atayıı der. C V % ler azaldıça araştırmaı haayet artar. Varyayo Katayıı: X *00 Öre: İtabul da ve Aara da yaşaya aleler aylı gelrler değşeller arşılaştırılmaı 9

Öre: Kuruyemş ata br düada br hatalı ürede atıla lebleb, ıtı ve bademler ortalamaları ve tadart apmaları aşağıda verlmştr. Bua göre uruyemşler değşeller açııda arşılaştırıız ve uruyemş değşelğ daha azla olduğuu belrtz. Lebleb 30 g. 5 g. Fıtı 40 g. 4 g. Badem 0 g. 3 g. CV lebleb CV ııtı CVBADEM X 5 * 00 *00 6,67 30 %6,67 4 * 00 *00 0 %0 X 40 3 * 00 *00 30 %30 X 0 Üç uruyemş değşeller arşılaştırıldığıda e üçü tadart apma değer bademde olmaıa rağme e büyü varyayo atayııa ahp olduğuda e azla değşelğ bademde olduğu görülür. Artmet ortalamalar çerde tadart 0 apma yüzdelere baıldığıda e büyü yüzde bademdedr.

Çarpılı (Ametr) Ölçüler Populayoları brbrde ayırma ç her zama yalızca yer ve yayılım ölçüler yeterl olmayablr. Aşağıda arlı populayoda alımış öreler ç oluşturula htogramlar verlmştr. 0 m A A 0 m B

Şelde görüleceğ üzere A ve B öreler ayı ortalamaya ve yalaşı olara ayı değşelğe ahp olmalarıa rağme bu öreğ açıça ayı populayoda gelmedğ öyler. Ametr (çarpılı) ade metr olmaya alamıı taşımatadır. Şellere baıldığıda reaları A da daha ço ol tarata (üçü değerlerde), B de e daha ço ağ tarata (büyü değerlerde), topladığı görülmetedr.

Ametr Ölçüler PEARSON ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ mod S p 3( X med ) S p veya S P < 0 Negat çarpı(sola) S P > 0 Pozt Çarpı(Sağa) S P = 0 e dağılış metr S b BOWLEY ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ ( Q 3 Q ) ( Q Q ) Q 3 Q S b < 0 Negat çarpı(sola) S b > 0 Pozt Çarpı(Sağa) S b = 0 e dağılış metr 3

Smetr Dağılım A.O = Med = Mod Sağa çarpı dağılım A.O > Med > Mod Sola çarpı dağılım A.O < Med < Mod İ modlu metr dağılım Modu olmaya dağılım Tedüze dağılım 4

Öre: Aşağıda tabloda 30 gülü üre çde br retoraı ulladığı et mtarıı dağılımıda elde edle bazı taımlayıcı tattler verlmştr. Bua göre pearo ve bowley ametr ölçüler heaplayıp yorumlayıız. A r t m e t O r t. Mod Medya Q Q S p 46,6 45,4 46, 4,5 5,9 54,46 3( X med) 3(46,6 46,) 54,46 0,6 0 Sağa Çarpı, Pozt Ametr S p mod 46,6 45,4 54,46 0,6 0 Sağa Çarpı, Pozt Ametr S b ( Q 3 Q ) ( Q Q Q 3 Q ) (5,9 46,) (46, 4,5) 5,9 4,5 0,4 0,0 0 Sağa Çarpı, Pozt Ametr 5

Baılı Ölçüü Herhag br olaılı oyouu şel le lgl parametrelerde br tae de baılı ölçüüdür. Baılı Ölçüü ortalamaya göre dördücü momette gdlere heaplaır ve 4 olara göterlr. 6

MOMENTLER: Br raal değşe dağılım bçm, ya o değşe olaılı dağılımıı yada olaılı yoğuluğuu çzmde bçm betmledlerde dolayı mometler tattte öemldr. X raal değşe, µ le göterle artmet ortalama dolayıda r. momet, (X - µ) r belee değerdr. m r r X r μ X X 7

MOMENTLER: Artmet ortalama µ ( X X μ X μ m 0 ) etraıda brc momet ıır ve c momet e varyaı ( σ ) dır. m σ Üçücü ve dördücü mometler e aşağıda ormüllerde heaplaablmetedr: m m 4 3 3 X 3 μ X X 4 X 4 μ X X 8

Herhag br olaılı oyouu şel le lgl parametrelerde br tae de baılı ölçüüdür. Baılı Ölçüü ortalamaya göre dördücü momette gdlere heaplaır ve 4 olara göterlr. m 4 4 4 4 = 3 e Ser Normal Bat Ser İç 4 < 3 e Ser Baı 4 < 3 e Ser Svr Ya da Yüe Öre:Aşağıda dağılım ç l dört momet buluuz. X 4 6 8 0 4 6 0 7 m 4 4 9

X X X X (X X) (X X) (X X) 3 (X X) 4-5.6-5.6 3.36-75.66 983.4496 4 4 56-3.6-4.4 5.84-86.64 67.8464 6 6 96 -.6-9.6 5.36-4.576 39.36 8 0 80 0.4 4.0.60 0.640 0.560 0 7 40.4 6.8 40.3 96.768 3.43 44 4.4 8.8 38.7 70.368 749.69 30 58 0 79.0-9.040 676.7360 Dağılımı Artmet ortalamaı: X = X X = 58 30 = 7. 6 µ = (X X) = 0 30 = 0 µ = (X X) = 79. 30 = 5. 97 µ 3 = (X X)3 = 9. 04 30 = 89. 45 (X X)4 µ 4 = = 676. 736 5300 = 89. 45 30

ÖRNEK: Aşağıda grupladırılmış er, X 0 8 0 5 A-) Pero çarpılı atayııı, 30 0, B-) Momet çarpılı atayııı 40 5 C-) Momet baılı atayııı 50 HESAPLAYINIZ. X.X.X 0 8 8 80 800 0 5 33 500 0000 30 0 43 300 9000 40 5 48 00 8000 50 50 00 5000 50 80 3800 = X = X X Çarpılı = X = 80 = 50 X Mod 3 X Medya Çarpılı = = 3. 6 3800 50 80 50 3. 6 0 = = 0. 36 9. 95 3. 3. 6 0 = 9. 95 = 9. 95 =. 09 Kümülat rea ere batığımızda N/=5 c değer ya 0 medyaa eşt olduğuu görürüz. Freaı e büyü ola değerde 0 ye eşttr.bu dağılımı mod ve medyaı brbre eşttr. 3

X X X (X X) 3 (X X) 4 (X X) 3 (X X) 4 0 8-3.6-55.456 340.06-03.648 7368.68 0 5-3.6-46.656 67.966-66.400 499.0400 30 0 6.4 6.44 677.76 6.440 6777.60 40 5 6.4 440.944 7339.486 054.70 36697.4080 50 6.4 8399.744 485753.46 36799.488 97506.483 50 4085.600 6786.7600 Artmet ortalama etraıda üçücü momet ve momet çarpılı atayıı: µ 3 = (X X) = 4085. 6 50 = 803. 7 α 3 = µ 3 803. 7 = 3 985. 07 = 0. 8 dağılım ağa çarpıtır. Artmet ortalama etraıda dördücü momet ve momet baılı atayıı: µ 4 = (X X)4 = 6786. 76 50 dağılım ormale göre dtr. = 3557. 4 α 4 = µ 4 3557. 4 = 4 980. 5 = 0. 8 3