İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim formüllerinin elirli integrl yrdımıyl nsıl kolyc ulunileceğini göreceksiniz. İçindekiler Giriş 9 Aln Hesı 9 Hcim Hesı 5 Değerlendirme Sorulrı 9 Çlışm Önerileri Ünite içinde çözülmüş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz Ynlış sonuçlr çıkmmsı için ln esplrken fonksiyonun ngi rlıkt pozitif, ngi rlıkt negtif olduğunu elirlemeye çlışınız
Çok syıd fonksiyon örnekleri lıp fonksiyonlrın grfikleri ile x-ekseni rsındki; iki fonksiyonun grfikleri rsındki lnlrı esplmy çlışınız Dönel cisimlerin cimleri ile ilgili de çok syıd örnek çözmeye çlışınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI 9. Giriş Geçen ünitede, ir fonksiyonun grfiği ile x-ekseni rsındki düzlemsel ir ölgenin lnının ulunmsı proleminin izi mtemtiğin ikinci n kvrmı oln integrl kvrmın nsıl getirdiğini gördük. İntegrlin çeşitli ilim dllrınd (müendislik, fizik, ekonomi...) çok syıd uygulmlrı vrdır. Bir ünitede u uygulmlrın epsinden setmek imknsızdır. Bu ünitede elirli integrlin sit uygulmlrındn oln düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cmi konulrını ele lcğız.. Aln Hesı Geçen ünitede ir [, ] rlığınd sürekli ve negtif olmyn y = f(x) fonksiyonu için y = f(x) eğrisi, x-ekseni, x =, x = doğrulrı rsındki lnın f(x) dx elirli integrli olduğu isptlnmıştı. Eğer y = f(x) fonksiyonu [, ] rlığınd neg- tif ise o zmn sözü edilen ln - f(x) dx integrline eşittir. Eğer c (, ) olmk üzere, f(x) fonksiyonu (, c) rlığınd negtif, (c, ) rlığınd pozitif ise, o zmn y = f(x) eğrisi, x-ekseni, x =, x = doğrulrı rsındki toplm ln - c f(x) dx + f(x) dx, c eğer fonksiyon (, c) rlığınd pozitif, (c, ) de negtif ise o zmn sözü edilen ln olur. c f(x) dx - f(x) dx c Aşğıdki şekilleri inceleyerek yukrıdki formülleri nlmy çlışınız. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI y = f(x) y = f(x) c c y = f(x) f(x) < Şekil. Bu durumlr A= f(x) dx formülü ile irleştirileilir. Örnek: ) y = x - x - prolü ile x-ekseni rsındki ) y = (x - ) eğrisi, x-ekseni, x = -, x = doğrulrı rsındki ) y = - x eğrisi, x-ekseni, x =, x = doğrulrı rsındki lnlrı esplylım. Çözüm: Aşğıd verilen grfikleri gözönünde tutlım. ) Şekil. x - x - = x = -, x =. Prol, psis eksenini x = - ve x = noktlrınd keser ve (-, ) rlığınd x - x - fonksiyonu negtiftir. Bun göre sözü edilen S lnı şğıdki gii esplnır: S = - (x - x - )dx = - x - - x - x - = - 6 - - 6 - - - + = 5 6.8. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI ) Şekil. x değişkeni [-, ] rlığınd değişirken x (-, ) ise (x -) fonksiyonu negtif, x (, ) ise pozitiftir. Bun göre sözü edilen S lnı S = - (x - ) dx + - (x - ) dx = - (x - x + x - )dx + - (x - x + x - )dx = - x - x + x - x - + x - x + x - x =,5 olur. ) Şekil. - x = x = x =. Bun göre, y = - x fonksiyonu x = noktsınd işret değiştirmektedir. x in ile rsınd olmsı gerektiğini tırlrsk x (, ) iken - x fonksiyonu pozitif, x (, ) iken ise negtiftir. Bun göre ulmk istediğimiz ln, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI S = ( - x )dx - ( - x )dx = x - x - x - x = = - - - - 8 - - = + 69 + = 75 = 8.75 dır. [, ] rlığınd verilmiş y = f(x) eğrisi ile x-ekseni rsındki lnı ulm işleminde ilk dım f(x) in u rlıkt işretinin incelenmesidir.? ) y = x - x eğrisi ile x-ekseni rsındki, ) y = 9 - x eğrisi ile x-ekseni rsındki, ) y = x eğrisi, x-ekseni, x = -, x = doğrulrı rsındki, ) y = sinx eğrisi, x-ekseni, x = π/, x = π/ doğrulrı rsındki lnlrı esplyınız. Cevplrınız, 6,, ve + olmlıdır. [, ] rlığı üzerinde tnımlı, sürekli y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlrı verilsin ve er ir x [, ] için f(x) g(x) eşitsizliği sğlnsın ( f(x) ve g(x) sit işretli olmyilir, şekil.5 e kınız). O zmn y = f(x), y = g(x) eğrileri, x =, x = doğrulrı rsınd kln ln formülü ile esplnır. S = [f(x) - g(x)] dx Şekil.5 Örnek: ) y = x - x eğrisi ve y = x doğrusu rsınd ) y = x ve y = x eğrileri rsınd kln lnlrı ullım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI Çözüm: ) Şekil.6 y = x - x prolü ile y = x doğrusunun kesişim noktlrını ullım. x - x = x x - x = x(x - ) = x = ve x =. Grfikler x = ve x = psisli noktlrd kesişiyorlr. x değişkeni ile rsınd iken prol doğrudn yukrıd klır. Bun göre istediğimiz ln şğıdki giidir: S = (x - x - x)dx = (x - x )dx = x - x = 6. ) Şekil.7 y = x ile y = x eğrilerinin kesişim noktlrını ullım. x = x x = x x(x - ) = x =, x =. x [, ] iken x x olduğundn rd kln ln olur. S = ( x - x )dx = AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ (x - x )dx = x - x = - - =
İ NTEGRAL UYGULAMALARI Eğer [, ] rlığının tüm noktlrınd f(x) g(x) eşitsizliği sğlnmıyors, örneğin, c (, ) olmk üzere, er x (, c) için f(x) g(x) ve er x (c, ) için f(x) g(x) ise y = f(x), y = g(x) eğrileri ve x =, x = doğrulrı rsındki ln S = c [f(x) - g(x)] dx + c [g(x) - f(x)] dx olur. Örnek: y = x, y = x eğrileri rsınd kln ölgenin x = dn x = ye kdr oln kısmının lnını ulunuz. Şekil.8 Çözüm: x (, ) ise x > x ; x (, ) ise x > x olduğundn sözü edilen ln S = x - x dx + x - x dx = x - x + x - x = - + 6 - - - = 9 6 -,95 = dir. Genel olrk [, ] üzerinde sürekli y = f(x) ve y = g(x) grfik eğrileri rsındki ölgenin x = dn x = ye kdr oln kısmının lnı S = f(x) - g(x) dx formülü ile esplnır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI 5 ) y = x eğrisi ve y = - x doğrusu rsındki lnı ulunuz. ) y = sinx, y = cos x eğrileri rsındki ölgenin ki kısmının lnını ulunuz. x = - π den x = π ye kdr-? Cevplrınız 8 ve olmlıdır.. Hcim Hesı Bu ölümde dönel cisimlerin cimlerinin integrl yrdımı ile esplnmsını ele lcğız. [, ] rlığınd sürekli y = f(x) fonksiyonunun grfiğini ele llım. Şekil.9 ABCD düzlem prçsını x - ekseni etrfınd döndürdüğümüzde tnlrı prlel direler oln üç oyutlu ir cisim elde edilir. Bu cisme dönel cisim denir. Bu cismin cmi V = π f (x) dx formülü ile esplnır. Örnek: ) y = x eğrisi, x-ekseni, x = ve x = doğrulrı ile sınırlı, ) y = e x eğrisi, x - ekseni, x = - ve x = doğrulrı ile sınırlı ölgelerin x - ekseni etrfınd dönmesiyle oluşn dönel cisimlerin cimlerini ullım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
6 İ NTEGRAL UYGULAMALARI Çözüm: ) V = π x dx = π x dx = π x = π 8 - = 5 π,55. ) V = π e x dx = π - e x dx = π ex - - = π e - e -,. Şekil. Örnek: y = x - x prolü, x = ve x = doğrulrı ile sınırlı ölgenin x - ekseni etrfınd dönmesiyle oluşn dönel cismin cmini ullım. Çözüm: V = π x - x dx = π x - x + x dx = π x5 5 - x + x = π 8 5-5 + = π 5 - + 5 5 = 6 5 π 9,6.? Şekil. y = eğrisi, x - ekseni x =, x = doğrulrı ile sınırlı ölgenin x - ekseni x etrfınd dönmesinden meydn gelen cmi ulunuz. Cevınız π 6 olmlıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI 7 Geometriden ilindiği gii yrıçpı R, yüksekliği oln diresel dik koninin cmi; tn yrıçplrı R ve r, yüksekliği oln kesik koninin cmi; yrıçpı R oln kürenin cmi sırsıyl şğıdki formüllerle verilir: V = π R, V = π R + Rr + r, V = π R. Şimdi u formüllerin dönel cisimlerin cimleri formulünden nsıl elde edileileceğini görelim. Diresel Dik Koninin Hcmi Diresel dik koniyi ve koordint sistemini şekildeki gii llım. A R α B Şekil. AB = R, OB = olur. Bu durumd koni, [OA] doğru prçsının x - ekseni etrfınd dönmesiyle elde edilen dönel cisimden şk ir şey değildir. Dönel cismin cim formülünü uygulyilmemiz için OA doğru prçsının denklemini y = f(x) şeklinde ifde etmemiz gerekiyor. OA nın denklemi y = mx şeklindedir. m eğimi tnα y eşit olduğundn m = tnα = AB OB = R ; OA nın denklemi y = R Burdn, dönel cismin cim formülüne göre koninin cmi olur. V = π = π. R f (x) dx = π. x R x dx = π = π. R. R x olrk ulunur. x dx = π R. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
8 İ NTEGRAL UYGULAMALARI Kesik Koninin Hcmi Şekil. Kesik koniyi ve koordint sistemini şekildeki gii llım. OA = r, BC = R, OC = olur. Kesik koni, [AB] doğru prçsının x - ekseni etrfınd dönmesinden meydn gelir. AB nin denklemini ullım. Doğrunun denklemi y = mx + n giidir ve m, n sitleri ulunmlıdır. m = tnα, n = r, tnα = BD AD = R - r olduğundn AB nin denklemi y = R - r x + r olur. Bun göre kesik koninin cmi olrk, V = π R - r x + r dx = π R - r x r (R - r) + x + r dx = π R - r x + r (R - r) x + r x = π R - r r (R - r) + + r = π R - r + r (R - r) + r = π R - Rr + r + Rr - r + r = π R + Rr + r ulunur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI 9 Kürenin Hcmi Şekil. Koordint sistemini şekildeki gii kürenin merkezinde seçelim. O zmn küre, ABC yrım çemerinin x - ekseni etrfınd dönmesinden meydn gelen ir dönel cisimdir. Bun göre ABC eğrisinin y = f(x) şeklindeki denklemini ulmmız gerekiyor. Merkezi koordint şlngıcınd, yrıçpı R oln çemerin denklemi x + y = R dir. Bun göre ABC yrım çemerinin denklemi dir. Bun göre kürenin cmi, y = R - x -R x R V = π R f (x) dx = π -R R -R R - x dx = π R -R R - x dx = π R x - x R -R = π R - R - -R + R = π R - R = π R = π R olrk ulunur. Değerlendirme Sorulrı. f: [-, ] IR, f(x) = x fonksiyonunun grfiği ile x-ekseni rsındki ln kç irimkredir? A. B. 5/ C. D. / E. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI. f: [, π] IR, f(x) = cosx eğrisi, x =, x = π doğrulrı ve x-ekseni trfındn sınırlnn ln kç irimkredir? A. B. C. / D. E. π. y = e x eğrisi, x =, x = doğrulrı ve x-ekseni trfındn sınırlnn ln kç irimkredir? A. e B. e / C. e - D. e + E. e. f: [, ] IR, f(x) = lnx eğrisi, x-ekseni ve x = e doğrusu trfındn sınırlnn ln kç irimkredir? A. e B. e / C. D. /e E. /e 5. y = x + x - prolu ile x-ekseni rsınd kln ln kç irimkredir? A. / B. 9 C. 9/ D. E. 5/ 6. y = lnx eğrisi, x = e irimkredir? doğrusu ve x-ekseni trfındn sınırlnn ln kç A. - e B. e C. e D. E. e ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI 7. y = x - eğrisi ile y = x - doğrusu trfındn sınırlnn ln kç irimkredir? A. /6 B. / C. / D. 5/6 E. 8. f: [, π] IR, f(x) = sinx eğrisi ile x-ekseni trfındn sınırlnn ln kç irimkredir? A. / B. C. / D. E. 9. y = x, y =, x = trfındn sınırlnn ölgenin x-ekseni etrfınd dönmesiyle oluşn dönel cismin cmi kç irimküptür? A. 6π B. π C. π D. 6π E. 7π. y = - x eğrisi ile x-ekseni rsınd kln ölgenin x-ekseni etrfınd dönmesiyle oluşn dönel cismin cmi kç irimküptür? A. π B. π C. π D. π E. π. y = - x eğrisi ile x-ekseni rsınd kln lnın x-eksenin etrfınd dönmesiyle oluşn dönel cismin cmi kç irimküptür? A. π B. π C. 8π D. π E. π AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ
İ NTEGRAL UYGULAMALARI. y = x eğrisi, x = -, x = doğrulrı ve x-ekseni trfındn sınırlnn lnın x-ekseni etrfınd dönmesiyle oluşn dönel cismin cmi kç irimküptür? A. π 7 B. π 7 C. π 7 D. π 7 E. π Değerlendirme Sorulrının Ynıtlrı. B. D. C. C 5. A 6. A 7. A 8. E 9. C. A. B. B ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ