OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH
İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları ve ayrılma noktaları içeren blok diyagramların tersine,işaret akış diyagramları sadece sistemleri temsil eden dallar ve işaretleri temsil eden düğümler içerir. Bir sistem, üzerinde işaret akış yönünü gösteren ok bulunan bir dal ile temsil edilir. Dal üzerinde sistemin transfer fonksiyonu bulunur. Bir işaret ise bir düğümle temsil edilir ve ismi düğüm üzerine yazılır. Bir işaret akış diyagramı bir blok diyagramın basitleştirilmiş hali olarak düşünülebilir. İşaret akış diyagramı doğrusal sistemlerde cebirsel denklemlerin neden etki ilişkisini gösterebilmek için S. J. Mason tarafından geliştirilmiştir. Blok diyagramları ile lineer sistemler kolaylıkla modellenebilir. S domenine geçildiğinde sistem diferansiyel denklemleri s in polinomları olan cebirsel sistemlere dönüşür. Karmaşık sistemlerde blok diyagramlarını indirgemek zor ve zaman alıcı olabilir. Ayrıca blok diyagramları arasındaki işaret akışı net olarak görülemeyebilir. İşaret akış diyagramları, blok diyagramları gibi sistemin neden sonuç ilişkisini gösteren ancak daha basit bir inceleme yöntemidir. 35
İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARININ ÖZELLİKLERİ Bir kol (dal) üzerinden işaret ancak ok yönünde geçer. Bir düğüm kendisine gelen tüm kolların (dalların) işaretlerini toplar ve kendinden ayrılan kola (dala) aktarır. Verilen bir sistem için işaret akış grafiği tekdeğildir. Farklı matematiksel ifadeler ile farklı akış diyagramları çizilebilir. İşaretAkış Diyagramlarının Avantajları : İşaretin girişi, işaretin akışı ve sistem çıkışı daha açık gösterilir. İndirgeme işlemi blok diyagramlarına göre daha kolaydır. 36 Çoğu zaman kazanç formülü kullanılarak diyagramı indirgemeden bile durum değişkenleri arasındakibağıntı belirlenir.
İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARININ TANIMLARI Düğüm : Bir değişken veya işareti gösteren nokta, Geçiş fonksiyonu : İki düğüm arasındaki kazanç (Transfer fonksiyonu), Kol (Dal) : İki düğümü birleştiren yönlendirilmiş çizgi, Yol : Oklar yönünde gidilerek geçilen kolların grubu, Açıkyol:Düğümlerden bir defadan fazla geçmeyen yol, Kapalı yol : Bağlandığı düğüme geri dönen veya diğer herhangi bir düğümden geçmeyen yol, Döngü : Kapalı bir yol, Bağımsız (temassız) döngü (Nontouching Loops) :Ortak düğümlere sahip olmayan döngü (Two parts of an SFG are nontouching, if they do not share a common node), 37
38 İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARININ TANIMLARI
39 İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARININ TANIMLARI
İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARININ TANIMLARI Örnek 1: Verilen kapalı çevrim blok diyagramının işaret akış diyagramını çiziniz? Örnek 2: Verilen kapalı çevrim blok diyagramının işaret akış diyagramını çiziniz? Örnek 3: Verilen kapalı çevrim blok diyagramının işaret akış diyagramını çiziniz? 40
İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI için MASON KAZANÇ FORMÜLÜ Bir giriş düğümü ile bir çıkış düğümü arasındaki kazanç, bu iki düğüm arasındaki toplam kazanç ve toplam geçiş fonksiyonudur. Toplam kazanç için aşağıdaki Mason kazanç formülü uygulanabilir. N adet ileri yolu ve L adet döngüsü bulunan bir akış diyagramı verildiğinde R(s) giriş düğümü ile C(s) çıkış düğümü arasındaki kazanç yanda verilen formül ile bulunur. Bu formüle Mason kazanç formülü adı verilir. Burada, n :Toplam ileri yol sayısı, Pk : Giriş ile çıkış arasında var olan ileri yollardan k. sının ileri yol kazancı, T(s) : Giriş ile çıkış arasındaki toplam kazanç, 1 (Tümfarklı döngü kazançlarının toplamı ) + (Mümkün olabilen ikili temassız döngülerin kazançları çarpımının toplamı) (Mümkün olabilen üçlü temassız döngülerin kazançları çarpımının toplamı)+. 41 k. Cı ileri yolun kaldırılması ile elde edilen diyagramın sı yada Pk nınkofaktörü.
İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI için MASON KAZANÇ FORMÜLÜ Örnek 1: Verilen kapalı çevrim blok diyagramının işaret akış diyagramını çiziniz? İşaret diyagramında Mason kazanç formülünü kullanarak giriş ile çıkış arasındaki toplam iletim fonksiyonunu (kazancı) bulunuz? Örnek 2: Verilen kapalı çevrim blok diyagramının işaret akış diyagramını çiziniz? İşaret diyagramında Mason kazanç formülünü kullanarak giriş ile çıkış arasındaki toplam iletim fonksiyonunu (kazancı) bulunuz? 42
İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI için MASON KAZANÇ FORMÜLÜ Örnek 3: Verilen kapalı çevrim blok diyagramının işaret akış diyagramını çiziniz? İşaret diyagramında Mason kazanç formülünü kullanarak giriş ile çıkış arasındaki toplam iletim fonksiyonunu (kazancı) bulunuz? 43
İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI için MASON KAZANÇ FORMÜLÜ Örnek 4: Verilen kapalı çevrim blok diyagramının işaret akış diyagramını çiziniz? İşaret diyagramında Mason kazanç formülünü kullanarak giriş ile çıkış arasındaki toplam iletim fonksiyonunu (kazancı) bulunuz? 44
İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI için MASON KAZANÇ FORMÜLÜ Örnek 5: Verilen işaret diyagramında Mason kazanç formülünü kullanarak giriş ile çıkış arasındaki toplam iletim fonksiyonunu (kazancı) bulunuz? 45
İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI için MASON KAZANÇ FORMÜLÜ Örnek 6: Transfer fonksiyon indirgeme yöntemi ile çözülen blok diyagramını Mason kazanç formülünü kullanarak giriş ile çıkış arasındaki toplam iletim fonksiyonunu (kazancı) bulunuz? 46
OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DENETİM SİSTEMİTASARIM İLKELERİ
Otomatik Denetimin Avantajları : Otomatik Denetim Cevap Süresi : İnsan 0.8s den hızlı tepki veremez. Halbuki mikro saniyeler mertebesinde otomatik denetim yapılabilir. Ürün Kalitesi : İnsan her an aynı performansta çalışamaz. Dolayısıyla insan eliyle yapılan ürünlerde farklılıklar görülebilir. İnsanda hata yapma oranı yüksektir. Uzun süreli çalışmalarda insan kullanılamaz. İnsan Kullanmanın Avantajları : Öngörülemeyen durumlarda karar verip müdahale edebilir. Bilgisini ve tecrübesini kullanabilir. 48
Denetim Sistemi Tasarım İlkeleri Düzenleyici kontrolde; girişine verilen ayar değerinde yeterince küçük bir hata ile çalışması, İzleyici kontrolde; sistemin giriş sinyalini hatasız birşekilde takip etmesi istenir. Ayrıca sistemin, girişindeki sinyal değiştiğinde, çıkışındabudeğere ulaşması istenir. Bir denetim Sisteminde İsteneler ; Kararlı Çalışma : Sistemin sınırlı bir girişe karşı sınırlı bir çıkış vermesidir. Sistemin kararlı veya kararsız olmasının yanında kararlılık sınırına ne kadar yakın olup olmadığı da bilinmelidir. Çıkış değişkenin birim basamak sinyal girişine karşı verdiği cevaba birim basamak cevabı denir. Bu sistem karakteristiği üzerinde önemli bir bilgi sağlar. 49
Denetim Sistemi Tasarım İlkeleri Geçici Durum içinde Hızlı Cevap : Kararlı duruma ulaşıncaya kadar olan davranışa geçicihal davranışı denir. Sistemin çıkışının kalıcı durum değerine en kısa sürede ulaşması istenir. Kalıcı Durum Davranışı : Bir denetim sisteminde istenilen çıkışa nekadaryaklaşıldığını belirler. Hata değeri (e) çalışılan sistem için önemsenmeyecek kadar küçük olmalıdır. Hatanın değerine göre denetim sisteminin duyarlılığından (sensivity) bahsedilir. Hata sıfıra yakın ise duyarlılık yüksektir denilir. 50
Transfer Fonksiyonlarının Yapısına Göre Sistemler Dinamik davranışları belirleme ve analiz etmek için transfer fonksiyonlarınyapıları kullanılır. Fiziksel yapıları farklı olsa bile sistemlerin transfer fonksiyonları benzerdir. Benzer transfer fonksiyonuna sahip fiziksel sistemlerin dinamik davranışları benzerdir. Örnek 1 : 51
Örnek 2 : Transfer Fonksiyonlarının Yapısına Göre Sistemler 52
Transfer Fonksiyonlarının Yapısına Göre Sistemler Transfer fonksiyonunun tipine göre sistemler 4 kısma ayrılır; 1) Kazanç Tipi : Temel parametresi kazançtır. [ G(s)=K ] Gecikmesi olmayan sistemdir. [ Örnek : Direnç elemanı ] Gerçekte çoğu sistem gecikmelidir. Sistem içindeki gecikmeler birbirlerine göre çok farklı ise küçük olanlar gecikmesiz olarak alınabilir. ( Transfer fonksiyonunun derecesini düşürmek için yapılır. ) 2) İntegralTipi:Temel parametresi integral zaman sabitidir [ T i ]. Girişin integrali ile değişen elemanlar [ C, L ] 53
Transfer Fonksiyonlarının Yapısına Göre Sistemler 3) Zaman Sabiti Tipi (1. Derece Sistemler) : Zaman sabiti elemanı olan ve 1. dereceden diferansiyel denklemlerle tanımlanan sistemlerdir. Grafikten görüldüğü üzere sistemin dinamik davranışını etkileyen tek faktör T değeridir. 54
Transfer Fonksiyonlarının Yapısına Göre Sistemler 4) Titreşim Tipi (2. Derece Sistemler) : Zaman sabiti elemanı olan ve 1. dereceden diferansiyel denklemlerle tanımlanan sistemlerdir. n [rad/s] : Sistemin doğal frekansı : Sönüm oranı = Gerçek sönüm katsayısı / Kritik sönüm katsayısı Sistemin davranışı özyapısal denklemin (Karakteristik denklem) çözümüne bağlıdır. nindeğerine göre kökler s 1,s 2 gerçek veya karmaşık olabilir. a) 0< s 1,s 2 kökleri karmaşık eşlenik olup s düzleminin sol tarafında yer alır. Sistem sönümlü titreşimli veya az sönümlü adını alır. 55
Transfer Fonksiyonlarının Yapısına Göre Sistemler b) ise sistem kritik sönümlüdür. Cevap eğrisi titreşim göstermez. c) ise sistem cevabı titreşimsiz aşırı sönümlü ve yavaş olacaktır. d) ise kökler eşlenik sanal eksen üzerinde olup sistem sönümsüz titreşimli davranış gösterir. 56
57 Transfer Fonksiyonlarının Yapısına Göre Sistemler
OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DİNAMİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ ve ANALİZİ
Modelleme Önceki bölümlerde blok diyagramları ve işaret akış diyagramlarında yer alan transfer fonksiyonlarındaki kazançlar rastgele alınmıştı. Bu bölümde ise bu kazançlarınnasıl belirlendiğianlatılacaktır. Kontrol sistemleri tanımının başlangıç noktası kontrol sisteminin matematiksel modelinin oluşturulmasıdır. Matematiksel model : t domeni, s domeni (Laplace dönüşümü), w domeni (Fourier dönüşümü) ve z domeni uygulanarak oluşturulabilir. Bu derste, işlem kolaylığı sağladığı için s donemi kullanılacaktır. Model oluşturulurken ilgili fiziksel sistemin uygun yasalarla modellenmesi gerekir; 1) Mekanik Sistemler : Newton II. Hareket yasası 2) Elektriksel Sistemler : Kirchoff ve Ohm yasası 3) Akışkan Sistemler : Süreklilik yasası veya maddenin sakınımı 4) Isıl Sistemler : Enerjinin sakınımı yasası 59
Modelleme Mekanik Sistemler : Bir cisim üzerine etki eden dengelenmiş kuvvetler o cisim üzerinde bir eylemsizlik kuvveti oluşturur. Akışkan Sistemler :.. θ : Pozisyon (rad) v : Hız (m/s) m : Kütle (kg) w : Açısal hız (rad/s) j : Eylemsizlik momenti (kg.m 2 ) (Bir sisteme giren madde miktarı) (Sistemden çekilen madde miktarı) = (Sistemde depolanan madde miktarı) Isıl Sistemler : (Bir sisteme giren enerji) (Sistemden çekilen enerji) = (Sistemde depolanan enerji) 60
Elektriksel Sistemler : Modelleme i. Basit bir elektriksel sistem direnç, kapasite ve endüktans elemanlarından oluşur. ii. Bu elemanlar farklı şekilde bağlanarak farklı elektriksel devreleri oluşturur. 1) Direnç Elemanı (R) :. veya G(s)=. G(s)= 2) Kapasite Elemanı (C) : 61 1 1 veya G(s)= G(s)=
3) Endüktans Elemanı (R) : Modelleme.. veya G(s)= G(s)= Örnek 1: Aşağıdaki Lineer potansiyometrenin transfer fonksiyonunu bulunuz? 62
Modelleme Örnek 2: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? Örnek 3: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz?(ny_ Yöntemi) 63
Modelleme Örnek 4: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? Ödev: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? 64
1) İdeal Sönümleme Elemanı : a) Öteleme Sönümleyici : Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Basit mekanik elemanlar, öteleme hareketinde; damper (sönümleyici), sürtünme, kütle ve yaydır. Dönme hareketinde ise dönel sönümleyici, eylemsizlik momenti ve yaydır. F(t)... B : Sönümleme katsayısı (N.s/m) F : Kuvvet (N) V : Hız (m/s) b) Dönel Sönümleyici : dθ (t) M(t)=B.. B : Sönümleme katsayısı (N.s/m) T, M : Moment (N) w: Açısal Hız (rad/s) 65
Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli 2) İdeal Kütle ve Eylemsizlik : a) Öteleme Kütlesi : F(t). F(s).. b) Döner Kütle : J. T(t). T(s).. G= 3 a) Ötelemeli Yay : F(t).. df(t)... 66
3 b) Burulma Yayı : Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli T(t).θ.θ dt(t)... Ödev 1 : Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? K x s 1 Ödev 2 : Ucunda J atalet momentli disk olan ve bir ucu sabitlenmiş şekildeki sistem, uygulanan M momenti ile bükülmektedir. Disk dönme sürtünme katsayısı B olan bir ortamda hareket ettiğine göre sistemin transfer fonksiyonu nedir? 67 θ s 1
Mekanik Elemanların Matematiksel Modeli Örnek 1: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? 68
Enerji Depolamayan veya Harcamayan İdeal Sistem Elemanları 1) Transformatörler :.. İ ü ü ü N : Sarım sayısı ü : Dönüştürme oranı ü>1 : Gerilim Düşürücü ü<1 : Gerilim Yükseltici 2) Dişli Kutusu (Redüktör) :.. İ 1 ü ü N : Diş sayısı ü : Dönüştürme oranı ü>1 : Hız Düşürücü ü<1 : Hız Yükseltici 69
İşlemsel Kuvvetlendiriciler PID denetleyicilerin analog devrelerle gerçeklenmesinde özellikle kazanç, integral ve türev alma işlemleri için işlemsel kuvvetlendiriciler kullanılırlar. Bu sebeple işlemsel kuvvetlendiricilerinde transfer fonksiyonları belirlenmelidir. 1) Kuvvetlendirici (Kazanç) : 70
2) Kuvvetlendiricili Karşılaştırma Devresi : İşlemsel Kuvvetlendiriciler 71
3) Türev alıcı Devre: İşlemsel Kuvvetlendiriciler 4) İntegral alıcı Devre: 72
İşlemsel Kuvvetlendiriciler Örnek 2: Verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz? 73
Durum Değişkenleri Modeli Sistemin dinamiğini tanımlamak için durum değişkenleri veya durum uzay modelleri de kullanılabilir. Durum değişkenlerine bağlı denklemler kullanılarak verilen bir giriş için durum değişkenleri cinsinden sistemin çıkışı tanımlanabilir. n. dereceden bir sistem dinamiğinin modellenebilmesi için n adet değişken ve n adet durum denklemi gereklidir. Genel olarak durum denklemleri ; X t u t A B C D 74
Özellikleri : Durum Değişkenleri Modeli Durum denklemleri bilgisayarda sayısal olarak çözülebilir. Durum denklemleri çok girişli ve çok çıkışlı sistemlerde doğrudan kolaylıkla uygulanabilir. En uygun denetleyici tasarım yöntemleri genellikle durum değişkenleri modeline dayanır. NOT 1: Durum değişkenleri tekniği çoğunlukla çağdaş denetim yöntemleri olarak, buna karşılık transfer fonksiyonu tekniği de klasik yöntemler olarak bilinir. NOT 2: Tek giriş ve tek çıkışlı sistemlerde durum değişkeni yöntemi yerine transfer fonksiyonu yöntemini kullanmak daha uygundur. Transfer fonksiyonu ve Durum denklemleri arası geçiş : G(s)= C.. 75