ÜN TE II A. CEB RSEL FADELER, Efi TL K VE DENKLEM 1. Cebirsel fadeler 2. Denklemler ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-I B. ÇARPANLAR VE ASAL SAYILAR 1. Do al Say lar n Çarpanlar ve Katlar 2. Bölünebilme Kurallar 3. Asal Say lar 4. EBOB ve EKOK ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST II-II
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI Bu bölümün konular n çal flt n zda; * Say örüntülerini modelleyecek, * Örüntülerdeki iliflkiyi harflerle ifade edecek, * Do al say lar n kendisiyle tekrarl çarp m n üslü biçimde gösterecek, * Üslü say n n de erini belirleyecek, * Probleme uygun cebirsel ifade yazacak, * Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözecek, * Do al say lar n çarpanlar n ve katlar n belirleyecek, * Bölünebilme kurallar n aç klayacak, * Asal say lar belirleyecek, * Do al say lar n ortak bölenlerini ve ortak çarpanlar n problem çözümünde uygulayacaks n z. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? Bu bölümün konular n kavrayabilmek için; * Örnekleri dikkatle inceleyiniz ve anlamaya çal fl n z. * Örneklerle ilgili aç klama ve uyar lar dikkate al n z. * De iflik kaynaklardan edindi iniz problemleri denklem kurarak çözmeye gayret edin i z. * Anlamad n z konularda çevrenizden yard m isteyiniz. 54
: CEB RSEL FADELER Esra n n yafl, Leyla n n yafl ndan 2 fazlad r. Buna göre, her ikisinin yafllar n n kaç olabilece ini bulal m. Esra 1 yafl ndaysa, Leyla n n yafl 1 + 2 = 3 tür. Esra 2 yafl ndaysa, Leyla n n yafl 2 + 2 = 4 tür. Esra ve Leyla n n yafl n veren afla daki gibi bir tablo oluflturabiliriz. Tablo: Esra ve Leyla n n yafllar Esra n n yafl Leyla n n yafl 1 1 + 2 = 3 2 2 + 2 = 4 3 3 + 2 = 5 4 4 + 2 = 6 5 5 + 2 = 7...... a a + 2 Esra n n yafl artt kça Leyla n n yafl da artmaktad r. Buna göre, Esra n n yafl n bir sembolle gösterirsek, Leyla n n yafl n daha kolay ifade ederiz. Esra n n yafl na a dersek, Leyla n n yafl a + 2 olur. Burada, a harfine de iflken ya da bilinmeyen ad verilir. a + 2 ifadesi ise içinde de iflken oldu undan cebirsel ifade olarak adland r l r. En az bir bilinmeyen ve ifllem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir. 55
Afla daki tabloda yeralan sözlü ifadeleri cebirsel ifade olarak yazal m. Sözlü ifade Cebirsel ifade Ela n n oyuncaklar, Mert inkinden 5 fazla a + 5 Ayfle nin yafl Filiz in yafl n n 2 kat 2.m 30 dakikal k bir s navda kalan süre 30 - b Bir say n n 3 kat n n 4 fazlas 3x + 4 Eflkenar üçgenin çevre uzunlu u 3.y Bir cebirsel ifadede bir say ile bir de iflken veya birden fazla de iflkenin çarp m na terim, terimlerin say sal çarp m na ise kat say denir. Afla da verilen her bir modele karfl l k gelen cebirsel ifadeyi yaz n z. 3-6 - 9-12 - 15 -... say örüntüsüne göre; a) Örüntünün 10 ve 16. ad mlar ndaki say lar bulal m. Örüntüyü inceledi imizde her bir ad mdaki say n n, ad m say s n n 3 kat na eflit oldu u görülmektedir. Buna göre; 10. ad mdaki say 3 x 10 = 30 16. ad mdaki say 3 x16 = 48 fleklinde bulunur. 56
b) Örüntüye uygun cebirsel ifadeyi elde etmek için tablo olufltural m. Say n n örüntüdeki s ra numaras Say için kullan lan kare say s Say ile kullan lan kareler aras ndaki say sal iliflkiler 1. seçenek 2. seçenek 1 3 1 + 1 + 1 = 3 3. 1 = 3 2 6 2 + 2 + 2 = 6 3. 2 = 6 3 9 3 + 3 + 3 = 9 3. 3 = 9 4 12 4 + 4 + 4 = 12 3. 4 = 12............ n... n + n + n 3n n harfi verilen örüntüdeki say lar n s ras n veya yerini belirten bir iflaret, sembol veya notasyondur. Bu yüzden n örüntünün n. say s, temsilci say s veya genel say s olarak adland r l r. 57
Bilinmeyeni Bulal m fiekildeki terazi dengededir. Kefelerdeki birim kütleleri inceleyelim. 3 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 4 = 4 Dengedeki terazinin sa kefesine iki birim ekledi imizde ne olur? Dengedeki terazinin kefelerine üç birim ekledi imizde ne olur? Dengedeki terazinin kefelerini birinden bir birim al nd nda, dengenin bozulmamas için ne yap lmal d r? Denge durumu, eflitli in bir modelidir. Bu model = sembolü ile gösterilir. Denge durumundaki terazinin kefelerinde bulunan sembolü ise bilinmeyeni temsil etmektedir. flekli 1 kilograml k kütleyi, Terazinin denge konumunu gösteren cebirsel ifadeyi yazal m. Terazinin sa kefesinde bulunan sembolünü x harfi ile gösterelim. 58 Terazinin sol kefesinde bulunanlar n cebirsel ifadesi x + x + x + 1 + 1 dir. Terazisinin sa kefesinde bulunan kütlelerin matematiksel ifadesi x + x + x + x + x dir.
Denge durumu için = sembolünü kullanarak denge durumuna ait cebirsel ifadeyi, x + x + x + 1 + 1 = x + x + x + x + x 3x + 2 = 5x fleklinde yazabiliriz. Bilinmeyen içeren eflitlikler denklem olarak ifade edilir. Dengedeki terazinin kefelerindeki sembolü, 1 birim kütleyi temsil etmektedir. Buna göre, dengede olan teraziye ait denklemi yazarak sembolü ile gösterilen bilinmeyeni bulal m. Dengede olan teraziye ait eflitlik x + 4 = 7 olarak yaz l r. Terazinin her iki kefesinden bilinmeyenin yan nda bulunan miktarda kütlesini ç karal m. Böylece sembolünün cinsinden efl de erini buluruz 59
Çözümü kontrol etmek için, buldu umuz x = 3 de erini x + 4 = 7 denkleminde yerine yazal m. x + 4 = 7 3 + 4 = 7 7 = 7 oldu undan buldu umuz sonuç do rudur. Kendisinin 6 fazlas 21 olan say kaçt r? sorusuna ait denklemi yazal m ve çözelim. Bilinmeyeni (de iflkeni) x ile gösterirsek, x + 6 = 21 denklemi elde edilir. x i yaln z b rakmak için her iki tarafa (-6) ekleyelim x + 6 + (-6) = 21 + (-6) x = 15 Çözümü kontrol edelim; x + 6 = 21 denkleminde, x = 15 için 15+6 = 21 21 = 21 oldu undan buldu umuz sonuç do rudur. çinde bilinmeyen bulunan eflitliklere denklem, denklemi do ru yapan de iflkenin (bilinmeyenin) de erine denklemin çözümü, bu do ru de eri bulma ifllemine denklemi çözme denir. : Ard fl k üç say n n toplam 63 ise bu say lar n en büyü ü kaçt r? ÇÖZÜM: Ard fl k üç say : 1. say x 2. say x+1 3. say x+2 60
Bu say lar n toplam ; x + x + 1 + x + 2 = 63 3x + 3 = 63 3x + 3 + (-3) = 63 + (-3) En büyük say 3x 3 = 60 3 x = 20 x + 2 = 20 + 2 = 22 dir. Nazl ile annesinin yafllar toplam 56 d r. Annesinin yafl Nazl n n yafl n n 3 kat ndan 4 fazlad r. Buna göre Nazl n n yafl n bulunuz. ÇÖZÜM Nazl n n yafl na x dersek, annesinin yafl 3x+ 4 olur. Nazl ile annesinin yafllar toplam x + 3x + 4 = 56 4x + 4 = 56 4 x + 4 + (-4) = 56 + (- 4) 4x 4 = 56 4 x = 13 Nazl n n yafl 13 tür. 61
ALIfiTIRMALAR 1. 10-20 - 30-40 - 50... say örüntüsündeki iliflkiye karflk l k gelen cebirsel ifadeyi de iflken kullanarak yaz n z. Elde etti iniz cebirsel ifade yard m yla örüntünün 12. ve 20. ad mdaki say lar bulunuz. 2. 5n- 2 cebirsel ifadesinde 8 ve 16. say lar bulunuz. 3. a = 4 için 6a - 1 cebirsel ifadesinin de erini bulunuz. 4. Hangi say n n 5 kat n n 2 eksi i 43 tür? Bu say y bularak çözümün do rulu unu kontrol ediniz. 5. Afla daki denklemleri çözünüz ve çözümün do rulu unu kontrol ediniz. a) x + 7 = 11 b) a - 8 = 25 c) -12 + m = 20 ç) 3b = 21 d) 3y-11 = 70 e) 5x - 2(3-x) = 15 6. Ard fl k befl çift say n n toplam 105 tir. Bu say lar n en büyü ü ile en küçü ünün toplam kaçt r? 7. Özlem pazardan ald 3kg fleftali, 2kg üzüm için 12 YTL ödemifltir. Üzümün kg 1,5YTL oldu una göre, fleftalinin kg kaç YTL dir? 8. Bir top kumafl n, 1 2 'i ile 3 'nün toplam 140 metredir. Bu toptaki kumafl kaç 4 metredir? 9. Ayla, Leyla dan 4 yafl büyüktür. Ayla ile Leyla n n yafllar toplam 48 dir. Her ikisinin yafl n hesaplay n z. 10. 6/A s n f n n mevcudu 33 tür. K zlar n say s, erkeklerin say s n n 2 kat n n 6 fazlas d r. K z ve erkek ö renci say s n bulunuz. 62
ÖZET En az bir bilinmeyen ve ifllem içeren ifadelere cebirsel ifadeler denir. Bir cebirsel ifadede bir say ile bir ya da birden fazla de iflkenin çarp m na terim, terimlerin say sal çarp m na ise kat say denir. n harfi, verilen örüntüdeki say lar n s ras n veya yerini belirten bir iflaret, sembol veya notasyondur. Bu yüzden n örüntüsünün n. say s, temsilci say s veya genel say s olarak adland r l r. çinde bilinmeyen bulunan eflitliklere denklem, denklemi do ru yapan bilinmeyene denklemin çözümü, bu do ru de eri bulma ifllemine denklemi çözme denir. 63
TEST II - I 1. 1-3-5-7-9... say örüntüsündeki 15. say kaçt r? A) 25 B) 27 C) 29 D) 31 2. Genel terimi 2 n + 3 olan say örüntüsünde 4. terim ile 2. terim aras ndaki fark kaçt r? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 3. Buzdolab ndaki yumartalar n 3 tanesini kulland m. Geriye 12 yumurta kald. Verilen duruma uygun denklem afla dakilerden hangisidir? A) 12-3 = x B) x - 3 = 12 C) 12 - x = 3 D) 3-x = 12 4. Bir kavanozdaki k rm z bilyelerin 1 fazlas n n 3 kat n n yar s kadar beyaz bilye vard r. Beyaz bilyelerin say s n veren cebirsel ifade afla dakilerden hangisidir? A) x + 3 2 B) 3x + 1 2 C) x + 1 2 D) 3 x + 1 2 64
5. 2x - 15 = - 25 denklemini sa layan x de eri afla dakilerden hangisidir? A) -20 B) -5 C) 10 D) 15 6. Bir say n n 2 kat n n 1 fazlas ile ayn say n n 3 kat n n 2 fazlas n n toplam 78 dir. Buna göre bu say kaçt r? A) -20 B) -5 C) 10 D) 15 7. Uzun kenar, k sa kenar n n 2 kat ndan 1 fazla olan dikdörtgenin çevresi 38 cm d i r. Bu dikdörtgenin uzun kenar kaç santimetredir? A) 6 B) 7 C) 11 D) 13 8. Hangi say n n 3 kat n n 3 fazlas 63 tür? A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 9. Hangi say n n 3 kat yla 2 eksi inin toplam 30 dur? Yukar daki problemin çözümünü veren denklem afla dakilerden hangisidir? A) 3x - 2 = 30 B) 3x + 2 = 30 C) 3x + x - 2 = 30 D) 3x - x + 2 = 30 65
10. 5 x 2 + 1 cebirsel ifadesinin sözel karfl l afla dakilerden hangisidir? A) Bir say n n 1 fazlas n n yar s n n 5 kat B) Bir say n n 5 kat n n yar s n n 1 fazlas C) Bir say n n 5 kat n n 1 fazlas D) Bir say n n yar s n n 1 fazlas n n 5 kat 11. Serkan n bilyelerinin say s n n 3 fazlas n n 4 kat Orkun un bilyelerinin say s na eflittir. Orkun un 28 bilyesi oldu una göre, Serkan n bilyelerini bulmak için afla daki denklemlerden hangisi kullan l r? A) 4x + 3 = 28 B) 4(x - 3) = 28 C) 4(x + 3) = 28 D) 4x - 3 = 28 12. Ard fl k 5 tek say n n toplam 165 tir. Ortadaki say kaçt r? A) 31 B) 33 C) 35 D) 37 13. Bir baban n yafl 45, iki çocu unun yafllar toplam 15 tir. Kaç y l sonra baban n yafl, çocuklar n yafllar toplam n n 2 kat olur? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 14. ki say dan biri di erinden 5 fazlad r. Küçük say n n 4 kat ile büyük say n n 3 kat n n toplam 155 tir. Büyük say kaçt r? 66 A) 15 B) 20 C) 25 D) 30
ÇARPANLAR VE ASAL SAYILAR 12 say s n n bölenlerini yazal m. 12 : 1 = 12 12 : 2 = 6 12 : 3 = 4 12 : 4 = 3 12 : 6 = 2 12 : 12 = 1 12 say s n n bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12 dir. Bir do al say y kalans z olarak bölen say lara, o say n n bölenleri denir. 36 ve 48 say lar n n bölenlerini yaz n z. 12 say s n n çarpanlar n yazal m. 12 say s n n çarpanlar 12, 6, 4, 3, 2, 1 dir. Dikkat edilecek olursa bu say lar n her biri 12 yi kalans z böler. 24 say s n n çarpanlar n yaz n z. 67
36 say s n n çarpanlar n yazal m. 36 say s n n çarpanlar, 36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1 Bir say n n çarpan ayn zamanda bölenidir. Bir say n n çarpanlar ve bölenleri say dan küçük veya eflittir. Say n n katlar ise say dan büyük veya eflittir. Tek ve Çift do al say lar Birler basama 0, 2, 4, 6, 8 olan say lara çift do al say lar denir. 34756, 12290, 213454, 32, 678,... Birler basama 1, 3, 5, 7, 9 olan say lara tek do al say lar denir. 127, 359, 9763, 2521, 2345,... Örne in, 36 say s n n çarpanlar n n 8 tanesi çift say 3 tanesi tek say d r. 2 x 3 = 6 çarpanlardan biri tek biri çiftse çarp m çifttir. 4 x 5 = 20 2 x 6 = 12 çarpanlardan ikiside çiftse çarp m çifttir. 8 x 4 = 32 3 x 5 = 15 çarpanlar n ikiside tekse çarp m tektir. 7 x 9 = 63 68
Tek say lar T ile çift say lar Ç ile gösterelim. Ç x T = Ç T x Ç = Ç Ç x Ç = Ç T x T = T Ç + T = T T + Ç = T Ç + Ç = Ç T + T = Ç 12, 13 ve 18 in katlar n yazal m. 12 say s n n katlar : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,... 13 say s n n katlar : 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104,... 18 say s n n katlar : 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144,... 5 arkadafl ellerindeki cevizleri torbaya koyuyorlar. Birinci 2, ikinci birincinin 2 kat, üçüncü birincinin 3 kat, dördüncü birincinin 4 kat, beflinci birincinin 5 kat kadar ceviz torbaya koyuyor. a) Torbada kaç ceviz vard r? b) Torbadaki ceviz say s, birincinin torbaya koydu u cevizin kaç kat d r? ÇÖZÜM a) 1. 2 2. 2.2 = 4 3. 2.3 = 6 4. 2.4 = 8 5. 2.5 = 10 b) Torbadaki toplam ceviz say s = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 Torbadaki ceviz say s, birincinin torbaya koydu u ceviz say s n n 15 kat d r. 69
Bölünebilme Kurallar 2 ile kalans z bölünebilme 18 : 2 = 9, 24: 2 = 12, 32: 2 = 16, 46: 2 = 23, 10 : 2 = 5 Birler basama nda 0, 2, 4, 6, 8 rakamlar ndan biri bulunan say lar 2 ile kalans z bölünür. Yani çift do al say lar 2 ile kalans z bölünür. 3472, 6234, 4350, 326, 4258, say lar 2 ile kalans z bölünür. ALIfiTIRMA Afla daki do al say lardan hangileri 2 ile kalans z bölünebilir? 3457, 1324, 42, 6370, 425, 28 32n say s, üç basamakl do al say d r. Bu say n n 2 ile kalans z bölünebilmesi için n yerine yaz labilecek rakamlar bulunuz. ÇÖZÜM 32n say s n n 2 ile kalans z bölünebilmesi için birler basama n n çift say olmas gerekir. Dolay s yla, n yerine 0, 2, 4, 6, 8 rakamlar yaz labilir. 5 ile kalans z bölünebilme 10 : 5 = 2 25: 5 = 5 Birler basama nda 0 veya 5 rakam olan do al say lar 5 ile kalans z bölünür. 34070, 2575, say lar 5 ile kalans z bölünür. ALIfiTIRMA Afla daki do al say lardan hangileri 5 ile kalans z bölünebilir? 35790, 435, 6324, 72670, 4343, 6892 70
435n dört basamakl do al say s n n 5 ile kalans z bölünebilmesi için, n yerine yaz labilecek rakamlar bulunuz. ÇÖZÜM Bir do al say n n 5 ile kalans z bölünebilmesi için, birler basama ndaki rakamlar 0 veya 5 olmal d r. Dolay s yla 435n say s nda, n yerine 0, 5 rakamlar yaz lmal d r. 3 ile kalans z bölünebilme Bir do al say n n rakamlar n n say de erleri toplam 3 ün kat ise bu say 3 ile kalans z bölünür. Örne in, 27 say s 3 ile kalans z bölünür. Çünkü rakamlar toplam 2 + 7 = 9 dur. 9 da 3 ün kat d r. 942 ve 725 say lar 3 ile kalans z bölünebilir mi? 942 say s nda 9 + 4 + 2 = 15 dir. 15 te 3 ün kat d r. 942 say s 3 ile kalans z bölünür. 725 say s nda 7 + 2 + 5 = 14 tür. 14 te 3 ün kat de ildir. 725 say s 3 ile kalans z bölünemez. Afla daki do al say lardan hangileri 3 ile kalans z bölünebilir? 369, 1200, 3249, 275, 62, 156, 34n2 dört basamakl do al say s n n 3 ile kalans z bölünebilmesi için, n yerine yaz labilecek rakamlar bulunuz. ÇÖZÜM 34n2 = 3 + 4 + 2 + n = 9 +n in 3 ün kat olmas için n yerine 0, 3, 6, 9 rakamlar yaz labilir. 9 + 0 = 9 9 + 3 = 12 9 + 6 = 15 9 + 9 = 18 9, 12, 15, ve 18 say lar 3 ün kat d r. 71
4 ile kalans z bölünebilme Birler ve onlar basama 0 veya 4 ün kat olan say lar 4 ile kalans z bölünebilir. 2100 3504, 672, 956 6 ile kalans z bölünebilme 3 ile kalans z bölünebilen her çift say 6 ile kalans z bölünebilir. 36, 702, 8154,... Afla daki tablodaki say lardan hangileri 6 ile kalans z bölünebilir? ÇÖZÜM: Tabloda 3 ile kalans z bölünebilenleri mavi ile 2 ile kalans z bölünebilenleri k rm z ile gösterelim. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Tablodan da görüldü ü gibi 3 ile kalans z bölünebilen her çift say 6 ile kalans z bölünebilir. Siz de 3 ün kat olan say lar yeflil, 9 un kat olan say lar pembe ile boyay n z. 72 9 ile kalans z bölünebilme Bir do al say n n rakamlar n n say de erleri toplam 9 un kat ise bu say 9 ile kalans z bölünebilir. 2709 say s nda 2 + 7 + 0 + 9 = 18 dir. 18 de 9 un kat d r. 2709 say s 9 ile kalans z bölünebilir. 9 ile kalans z bölünebilen her do al say 3 ile de kalans z bölünebilir. Bir do al say n n 3 e bölümü 11 d i r. Ayn say n n 9 ile bölümünden kalan kaç olur?
10 ile kalans z bölünebilme Birler basama nda 0 bulunan her do al say 10 ile kalans z bölünebilir. 720, 4790, 92750, 6273540, 12, 27, 36, 45, 52, 60, 81 say lar ndan hangilerinin 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 ile kalans z bölünebilece ini bulunuz. ÇÖZÜM Tabloda bu say lara kalans z bölünebilenleri +, kalans z bölünemeyenleri - ile gösterelim. Tablo: Say lar ve Bölenleri Say lar 12 27 36 45 52 60 81 100 Bölenler 2 + + + - + + - + 3 + + + + - + + - 4 + - - - - + - + 5 - - - + - + - + 6 + - + - - + - - 9 - + + + - - + - 10 - - - - - + - + Tabloda 4 e, 6 ya ve 9 a kalans z bölünebilen say lar n baflka hangi say lara kalans z bölünebildi ine dikkat ediniz. 73
4 basamakl 34ab say n n 6 ile kalans z bölünebilmesi için a + b nin en büyük de eri kaçt r? ÇÖZÜM: 32ab say s n n 6 ile kalans z bölünebilmesi için 2 ve 3 ile bölünebilmesi gerekir. a n n en büyük de eri 9, b nin en büyük de eri 8 dir. a + b = 9 + 8 = 17 dir. Asal Say lar 1 den ve kendisinden baflka böleni olmayan 1 den büyük say lara asal say denir. 2, 3, 5, 7, 11... say lar asal say lard r. 6, 12, 18, say lar n n çarpanlar n n say s 2 den fazla oldu u için asal say de ildir. : Afla daki tabloda 100 e kadar olan asal say lar iflaretlenmifltir. Tabloyu inceleyiniz. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 74
En küçük asal say 2 dir. 2 çift olan tek asal say d r. 1. 34 ile 49 aras ndaki asal say lar yaz n z. 2. 1 do al say s neden asal say de ildir? Araflt r n z. 3. 17, 23, 37 say lar asal m d r? Nedenini aç klay n z. Asal Çarpanlar na Ay rma Asal Çarpan a ac 54 ün asal çarpanlar 2 ve 3 tür. Bir do al say n n bölenleri, ayn zamanda çarpanlar d r. Bir do al say n n asal say lar n çarp m biçiminde yaz lmas na say n n asal çarpanlar na ayr lmas denir. 18 ve 34 say lar n asal çarpanlar na ay ral m. Asal çarpanlara ayr lm fl hali 3 x 5 x 7 olan do al say y bulal m. ÇÖZÜM 3 x 5 x 7 = 105 75
Asal çarpanlar na ayr lm fl hali 2 3 x 3 x 5 olan do al say y bulal m. ÇÖZÜM 2 3 x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120 ALIfiTIRMALAR 1. Afla da verilen say lar asal çarpanlar na ay rarak yaz n z. a) 32 b) 42 c) 49 ç) 60 2. Afla da asal çarpanlar na ayr lm fl do al say lar bulunuz. a) 2 x 3 x 5 b) 2 3 x 3 2 c) 2 2 x 3 x 5 76
EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (EBOB) 12 ve 18 in bölenlerini bulal m. 12 : 1 = 12 18 : 1 = 18 12 : 2 = 6 18 : 2 = 9 12 : 3 = 4 18 : 3 = 6 12 : 6 = 2 18 : 9 = 2 12 : 12 = 1 18 : 18 = 1 12 nin bölenleri = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } 18 in bölenleri = { 1, 2, 3, 6, 9, 18, } 12 ve 18 in ortak bölenleri = {1, 2, 3, 6} 12 ve 18 say lar n n ortak bölenlerinin en büyü ü 6 d r. 6 say s na, 12 ve 18 say lar n n en büyük ortak böleni (EBOB) denir. EBOB (12, 18) = 6 ki veya daha fazla sayma say s n n ortak bölenleri aras nda en büyük olan na bu say lar n en büyük ortak böleni denir. En büyük ortak bölen k saca EBOB biçiminde yaz l r. EBOB (12, 18) = 6 veya (12, 18) EBOB = 6 biçiminde ifade edilir. 12 ve 18 say lar n n ortak olan asal çarpanlar ayn zamanda bölenleri oldu undan 12 nin ve 18 in en büyük ortak bölenini asal çarpanlar yard m yla bulal m. Say lar birlikte asal çarpanlar na ayr l r. Ortak çarpanlar iflaretlenir. flaretlenen ortak çarpanlar n çarp m verilen say lar n EBOB u dur. 77
24 ve 36 say lar n n EBOB unu bulal m. 18 ve 48 say lar n n EBOB unu bulunuz. 15 ve 30 say lar n n EBOB unu bulal m. Biri di erinin kat olan iki sayma say s n n EBOB u bu say lardan küçü üne eflittir. ALIfiTIRMALAR Afla da verilen say lar n EBOB lar n zihinden bulunuz. a) EBOB (15, 60) = b) EBOB (20, 40) = c) EBOB (12, 72) = ç) EBOB (10, 50) = 78
14 ve 15 say lar n n EBOB unu bulunuz. 14 ve 15 say lar asal de ildir. Ancak 1 den baflka ortak böleni yoktur. 1 den baflka ortak böleni olmayan say lara aralar nda asal say lar denir. Aralar nda asal say lar n EBOB u 1 dir. 12, 24 ve 48 say lar n n EBOB unu bulunuz. ALIfiTIRMALAR 1. 36, 48 ve 64 say lar n n EBOB unu bulunuz. 2. Afla da verilen say lar n EBOB unu zihinden bulunuz. a) EBOB (10, 20, 30) = b) EBOB (12, 48, 72) = c) EBOB (5, 35, 40) = 79
Aralar nda Asal Say lar 14 ve 15 say lar n n bölenlerini yazal m. 14 ün bölenleri, 1, 2, 7, 14 dür. 15 in bölenleri, 1, 2, 3, 5, 15 tir. 14 ve 15 say lar asal olmad klar halde ortak bölenleri 1 dir. Asal say olup olmad klar na bak lmaks z n, 1 den baflka ortak böleni olmayan say lara aralar nda asal say lar denir. ALIfiTIRMALAR Afla da verilen say lardan hangileri aralar nda asald r? Neden? a) 3 ve 9 b) 7 ve 24 c) 12 ve 25 ç) 8 ve 27 Do al Say larda En Küçük Ortak Kat (EKOK) 3 ve 4 say lar n n katlar n yazal m. 3 ün katlar 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,...d r. 4 ün katlar 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,...d r. 3 ve 4 ün ortak katlar, 12, 24, 36,... dir. 3 ve 4 ün en küçük ortak kat 12 dir. EKOK (3, 4) = 12 biçiminde yaz l r. ki veya daha fazla sayma say s n n ortak katlar içinde en küçük olan na, bu say lar n en küçük ortak kat denir. K saca EKOK(3,4) = 12 veya (3, 4) ekok = 12 biçiminde yaz l r. 3 ve 4 say lar n n en küçük ortak katlar n asal çarpanlar yard m yla bulal m. 80
Say lar birlikte asal çarpanlar na ayr l r. Asal çarpanlar n hepsi birbiri ile çarp l r. Çarp m, verilen say n n EKOK udur. 12 ve 45 say lar n n EKOK unu bulal m. ALIfiTIRMALAR Afla daki say lar n n EKOK lar n bulunuz. EKOK (30, 36) EKOK (50, 90, 12) 12 ve 36 say lar n n EKOK un bulal m. Birbirinin kat olan say lar n EKOK u büyük say ya eflittir. LER 18 ve 54 say lar n n EKOK u kaçt r? 54 say s 18 in kat d r. EKOK (18, 54) = 54 tür. 81
ALIfiTIRMALAR Afla da verilen say lar n EKOK unu zihinden bulunuz. 1. EKOK (30, 60) = 2. EKOK (25, 50, 75) = 3. EKOK (18, 75) = 4. EKOK (12, 60) = 12, 18 ve 36 say lar n n en küçük ortak kat n bulal m. 15 ve 8 say lar n n en küçük ortak kat n bulal m. Aralar nda asal iki say n n EKOK u bu say lar n çarp m na eflittir. 12 ve 25 say lar n n EKOK u kaçt r? 12 ve 25 aralar nda asald r. 12 ve 25 in EKOK u, 12 x 25 = 300 dür. 82
Ortak katlar n n en küçü ü 65 olan iki asal say n n toplam 18 dir. Bu asal say lar bulal m. ÇÖZÜM 65 say s n asal çarpanlar na ay ral m. Bu asal say lar 5 ve 13 tür. Toplamlar 18, EKOK lar 65 tir. Bu say lar asal olduklar için çarp mlar EKOK u verir. ALIfiTIRMALAR 1. 14 ve 9 say lar n n EKOK u kaçt r? 2. Aralar nda asal olan iki say n n EKOK u 900 dür. Say lardan biri 25 oldu una göre, di eri kaçt r? EBOB ve EKOK u Ayn fllemle Bulma 48 ve 60 say lar n n EBOB ve EKOK lar n bulunuz. flaretli asal çarpanlar n çarp m EBOB u, bütün asal çarpanlar n çarp m EKOK u verir. 83
ki say n n EKOK u ile EBOB unun çarp m bu say lar n çarp m na eflittir. A x B = (A, B) e.k.o.k x (A, B) e.b.o.b A x B = EKOK (A, B) x EBOB (A, B) 48 x 60 = EKOK (48, 60) x EBOB (48, 60) 2880 = 240 x 12 2800 = 2800 En büyük ortak böleni 15 ve en küçük ortak katlar 525 olan iki say dan biri 75 tir. Buna göre di er say kaçt r? ÇÖZÜM A x B = EKOK (A, B) x EBOB (A, B) A x 75 = 525 x 15 A = 7875 75 A = 105, di er say 105 tir. A ve B birer do al say olmak üzere, EKOK(A, B) = 2 3. 5 2 ve EBOB (A, B) = 2 2. 5 oldu una göre, A x B kaçt r? 1. ÇÖZÜM A x B = EKOK (A, B) x EBOB (A, B) = 2 3. 5 2 x 2 2. 5 = 200 x 20 = 4000 dir. ki say n n çarp m 432 dir. Bu say lar n EBOB u 12 oldu una göre, EKOK u kaçt r? 2. Aralar nda asal iki say n n EBOB u ile EKOK unun toplam 145 tir. Bu say lardan biri 16 oldu una göre, di er say kaçt r? 84
EBOB ve EKOK Problemleri 30, 40 ve 51 say lar n böldü ünde, s ras yla 3, 4, 6 kalan n veren en büyük say kaçt r? ÇÖZÜM Bölen say Δ olsun. Bu say lar n, kalans z bölünebilmeleri için bölünenlerden kalanlar ç kar l r. Δ say s, 27, 36 ve 45 say lar n n bölenlerinin en büyü ü olmal d r. Bu nedenle, bu say lar n EBOB unu bulmal y z. 30, 40, ve 51 say lar n böldü ünde; s ras yla 3, 4, ve 6 kalan n veren en büyük say 9 dur. 96 kg ve 84 kg l k torbalardaki toz flekerler eflit miktarda ve hiç artmayacak flekilde en az say da torba kullan larak paylaflt r lmak isteniyor. a) Torbalar kaç kg l k olmal d r? b) Kaç tane torba gereklidir? 85
ÇÖZÜM : 96 kg ve 84 kg l k flekerleri eflit miktarda ve hiç artmayacak flekildeki torbalar n en büyü ü olmal d r. Bunun için 96 ve 84 say lar n n EBOB u bulmal y z. ALIfiTIRMA Bir sat c n n elinde 36 kg ve 48 kg l k iki torba pirinç vard r. Sat c torbalardaki pirinçleri eflit miktarlarda paketlemek istemektedir. a) Kaçar kilograml k paketler haz rlayabilir? b) Bu torbalardan kaç tane gerekir? Üç ayr ülkeden 24, 30 ve 48 kiflilik üç ö renci grubu gezi için ülkemize geliyorlar. Bir odada sadece ayn ülke ö rencilerinin ve her odada eflit say da ö renci olmas isteniyor. Bu ö renciler için en az kaç oda ayr lmas gerekir? ÇÖZÜM: 86
ALIfiTIRMA Dikdörtgen biçimli bir arsan n uzun kenar 75m k sa kenar 45 m dir. Bu arsan n çevresine eflit aral klarla a aç dikilecektir. a) Aral klar en çok kaç metre olmal d r? b) Bu arsa için en çok kaç a aç gereklidir? Boyutlar 560 cm ve 160 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir banyonun taban na kare biçiminde fayans döflenecektir. Fayanslar en büyük boyutlu olacak ve k r lmadan döfleneceklerine göre bu banyo için kaç tane fayans gereklidir? ÇÖZÜM Kare biçimindeki fayanslar n en büyük boyutlu olmas ve hiç k r lmamas gerekmektedir. Bu durumda fayans n boyutu 560 cm ve 160 cm yi bölen en büyük say yani, EBOB u bulunmal d r? Boyutlar 4 cm, 10 cm ve 12 cm olan dikdörtgenler prizmas fleklindeki kibrit k u t u l a r kullan larak en küçük hacimli bir küp yap lacakt r. Buna göre, en az kaç kibrit kutusu gerekir? ÇÖZÜM 4, 10, 12 say lar n n en küçük ortak kat n n bulunmas gerekiyor. 87
Belli aral klarla çalan üç zilden birinci zil 20 dakikada, ikinci zil 25 dakikada ve üçüncü zilde 30 dakikada bir çalmaktad r. Bu üç zil saat 11.00 de çald ktan sonra tekrar üçü birlikte ilk kez saat kaçta çalar? ÇÖZÜM Faruk bilyelerini dörder, befler ve alt flar sayd nda her seferinde 3 bilyesi art yor. Faruk un 100 den fazla bilyesi oldu una göre en az kaç bilyesi vard r? ÇÖZÜM 88
Bir s n fta bulunan ö renciler Beden e itimi dersinde, alt flarl, dokuzarl ve onikiflerli gruplara ayr l nca her seferinde 5 ö renci art yor. Bu s n f n mevcudu en az kaçt r? ÇÖZÜM S n ftaki ö renciler alt flar grupland na göre 6 n n kat olmal, dokuzar grupland na göre 9 un kat olmal, onikifler grupland na göre 12 nin kat olmal d r. 6, 9 ve 12 nin EKOK unu bulal m. ALIfiTIRMA Boyutlar 6 cm, 8 cm ve 12 cm olan dikdörtgen prizmas fleklindeki tu lalar kullan larak en küçük hacimli bir küp yap lmak isteniyor. a) Bu küpün bir ayr t n n uzunlu u kaç cm dir? b) Bu küp için kaç tu la gerekir? 89
ALIfiTIRMALAR 1. Afla daki do al say lar asal çarpanlar na ay r n z. A) 72 B) 108 C) 240 D) 400 2. 36 say s n n çarpanlar n yaz n z 36 n n kaç tane tek, kaç tane çift say olan çarpan vard r. 3. Afla da asal çarpanlar na ayr lm fl do al say lar bulunuz. A) 2 x 3 2 B) 2 3 x 3 2 C) 2 x 32 x 5 D) 2 x 32 x 7 4. 75, 373, 4300, 5274 say lar ndan hangileri 2 ile kalans z bölünür? 5. 14 ile 46 aras ndaki do al say lardan 3 ile kalans z bölünenlerin kümesini yaz n z. 6. 48, 100, 72, 864, 612 say lar ndan hangileri 4 ile kalans z bölünür? 7. 36 ile 67 aras ndaki asal say lar yaz n z. 8. Afla daki seçeneklerde verilen say lar n en büyük ortak bölenini bulunuz. A) 14, 45 B) 12, 32 C) 24, 36, 48 D) 100, 200, 300 9. Afla daki seçeneklerde verilen say lar n en küçük ortak kat n bulunuz. A) 12, 35 B) 24, 36 C) 12, 24, 36 D) 25, 35, 75 10. Aralar nda asal iki say n n EKOK u 360 d r. Bu say lardan biri 8 ise di eri kaçt r? 90
ÖZET Bir do al say y kalans z olarak bölen say lara, o say n n bölenleri denir. Bir do al say n n bölenleri ayn zamanda çarpanlar d r. Birler basama ; 0, 2, 4, 6, 8 olan say lara çift do al say lar, 1, 3, 5, 7, 9 olan say lara tek do al say lar denir. 2 ile kalans z bölünebilme : Birler basama nda 0, 2, 4, 6, 8 rakamlar ndan biri bulunan say lar 2 ile kalans z bölünür. 5 ile kalans z bölünebilme : Birler basama ndaki rakam 0 veya 5 olan say lar 5 ile kalans z bölünür. 3 ile kalans z bölünebilme : Bir do al say n n rakamlar n n say de erleri toplam 3 ün kat ise bu say 3 ile kalans z bölünür. 9 ile kalans z bölünebilme : Bir do al say n n rakamlar n n say de erleri toplam 9 un kat ise bu say 9 ile kalans z bölünür. 4 ile kalans z bölünebilme : Birler ve onlar basama 0 veya 4 ün kat olan do al say lar 4 ile kalans z bölünür. 6 ile kalans z bölünebilme : 3 ile bölünen her çift say 6 ile kalans z bölünür. 10 ile kalans z bölünebilme : Birler basama nda 0 (s f r) rakam olan say lar 10 ile kalans z bölünür. 1 den ve kendisinden baflka böleni olmayan, 1 den büyük say lara asal say denir. Asal say olup olmad klar na bak lmaks z n 1 den baflka ortak böleni olmayan say lara, aralar nda asal say lar denir. Bir do al say n n asal say lar n çarp m fleklinde yaz lmas na say n n asal çarpanlar na ayr lmas denir. ki veya daha fazla sayma say s n n ortak bölenleri aras nda en büyük olan na, bu say lar n en büyük ortak böleni (EBOB) denir. Aralar nda asal say lar n EBOB u 1 dir. ki veya daha fazla sayma say s n n ortak katlar içinde en küçük olan na, bu say lar n en küçük ortak kat (EKOK) denir. Birbirinin kat olan say lar n EKOK u, büyük say ya eflittir. Aralar nda asal iki say n n EKOK u bu say lar n çarp m na eflittir. ki say n n EKOK u ile EBOB unun çarp m bu say lar n çarp m na eflittir. A x B = EKOK (A, B) x EBOB (A, B) 91
TEST II - II 1. Afla daki say lardan hangisi 3 ile kalans z bölünür? A) 746 B) 985 C) 1294 D) 1392 2. 4a1 üç basamakl say s 3 ile kalans z bölün ü y o r. Buna göre, a yerine yaz labilecek say de erleri toplam kaçt r? A) 12 B) 14 C) 15 D) 18 3. Befl basamakl a6740 say s n n 9 ile kalans z bölünebilmesi için a yerine hangi rakam gelmelidir? A) 1 B) 3 C) 5 D) 9 4. Afla daki say lardan hangisi 3 ile kalans z bölünemez? A) 3679 B) 4806 C) 8292 D) 9534 5. Befl basamakl 2a3b5 say s n n 9 ile kalans z bölünebilmesi için a + b nin alabilece i en büyük de er kaçt r? 92 A) 8 B) 9 C) 17 D) 18
6. 88a üç basamakl say s hem 2 hemde 3 ile bölünebildi ine göre, a yerine kaç farkl rakam yaz l r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 7. Afla daki say lardan hangisi hem 2 hem de 3 ile bölünemez? A) 12 B) 21 C) 36 D) 54 8. Befl basamakl 267a0 say s 4 ile kalans z bölünebildi ine göre a kaç farkl de er al r? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 9. Dört basamakl 3a7b say s 10 ile kalans z bölünebilmektedir. Bu say n n 3 ile kalans z bölünebilmesi için a n n alabilece i de erler toplam kaçt r? A) 12 B) 14 C) 15 D) 18 10. Afla daki say lardan hangisi hem 3 hem de 5 ile kalans z bölünebilir? A) 8052 B) 8210 C) 8304 D) 8460 93
11. 2, 3, 6, 8, 11, 15, 17, 21, 29 say lar ndan kaç tanesi asal say d r? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 12. En küçük asal say kaçt r? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 13. Afla daki say lardan hangisi asal say de ildir? A) 13 B) 23 C) 47 D) 65 14. Afla daki say lardan hangisi 108 say s n n asal çarpanlar na ayr lm fl fleklidir? A) 2 3 x 3 2 B) 2 2 x 3 3 C) 2 x 3 3 D) 2 4 x 3 15. 288 say s n n kaç farkl asal çarpan vard r? 94 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5