3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x [a,b]olmak üzere her x [a, b] için x ile x arasında öyle bir ξ sayısı vardır ki, f(x) = P n (x) + R n (x) dir. P n (x): Taylor Polinomu R n (x): Kalan Terim P n (x) = f(x ) + f (x ) ) + f (x )! ) +. + fn (x ) ) n R n (x) = f(n+1) [ξ(x)] (n + 1)! ) (n+1) Eğer x = alınırsa f(x), MCLAURIN serisi ile ifade edilmiş olur. ÖRNEK: f(x) = cos (x) için. ve 3. mertebeden Taylar polinomlarını bulunuz. P=? ve P3=? ve cos(,1) değerini her iki polinomla hesaplayınız. Çözüm: f C [R] olduğundan Taylor serisi ile ifade edilebilir. Yani; f(x) = P (x) + R (x) ya da f(x) = P 3 (x) + R 3 (x) olarak yazılabilir.
3 P n (x) = cos (x ) + cos (x ) ) + cos (x )! + cos (x ) 4! ) 4 + cos (x ) 5! ) + cos (x ) ) 3 ) 5 +. + cosn (x ) ) n P n (x) = cos (x ) sin(x ) ) cos (x )! + cos (x ) 4! ) 4 sin(x ) 5! ) + sin(x ) ) 5 +. + cosn (x ) ) 3 ) n P (x) = cos (x ) + cos (x ) ) + cos (x )! ) x = olmak üzere; P (x) = cos () + ( sin() (x ) + ( cos()) (x ) = 1 x! R (x) = sin [ξ(x)] (x ) 3 f(,1) = cos (,1) in. mertebeden Taylor polinomu değeri; cos (,1) =P (,1) + R (,1) cos (,1) = 1 (,1) + (,1)3 sin[ξ(x)] 6 cos (,1) =,99995 + 6 1 6 sin[ξ(x)] cos (,1),99995 =6 1 6 sin[ξ(x)]
4 < ξ(x)<,1 dir ve biliyoruz ki sin[ξ(x)] 1 dir.fakat bu değer çok geniş bir hata aralığı verir. Hata aralığını daraltmak için sin(x) x bağıntısını kullanalım. Dolayısı ile sin[ξ(x)] < ξ(x) <,1 olduğundan; cos (,1),99995 < 6 1 8 olarak bulunur. P 3 (x) = cos (x ) + cos (x ) ) + cos (x ) x = olmak üzere;! ) + cos (x ) ) 3 P 3 (x) = cos (x ) sin(x ) ) cos (x )! ) + sin(x ) ) 3 P 3 (x) = cos () + ( sin() (x ) + ( cos()) (x ) +! sin () (x ) 3 = 1 x 6 R 3 (x) = cos [ξ(x)] (x ) 4 4! f(,1) = cos (,1) in 3. mertebeden Taylor polinomu değeri; cos (,1) =P 3 (,1) + R 3 (,1) cos (,1) = 1 (,1) + (,1)4 cos[ξ(x)] 4 cos (,1) =,99995 + 4, 1 1 cos[ξ(x)] cos (,1),99995 =4, 1 1 cos[ξ(x)] ve cos[ξ(x)] 1 olduğundan cos (,1),99995 4, 1 1
5 Örnek: cos(x)d x integralini P3 ile hesaplayınız ve hatayı bulunuz. cos(x)d x = [1 x + x 4 4 cos[ξ(x)]] d x cos(x)d x = (x x 3 6 ) + x 4 4 cos[ξ(x)] d x cos(x)d x = 6 1 3 + x 4 4 cos[ξ(x)] d x cos(x)d x,998 3 = x 4 4 cos[ξ(x)]d x cos(x)d x,998 3 x 4 4 d x = 8, 3 1 8 Örnek: Aşağıda verilen polinomun Taylor serisi açılımından yararlanarak x=1 değerini yaklaşık olarak hesaplayınız. Bu sonucu kullanarak mutlak hatayı seri içerisinde en az beş terime (n=5) kadar alarak hesaplayınız. f(x) = x 4.15 x 3,5 x,5x + 1,
6 Çözüm: Fonksiyonun gerçek değeri f(1) = 1 4.15 1 3,5 1,5 1 + 1, =. dir. P(x) = f(x ) + f (x ) ) + f (x )! ) +. + fn (x ) ) n iken f(1) =? x = 1 ise x = olsun. Taylor seri açılımından; n = için P (1) = f() = 1, ve ε =, 1, = 1. n = 1 için P 1 (1) = f() + f () (1 ) =,95 ve ε =,,95 =,75 n = için P (1) = f() + f ()(1 ) + f ()! (1 ) =,45 ve ε =,,45 =,5
7 Bu şekilde devam edildiğinde fonsiyon dördüncü dereceden olduğu için beşinci mertebeden türevi sıfıra eşit olur. Mutlak hata değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. n P(1) ε m 1, 1, 1,95,75,45,5 3,3 4,, ÖRNEK: Aşağıda verinen f(x) = cos (x) fonksiyonunun Taylor serisi açılımından yararlanarak x = π/3 deki değerini yaklaşık olarak hesaplayınız. Bu sonucu kullanarak yüzde olarak bağıl hata değerlerini seri içersinde en az 5 terime kadar alarak hesaplayınız. Çözüm: f(x) = f(x ) + f (x ) ) + f (x )! ) +. + fn (x ) ) n + Hata x = π 3 iken x = π 4 alalım. Gerçek değer f ( π 3 ) = cos (π 3 ) =.5 Taylor seri açılımından; n= için:
8 P (x) = f(x ) = cos(x ) = cos ( π 4 ) =,7716781 ε b =,5,7716781 1 = %41,4,5 n=1 için: P 1 (x) = f(x ) + f (x ) ) = cos ( π 4 ) sin (π 4 ) (π 3 π 4 ) =,51986659 ε b =,5,51986659 1 = %4,4,5 n=,3,4 için değerler aşağıdaki tabloda verilmiştir. n P(x) ε b (%),7716781 41,4 1,51986659 4,4,49775491,449.... 5,499999988,4 1-6 Örnek: f(x) = e x için f(x) in Maclauren seri açılımını bulup x= için mutlak hata,1 olacak şekilde f() yi bulunuz. f(x) = f(x ) + f (x ) ) + f (x )! x =, f(x ) = e = 1 f (x ) = e = 1 f (x ) = e = 1 f (x ) = e = 1 ) +. + fn (x ) ) n + Error
9. e x = 1 x + x! x 3 + x 4 4! x 5 5! + x 6 6! x 7 7! +.. Kaynakça Richard L. Burden, Richard L. Burden (9). Numerical Analysis Brooks/Cole Cengage Learning, Boston. Doç. Dr. İbrahim UZUN, (4), "Numarik Analiz Beta Yayıncılık.