OLASILIK ÖRNEK - 1. Atılan bir zarın 4 ten büyük gelme olasılığı kaçtır? 1 C) 4 1 D) 3 1 E) 2 1 B) 5 A) 6

Transkript

1 OLASILIK Değişik renkteki topların bulunduğu bir kutudan rastgele alınan bir topun hangi renkte olduğu, bir para atıldığında yazı veya tura gelmesi... vb. gibi sonucu önceden bilinmeyen olaylar olasılığın konusudur. ÖRNEK - Atılan bir zarın ten büyük gelme olasılığı Deney : Bir paranın yazı veya tura gelebileceği, bir zar atıldığında {,,,,, } rakamlarının birisinin gelebileceği gibi değişik sonuçlar verebilecek olguların herbirine deney denir. A) B) C) D) E) Örnek Uzay : Bir deneyin bütün olanaklı sonuçlarının kümesine örnek uzay denir. E ile gösterilir. Örneğin, bir para atıldığında sonuçların oluşturduğu küme yani örnek uzay: E {Yazı, Tura} olur. Bir zar atıldığında örnek uzay: E {,,,,, } olur. Örnek Uzay E {,,,,, }, s(e) İstenilen olay : A {, }, s(a) İstenilen olayın olma olasılığı: P(A) sa ( ) bulunur. se ( ) Olay : Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkansız) olay denir. Gerçekleşmesi rastlantıya bağlı olan olaya ise rastgele olay denir. Bir madeni para 0 kez atıldığında kez yazı, kez tura gelmesi beklenir. Bir zar belli sayıda atıldığında,,,, ve rakamlarının bulunduğu yüzlerin eşit sayıda gelmesi beklenir. Yani bir deneyde tüm çıktıların olasılıkları birbirine eşit ise, bu şekilde örnek uzaya eş olumlu örnek uzay denir. Örneğin bir madeni para atılması deneyinde yazı gelme olasılığı ile tura gelme olasılığı eşittir. P(Y) P(T) dir. İmkansız olayın gerçekleşme olasılığı sıfırdır. P( Q ) 0C A kümesi evrensel kümenin alt kümesi olsun. A E olduğundan A olayının gerçekleşme olasılığı, ÖRNEK - Atılan bir zarın gelme olasılığı A) 0 B) C) D) Örnek Uzay: A {,,,,, }, s(e) İstenilen Olay: A { }, s(a) 0 Zarın gelme olasılığı: sa ( ) 0 P(A) 0 se ( ) E) P(A) P(E) olur. P( ) P(A) P(E) (P( ) 0, P(E) ) 0 P(A) dir. Eş olumlu örneklem uzayında bir A olayının gerçekleşmesi olasılığı, Aolaynnele man says PA ( ) Ö rnek uzay neleman says ÖRNEK - Atılan bir zarın den küçük gelme olasılığı A) 0 B) C) D) E)

2 OLASILIK ÖRNEK - E Örnek Uzay {,,,,, }, s(e) A İstenilen Durum {,,,,, }, s(a) sa ( ) P(A) bulunur. se ( ) kırmızı, beyaz, siyah bilye bulunan bir torbadan rastgele alınan bir bilyenin beyaz olma olasılığı A) B) C) D) E) ÖRNEK - s(e) + + Aşağıdakilerden hangisi bir olayın olma olasılığı olamaz? A) 0 B) C) D) E) s(a) sa ( ) se ( ) Ayrık Olay : Bir olayın olma olasılığı 0 ve dahil olmak üzere 0 ile arasındaki değerleri alır. O halde olamaz. Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir. Örneğin bir madeni para atılması deneyinde üst yüze hem yazı hem de tura gelmesi Y T Bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin hem kız hem de erkek olması E K dir. A ve B aynı örnek uzayın ayrık iki olayı ise P(A B)0 P(A B) P(A) + P(B) dir. ÖRNEK - Bir torbada üzerinde den 0 ye kadar numaralandırılmış 0 tane kart vardır. Bu torbadan rastgele çekilen bir kartın üzerindeki numaranın asal sayı olma olasılığı A) B) C) D) E) ÖRNEK - Bir torbada beyaz, siyah, 0 mavi bilye vardır. Bu torbadan çekilen bir topun beyaz veya siyah olma olasılığı A) B) C) D) E) Örnek Uzay E {,,,...,, 0} İstenilen olay : A {,,,,,,, } P(A) sa ( ) se ( ) 0 Beyaz olma olasılığı s(b) Siyah olma olasılığı s(s) s(b S) s(b) + s(s) +

3 OLASILIK ÖRNEK - Beyaz veya siyah bilyelerin sayısı + Beyaz veya siyah olma olasılığı Bir deneyde A, B ve C ayrık olayları vardır. Bu deneyde, A veya B'nin gerçekleşme olasılığı, A veya C'nin gerçekleşme olasılığı olduğuna göre, A olayının gerçekleşmeme olasılığı Aynı örnek uzayın ayrık olmayan iki olayı A ve B ise A veya B olayının olma olasılığı, A) B) C) D) E) s(a B) s(a) + s(b) s(a B) dir. ÖRNEK - {,,,,,,,, } kümesinin elemanlarından rastgele alınan bir elemanın asal veya çift olma olasılığı A) B) {,,,,,,,, } Asal sayılar {,,, } Çift sayılar {,,, } C) Asal ve çift sayılar {} Asal olma olasılığı P(A) Çift olma olasılığı P(Ç) D) Asal ve çift olma olasılığı P(A Ç) Asal veya çift olma olasılığı P(A Ç) P(A) + P(Ç) P(A Ç) + E) A, B ve C ayrık olaylar olduğundan kesişimleri boş kümedir. Yani, P(A B) P(A) + P(B) P(A C) P(A) + P(C) + PA ( ) + PA ( ) + PB ( ) + PC ( ) J K Bu deneyde A, B ve C ayrık olayları dışında başka N O K O K olay olmadığından P(A) + P(B) + P(C) olur. O L P PA ( ) + PA ( ) PA ( ) PA ( ) Koşullu Olasılık : A ile B E örnek uzayının herhangi iki olayı olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının gerçekleşmesi olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A\B) biçiminde gösterilir. PA ( + B) PAB ( \ ) PB ( ) PB ( )! 0 Eş olumlu örnek uzayda ise yani E{e, e,..., e n } sonlu örnek uzayında P(e ) P(e ) P(e )... P(e n ) ise {,,,,,,,, } Asal veya çift sayılar {,,,,,, } Asal veya çift olma olasılığı bulunur. s ( A+ B) PAB ( \ ) dir. s( B) Yukarıdaki formülde olasılıklı sonuçların tamamı yani örnek uzay B ye indirgenmiştir.

4 OLASILIK ÖRNEK - 0 İki basamaklı doğal sayılardan rastgele seçilen bir sayının 0 dan küçük olduğu bilindiğine göre, asal olma olasılığı Bağımsız ve Bağımlı Olaylar İki olaydan birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olay bağımsız olaylardır. P(A/B) P(A) ve P(A B) P(A). P(B) dir. A) B) C) D) 0 E) İki olay bağımsız olmadığında bu olaylar bağımlı olaylardır. İki basamaklı 0 dan küçük doğal sayılar, B % 0,,,...,/ 0 tane İki basamaklı 0 dan küçük asal sayılar A %,,,,, / tane s( A+ B) PAB ( \ ) bulunur. s( B) 0 0 ÖRNEK - Bir zar ile bir madeni para atılıyor. a) Zarın ten büyük ve paranın tura gelme olasılığı b) Zarın ten büyük veya paranın tura gelme olasılığı Zarın ten büyük gelme olasılığı: P(A) Paranın tura gelme olasılığı : P(B) ÖRNEK - Bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının tek olduğu bilindiğine göre, asal olma olasılığı A) B) C) D) E) Zarın ten büyük gelmesi paranın tura gelme olasılığını etkilemez. Yani bu olaylar bağımsız olaylardır. a) P(A B) P(A). P(B) b) I. yol P(A B) P(A) + P(B) P(A B) + $ $ Üst yüze gelen sayının tek olduğu bilindiğinden, B {,, } olur. A {, } s( A+ B) PAB ( \ ) bulunur. s( B) II. yol: A veya B olayının gerçekleşmesi, A ve B den en az birisinin gerçekleşmesiyle mümkündür. A ve B nin her ikisinin gerçekleşmemesi durumu dışında kalan bütün olasılıklar A veya B nin gerçekleşmesini sağlar. İkisinin gerçekleşmeme olasılığını bulalım.

5 OLASILIK A nın gerçekleşmeme olasılığı: P(A ı ) P(A) B nin gerçekleşmeme olasılığı: P(B ı ) P(B) A ve B nin gerçekleşmeme olasılığı $ A ve B nin gerçekleşmeme olasılığı dışında kalan bütün olasılıklar A veya B nin gerçekleşmesini sağlar. O halde bulunur. ÖRNEK - Bir toplulukta kız, erkek vardır. Bu topluluktan rastgele seçilen üç kişinin; a) Üçününde kız olma olasılığı b) İkisinin erkek birisinin kız olma olasılığı c) En az birinin kız olma olasılığı ÖRNEK - İbrahim ile Fırat'ın gireceği bir sınavı İbrahim'in kazanma olasılığı, Fırat'ın kazanma olasılığı kız + erkek 0 kişi olduğuna göre, bu sınavı a) Fırat ve İbrahim'in kazanma olasılığı b) Fırat veya İbrahim'in kazanma olasılığı Kişileri birer birer seçecek olursak üç kişide sırasıyla kız olacaktır. 0 kişiden ü kız olduğundan. seçilen kişinin kız olma olasılığı 0, kişi ve kız kaldığından ikinci seçilen kişinin kız olma olasılığı, kişi ve kız a) P(F İ) P(F). P(İ) $ b) P(F İ) P(F) + P(İ) P(F İ) 0 + $ 0 0 kaldığından üçüncü seçilen kişinin kız olma olasılığı dir. K K K 0 $ $ 0 Fırat ve İbrahim'in ikisinin de sınavı kazanamama olasılığını bulalım. P(F ı ), P(İ ı ) 0 kişiden kişi seçeceğimizden tüm durumların sayısı f 0 p olur. kızdan kız seçileceğinden istenilen durumların sayısı fp olur. P(F ı İ ı ) $ 0 En az birinin sınavı kazanma olasılığı 0 0 stenilendurumlarnsays Tü mdurumlar nsay s 0 0 0

6 OLASILIK b) Kişileri birer birer seçecek olursak. seçilen erkek,. seçilen erkek,. seçilen kız olabilir.. seçilen erkek,. seçilen kız,. seçilen erkek olabilir.. seçilen kız,. seçilen erkek,. seçilen erkek olabilir. Yani erkek, kız seçimi için farklı durum vardır. Bu farklı durumu daha pratik olarak tekrarlı permütasyondanda bulabiliriz.! E E K harfleri kendi arasında farklı şekilde yer! değiştirebilir. Biz bu üç durumunda olasılığını bulup bu olasılıkları toplayalım. kız, erkek arasından, E E K + E K E + K E E $ $ + $ $ + $ $ $ $ $ E E E $ $ 0 bulunur. kişininde erkek olma olasılığı bulunur. ÖRNEK - 0 kişiden kişi seçeceğimizden tüm durumların sayısı f 0 p olur. kızdan kız fp, erkekten erkek fp farklı şekilde seçileceğinden istenilen durumların sayısı $ olur. $. 0 0 bulunur. Bir torbada siyah, beyaz, mavi bilye vardır. Bu torbadan rastgele alınan üç bilyenin üçünün de farklı renkte olma olasılığı A) B) C) D) E) Bilyeleri birer birer seçecek olursak üç bilye farklı renkte olacağından, SBM, SMB, MBS, MSB, BSM, BMS! c) Seçilecek olan kişinin en az birisinin kız olması demek, üçünün erkek olması haricindeki bütün olasılıklar demektir. O halde üçününde erkek olma olasılığını bulalım. S B M + S M B + M B S + M S B + B S M + B M S $ $ $ 0

7 OLASILIK Tüm durumda bilyeden bilye farklı şekilde seçilir. İstenilen durumda herbirinden birer tane $ $ farklı şekilde seçilir. $ $ S Y + Y S $ ÖRNEK - madeni para atılıyor. ÖRNEK - Bir toplulukta kız, erkek vardır. Bu topluluktan rastgele seçilen iki kişinin birincisinin erkek, ikincisinin kız olma olasılığı a) Üçünün de aynı gelme olasılığı b) İkisinin yazı birinin tura gelme olasılığı c) En az birinin tura gelme olasılığı A) 0 B) C) D) E) Her para atılışında yazı ve tura yani farklı durum oluşacağından para atıldığında.. farklı durum oluşur. Bunları yazalım. Birinci seçilen erkek ikinci seçilen kız olacaktır. E K $ 0 0 TTT, YYY, TTY, TYT, YTT, TYY, YTY, YYT farkl durum vard r. a) Bunlardan TTT, YYY tanesi istenilen durumdur bulunur. b) Bunlardan ÖRNEK - Bir torbada sarı, yeşil bilye vardır. Torbadan alınan bilye torbaya tekrar atılması koşuluyla alınan bilyelerin farklı renkte olma olasılığı A) B) C) D) E) YYT, YTY, TYY!! bulunur. tanesi istenilen durumdur. c) Bunlardan YYY haricindeki tanesi istenilen durumdur. bulunur.

8 OLASILIK ÖRNEK - ÖRNEK - madeni para atılıyor. a) Üçünün yazı ikisinin tura gelme olasılığı E A B G F b) En az birinin yazı gelme olasılığı D C H a) Tüm durumların sayısı..... dir. İstenilen durumların sayısı YYYTT, YYTTY,..., TTYYY! 0!.! 0 bulunur. b) Tüm durumların sayısı ÖRNEK - 0 TTTTT haricindeki diğer tane durumda en az bir yazı olacaktır. bulunur. Bir çift zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların a) Aynı olma olasılığı b) Farklı olma olasılığı c) Toplamının 0 olma olasılığı Şekilde çember üzerinde A, B, C, D, E ve doğru üzerinde F, G, H noktalarından rastgele seçilen dört noktanın üçünün çember, birisinin doğru üzerinde olma olasılığı A) B) C) D) E) Tüm durumların sayısı noktadan nokta seçilerek fp farklı şekilde olur. İstenen durumların sayısı çember üzerinde noktadan ü seçilerek fp ve doğru üzerindeki noktadan i $ 0 0 $ olur. Bu durumda, bulunur. fp Tüm durumların sayısı. dır. a) (,)(, ) (,)(, ) (,)(, ) tane bulunur. b) 0 durum vardır. 0 bulunur. c) (,),(,),(,) tane bulunur. ÖRNEK - {,,,, } kümesinin tüm alt kümeleri arasından rastgele seçilen bir alt kümenin iki elemanlı olma olasılığı A) B) C) D) E) 00

9 OLASILIK Tüm alt küme sayısı İki elemanlı alt küme sayısı fp fp 0 bulunur. A B I. durum: A dan B ye beyaz atıp B den beyaz top çekme olasılığı. ÖRNEK - Bir zarın yüzü beyaza, yüzü siyaha boyanıp atılıyor. Zarın görünebilecek yüzündeki renklerin üç tanesinin beyaz iki tanesinin siyah olma olasılığı A) B) C) D) E) II. durum: A dan B ye siyah top atıp b den beyaz top çekme olasılığı. A dan siyah top çekme olasılığı A dan B ye siyah top atıldıktan sonra B den beyaz top çekme olasılığı Bir zar atıldığında taban kısmına gelen bir yüzü haricinde diğer beş yüzü gözükebilir. yüz beyaza boyandığından ve gözükebilecek yüzün beyaz renkte olduğu bilindiğinden dolayı taban kısmına beyaz renk gelmiştir. O halde soruyu şu şekilde düşünelim. yüzü beyaza yüzü siyaha boyanıp atılan bir zarın taban kısmına beyaz rengin gelme olasılığı kaçtır. yüzünden tanesi beyaza boyandığından dolayı bulunur. Bu durumda 0 0 $ + $ bulunur. ÖRNEK - ÖRNEK - A torbasında; beyaz, siyah B torbasında; beyaz, siyah top vardır. A torbasından rengine bakmadan bir top alınıp B torbasına atılıyor. Daha sonra B torbasından bir top çekiliyor. Çekilen topun beyaz olma olasılığı A) 0 B) C) 0 D) E) 0 A torbasında; beyaz, kırmızı, B torbasında beyaz, kırmızı bilye vardır. Aynı anda her iki torbadan birer bilye alınıyor ve diğer torbaya atılıyor. Bu işlemin sonunda torbalardaki beyaz ve kırmızı bilye sayılarının başlangıçtaki ile aynı olma olasılığı A) B) C) D) E) 0

10 OLASILIK BEYİN JİMNASTİĞİ - beyaz kırmızı A beyaz kırmızı B Durumun oluşması için torbalardan aynı renkte bilye çekilmektedir. Buna göre, I. durum: Aynı anda torbalardan beyaz bilye atma olasılığı. Bir öğretmen elinde bulunan beyaz ve siyah şapkayı sınıftan seçmiş olduğu beş öğrencinin başına takacaktır. Öğretmen bu beş öğrenciyi ve kişilik iki gruba ayırıp birbirlerinin seslerini duyacak ama birbirlerini görmeyecek şekilde iki farklı yere alıyor. Daha sonra beş öğrencinin gözleri bağlanıp, öğretmen öğrencilerin başlarına şapkaları aşağıdaki gibi takıyor. Daha sonra öğrencilerin gözlerini açıyor. A dan B ye beyaz bilye atma olasılığı B den A ya beyaz bilye atma olasılığı II. durum: Aynı anda torbalardan kırmızı bilye atma olasılığı A dan B ye kırmızı bilye atma olasılığı. B den A ya kırmızı bilye atma olasılığı Ali Selami Baki Fuzuli Necati Buna göre, öğrencilerden hangisi ya da hangileri başındaki şapkanın rengini ilk önce bilir ve bildiğini diğer öğrencilerin duyacağı şekilde söyler? Bu durumda.. + bulunur. 0

11 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST TEST. mavi, kırmızı, yeşil renkli bilye arasından rastgele alınan bir bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı. A {,,,..., 0 } kümesinden rastgele seçilen bir eleman n ve ile bölünebilme olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E). Bir çekiliş için, Cemal tane, Celal tane, Ümit tane, Emrah tane bilet almıştır. Çekilişte Cemal'in kazanamama olasılığı. E, E, L, Y, M harfleri kartlara birer kez yazılıp bir torbaya atılıyor. Daha sonra torbadan rastgele birer birer kart çekilip çekilen kartlar sırasıyla soldan sağa diziliyor. Oluşan kelimenin EYLEM olma olasılığı A) 0 B) 0 C) D) 0 E) A) 0 B) 0 C) D) E). Bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı tir. Sınıftaki erkeklerin sayısı kızlardan fazla olduğuna göre, sınıf mevcudu. Bir sınıftaki öğrencilerin %0'ı erkektir. Bu sınıftaki kızların u çalışkan olduğuna göre, rastgele seçilen bir öğrencinin çalışkan olmayan bir kız öğrenci olma olasılığı A) B) 0 C) D) 0 E) A) B) C) D) E). {,,,,, } kümesinden rastgele alınan iki elemanın ortak katlarının en küçüğünün olma olasılığı. erkek, k z ö renci aras ndan rastgele seçilen iki ö renciden birinin k z di erinin erkek ö renci olmas olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 0 0

12 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST TEST. Bir torbada bulunan bilyeden tanesi beyaz, tanesi mavidir. Rastgele seçilen iki bilyeden birinin beyaz, di erinin mavi olma olas l kaçt r?. kiflilik bir aile yuvarlak masa etraf nda oturacakt r. Anne ile baban n yanyana oturmama olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 0 0. Bir torbada beyaz, mavi top vard r. Torbadan art arda iki top çekiliyor. Çekilen iki topun da mavi olma olasılığı. {,,, 0,,,, } kümesinin üç elemanl alt kümelerinden rastgele seçilen bir alt kümenin elemanlar nın çarp m n n pozitif olma olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). beyaz, mavi, k rm z bilye aras ndan rastgele al nan üç bilyenin ikisinin beyaz birinin k rm z olma olas l kaçt r?. {,,,,,, } kümesinden rastgele alınan üç tane elemanın ardışık olma olasılığı A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). A {,,, }. Bir kutudaki mavi toplar n say s, beyaz toplar n say s n n üç kat d r. Kutudan rastgele seçilen iki topun farkl renkte olmas olas l olduğuna göre, kutuda bafllang çta kaç beyaz top vard r? B {,, } kümeleri veriliyor. Buna göre A x B kümesinden seçilen herhangi bir (x, y) ikilisinde x ve y nin farklı rakamlardan oluşma olasılığı A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 0

13 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. bilyenin ü kırmızı olduğundan;. ve ile bölünen sayılar OKEK (, ) ile bölünebilen sayılar demektir. {,, } tane 0. 0 biletin tanesi Cemal'in olmadığından kaybetmesi olasılığı; 0 0!. E, E, L, Y, M harfleri kendi aralarında 0! farklı şekilde yer değiştirir. Bu 0 tane kelimeden bir tanesi EYLEM olduğundan bulunur. 0. Kızlar sınıfın %0'ını oluşturur. 0 Çalışkan kızlar ise f $ p sınıfın ünü 00 oluşturur. Bu durumda sınıf mevcudunu 'e bölünen ve son rakamı 0 olan herhangi bir sayı alalım. Sınıf mevcudu 0 olsun. 0 Erkek öğrenci sayısı 0 $ 00. Kzsays Snfmevcudu x x Kız öğrenci sayısı 0 Çalışkan kızların sayısı $ 0 Çalışkan olmayan kızların sayısı 0 Kız x x x Erkek x x Mevcut x x 0 Ç al kan olmayan k zlar nsay s Snfmevcudu 0. I. yol: Öğrencileri birer birer seçersek seçilen öğrencilerden birincisi erkek ikincisi kız olabilir veya birincisi kız ikincisi erkek olabilir.. (, ) ve (, ) sayılarının okekleri dir. elemandan tanesi fp farklı şekilde seçilir. E K + K E $ + $ $ $ II. yol f p 0 0

14 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. I. yol B M + MB $ $ II. yol x x f p x x II. yol $ 0. I. yol M M $ II. yol. I. yol B B K + B K B + K B B $ $ $ 0 II. yol $ 0. Mavi x Beyaz x I. yol: M B + B M x x $ $ x x x olur.. kişi yuvarlak masa etrafında! 0 farklı şekilde oturabilir. Anne ile baba yanyana!.! farklı şekilde oturabilir. Yanyana olmayacak şekilde!!.! farklı şekilde oturabilirler. 0. Üç elemandan birisi pozitif ikisi negatif veya üçü pozitif olmalıdır. {,, } {,,, } $ + Bütün elemanlı alt küme sayısı fp. {,, },{,, },{,, }, {,, },{,, } tane. fp (, )(, )(, )(, )(, )(, ) AxB * (, )(, )(, )(, )(, )(, ) tane elemandan (, ) ve (, ) hariç 0 tanesi farklı rakamlardan oluşmuştur. 0 0

15 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST TEST. Bir sınıftaki öğrencilerin ü matematikten kalmıştır. Matematikten geçen öğrencilerin %0'ı coğrafyadan kalmıştır. Buna göre bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin her iki derstende geçmiş olma olasılığı. Bir çift zar at l yor. Zarlardan en az birinin gelme olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) 0 B) C) D) E). madeni para at l yor. kisinin yaz birinin tura gelme olas l kaçt r?. 0 kişilik bir sınıfta tane kız öğrenci vardır. Erkeklerin tanesi, sınıfın ise %0'ı çalışkandır. A) B) C) D) E) Buna göre sınıftan rastgele seçilen üç kişinin, üçününde çalışkan olduğu bilindiğine göre, sadece birinin kız olma olasılığı A) 0 B) 0 C) D) 0 E). madeni para at l yor. En az birinin yaz gelme olas l kaçt r? A) B) C) C) E). Birbirinden farklı sarı, kırmızı, beyaz bilye arasından restgele seçilen üç bilyenin üçününde aynı renkte olma olasılığı A) B) C) D) E). soruluk bir sınavda her sorunun tane seçeneği bulunmaktadır. Sınava girecek bir öğrenciye hocası tane sorunun cevabının A, tanesinin B ve diğerlerinin C ve D şıkları olduğunu söylüyor.. arkadaşın doğduğu ayların farklı olma olasılığı Buna göre, bu öğrencinin cevap seçeneklerini rastgele hocanın dediği sayıdaki gibi işaretlerse tüm soruları doğru işaretleme olasılığı A) B) C) D) E) A) 0 B) 0 C) 00 D) 0 E) 0 0

16 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST TEST. Bir sınavı Mehmet'in kazanma olasılığı %0, Erhan'ın kazanma olasılığı dir. Bu sınavı Mehmet veya Erhan'ın kazanma olasılığı. Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya at l yor. Zar n ten büyük veya paran n yaz gelme olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) B) 0 C) D) 0 E) 0. Hileli bir zarda gelme olasılığı, diğerlerinin gelme olasılıkları eşittir. Zar rastgele atıldığında gelen sayının ten büyük gelme olasılığı. A ve B örnek uzay n iki olay d r. PA ( ), PB ( ), PA (, B) ise 0 0 P(A B) A) B) C) D) E) A) 0 B) 0 C) 0 D) E). Bir sınıftaki öğrencilerin %0 ı Fizikten, % i Matematikten geçmiştir. %0 u her iki derstende kaldığına göre, bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Matematikten kalmış olduğu bilindiğine göre, Fizikten geçmiş olma olasılığı. Bir avcının hedefi vurma olasılığı 0, dur. iki atış sonunda hedefin vurulmama olasılığı A) B) C) D) 0 E) 0 A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0. A {,,,, } A kümesinden rastgele bir eleman seçilip, bir zar atılıyor. A kümesinden seçilen elemanla, zarın üst yüzüne gelen sayının aynı olma olasılığı. 0 kiflilik bir s n fta 0 tane k z ö renci vard r. K zlar n üç tanesi, erkeklerin befl tanesi çal flkand r. Rastgele seçilen bir ö rencinin erkek veya çal flkan olma olas l kaçt r? A) 0 B) C) D) E) 0 A) 0 B) C) D) E) 0

17 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. Matematikten geçenler sınıfın ü, matematik ve. coğrafyanın her ikisinden geçenlerin oranı 0 ün %0'ı $ $ 00 Çalışkan Çalışkan olmayan Kız Erkek 0 Çalışkan öğrenci sayısı 0 $ dir. 00 Çalışkan öğrenci vardır. Kız Erkek $ İstenilen ( sarı) veya ( kırmızı) + Tüm durumlar f p. Her zar atışında farklı sayı gelebilir. İki zar atılışında. farklı durum çıkar. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) En az birisi olanlar, (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) durum vardır. durum vardır.. Her para atılışında durum vardır. tane para atılışında.. durum oluşur. _ TTTb YYYb b TTYb TYTb ` tane YTTb YYTb YTY b b TYYb a _ YYT b YTY` tane TYYb a + stenilendurum Tümdurum. farklı durum oluşur. TTTT (TTTT) hariç diğerlerinin hepsinde YYYY yazı vardır. TYYY tanesinde en az bir yazı vardır.... tane.. si. si. sü ayda Kalan Kalan 0 do abilir ay ay 0 $ $. AAAABBCD harflerinin yer değişim sayısı!... 0 tır.!.! olur. 0 0

18 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. Mehmet'in başarısız olma olasılığı % Erhan'ın başarısız olma olasılığı Her ikisinin başarısız olma olasılığı $ 0 Her ikisinin başarısız olması durumu haricindeki durumlar Mehmet veya Erhan'ın başarılı olması durumudur. olur gelme olasılığı Geriye tüm olasılığın olur. ü kaldı. e bölelim. olur. Diğerlerinin gelme olasılıkları ten büyük veya demektir. +. I. yol Zarın ten büyük gelme olasılığı P(A) Paranın yazı gelmesi olasılığı P(B) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) + $ II. yol PA ( ), PB ( ) PA ( + B ) $. P(B) + P(B ı ) P(B) + 0 P(B) 0 P(A B) P(A) + P(B) P(A B) P(A B) 0 PA ( + B). %0 Fiz. % Mat.. Vuramama olasılığı 0, 0,0 00 % % %0 %0 İkisinde de vuramama olasılığı $ Matematikten kalanlar % + %0 % Matematikten kalıp Fizikten geçenler %. Çalışkan Çalışkan olmayan Kız Erkek. (, ) (, ) (, ) olabilir. $ + $ + $ 0 Erkek veya çalışkan öğrenciler + + öğrenci vardır. tane çalışkan olmayan kız öğrenci haricindeki kalan tane öğrenci erkek veya çalışkandır. 0 0

19 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST TEST. 0 ile 0 aras ndaki do al say lardan rastgele seçilen birisinin tek say oldu u bilindi ine göre, asal olma olas l kaçt r?. evli çiftin bulunduğu bir topluluktan rastgele seçilen dört kişinin hiçbirisinin birbirinin eşi olmama olasılığı A) 0 B) C) D) E) 0 A) B) C) D) E). 0 kiflilik bir s n fta k z ve tane gözlüklü erkek ö renci vard r. Rastgele seçilen bir ö rencinin erkek oldu u bilindi ine göre, gözlüksüz olma olas l kaçt r?. Rastgele seçilen bir tamsay n n karesinin birler basama ndaki rakam n olma olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) 0 B) C) D) E). Bir futbolcunun herhangi bir maçta gol atma olas l tür. Buna göre, bu futbolcunun oynad maç n sadece ikisinde gol atma olas l kaçt r?. den 0 ye kadar olan do al say lardan rastgele seçilen iki do al say dan birisinin di erinin yar s olma olas l kaçt r? A) B) C) D) E) A) 0 B) C) D) 00 E). D C B A d H E tane noktadan rastgele seçilen üç tane noktan n yaln zca iki tanesinin d do rusu üzerinde olma olas l kaçt r? F. Bir zar n üç yüzü beyaza, iki yüzü sar ya, bir yüzü maviye boyan p at l yor. Zar n gözükebilecek yüzlerindeki renklerin üç tanesinin beyaz, birinin sar, birinin mavi olma olas l kaçt r? A) B) C) D) 0 E) A) B) C) D) E)

20 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST TEST. Örnek uzay n ayr k üç olay A, B ve C dir. P(A) + P(B). C B A P(B) + P(C) olduğuna göre, P(B') kaça eflittir? A) B) C) D) E) D E F K N Yukar daki tane noktadan rastgele seçilen üç tanesinin üçgen oluflturma olas l kaçt r? A) B) C) D) E) 0. Bir avc n n hedefi vurma ihtimali 'tür. Avc n n üç at fl sonunda hedefin vurulma olas l kaçt r? A) B) C) D) E). den ye kadar numaraland r lm fl tane karttan rastgele iki tanesi seçiliyor. Seçilen kartlardaki numaralar n toplam n n ten büyük olma olas l kaçt r? A) B) C) D) E). Bir s n ftaki ö rencilerin %'i A gazetesi, %0'i B gazetesini okuyor. Bu s n ftan rastgele seçilen bir ö rencinin her iki gazeteyi okuyor olma olas l en fazla kaçt r? A) 0 B) 0 C) D) E). Bir kutuda beyaz, kırmızı, sarı top vardır. Kutudan rastgele çekilen topun, yalnız bir tanesinin beyaz olduğu bilindiğine göre, diğerinin sarı olma olasılığı A) B) C) D) E). Ahmet ve Mehmet'in de bulundu u 0 kiflilik bir gruptan kifli seçiliyor. Bu grupta Ahmet'in olup Mehmet'in olmama olas l kaçt r?. İçlerinde Celal ve Cemal'in de olduğu kişi düz bir sıraya oturacaklardır. Celal'in Cemal'in solunda olma olasılığı A) B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 A) 0 B) 0 C) D) 0 E)

21 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. {,,,,,,,,, } tek say lar {,,,,, } asal say lar 0. αα, αα, αα, αα, αα çiftten herhangi ü fp farklı şekilde seçilir. Bu çiftlerin herbirisinden ise f p farklı şe- kilde birer kişi seçilebilir. Tüm durum sayısı ise 0 kişiden kişi seçilerek bulunur.. Gözlüklü Gözlüksüz Erkek f p 0 Kız Erkekler kişi taneden tanesinin birler basamağı olur. 0. Gol atma olasılığı ise atamama olasılığı tür. G G G + G G G + G G G durum vardır. $ $ + $ $ + $ $. _ (, ) b (, ) b b (, ) b. ` tane. b b. b (, 0) b a 0. Dört noktadan ikisi seçilecek d Üç noktadan birisi seçilecek $. Bir zar atıldığında gözükebilecek yüz, tabana gelen gözükmeyen yüz olur. Biz tabana gelen yüzü tespit edelim. B, B, B, S, S, M B, B, B, S, M yüz gözükenler Tabana sarı gelmiştir. Zarı attığımızda tabana gelen yüzün sarı gelme olasılığı tür.

22 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. P(A) + P(B) P(B) + P(C) + PA ( ) + PB ( ) + PC ( ) + PB ( ) P(B) P(B) + P(B ı ) + PB ( ) PB ( ).. {,,,,,, } %(, )(, )(, )(, )/& dört tanesinin toplamı 0. Vurma ihtimali tür. ise vuramaması ihtimali Üç atışta hedefin vurulmaması olasılığı $ $ dir. Hedefin vurulması ihtimali veya ten küçük. % %0 Sınıfın en fazla %'i her iki gazeteyi okuyabilir. % % Birisi beyaz olduğundan biz diğer topu seçelim. sarı, kırmızı toptan çekilen topun sarı gelmesi olasılığı tür.. Ahmet'in olup Mehmet'in olmadığı kişi, seçilirken Ahmet ve Mehmet hariç kalan kişiden Ahmet'in yanına kişi seçeriz. d n 0 0 d n 0. Tüm Durumlar! 0 Celal ile Cemal'in yer değiştirmediği durumların! sayısı 0! 0 tanesinde Celal Cemal'in sağında, 0 tanesinde solundadır. 0 0

23 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST TEST. Kenarlar 0 ve br olan dikdörtgenin içine bir nokta konuyor. Konulan noktan n dikdörtgenin herhangi bir köşesine olan uzaklığının birim veya birimden az olma olas l kaçt r?. Zafer ve Semih'in de olduğu kişi yanyana sıralanacaktır. Zafer ile Semih'in arasında kişinin olma olasılığı A) 0 B) π 0 C) π 0 D) π 0 E) π 0 A) 0 B) 0 C) D) E). A {,, } B {a, b, c, d, e, f } A dan B ye tan mlanan bütün fonksiyonlar birer kez kartlara yaz l p torbaya at l yor. Torbadan rastgele seçilen karttaki fonksiyonun bire bir fonksiyon olma olas l kaçt r?. Bir torbada den ya kadar numaralandırılmış tane kart vardır. Bu torbadan art arda üç kart çekiliyor. Bu üç karttaki sayıların toplamının veya den küçük olma olasılığı A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 0. Bir tak m n oynad maçta galip gelme olas l ma lup olma olas l n n yar s, berabere kalma olas l n n üç kat d r. Buna göre, bu tak m n oynad iki maçtan sadece birini kazanma olas l kaçt r?. A {,, } kümesi üzerinde tanımlanan bütün bağıntılar içerisinden rastgele seçilen bir bağıntının yansıyan bir bağıntı olma olasılığı A) 00 B) 0 C) D) E) A) B) C) D) E). ki tane torbadan birinci torbada sar, k rm z ve ikinci torbada sar, k rm z bilye vard r. Birinci torbadan bir bilye al n p ikinci torbaya at l yor. Daha sonra ikinci torbadan al nan bilyenin sar olma olas l kaçt r? A) 0 B) C) 0 D) 0 E). A {,, } kümesi üzerinde tanımlanan elemanlı bütün bağ ntılar arasından rastgele seçilen bir bağıntının yansıyan bir bağıntı olma olasılığı A) B) C) D) E)

24 OLASILIK ÇÖZÜMLÜ TEST TEST. Bir pastaneye giden beş arkadaş pasta, baklava ve tulumba siparişi veriyor. Siparişi hazırlayan garson kimin ne istediğini karıştırıyor. Siparişleri rastgele dağıtıyor. Buna göre garsonun siparişleri doğru şekilde dağıtma olasılığı A) B) 0 C) D) 0 E) 0. A) O B) A B O, üç tane çemberin merkezidir. OA AB BC C olduğuna göre, büyük çember içine rastgele işaretlenen bir noktanın taralı bölge üzerinde olma olasılığı C) D) E). 0. ki tane torbadan birinci torbada beyaz, mavi, di erinde beyaz, mavi bilye vard r. Rastgele al nan bir bilyenin beyaz oldu u bilindi ine göre, birinci torbadan al nm fl olma olas l kaçt r? A) B) C) D) 0 E). (x+) aç l m ndaki terimlerden rastgele iki tanesi seçiliyor. Seçilen bu iki terimin katsay lar n n çarp m n n tek olma olas l kaçt r? A) B) C). A 0 B D E H F G C D) E) 0 Yandaki şekilde ABCD dikdörtgensel bölgesi ile EFGH dikdörtgensel bölgesi benzerdir. Buna göre, ABCD dikdörtgensel bölgesi içine rastgele işaretlenen bir noktanın EFGH dikdörtgensel bölgesi üzerinde bulunmamas olasılığı kaçt r? A B C D E Yukarıdaki şekilde makineye atılan bir top engellere değerek aşağıya inip A, B, C, D veya E bölmelerinden çıkmaktadır. Topun herhangi bir engele geldikten sonra sağa ve sola gitme olasılıkları eşittir. Buna göre bu makineye bırakılan bir topun B bölmesinden çıkma olasılığı A) B) C) D) E). Kenarları br, br ve br olan bir dikdörtgenler prizmasının bütün yüzleri boyanıyor. Sonra bu prizma bir kenarı br olan küplere ayrılıyor ve bu küçük küpler bir torbaya konuluyor. Buna göre torbadan rastgele alınan bir küpün sadece iki yüzünün boyalı olması olasılığı A) B) C) D) E). tane sarı, tane kırmızı top farklı iki kutuya istenilen sayıda yerleştirilebilmektedir. Toplar yerleştirilip rastgele bir kutu ve bu kutudan da rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun sarı çıkma olasılığı en fazla A) B) C) D) E) A) B) C) D) E)

25 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. Dikdörtgenin alanı 0. 0 br Konulan nokta şekildeki gibi yarıçapı br olan çeyrek dairelerin içinde olması gerekir.. A tane çeyrek dairenin alanları toplamı π. $ π B a b c d e f Fonksiyon sayısı.. π π 0 0 Birebir fonksiyon sayısı G M. B B, G, M G B, M tane tane $ Tüm durum f 0 p $ 0. I. torba II. torba sarı kırmızı sarı kırmızı durum vardır. ItorbadanSar. I. torbadank rm z f p+ f p II. torbadan sar II. torbadan sar $ + $ Tüm durumların sayısı! 0 İstenilen ( Zafer, asemih,, b, c kişi gibi düşünülecek. Zafer ile Semih arasındaki kişi fp farklı şekilde seçilir. fp$!! $ 0 0. {,,,,, } arasından, fp 0 farklı şekilde farklı tane sayıdan oluşan grup oluşturulabilir. Bunlardan, {,, }, {,, }, {,, }, {,, } tanesinin toplamı den büyüktür. 0 tanesi de toplamı veya den küçüktür. 0. AxA{(, )(, )(, )(, )(, )(, )(, )(, )(, )} A'dan A'ya bağıntı sayısı Yansıyan bağıntıda (, ), (, ) (, ) mutlaka olacağından bu tane elemanın olduğu tane bağıntı yazılabilir.. AxA{(, )(, )(, )(, )(, )(, )(, )(, )(, )} elemanlı bağıntı sayısı fp elemanlı yansıyan bağıntı sayısı {(, ), (, ), (, ),, } Geriye kalan elemandan eleman seçmeliyiz. fp tane

26 OLASILIK TEST - ÇÖZÜMLERİ. P, P, B, B, T harfleri kendi içinde! 0 farklı şekilde yer değiştirilebilir.!.!.! 0. I. yol 0. I. torba II. torba beyaz mavi beyaz mavi I. torbadan beyaz I. torbadan beyaz + II. torbadan beyaz II. yol K K dan B ye giderken $ $ + $ +. Katsayılar {,, 0, 0,, } {,,, } tane 0 $ 0.,,, yollarını kullanıyoruz. A B C D E Bu dört karakterin yer değişim sayısı tekrarlı permütasyondan olur.!! Bütün yolların sayısı her aşağıya inişte farklı yoldan inebileceğinden... olur.. A 0 B F E br H D G br C İki dikdörtgen benzer olduğundan EF br olabilir. 0 yüzü boyalı küplerin sayısı tanedir. Toplam.. tane küp vardır.. π. π π. π. Sar ç kma olas l n n en fazla olmas için torbalardan birine sar, di erine sar ile k rm z top konulur. π. π A A A A A Sarı Sarı Kırmızı $ + $