GEOMETR K TOPOLOJ. Ders Notlar

GEOMETR K TOPOLOJ Prof. Dr. smet KARACA Ders Notlar

çindekiler 1 MAN FOLDLAR 4 1.1 Manifold.............................. 4 1.2 Diferensiyellenebilir Yaplar................... 5 1.3 Diferensiyellenebilir Fonksiyon.................. 6 1.4 Tanjant Uzay........................... 8 1.5 Al³trmalar............................ 9 2 YÜZEYLER 11 2.1 Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces)............... 11 2.2 Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces).............. 12 2.3 Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces).............. 13 3 YÜZEYLER N SINIFLANDIRILMASI 14 3.1 Ba ntl Toplam(Topolojik Toplam) (Connected Sum)......................... 14 3.2 Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas.............. 15 3.3 Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi............. 15 3.4 Euler Karakteristi i........................ 18 3.5 Yüzeyler Cebiri.......................... 22 3.6 Ekli Uzaylar............................ 23 3.7 Al³trmalar............................ 24 4 TOPOLOJ K GRUPLAR, GRUP HAREKET, L E GRUP- LARI 26 4.1 Topolojik Gruplar......................... 26 4.2 Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar................. 35 4.3 Lie Gruplar............................ 37 4.4 Lie Cebirleri............................ 39 4.5 Al³trmalar............................ 39 1

5 S MPLEKSLER 41 5.1 Ane Uzaylar........................... 41 5.2 Simplisiyal Kompleksler..................... 51 6 S MPL S YAL HOMOLOJ GRUPLARI 55 6.1 Serbest Abel Gruplar....................... 55 6.2 Simplisiyal Zincir Kompleksler.................. 57 6.3 Simplisiyal Homoloji Gruplar.................. 59 6.4 Simplisiyal Kompleksin Euler Karakteristi i.......... 70 6.5 Homoloji ve Simplisiyal Dönü³ümler.............. 72 7 DÜ ÜM TEOR S 73 7.1 Dü ümler, Zincirler, Diya ramlar................ 74 7.2 Reidemeister Hareketleri..................... 80 7.3 Dü üm Renklendirme....................... 81 7.4 Dü üm Renklendirmesine Sistamik Yakla³m.......... 83 7.5 Aynalar VE Dü üm Kodlamas................. 85 7.5.1 Dü üm Kodlamas.................... 86 7.6 Alexander Polinomu....................... 87 7.7 Dü üm Toplamlar........................ 88 7.8 DNA'ya Ksa Bak³....................... 89 7.9 Tangle............................... 90 7.10 Tangle ³lemleri.......................... 92 7.11 4-Plat............................... 94 7.12 Tangle Denklemlerinin Çözümü................. 96 7.13 Özel Bölgeli Rekombimasyon................... 97 7.14 Tangle Modeli........................... 98 7.15 Örnek............................... 99 2

ekil Listesi 1.1 Koordinat Dönü³ümü....................... 5 1.2 diferansiyellenebilir fonksiyon.................. 7 1.3 diferensiyellenebilir fonksiyonlarn bile³keleri de diferensiyellenebilirdir.............................. 8 2.1 Küre 0-kulpludur......................... 11 2.2 Tor 1-kulpludur......................... 11 2.3 2-kulplu.............................. 11 2.4 g-kulplu.............................. 11 2.5 RP 2 1-çapraz yüzeydir....................... 12 3.1................................... 14 3.2 RP 2 # RP 2 Kb........................ 15 3.3 Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi................ 15 3.4 Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi............... 16 3.5 Küpün üçgenle³tirilmesi..................... 16 3.6 Kürenin üçgenle³tirilmesi..................... 17 3.7 RP 2 # T............................. 17 3.8 RP 2 # RP 2............................ 18 3.9 RP 2 # RP 2 # RP 2........................ 18 3.10 S 1 #S 1............................... 22 3.11 Koni dönü³ümü.......................... 23 3.12 Süspansiyon............................ 24 3.13 Silindir dönü³ümü......................... 24 7.1 trefoil dü ümü- sekiz dü ümü -kare dü ümü.......... 75 7.2 hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri....... 76 7.3 uygun çaprazlama-kötü çaprazlama............... 76 7.4 4 1 ve 3 1.............................. 77 7.5 Tangle Örnekleri a.rasyonel b.a³ikar c.asal d.yerel Dü ümlenmi³............................... 91 7.6 4-plat çizimi............................ 95 3

Bölüm 1 MAN FOLDLAR 1.1 Manifold Tanm 1.1.1. (Manifold) M bir topolojik uzay olsun. A³a idaki ko³ullar sa layan M topolojik uzayna "n-boyutlu topolojik manifold" denir. M bir Haussdorf uzaydr. M topolojik uzaynn saylabilir baz vardr. Yerel homeomorktir: p M icin U p M açk var öyle ki h p : U p U R n homeomorzmdir. (U, R n 'nin açk altkümesidir.) Burada p M için (h p, U p ) ikilisine M nin haritas ve {(h p, U p )} p M ailesine ise M nin atlas denir. Örnek 1.1.1. 1. R n 'nin kendisi, n-manifolddur. Gerçekten R n, Housdor, saylabilir baz var ve birim dönü³ümü yerel homemorzmadr. (Ba lantl fakat kompakt de il.) 2. S n, n-manifolddur.(hem ba lantl hem kompakt) 3. Kb, Mb, T or, RP 2, S 2, 2-manifolddur. Özellikler 1.1.1. 4

1. Bir n-manifoldun açk alt kümesi bir n-manifolddur. 2. M m-manifold ve N n-manifold ise M N (m + n)-manifolddur. 3. Bir n-manifold ya ba lantl ya da ba lantsz, ya kompakt ya da kompakt de ildir. 4. Her n-manifold yerel kompakttr. 1.2 Diferensiyellenebilir Yaplar Tanm 1.2.1. (Koordinat Dönü³ümü) M topolojik n-manifold olsun. x 1 : U 1 U 1 ve x 2 : U 2 : U 2 iki çizelge olsun öyleki U 1 U 2 = U 12 olsun. x 12 = x 2 x 1 1 x1 (U 12 ) ve ekil 1.1: Koordinat Dönü³ümü x 21 = x 1 12 = x 1 x 1 2 x2 (U 12 ) dönü³ümlerine koordinat donü³ümü denir. Topolojik Uzayn tüm harita dönü³ümleri diferansiyellenebilir ise manifold diferansiyellenebilirdir denir. 5

Tanm 1.2.2. (Dieomorzm) U, V R n açklar olmak üzere, f : U V ve f 1 : V U fonksiyonlar diferensiyellenebilirdir ise f'ye dieomorzm denir. Örnek 1.2.1. 1. S n diferensiyellenebilir n-manifolddur. 2. R n diferensiyellenebilir n-manifolddur. 1.3 Diferensiyellenebilir Fonksiyon Tanm 1.3.1. (Diferansiyellenebilir Fonksiyon) (M, θ) ve (N, θ) diferansiyellenebilir manifoldlar olsun. p M olmak üzere f : M N sürekli fonksiyon ve p U M açk f(p) V N açk olmak üzere x : U U ve y : V V harita dönü³ümleri için y x f 1 x(u f 1 ) = x(u f 1 (V )) V fonksiyonu x(p) noktasnda diferansiyellenebilir ise f fonksiyonuna p noktasnda diferansiyellenebilir fonksiyon denir. f fonksiyonu p M noktasnda diferansiyellenebilir ise, f fonksiyonuna diferansiyellenebilir fonksiyon denir. Örnek 1.3.1. f : R R 3 p p 3 fonksiyonu x = 0 noktasnda diferansiyellenebilir olmad ndan f fonksiyonu diferansiyellenebilir de ildir. 6

ekil 1.2: diferansiyellenebilir fonksiyon Örnek 1.3.2. g : R S 1 p (cos p, sin p) her noktada diferansiyellenebilir oldu undan g fonksiyonu diferensiyellenebilir. Uyar 1.3.1. Diferensiyelenebilirlik haritalara ba l de ildir. Çünkü y f x 1 diferensiyellenebilir ise ba³ka bir X : U U harita ve Y : V V harita olsa Y f X 1 = (Y y 1 ) (y f x 1 ) (x X 1 ) de diferensiyellenebilirdir. Teorem 1.3.1. f : (M, θ) : (N, φ) ve g : (N, φ) (P, ω) diferensiyellenebilir fonksiyon ise gof : (M, θ) (P, ω) da diferensiyellenebilirdir spat 1.3.1. x : U U x θ p U haritas y : V V y φ f(p) V haritas z : W W z ω gf(p) W haritas olmak üzere T = U f 1 (V g 1 (W )) alalm. g f = h : z g f x 1 x(t = (z g y 1 ) (y f x 1 ) diferensiyellenebilir. ) 7

ekil 1.3: diferensiyellenebilir fonksiyonlarn bile³keleri de diferensiyellenebilirdir. 1.4 Tanjant Uzay Tanm 1.4.1. (Tanjant Uzay) M diferansiyellenebilir manifold. p M olsun. Curves p M = {α : ( ɛ, ɛ) M} diferensiyellenebilir fonksiyonlarn uzay olsun. α, β Curves p M alalm. α p β p noktasnda tanjanttr. p U M açk θ : U U hom. için (θ α) (0) = (θ β) (0) Buradan ; T p M = p M p dir Teorem 1.4.1. Denklik snar haritalara ba l de ildir. spat 1.4.1. α p β olsun. p U M θ : U U ve p V M ψ : V V iki ayr harita iseler ; (ψ α) (0) = (ψ θ 1 θ α) (0) = [(ψ θ 1 ) (θ α)] [(θ α) (0)] 8

= [(ψ θ 1 ) (θ β)] [(θ β) (0)] = (ψ β) (0) T p M tanjant uzayna vektör yaps koyalm. ve n = dim(m) olmak üzere; (U, θ) ; p merkezli çizelge dönü³ümünü tanimlayalm. θ : T p M R n [α] (θ α) (0) φ iyi taniml ve bire-bir dir. + : T p M T p M R n ([α], [β]) [α] + [β] = φ 1 (φ [α] + φ [β]) : R n T p M R n (λ, [α]) λ [α] = φ 1 (λφ [α]) i³lemleri altnda (T p M, R n, +, ) vektör uzay yapsna sahiptir. 1.5 Al³trmalar 1. R n de her U aç topolojik n-manifolddur. Gösteriniz. 2. Birinci sorudan hareketle bir topolojik n-manifoldun her açk altkümesi de (alt uzay topolojisine göre) topolojik n-manifold olabilir mi? Yorumlaynz. 3. S 2 topolojik 2-manifold dur. Gösteriniz. 4. S 1 topolojik 1-manifolddur. Gösteriniz. 5. X topolojik uzay kompakt, Hausdor ve yerel homeomork ise X uzay- nn saylabilir baz vardr (yani X ikinci saylabilir uzaydr). Gösteriniz. Buradan hareketle I = [0, 1] kapal aral topolojik 1-manifold olabilir mi? Yorumlaynz. 9

6. M bir topolojik m-manifold, N bir topolojik n- manifold ise gösteriniz ki M N de topolojik (m + n) - manifolddur. (Yani manifoldlarn kartezyen çarpm da manifolddur). 7. X = S 1 I silindirin topolojik 2 -manifold oldu unu gösteriniz. (Yol gösterme : 4,5,6 nc sorulardan yararlannz.) 8. RP 2 reel projektif düzleminin topolojik 2-manifold oldu unu gösteriniz. 9. S 2 diferensiyellenebilir manifolddur. Gösteriniz. 10. RP 1 ve S 1 dieomork midirler? Açklaynz. (yol gösterme : e iθ [e i θ 2 ] ) 10

Bölüm 2 YÜZEYLER Tanm 2.0.1. Kompakt, ba lantl 2-manifolda bir yüzey denir. Örnek 2.0.1. Silindir, paraboloid,kürenin kulplar çkartlarak elde edilen yüzey. 2.1 Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces) ekil 2.1: Küre 0- kulpludur ekil 2.2: Tor 1- kulpludur... ekil 2.3: 2-kulplu ekil 2.4: g-kulplu 11

Tanm 2.1.1. S g ailesinin g-inci elemanna g genuslu yüzey denir. 2.2 Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces)..... ekil 2.5: RP 2 1-çapraz yüzeydir. Tanm 2.2.1. C 1, C 2,..., C g ailesinin g-inci elemanna g çapraz yüzey denir. 12

2.3 Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces) Tanm 2.3.1. S bir yüzey olsun. 1. S ye ait her kapal e ri yönünü koruyorsa S ye yönlü yüzey denir 2. S yüzeyi üzerinde yönü de i³tiren en az bir kapal e ri varsa S ye yönlü olmayan yüzey denir Örnek 2.3.1. S 2,T, silindir yönlü yüzeylerdir. Kb, Mb, RP 2 yönlü olmayan yüzeylerdir. 1. T S 1 xs 1 2. T = {(x, y, z) R 3 : [(x 2 + y 2 ) 1 2 2] 2 + z 2 = 1} R 3 13

Bölüm 3 YÜZEYLER N SINIFLANDIRILMASI 3.1 Ba ntl Toplam(Topolojik Toplam) (Connected Sum) Tanm 3.1.1. S 1 ve S 2 iki yüzey olsun. Bu iki yüzeyden birer disk çkartlsn ve çkartlan ksmda bu iki yüzeyin yap³trlmasyla elde edilen yeni yüzeye S 1 ve S 2 nin ba lantl toplam denir. Örnek 3.1.1. S 2 # S 2 S 2 ekil 3.1: Özellikler 3.1.1. 1. S 1 # S 2 S 2 # S 1 2. (S 1 # S 2 ) # S 3 S 1 # (S 2 # S 3 ) 3. ki yönlü yüzeyin ba lantl toplam yine yönlü yüzeydir. 4. S 1 ve S 2 herhangi biri yönlü de ilse S 1 # S 2 yönlü de ildir. 14

3.2 Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas Teorem 3.2.1. Bir kompakt yüzey ya küreye ya tora ya da RP 2 # RP 2 Kb ya homeomorfdur. a b a b ekil 3.2: RP 2 # RP 2 Kb π 1 (Kb) = { a, b : aba 1 b = 1} π 1 (RP 2 ) = { a, b : abab = 1} 3.3 Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi Tanm 3.3.1. S kompakt yüzey olsun. S nin üçgenle³tirilmesi S yi kaplayan {T 0, T 1,..., T n } kapal alt kümelerinin sonlu ailesini içerir öyle ki T i ler R 2 deki kapal üçgenlere homeomorfdur. Örnek 3.3.1. 1. Torun üçgenle³tirilmesi b 1 2 3 1 a 4 5 6 4 7 8 9 7 1 2 3 1 ekil 3.3: Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi Kareyi üçgenle³tiriyoruz. Farkl ³ekillerde üçgenle³tirebiliriz. (a) ve (b) durumuda torun üçgenle³tirilmesidir. Yapt mz üçgenle³tirme ile sadece sonraki i³lemlerimiz de i³ecektir. 15

1 2 3 1 5 4 4 5 1 3 2 1 ekil 3.4: Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi 2. Projektif düzlemin herhangi bir üçgenle³tirilmesi 3. Küpün herhangi bir üçgenle³tirilmesi f a a b b f e e d d c c g ekil 3.5: Küpün üçgenle³tirilmesi Not:Kompakt yüzeyin üçgenle³tirilmesi a³a daki iki özellikelli i sa - lar; (a) Üçgenle³tirmenin her kenar iki üçgenin kenardr (b) ϑ, üçgenle³tirmenin bir kö³esi olsun.ϑ kö³eli üçgenler mevcuttur öyle ki bu üçgenlerin ortak kenarlar vardr. g 16

4. Kürenin herhangi bir üçgenle³tirilmesi 2 3 5 1 1 4 6 3 2 ekil 3.6: Kürenin üçgenle³tirilmesi Lemma 3.3.1. Tor ve projektif düzlemin ba lantl toplam üç projektif düzlemin ba lantl toplamna homeomorfdur. RP 2 # T RP 2 # RP 2 # RP 2 a a RP 2# T b c c b a a c b b c ekil 3.7: RP 2 # T 17

a # a a a a b a b ekil 3.8: RP 2 # RP 2 b b b a c a c RP2 # RP2 # RP2 a c ekil 3.9: RP 2 # RP 2 # RP 2 3.4 Euler Karakteristi i Euler karakteristi i, kö³eleri, kenarlar ve yüzeyleri sayaral elde edilir. Bu nedenle hücre(cell) kompleksi üzerinde duraca z. Tanm 3.4.1. n-hücreyi, içinin n-diske homeomorf olan bir topolojik nesne olarak tanmlanabilir. Örnek 3.4.1. 1. 0-hücre (kö³e) bir noktadr. 2. 1-hücre (kenar), içi R de bir açk aral a homeomorftur. 3. 2-hücre (yüz), içi R 2 de bir açk diske homeomorftur. Tanm 3.4.2. Hücre Kompleksi, hücrelerin içi ikili baznda ayrk ve snrlar boyutu dü³ük olan hücrelerin birle³imi olan yani 0-hücre, 1-hücre, 2-hücre hücrelerin birle³imi olarak tanmlayabiliriz. Not 3.4.1. Bir hücre kompleks, bi M yüzeyine homeomorf ise bu hücre kompleksine, M'nin hücre ayr³m denir. Örnek 3.4.2. A³a da yüzeylerin hücre ayr³m verilmi³tir; Buraya ³ekil yaplacak Tanm 3.4.3. Bir M yüzeyinin v kö³esi, e kenar ve f yüzeyi varsa M'nin Euler karakteristi i χ(m) = v e + f ³eklinde tanmlanr. 18

Örnek 3.4.3. 1. S 2 küre yüzeyinin 2 kö³esi, 1 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan χ(s 2 ) = v e + f = 2 1 + 1 = 2. 2. T Tor yüzeyinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan χ(t ) = v e + f = 1 2 + 1 = 0. 3. 2T iki Tor yüzeyinin 1 kö³esi, 4 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan χ(2t ) = v e + f = 1 4 + 1 = 2. 4. RP 2 projektif düzlemin 1 kö³esi, 1 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan χ(rp 2 ) = v e + f = 1 1 + 1 = 1. 5. Kb Klein isesinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan χ(kb) = v e + f = 1 2 + 1 = 0. 6. Mb Möbiüs ³eridinin 1 kö³esi, 2 kenar ve 1 yüzeyi oldu undan Not 3.4.2. χ(kb) = v e + f = 1 2 + 1 = 0. 1. χ(kb) = 0 = χ(t ) olmasna ra men Kb ve T homeomorf yüzeyler de ildir. 2. Kb RP 2 # RP 2 oldu undan χ(kb) = χ(rp 2 # RP 2 ) dir. Teorem 3.4.1. χ(m 1 #M 2 ) = χ(m 1 ) + χ(m 2 ) 2. spat. M 1 yüzeyinin kö³e says v 1 olan 2n 1 -gen ile temsil edilsin. Bu durumda χ(m) = v 1 n 1 + 1. M 2 yüzeyinin kö³e says v 2 olan 2n 2 -gen ile temsil edilsin. Bu durumda χ(m) = v 2 n 2 + 1. 19

M 1 # M 2 yüzeyinin kö³e says v 1 + v 2 1 ve kenar says n 1 + n 2 olan 2(n 1 + n 2 )-gen ile temsil edilir. χ(m 1 # M 2 ) = v 1 + v 2 1 (n 1 + n 2 ) + 1 = v 1 n 1 + 1 + v 2 n 2 + 1 2 = χ(m 1 ) + χ(m 2 ) 2. Not 3.4.3. S 2 kulpsuz yüzey oldu undan S 2 = 0T dir. Sonuç 3.4.1. 1. n 0 için χ(nt ) = 2 2n. 2. m 1 için χ(rp 2 ) = 2 m. spat. 1. n = 0 için 0T = S 2 oldu undan χ(s 2 ) = 2 dir. n = 1 için χ(t ) = 0 dir. n = 2 için χ(2t ) = 2. n 1 için do ru olsun. Yani χ((n 1)T ) = χ(t # T # # T ) = 2 2(n 1) olsun. Yani χ(nt ) = χ((n 1)T # T ) = χ((n 1)T ) + χ(t ) 2 (3.1) = 2 2(n 1) 0 2 = 2 2n. (3.2) 2. Birinci ksmda oldu u gibi m üzerinde tümevarmla ispatlanr. Teorem 3.4.2. M herhangi bir yüzey olsun. χ(m), M'nin hücre ayr³m seçiminden ba mszdr. Sonuç 3.4.2. A³a daki önermeler Denktir; 1. M 1 yüzeyi M 2 yüzeyine homeomorftur. 2. χ(m 1 ) = χ(m 2 ) ve M 1, M 2 nin her ikisi oriyantel veya her ikisi oriyantel de ildir. spat. 1) 2) : h : M 1 M 2 homeomorzma olsun. h, M 1 'in hücre ayr³mn M 2 nin hücre ayr³mna ta³d ndan χ(m 1 ) = χ(m 2 ) dir. Ayrca oriyantellik bir topolojik özellik oldu undan M 1 yüzeyi oriyantel ise M 2 de oriyanteldir. 2) 1) : kinci önerme mevcut olsun. M 1 yüzeyinin M 2 yüzeyine homeomorf oldu unu gösterce iz. Bunun yüzeylerin oriyantel olma ve oriyantel olmama durumlarna göre ispatlayaca z. 20

Durum 1 : M 1 ve M 2 nin her ikiside oriyantel olsun. O zaman M = n 1 T ve M 2 = n 2 T dir. χ(m 1 ) = χ(m 2 ) oldu undan 2 2n 1 = 2 2n 2 n 1 = n 2. Dolasyla M 1 n 1 T = n 2 T M 2 dir. Durum 2: M 1 ve M 2 nin her ikiside oriyantel olmasn. O zaman M = m 1 RP 2 ve M 2 = m 2 RP 2 dir. χ(m 1 ) = χ(m 2 ) oldu undan 2 m 1 = 2 m 2 m 1 = m 2. Dolasyla M 1 M 2 dir Örnek 3.4.4. KB # RP 2, T # RP 2, RP 2 # RP 2 # RP 2 yüzeylerinin homeomorf olduklarn gösterelim. 21

3.5 Yüzeyler Cebiri Verilen kompakt yüzey kelime ile belirtilebilir. Kelime ve devir kuraln kullanarak kompakt yüzeyin düzlem modeli in³a edilir. a a a a a # a ekil 3.10: S 1 #S 1 Örnek 3.5.1. T # Kb # Rp 2 T Kb Rp 2 :acd 1 eec 1 d 1 ba 1 b 1 Teorem 3.5.1. (Pozisyon Devir Kural) Bir kompakt yüzey M kelimesi ile belirtilsin. 1. M = AB ise M BA (Çember Kural) 2. M M 1 (Flip Kural) Teorem 3.5.2. (Küre Devir Kural) M = Axx 1 B bir kompakt yüzeyi belirtsin. (A ve B den en az biri bo³tan farkl) O zaman AB bu kompakt yüzeyi belirtir ve M AB dir. Örnek 3.5.2. Küre için; M = afg 1 e 1 b 1 bec 1 cgdd 1 f 1 a 1 afg 1 e 1 egf 1 a 1 afg 1 gf 1 a 1 aff 1 a 1 aa 1 = S 2 Teorem 3.5.3. (Silindir Devir Kural) M bir kompakt yüzey için kelime ve M = AxBCx 1 D ise M AxCBx 1 D dir. Örnek 3.5.3. M = abca 1 b 1 c 1 = a(bc)a 1 b 1 c 1 a(cb)a 1 b 1 c 1 = acba 1 b 1 c 1 = ac(ba 1 b 1 )c 1 ac(a 1 b 1 b)c 1 aca 1 c 1 = T Not: S 2 = aa 1, T = aba 1 b 1, Rp 2 = aa, Kb = aba 1 b 22

Teorem 3.5.4. (Mobius erit Devir Kural) Bir kompakt yüzeyi belirten kelime M ve M = AxBxC ise M AxxB 1 C dir. Örnek 3.5.4. 1. M = abca 1 b 1 c abccba ccabba ccaabb = Rp 2 Rp 2 Rp 2 = 3Rp 2 2. Kb = aba 1 b abba aabb = Rp 2 Rp 2 = 2Rp 2 3. T Rp 2 = aba 1 b 1 cc a 1 b 1 (cca)b a 1 b 1 cacb a 1 b 1 cca 1 b a 1 b 1 a 1 bcc bab 1 a(cc) = KbRp 2 3.6 Ekli Uzaylar Tanm 3.6.1. A, X in alt uzay ve f : A Y sürekli fonksiyon olsun. Ayrca X Y x A için x f(x) ba nts tanimlansn. = X x f(x) f Y bölüm uzayna X in Y uzayna eklenmesi denir. Örnekler: 1. X = [0, 1] = Y, A = {0, 1} f : {0, 1} [0, 1] x f(x) = 1 2 2. X = [0, 1]x[0, 1] = Y, A = {0}x[0, 1] {1}x[0, 1] f : A Y (s, t) f(s, t) = ( 1 2, t) 3. Koni Xx{1} 4. Süspansiyon XxI ekil 3.11: Koni dönü³ümü 23

Xx{0} Xx{1} ekil 3.12: Süspansiyon 5. Mapping Silindir XxI Y ekil 3.13: Silindir dönü³ümü 3.7 Al³trmalar 1. T S 2 T oldu unu ³ekille gösteriniz. 2. Rp 2 Rp 2 Kb oldu unu ³ekil çizerek gösteriniz. 3. T Rp 2 3Rp 2 oldu unu uygun indirgeme kurallarnn kullanarak ispat ediniz. 4. n tane Rp 2 nin ba lantl toplam 2n kenarl poligonla temsil edilir ve bu toplamn yüzey cebiri ise a 1 a 1 a 2 a 2 a n a n ³eklindedir. (yol gösterme : ispat n üzerinden tümevarmla yaplacaktr. ) 5. Uygun indirgeme i³lemlerinden yararlanarak abc 1 b 1 a 1 c 1 ve acb 1 a 1 c 1 b yüzeylerinin orientable yüzey olup olmadklarn inceleyiniz. 6. ba lantl toplam i³lemi komutatif midir? Birle³meli midir? Birim eleman var mdr? Ters eleman var mdr? Sonucu yorumlaynz. 24

7. b 1 a 1 c 1 c 1 ba yüzeyi ile x 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 yüzeyi ayn yüzeyin cebirsel gösterimi olabilir mi? Açklaynz. (yol gösterme : indirgeme methodlarn kullannz.) 8. 2T Rp 2 5Rp 2 oldu unu gösteriniz. (yol gösterme : 3üncü sorudan yararlannz.) 9. x bir kenar ; P, Q ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin.uygun bir x 1 kenar için ; xxp 1 Q x 1 P x 1 Q dir. ekil çizerek ispatlaynz. 10. x bir kenar, P, Q, R ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin. Uygun bir x 1 kenar için xp Qx 1 R x 1 QP x 1 1 R dir. ekil çizerek ispatlaynz. 11. A³a daki kelimelerin hangi yüzeyi belirtti ini bulunuz. (a) abcba 1 c (b) abec 1 ba 1 cd 1 ed (c) ab 1 cedefa 1 bc 1 d 1 f (d) aba 1 cdb 1 c 1 d 1 (e) ab 1 c 1 a 1 cb (f) abc 1 bca (g) abcb 1 dc 1 d 1 a 1 25

Bölüm 4 TOPOLOJ K GRUPLAR, GRUP HAREKET, L E GRUPLARI 4.1 Topolojik Gruplar Tanm 4.1.1. (G, τ) topolojik uzay ve (G,.) bir grup olsun. A³a daki özellikellikler mevcut ise; (G, τ,.) üçlüsüne topolojik grup denir. 1. f : G G G (x, y) f(x, y) = x.y sürekli fonksiyon 2. g : G G x x 1 sürekli fonksiyon Örnek 4.1.1. 1. (R, τ s, +) bir topolojik guptur. (R, τ s )bir topolojik uzay ve (R, +)bir gruptur. (a) f : R R R (x, y) f(x, y) = x + y = π 1 (x, y) + π 2 (x, y) zdü³üm fonksiyonlar sürekli oldu undan toplamlar da süreklidir. (b) g : R R x g(x) = x = ( 1).x = a.i(x) Sürekli fonksiyonun sabit bir say ile çarpm sürekli oldu undan g süreklidir. 2. (G,.) bir grup olsun. G üzerinde diskret topoloji alrsak (G, τ d,.) bir topolojik gruptur.(g, τ d )bir topolojik uzaydr. (a) f : G G G (x, y) f(x, y) = x.y (b) g : G G x g(x) = x 1 (G, τ d ) den alnan her açk (G G,τ d xτ d ) uzaynda açk olaca ndan f ve g süreklidir. 3. R = R {0}, (R, τ s,.) bir topolojik guptur. (R,.) bir grup ve (R, τ s ), (R, τ s ) nin altuzay topolojisidir. (a) f : R R R (x, y) f(x, y) = x.y = π 1 (x, y).π 2 (x, y) 26

(b) g : R R x g(x) = x 1 = 1 x = 1 I(x), I(x) 0 f ve g süreklidir. 4. (S 1, τ,.) bir topolojik gruptur. τ = τ s τ s,. : C deki çarpma i³lemidir. (S 1, τ) topolojik uzay ve (S 1,.) bir gruptur. (a) f : S 1 S 1 S 1 (z 1, z 2 ) f(z 1, z 2 ) = z 1.z 2 = π 1 (z 1, z 2 ).π 2 (z 1, z 2 ) (b) g : S 1 S 1 z g(z) = z 1 = 1 = z = z = z z e iθ = (cos θ, sin θ) f ve g süreklidir. 5. Banach ve Hilbert uzaylar birer topolojik gruptur. Banach uzay normlu tam vektör uzaydr. Vektör uzay oldu undan grup yaps vardr. Norm tarafndan üretilen topolojiye sahiptir. (a) f : BxB B (x, y) f(x, y) = x + y (b) g : B B x g(x) = x f ve g süreklidir. 6. C = C {(0, 0)}, (C, τ,.) bir topolojik gruptur.(. : C deki çarpma) Önerme 4.1.1. ki topolojik grubun kartezyen çarpm topolojik gruptur. (G 1, τ 1,.), (G 2, τ 2, ) topolojik gruplar ise (G 1 G 2, τ 1 τ 2, o) topolojik gruptur. spat. (G 1, τ 1,.) topolojik grup oldu undan f 1 : G 1 G 1 G 1 (x, y) f 1 (x, y) = x.y ve g 1 : G 1 G 1 x g 1 (x) = x 1 süreklidir. (G 2, τ 2, ) topolojik grup oldu undan ve süreklidir. f 2 : G 2 G 2 G 2 g 2 : G 2 G 2 (x, y) f 2 (x, y) = x y x g 2 (x) = x 1 f = f 1 f 2 : G 1 G 1 G 2 G 2 G 1 G 2 ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) f 1 f 2 ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = (x 1.y 1, x 2 y 2 ) f 1 ve f 2 sürekli oldu undan f fonksiyonu süreklidir. 27

g = g 1 g 2 : G 1 G 2 G 1 G 2 (x 1, x 2 ) g 1 g 2 (x 1, x 2 ) = (g 1 (x 1 ), g 2 (x 2 )) = (x 1 1, x 2 1 ) g 1 ve g 2 sürekli oldu undan g fonksiyonu süreklidir. Ödev:(G 1 G 2, τ 1 τ 2 ) nin topolojik uzay, (G 1 G 2, o) nin grup oldu unu gösteriniz. Örnek 4.1.2. 1. (R n, τ, +) topolojik gruptur. (τ: Çarpm topolojisi) 2. (T, τ,.) topolojik gruptur. T S 1 xs 1 dir. (S 1, τ 1,.) ve (S 1, τ 2, +) topolojik gruplardr. 3. GL(n, R) = {A M nxn : deta 0} matris çarpmna göre grup yaps te³kil eder. 4. SL(n, R) = {A M nxn : deta = 1} özel lineer gruptur. 5. O(n, R) = {A M nxn : deta 0, A T A = I = AA T } ortogonal gruptur. 6. SO(n, R) = {A M nxn : deta = 1, A T A = I = AA T } özel ortogonal gruptur. SL(n, R), O(n, R), SO(n, R), GL(n, R) nin alt gruplardr. Önerme 4.1.2. (G, τ,.) bir topolojik grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. Alt uzay topolojisi ile donatlan H grubu G nin bir topolojik alt grubudur. Tanm 4.1.2. (G, τ,.) bir topolojik grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. H açk (kapal) alt küme ise H ya açk (kapal) altgrup denir. Örnek 4.1.3. GL(n, R) nin SL(n, R), O(n, R), SO(n, R) alt gruplar kapal alt gruplardr. det : M nxn R A deta fonksiyonu süreklidir. {1} R kapals için det 1 ({1}) = SL(n, R) oldu undan SL(n, R) kapaldr. t : M nxn M nxn A t(a) = AA T = I fonksiyonu süreklidir. I M nxn kapals için t 1 (I) = O(n, R) oldu undan O(n, R) kapaldr. SO(n, R) = SL(n, R) O(n, R) oldu undan SO(n, R) kapaldr. 28

Örnek 4.1.4. (Z, τ d, +), (R, τ d, +) nn topolojik alt grubudur. Uyar:Topolojik gruplarda izomorzma teoremleri a³a daki önerme geçerli oldu unda geçerlidir. "f : G H homeomorzma olsun. G/Kerf Imf dr f : G Imf açk dönü³ümdür." Tanm 4.1.3. G bir topolojik grup ve g G olsun. L g : G G, x G için L g (x) = g.x fonksiyonuna homeomorzmann sol öteleme fonksiyonu denir. R g : G G, x G için R g (x) = x.g fonksiyonuna da homeomorzmann sa öteleme fonksiyonu denir. Teorem 4.1.1. L g ve R g bir homeomorzmdir. spat. L g : G G, x G için L g (x) = g.x fonksiyonunu ele alalm. G topolojik grup oldu undan f : G G G (g, x) f(g, x) = g.x fonksiyonu süreklidir. L g (x) = f {g}xg oldu undan L g fonksiyonu süreklidir. L g (x 1 ) = L g (x 2 ) g.x 1 = g.x 2 g 1 (g.x 1 ) = g 1 (g.x 2 ) x 1 = x 2 dolasyla L g, 1 1 dir. y G için x = g 1.y G oldu undan L g örtendir. (L g ) 1 = L g 1 oldu unu iddia ediyoruz. Gerçektende L g 1oL g (x) = g 1 (g.x) = x = I(x) L g ol g 1(x) = g(g 1.x) = x = I(x) dir. L g 1 : G G, x G için L g 1(x) = g 1.x fonksiyonunu verilsin. (L g ) 1 = f {g 1 G} oldu undan (L g ) 1 = L g 1 fonksiyonu süreklidir. Benzer ³ekilde R g nin de homeomorzm oldu u gösterilebilir. Sonuç 4.1.1. G topolojik grup, g G ve U, G de açk ise L g (U) ve R g (U), G de açk alt kümelerdir. Tanm 4.1.4. A ve B, G topolojik grubunun iki alt kümesi olsun. 1. A.B = {x.y : x A, y B} 2. x.a = {x}.a = {x.a : a A} 3. A 1 = {a 1 : a A} 4. A = A 1 ise A ya G de simetriktir denir. 29

Teorem 4.1.2. G topolojik grup, F, U, P G ve F kapal, U açk, P key bir küme, g G olsun. F g, gf, F 1 kapal kümelerdir. UP, P U, U 1 açk kümelerdir. spat. L g : G G, x G için L g (x) = g.x ve R g : G G, x G için R g (x) = x.g dönü³ümleri homeomorzmdir. F kapal ise L g (F ) = g.f ve R g (F ) = F.g kümeleri de L g ve R g homeomorzma oldu undan kapaldr. f : G G, x G için f(x) = x 1 fonksiyonu homeomorzmdir. F kapal oldu undan f(f ) = F 1 de f homeomorzma oldu undan kapaldr. U açk oldu undan L g (U) ve R g (U) açktr. UP = U.g (g P ) ve PU = g.u (g P) kümeleri açktr. U açk oldu undan f(u) = U 1 de açktr. Önerme 4.1.3. G bir topolojik grup olsun. 1. G nin açk topolojik alt grubu H ayn zamanda kapaldr. 2. H, G nin topolojik alt grubu ise H da G nin topolojik alt grubudur. spat. 1. H, G nin açk topolojik alt grubu olsun. H = H oldu unu göstermeliyiz. Her zaman H H... (1) olur. p H olsun. p.h, p nin bir kom³ulu u oldu undan p.h H olur. Bu durumda p.h 1 = h 2 olacak ³ekilde h 1, h 2 H vardr. O halde p H dr. H H... (2) elde edilir. (1) ve (2) den H = H olur. Bu da H n kapal oldu unu ifade eder. 2. H, G nin topolojik alt grubu olsun. H n G nin topolojik alt grubu oldu unu göstermek için x, y H için x.y H ve x H için x 1 H oldu unu göstermeliyiz. (a) x, y H olsun. W x.y nin kom³ulu u olsun. U.V W olacak ³ekilde x U, y V kom³uluklar vardr. x H ise U H olur. Bu durumda h 1 U H vardr. Benzer ³ekilde y H ise V H olur. Bu durumda h 2 V H vardr. h 1.h 2 U.V ve h 1.h 2 H ise U.V H olur. Bu durumda W H elde edilir. Buradan x.y H bulunur. (b) x H olsun. x in her U kom³ulu u için U H dr. U 1 = {x 1 : x H} ve U 1 H oldu undan x 1 H olur. H bir topolojik alt grupdur. 30

Önerme 4.1.4. G bir topolojik grup olsun. 1. V nin G de açk (kapal) olmas için gerek ve yeter ³art V 1 'in G de açk (kapal) omlasdr. 2. e U olmak üzere U, G de açk olsun. V = V 1 ve V V U olacak ³ekilde V açk kümesi vardr ve e V dir spat. 1. f : G G g f(g) = g 1 dönü³ümü homeomorzm ve f f = 1 G oldu unda sonuç kolayca elde edilir. 2. p : G G G dönü³ümü sürekli oldu undan p 1 (U), G G de açk ve (e, e) p 1 (U) dir. Dolasyla, V 1 V 2 U olacak ³ekilde V 1 ve V 2 açklar var ve e V 1, e V 2 dir. Bir önceki ksmdan, V1 1, V2 1 açktr. Böylece V = V 1 V 2 V1 1 V2 1 ayn zamanda açktr. e V ve V = V 1, V V V 1 V 2 U dir. Lemma 4.1.1. G bir topolojik grup olsun. G nin Housdor olmas için gerek ve yeter ³art {e} nin kapal olasdr. spat. ( ) G Housdor olsun. Her tek noktal küme kapal oldu undan {e} kapaldr. ( ) {e} kapal olsun. Her g için L g ({e}) = g kapaldr. e g nin ayrk açklarnn var oldu unu gösterecegiz. e U ve gu olacak ³ekilde bir U açk vardr. Bir önceki önermenin ikinci bölümünden, V = V 1 ve V V U olacak ³ekilde V açk kümesi vardr ve e V dir. imdi g gv dir. V gv nin bo³ oldu unu iddia ediyoruz. h V gv oldu unu varsyalm. O zaman h = gh 1, h 1 V dir. Dolasyla, g = hh 1 V V U olur. Bu bir çeli³kidir. Teorem 4.1.3. G bir topolojik grup olmak üzere a³a dakiler denktir: 1. G, T 0 -uzaydr. 2. G, T 1 -uzaydr. 3. G, T 2 -uzaydr. Teorem 4.1.4. G topolojik grubu regülerdir. 31

spat. A³a daki aksiyomu sa layan X topolojik uzayna regüler uzay denir; "F X kapal, x / F için F U açk, x V açk : U V =." F kapal ve e / F olsun. Bu durumda e G/F dir. G topolojik grup oldu undan V 1 V G/F olacak ³ekilde e nin V kom³ulu u vardr. V 1 V F = V V.F =. Böylece U = V.F dir ve sonuçta G regülerdir. Not 4.1.1. Bir topolojik grubun bölüm grubu topolojik grup olmak zorunda de ildir. Normal alt grup ise topolojik gruptur. Teorem 4.1.5. G bir topolojik grup, N, G nin normal alt grubu olsun. 1. ϕ : G G/Nsürekli ve açk homomorzmadr. 2. Bölüm topolojisi ile donatlan G/N topolojik gruptur. spat. 1. ϕ : G G/N bölüm dönü³ümü oldu undan süreklidir. U G açk olsun. ϕ 1 (ϕ(u)) = {x : x UN = U} = UN açktr. ϕ sürekli oldu undan ϕ(u) da açktr. U açk iken ϕ(u) açk oldu undan ϕ açk dönü³ümdür. 2. ψ : G/N G/N G/N (x, y) x.y 1 dönü³ümü sürekli midir? x.y 1 elemannn açk kom³ulu u W olsun. ϕ 1 (W ), G de açktr ve x.y 1 ϕ 1 (W ) dur. G topolojik grup oldu undan x.y 1 UV 1 ϕ 1 (W ) olacak ³ekilde x U, y V kom³uluklar vardr. x.y 1 ϕ(u)[ϕ(v )] 1 ϕ(ϕ 1 (W )) = W dr.ϕ açk dönü³üm oldu undan ϕ(u) ve [ϕ 1 (V )] 1 = ϕ(v 1 ) de açktr. ψ 1 (W ) = {(x, y) : x ϕ(u), y ϕ(v 1 )}, ψ süreklidir. Tanm 4.1.5. G ve K iki topolojik grup olsun. f : G K dön³ümü hem grup izmorzmi hemde homeomorzme ise G ve K Topolojik olarak izomorftur denir. Böyle dön³üme de topolojik izomorzma denir. 32

Örnek 4.1.5. G = K = (R, +) grup ve K üzerinde standart topoloji ve G üzerinde diskrit topoloji olsun. 1 : (R, +, τ d ) (R, +, τ s ) birim dön³ümü sürekli, izomorzmdir fakat tersi sürekli olmad ndan bu dön³üm topolojik izomorzma de ildir. Örnek 4.1.6. G herhangibir topolojik grup ve g G olmak üzere π : G G h π(h) = ghg 1 dönü³ümü bir topolojik izomorzmadr. Not 4.1.2. K Housdor olmak üzere π : G K sürekli homomorzma ise Ker(π) G'nin kapal, normal altgrubudur. Önerme 4.1.5. π : G K homorzmas e de sürekli ise π süreklidir. spat. π : G K homorzmas e de sürekli olsun O zaman K daki e nin U aç için π 1 (U), G de açktr. imdi W, K da açk olsun. π(u) W bo³ küme ise π 1 (W ) bo³ küme olcaktr ve dolasyla açktr. Bu nedenle π(g) = k olacak ³ekilde g G bir elemann var oldu unu varsayalm. Böylece k 1 W, K daki e nin bir açk kom- ³ulu udur. Dolasyla π 1 (k 1 W ) açktr. Bu nedenle π 1 (W ) = gπ 1 (k 1 W ) açktr. Önerme 4.1.6. π : G K sürekli homomorzma ve H = Kerπ olsun. π : G/H K bir sürekli homomorzmadr. Önerme 4.1.7. π : G K sürekli örten homomorzma ve H = Kerπ olsun. π bir açk dönü³üm ise π : G/H K bir topolojik izomorzmadr. spat. π nn tersnin sürekli oldu unu göstermemiz yeterli olacaktr. Buda π nn açk olmasna denktir. U nun G/H da açk olmas için gerek ve yeter ³art V = q 1 (U), G de açk olmasdr. Böylece U, G/H açk ise π(u) = π(v ), K da açktr. Örnek 4.1.7. π(r, +) S 1 t π(t) = e 2πit ³eklinde tanml dönü³üm sürekli homomorzma ve Kerπ = Z. Önermeden, π : R/Z S 1 bir topolojik izomorzmadr. Teorem 4.1.6. GL(n) bir topolojik gruptur. spat. M, nxn tipindeki reel de i³kenli matrislerin kümesi olsun. A M R n2, A = (a ij ) olarak alalm. A = (a ij ) matrisini (a 11, a 12,..., a 1n, a 21,..., a 2n,..., a n1, a n2,..., a nn ) R n2 formunda dü³ünebiliriz. f : M M M (A, B) f(a, B) = A.B 33

³eklinde tanimlanan f fonksiyonu süreklidir. Çünkü A = (a ij ), B = (b ij ) ise f(a, B) = A.B nin ij inci bile³eni n k=1 a ikb kj = c ij dir. π ij : M R (a 1n,..., a nn ) π ij (a 1n,..., a nn ) = a ij fonksiyonu süreklidir. f ve π ij fonksiyonlar sürekli oldu undan π ij of : M M R (A, B) π ij of(a, B) = c ij fonksiyonu süreklidir. GL(n) M alalm. GL(n) için altuzay topolojisi olu³turulur. π ij ve π ij of dönü³ümleri sürekli oldu undan f : GL(n) GL(n) GL(n) (A, B) f(a, B) = A.B dönü³ümü süreklidir. Adj(A) ve deta dönü³ümleri sürekli oldu undan g : GL(n) GL(n) A g(a) = A 1 = 1 deta.adjoint(a) dönü³ümü süreklidir. Burada Adjoint(A), A matrisinin a ij elemann silip A ij kofaktörünü yazp ve elde edilen matrisin transpozesinialmak suretiyle elde edilen matristir. Özellikler 4.1.1. 1. GL(n) kompakt de ildir. spat. f : M R, f(a) = deta fonksiyonu süreklidir. {0} R de kapal, R {0} R de açk f 1 (R {0}) = GL(n) R n2 açktr. Henri-Borel teoremine göre A R nin kompakt olmas için gerek ve yeter ³art A nn snrl ve kapal olmasdr. Bu durumda GL(n) kompakt de ildir. 2. GL(n) ba lantl de ildir. spat. K = {A GL(n) : deta > 0}, L = {A GL(n) : deta < 0}, f : M R için f 1 ((0, )) = K, f 1 ((, 0)) = L dir. GL(n) = K L, K L = dir. Bu durumda GL(n) ba lantl de ildir. 3. O(n) ve SO(n) kapal alt gruplar GL(n) nin kompakt alt gruplardr. spat. A O(n) için A.A T = I, 1 i, k n, n j=1 a ija kj = δ ik ve f ik : M R, f ik (A) = n j=1 a ija kj = δ ik olsun. {0}, {1} R kapallar için f 1 1 ik ({0}) ve fii ({1}) 1 i n kümeleri kapaldr. Bu kümelerin arakesiti O(n) yi verir. Buradan da O(n) nin kapal oldu unu söyleyebiliriz. A.A T = I det(a.a T ) = deti = 1 deta.deta T = 1 34

(deta) 2 = 1 a ij < 1. O halde O(n) snrldr. O(n) kapal ve snrl oldu undan O(n) kompakttr. SO(n), O(n) in kapal alt kümesidir. Kompakt uzaylarn kapal alt uzaylar da kompakt oldu undan SO(n) kompakttr. 4. SO(2) S 1 dir. ( ) a b spat. f : SO(2) S 1, SO(2) için b a ( ) a b f = a + ib S b a 1 olsun. f, 1-1 ve örtendir. Teorem 4.1.7. X kompakt, Y Hausdor uzay olmak üzere f : X Y bijektif ise f homeomorzmadr." O halde f homeomorzmdir. 4.2 Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar Tanm 4.2.1. G bir topolojik grup ve X bir topolojik uzay olsun. A³a dakiler mevcut ise G, X üzerinde (soldan) hareket ediyor denir. 1. GxX X dönü³ümü süreklidir. (g, x) gx 2. g, h G, x X için hg(x) = h(g(x)) dir. 3. e G ve x X için ex = x dir. Tanm 4.2.2. 1. O(x) = {gx : g G} kümesine x elemann orbiti denir. 2. G x = {g G gx = x} kümesine x elemann stablizer grubu denir. 3. Herhangi x, y X için gx = y olacak ³ekilde bir g G varsa G'nin X üzerindeki harakete transitiidir denir 4. Bir x için gx = x iken g = e oluyorsa, G'nin X üzerindeki harakete serbest (yada yar-regüler) denir. 5. G'nin X üzerindeki haraketi hem transitii hemde serbest ise bu harakete regülerdir denir 35

Örnek 4.2.1. 1. Z R R (n, x) n + x O(x) = {n + x : n Z} = R/Z S 1 O(x) = S 1 2. Z 2 S 1 S 1 ( 1, x) x (1, x) x O(x) = { x, x} = S n /Z 2 Rp n O(x) = Rp n 3. α : R R R (x, y) (x + 1, y) β : R R R (x, y) (1 x, y + 1) olmak üzere α ve β dönü³üm³eri tatafndan üretilen grup G olsun. G, R 2 üzerinde hareket etmektedir. Yani G R 2 R 2 (α, z) α(z) (β, z) β(z). Dolasyla orbit uzay O(x) = R 2 /G Kb 4. Z Z grubu, R R üzerinde hareket eder. Z 2 R 2 R 2 (m, z) m + z. Dolasyla orbit uzay O(x) = R 2 /Z 2 S 1 S 1 T 5. (x 3) 2 + z 2 = 1 çemberinin z-ekseni etrafnda dönmesiyle elde edilen yüzey T torudur. α 1 : R 3 R 3 (x, y, z) (x, y, z) olmak üzere G 1 grubu α 1 tarafndan üretilen bir grup olsun. α 2 : R 3 R 3 (x, y, z) ( x, y, z) olmak üzere G 2 grubu α 2 tarafndan üretilen bir grup olsun. α 3 : R 3 R 3 (x, y, z) ( x, y, z) olmak üzere G 3 grubu α 3 tarafndan üretilen bir grup olsun. Her i = 1, 2, 3 için G i gruplarnn R 3 üzerinde hareketleri vardr. Orbit uzaylar R 3 /G 1 S 2, R 3 /G 2 T R 3 /G 1 Kb 36

Teorem 4.2.1. Kompakt topolojik grup G, Housdor topoljik uzay X üzerinde hareket etsin. G x, x elemanndaki stablizer grubunu göstermek üzere φ : G/G x O(x) gg x gx ³eklinde tanmlanan dönü³üm bir homeomorzmadr. spat. Dönü³ümün sadece bijektif oldu unu göstermemiz yeterlidir. φ(g 1 G x ) = φ(g 2 G) olsun. Bu durumda g 1 x = g 2 x ve böylece g 1 1 g 2 G x dir. Dolasyla g 1 G x = g 2 G yani φ injektiftir. sürjektiik kolayca gösterilece inden ödevdir. 4.3 Lie Gruplar Tanm 4.3.1. M Hausdor topolojik uzayna ait her noktann kom³ulu u R n ye homeomorf ise M ye n-topolojik manifold denir. Tanm 4.3.2. M Hausdor ve 2. saylabilir topolojik uzay olsun. A³a daki özellikelliklere sahip dönü³ümler koleksiyonu ile birlikte M uzayna smooth n-manifold (diferansiyellenebilir n-manifold) denir. 1. U M, V R n açk kümeler olmak üzere φ : U V dönü³ümü homeomorzmdir. (Bu dönü³ümlere harita denir. 2. x M, φ nin tanim kümesinde olmaldr. 3. φ : U U ve ψ : V V haritalar için φ ψ 1 : ψ(u V ) φ(u V ), C snfndadr. (Bu dönü³üm her mertebeden sürekli ksmi türevlere sahiptir. 4. Harita koleksiyonu maksimal olacaktr. Tanm 4.3.3. M ve N iki smooth n-manifold olsun. M üzerindeki harita ϕ ve N üzerindeki harita ψ için ψofoφ 1 smooth ise f : M N dönü³ümüne smooth dönü³üm denir. Tanm 4.3.4. G diferensiyellenebilir manifold ve G bir grup olsun. E er α G : G G G (g, h) α G (g, h) = g.h 1 dönü³ümü diferensiyellenebilir ise G ye lie grup denir. 37

Not 4.3.1. Baz kitaplarda bu tanim ³u ³ekilde verilir; G diferensiyellenebilir manifold ve G bir grup olsun. 1. G G G (g, h) g.h diferensiyellenebilir ve 2. G G g g 1 diferensiyellenebilir ise G ye lie grup denir. Örnek 4.3.1. 1. R n bir lie gruptur. Çünkü R n bir diferensiyellenebilir manifold ve dönü³ümü α R n : R n R n R n diferensiyellenebilirdir. (x, y) α R n(x, y) = x y 2. GL(n, R), SL(n, R), SO(n, R), O(n, R) birer lie gruptur. 3. nxn tipindeki üst üçgen matrislerin kümesi bir lie gruptur. 4. Exceptional lie gruplar: G 2, F 4, E 6, E 7, E 8 dir. 5. S 0, S 1, S 3 bunun üzerine bölüm yaps olu³turuyoruz. öyle ki mutlak de eri 1 olan reel saylar, kompleks saylar, quaternion... S 0 = RN, S 1 = R 2 N, S 3 = R 4 N sadece bunlar lie gruplardr. 6. Heisenberg gruplar lie gruptur. 7. Lorentz gruplar lie gruptur. 8. U(1)xSU(2)xSU(3) lie gruptur. 9. Metaplectic grup bir lie gruptur. Lemma 4.3.1. 1. ki lie grubunun çarpm da lie gruptur. 2. Lie grubunun kapal alt grubu lie gruptur. 3. Lie grubunun kapal normal alt grubu ile olu³turulan bölüm grubu bir lie gruptur. 4. Ba lantl lie grubunun evrensel örtüsü lie gruptur. Lie Gruplarnn Snandrlmas: 1. Cebirsel özellik (Basit, Yar basit, Çözülür, Nilpotent, Abel) 2. Ba lantllk 3. Kompaktlk 38

4.4 Lie Cebirleri Tanm 4.4.1. k karakteristi i sfr olan bir cisim olmak üzere A bu cisim üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a daki özellikleri sa layan i³lem [, ] : A A A (x, y) [x, y] ile birlikte A vektör uzayna Lie Cebiri denir; 1. x A için, [x, x] = 0. 2. x, y, z A için, [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0. Örnek 4.4.1. cebiridir. 1. [A, B] = 0 olmak üzere bu i³lem ile birlikte R n bir Lie 2. [A, B] = AB BA olmak üzere bu i³lem ile birlikte GL(n, R) bir Lie cebiridir. 3. X, M üzereinde tanml diferansiyellenebilir fonksiyonlarn kümesi olsun. [X, Y ] = XY Y X i³lemine göre bu küme bir Lie cebiridir. Tanm 4.4.2. A ve B Lie cebirleri olamk üzere ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] özelli ini sa layan ϕ : A B morzmine Lie cebir morzmi denir 4.5 Al³trmalar 1. G indiskret topoloji ile donatlm³ bir grup ise gösteriniz ki G bir topolojik gruptur. 2. Bir G topolojik grubunun alt uzay topolojisi ile donatlm³ tüm altgruplar da topolojik grup olur mu? Açklaynz. 3. G = (Z 2, +) toplamsal grubunun üzerinde τ G = {, {0}, G} topolojisi tanmlanm³ olsun. G bir topolojik grup olur mu? Açklaynz. 4. G topolojik grup ve g G olsun. R g : G G ve h G için R g (h) = hg ³eklinde tanml R g dönü³ümünün bir homeomorzm oldu- unu gösteriniz. 5. G bir topolojik grup ve g G olsun. f : G G ve h G için f(h) = ghg 1 bir topolojik izomorzmdir. Gösteriniz. (yol gösterme : f nin bir grup homomorzmas ve homeomorzm oldu unu görünüz.) 39

6. G = (R, τ disk, +) ve K = (R, τ s, +) olsun. G ve K nn birer topolojik grup oldu unu gösterin. Bu iki uzay topolojik olarak izomork olur mu? Açklaynz. 7. " " kompleks saylarda çarpma i³lemini göstersin. (S 1, τ S 1, ) nin bir topolojik grup oldu unu gösterin. f : (R, τ S, +) (S 1, τ S 1, ) dönü³ümü t R için f(t) = e 2πit ³eklinde tanml³ansn. (R,+) Z = S 1, topolojik izomorzm oldu unu gösteriniz. (yol gösterme : Kerf = Z oldu unu görünüz ve birinci izomorzma teoremini gerçekleyiniz.) 40

Bölüm 5 S MPLEKSLER 5.1 Ane Uzaylar Tanm 5.1.1. A bir küme olsun. x, y A, t [0, 1] için (1 t)x + ty A oluyorsa A'ya konveks küme denir. Tanm 5.1.2. A, Euclid uzaynn bir alt kümesi olsun. farkl x, y A için x ve y tarafndan olu³turulan do ru A'da bulunuyorsa A' ya ane alt küme denir. Not 5.1.1. 1. Ane alt kümeler konvekstir. 2. Bo³ küme ve tek noktal kümeler ane kümelerdir. Tanm 5.1.3. A bir küme ve V, F cismi üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a daki özellikleri sa layan + : V A A (v, a) v + a i³lemi ile birlikte A kümesine ane uzay denir; 1. V A v v + a dönü³ümü bijeksiyondur. 2. v 1, v 2 V ve a A için (v 1 + v 2 ) + a = v 1 + (v 2 + a). Teorem 5.1.1. {X j } j J, R n 'e ait konveks (ane) alt kümeler ailesi olsun. o zaman j J X j konveks alt uzaydr. spat. x, y j J X j (x y) olsun. j J için x, y X j 'dir. j J için X j ler konveks alt küme oldu undan; j J için (1 t)x+ty X j 'dir. O halde (1 t)x+ty j J X j'dir. 41

Tanm 5.1.4. X, R n 'in bir alt kümesi olsun. X'i içeren R n 'e ait tüm konveks kümelerin arakesitine X'in konveks hull'u denir. Tanm 5.1.5. p 0, p 1,..., p m, R n 'de noktalar olsun. p 0,..., p m noktalarnn ane kombinasyonu m x = t 0 p 0 + t 1 p 1 + + t m p m ; t i = 1 ³eklinde tanmlanr. p 0, p 1,..., p m noktalarnn konveks kombinasyonu an kombinasyonudur öyleki t i 0, i = 0,... m'dir. Yani i=1 t 0 p 0 + t 1 p 1 + + t m p m ; m t i = 1 ve t i 0, i = 0,..., m. i=1 Örnek 5.1.1. x, y noktalarnn konveks kombinasyonu formundadr. (1 t)x + ty, t [0, 1] Teorem 5.1.2. p 0, p 1,..., p m, R n 'de noktalar olsun. p 0,..., p m noktalar tarafndan gerilen [p 0,..., p m ] konveks küme, p 0,..., p m noktalarnn konveks kombinasyonlarn kümesidir. spat. S, tüm konveks kombinasyonlarn kümesini göstersin. S = [p 0, p 1,..., p m ] e³itli ini göstermemiz gerekir. lk önce [p 0, p 1,..., p m ] S oldu unu gösterelim. Bunun için S'nin p 0,..., p m noktalarn içeren konveks küme oldu unu göstermemiz yeterli olacaktr. t j = 1 ve di eleri için t j = 0 olsun. Bu durumda; t 0 p 0 + + t j p j + + t m p m ; ve dolasyla j için p j S. α = m a i p i, β = m t i = 1, t i 0, i = 0,..., m m b i p i S (a i, b i 0; a i = 1; b i = 1) olsun. 42

(1 t)α + tβ S oldu unu iddia ediyoruz. (1 t)α + tβ = (1 t) çünkü m a i p i + t m (1 t)a i + tb i = (1 t) m b i p i = m ((1 t)a i + tb i )p i S m b i = 1, (1 t)a i + tb i 0. i=1 Bunun sonucunda [p 0, p 1,..., p m ] S. S [p 0, p 1,..., p m ] ba ntsn gösterelim. X, p 0,..., p m noktalarn içeren bir konveks küme ise m 0 üzerinde tümevarm ile S X oldu unu gösterelim. m = 0 için S = p 0 'dr. m > 0 olsun. t i 0 ve m t i = 1 ise p = m t ip i X e ait olup olmad n görelim. t 0 1 oldu unu varsayabiliriz. Aksi halde p = p 0 olabilir ve bir üstteki ko³ul içine dü³er. Tümevarm hipotezinden q = t 1 1 t 0 p 1 + t 2 1 t 0 p 2 + + t m 1 t 0 p m X ve böylece p = t 0 p 0 + (1 t 0 )q X çünkü X konvekstir. Dolasyla S X'dir. Sonuç olarak S = [p 0,..., p m ] e³itli ini elde ederiz. Sonuç 5.1.1. {p 0, p 1,..., p m }, R n 'de noktalar olsun. {p 0,..., p m } noktalarnn gerdi i an küme bu noktalarn an kombinasyonunu içerir. Tanm 5.1.6. R n 'de {p 0,..., p m } noktalarnn sral kümesini ele alalm. {p 1 p 0, p 2 p 0,..., p m p 0 } kümesi R n vektör uzaynn lineer ba msz alt uzay ise {p 0, p 1,..., p m } sral kümesine an ba mszdr denir. Not 5.1.2. 1. R n 'nin lineer ba msz alt kümesi an ba msz kümedir. Tersi do ru de ildir çünkü orijin ile birlikte lineer ba msz küme ane ba mszdr. 2. Tek noktal küme {p 0 } an ba mszdr çünkü i 0 olmak üzere p i p 0 formunda noktalar yok ve φ bo³ kümesi lineer ba mszdr. 43

3. p 1 p 0 0 olmas durumunda {p 0, p 1 } kümesi an ba mszdr. 4. {p 0, p 1, p 2, } noktalar ayn do ru üzerinde de ilse {p 0, p 1, p 2 } an ba- mszdr. 5. {p 0, p 1, p 2, p 3 } noktalar ayn düzlem üzerinde de ilse {p 0, p 1, p 2, p 3 } an ba mszdr. Teorem 5.1.3. {p 0,..., p m }, R n 'de sral küme olsun. A³a dakiler denktir: 1. {p 0,..., p m } an ba mszdr. 2. {s 0,..., s m } R kümesi m m s i p i = 0 ve s i = 0 e³itsizliklerini do ruluyor ise s 1 = s 2 = = s m = 0 dr. 3. A, {p 0,..., p m } tarafndan gerilen an küme olmak üzere x A eleman an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani m m x = t i p i ve t i = 1. spat 5.1.1. 1) 2) : kümesi {p 0, p 1,..., p m } an ba msz olsun. {s 0,..., s m } R m s i p i = 0 e³itsizliklerini sa lasn. m m m s i p i = s i p i ( s i )p 0 = ve m s i = 0 m s i (p i p 0 ) = 0 i = 1,..., m için p i p 0 lineer ba msz çünkü {p 0,..., p m } an ba msz. O halde; s 1 = s 2 = = s m = 0'dr. m s i = 0 oldu undan s 0 = 0'dr. 2) 3) : x A alalm. Sonuç 5.1.1 den dolay x A eleman ane kombinasyon olarak ifade edilir. Böylece x A elemann tek türlü ifade edildi ni gösterelim. m m x = t i p i, t i = 1 44

ve x = m t ip i, m t i = 1 oldu unu varsayalm. m t i p i = m t ip i m (t i t i)p i = 0 i, t i t i = 0 i, t i = t i. 3) 1) : x A eleman {p 0, p 1,..., p m } noktalarnn an kombinasyonu olarak tek türlü ifade edildi ini varsayalm. Yani {p o,..., p m } kümesinin an ba msz oldu unu göstermeliyiz. Yani; {p 1 p 0, p 2 p 0,..., p m p 0 } lineer ba msz oldu unu göstermeliyiz. Varsayalm ki {p 1 p 0,..., p m p 0 } lineer ba ml olsun. O halde; m r i (p i p 0 ) = o iken r i (hepsi sfr de il) vardr. r j 0 olsun. r j = 1 alalm. p j A ise p j = 1.p j p j = i j r i p i + ( i j r i + 1)p 0 p j iki türlü ifade edilemeyece inden çeli³ki. O halde {p 1 p 0,..., p m p 0 } lineer ba mszdr. Sonuç 5.1.2. {p 0,..., p m } sral küme olsun. An ba mszlk bu kümenin bir özellikelli idir. Tanm 5.1.7. {a 1,..., a k }, R n 'de bir küme olsun. Bu kümenin (n + 1) eleman an ba msz küme olu³turuyorsa, {a 1,..., a k } kümesi genel pozisyondadr denir. Not 5.1.3. Genel pozisyonda olma özellikelli i n saysna ba ldr. {a 1, a 2,..., a k }, R n 'de genel pozisyon olsun. n = 1 için {a i, a j } an ba msz olmaldr. Yani tüm noktalar farkl olmal. n = 2 için üç nokta kolineer olmamaldr. n = 3 için dört nokta kodüzlem olmamaldr. 45

Teorem 5.1.4. k 0 için R n Euclid uzay genel pozisyonda k tane noktas vardr. Tanm 5.1.8. {p 0, p 1,..., p m }, R n 'de an ba msz alt küme olsun. A'da bu alt küme tarafndan gerilen bir an küme olsun. x A ise Teorem 5.1.3'den m m x = t i p i, t i = 1. (t 0, t 1,..., t m ), (m + 1)-bile³enine x elemannn bary-centric koordinat denir. p 0 p 1 t 0 = t 1 = 1 2 p 2 t 0 = t 1 = t 2 = 1, x = 1(p 3 3 0 + p 1 + p 2 ) p 0 p 1 p 3 p2 p 0 p 1 x = 1 4 (p 0 + p 1 + p 2 + p j ) 1 Genel hali: (p m+1 0 + + p m ) = x Tanm 5.1.9. {p 0, p 1,..., p m }, R n 'de an ba msz alt küme olsun. Bu alt küme tarafndan gerilen konveks kümeye m-simpleks denir. [p 0, p 1,..., p m ] ile gösterilir (p i 'ler kö³eler olarak adlandrlr). Teorem 5.1.5. {p 0, p 1,..., p m } an ba msz olsun. Bu durumda [p 0,..., p m ] m-simpleksinin her x eleman; m m x = t i p i, t i = 1, t i 0, i = 0,..., m formunda tek türlü yazlr. Tanm 5.1.10. {p 0, p 1,..., p m } an ba msz olsun. [p 0,..., p m ] m-simpleksinin baricentrik koordinat; 1 m + 1 (p 0 + p 1 + + p m ). 46

(t 0 = t 1 = = t m = 1 m+1 ) Not 5.1.4. Barisentrik sözcü ü a rlk anlamanda barys yunanca kelimesinde gelmektedir. Dolasyla barisentrik, a rlk merkezi anlamndadr Örnek 5.1.2. [p 0 ] barisentrik'i kendisidir. [p 0, p 1 ] 1-simpleksinin barisentrik'i 1 2 (p 0 + p 1 )'dir. [p 0, p 1, p 2 ] 2-simpleksinin barisentrik'i 1 3 (p 0 + p 1 + p 2 )'dir. e i = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) R n+1 olmak üzere {e 0, e 1,..., e n } an ba mszdr. [e 0, e 1,..., e n ], x = n t i e i formundaki tüm konveks kombinasyonu içerir. [e 0, e 1,..., e n ]'in barisentrik koordinat (t 0, t 1,..., t n )'dir. p 0 = (1, 0, 0, 0, 0... ) = e 0, p 1 = (0, 1, 0, 0, 0... ) = e 1, p 2 = (0, 0, 1, 0, 0... ) = e 2, p 3 = (0, 0, 0, 1, 0,... ) = e 3,...... Tanm 5.1.11. [p 0, p 1,..., p m ] m-simpleks olsun. p i noktasnn ters yüzü m [p 0, p 1,..., ˆp i,..., p m ] = { t j p j j=0 m t j = 1, t j 0}. j=0 47

[p 0, p 1,..., p m ] m-simpleksinin snr bu ters yüzlerin birle³imi ³eklinde tan- mlanr. p 0 0-simplekste p 0 'in tersyüzü kendisi p 0 p 1 1-simplekste p 1 'in tersyüzü p 0 'dr. p 2 p 0 p 1 2-simplekste p 2 'nin ters yüzü p 0 p 1 do ru parças p 3 p 0 p 2 p 1 Not 5.1.5. 3-simplekste p 0 'nin ters yüzü [p 1, p 2, p 3 ] 2-simplekstir 1. Bir m-simpleksin m + 1 tane yüzü vardr. 2. [p 0, p 1,..., p m ] simpleksinin k-yüzü, k + 1 kö³e tarafndan gerilen bir k-simplekstir. Teorem 5.1.6. S n-simpleksi, [p 0, p 1,..., p n ] ile gösterilsin. i. u, v S ise u v Sup u p i. ii. diams = Sup p i p j. iii. b, S'nin barisentrik'i ise b p i n (diams). n+1 i. v = n t i p i, n t i = 1, t i 0, i = 0,..., n olsun. 48

u v = u ii. = ( n n t i p i = ( t i )u n t i (u p i ) n t i p i (5.1) n t i (u p i ) = n t i u p i (5.2) n t i )Sup u p i = Sup u p i (5.3) u p i Sup p j p i dir. çap tanimndan; diams = Sup p i p j iii. b = 1 n + 1 n j=0 olmak üzere; p j b p i = 1 n + 1 = 1 n + 1 = 1 n + 1 1 n + 1 n p j p i j=0 n j=0 p j 1 j = 0 n p i n + 1 n (p j p i ) j=0 n Sup p j p i j=0 (i = j, p j p i ) = n n + 1 Sup p j p i = n n + 1 diams Tanm 5.1.12. {p 0,..., p m } kümesi an ba msz ve A, bu noktalarn gerdi i an küme olsun. m m m T : A R k t i p i T ( t i p i ) = t i T (p i ). T'nin S = [p 0,..., p m ]'ye kstlan³ yine bir an dönü³ümdür. 49

Not 5.1.6. 1. An dönü³üm, an kombinasyonu ve konveks kombinasyonu korur. 2. An dönü³üm, an ba msz küme üzerinde ald de erle belirlenebilir. 3. p 0,..., p m noktalarnn bary centric koordinatn tekli i bu tür T dönü³ümlerin varl n gösterir. Teorem 5.1.7. [p 0,..., p m ] m-simpleks, [q 0,..., q n ] n simpleks ve f : {p 0,..., p 0 } [q 0,..., q n ] bir fonksiyon olsun. T (P i ) = f(p i ) olacak ³ekilde bir tek T : [p 0,..., p m ] [q 0,..., q n ] dönü³ümü mevcuttur. Y.G: T ( m t ip i ) = m tf(p i) 50

5.2 Simplisiyal Kompleksler S = [v 0, v 1,..., v q ] q-simpleks olsun. Bu simplekslerin kö³elerinin kümesi V er(s) = {v 0,..., v q } ile gösterilsin. Tanm 5.2.1. S bir simpleks olsun. E er V er(s ) V er(s) ise S ne S simpleksinin yüzü denir. E er V er(s ) V er(s) ise S ne S simpleksinin has yüzü denir. Tanm 5.2.2. Sonlu simplisiyal kompleks K a³a daki özellikellikleri sa layan simplekslerin kolleksiyonudur. i. s K ise s nin yüzü de K ya aittir. ii. s, t K ise bu iki simpleksin arakesiti ya bo³tur ya da bu iki simpleksin ortak yüzüdür. Örnek 5.2.1. v 5 v 2 v 3 v 0 v 1 v 4 [v 1, v 2 ] [v 3, v 5 ] = [v 3 ] v 3 ortak yüz de ildir. simplisiyal kompleks de il. v 2 v 3 v 0 v 1 v 4 v 5 simplisiyal kompleks de il. v 1, v 3 ortak yüz de il. Tanm 5.2.3. 1. K bir simplisiyal kompleks olsun. K'nn underlying uzay K = s s K ³eklinde tanimlanr. (K, R n 'in alt uzay) 2. X topolojik uzay verilsin. E er K simplisiyal kompleks ve h : K X homeomorzma varsa X'e polyhedron denir. (K, h) ikilisine X'in üçgenle³tirilmesi denir. Not 5.2.1. (K), Euclid uzaynn kompakt alt uzaydr. 51

s, K'da bir simpleks ise s = s'dir. Örnek 5.2.2. 2 = { 2 t i v i 2 t i = 1, t i 0, i = 0, 1, 2} standart 2-simpleks ( 2 R n ) K = 2 standart 2-simpleksindeki tüm 0-simpleks ve tüm 1-simplekslerin kolleksiyonu olsun. v 2 v 0 v 1 2 simpleks K = {[v 0 ], [v 1 ], [v 2 ], [v 0, v 1 ], [v 0, v 2 ], [v 1, v 2 ]} K simplisiyal komplekslerin kolleksiyonu iki ko³ulu da sa lar. K underlying uzay üçgen olacaktr. v 2 L : K = X = S 1 v 0 v 1 homeorzmas var. O halde çember polyhedrondur. Tanm 5.2.4. K ve L iki simplisiyal kompleks olsun.{p 0, p 1,..., p q } noktalar, K'da bir simpleksi gererken {ϕ(p 0 ), ϕ(p 1 ),..., ϕ(p q )} noktalar L'de bir simpleksi gerecek ³ekilde tanimlanan ϕ : K L fonksiyona simplisiyal dönü³üm denir. Tanm 5.2.5. K ve L iki simplisiyal kompleks olmak üzere ϕ : K L, K daki kö³eler ile L deki kö³eler arasnda bijektif ise ϕ' ye K ve L arasbda bir izmorzm denir. K ve L ye de izmork simplisiyal kompleksler denir. Önerme 5.2.1. Simplisiyal dönü³ümlerin birle³imide simplisiyal dönü³ümdür. spat 5.2.1. spat okuyucuya ödev olarak biraklm³tr Tanm 5.2.6. i için t i > 0 olacak ³ekilde m i=1 t ip i noktalrna ait P simpleksin alt kümesine P'nin içi denir. P ile gösterilir. 52

Örnegin, bir 0-simpleksin içi kendisidir. Ayrca bir dijital m-simpleks açk simplekslerin ayrk birle³imi oldu u gözlenmelidir. Tanm 5.2.7. K bir m-simplisiyal kompleks ve p V er(k) olsun. O zaman p nin yldz st(p) = P ³eklinde tanmlanr. Burada P K ve p V er(k). Tanm 5.2.8. K bir simplisiyal kompleks olsun. dimk = sup{dim(s)}. s K Teorem 5.2.1. K ve L iki simplisiyal kompleks olsun. E er f : K L homeomorzm ise dimk = diml'dir. Tanm 5.2.9. K ve L iki simplisiyal kompleks olmak üzere ϕ : K L simplisiyal dönü³üm ve f : K L sürekli dönü³üm olsun. K nn her kö³esi p için f(st(p)) st(φ(p)) ise ϕ dönü³ümü f'ye simplisiyal yakla³yor denir. Önerme 5.2.2. ϕ simplisiyal dönü³ümünün yakla³m f olsun. f süreklidir. f homeomorzm olmas için gerek ve yeter ³art ϕ izomorzmdir. f 1 : K L fonksiyonu ϕ 1 : K L dönü³ümünün yakla³m ve f 2 : L K fonksiyonu ϕ 2 : L M simplisiyal dönü³ümün yakla³m ise f 2 f 1 : K M, ϕ 2 ϕ 1 'in simplisiyal yakla³m fonksiyonudur. spat 5.2.2. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr. Örnek 5.2.3. p 0 = (0, 0, 0), p 1 = (1, 0, 0), p 2 = (1, 2, 0), p 3 = (2, 3, 4) p 3 p 0 p 1 p 2 Bu üçgen prizmann snrlar bir simplisiyal kompleks olu³turur. 53

0-simpleksler: σ 0 1 = p 0, σ 0 2 = p 1, σ 0 3 = p 2, σ 0 4 = p 3 1-simpleksler: σ1 1 = (p 0, p 1 ), σ2 1 =< p 0, p 2 >), σ3 1 =< p 0, p 3 >, σ4 1 =< p 1, p 2 >, σ5 1 =< p 1, p 3 >, σ6 1 =< p 2, p 3 > 2-simpleksler: σ1 2 =< p 0, p 1, p 2 >, σ2 2 =< P 1, P 2, P 3 >, σ3 2 =< p 0, p 2, p 3 >, σ4 2 =< p 0, p 1, p 3 > 54

Bölüm 6 S MPL S YAL HOMOLOJ GRUPLARI 6.1 Serbest Abel Gruplar Tanm 6.1.1. B, F abel grubunun alt kümesi olsun. Her b B için < b > devirli altgrubu sonsuz ve F = b B < b > ise F ye B bazl serbest abel grup denir. Dolasyla bir serbest abel grup Z gruplarnn direkt toplamlardr. F serbest abel grubun tipik eleman x = m b b formunda tek türlü ifade edilir. Burada m b Z ve m b nin hemen hemen hepsi sfrdr (tümü fakat m b nin sonlu sayda olmas) Not 6.1.1. Serbest abel grubun bazlar, vektör uzaynn bazlar gibi hareket ederler(davranrlar). Bu abel grubun bazlar üzerinde çak³an iki homomorzma e³it olmaldr. Yani bir kümesi üzerinde bir tek homomorzm tanmlanr. Teorem 6.1.1. F, B bazl serbest abel grup olsun. 1. G serbest abel grup ve ϕ : B G bir fonksiyon ise Her b B için, ϕ i(b) = ϕ(b) olcak ³ekilde bir tek homomorzmas ϕ : F G 55

vardr. i F B ϕ ϕ G 2. F serbest abel grup olmak üzere her abel grup G, F/R bölüm grubuna izomorftur. spat 6.1.1. i) F serbest abel grubuna ait her elemenn yazlabildi ini biliyoruz. O zaman x = m b b ϕ : F G x ϕ(x) = m b ϕ(x) ³eklinde tanmlansn. x elemann tek türlü ifade edilmesinden ϕ iyi-tanml homomorzmadr. Bir önceki notun ikinci ksmndan ϕ tektir. ii) Her x G için, üreteci b x olan Z x sonlu olmayan devirli grubunu seçelim. Dolasyla B = {b x x G} bazl F = x G Z x serbest abel gruptur. ϕ : B G b x ϕ(b x ) = x ³eklinde fonksiyonu tanmlayalm. ϕ sürjektif oldu undan ϕ homomorzmas sürjektir. Birinci izomorzma teoreminden G = F/Ker ϕ. Teorem 6.1.2. Verilen T kümesi için, T yi baz kabul eden bir serbest sbel grup F vardr. spat 6.1.2. T = φ ise F = 0 dir. Aksi halde her t T için elemanlar mt olan Z t toplamsal grubunu tanmlarz. Z t nin üreteci t olan bir sonsuz devirli grup oldu u kolayca görülebilir. Dolasyla F = t T Z t grubu t inci koordinat sfrdan farkl olmak üzere b t tbaz elemanlarndan olu³an bir serbest abel grupttur. 56

Teorem 6.1.3. F serbest abel grubun her hangi iki bazn kardinalitisi e³ittir. spat 6.1.3. Okuyucuya braklm³tr. Tanm 6.1.2. F, B bazl serbest abel grup ise F nin rank B nin kardinatisine e³ittir. imdi herhangi bir abel grubun rankn tanmlayabiliriz; Tanm 6.1.3. G bir abel grup olsun. A³a daki özellikleri sa layacak ³ekilde G nin bir F abel alt grubu varsa G nin rank r dir denir; 1. rank F = r; 2. G/F burulmal(torsiyon). 6.2 Simplisiyal Zincir Kompleksler Tanm 6.2.1. K orianted (yönlü) simplisiyal kompleks olsun. q 0 olmak üzere C q (K) a³a daki özellikelliklere sahip abel gruptur. * Üreteçler: p i V erk olmak üzere (p 0, p 1,..., p q ) noktalarndan olu³acak öyleki {p 0, p 1,..., p q }, K'daki bir simpleksi germesi gerekir. * Ba ntlar: i. E er bir kenar tekrarlarsa (p 0, p 1,..., p q ) = 0'dr. ii. (p 0, p 1,..., p q ) = Sgn(π)(p π(0), p π(1),...,pπ(q) ) C q (K)'nn elemann < p 0, p 1,..., p q > ile gösterece iz. Lemma 6.2.1. K m-boyutlu simplisiyal kompleks olsun. C q (K), bazlar < p 0, p 1,..., p n > olan serbest abel gruptur. q > m ise C q (K) = 0'dr. Tanm 6.2.2. q : C q (K) C q 1 (K) < p 0, p 1,..., p q > q (< p 0,..., p q >) q = ( 1) i < p 0, p 1,..., ˆp i,..., p n > Örnek olarak; 2 (< p 0, p 1, p 2 >) = 2 ( 1) i < P 0, ˆp i, p 2 > i=1 = < p 1, p 2 > < p 0, p 2 > + < p 0, p 1 > 57

< p 1, p 2 >, < p 0, p 1 >, < p 0, p 2 > C 1 (K) Böylelikle baz elemanlarn lineer birle³imi ifade edilmi³ oldu. Teorem 6.2.1. K m-boyutlu simplisiyal kompleks olsun. O zaman; 0 C m (K) m C m 1 (K) m 1... C 0 (K) 0 bir zincir komplekstir. ( m 1 m = 0) Tanm 6.2.3. K ve L iki simplisiyal kompleks olmak üzere φ : K L simplisiyal dönü³ümü φ : C q (K) C q (L) a³a daki gibi lineer dönü³üm indirger; { {ϕ(p0 ),..., ϕ(p ϕ ({p 0,..., p q }) = q )}, {ϕ(p 0 ),..., ϕ(p q )} L deki bir simpleksi gerer 0, {ϕ(p 0 ),..., ϕ(p q )} L deki bir simpleksi germez Tanmdan A³a daki önermeyi verebiliriz; Önerme 6.2.1. ϕ : K L ve ψ : L M iki simplisiyal dönü³üm olsun. ψ ϕ : K M bile³kesi (ψ ϕ) = ψ ϕ e³itli ini gerçekleyen (ψ ϕ) : C q (K) C q (M) dönü³ümünü üretir. Simplisiyal dönü³üm ile snr homomorzmas arasndaki ili³ki ³öyledir; Önerme 6.2.2. ϕ : K L simplisiyal dön³üm ise ϕ = ϕ : C q (K) C q 1 (L). spat 6.2.1. {p 0,..., p q }, K da bir q-simpleksi gersin. O zaman ϕ ({p 0,..., p q }) = ({ϕ(p 0 ),..., ϕ(p q )}) q = ( 1) i {ϕ(p 0 ),..., ˆϕ(p i ),... ϕ(p q )} = q ( 1) i ϕ ({p 0,..., ˆp i,... p q }) = ϕ ( q ( 1) i {p 0,..., ˆp i,... p q }) = ϕ ({p 0,..., ˆp i,... p q }) 58

6.3 Simplisiyal Homoloji Gruplar Tanm 6.3.1. K oriented simplisiyal kompleks olsun. Z q (K) = Ker q = {< p 0, p 1,..., p q > C q (K) q (< p 0,..., p q >) = 0} grubuna q-devir grubu denir. B q (K) = Im q+1 = {< p 0, p 1,..., p q > C q (K) q+1 (< p 0,..., p q+1 >) =< p 0, p 1,..., p q >} grubuna q-snr grubu denir. Lemma 6.3.1. B q (K) Z q (K) C q (K)'dr. Tanm 6.3.2. H q (K) = Zq(K) B q(k) grubuna q. boyutta simplisiyal homoloji grubu denir. Klein i³esi 1 tane 0-simpleks [v] var. O halde C 0 (Kb) = Z 3 tane 1-simpleks [a], [b], [c] var. O halde C 1 (Kb) = Z Z Z 2 tane 2-simpleks [U], [L] var. O halde C 2 (Kb) = Z Z Ve q 3 için C q (Kb) = {0} dir. 0 C 2 (Kb) C 1 (Kb) C 0 (Kb) 0 Buradan; Ker 0 = C 0 (Kb) = Z ve Im 3 = {0} dir. 59

2 : C 2 (Kb) C 1 (Kb) homomorzmasn ele alalm. p U + q L C 2 (Kb) için 2 (pu + ql) = p 2 (U) + q 2 (L) = p ( a b + c) + q ( c a + b) = (p + q) a + (q p) (b c) ( a b + c) + ( c a + b) = 2a olur. O halde üreteçlerimiz 2a ve b a c dir. Buradan; Im 2 = 2Z Z dir. imdi 2 nin çekirde ini hesaplayalm. 2 (pu + ql) = 0 olsun. O zaman (p + q) a + (q p) (b c) = 0 p = q = 0 dir. O halde Ker 2 = {0} dir. 1 : C 1 (Kb) C 0 (Kb) homomorzmasn ele alalm. r 1 a + r 2 b + r 3 c C 1 (Kb) için 1 (r 1 a + r 2 b + r 3 c) = r 1 1 (a) + r 2 1 (b) + r 3 1 (c) = r 1 (v v) + r 2 (v v) + r 3 (v v) = 0 elde edilir. O zaman; Ker 1 = Z Z Z ve Im 1 = {0} dir. Artk Klein i³esinin homoloji gruplarn hesaplayabiliriz. H 0 (Kb) = Ker 0 Im 1 = Z {0} = Z H 1 (Kb) = Ker 1 Im 2 = Z Z Z 2Z Z = Z 2 Z H 2 (Kb) = Ker 2 Im 3 = {0} {0} = {0} H q (Kb) = {0} q 3 dir. 60

Tor 1 tane 0-simpleks [v] var. O halde C 0 (Kb) = Z 3 tane 1-simpleks [a], [b], [c] var. O halde C 1 (Kb) = Z Z Z 2 tane 2-simpleks [U], [L] var. O halde C 2 (Kb) = Z Z Ve q 3 için C q (Kb) = {0} dir. 0 C 2 (T ) C 1 (T ) C 0 (T ) 0 Buradan; Ker 0 = C 0 (T ) = Z ve Im 3 = {0} dir. 2 : C 2 (T ) C 1 (T ) homomorzmasn ele alalm. pu + ql C 2 (T ) için 2 (pu + ql) = p 2 (U) + q 2 (L) = p ( a b + c) + q (a + b c) = p ( a b + c) + q (a + b c) = (p q) (c a b) O halde Im 2 = Z olur. imdi 2 nin çekirde ini hesaplayalm. 2 (pu + ql) = 0 olsun. O zaman (p q) (c a b) = 0 = p = q dir. O halde Ker 2 = Z dir. 1 : C 1 (T ) C 0 (T ) homomorzmasn ele alalm. r 1 a + r 2 b + r 3 c C 1 (T ) için 61

1 (r 1 a + r 2 b + r 3 c) = r 1 1 (a) + r 2 1 (b) + r 3 1 (c) = r 1 (v v) + r 2 (v v) + r 3 (v v) = 0 elde edilir. O zaman; Ker 1 = C 1 (T ) = Z Z Z ve Im 1 = {0} dir. Artk Tor un homoloji gruplarn hesaplayabiliriz. H 0 (T ) = Ker 0 Im 1 = Z {0} = Z H 1 (T ) = Ker 1 Im 2 = Z Z Z Z = Z Z H 2 (T ) = Ker 2 Im 3 H q (T ) = {0} = Z {0} = Z q 3 dir. 62

Reel Projektif Düzlem 2 tane 0-simpleks [v], [w] var. O halde C 0 (RP 2 ) = Z Z 3 tane 1-simpleks [a], [b], [c] var. O halde C 1 (RP 2 ) = Z Z Z 2 tane 2-simpleks [U], [L] var. O halde C 2 (RP 2 ) = Z Z Ve q 3 için C q (RP 2 ) = {0} dir. 0 C 2 (RP 2 ) C 1 (RP 2 ) C 0 (RP 2 ) 0 Buradan; Ker 0 = C 0 (RP 2 ) = Z Z ve Im 3 = {0} dir. 2 : C 2 (RP 2 ) C 1 (RP 2 ) homomorzmasn ele alalm. pu + ql C 2 (RP 2 ) için 2 (pu + ql) = p 2 (U) + q 2 (L) = p ( a + b + c) + q ( a + b c) = a (p + q) + b (p + q) + c (p q) = (p + q) (b a) + (p q) c a + b + c a c + b = 2(b a) olur. O halde üreteçlerimiz 2(b a) ve a c + b dir. Buradan Im 2 = 2Z Z dir. imdi 2 nin çekirde ini hesaplayalm. 2 (pu + ql) = 0 olsun. O zaman (p + q) (b a) + (p q) c = 0 p = q = 0 dir. O halde Ker 2 = {0} dir. 1 : C 1 (RP 2 ) C 0 (RP 2 ) 63

homomorzmasn ele alalm. r 1 a + r 2 b + r 3 c C 1 (T ) için 1 (r 1 a + r 2 b + r 3 c) = r 1 1 (a) + r 2 1 (b) + r 3 1 (c) = r 1 (w v) + r 2 (w v) + r 3 (v v) = (w v) (r 1 + r 2 ) dir. O zaman üreteç bir tanedir. Buradan Im 1 = Z olur. 1 (r 1 a + r 2 b + r 3 c) = 0 olsun. O zaman (w v) (r 1 r 2 ) = 0 = r 1 = r 2 dir. Buradan Ker 1 = Z Z olur. Reel Projektif Düzlemin homoloji gruplarn hesaplayabiliriz. H 0 (RP 2 ) = Ker 0 Im 1 = Z Z Z = Z H 1 (RP 2 ) = Ker 1 Im 2 = Z Z 2Z Z = Z 2 H 2 (RP 2 ) = Ker 2 Im 3 = {0} {0} = {0} H q (RP 2 ) = {0} q 3 dir. 64

Küre 2 tane 0-simpleks [v], [w] var. O halde C 0 (S 2 ) = Z Z 3 tane 1-simpleks [a], [b], [c] var. O halde C 1 (S 2 ) = Z Z Z 2 tane 2-simpleks [U], [L] var. O halde C 2 (S 2 ) = Z Z Ve q 3 için C q (S 2 ) = {0} dir. 0 C 2 (S 2 ) C 1 (S 2 ) C 0 (S 2 ) 0 Buradan; Ker 0 = C 0 (S 2 ) = Z Z ve Im 3 = {0} dir. 2 : C 2 (S 2 ) C 1 (S 2 ) homomorzmasn ele alalm. pu + ql C 2 (S 2 ) için 2 (pu + ql) = p 2 (U) + q 2 (L) = p ( b + b + c) + q ( a + a c) = c(p q) O halde üretecimiz " c " bir tanedir. Buradan imdi 2 nin çekirde ini hesaplayalm. 2 (pu +ql) = 0 olsun. O zaman c(p q) = 0 bir tane oldu undan Ker 2 = Z dir. Im 2 = Z dir. = p = q dir. Üretecimiz 65

1 : C 1 (S 2 ) C 0 (S 2 ) homomorzmasn ele alalm. r 1 a + r 2 b + r 3 c C 1 (T ) için 1 (r 1 a + r 2 b + r 3 c) = r 1 1 (a) + r 2 1 (b) + r 3 1 (c) = r 1 (w v) + r 2 (w v) + r 3 (v v) = (w v) (r 1 r 2 ) dir. O zaman üreteç bir tanedir. Buradan Im 1 = Z olur. 1 (r 1 a + r 2 b + r 3 c) = 0 olsun. O zaman (w v) (r 1 r 2 ) = 0 = r 1 = r 2 dir. Buradan Ker 1 = Z olur. Kürenin homoloji gruplarn hesaplayabiliriz. H 0 (S 2 ) = Ker 0 Im 1 = Z Z Z = Z H 1 (S 2 ) = Ker 1 Im 2 H 2 (S 2 ) = Ker 2 Im 3 H q (S 2 ) = {0} = Z Z = {0} = Z {0} = Z q 3 dir. Teorem 6.3.1. 1. K = ise H 0 (K) = 0'dir. 2. K = {x 0 } bir 0-simpleks ise H 0 (K) = 0, i 1 spat 6.3.1. 1. K = olsun. C 0 (K) = 0, C 1 (K) = 0, C 2 (K) = 0; C i (K) = 0 i 3 0 4 C 3 (K) 3 C 2 (K) 2 C 1 (K) 1 C 0 (K) 0 Dolasyla H 0 (K) = Z 0(K) {0}. B 0 (K) 2. K = {x 0 } olsun. Z 0 (K) = Ker 0 = 0 B 0 (K) = Im 1 = 0. C 0 (K) =< x 0 > Z, C i (K) = {0} i 1 66

0 1 C 0 (K) 0 0 Z 0 (K) = Ker 0 = C 0 (K) Z, B 0 (K) = Im 1 = {0}. Böylece H 0 (K) Z. Örnek 6.3.1. p 0 = (0, 0, 0), p 1 = (1, 0, 0), p 2 = (1, 2, 0), p 3 = (2, 3, 4) P 3 P 0 P 1 P 2 σ 0 1 =< p 0 >, σ 0 2 =< p 1 >, σ 0 3 =< p 2 >, σ 0 4 =< p 3 > σ 1 1 =< p 0, p 1 >, σ 1 2 =< p 0, p 2 >, σ 1 3 =< p 0, p 3 >, σ 1 4 =< p 1, p 2 > σ 1 5 =< p 1, p 3 >, σ 1 6 =< p 2, p 3 > σ 2 1 =< p 0, p 1, p 2 >, σ 2 2 =< p 1, p 2, p 3 >, σ 2 3 =< p 0, p 2, p 3 > σ 2 4 =< p 0, p 1, p 3 > C 0 (K) =< σ 0 1 > < σ 0 2 > < σ 0 3 > < σ 0 4 > Z Z Z Z Z 4 C 1 (K) =< σ 1 1 > < σ 1 2 > < σ 1 3 > < σ 1 4 > < σ 1 5 > < σ 1 6 > Z 6 C 2 (K) =< σ 2 1 > < σ 2 2 > < σ 2 3 > < σ 2 4 > Z 4 C i (K) = 0 i 3 0 3 C 2 (K) 2 C 1 (K) 1 C 0 (K) 0 0 0 3 Z 4 2 Z 6 1 Z 4 0 0 67

Z 0 (K) = Ker 0 = C 0 (K) Z 4 B 0 (K) = Im 1 = {a 1 < σ 0 1 > +a 2 < σ 0 2 > +a 3 < σ 0 3 > +a 4 < σ 0 4 > a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 0} Z 3 (Üreteç says 3) H 0 (K) = Z 0(K) Z4 B 0 (K) Z 2 Z Hatrlatma: i (< p 0, p 1,..., p m >) = m ( 1) i < p 0, p 1,..., ˆp i,..., p m > 1 snr homomorzmasnn matrisi; 1 (σ 1 1) = p 1 p 0 1 (σ 1 2) = p 2 p 0 1 (σ 1 3) = p 3 p 0 1 (σ 1 4) = p 2 p 1 1 (σ 1 5) = p 3 p 1 1 (σ 1 6) = p 3 p 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 2 (σ 2 1) =< p 1, p 2 > < p 0, p 2 > + < p 0, p 1 > 2 (σ 2 2) =< p 2, p 3 > < p 1, p 3 > + < p 1, p 2 > 2 (σ 2 3) =< p 2, p 3 > < p 0, p 3 > + < p 0, p 2 > 2 (σ 2 4) =< p 1, p 3 > < p 0, p 3 > + < p 0, p 1 > 2 snr homomorzmasnn matrisi; 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 68

H 1 (K) = Z 1(K) B 1 (K) Z3 Z 3 = {0} H 2 (K) = Z 2(K) B 2 (K) Z {0} Z Z 2 (K) = {a < σ 2 1 > a < σ 2 2 > +a < σ 2 3 > a < σ 2 4 > a Z} Z H i (K) = 0, i 3 Teorem 6.3.2. f : X Y homeomorf ise f x : H i (X) H i (Y ) izomorftur. spat 6.3.2. Okuyucuya braklm³tr. Teorem 6.3.3. σ =< p 0, p 1,..., p n >, n-simpleks ise, n 1 n (σ) = 0'dr. spat 6.3.3. σ =< p 0, p 1,..., p n >, n-simpleks olsun. n 1 n (σ) = n 1 ( n (σ)) = n 1 ( n < p 0, p 1,..., p n ) n = n 1 ( ( 1) i < p 0, p 1,..., ˆp i,..., p n >) = + n i 1 ( 1) i [ ( 1) j < p 0, p 1,..., ˆp j,..., ˆp i,..., p n > j=0 n ( 1) j 1 < p 0, p 1,..., ˆp i,..., ˆp j,..., p n >] j=i+1 = ( 1) i+j < p 0, p 1,..., ˆp j,..., ˆp i,..., p n > j<i n + ( 1) i+j 1 < p 0, p 1,..., ˆp i,..., ˆp j,..., p n > i<j n = j i (( 1) i+j + ( 1) i+j 1 ) < p 0, p 1,..., ˆp j,..., ˆp i,..., p n >= 0. 69

6.4 Simplisiyal Kompleksin Euler Karakteristi i (K, f), S 2 kürenin bir üçgenle³tirilmi³i olsun. V, kö³eler(0-simpleksler) saysn, E kenarlar(1-simpleksler) saysn ve F yüzeyler(2-simpleksler) saysn göstersin. Bu durumda Euler formulü V E + F = 2 oldu unu biliyoruz. imdi bunu genelle³tirelim; Tanm 6.4.1. K, m-boyutlu simplisiyal kompleks olsun. q 0 için α q, K'daki q-simplisiyal komplekslerin says olsun. K simplisiyal kompleksinin Euler karakteristi i: m χ(k) = ( 1) q α q ³eklinde tanmlanr. Teorem 6.4.1. K, m-boyutlu oriyantal simplisiyal kompleks olsun. m χ(k) = ( 1) q rank(h q (K)). q=0 q=0 spat 6.4.1. A³a dak zincir kompleksini ele alalm; 0 m+1 C m (K) m C m 1 (K) m 1 1 C0 (K) 0 0. Her q için C q (K) rank α q olan serbest abel grupttur. H q (K) = Zq(K) B q(k) oldu undan rankh q (K) = rankz q (K) rankb q (K) Im m+1 = 0 oldu undan B m (K) = 0 dir. Her q 0 için tam dizisi vardr. χ(k) = = 0 Z q (K) C q (K) q B q 1 (K) 0 α q = rank C q (K) = rank Z q (K) + rank B q 1 (K) m ( 1) q α q (K) = q=0 m ( 1) q (rank Z q (K) + rank B q 1 (K)) q=0 m ( 1) q rank Z q (K) + q=0 m ( 1) q rank B q 1 (K)) q=0 70

B 1 (K) = 0 = B m (K) oldu undan m χ(k) = ( 1) q rank Z q (K) + Örnek 6.4.1. = = H i (S 2 ) = q=0 m ( 1) q+1 rank B q (K) q=0 m ( 1) q (rank Z q (K) rank B q (K)) q=0 m ( 1) q rank H q (K). q=0 { Z, i = 0, 2 0, i 0, 2 Z, i = 0, 2 H i (T ) = Z Z, i = 1 0, i 0, 1, 2 H i (D 2 ) = H i (S 1 ) = { Z, i = 0 0, i 0 { Z, i = 0, 1 0, i 0, 1 Z, i = 0 H i (Kb) = Z Z 2, i = 1 0, i 0, 1 H i (S 1 I) = { Z, i = 0, 1 0, i 0, 1 H i (Mb) = { Z, i = 0, 1 0, i 0, 1 Z, i = 0 H i (RP 2 ) = Z 2, i = 1 0, i 0, 1 Yukardaki Teorem kullanarak Euler karakteristi ini hesaplayabiliriz; χ(s 2 ) = ( 1) i rank H q (S 2 ) q=0 = ( 1) 0 rank S 2 (T ) + ( 1) 1 rank H 1 (S 2 ) + ( 1) 2 rank H 2 (S 2 ) +... = 1 0 + 1 + 0 + 0 +... = 2 χ(t ) = ( 1) q rank H q (T ) q=0 = ( 1) 0 rank H 0 (T ) + ( 1) 1 rank H 1 (T ) + ( 1) 2 rank H 2 (T )) +... = 1 + ( 1).2 + 1 = 0 71

6.5 Homoloji ve Simplisiyal Dönü³ümler ϕ : K L simplisiyal dönü³üm olsun. ϕ, ϕ = ϕ e³itli ini do rulayan ϕ : C q (K) C q (L) lineer dön³ümü üretti ini biliyoruz. [c] = c+b q (K), H q (K) bir eleman göstersin. Dolasyla c Z q (K) dir yani (c) = 0 ve böylece ϕ (c) = ϕ (c) = 0 oldu undan ϕ (c) Z q (L) dir. c c B q (K) ise bir u C q+1 (K) için ϕ (c c ) = ϕ ((u)) = (ϕ (u)) dir. Yani ϕ (c) + B q (L) = ϕ (c ) + B q (L). Dolasyla H(ϕ) : H q (K) H q (L) c+b q (K) H(ϕ)(c+B q (K)) = ϕ (c)+b q (L). Tanm 6.5.1. ϕ, ψ : K L iki simplisiyal dönü³üm olsun. Her q için q+1 h + h q = ϕ ψ e³itli ini do rulayan h : C q (K) C q+1 (L) lineer dön³ümü varsa ϕ ve ψ dönü³ümleri zincir homotoptur denir. Teorem 6.5.1. ϕ ve ψ arasnda bir zincir homotopi varsa H(ϕ) = H(ψ). spat 6.5.1. [c] = c + B q (K) H q (K) olsun. q+1 h(c) + h q (c) = ϕ (c) ψ (c). q (c) = 0 oldu undan ϕ (c) ψ (c) = h(c) B q (L). Yani ϕ (c)+b q (L) = ψ (c) + B q (L) ve H(ϕ)([c]) = H(ψ)([c]). Tanm 6.5.2. ϕ, ψ : K L iki simplisiyal dönü³üm olsun. Herhangi bir σ K simpleksi için, ϕ(σ) ψ(σ) L de bir simpleks oluyorsa ϕ, ψ dönü³ümleri kontgious dur denir Sonuç 6.5.1. ϕ, ψ : K L iki simplisiyal dönü³üm ve ϕ, ψ ye kontgious ise tüm q için H q (ϕ) = H q (ψ) dir. spat 6.5.2. Okuyucuya braklm³tr. 72

Bölüm 7 DÜ ÜM TEOR S Elimize küp ³eklinde bir kutu alalm ve kutunun etrafna be³ metre uzunlu- unda bir ipi hediye paketlermi³iz gibi ba layp uclarini yapi³tiralim. Daha sonra bu ipi yava³ça kutunun etrafndan çkaralm. Elde etti imiz ³ekil bir trefoil (yonca yapra ) olacaktr. Ayn i³lemi be³ metre de ilde yirmi metre uzunlu unda ve daha kaln bir iple yapsaydk yine bir trefoil elde etmi³ olacaktk. Yani dü üm teorisinin topolojinn bir alt dal olarak incelenmesinin sebebi de budur. Dü üm teorisinin tarihinin ba³langc tam olarak bilinmesede ilk olarak Gauss'un ilgilendigi dü³ünülmektedir ancak bu konuyla ciddi manada ilk olarak ilgilenen Amerikali ünlü matematikci Alexandar olmustur. Alexander dü üm teorisinin 3-boyutlu topolojide ne kadar önemli oldu unu göstermi³tir.daha sonra Alman matematikçi Seifert 1920 de çal³t bu konunun önemini pekçok ki³inin anlamasn sa lam³tr. Ayrca cebirsel geometri ile dü üm teorisinin ili³kisi bu dönemde Almanya'da yaplan çal³malarda ortaya konulmu³tur. 73

Asl büyük ilerlemeler ikinci dünya sava³ srasnda Amerika'da yaplan ara³t- rmalarla sa lanm³tr. Amerika'daki bu geli³melerin etkisi zamanla Japonya'ya da sçram³ ve burada da dü üm teorisi ile ilgili büyük atlmlar gerçekle³tirilmi³tir. 1970 de ise periyodik dönü³ümlerle alakal Smith tahmininin çözümünden dolay dü üm teorisinin cebirsel say teorisi ile ba lantsnn olabilece i farkedildi. 1980 lere gelindi inde ise Jones'un epochal dü ümlerini ke³ ile dü üm teorisi topoloji ba³l altndan çkp matematiksel zi e ta³nm³tr. dü üm teorisi devaml olarak geli³ti i içinde pekçok bilimdal ile olan ili³kisi zamanla ortaya çkacaktr. Matematiksel biyoloji, mekanik ve kimyann da pekçok alanndaki i³levselli i zamanla ortaya konulmu³tur. Günümüzde ise dü üm graf dü üm teorisinin uygulamalarnda oldukça önemli bir yer tutar. Özellikle dü üm teorisinin kimyaya uygulamalarnda dü üm graar önemli bir araçtr. Spatial (uzaysal)graar olarak adlandrlan ve düzlemsel graardan biraz farkl olan bu graf kavram bu alanda önemli bir araçtr. Bu yüzyln ba³ndan beri ise bu alanda çal³an baz kimyaclar dü üm veya halkalar içeren yap formülü ile suni molekül sentezlemeye ilgi göstermi³lerdir. Frisch ve Wassermann (1961) bir halkay (Hopf Halkas) ihtiva eden yap formülü ile bir molekülü sentezlemeyi ba³ardlar (Murasugi 1996). Bir dü ümün yapsal formülü ile bir molekülü sentezleme i³lemi baz kimyaclar tarafndan sürdürülmü³tür ve moleküller bu ilginç yap formülü ile sentezlenmi³tir. Walba (1985) molekülün yapsal formülünü elde etmek için kullanlan i³lemde, yapsal formül olarak bir dü ümün yapsn kullanr, Mobiüs merdivenli (M 3 -graf) bir molekül sentezlemeyi ba³arr (Murasugi 1996). Bu olay molekül topolojisinin do masna yol açm³tr. Bir molekülün yapsal formülü,moleküldeki atomlara kar³lk gelen ve kenarlar,kö³eler, kovalent ba lar yardmyla atomlar arasndaki veri kombinasyonunu ifade eden bir graf olarak tanmlanabilir. 7.1 Dü ümler, Zincirler, Diya ramlar Dü ümü formel olarak tanmlarken smooth(düzgün) dü üm ve poligonal dü üm olarak ikiye ayrabiliriz. Tanm 7.1.1. (Dü üm ve Zincir) 1. Birim çembere homeomorf olan 3 boyutlu uzayn alt kümesine dü üm denir. 2. Birçok ayrk (kesi³meyen) dü ümlerin birle³imine zincir denir. 74

3. ki zincir 3 boyutlu uzayda izotopik ise bu iki zincir denktir denir. ekil 7.1: trefoil dü ümü- sekiz dü ümü -kare dü ümü Tanm 7.1.2. Birim çembere denk olan dü üme dü ümsüz denir. 2. Bir zincir {(x, y, i) x 2 + y 2 = 1i = 1, 2,..., n} kümesine denk ise bu zincire n-bile³enli zincir olmayan denir. 75

ekil 7.2: hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri ki dü üm ya da iki zincir düzlemde ayn diyagrama sahip iseler bunlar denktir. ekil 7.3: uygun çaprazlama-kötü çaprazlama Tanm 7.1.3. R 3 de kendini kesmeyen poligonal do rulara poligonal dü üm denir. Tanm 7.1.4. Diferansiyeli sfra e³it olmayan sonsuz bir diferansiyellenebilir gömülme altnda, R 3 deki çemberin görüntüsü olarak tanmlanan dü ümlere ise smooth 76

dü üm denir. Biz genel olarak dü ümün smooth tanmn kullanaca z. ekil 7.4: 4 1 ve 3 1 Tanm 7.1.5. Ki ler dü üm ve i j için K i Kj = iken L = K 1 K2... Kn R 3 olacak ³ekildeki L alt uzayna zincir denir. Tanm 7.1.6. n bile³enli bir L zincirinin bile³en saysn comp(l)=n ile gösterilir. comp(l)=1 olan bir zincir ise bir dü üme kar³lk gelir. Tanm 7.1.7. Zincirler diyagramlar yardmyla incelenir. R 3 deki zincirlerin regüler diyagramn elde etmek için R 2 ={(x 1, x 2, 0) R 3 x i R} deki görüntü resmi alnr. i³te bu diyagramlarn ³u ³ekilde ifade edilir. R 2 deki bir diyagram yaylarn ve çaprazlamalarn says tarafndan gösterilir. Bir çaprazlamada bir yay yukardan geçerken di er iki yay a³a dan geçer. Bir diyagramda a³a daki çaprazlama hareketlerinin yaplmasna izin verilmez. Tanm 7.1.8. Yönlü bir zincir herbir bile³en boyunca bir yön seçerek zincire kar³lk gelen diyagramda oklarla göstererek elde edilir. Böylelikle iki çe³it çaprazlama elde etmi³ oluruz: 77

Tanm 7.1.9. Yönlü bir diyagramn kvrm ³u ³ekilde bulunur: ω(d)= caprazlamalar çaprazlama i³aretleri Tüm yönleri de i³tirmek kvrm de i³tirmez yani yönlü olmayan bir dü üm diyagramnn kvrm iyi tanmldr. Tanm 7.1.10. Yönlü bir D diyagramnn bile³enlerinin C 1, C 2,..., C n oldu unu varsayalm. i j olmak ko³ulu ile C i ile C j nin zincirlenme says a³a daki ³ekilde tan- mlanr: lk(c i, C j ) = 1 2 C i ilec j nincaprazlamalari çaprazlama i³aretleri D nin zincirlenme says ise: lk(d) = 0 i j n lk(c i, C j ) 78

79

7.2 Reidemeister Hareketleri Tanm 7.2.1. Reidemeister hareketi bir dü üm diyagram üzerinde herhangi bir de i³ikli e sebep olmadan yaplan hareketlerdir. R 0 : Diyagramn homotopisi yay ve çaprazlamalarn in³asn de i³tirir yani örne in yaylar büzer ya da açar fakat yönünü de i³tirmez: Diyagramn etkilenen ksmlar yalnzca a³a daki hareketlerle meydana gelir R 1 : R 2 : R 3 : Bir dü ümü isimlendirirken iki sayya ihtiyaç duyaca z. Bunlar dü ümün çaprazlanma says ve bir dü ümün çözülmesi için yaplmas gereken hareketlerin saysdr. Yani 3 1 trefoil dü ümü için 3 dü ümün çaprazlanma saylar, 1 ise dü ümün çözülmesi için yaplma için gereken i³aret de i³imi hareketidir. 80

Tanm 7.2.2. D ve D' diyagramlar izotopiktir. D diyagram R i, 0 i 3 hareketlerinin yardmyla D' diyagramndan elde edilebilir. E er D ve D' R 1 hareketi kulanlmakszn birbirine izotopik klnabiliyorsa D ve D' ye regüler izotopik denir. Teorem 7.2.1. (Reidemeister(1932)) 1. Herhangi bir L zinciri diyagram olan bir zincire izotopiktir. 2. Verilen L 0, L 1 zincirlerinin diyagramlar srasyla D 0 ve D 1 olsun. L 0 ve L 1 zincirleri izotopiktir ancak ve ancak D 0 ve D 1 diyagramlar izotopiktir. Hopf zinciri Whitehead zincirine izotopik de ildir. 7.3 Dü üm Renklendirme Tanm 7.3.1. Bir L zincirinin D diyagram a³a da gösterildi i gibi tamsaylarla gösterilebiliyorsa, L zincirine modn e göre renklendirilebilir denir. a + c = 2b mod n yani üst geçi³ = alt geçi³lerin ortalamas modn e göre düz bir renklendirme yapmamalyz. Yani modn e göre bütün yaylar ayn renkte olmamal. Yani dü üm renklendirme srasnda özellikle a³a daki iki kurala dikkat etmeliyiz: 1. En azndan iki renk kullanlmaldr. 2. Herbir kesi³imde ya üç farkl renk ya da tümü ayn renk olacak ³ekilde renklendirme yaplmaldr. Teorem 7.3.1. E er bir L zinciri mod n de renklendirilebiliyorsa, L nin bütün diyagramlarda mod n de renklendirilebilir. 81

1 bile³enden daha fazla bile³ene sahip herhengi bir zincir mod2 de renklendirilebilir. Bundan hareketle hiçbir dü üm mod2 de renklendirilemez. Tanm 7.3.2. Bir zincir ya da diyagram x 1 < 0 bölgesinde ve x 1 > 0 bölgesinde olacak ³ekilde iki parçadan meydana geliyorsa bu zincir ya da diyagrama ayrlabilir denir. E er bir zincir ayrlabilirse o zaman bu zincir herhangi bir n 1 için modn de renklendirilebilirdir. Borromean halkalar ayrlabilir de ildir. Lemma 7.3.1. Herhangi bir diyagram santranç tahtas ³eklinde gösterilebilir. Tanm 7.3.3. Bir diyagramn alt geçi³ ve üst geçi³ bilgilerini gözard ederek çizilen zincir diyagramna gölge denir. S deki bile³enleri ba land yerdeki tümleyenlerine yani Snin ayrd ksmlara bölge denir. E er her çaprazlamada dört farkl bölhe varsa diyagrama indirgenmi³ diyagram denir. Teorem 7.3.2. (Schönics) R 2 deki herhangi bir C kapal e risi için h : R 2 R 2 ve h(c) = S 1 ³eklinde bir homeomorzm vardr. Lemma 7.3.2. Bölgeler yol ba lantldr. L bir zincir olsun. L nin bir indirgenmi³ diyagram vardr. 82

7.4 Dü üm Renklendirmesine Sistamik Yakla- ³m Varsayalm ki diyagramlar ba lantl, indirgenmi³ ve kapakl e rilerden yoksun olsun. Örne imizin tamsay çözümlerini ara³tralm: 2x 0 x 5 x 6 = nb 0 2x 6 x 0 x 1 = nb 1 2x 4 x 1 x 1 = nb 2.... 2x 4 x 0 x 7 = nb 7 yukardaki denklem sisteminin çözüm kümesi n Z ve b tamsay vektörüdür. Yani A + = nb + nn çözümüdür. öyle ki; b + = b 0 b 1. b 7 83

A + = 2 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 1 Burada A + matrisinin satrlar yay numaralarna sütunlar ise çaprazlamalara kar³lk gelir. Lemma 7.4.1. A + bir kare matristir. spat Diyagramda bir yön seçti imizde her yay bir çaprazlamada sona erdi inden dolay yay says çaprazlama saysna e³ittir, buradan da yaylar ile çaprazlamalar arasnda bir bijeksiyon olu³turulabilir. Biz daha önceki önermelerimizden verilen herhangi bir denkli in di erlerinin i³aretli toplam oldu unu biliyoruz. (yani bleri istedi imiz gibi seçmekte özgürüz.) Ve ba³ka bir teoremden de verilen herhangi bir x 1 in sfr olbilece ini biliyoruz. Böylece A + nn i. satr ve j. sütununu yok ederek A matrisini elde ederiz ve Ax = nb yi çözeriz ki burada hangi satr ve sütunun yok edildi i önemli de- ildir, ayrca b + nn da i. elemann yok ederek b yi elde ederiz. x 0 yerine 0 koyalm ve A + da 0. satr ve sütunu yok edelim. Durum1 det(a) = 0 Varsayalm ki; n = 0 olsun, o zaman Q da a³ikar olmayan bir çözüm oldu- undan x i = p i /q i Q 1 i m için deriz. q = q 1... q m oldu u yerde y 0 = 0, y 1 = x 1 q, y 2 = x 2 q,...,y m = x m q alarak (y 0, y 1,..., y m ) renklendirmesini yapalm. Böylece 0 bir renklendirme sayusudr ve buradan herhangi bir n 1 de eri bir renklendirme saysdr. Durum2 84

det(a) 0 Cramer kural Q da bize bir tek çözüm verir: 1 k m için a 11... nb 1... a 1m... a m1... nb m... a mm x k = deta n = deta olarak alrsak bir çözüm elde ederiz: x 0 = 0 a 11... nb 1... a 1m x k =... a m1... nb m... a mm 1 k m { nb deta>0 Ax = n( b) deta<0 (b 1,..., b m ) = (1, 0,..., 0) olarak alalm. Böylece X 0 = 0, x k = ( 1) k+1 1 k m için, ve deta = a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1m x m ve dikkat etmeliyiz ki; det(a) 0 oldu undan x i 0 ve sabit olmayan bir çözüm elde ederiz ki bu modn de sabit de ildir yani n tarafndan bölünemeyen x i lerden olu³ur. Tanm 7.4.1. Bir L zincirinin determinant det(l) = det(a) dr. Teorem 7.4.1. Herhangi bir n 1 says bir L zinciri için bir renklendirme saysdr ancak ve ancak n ve detl bir ortak çarpana sahiptir. Ve sonuç olarak ³unlar da söyleyebiliriz 1. E er detl = 1 ise L nin renklendirme says yoktur. 2. E er diyagram ba lantl de il ise det(l) = 0. 7.5 Aynalar VE Dü üm Kodlamas L bir zincir ve M R 3 bir an düzlemi olsun. L nin ayna görüntüsü, m(l), M deki yansmasndan elde edilir. 85

Ayna i³lemi izotopi snar üzerinde etkilidir ve aynann seçimine ba l de ildir. ml nin diyagram L nin diyagramndaki tüm çaprazlamalar de i³tirilerek bulunur. Tanm 7.5.1. E er bir zincir aynadaki yansmasna denk ise achiral dir denir. Aksi halde ise chiral olarak adlandrlr. Dü üm tablosundaki achiraller 4 1, 6 3, 8 3, 8 9, 8 12, 8 17, 8 18 dir. 3 1 ise chiraldir. Tanm 7.5.2. K yönlü bir dü üm olsun ve r(k) da K nn belirlenmi³ yönünü göstersin. E er K ve r(k) izotopik ise K tersinirdir. Tabloda tersinir olmayan tek dü üm 8 17 dir. 7.5.1 Dü üm Kodlamas Bir gölgenin bir zincire ait çaprazlama bilgileri ele alnmadan çizilen diyagram oldu unu hatrlyoruz Tek bile³enli bir gölge, yönsüz de i³en(alternating) bir tek dü üm belirtir. ispat Gölge etrafnda çaprazlama bilgilerine uyarak a³a, yukar, a³a,... ³eklinde yürüyelim. Bunu i³e yarad n görebilmek içinbir satranç tahtas seçelim ve yürümeye ba³larken siyah ksmn solumuza alalm siyah-beyaz ³eklinde yürümeye devam ettikçe yukar, a³a yürüdü ümüzü görece iz. Tablonun sadece son üç eleman de i³meyendir (not alrternating). Bunlar; 8 19, 8 20, 8 21 dir. Bir gölge verilsin ve bunun etrafnda ard³k olarak çaprazlama numaralarn yürüyelim. imdi ³öyle bir fonksiyon elde ederiz; f de i³meli ise; f : teksayilar cif tsayilar burada tek saylar alt kesi³imlere, çift saylar ise üst kesi³imlere kar³lk gelir. f(1), f(2), f(3),... dizisi bize gölgeyi verir. Örne in; 3 1 dü ümü 4, 6, 2 dizisi tarafndan belirlenir. Ayn dizinin farkl gölgeleri farkl diziler verir. 86

7.6 Alexander Polinomu Z deki modn renklendirmesini daha önce gördük. imdi bunu Z yerine Z[t, t 1 ] halkasn alarak (t tek de i³ken, negatif üz alabiliyoruz ) genelleyelim ve polinomlar yardmyla yönlendirilen zincirler bir polinom modunda renklendirilebilsin. Bu durumda çaprazlama ba nts c te = b tb veya c = ta + (1 t)b olur. Dikkat edelim ki t = 1 koyarsak eski çaprazlama ba ntmz elde ederiz. L (t) determinantna göre Z[t, t 1 ] de bir renklendirme elde ederiz ve L (t) polinomu L nin Alexander Polinomudur. Bir K dü ümünün Alexander polinomunu L (t) çizerken 1. Dü ümümüze istedi imiz ³ekilde bir yön veririz. 2. yaylar ve çaprazlamalar ayr ayr numaralandrrz. 3. n =çaprazlama says olmak üzere a³a daki ko³ullar ³ nda (n n) lik bir matris tanmlarz: (a) E er diyagrammzn x çaprazlamas pozitif yönlü ve yay isimleride i, j, k olmak üzere x satrnn i sütununa 1 t yi girelim ve bu satrn j sütununa 1 i ve bu satrn k sütununa t yi girelim (b) E er diyagrammzn x çaprazlamas negatif yönlü ise x satrnn i sütununa 1 t yi girelim j sütununa t de erini ve k sütununa da t de erini girelim geri kalan bile³enler yerinede 0 de erlerini girelim. Bu satr ya da sütunlardan herhangi birini yok ederek (n 1) (n 1) lik bir matris elde ederiz. ³te bu matrisin determinant bize K dü ümünün Akexander Polinomunu verir. A³agdaki örne imizi inceleyelim: 87