Kosullu Olasılık & Bayes Teoremi 0 {\} /\ Suhap SAHIN
Olasılık Deneyi Olasılık problemlerinde gerçeklestirilen eylemler Zar atılması Para atılması Top Çekme Bir zar atıldıgında üst yüze çift gelme ihtimali nedir?...
Kosullu Olasılık Bir olasılık deneyinde EK BiLGi (Kosul) verilirse bu olasılıga kosullu olasılık denir. Olasılık deneyi Zar atılması Örnek Uzay = {1, 2, 3, 4, 5, 6} EK BiLGi (KOSUL) Zarın üst yüzüne çift geldigi biliniyorsa Örnek Uzay = {2, 4, 6}
Kosullu Olasılık Bir Zar atıldıgında; Üst yüze gelenin asal oldugu biliniyorsa, üst yüze tek sayı gelme olasılıgı nedir? Örnek Uzay = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay = {2, 3, 5} Olay = {3, 5} Olasılık degeri = 2 3
Kosullu Olasılık 2 Zar atıldıgında; Üst yüze gelenlerden birinin 2 oldugu biliniyorsa, diger sayının 3 olma olasılıgı nedir? Örnek Uzay1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Olay = {3,2; 2,3} Örnek Uzay2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay = 6*6 = 36 durum Örnek Uzay = { 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 1,2; 2,2; 3,2; 4,2; 5,2; 6,2} Olasılık degeri = 2 11
Kosullu Olasılık B A P(A): A olayının gerçeklesme olasılıgı P(B): B olayının gerçeklesme olasılıgı P(A B): A ve B olaylarının gerçeklesme olasılıgı { P(A B) = P(A B) P(B) P(B A) = P(B A) P(A) B olayının gerçeklesmesi kosulu altında A olayının olma olasılıgı
Kosullu Olasılık A B P(B): 0.7 P(A B): 0.3 P(A B) = P(A B) P(B) = 0.3 0.7
Kosullu Olasılık 2 Zar atılıyor; Üst yüze gelenlerden birinin 5 oldugu bilindigine göre, üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılıgı kaçtır? Örnek Uzay1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Olay = {3, 5; 5,3} Örnek Uzay2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay = 6*6 = 36 durum Örnek Uzay = { 5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5} Olasılık degeri = 2 11
Kosullu Olasılık Geri bırakmaksızın ard ard 2 top çekiliyor Çekilen toplardan birinin mavi oldugu bilindigine göre, digerinin kırmızı olma olasılıgı nedir? 4 Kırmızı 3 Mavi Olay = {MK, KM} Örnek Uzay = {MM, MK, KM, KK} Örnek Uzay = {MM, MK, KM} Olasılık degeri = MK, KM MM, MK, KM (3/7)*(4/6)+(4/7)*(3/6) = (3/7)*(2/6)+(3/7)*(4/6)+(4/7)*(3/6)
Kosullu Olasılık Geri bırakmak sartı ile ard ard 2 top çekiliyor Çekilen topların farklı renklerde oldugu bilindigine göre, 1. çekilenin mavi 2. çekilenin kırmızı olma olasılıgı nedir? 5 Kırmızı 3 Mavi Olay = {MK} Örnek Uzay = {MM, MK, KM, KK} Örnek Uzay = {MK, KM} Olasılık degeri = MK MK, KM (3/8)*(5/8) = (3/8)*(5/8)+(5/8)*(3/8)
Kosullu Olasılık 52 Kartlık standart bir desteden olusan iskanbil kagıtları arasından 1 kagıt seciliyor. Seçilen kagıdın kupa oldugu bilindigine göre, bu kagıdın AS olma olasılıgı nedir? Olay = {KupaAS} Örnek Uzay = {13Sinek, 13Karo, 13Kupa, 13Maça} 1 Olasılık degeri = 13 Örnek Uzay = {13Kupa}
Kosullu Olasılık 52 Kartlık standart bir desteden olusan iskanbil kagıtları arasından 1 kagıt seciliyor. Seçilen kagıdın Vale oldugu bilindigine göre, bu kagıdın MaçaValesi olma olasılıgı nedir? Olay = {MaçaValesi} Örnek Uzay = {13Sinek, 13Karo, 13Kupa, 13Maça} 1 Olasılık degeri = 4 Örnek Uzay = {Vale}
Bayes Teoremi
Bayes Teoremi B A P(A B) = P(A B) P(B) B olayının gerçeklesmesi kosulu altında A olayının olma olasılıgı P(A B) = P(A B) * P(B) P(B A) = P(B A) P(A) = P(A B) * P(B) P(A) ==> P(A B) = P(B A) P(A B) = P(B A) * P(A) P(B)
Makine Ögrenmesi
Makine Ögrenmesi Karmasık algoritmalar Büyük veri kümelerine uygulanan olasılık algoritmaları
NETFLIX Makine ögrenmesi teknigini kullanarak üyelerine sinema filmleri öneren bir web sitesidir.
NETFLIX Kullanıcı hakkında hiçbir bilgi yok ve rastgele bir filmi izlemesi için kullanıcıya yönlendirir. En fazla izlenen En çok begenilen En fazla yorum alan
NETFLIX E: MATRIX filminin izlenmesi P(E) : MATRIX filminin izlenme olasılıgı n: Netflix te bulunan kullanıcı sayısı n(e): MATRIX filmini izleyen kullanıcı sayısı P(E) = lim n -> n(e) n
NETFLIX Kullanıcıların MATRIX filmini izleme olasılıgı nedir. MATRIX EK BiLGi (KOSUL) Kullanıcılardan bazılarının JHON WICK filmini izledigi biliniyorsa Olay = {Matrix filmini izleme} Örnek Uzay = {NETFLIX deki kullanıcı sayısı} Örnek Uzay = {JHON WICK filmini izleyen kullanıcı sayısı} Matrix filmini izleme P(B A) = JHON WICK filmini izleyen kullanıcı sayısı
Kalem Fabrikası Toplam kalem üretimin %30 unu A makinası, %50 sini B makinası geriye kalanını ise C makinası gerçeklestirmektedir. Bu makinaların üretimlerinin sırası ile %4 ü, %2 si ve %5 i kusurlu gerçeklestirilmektedir. Bir günlük üretimin ardından seçilen kalemin kusurlu olma olasılıgı nedir? A (%30) B (%50) C (%20) %4 %96 kusurlu saglam %2 %98 kusurlu saglam %5 %95 kusurlu saglam Olasılık degeri = 0.30*0.04 + 0.50*0.02 + 0.20*0.05 = %3.2
Kalem Fabrikası Toplam kalem üretimin %30 unu A makinası, %50 sini B makinası geriye kalanını ise C makinası gerçeklestirmektedir. Bu makinaların üretimlerinin sırası ile %4 ü, %2 si ve %5 i kusurlu gerçeklestirilmektedir. Bir günlük üretimin ardından seçilen kalemin kusurlu oldugu bilindigine göre; A makinasından üretilmis olma olasılıgı nedir? Olay = {A daki kusurlu üretim} Örnek Uzay = {Tüm üretim} A (%30) B (%50) C (%20) %4 %96 kusurlu saglam %2 %98 kusurlu saglam %5 %95 kusurlu saglam Örnek Uzay = {Kusurlu üretim} A daki kusurlu üretim 0.30*0.04 = Olasılık degeri = Kusurlu üretim 0.032
Hastalık Testi Her 100 çocuktan 1 tanesi X hastalıgına yakalanmaktadır. X hastalıgının tesbitinde kullanılan test tam güvenilir sonuçlar ÜRETMEMEKTEDiR. Hasta kisilerde bu testin sonucu %80 pozitif çıkarken, hasta olamayan kisilerde %10 pozitif çıkamaktadır. Bu bilgilere göre test sonucu pozitif olan bir çocugun; geçekten hasta olma olasılıgı nedir? Olay = {Gerçekten hasta çocuklar} Hasta (%1) Örnek Uzay = {Teste katılan tüm çocuklar} %80 %20 pozitif negatif Örnek Uzay = {Test sonucu pozitif çocuklar} Test sonucu pozitif çıkma Olasılık degeri = 0.01*0.80 + 0.99*0.10 =0.107 Saglıklı (%99) %10 %90 pozitif negatif
Hastalık Testi Her 100 çocuktan 1 tanesi X hastalıgına yakalanmaktadır. X hastalıgının tesbitinde kullanılan test tam güvenilir sonuçlar ÜRETMEMEKTEDiR. Hasta kisilerde bu testin sonucu %80 pozitif çıkarken, hasta olamayan kisilerde %10 pozitif çıkamaktadır. Bu bilgilere göre test sonucu pozitif olan bir çocugun; geçekten hasta olma olasılıgı nedir? Olay = {Gerçekten hasta çocuklar} Hasta (%1) Örnek Uzay = {Teste katılan tüm çocuklar} Saglıklı (%99) %80 %20 pozitif negatif Örnek Uzay = {Test sonucu pozitif çocuklar} %10 %90 pozitif negatif Gerçekten hasta çocuklar 0.01*0.80 = Olasılık degeri = Test sonucu pozitif çocuklar 0.107
Fizikten Kalma Bir sınıftaki ögrencilerin %40 ı erkektir. Erkeklerin %30, kızların %20 si fizikten kalmıstır. Seçilen bir ögrencinin fizikten kaldıgı bilindigine göre, bu ögrencinin erkek olma olasılıgı nedir? %40 %60 Olay = {Erkekler} 0.40*0.30 Erkekler %30 kalmıs %70 gecmis %20 kalmıs %80 gecmis Örnek Uzay = {tüm sınıf} Örnek Uzay = {fizikten kalanlar} Olasılık degeri = fizikten kalanlar = 0.40*0.30+0.60*0.20
Konferansa Katılım Seçilen bir ögrencini 2. sınıf olma ihtimali 0.28 dir. Hem 2. sınıf olma hemde konferansa katılma ihtimali 0.22 dir. Seçilen bir ögrencinin 2. sınıf oldugu bilindigine göre, bu ögrencinin konferansa katılma olma olasılıgı nedir? Olay = {konferansa katılan ögrenciler} 2. sınıf Konferans 0.22 konferansa katılan ögrenciler 0.28 0.22 Örnek Uzay = {tüm sınıf} Örnek Uzay = {2. sınıfta olan ögrenciler} Olasılık degeri = = 2. sınıfta olan ögrenciler 0.28
E-Posta Tüm e-postaların %60 ı spam, tüm spamların %90 ı sahte üst bilgiye sahiptir. Spam olmayanların %20 si sahte üst bilgiye sahiptir. %40 %60 Bir e-postanın sahte üst bilgiye sahip olup, spam olma olasılıgı nedir? Olay = {spam} %20 %80 Sahte üst bilgi Normal üst bilgi %90 %10 Sahte üst bilgi Normal üst bilgi spam Örnek Uzay = {tüm e-postalar} Örnek Uzay = {sahte üst bilgiye sahip} Olasılık degeri = sahte üst bilgiye sahip = 0.6*0.9 0.4*0.2 +0.6*0.9
Sorular