KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI SEVGİ İŞLER EYLÜL 5
ÖZET KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI İŞLER, Sevgi Kırıle Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Mtemti Abilim Dlı, Yüse Liss Tei Dışm : Pro. Dr. Kerim KOCA Eylül 5, 97 sy Te, dört temel bölümde oluşmtdır. Birici bölümde, omples dülemde eğriler, omples itegrller, Cuchy Türev ve İtegrl Formülleri icelemiştir. İici bölümde omples osiyolrı sigülerlilerii bir sııldırılmsı, liti osiyolrı serisel gösterilimleri, reidü ve reidü hesplm yötemleri, Csorti-Weierstrss Teoremi ve Souçlrı verilmiştir. Üçücü bölümde ise Argümeleri Değişimi Presibi, Rouche ve Hurwit Teoremleri ele lımıştır. So bölümde ise belli tipte reel geelleştirilmiş itegrlleri ve ço-değerli osiyolrı itegrllerii reidü yrdımıyl hesplmsı ele lımıştır. Ahtr Kelimeler: Cuchy itegrl ormülü, Cuchy türev ormülü, Tylor teoremi, Sigülerlileri sııldırılmsı, Luret teoremi, Cuchy reidü teoremi. i
ABSTRACT RESIDUES OF THE COMPLEX FUNCTIONS AND THEIR SOME APPLICATIONS İŞLER, Sevgi Kırıle Uiversity Grdute School O Nturl d Applied Scieces Deprmet o Mthemtics, M. Sc. Thesis Supervisor : Pro. Dr. Kerim KOCA September 5, 97 pges Thesis is i our bsic prts. I the irst prt, curves i complex ple, complex itegrls, Cuchy derivtive d itegrl ormuls re exmied. I the secod prt o the thesis, clssiictio o sigulrities o complex uctios, series demostrtios o lyticl uctios, residue d residue clcultio methods, Csorti-Weierstrss Theorem d its results re discussed. I the third prt, priciples o rgumet vritio, Rouche d Hurwit Theorems re discussed.i the lst prt o the thesis, clcultios o the deiite reel geerlied itegrls d the itegrls o very-vlued uctios re mde with the help o residues. Key Words: Cuchy itegrl ormul, Cuchy derivtive ormul, Tylor theorem, A clssiictio o sigulrities, Luret theorem, Cuchy residue theorem ii
İÇİNDEKİLER ÖZET...... i ABSTRACT...... ii İÇİNDEKİLER......... iii. GİRİŞ.......... Ky Öetleri..... Çlışmı Amcı.... MATERYAL VE YÖNTEM...... 4.. Aliti Fosiyolr ve Bı Öellileri... 4.. Komples Dülemde Eğriler... 8.3. Komples İtegrller... 5.4. Cuchy Teoremi ve Souçlrı... 5.5. Cuchy İtegrl ve Türev Formülleri... 3.6. Aliti Fosiyolrı Serisel Gösterilimleri... 34.7. Kuvvet Serileri... 39.8. Sigülerlileri Sııldırılmsı... 4.9. Reidü ve Hesplm Teileri... 54.. Argümeleri Değişimi Presibi... 66 3. ARAŞTIRMA BULGULARI....... 77 3.. Belirli Tipte Bı Geelleştirilmiş Reel İtegrlleri Hesplmsı... 77 x x dx Formudi İtegrller... 83 3.. 3.3. Geelleştirilmiş İtegrller ve Cuchy Ess Değeri... 87 iii
3.4. Ço Değerli Fosiyolrı İtegrlleri... 93 4. TARTIŞMA VE SONUÇ......... 96 KAYNAKLAR...... 97 iv
. GİRİŞ Komples Ali soyut bir bilim lı gibi görüse de souçlrı teoloide, ii ve mühedislite ço sı ullılmtdır. Htt omples lide elde edile souçlr, reel lide çöümü imsı ol problemleri çöümüde güçlü bir rç olr ullılmtdır. Öreği; π si ( x ) dx x α π dx + x si ( απ ), < α < si x π dx x ( x ) l + + x dx π l v.s. ormudi itegrlleri souçlrı omples li metodlrı ile elde edilebilmetedir. Ayrıc bir ço reel dieresiyel delem sistemleri omples osiyolr yrdımıyl olyc çöülebilmetedir. Bu edelerde dolyı omples osiyolrd reidü vrmı öemli bir uygulm olr orty çımtdır. Bu ou tei temelii oluşturmtdır... Ky Öetleri Bu tei hırlışıd dört temel itpt yrrlılmıştır. Öce [] olu yt sigüler otlrı sııldırılmsı, Cuchy Teoremleri ve Öellileri, omples eğrisel itegrl oulrı öğreilmiştir. Dh sor liti osiyolrı
Luret serisie çılımı ve temel öellileri [] ve [6] olu ylrd yrrlılr orty omuştur. Reidüleri hesplmsı ve bulrı belli tipte reel geelleştirilmiş itegrlleri hesbıd ullılmsı ousu [], [], [3] ve [4] olu ylr gö öüe lır icelemiştir. [3] ve [4] olu ylrd yrrlılr Argümeleri Değişimi Presibi, Hurwit ve Rouche teoremlerii e geel hlleri bu tede verilmiştir... Çlışmı Amcı Komples lii mühedisli ve iisel uygulmlrıı yıd öemli bir uygulmsı d Reidü(Klıtı) vrmıdır. Reidü, belli tipte omples itegrlleri hesbıd ve elemter yollrl hesplmy bı tip reel geelleştirilmiş itegrlleri hesbıd ço sı ullılmtdır. Bir, i bir yrı yırı otsı olm üere bölgeside (uygu oşullr ltıd) ( ), < < R hlsl (..) şelide Luret serisie çılbilir. Bu çılımd ( ), idesii tsyısı ol i otsıdi reidüsü olr isimledirilir. Reidüyü hesplm içi i ypısı göre çeşitli hesplm teileri vrdır. Bu hesplm metodlrı yi Luret serisie çmd reidüyü hesplm imı verir. Te içide de görüleceği gibi Argümeleri Değişimi Presibi yie Cuchy-Reidü Teoremi i öemli uygulmlrıd birisidir. Yie elemter işlemlerle çodeğerli omples osiyolrı itegrlleri olduç rmşı olduğu hlde yie
reidü yrdımıyl bu tip osiyolrı omples lmdi eğrisel itegrlleri olyc hesplbilmetedir. Bir omples liti osiyou içi verile lsi türev tımı değiştirilere Luret seriside dh geel lmd liti olmy osiyolr içi de serisel çılımlr verilebilir. Öreği geelleştirilmiş liti (pseudoliti) osiyolr içi bu tür çılımlr mevcuttur. İleri bir rştırm ousu olr geelleştirilmiş Cuchy tipi itegrller yrdımıyl reidü vrmı geişletilebilir. Buu içi lsi lmdi reidü vrmı bir temel oluşturbilir. Tei temel mçlrıd birisi de budur. 3
. MATERYAL VE YÖNTEM.. Aliti Fosiyolr ve Bı Öellileri Aliti osiyolr, öemli öelliler gösterirler ve omples lii temel ousuu oluştururlr. Tım..: : D w osiyou verilsi. osiyou bir otsıı e bir omşuluğud tımlı olsu. Eğer, lim ( ) limiti vrs ( ) osiyou otsıd türevleebilirdir deir. Bu limit değeri ( ) ile gösterilir ve ( ) değeri, syısı i di türevi deir. Yi ( ) lim ( ) olr tımlır. Tım..: : D w osiyou verilsi. Eğer, lim h ( + h) h 4
limiti vrs ( ) osiyou D bölgeside türevleebilirdir deir. Bu limit değeri ile gösterilir ve idesie i dei türevi deir. Yi değeri, lim h ( + h) h olr tımlır. Teorem..: u( x, y) + iv( x, y) otsıd türeve shipse bu tdirde osiyou herhgi bir x + iy (, ) (, ) (, ) (, ) u xy+ iv xy iu xy+ v xy (..) x x y y dir. İspt: Tüm Komples Ali itplrıd isptı bulubilir. Souç..: (..) eşitliğide u u x y v + v y x olduğu görülür. Bu Cuchy-Riem sistemi deir. Souç..: u( x, y) + iv( x, y) olm üere türevi vrs u ve v Cuchy- Riem sistemii sğlr. Am buu rşıtı doğru olmybilir. Yi bir osiyo bir otd Cuchy-Riem sistemii sğldığı hlde o otd türeve ship olmybilir. Uyrı : Öreği;, e, 4 osiyouu ele llım. Bu osiyo otsıd Cuchy-Riem sistemii sğlr. Gerçete, u v + i x x lim e x x 4 x 5
ve olduğud u v + i y y lim e y y 4 y u x v, y u y v x yılbilir. Ac otsıd osiyouu türevi yotur. Öreği, y x doğrusu üeride sıır ylşırs, x+ ix olcğıd, x içi ve 4 x e ( ) e lim x lim x x 4 olur. Tım..3: u + iv osiyou bir otsıı e bir omşuluğuu her otsıd türeve shipse ye d lititir vey holomortur deir. Souç..3: Bir liti olmsıı geretirme. otsıd türevii mevcut olmsı i d Öre..: içi osiyouu ele llım. yotur. Bu edele holomor değildir. içi vrdır. Ft Not : u + iv olsu. u ve v i ısmi türevlere ship olmsı türevii mevcut olmsıı geretirme. 6
Öre..: 3 + osiyouu ele llım. 3 + 5x + iy olduğud u 5x ve v y dir. u ve v her yerde her bsmt ısmi türevlere ship olduğu hlde türevi yotur. Not (Kısmi Türev): Cebirsel ypılrı rlı olml birlite dülemi, omples dülemie iomortur. Bu ii dülemi elemlrı rsıd bire bir eşleme vrdır. x+ i y ve x i y eşitlileride yrrlr x ve y reel değişeleri elde edilir. Yi, x +, y i olduğu çıtır. Bu edele ii reel değişeli bir ( x y), osiyou ve omples değişelerii osiyou gibi düşüülebilir. Dolyısıyl ve e göre ısmi türevlerde söedilebilir. Eğer ( x y), osiyouu x ve y ısmi türevleri süreli ise x y + x y i x y x y + x y + i x y eşitlileride yrrlr i, + i x y x y ısmi türev opertörleri elde edilir. Lemm..: u( x, y) + iv( x, y) olsu. osiyouu x ve ısmi türevleri süreli olsu. u( x, y) + iv( x, y) gere ve yeter oşul, i D de liti olmsı içi y 7
olmsıdır. x y x y İspt: + i ( u+ iv) + i ( u+ iv) ux ivx i( uy ivy) ( ux vy) i( uy vx) + + + + + olduğud u x v y, u v y + x Cuchy-Riem sistemi elde edilir... Komples Dülemde Eğriler Tım..: () [ b, ] olm üere süreli bir [ b] dülemide bir eğridir deir. Burd ( ) ve ( b) eğrii bşlgıç ve bitiş otlrı deir. (b) Bir eğrisi verildiğide ( ) ( b) :, osiyou otlrı sırsıyl ise y plı eğridir deir. (c) Bir eğrisi verildiğide türevi vr ve süreli ise y dieresiyelleebilir eğri deir. (d) dieresiyelleebilir bir eğri olsu. Eğer eğri(regüler eğri) deir. t ise y dügü (e) [, b] rlığıı solu te otsı hriç eğrisi dieresiyelleebiliyors ve bu söousu otlrd ı sğd ve sold türevleri vr ve bulr 8
ü bu otlrdi sğ ve sol limitlerie eşitse prçlı dieresiyelleebilir eğridir deir. () prçlı dieresiyelleebilir eğri olsu. Eğer t [, b] türevi mevcut olduğu her yerde deir. (g) [ b] :, () t t x t + iy t eğrisi verilsi. t, t [, b] içi olm üere t eğriye prçlı dügü eğridir t olduğud ( t ) ise ( t) t bsit eğri deir. bsit bir eğri ve ( ) ( b) (plı Jord eğrisi) deir. t ise y bsit plı eğri Uyrı :() Çoğu e bir eğrisii belirtire delemi ( t) x() t + iy() t ol eğrisi diye yıp söyleyeceği. () Bir eğrisi verilsi. ( t ) ( t ) x ( t ) + iy ( t ) vr ve ( t ) eğri t otsıd bir teğete shiptir. Teğet, esele rg ( t ) ye ise otsıd geçer ve poiti θ çısı ypr. Böylece görülüyor i dügü eğriler her otd, dieresiyelleebilir eğriler ise türevi sıırd rlı olduğu otlrd, teğete shiptirler. [ b], :, t t x t + iy t () () () () t x () t + iy () t dügü eğrileri verilsi. () t ve ( t) teğete ship iseler teğetler rsıdi çı ( t ) ( t ) rg rg, t prmetre değerie rşılı gele otd 9
dır. Öre..: () () t cos t + i si t, t π eğrisi bsit plı bir eğridir. (b) x t t, y t t, t prmetri gösterimi ile verile bir eğrisi () t t+ it, t gösterimi ile de belirtilebilir. Bu eğri bsit eğridir t plı eğri değildir. iπt (c) () eğri belirtirler. eğri değildir. πit t + it, t e, t 3 e, t osiyolrı birer () t + it eğrisi bsit eğridir t plı eğri değildir. () i π t t e cosπ t isiπ t eğrisi bsit eğridir t t içi plı () π it 3 3( cos + si ) t e π t i π t eğrisi bsit plı bir eğridir. Tım..: () [ b] ve :, t t x t + iy t [ cd] :, () () () () () () t t x t + iy t şelide ii eğri verilsi. + birleşimi [ ] [ ] (), t t, b () t ( + )() t (), t t c, d biçimide tımlır. ve uç uc elemiş olmybilir. Bu durumd eğriye prçlı eğri deir. (b) dülemide
[ b] :, () () () t t x t + iy t eğrisi verilsi. Bu durumd, () t ile gösterilir. t + b t t b eğrisie ı tersi deir ve Şeil.. Uyrı: Bir eğriyi belirte osiyo bir te değildir. Eğer bir h osiyou, () > olc biçimde, [ c, d] rlığıı [ b] h' t, h c, h d b döüştürüyors :[ b, ] ile oh: [ c, d], rlığı üerie yı eğriyi belirtirler. Bu durumd oh eğrisie eğrisii yei bir prmetri gösterimi deir. Bu edele geelde, eğrii tım ümesi olr [,] rlığı lıır. Çüü () + ( ), [,] osiyou [,] rlığıı [ b] ht tb tt biçimde döüştürür. Böylece,, rlığı üerie isteile
( s) x( s) + iy( s), s b ile () ( ()) ( ) ( ) t h t x tb + t + iy tb + t, t yı eğriyi belirtirler. O hlde ~ ve otsı olurlr. ~ sırsıyl eğrii bşlgıç ve bitiş Öre..: () t t + it 4, t eğrisi, +, t t it t eğriside t u prmetre döüşümü ypılr elde edilmiştir. Tım..3: Eğer () t eğrisi sıırlı değişimli ise eğrisie doğrultulbilir (retileebilir) eğri deir vey bir bş ide ile bir çembere homeomor olr döüştürülebile sıırlı değişimli bir eğriye retileebilir eğri deir. Öre..3: () ( t) x( t) + iy( t), t 4 eğrisii t t t 3 3 t 4 x () t t 3 t () t y t 4 t tblo olr şelide tımlylım. Bu eğri bir rei çevresii verir ve prçlı dügü bir eğridir. (b) ( t) si t+ isi t, t π eğrisi doğrultulbilir eğridir. Ft ( ) i t olm üere () t tsi + ie, t eğrisi retileeme bir eğridir. t
Not (Yöledirme Kvrmı): Notlrı rdışı olr birbirii tip etmesiyle oluş ümeye eğri diyebiliri. Bir ( t) ( t) x( t) + iy( t), t eğrisii ele llım. Bu eğrii uç otlrı ve olsu. Eğer t sıırd bire doğru değişire eğri de d e doğru sti tersi yöüde çiiliyors eğriye poiti yöde yöledirilmiştir deir. Eğer eğri st yöüde çiiliyors eğriye egti yöde yöledirilmiştir deir. Negti yö ile gösterilir. Dolyısıyl eğrisi ( t), t osiyou ile eğrisi de ( t), t osiyou ile belirtilir. Tım..4: Solu syıd,,,, dügü eğrileri verilmiş olsu. Eğer bütü,,, değerleri içi i bitim otsı + i bşlgıç otsı ile çışıyors bu eğri) deir. çevre deir. eğrilerdir. eğrilerii birleşimi ol eğrisie çevre (prçlı dügü Öel olr i bşlgıç otsı i bitiş otsı ile çışıyors plı Öreği; bir didörtge çevresi, üçge çevresi prçlı dügü plı Kedisii esmeye çevreye bsit çevre, edisii esmeye plı çevreye de bsit plı çevre deir. Not: Çevreleri yöledirilmesi, eğrileri yöledirilmesi gibidir. Öre..4: 3
() Eğer bir omples syı ve r > ise () t + re it, t π osiyou poiti yölü dügü plı bir çevre belirtir. (b) Eğer ve b omples syılr ise () t + ( b ) t, t osiyou otsıı b otsı birleştire doğru prçsıdır. Yöü de otsıd otsı doğrudur. Bu osiyo dügü bir çevredir. Şimdi de isptıı vermeyeceğimi c souçlrıı ullcğımı bir teorem verelim: Teorem.. (Kplı Jord Eğrisi Teoremi): Bsit plı bir eğri (plı Jord eğrisi) omples dülemi üç ümeye yırır, birisi plı Jord eğrisii iç ısmıdi otlrd oluşmuş çı üme, diğeri plı Jord eğrisii üeridei otlrı (sıır otlrı) oluşturduğu plı üme ve bir diğeri de Jord eğrisii dışıdi otlrı oluşturduğu çı ümedir. Bu teoremi idesi geometri olr çı gibi görülse de isptı olduç ordur. İsptıı değişi Komples Ali itplrıd bulm mümüdür. Uygulmlrd ço sı rşılşıl bu teoremde şğıdi souçlrı çırbiliri. () Bir iç otyı bir dış oty birleştire her Jord eğrisi bir sıır otsı buludurur. (b) İç otlrı her çiti tmme iç otlrd oluş bir Jord eğrisi ile birleştirilebilir. (c) Dış otlrı her çiti tmme dış otlrd oluş bir Jord eğrisi ile birleştirilebilir. (d) İç otlrı ümesi sıırlı, dış otlrı ümesi sıırsıdır. 4
it Öre..5: bir omples syı olm üere, t re t π bir plı Jord eğrisidir.burd iç otlr ümesi ( t) < r, sıır ümesi () t r ve dış otlr ümesi ise t > r öelliğidei otlrıı oluşturduğu ümedir. Tım..5: D bölgeside tıml süreli osiyouu gööüe llım. Eğer bir (), t t b eğrisi tmme D bölgeside buluuyors bu tdirde w() t ( () t ) idesie ( t ) i ltıdi görütüsü deir. Lemm..: () t dügü bir eğri ve liti ise w( t) ( ( t) ) ve w () t ( () t ) () t dir. İspt: () t i ltıdi görütüsü w( t) ( ( t) ) dügü eğridir olsu. liti olduğud türevi vrdır. Diğer trt; ( t) dügü olduğud ( t) mevcut ve () t dir. w, ve ı bileşesi olup ii türetilebilir osiyou bileşesi türetilebilir olduğud w türetilebilirdir ve w ( t) ( ( t) ) ( t) olur. Not: dügü eğri ve liti olduğu sürece w ( t) eğrisi de dügü eğridir. Not: Kedisii esmeye eğrii görütüsü edisii esebilir..3. Komples itegrller Tım.3. (Belirsi İtegrl): ve F bir D bölgeside liti olsulr. Eğer d d F ise F ye i bir belirsi itegrli deir ve 5
F d (.3.) şelide gösterilir. Diğer trt c eyi bir omples sbit olm üere d F c F d ( + ) olmsı edeiyle i belirsi itegrli c F + şelidedir. Böylece d F + c yılbilir. Tım.3.: h: [, b] t h( t) u( t) + iv( t) osiyouu gö öüe llım. Eğer u ve v, [, b] rlığı üeride itegrlleebilirse h osiyouu [ b, ] dei belirli itegrli b b b () () + () h t dt u t dt i v t dt olr tımlır. Tım.3.3: osiyou D çı bölgeside tımlı ve süreli olsu. eğrisii [ b] :, ([ b] ) () t t D, D olc şeilde dügü bir eğri olduğuu bul edelim. Bu durumd 6
( ) () d t t dt b idesie, osiyouu eğrisi boyuc omples itegrli deir. Souç.3.:, [, b] rlığı üeride tımlmış prçlı dügü bir eğri olsu. Ayrıc [ ] :, + i i i t i () t, i,,, dügü eğriler olm üere + + + eğrisel itegrli eğrisi boyuc + i olr tımlır. i i ( ) i i() d t t dt Not : () Eğer u( x, y) + iv( x, y) i omples ise dügü eğrisi boyuc ol itegrl (, ) (, ) (, ) (, ) u xydx vxydy + i uxydy+ vxydx şelide de verilebilir. () ı çevre olmsı hlide de yı tım geçerlidir. Öre.3.: () eğrisi, t olduğud, x t ve y 3t olr verilsi ve olsu. Bu durumd olr buluur. 3 3 d ( t+ 3it) ( + 3i) dt ( + 3i) tdt + i 3 (b) : R tm çemberii poiti yöde yöledirilmiş hli olsu. Bu durumd 7
d itegrlii hesplylım. it it Verile eğrisi e Re, t π ormud yılbilir. Bu durumd it d i Re dt olup böylece d π it π i Re dt i dt π i Re it elde edilir. Not: Bu souç otsıd ve R yrıçpıd bğımsıdır. Lemm.3.: ve g, süreli ii osiyo olsu., ve de prçlı dügü eğriler olr verilsi. Bu göre c ve c omples ii sbit olm üere, c c + c () ( + c g) g (b) (c) + + dir. Ayrıc () ve (c) ideleri c c i i i i i i ve + + + i... i şelide geelleştirilebilir. Not: i itegrllerii hepsi mevcuts o m toplml itegrl yer değiştirir. 8
İspt: () u( xy, ) + ivxy (, ), g u( xy, ) + iv( xy, ) c c ic, c c ic + + ve ( t) x( t) + iy( t) olsu. Bu göre Tım.3.3 ve belirli itegrlleri öellileri ullılr bu Lemmı doğruluğu görülebilir. (b) Tım.3.3 gereği b d ( () t ) dt dt yılbilir.tım.. dei (b) de b ( ) + b t + b t dt dir. s + b t değişe değiştirmesi yprs b ( )( ) s s ds b ( ) s s ds elde edilir. (c) :[, ], [ b] :, dügü eğrilerii gö öüe llım. Bu durumd [ ] [ b], t, +, t, olup Tım.3.3 de dolyı + b + t + t dt (( ))( ) yılır. Riem lmıdi itegrl öelliğide ı süreli olmsı edeiyle yurıdi itegrli sğ trı 9
b + t + t dt + t + t dt+ (( ))( ) (( ))( ) b + + t + t dt (( ))( ) şelide yılır. elde edilir. ( ) () ( ) () t dt + t dt + + Lemm.3.: : b, gösterilimi olsu. Bu durumd dir. ~ İspt: Tım.3.3 gereği b b eğrisi, [ b] ( ()) () t t dt yılır. Kesim. dei iici uyrı gereği ( t) ( h( t) ) :, eğrisii yei prmetri ~ olduğud () t d ~ dh ( h() t ) dh dt h:, b, b süreli bir osiyo olm üere dir. [ ] ( ) b d h t dh ( ( h() t )) dt dh dt t içi s ~ h( ) ve b değişe olsu. O hlde t içi s b h( b) b d s ds ( ( s) ) dt ds dt ~ olm üere s h() t yei bir
d ( ( ht ())) dt dt elde edilir. Öre.3.: eğrisi, sıır otsıı + i otsı birleştire doğru prçsı olsu. Bu durumd xd itegrlii bullım. Sıır ile + i otsıı birleştire doğru üeride, y x t bğıtısı vrdır. Bu göre, dx dy olur. Böylece, x + iy t + it ve + ( + ) d dt idt i dt olur. Burd; + i xd t( + i) dt ( + i) tdt olr buluur. Tım.3.4: [ b] :, t () t dügü bir eğri olsu. Bu eğrii yy uuluğu, b ( ) () + () b L t dt x t y t dt şelide tımlır ve L ( ) ile gösterilir. t Öre.3.3: () t e si t+ icos t, t π eğrisii uuluğuu hesplylım. t t t x e si t x e si t + e cost t y e cost olduğud t t y e cost e si t
L( ) π t t t t ( e si t + e cost) + ( e cost e si t) dt π t edt ( e π ) dir. Lemm.3.3: L( ) bğımsıdır. L ~ dir. Yi eğrii uuluğu eğrii gösterilim şelide İspt: h () t > olsu. Kesim. dei iici uyrı gereği ( t) ( h( t) ) ~ olduğud () t d ~ dh ( h() t ) dh dt h:, b, b süreli ve türetilebilir bir osiyo olm üere dir. [ ] ( ) dh b b b d h t d h t dh L( ) ( t) dt dt dt dh dt dh dt t içi s ~ h( ) ve b bğımsı değişe olsu. O hlde elde edilir. t içi s b h( b) b ds b d s d s L( ) dt ds L ds dt ds Lemm.3.4: g: [, ] b ~ olm üere s h() t yei bir ( ) b eğrisi verilsi. Bu durumd Re g t dt Re( g t ) dt () () () b (b) g() t dt () b b g t dt
dir. İspt: () Bu Lemmı isptı omples eğrisel itegrlleri tımı ve öellileri ullılr ço bsit bir şeilde elde edilebilir. (b) Sbit r ve θ değerleri içi, b () g t dt olsu.böylece, i re θ b b iθ iθ () () r e g t dt e g t dt olur. Bu eşitlite, her ii yı reel ısımlrıı eşitliği yılırs, b b b b () () () () iθ iθ iθ r Re r Re e g t dt Re e g t dt e g t dt g t dt buluur. Tım gereği, b olur. Böylece, b elde edilir. iθ g() t dt re r () () g t dt b g t dt Lemm.3.5: D, de bir bölge ve : D süreli bir osiyo olsu. D bölgeside bulu prçlı dügü bir eğrisii üeridei her otsı içi M olc şeilde bir M sbiti vrs bu ttirde M L eşitsiliği sğlır. ( ) 3
b () İspt: Bu Lemmı isptı d () t t dt olduğuu d gööüe lımsıyl Tım.3.4, Lemm.3.4 ve Tım.3.3 ullılr ço bsit bir şeilde elde edilebilir Teorem.3.: Bir : D osiyou verilsi ve eğrisi D bölgeside bulu, otsıı otsı birleştire prçlı dügü bir eğri olsu. Eğer D de F olc şeilde bir F: D liti osiyou vrs, () F( ) F (b) ise dir. İspt: () ( ) ve ( b ) olsu. Tım.3.3 gereği b b b ( ()) () ( ()) () d t t dt F t t dt F ( () t ) dt dt elde edilir. b ( () t ) F( ( b) ) F( ( ) ) F( ) F F (b) ise ( ) F F olcğıd olur. Lemm.3.6:, r yrıçplı ve mereli bir çember olsu. llım. Bu durumd, dir., ( ) d π i, 4
İspt: Öce olsu. Bu durumd Teorem.3. gereği souç görülür. olsu. Bu durumd ( ) Teorem.3. gereği souç görülür. So olr, it burd () t ire dt olmsı edeiyle, de liti olduğud, { } d liti olduğud it olsu. Bu durumd, π it π d ire dt d i dt π i re + elde edilir. it t + re t π olup.4. Cuchy Teoremi ve Souçlrı Komples lii temelii oluştur ve liti osiyolrı rterie ede öemli teoremlerde birisi de Cuchy İtegrl Teoremi dir. Ayrıc bu teoremi souçlrı uygulm çısıd ço öemlidir. Öreği, hesplmsı ço or ol bı itegrller bu souçlr yrdımıyl olyc hesplbilir. Cuchy tipi itegrller yrdımıyl liti bir osiyou sıırdi değeri verilmesi hlide bş bir otdi değerii hesplybiliri. Teorem.4. (Cuchy Teoremi): D bir bölge ve D, D i sıırı olsu. Eğer osiyou, D i içide ve D de liti ise D d dir. İspt: Bu lsi teoremi isptı bütü omples li itplrıd bulubilir. 5
Öre.4.: () eğrisi birim rei çevresi ve si( exp( ) durumd olur. olsu. Bu Gerçete, osiyou eğrisi üeride ve içide liti (tm osiyo) olduğud, Teorem.4. gereği itegrl sıırdır. (b) :, rg < π olsu. Bu durumd olur. d otsı birim çemberii dışıd olduğud, osiyou eğrisii içide ve üeride lititir. Teorem.4. gereği itegrl sıırdır. Not (Homotopi Eğri Kvrmı): Be osiyou bir eğrisii içidei bı otlrd liti olmybilir. Bu durumd, itegrl değerii sıır olmsı gereme. Öreği, : olsu. otsıd osiyou liti değildir. Böylece, osiyouu gö öüe llım. d π i olduğuu Lemm.3.6 d biliyoru. 6
Bu tür osiyolrı itegrlii lıre öreği, itegrli yerie soucu yı ol ~ şelide bir itegrli hesplm gereebilir. Burd, ~ eğrisi eğriside dh bsit olbilir. Öreği, bu bsit ol eğri bir çember, bir re, yrım çember vey bir didörtge olbilir. Bu gibi hllerde, ~ itegrlii hesplm dh olydır. yerie ~ yı lm içi Cuchy itegrl teoremide ve homotopi vrmıd yrrlcğı. Tım.4.: D bir lt bölge ve :, [ ] D, :, [ ] D plı ii eğri olsu. Eğer şğıdi ii oşulu gerçeleye süreli bir H :[,] [, ] D osiyou bulubilirse ve eğrilerie homotopitirler deir: () Her bir s [,] içi, t H ( t, s) () plı bir eğridir. H t, t, H t, t, t (Bıı Şeil.4.). 7
Şeil.4. Not: ve ii homotopi eğri ise, bu geellile ~ şelide yılır. Tım.4.: () t d (sbit), yi belli bir ot olsu. Bu durumd, ye homotop ise, D bölgeside bir d otsı büülebiliyor (deorme edilebiliyor) deir. Tım.4.3: D bölgesii sıırı ol D plı eğrisi D i her otsı büülebiliyors D bölgesie bsit bğltılıdır deir. Not: Homotopi, plı eğriler ümeside bir deli bğıtısıdır. 8
Lemm.4.: bir D bölgeside liti ve, D de bsit plı ii eğri olsu. Eğer, ye D de homotopise, dir. d d İspt: Bir doğru prçsı ile ve eğrilerii birleştirelim. Şeil.4. Böylece sıırı + ol bsit bğltılı bir bölge elde edilir(bıı Şeil.4.). Cuchy teoremi gereği ve böylece de d + d d d buluur. d d 9
Souç.4.:, bir D bölgeside liti ve plı eğrisi D içide bir oty homotopi olsu. Bu durumd, dir. d Lemm.4.: Eğer, bsit bğltılı bir bölge üeride liti ise her, D sbit otlrı içi d itegrli, i ye bu bölge içide birleştirile yold bğımsıdır. Tım.4.4 (İdes):, de plı dügü bir eğri ve, üeride bulumy sbit bir ot olsu. Bu tdirde I (, ) d π i itegrl değerie ı otsı göre idesi deir. Not: Bu ides ı çevresidei döme syısıdır (Bıı Şeil.4.3) Şeil.4.3 3
Kplı Jord Eğrisi Teoremii ullr, bsit plı eğrisi içi, otsı etrıd döme syısı I (, ) şelide verilebilir. ± ;, ' ı içide ;, ' ı dışıd Teorem.4.: [ b] :, plı bir eğri ve sbit bir ot ve olsu. Bu durumd I(, ) bir tmsyıdır. İspt: g() t t ( s) ( s) ds osiyouu tımlylım.bu durumd, itegrtı süreli ol otlrd g () t () t () t yılır. Böylece, g (t) osiyouu vrolduğu otlrd d dt g () t [ e ( () t )] olur. O hlde e g ( ) osiyou [ b] () t () t, plı rlığıd süreli olduğud bu osiyo yı rlıt sbit olmlıdır. Bu sbit değer de, t içi e g ( ) ( ( ) ) idesi yı sbite eşittir. Böylece, e g ( ) g ( b) ( ( ) ) e ( ( b) ) olur., plı bir eğri olduğud ( ) ( b) e g ( ) g ( b) e elde edilir. Diğer yd, () g t t ( s) ( s) ds yılbilir. Böylece, 3
itegrlide ( ) g yılbilir. Böylece, ( b) g e olur. Bu ise c tmsyısı g b içi elde edilir. π i olmsıyl mümüdür. Burd, b ( s) d I (, ) ds g b πi πi πi s πi πi.5. Cuchy İtegrl ve Türev Formülleri Cuchy itegrl ormülü, bı omples itegrlleri hesplmmıd olylılr sğlr. Ayrıc, liti bir osiyou sosu ere türevleebileceğii bu ormülde elde edebiliri. Teorem.5. (Cuchy İtegrl Formülü):, D bölgesii içide bsit plı bir eğri olsu. Eğer, dir. eğrisi içide bir ot ve D ( ζ ) dζ πi ζ, de liti ise İspt: Klsileşmiş bu teoremi isptı bütü Komples Ali itplrıd bulubilir. Teorem.5. (Cuchy Türev Formülü): w osiyou bsit plı bir eğrisii içide ve üeride liti olsu. Eğer, ı içide bir ot ise dir. ( ζ ) + ( ζ ) ( )!,,,,... dζ π i İspt: Bu teoremi isptı üeride tümevrıml olyc ypılbilir. 3
Not: Cuchy Türev Formülü e dit ederse, i her bsmt türevii de liti bir osiyo olduğuu söyleyebiliri. Souç.5.: Eğer w u( x, y) + iv( x, y) osiyou bir otd liti ise bu otd u, v her bsmt süreli türevlere shiptir. Teorem.5.3 (Cuchy Eşitsiliği): w osiyou bir < r disii içide ve sıırıd liti olsu. ( ) i bu disi sıırıdi msimum değeri M ise, ( ) ( ) M! r dir. İspt: Bu disi sıırı olsu.o hlde + ( ) ( )! ( ) d π i yılbilir. Her ii trı mutl değeri lıırs, ( ) ( ) ( )!! ( ) d d πi π + + yılır. eğrisi üeridei değerleri içi, M ve yrıc r olduğud olduğu görülür. ( ) M! M! M! ( ) + + d π r π r π r r Teorem.5.4 (Cebiri Temel Teoremi): Sbit olmy bir 33
P + + + +, poliomuu e bir sıır yeri vrdır. İspt: P solu dülemde liti, yi tm osiyodur. içi P dir. Bu edele P i belli bir r çemberii dışıdi bölgede sıırlı olduğu görülür. Eğer her içi P olurs, P, r i içide de sıırlı olur. O hlde Liouville Teoremi gereği P sbittir, yi P sbittir. Bu ise bir çelişidir. Bu çelişiye her içi P vrsyımı ile vrılır. O hlde P ( ) olc şeilde bir vrdır. Teorem.5.5 ( d Liouville Teoremi):, d liti ise sbittir. İspt: ( ), d liti olduğud r de ( ) de M dir. Eğer, r değerleri içi mx {, } Liouville Teoremi gereği sbittir. M, yi M i r dei msimumu ise tüm M M M, yi sıırlıdır. O hlde.6. Aliti Fosiyolrı Serisel Gösterilimleri Aliti bir osiyou bş bir tımı dh vrdır. O d osiyouu liti olmsı içi gere ve yeter oşulu, herhgi bir otı omşuluğud yıs bir uvvet serisie çılbilmesidir. Bu seriye, osiyouu Tylor serisi dı verilir. Ayı md, delimiş bir omşulut liti ol bir 34
osiyou serilerle gösterilimlerie de Luret serisi dı verilecetir. Bu bilgiler dh sor göreceğimi reidüler ve uygulmlrı bir bşlgıç olctır. Tım.6.: ( ) omples terimli bir dii olsu. Geel terimi S + + + şelide tıml ( S ) diisii gö öüe llım. (( ) ( S )) verilir. Burd toplmlr diisi deir. terimie, serii geel terimi, Tım.6.: ( ) omples terimli bir dii olsu., iilisie seri dı S diisie de serii ısmi sosu serisii gö öüe llım. Eğer S ısmi toplmlr disii bir s syısı yıs ise, serisi de s syısı yıstır deir ve şelide yılır. s Tım.6.3: serisie mutl yıstır deir. omples serisi verilsi. Eğer serisi yıs ise 35
Tım.6.4: olm üere seri deir. şelidei bir seriye omples geometri Eğer < ise yıs ve yısdığı değerde seri ırstır. dir. içi Lemm.6.: olr doğru değildir. serisi mutl yıs ise serisi yıstır. Tersi geel İspt: serisi mutl yıs olsu. Bu durumd serisi yıstır. serisi yıs olduğud seriler içi Cuchy riterie göre, her ε > içi olduğud her p > tmsyısı içi + p + < ε yılır. Her ve her p > içi üçge eşitsiliğide, + p + + p + < ε elde edilir. Böylece Cuchy riteride dolyı, serisi yıstır. Tersii geel olr doğru olmdığıı bir örele gösterelim. i serisi yıstır. Ft mutl yıs değildir. Çüü serisi ırstır. i ve hrmoi 36
Tım.6.5: : D olm üere ( ), D de tımlmış bir omples osiyolr diisi verilsi. ε içi ( ε ) olduğud < ε olc şeilde Her > ε syısı bulubiliyors verile dii D bölgeside osiyou dügü yıstır deir. Tım.6.6 : içi ( ε ) D olm üere olduğud her > şeilde yıstır deir. osiyo serisi verilsi. Her ε > + p + p poiti tmsyısı içi < ε olc ε syısı bulubiliyors verile seriye D bölgeside dügü Not: ( ) bir D bölgeside tımlı ve omples değerli osiyolrı bir diisi olsu. S + + + biçimide tıml ( S ) diisie serisii ısmi toplmlr diisi deir. ( S ) ısmi toplmlr diisi dügü yıs ise deir. serisie dügü yıstır Teorem.6. (Weierstrss M-Kriteri): ( ) D olm üere, D de tımlmış bir omples osiyolr diisi ve ( M ) poiti terimli reel diisi 37
verilsi. Eğer her D içi M, ( ) olc şeilde M serisi yıs ise İspt: serisi D de mutl ve dügü yıstır. M reel terimli serisi yıs olduğud her > olduğud her p olm üere ε içi ( ε ) + p M + < ε yılbilir. O hlde her ( ε ) ve her p içi + p + p + p M < ε + + + elde edilir. Tım.6.6 gereği serisi D de mutl ve dügü yıstır. Öre.6.: + serisii bölgeside dügü yıs olduğuu gösterelim. + diyelim. olduğud, + + + yılbilir. Ayrıc < + dir. Bu eşitsili ters çevrilirse < + olur. Burd d eşitsiliği her ii trı ile çrpılırs < 3 + elde edilir. 38
Böylece M olup 3 3 serisi yıs olduğud Weierstrss M- Kriteride dolyı + serisi de dügü yıstır..7. Kuvvet Serileri Kuvvet serileri omples terimli serileri bir öel hlidir. Tım.7.:, omples sbitler olm üere, ( ) biçimidei serilere uvvet serisi deir. Tım.7.: Bir ( ) uvvet serisi verilsi. Eğer S ( ) ısmi toplmlr diisi yıs ise verile seri otsıd yıstır deir. Not: w deirse bütü uvvet serileri w ormud dim yılbilir. Tım.7.3: : D bir osiyo olsu. Her ε > içi olduğud her D içi < ε 39
olc şeilde syısı bulubiliyors serisi D de ( ) ye dügü yıstır deir. Lemm.7. (Kö Kriteri): Poiti terimli serisi içi R lim sup olsu. Eğer R < ise Eğer R ise ö riteri souç verme. serisi yıstır. Eğer R > ise serisi ırstır. İspt: Bu Lemm ı isptı Temel Komples Ali itplrıd bulubilir. bulubilir. Aşğıdi teoremleri isptı Temel Komples Ali itplrıd Teorem.7.: Eğer ( ) ise seri (, ) { : < } D R R bölgeside mutl yıs, D (, R) yıs ve bu edele de D (, R) yıstır. serisi R dei otlrıd yıs i her plı lt disi üeride dügü i her bir ompt lt ümesi üeride dügü Teorem.7.: uvvet serisi verilsi ve lim, R 4
olsu. Bu durumd < R dei her bir içi seri mutl yıstır. > R içi seri ırstır. Ayrıc < r < R ise o m r dei tüm ler içi seri mutl ve dügü yıstır. ) Not (Limit Supremum): ( α reel syılrı bir diisi olsu. N, yıs lt diileri tüm limitlerii ümesii göstersi. O m sup Ν şelide tımlır ve limα şelide gösterilir. Bu durumd α üstte sıırlı değildir. Dolyısıyl dir. limα + α i limit supremumu, Teorem.7.3 (Tylor Teoremi): osiyou mereli r yrıçplı bir çemberi üeride liti ise bu durumd dir. ( ) ( )! Souç.7.: () Her liti osiyo yıs bir uvvet serisi ile tımlbilir. (b) Her yıs uvvet serisi bir liti osiyo tımlr. (c) Frlı uvvet serileri rlı liti osiyolr tımlr. 4
.8. Sigülerlileri Sııldırılmsı Luret çılımı, sigülerliğe ship osiyolrı serisel gösterilimide orty çır. Bu d bii, omples lii temel souçlrıd biri ol Cuchy Reidü Teoremie götürür. Tım.8.: Bir omples osiyou, bir otsı hriç, ı e bir omşuluğud liti ise Eğer omples osiyou bir { : } D > r bölgesi üeride liti, t i yrı yırı otsı deir. g, d yrı yırılığ ship ise i d bir yrı yırılığı vrdır deir. Diğer trt, hriç ı e bir omşuluğudi her ot sıırd rlı ve d sıır oluyors (yi ( ) ise) sıır yeridir deir. i yrı bir O hlde osiyolrı yrı olmy sıır yerleri de vrdır. Öreği, süreli reel değerli bir osiyou ( x) xsi x,, x x şelide tımlsı. Bu osiyo x d yrı olmy bir sıır yerie shiptir. Öre.8.: vrdır. 3 + 3 osiyouu i otlrıd yrı yırılılrı + 4 osiyouu d d bir yrı yırılığı vrdır. 4
Uyrı: Aliti osiyolrı, yrı olmy yırı otlrı d vrdır. Öreği osiyouu ele llım. Bu osiyo olm üere si ( π ) değerleri içi yrı yırılığ shiptir. Öel olr otsı gö öüe lıırs bu ot yrı olmy bir yırı otdır. Çüü tmsyısıı istediğimi dr büyü seçere ı her omşuluğud bir bş yrı yırı ot olduğuu görebiliri. Teorem.8. (Luret Teoremi): Bir osiyouu { : } D R < < R hlsıd te değerli ve liti olduğuu bul edelim. Bu durumd her D içi, çılbilir. Yi, ı poiti ve egti uvvetlerie göre D de yıs bir seriye ( ) dir. Burd, D de bulu ve otsıı çevreleye poiti yöde yöledirilmiş bsit plı bir eğri olm üere, ( ζ ) + ( ζ ),, ±, ±, dζ π i dir. İspt: Bu teoremi isptı bütü omples li itplrıd bulubilir. Not: Bir holomor osiyouu Luret serisi bir tetir. Öre.8.: Eğer { : > } D bölgesi ise bu bölgede 43
( ) osiyouu Luret çılımı, + + + biçimidedir. Diğer yd, { : < < } D olsu. Bu hlde, yı ( ) osiyouu bu D bölgesidei Luret çılımı olur. + + + ( ) Tım.8.:, ( ) i yrı yırı otsı ve otsı omşuluğudi Luret çılımı + ( ) ( ) olsu. Eğer Luret serisidei tüm tsyılrı sıır ise bu durumd otsı osiyouu ldırılbilir yrı yırı otsı deir. Teorem.8. (Riem Teoremi): Bir omples osiyou, bir otsı hriç ı e bir omşuluğud te değerli ve liti olsu. Eğer, ı e bir omşuluğud sıırlı ise bu durumd otsı ldırılbilir yrı yırı otdır. 44
İspt: otsı, merei d ol, çemberlerii belirttiği D bölgeside bir ot olsu. O hlde ( ζ ) ( ζ ) dζ dζ πi ζ πi ζ şelide yılır. otsıı ye ol ulığıı d ile gösterelim. M olduğu göre ( ζ ) M lim lim dζ π R πi ζ π d R R dır. Böylece bütü lr içi ( ζ ) dζ πi ζ olur. i içidei bütü ler içi ( ζ ) dζ πi ζ yrs,, i içide lititir ve otsı hriç, i içidei diğer tüm otlrd dir. Bu ise teoremi isptlr. Uyrı: Eğer osiyou, d ldırılbilir bir yrı yırı oty shipse tım gereği ( ) dir. Burd ( ) yılırs, d liti olur. Bş bir ide ile i, d ldırılbilir bir yrı yırı oty ship olmsı içi gere ve yeter oşul eğer ( ) lim olr tımlırs, demetir. d liti olur 45
Öre.8.3: si, d liti değildir. Ac öelliğidei tüm ler içi lititir. O hlde, içi bir yrı yırı otdır. ı e bir omşuluğud bu osiyou Luret çılımı ( ) + ( ) dir. Bu durumd si 3 5 + + 3! 5! 3! 5! olur. Dolyısıyl ldırılbilir bir yrı yırı otdır. si lim () olr lıırs Tım.8.3:, d liti olur., i yrı yırı otsı olsu. Eğer Luret çılımıd egti uvvetleri syısı ylı solu syıd terim içeriyors yi, vey +, ise bu durumd 4 + + + + + + ( ) ( ) otsı vey utup yeri deir. Öel olr ise utup otsıdır deir. osiyouu. mertebede utup otsı otsı osiyouu bsit Teorem.8.3: Eğer otsı osiyouu utup otsı ise içi ( ) dir. 46
İspt: ( ) ( ) dır. Şimdi içi iici çrp y yıstır. O hlde ( ) olur. Bu ise teoremi isptlr. Öre.8.4: e ( ) 3 osiyouu ele llım. otsı yrı yırı otdır. osiyouu Luret çılımıdi egti uvvetlerie blım. osiyouu Tylor çılımı e e! şelidedir. u olsu. Bu durumd ( + u) ( u) u+ e e e 3 3 u u! u! 3 e 3 u + u + + u e + 3 ( ) ( ) + + 4 3 + 3 ( ) + olur. Dolyısıyl, 3. mertebede utup otsıdır. Tım.8.4:, i yrı yırı otsı olsu. Eğer Luret çılımıd egti uvvetleri syısı sosu çolut ise yi, ( ) + ( ) 47
yılışıd tsyılrıd sosu çolutiler sıırd rlıys bu durumd otsı osiyouu ess yrı yırı otsı deir. Teorem.8.4 (Csorti Weierstrss Teoremi):, d ess yrı yırı oty ship olsu. Bu durumd w, eyi bir omples sbit olm üere ı her omşuluğud vrdır. w idesi yeterice üçü ılc şeilde otlrı İspt:Teoremi iddisıı sii bul edelim. Bu durumd ı her omşuluğudi ler içi w ε olc şeilde w ve ε syılrı vrdır. Bu g ε lmı gelir. Burd g w dir. Kldırılbilir yrı yırı otlr hıdi Riem Teoremi gööüe lıdığıd di g i yrı yırılığı ldırılbilirdir. Bu durumd g ( ) g yılbilir. Burd g holomortur ve ı bir omşuluğud sıırd rlıdır. Bu edele ı bir omşuluğud g 3 g holomortur. Burd 48
g ( ) dır. Souç olr 3 g ( ) w + g w + g 3 ( ) bğıtısı elde edilir. Burd d görülüyor i Luret serisi, egti üslü solu çolut terime shiptir. Bu d ı ess yrı yırı ot olmsı hipoteiyle çelişir. Şimdi isptı, ileri düeydei Komples Ali itplrıd bulubilece öemli bir teoremi idesii verelim: Teorem.8.5 (Picrd Teoremi):, osiyouu ess yrı yırı otsı ve D ( r),, otsıı yeterice üçü delimiş bir omşuluğu olsu. Bu durumd bir değer hriç tüm D, w değerleri içi w delemii ( r ) omşuluğud sosu te çöümü vrdır. Öre.8.5: otdır. si osiyouu ele llım. otsı yrı yırı si osiyouu Tylor çılımı si ( ) ( + )! şelidedir. Bu durumd + + 3 5 4 + + +! 3! 5! 3! 5! 49
olur. Dolyısıyl egti uvvetler sosu te olduğud, ess yrı yırı otdır. Tım.8.5: Luret çılımıdi tsyısı ( ) osiyouu otsıdi reidüsü deir. Tım.8.6: Bir osiyouu bir D bölgesidei yırılılrı sdece utup otlrı ise osiyou D de bir meromor osiyodur deir. Teorem.8.6:, D bölgeside otsı hriç, liti bir osiyo ve D otsı d bu osiyou yrı yırı otsı olsu. () otsıı ldırılbilir yrı yırı ot olmsı içi gere ve yeter oşul, şğıdi üç oşuld herhgi birisii gerçelemesidir: () osiyou otsıı delimiş omşuluğud sıırlıdır. (b) lim limiti vrdır. (c) ( ) lim dır. () oşul, otsıı lim ( ) osiyouu bsit utup otsı olmsı içi gere ve yeter limiti vr, bu limit sıırd rlı ve bu limiti osiyouu otsıdi reidüsü ol değerie eşit olmsıdır. Yi, dir. lim ( ) 5
(3), ( ) osiyouu utup otsı (, ldırılbilir yrı yırı bir ot d olbilir) olsu. Kutup otsıı mertebesi de e l dr olmsı içi gere ve yeter oşul, şğıdi üç oşuld herhgi birisii gerçelemesidir. () osiyou otsıı delimiş omşuluğud M olc biçimde bir M > sbiti ve tmsyısı vrdır. + (b) lim( ) dır. (c) lim( ) limiti vrdır. (4) osiyouu otsıdi utup otsıı mertebesii olmsı içi gere ve yeter oşul, D(, r ) ve içi ve D (, r ) { } D, G( ) G ( ) olc biçimde, otsıı bir ( r ) osiyouu olmsıdır. D, omşuluğud tımlı liti bir G İspt: Bu teoremi bı ısımlrıı isptı şir olml birlite teoremi tmmıı isptı [] olu yt vrdır. Lemm.8.: liti osiyo olsu. üere sbit değilse yrı sıır yeridir. i bir sıır yeri olm, 5
İspt: i otsı omşuluğudi uvvet serisi gösterilimi + ( ζ ) (.8.) olsu., öel olr sıır olmm oşuluyl e ıd bir tsyı sıırd rlı olmlıdır. osiyou sıırd rlı il tsyı olsu. Bu tdirde ı bir omşuluğud ( + ) ( ζ ) ( ζ ) ( ζ ) + + (.8.) şelide yılbilir. il tsyı olmsı edeiyle ( ) + + + ζ uvvet serisi, ı yeterice üçü bir omşuluğud sıırd rlı ol süreli bir osiyo tımlr. Bu durumd (.8.) dei gösterilim şeli bir yrı sıır yeri olduğuu gösterir. otsıı i Kuvvet serisii gösterilimidei tsyılrı, i di türevi olr ide edilebilir. Yi,! d d ( ) dir. Eğer, (.8.) de gösterile uvvet serisidei sıırd rlı il tsyı ise bu d d tdirde, olduğud, d d,,, d d elde edilir. Bu durumd,. mertebede bir sıır yeri olr isimledirilir. 5
Teorem.8.7: osiyou otsıı bir omşuluğud liti olsu. osiyouu otsıd. mertebede sıır yerie ship olmsı içi gere ve yeter oşul, g ( ) ve g, d liti olm üere, ı bir omşuluğud osiyouu ( ) g şelide yılbilmesidir. İspt:, d liti ve otsı d. mertebede sıır yeri olsu. Bu durumd ( ) ( ) g ( + ) ( + ) + +!!! yılbilir. Burd d g ( ) ( ) ( )! ve g i ı bir omşuluğud liti olduğu görülür.tersie, eğer ( ) g ise, i litiliği ve otsıı d. mertebede sıır yeri olduğu çıtır. Teorem.8.8:, bir otsıd liti ve i sıır değerii lmdığı e bir D (,ε ) omşuluğu vrdır. olsu. Bu tdirde İspt:, d liti ve ( ) olsu. ı e bir D (,ε ) omşuluğud i hiç bir sıır yerii olmdığıı gösterelim. Buu içi sii bul edelim. Her ε > içi D (, ε ) omşuluğud i bir sıır yeri vrs 53
i yısy sıır yerlerii bir tımı gereği ve her olduğud, lim lim olur. Bu ise ( ) vrsyımı ile çelişir. diisi vrdır. Diisel sürelili Souç.8.: liti osiyouu sıır yerleri yrı otlrdır. Souç.8.:, ı bir omşuluğud liti olsu. i d. mertebede sıır yerie ship olmsı içi gere ve yeter oşul, utup otsı ship olmsıdır. i d. mertebede.9. Reidü ve Hesplm Teileri Kplı bir eğrii içidei bütü otlrd liti ve eğrii üeride süreli ol bir osiyou bu eğri üeride itegrl değerii sıır olduğuu Cuchy İtegrl Teoremi de biliyoru. Ac bir liti osiyouu plı eğri içeriside yırı otlrı buluuyors, bu eğri üeride lı itegrli değeri sıır olmybilir. Gerçete bu itegrli değeri, osiyou yrı yırı otlrdi reidüleri toplmıı π i tıdır. gösterelim. i yrı yırı otsıdi reidüsüü Re (, ) şelide Not:, bsit utup otsı ise bu tdirde lim ( ) 54
dir. Teorem.9.:, bsit plı bir eğri ve, ı içide osiyouu bir yrı yırı otsı yi, ı dışıd ı içide ve üeride liti olsu. Bu durumd reidü tımıd dir. π d i İspt: i otsı omşuluğudi Luret çılımı olsu. Ayrıc + ( ) ( ) π i, d, olduğu göre olur. d d d+ π i ( ) Teorem.9. (Cuchy Reidü Teoremi): bsit plı bir eğri olsu., ı içide ve üeride solu syıd,,, yrı yırı otlrı dışıd te değerli ve liti ise bu durumd dır. π Re (, ) d i 55
İspt: Her otsıı, merei d ol çemberleri ile çevirelim. çemberleri yeterice üçü ve birbirlerii esmeyece şeilde tmmıyl ı içide olsu. Bu durumd, ve lrı belirttiği bölgede te değerli ve liti olduğud Cuchy Teoremi gereği, + + + d d d d yılbilir. Bu durumd Teorem.9. gereği, π Re (, ) + π Re (, ) + + π Re (, ) d i i i π i Re, dır. Böylece ispt tmmlmış olur. Şimdi bir osiyo içi ldırılbilir yrı yırı otlrı bı temel öellilerii iceleyelim: Teorem.8.6 d d görüldüğü gibi, osiyouu bir otsıd ldırılbilir yrı yırı oty ship olmsı içi gere ve yeter oşul, ( ) lim olmsıdır. Şimdi bu teoremde dh ullışlı ol şğıdi teoremi verelim. Teorem.9.3: g ve h liti ii osiyo olsu. otsı bu ii osiyou yı mertebede bir sıır yeri ise bu ttirde otsı g h osiyouu ldırılbilir yrı yırı otsıdır. İspt: G ( ) ve ( ) H olm üere, sırsıyl 56
g ( ) G ve h ( ) H ii osiyo vrdır. O hlde, olc biçimde G ve H gibi liti g h G H osiyou otsıd liti ve limiti vrdır. Bu edele Teorem.8.6 gereği,, otsıd ldırılbilir yrı yırı oty shiptir. Böylece ispt tmmlmış olur. Şimdi bir omples osiyou utup yerlerii ve bu yerlerdei reidüleri sıl hespldığıı ele llım. Teorem.8.6 gereği, lim ( ) limiti vr ve bu limit sıırd rlı ise otsıdır ve bu otdi reidüsü de lim ( ) otsı osiyouu bsit utup dir. Şimdi bu teoremde dh ullışlı ol şğıdi teoremi verelim. Teorem.9.4: g ve g ( ), h ( ) ve ( ) h osiyolrı bir otsıd liti olsu. h olduğuu bul edelim. Bu tdirde g h osiyouu d bsit utup otsı vrdır ve bu otdi reidüsü, Re (, ) h ( ) ( ) g dır. 57
İspt: g lim ( ) lim g lim g( ) lim h h h( ) h g( ) h ( ) dır. Böylece Teorem.8.6 di ( ) öelliği gereği, otsı vrdır ve bu otdi reidüsü, i, d bsit utup Re (, ) g h ( ) ( ) dır. Teorem.9.5: mertebede, g osiyou verilsi. h otsıd g i. h i de ( +). mertebede bir sıır yeri olsu. Bu tdirde otsı i bsit utup otsıdır ve bu otdi reidüsü, dır. Re g h, ( + ) İspt: Vrsyım gereği, ve h ( ) ( ) ( + ) ( ) g ( ) ( ) g g g, g ( ) ( + ) h h h, h dır. Dolyısıyl G ve teoremide, H ii liti osiyo olm üere Tylor 58
g ( ) ( ) + g ( ) + ( ) G! ve h ( ) ( + ) + şelide yılbilir. Böylece ( ) g h! h g h + ( + ) + ( ) + ( ) H ( ) ( )! ( ) ( ) ( + )! + + ( ) G ( ) H elde edilir. Bu eşitliği her ii yıı içi limitleri lıırs ( ) g ( + ) ( ) ( ) ( + ) lim h h olduğu görülür. Teorem.8.6 di ( ) öelliği gereği, otsı vrdır ve bu otdi reidüsü, Re (, ) ( + ) h g ( ) ( ) ( + ) ( ) dır. Böylece ispt tmmlmış olur. g i d bsit utup Bir öcei esimde tlı utup yerlerii ve bı bsit öellilerii icelemişti. Şimdi bu otlrdi reidüleri sıl hesplcğıı görelim. g Teorem.9.6: osiyou verilsi. g ve h h osiyolrı bir h olduğuu otsıd liti olsu. g ( ), h ( ), h ve bul edelim. Bu durumd i d. mertebede utup yeri vrdır ve bu otdi reidüsü, 59
g g g h Re, h h h 3 dir. İspt: Vrsyım gereği g ( ) ve h ( ) H dir. Dolyısıyl ı omşuluğud liti ve H ( ) olduğud osiyou H, g h g ( ) H ( ) g H şelide yılbilir. Burd g ( ) ve H ( ) olduğud. mertebede utup yeri vrdır. O hlde olduğu göre ı delimiş omşuluğud ( ), i d i. mertebede utup yeri + + + + + (.9.) biçimide yılbilir. Diğer yd h ve g osiyolrı otsıd liti oldulrıd ı bir omşuluğud Tylor çılımlrı sırsıyl ve ( ) g g g + g ( ) + + (.9.) h h ( ) h 3 + 6 + olur. Vrsyım gereği h g olduğud, g h + + + ( ) + ( ) h h h + + ( ) + 6 (.9.3) dır. Böylece (.9.) ve (.9.3) de 6
g h ( ) ( ), g ( ) elde edilir. Bu so eşitlileride h 6 ( ) h ( ) + g g g h Re (, ) Re, olr buluur. h h 3 h Öre.9.: e ( ) osiyouu otsıdi reidüsüü bullım. g e ve h ( ) deirse, g e, h ( ), ( ) h () ve () utup yeri olur ve elde edilir. h olduğud otsı g h g g h e e Re (, ) e h 3 h 3 4 g Souç.9.: osiyou verilsi. g ve h h ve i. mertebede h osiyolrı bir h otsıd liti olsu. g ( ), g, h ( ), h, h olduğuu bul edelim. Bu durumd ve mertebede utup yeridir ve bu otdi reidüsü, dır. ( 4 ) g g 3 g h Re, 3 h h h otsı i. 6
Öre.9.: bullım. h h e osiyouu 3 si otsıdi reidüsüü 3 g e ve h si deirse, g ( ), g, ( ) h, 3si 3 cos, h ( ), h 6si cos 3si, ( ) 3 6cos si cos 9si cos, 6 otsı buluur. g i. mertebede utup yeridir ve h ( 4 ) h, h olduğud g 3 g h 3 Re (, ) 3 3 h h 6 36 Teorem.9.7: osiyou otsıd bir yrı yırı oty ship olsu. syısıı, lim( ) limitii mevcut yp e üçü poiti tmsyı olr ele llım. Bu durumd, otsı yırı otsı y d. mertebede utup otsıdır. Eğer ψ ( ) osiyouu y ldırılbilir yrı lıırs ψ osiyou otsıd liti olc biçimde te olr elde edilir. Böylece osiyouu otsıdi reidüsü, dır. Re (, ) ( ) ( ) ψ ( )! İspt: Vrsyım gereği lim( ) limitii mevcut olduğu verildiğie göre Teorem.8.6 di () öelliği gereği otsı ψ ( ) 6
osiyouu ldırılbilir yrı yırı otsı olur. Dolyısıyl bu osiyo, otsıı omşuluğud Tylor serisie çılbilir. ψ ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + (.9.4) yılbilir. Burd, + + ( ) ( ) + + + + + ( ) buluur. Eğer ise ( ) lim[ + + + ( ) + ] lim + olur ve lim( ) limiti mevcuttur. Bu d vrsyımd verile syısıı tımı ile bir çelişidir. O hlde ve i d. mertebede utup otsı vrdır. (.9.4) dei ormülde ψ, d lititir.(.9.4) dei ormülde ψ osiyouu otsıd ( ) ψ ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3) elde edilir. Dolyısıyl, dir. Re (, ) Öre.9.3: bullım. Dolyısıyl ( ) ( ) ψ ( )! ( ) 3 ( + ) ere türevi lıırs osiyouu otsıdi reidüsüü otsı osiyouu 3. mertebede utup otsıdır. 63
dir. Bu göre + 3 ( ) ψ ψ ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ve ψ ( + ) 3 olur. 3 olduğud buluur. ψ () Re, 3 + 3! 8 8 Dh geel olr bu tür reidü hesplrıı şğıdi gibi geelleştirebiliri: g Souç.9.: osiyou verilsi. g ve h otsıd liti olsu. ( g ( ), h( ) h ( ) h ) ( ) ve olduğuu bul edelim. Bu durumd, yeridir ve bu otdi reidüsü, otsı h osiyolrı bir ( h ) ( ) i. mertebede utup 64
h ( ) ( )! ( + ) ( + ) ( ) h h!! g! h h h g Re, h h ( ) +! +!!! + + g g 3 + h h h h g!! 3! +!! dır. Öre.9.4: e osiyouu 3 si otsıdi reidüsüü bullım. 3 3 olduğu görülmetedir. g e ve h si diyelim. Böylece ( ) 6 h h, ( 4 ) ( 4 ( ) h ) h, ( 5 ) ( 5 ( ) h ) 6 h, h, 3! ( 4 ) h 4! ve ( 5 ) h 5! olur. Ayrıc g ( ) g, g g ve ( ) g g!! dir. Dolyısıyl Re g h 3 3!, 6 olr buluur. 65
.. Argümeleri Değişimi Presibi Reidü teoremii uygulmlrıı öemli bir öreği ol ϕ d π i A itegrlii gö öüe llım. Tım..: ( ) A olc şeilde otsı i A yeridir deir. Burd, D bölgeside te değerli bir osiyodur ve utup otlrı hriç hiçbir yrı yırı otsı yotur. A eyi bir omples syıdır. ϕ, yı bölgede te değerli ve liti bir osiyodur., D bölgesi içide dügü plı Jord eğrisidir. Ayrıc eğrisi üeride i yrı yırı otlrı ve A yerleri bulumsı. F ϕ A i sigülerlileri sdece i utup yerleri ve,,, ı içidei ( ) m i A yerleridir. i A yerleri ve α,,α m, bu A yerlerii mertebeleri olsu. b,,b, ı içidei ( ) i utup otlrı ve β,, β ler de bu utup otlrıı mertebeleri olsu. otsıı bir omşuluğud ϕ ve osiyolrı ϕ ϕ( ) + α A c ( ) + α α c ( ) + α α 66
ϕ ( ) F çılımlr shiptir. Böylece ( ) ( ) α cα α + + α c + α ( ) α + α αϕ + + ϕ + + ϕ Ymdığımı terimler ( ) i dh yüse derecede uvvetleridir., Eğer F i bsit utup yerleridir ve bu otdi reidü α ϕ ϕ ise bu reidü sıır eşittir. Bu durumd otsı değildir., F dir. i bir utup Şimdi i b utup otlrı döelim. Bu otdi çılımlrı, ϕ ϕ( b ) + β A d ( b ) + β β β d ( b ) β ϕ ( b ) F şelide yılır. Böylece β ( ) β β d β b + β d b + ( b) β + β βϕ + + ϕ b + ϕ b b b b β ϕ dir. Eğer b b, F b i bsit utup yeridir ve bu otdi reidü ϕ ise bu reidü sıır eşittir. Reidü teoremii ϕ d π i A itegrlie uygulrs π m ( ) ( ) ϕ d α ϕ β ϕ b i A (..) 67
elde ederi. (..) eşitliğii sğıdi il toplm ϕ i, i A yerleride ldığı değerle ilgili bir toplmdır ve her terim, herbiri A yerlerii mertebesi dr birço e terrlır. Bu il toplm dit ederse herbir terim ϕ i otlrıd ldığı değeriyle i mertebesi ol α tmsyısıı çrpımlrıd oluşmuştur. Burd ler i A yerleridir. Bu durumd m α ϕ içi i A otlrıd ϕ i değerlerii toplmı olduğuu söyleyebiliri. Beer bir ide iici toplm içi de geçerlidir. Burd toplm, i utup otlrı üeride lımtdır. Bulrı şimdi şöyle öetleyebiliri: ϕ d π i A itegrli, ı içide yer l i A yerleride ϕ i ldığı değerleri toplmı ile ı içide yer l i utup otlrıd ϕ değerleri toplmı rsıdi r eşittir. Burd yurıdi idei ii öel durumu vrdır. () ϕ ( ) deirse i ldığı m α d β b π i A (..) olur. Bu itegrl, ı içidei i A yerlerii toplmı ile ı içidei bu osiyou utup otlrıı toplmı rsıdi r eşittir. (b) ϕ deirse 68
m d α π i A β (..3) olur. Bu itegrl, ı içidei i A yerlerii syısı ile ı içidei utup otlrıı syısı rsıdi r eşittir. Eğer A ise bu durumd A yerleri, i sıır yerleridir. Eğer ı içide bulrı syısı N ve ı içide utup otlrıı syısı P ise bu tdirde d N P π i (..4) elde edilir. Eşitliği sol trıdi itegrl, eğrisie göre i logritmi reidüsü olr biliir (Çüü itegrt l i türevidir). Teorem..: Bir osiyouu plı bir eğrisie göre logritmi reidüsü, i ı içidei sıır yerlerii syısı ile utup yerlerii syısı rı eşittir. Şimdi logritmi reidü vrmıı bir yorumlylım. Buu içi öce d { l } d d πi πi d yılışıı gö öüe llım. üeride eyi bir otsı llım. Bu otsı itegrli bşlgıç ve bitiş otsı olsu. O m ı içidei bir otsı poiti yöde hreet ettiğide l süreli değişir ve eğriyi tmme tettite sor otsıdi değeri, yı otd bşlgıç değeride rlı olur. Ft yı ( ) içi l ( ) ı değerleri sdece rg d tetmede öce ve sor rlı 69
değerler lmsıd dolyı değişili gösterir. Eğer rg ( ) ı bşlgıç değerii Φ ve olur. rg ı tettite sori değerii de Φ ile gösterirse Φ Φ { l Φ l Φ } d + + i i π i πi π Bu yüde (..4) eşitliğide, N P Φ Φ π (..5) elde edilir. Eğer Φ Φ, vr rg değişme mitrı lmı gelmetedir) N P vr rg π ile ide edilirse (Burd vr idesi çıdi şelide ybiliri. Böylece yurıdi çılmlrı şğıdi gibi öetleyebiliri: Not (Argüme Presibi): Kplı eğrisi içidei i utup ve sıır yerlerii syısı rsıdi r rg ( ) i vrysyou eşittir. Bu r, ı içidei bir otsıd i poiti yödei vrysyouu π ye bölümüe eşittir. Bu durumu geometri olr şğıdi şeilde çılybiliri: ler eğrisi üeride poiti yöde doldığıd w i bitiş otsı plı bir eğrisi çier., çevreside bir tm tur doldığıd w i dolm syısıı ν ile gösterelim. Bir tur poiti yöde ise +, egti yöde ise olur. olr ide edilir. Bu durumd rg i vrysyou πν 7
Te değerli osiyouu bir plı eğrisi içide bulu utup ve sıır yerlerii syılrı rı; i üeride poiti yöde bir tur dömesi hlide i orii çevresidei döme syısı ol ν ye eşittir. orty çır: Öel olr i, eğrisi içide utup yeri yos şğıdi durum Te değerli osiyouu bir eğrisii içide bulu sıır yerlerii syısı; i üeride poiti yöde bir tur dömesi hlide w vetörüü orii çevresidei döme syısı eşit olur. Argüme presibi yrdımıyl şğıdi teoremi verebiliri: Teorem.. (Rouche Teoremi): ve ϕ, retileebile plı bir eğrisi içide ve üeride te değerli ve liti osiyolr olsu. ı üeride > ϕ olduğuu vrsylım. Bu tdirde ϕ sıır yerlerii syısı, i sıır yerleri syısı eşittir. İspt: ϕ + i eğrisi içidei + i sıır yerlerii syısıı bulm içi rgüme presibii ullmmı gereir. Eğer bu toplmı üeridei otlr içi ϕ + ϕ + şelide yrs ( üeridei, ϕ de dh büyü olmsı edeiyle, üeride sıır yerii lm) olur. Ft ϕ rg + ϕ rg + rg + ϕ < 7
dir. Bu yüde, ϕ + vetörüü bitiş otsı, yrıçpı ve merei ol birim çember içide yer l plı eğriyi tm olr teder. Souç olr, bhsedile vetör, oorditlrı oriii etrıd te tur ypm ve otsı yı tettiğide ϕ rg + i vrysyou sıırdır. Böylece rg +ϕ ile rg vrysyou yıdır. Argüme presibi edeiyle ve ϕ yerlerii syısı yıdır. Bu teoremi bir soucu olr şğıdi teoremi verebiliri. ( ) Teorem..3 (Hurwit Teoremi): i + i sıır, D bölgeside tımlmış liti osiyolrı diisi olsu ve bu dii bölgei içide ödeş olr sıır olmy osiyou dügü olr yıssı. Bu tdirde, bir D otsıı i bir sıır yeri olmsı içi gere ve yeter oşul ı, sıır yerlerii bir limit otsı olmsıdır. osiyolrıı İspt: D olm üere ( ) olsu. Bu tdirde / olduğud : r D olc şeilde bir çemberi bulubilir. ı içide i d bş sıır yeri olmyc şeilde r yeterice üçü seçilebilir. Ayrıc µ, ı üeride i miimum değeri olsu. Yi µ > dır. ( ) diisii dügü yıslığıd olc şeilde e bir ( µ ) < µ > olduğud üeride < µ syısı vrdır. Burd olur. Rouche teoremide dolyı > olduğud ı içidei her içi leri sıır yerlerii syısı, i sıır yerleri syısı eşittir. Dolyısıyl 7
, i bir sıır yeri ise bu durumd vrdır., i sıır yeri değilse bu durumd i içide e bir sıır yeri i hiçbir sıır yeri yotur. isteildiği dr üçü seçilebileceğide teorem böylece isptlmış olur. 8 5 Öre..: () 4 + delemii modülü de üçü ol ölerii syısıı bullım. 8 5 Rouche teoremii uygulrs, 4 + 5 8 şelide ybiliri. Burd 4 ve + ve ϕ 8 8 + + + 3 5 4 4 olur. Dolyısıyl ϕ elde edilir. ( ) < idesii + ϕ ϕ dir. içi 8 5 Bu edele, Rouche teoremide + 4 + 5 ile 4 5 4 ϕ osiyou osiyouu çemberi içide sıır yerlerii syısı yıdır. osiyou otsıd 5. mertebede bir sıır yerie shiptir. Bud dolyı birim çemberi içide beş te sıır yerie shiptir. Bu edele 8 5 4 + delemi, birim çemberii içide beş te öe shiptir. Bş bir deyişle modülü, de üçü ol beş te ö vrdır. (b) + cosθ + cos θ + + cos θ delemii gööüe llım. Burd < < < < olm üere 73