DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Transkript

1 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ MM306 EEM304 SİSTEM KONTROL DİNAMİĞİ SİSTEMLERİNE GİRİŞ Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma 1

2 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Bir sistemi otomatik olarak kontrol etmek, herhangi bir insan müdahalesi olmaksızın, o sistemin çevresel şartlar ne olursa olsun önceden belirlenmiş bir takım performans kriterlerini yerine getirecek şekilde çalışmasını sağlamak demektir. Örneğin şekildeki gibi vinç motoru olarak kullanılan bir elektrik motorunun hızının kontrol edildiğini düşünelim. Bu motorun hızının kontrol edilmesi demek, kaldırdığı cismin çok hafif olması durumunda da, çok ağır olması durumunda da cismi aynı hızla kaldırması demektir.

3 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Herhangi bir anda motorun milinde çok büyük bir yük olabilir. Bu da motorun hızında bir düşüşe neden olabilir. Böyle anlarda kontrol sistemi, motora uygulanan gerilimi artırarak motorun hızını artırır ve yeniden arzu edilen değere (örneğin 1500 devir/dakika) getirir. Bu örnekte; Kontrol Edilen Sistem : Motor Kontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan Gerilim Kontrol Çıkış Değişkeni : Motorun Hızıdır. Esasen bu tanım ve örnek, doğrudan Otomatik Kontrol kavramının tanımıdır. Yani kontrol sistemi, motorun hızını (insan etkisi olmadan) otomatik olarak ayarlar. 3

4 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Şimdi de şekildeki gibi bir uydunun pozisyonunun kontrol edildiğini düşünelim. Uzaya fırlatılan bir uydunun, yerdeki bir referans noktası ile belirli bir açı yapacak konumda olması istenir (örneğin θ=45 ). Eğer herhangi bir harici etki sebebiyle uydu hareket eder ve açı 45 dereceden farklı bir değer alırsa, kontrol sistemi uyduya uygulanan momenti (tork - T) ayarlayarak, uydunun yeniden referans noktası ile aynı açıyı yapmasını sağlar. Bu örnekte; Kontrol Edilen Sistem : Uydu Kontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan Tork Kontrol Çıkış Değişkeni Pozisyon. 4

5 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Bu örneklerden de anlayacağımız üzere, bir kontrol sisteminde en temel ögeler, şu şekilde ifade edilebilir. Kontrol Edilen Sistem Kontrol Girişi (Giriş Değişkeni) Kontrol Çıkışı (Çıkış Değişkeni) Bu ögeler, blok diyagram şeklinde aşağıdaki gibi gösterilebilir: 5

6 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Kontrol sistemlerine örnekler vermeye devam edelim. Yeni nesil otomobillerdeki Cruise Control Hız Sabitleme fonksiyonu, kontrol sistemlerine ilişkin çok iyi bir örnektir. Sürücü, otomobil belirli bir hızda iken (örneğin 90 km/saat) hız sabitleme düğmesine basar ve bu andan itibaren otomobil yokuş da çıksa, düz yolda da gitse, yokuş da inse, aşırı rüzgara da maruz kalsa (yani çevresel şartlar ne olursa olsun), sürekli 90 km/saat hızla gider. Sürücü ise hız ayarlamaya ilişkin hiçbir şey yapmaz, otomobildeki hız kontrol sistemi, otomobilin hızını sürücünün istediği değerde otomatik olarak tutar. 6

7 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Oda sıcaklığını ayarladığımız değerde sabit tutan klimalar da kontrol sistemleri açıklamak için oldukça kullanışlı bir örnektir. Oda sıcaklığı kullanıcı tarafından kumanda ile örneğin dereceye sabitlenir ve bu andan itibaren dışarıdaki hava soğuk da olsa sıcak da olsa, temiz hava gelmesi için cam da açılsa her türlü çevresel şartlarda klimanın içindeki kontrol sistemi, oda sıcaklığını derecede tutar. 7

8 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Esasen tabiatta çok sayıda doğal kontrol sistemi de vardır. Örneğin insan vücudundaki pankreas bir doğal kontrol sistemidir. Zira insan kanındaki şeker konsantrasyonu artınca pankreas insulin salgılayarak bu fazla şekeri ısı ve enerjiye dönüştürür ve kandaki şeker konsantrasyonunu normal değerine getirir. Kandaki şeker azalınca da bunu tekrar normal değerine getirir. Bütün bunları otomatik olarak yapar. 8

9 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulması gerekir. Tabiattaki tüm dinamik sistemler Diferansiyel Denklemler ile modellenir. Daha sonra bu diferansiyel denklem modeli, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma dönüştürülür. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz konusudur: 1. Frekans Domeni Yaklaşımı (Klasik Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dönüşümü yoluyla frekans domeninde ifade edilir.. Zaman Domeni Yaklaşımı (Modern Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Durum-Uzay Dönüşümü yoluyla zaman domeninde ifade edilir. Şimdi sırasıyla Diferansiyel Denklemler, Laplace Dönüşümü ve Durum Uzay Dönüşümünden bahsedelim. 9

10 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Diferansiyel Denklemler Tanım: y=f(x) şeklinde bilinmeyen bir fonksiyon ve onun çeşitli mertebelerden türevlerini içeren denklemlere Diferansiyel Denklemler denir. Diferansiyel denklemler genel olarak, d y,,,,,..., 0 3 n dy d y d y F x y dx dx dx 3 dx n Burada y değişkeni, x e bağlı olarak değerler aldığı için bağımlı değişken olarak adlandırılır. x değişkeni ise rastgele değer alabildiği için bağımsız değişken olarak adlandırılır. 10

11 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Mertebe: Bir diferansiyel denklemin mertebesi, o denklemdeki en yüksek türevin mertebesidir. Örneğin Örneğin d y dx dy dx x Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Denklemin mertebesi:. dx dt xt 5 Bağımsız değişken: t Bağımlı değişken: x Denklemin mertebesi: 1. diferansiyel denkleminde; diferansiyel denkleminde; 11

12 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Derece: Bir diferansiyel denklemin derecesi, o denklemdeki en yüksek mertebeden türevin üssüdür. Örneğin d y d y dy x dx dx dx Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Denklemin mertebesi: 4 Denklemin derecesi: 3. diferansiyel denkleminde; 1

13 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Bir Diferansiyel Denklemin Çözümü: Bir diferansiyel denklemin çözümü, o denklemi sağlayan bir fonksiyondur. y( x) c sin3x c cos3x y9y0 Örne ğin 1 fonksiyonunun, diferansiyel denkleminin bir çözümü olup olmadığına bakalım (burada c 1 ve c sabit sayılardır); y( x) c sin 3x c cos 3 x y( x) 3c cos 3x 3c sin 3x 1 1 y( x) 9c sin 3x 9c cos 3x 1 yx ( ) için elde ettiğimiz bu ifadeyi ve y(x) ifadesini, verilen diferansiyel denklemde yerine koyup, denklemin sağlanıp sağlanmadığına bakalım: y 9y 0 9c 1 sin 3x 9c cos3x 9 c1 sin 3x c cos3x 0 y( x) c sin3x c cos3x Denklem sağlandığı için, diferansiyel denklemin bir çözümüdür denir. 1 fonksiyonu, verilen 13

14 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ y x ( ) x Örneğin fonksiyonunun, diferansiyel denkleminin bir çözümü olup olmadığına bakalım; y y( x) x -1 y( x) x yx ( ) için elde ettiğimiz bu ifadeyi ve y(x) ifadesini, verilen diferansiyel denklemde yerine koyup, denklemin sağlanıp sağlanmadığına bakalım: 4 4 y y x x x x x 1 17x x 1 1 Denklem sağlanmadığı için, y( x) x 1 fonksiyonu, verilen diferansiyel denklemin bir çözümü değildir denir. y? 14

15 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Not: Bir diferansiyel denklemi çözmek demek, o denklemi sağlayan fonksiyonu bulmak demektir. Bazı diferansiyel denklemlerin çözümü olmayabilir. Eğer bir çözüm varsa bile, bütün diferansiyel denklemlerin çözümünü bulmak için genel bir yöntem/algoritma henüz geliştirilememiştir. Belli bazı tür denklemler için, o denklem türüne özgü çözüm yöntemleri geliştirilmiştir ve halen de geliştirilmektedir. 15

16 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Doğrusallık (Lineerlik): Eğer bir diferansiyel denklemde, 1. Bağımlı değişken ve onun tüm türevlerinin üssü 1 ise,. Herhangi bir terimde bağımlı değişken ve onun türevlerinin çarpımı yoksa, 3. Herhangi bir terimde, bağımlı değişkenin sinüs fonksiyonu, üstel fonksiyon gibi doğrusal olmayan fonksiyonları yoksa, bu diferansiyel denklem lineerdir (doğrusaldır) denir. Bu şartlardan herhangi biri sağlanmıyorsa, o diferansiyel denklem nonlineer (doğrusal olmayan) denklemdir. 16

17 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Aşağıda verilen diferansiyel denklemlerin bağımsız değişkenini, bağımlı değişkenini, mertebesini, derecesini ve doğrusal olup olmadığını belirtiniz. 1. d y dx dy dx x Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Mertebesi: Derecesi: 1 Doğrusallık: 3 şartı da sağlıyor, doğrusal (lineer).. y y x 0 Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Mertebesi: 1 Derecesi: Doğrusallık: İlk terimde bağımlı değişkenin karesi var. Nonlineer. 17

18 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ 3. z z t 0 4. y dz dt Bağımsız değişken: t Bağımlı değişken: z Mertebesi: Derecesi: 1 Doğrusallık: İkinci terimde bağımlı değişkenin ile türevinin çarpımı var. Nonlineer. 1 sin( y) Bağımsız değişken: x x Bağımlı değişken: y Mertebesi: 3 Derecesi: 1 Doğrusallık: İkinci terimde bağımlı değişkenin doğrusal olmayan bir fonksiyonu var. Nonlineer. 18

19 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ y sin( x) 1 x Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Mertebesi: 3 Derecesi: 1 Doğrusallık: Bağımsız değişkenin nonlineer terimleri, denklemi nonlineer yapmaz. Bu nedenle bu denklem lineerdir. x dy 3 e y x dx Bağımsız değişken: x Bağımlı değişken: y Mertebesi: 1 Derecesi: 1 Doğrusallık: Doğrusal 19

20 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Şimdi sistemlerin diferansiyel denklem modellerine örnekler verelim. Önce şekilde görülen seri RL devresine bakalım. Bu devreyi sistem yaklaşımı içinde incelersek, Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan gerilim (v) Sistem Çıkış Değişkeni: Devrede dolaşan akım (i) olacaktır. Şimdi Kirchhoff un Gerilimler Yasasını kullanarak devre denklemini yazalım: v i di L Ri v dt Görüldüğü gibi bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemin bağımsız değişkeni t, bağımlı değişkeni i, mertebesi ve derecesi 1 dir. Denklem lineer olduğu için, bu denklem ile modellenen sistem de lineer bir sistemdir. 0

21 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Başka bir örnek olarak, şekildeki gibi Kütle-Yay-Damper sistemini ele alalım. Esasen bu sistem, otomobillerdeki süspansiyon sisteminin bir modelidir. m kütleli bir otomobil, herhangi bir çukurdan/tümsekten geçtiğinde belli bir F kuvvetine maruz kalır. Bu kuvveti otomobilin içindeki yolcuların daha az hissetmesi için gerilme katsayısı k olan bir yay ve sönümlüme katsayısı c olan bir damper, bu kuvveti söndürmeye çalışırlar. Araba ise düşey eksende x kadar yer değiştirir. Bu sistemde Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan Kuvvet (F) Sistem Çıkış Değişkeni: Yer değiştirme (x) F 1

22 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Bu sistemin diferansiyel denklem modelini oluşturalım. Newton un ikinci kanununa göre; F ma d x F cx kx m dt d x dx m c kx F dt dt F Görüldüğü gibi bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemin bağımsız değişkeni t, bağımlı değişkeni x, mertebesi ve derecesi 1 dir. Denklem lineer olduğu için, bu denklem ile modellenen sistem de lineer bir sistemdir.

23 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Aslında burada elde ettiğimiz model, belirli kabullerle (varsayımlarla) elde edilen bir modeldir. Yani modeli oluştururken, analizi ve tasarımı zorlaştıracak bir takım unsurlar ihmal edilir. Somut örnek vermek gerekirse, bu Kütle-Yay-Damper sisteminde, hem damperin hem de yayın daha gerçekçi kuvvet denklemleri kullanılırsa, bu sistemin dinamik modeli 3 mx cx x k0x k1x F F şeklinde olur. Görüldüğü gibi bu sistemi modelleyen daha gerçekçi diferansiyel denklem lineer değil nonlineerdir. Dolayısıyla bu sistem bir doğrusal olmayan (nonlineer) sistemdir. 3

24 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Daha önce aslında tabiatta lineer sistem olmadığını, her sistemin belli bir ölçüden sonra nonlineer davranış gösterdiğini, ancak belirli yaklaşım ve ihmallerle doğrusal olmayan bazı sistemlerin, doğrusal bir sistem gibi modellenebileceğini ve böylelikle sistemin analizinin kolaylaşacağını söylemiştik. Şimdi bir sistemin doğrusal olup olmadığını nasıl test ettiğimizi hatırlayalım: 4

25 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Süperpozisyon Prensibi Süperpozisyon prensibi, bir sistemin lineer (doğrusal) olup olmadığını test etmek için kullanılır. Öncelikle süperpozisyon prensibinden başlayalım: Herhangi bir sisteme x 1 girişi uygulandığında sistemin tepkisi (çıkış) y 1, farklı bir x girişi uygulandığında ise sistem çıkışı y olsun. ab, olmak üzere, sisteme ax 1 girişi uygulandığında sistem çıkışı ay 1, ve sisteme x 1 +x girişi uygulandığında sistem çıkışı y 1 +y oluyorsa, bu sistem lineerdir denir. Çarpımsallık ilkesi x 1 y Sistem 1 ax 1 Sistem ay 1 x y Sistem x 1 + x Sistem y 1 + y Toplamsallık ilkesi 5

26 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Süperpozisyon prensibine uyan sistemler lineer sistemlerdir. Ancak pratikte tabiatta lineer sistem yoktur! Mekanik, elektriksel, biyolojik, sosyal, kültürel vs. bütün sistemler gerçekte lineer olmayan (nonlinear) sistemlerdir. Lineer sistemler, tabiattaki gerçek sistemlerin analizinin daha kolay yapılabilmesi için üretilmiş teorik modellerdir. Zira lineer sistemlerin analizi oldukça basittir ve günümüze kadar lineer sistemlerin analizi ve tasarımı için çok sayıda güçlü ve kullanışlı yöntem geliştirilmiştir. Lineer olmayan sistemlerin analizi ve tasarımı ise görece daha zordur. Günümüzde hala lineer olmayan sistemlerin analizi ve tasarımı için güçlü, kullanışlı, sihirli yöntemler geliştirilememiştir. Herhangi bir sistemin lineer ya da lineer olmayan modellerden hangisi seçilerek ele alınacağı, tasarımcının vermesi gereken önemli bir karardır. Kimi basit sistemlerde, sistem modelinin lineer olmayan kısmının ihmal edilmesi çok fazla bir hataya sebep olmaz. Ancak daha karmaşık sistemlerde (örneğin bir hava taşıtı) sistem modelinin doğrusal olmayan kısımlarının ihmal edilmesi ya da analitik/nümerik/istatistik yöntemlerle sistem modelinin lineerleştirilmesi, uçağın okyanusa çakılmasına neden olur ki tarihte örnekleri vardır. Bütün bu açıklamalardan, lineer sistem modellerinin ve lineer analiz yöntemlerinin işe yaramaz olduğu sonucu çıkmaz! 6

27 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulması gerektiğini, tabiattaki tüm dinamik sistemlerin Diferansiyel Denklemler ile modellendiğini, sonra bu diferansiyel denklem modelinin, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma dönüştürüldüğünü söylemiştik. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz konusudur: 1. Frekans Domeni Yaklaşımı (Klasik Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dönüşümü yoluyla frekans domeninde ifade edilir. Bu yaklaşım sadece doğrusal sistemlere uygulanabilir.. Zaman Domeni Yaklaşımı (Modern Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Durum-Uzay Dönüşümü yoluyla zaman domeninde ifade edilir. Bu yaklaşım hem doğrusal, hem de doğrusal olmayan sistemlere uygulanabilir. Şimdi sırasıyla Laplace Dönüşümü ve Durum Uzay Dönüşümünden bahsedelim. 7

28 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ EET305 MM306 EEM304 OTOMATİK SİSTEM KONTROL DİNAMİĞİ SİSTEMLERİNE KONTROL I GİRİŞ Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma 8

29 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Laplace Dönüşümü Matematiksel açıdan, bir sistemi kontrol etmek demek, o sistemi modelleyen diferansiyel denklemin çözümünü belli bir değere/bölgeye zorlamak demektir. Örneğin otomobillerin Kütle-Yay-Damper ile modellenen süspansiyon sisteminde, araba bir çukur ya da tümsekten geçtiğinde x yerdeğiştirmesinin mümkün olduğunca az (hatta sıfır) olması istenir. Benzer şekilde RL devresinde de akımın, istenilen belli bir değeri alması istenir. Ancak diferansiyel denklemlerden bahsederken de vurgulandığı gibi, bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmak, her zaman çok kolay olmamaktadır. i F 9

30 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Fransız matematikçi ve astronom Pierre Simon Laplace, 1809 yılında daha sonra kendi adıyla anılacak olan Laplace Dönüşümü yöntemini önermiştir. Bu yöntem, diferansiyel denklemlerin çözümüne alternatif bir yöntem önermekte ve türev/integral içeren diferansiyel denklemleri, birer cebirsel denkleme dönüştürmektedir. Böylece denklemin çözümü çok daha kolay olmaktadır. Laplace dönüşümü sadece lineer diferansiyel denklemlere uygulanabilir. Dolayısıyla, tabiattaki sistemlerin sadece lineer olanları bu dönüşüm yoluyla analiz edilebilir. 30

31 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Laplace Dönüşümü: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü F(s) ile gösterilir ve şu şekilde hesaplanır: st f ( t) F( s) f ( t) e dt 0 Burada Laplace dönüşüm operatörü, s ise s=ϭ+jω şeklinde ϭ reel bileşenine ve ω imajiner (frekans) bileşenine sahip bir kompleks sayıdır. Şimdi kontrol sistemlerinde test sinyali olarak kullanılan bazı temel fonksiyonları tanıtıp, daha sonra bu fonksiyonların ve diğer bazı fonksiyonların Laplace dönüşümünü hesaplayalım. 31

32 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Darbe Fonksiyonu: Adım Fonksiyonu: Rampa Fonksiyonu: Parabol: Sinüsoid: 3

33 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: f (t)=c (C sabit) st st f ( t) C F( s) f ( t) e dt Ce dt st 1 st C e dt C e s t0 Yani C gibi bir sabitin Laplace Dönüşümü C/s dir. C s C C s 33

34 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: f (t)=t st st f ( t) t F( s) f ( t) e dt te dt t st st 1 t e e dt s s Yani f (t)=t fonksiyonunun Laplace Dönüşümü t u st e dt dv dt 1 st s e du V 1 s t 34

35 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Kontrol sistemlerinde yaygın olarak karşılaşılan bazı temel fonksiyonların Laplace dönüşümü, Laplace Dönüşüm Tablosu adı verilen tablolarda özetlenmiştir. 35

36 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Laplace Dönüşümü Teoremleri: 1. Türev Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun zamana göre türevini almak, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s) ile s in çarpımına eşittir. d f ( t ) sf ( s ) f (0) dt Burada f(0), f(t) fonksiyonunun t=0 anındaki değeridir.. İntegral Teoremi: t 0 1 f ( t) F( s) s 36

37 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ 3. Son Değer Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun, zaman sonsuza giderken alacağı değer, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s) ile s ile çarpımının, s sıfıra giderken limitine eşittir. lim f ( t) lim sf( s) t s0 4. Başlangıç Değer Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun, zaman sıfıra giderken (yani başlangıçta) alacağı değer, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s) ile s ile çarpımının, s sonsuza giderken limitine eşittir. lim f ( t) lim sf( s) t0 s 37

38 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Laplace Dönüşümünün Özellikleri: Af ( t) AF( s) ( A sabit) f ( t) f ( t) F ( s) F ( s) 1 1 n d n n1 n n3 f ( t) s F( s) s f (0) s f (0) s f (0)... n dt at e f ( t) F( s a) 38

39 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Yandaki tabloda Laplace Dönüşümünün özellikleri ve teoremleri toplu olarak görülmektedir. 39

40 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü, f ( t) F( s) 1 ss ( 1) olarak veriliyor. Buna göre f(t) fonksiyonunun zaman sonsuza giderken alacağı değeri bulunuz. C: Son Değer Teoremine göre; 1 lim f ( t) lim sf( s) lims 1 t s0 s0 ss ( 1) Bu sonucun sağlaması kolaylıkla yapılabilir. Zira soruda verilen F(s), zaman domenindeki f(t)=1-e -t fonksiyonunun Laplace dönüşümüdür ve zaman sonsuza giderken bu fonksiyonun alacağı değer 1 dir. 40

41 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü, f ( t) F( s) s s 1 olarak veriliyor. Buna göre e -3t f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümünü bulunuz. C: Laplace dönüşümünün özelliklerinden sonuncusuna göre; at e f ( t) F( s a) 3t e f ( t) F( s 3) Bu sonucun sağlamasını yapabilir misiniz? s 3 s

42 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Daha önce kütle-yay- damper sisteminin diferansiyel denklemini mx( t) cx( t) kx( t) F( t) olarak elde etmiştik. Bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemi kullanarak, sistem modelini frekans domeninde yazınız. Tüm başlangıç koşullarını sıfır kabul ediniz. C: Her iki tarafın Laplace Dönüşümü alınırsa F ms X s csx s kx s F s ( ) ( ) ( ) ( ) ms cs k X s F s ( ) ( ) 4

43 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Daha önce şekildeki RL devresinin diferansiyel denklemini di() t L Ri( t) v( t) dt olarak elde etmiştik. Bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemi kullanarak, sistem modelini frekans domeninde yazınız. Tüm başlangıç koşullarını sıfır kabul ediniz. C: Her iki tarafın Laplace Dönüşümü alınırsa v i LsI( s) RI ( s) V ( s) Ls R I( s) V ( s) 43

44 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ EET305 EEM304 MM306 OTOMATİK SİSTEM KONTROL DİNAMİĞİ SİSTEMLERİNE KONTROL I GİRİŞ Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma 44

45 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Transfer Fonksiyonu ve Blok Diyagramlar: Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulması gerektiğini, tabiattaki tüm dinamik sistemlerin Diferansiyel Denklemler ile modellendiğini, sonra bu diferansiyel denklem modelinin, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma dönüştürüldüğünü söylemiştik. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz konusuydu: Frekans Domeni Yaklaşımı ve Zaman Domeni Yaklaşımı. Frekans domeni yaklaşımında, sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dönüşümü yoluyla frekans domeninde ifade edilir ve sistem giriş ile çıkışı arasında bir Transfer Fonksiyonu tanımlanır. Daha sonra bu Transfer Fonskiyonu; kontrolör tasarımı, kararlılık ve performans analizleri gibi çeşitli amaçlar için kullanılır. Transfer Fonksiyonu, lineer bir sistemde, tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edilmek şartıyla, sistem girişi ile sistem çıkışı arasındaki matematiksel ilişkinin Laplace dönüşümüdür. Yani frekans domeninde sistem çıkışının sistem girişine oranıdır. 45

46 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Örnek olarak, tekrar şekilde görülen seri RL devresine bakalım. devreyi sistem yaklaşımı içinde incelersek, Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan gerilim (v) Sistem Çıkış Değişkeni: Devrede dolaşan akım (i) olacaktır. Devre denklemi; v i di() t L Ri( t) v( t) dt Bu denklemin Laplace dönüşümü: Ls R I( s) V( s) Bu durumda transfer fonksiyonu: Is ( ) 1 V () s Ls R 46 Bu

47 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Kütle-yay- damper sisteminin transfer fonksiyonunu elde edelim: mx( t) cx( t) kx( t) F( t) ms X s csx s kx s F s ( ) ( ) ( ) ( ) ms cs k X s F s ( ) ( ) F X( s) 1 F() s ms cs k 47

48 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Şimdi de şekildeki gibi bir uydunun pozisyonunun kontrol edildiği sistemin transfer fonksiyonunu elde edelim. Kontrol Edilen Sistem : Uydu Kontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan Tork Kontrol Çıkış Değişkeni Pozisyon. Newton un ikinci yasası dairesel olarak hareket eden sistemlere uygulanırsa T J d () t T () t J dt T ( s) Js ( s) ( s) 1 T () s Js J : Eylemsizlik T : Uygulanan Tork 48

49 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ ( s) 1 T() s Js Elde edilen bu transfer fonksiyonu, blok diyagram formunda şu şekilde gösterilebilir: Ts () 1 () s Js Giriş Transfer Fonksiyonu Çıkış 49

50 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ts ( ) 1 () s Js Ts () 1 () s Js Blok diyagramlar, bir sistemdeki bileşenlerin her birinin işlevinin şekilsel olarak gösterimidir. Kontrol sistemleri genellikle çok sayıda bileşenden oluşur. Blok diyagramlar, karmaşık kontrol sistemlerinde her bir bileşenin işlevini göstermek açısından çok kullanışlıdır. Yukarıda oldukça basit bir sistemin blok diyagramı gösterilmektedir. Bu sistemde uygulanan tork Giriş, uydunun pozisyonu ise çıkış değişkenidir. Okların yönüne dikkat edilirse, blok diyagramların sadece bir şekilsel gösterim olmadığı ve kendi içinde bir cebir barındırdığı anlaşılabilir. 1 ( s) T( s) Js 50

51 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Örneğin aşağıdaki gibi kaskat bağlı iki bloktan oluşan bir blok diyagramda; Us () T() s T () s 1 Cs () C( s) T ( s) T ( s) U( s) 1 51

52 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Kütle-yay- damper sisteminin blok diyagramını oluşturalım: X( s) 1 F() s ms cs k Fs () 1 X() s ms cs k F 5

53 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ RL devresinin transfer fonksiyonu: v i Is ( ) 1 V () s Ls R V() s 1 Is () Ls R Aslında yukarıdaki blok diyagram, bir Açık Çevrim Kontrol Sistemi ne ilişkin blok diyagramdır. Açık çevrim kontrol sistemlerinde, sistem çıkışının gerçekten istenen değerde (referans değerde) olup olmadığını teşhis etmek için sistem çıkışı ile referans değer karşılaştırılmaz. Yukarıda elde edilen dinamik model kullanılarak, sistem çıkışının (akımın) istenen bir değerde olmasını sağlayacak giriş (gerilim) değeri belirlenerek sisteme uygulanır. Ancak bu sistem dinamik bir sistemdir ve çeşitli sebeplerden akım, istenen değerden sapabilir. Böyle bir durumda kontrol amacı hassas bir şekilde gerçekleştirilemeyebilir. 53

54 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Örnek bir tasarım yapalım. Bu RL devresinde gerilimin zamana göre değiştiğini düşünelim. Bu durumda di() t L Ri( t) v( t) dt LsI( s) RI ( s) V ( s) Ls R I( s) V ( s) v(t) i Is ( ) 1 V () s Ls R 54

55 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ v(t) i Is ( ) 1 V () s Ls R Bu devreden dolaşacak akımın, t zaman değişkeni olmak üzere, i(t)=te -t şeklinde değişmesini istiyoruz. Yani kontrol amacımız akımı i(t)=te -t değerine sürmek. Yukarıdaki devrede L=1 H ve R=1 Ω alalım. Bu durumda transfer fonksiyonu; olur. Is ( ) 1 V ( s) s 1 55

56 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Eğer sistem çıkışının, yani akımın, zaman domeninde, i(t)=te -t şeklinde değişmesini istiyorsak, akımın Laplace Dönüşümü olur. Elde ettiğimiz transfer fonksiyonunda bu değeri yerine yazarsak Is () 1 s 1 Is ( ) 1 s V( s) V ( s) s 1 V ( s) s 1 s 1 Yani elde ettiğimiz transfer fonksiyonu bize şunu söylüyor: Eğer sistem çıkışının, yani akımın, zaman domeninde, i(t)=te -t şeklinde değişmesini istiyorsak, sistem girişinin, yani uygulanacak gerilimin, frekans domenindeki ifadesi V(s)=1/(s+1) olmalıdır. O halde gerilimin zaman domenindeki ifadesi ne olmalıdır? 1 56

57 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Laplace Dönüşümü V(s)=1/(s+1) şeklinde olan fonksiyon: v() t e t Özetle, belirtilen kontrol amacını (yani devreden i(t)=te -t şeklinde bir akım dolaştırma amacını) yerine getirecek olan bu açık çevrim kontrol sisteminin blok diyagramı şekildeki gibidir: V() s 1 1 Is () s 1 s 1 Açık çevrim kontrol sistemlerinde, yukarıda bir örneğini yaptığımız şekilde, transfer fonksiyonunu kullanarak sistem çıkışının arzu edilen bir değeri alması için sistem girişinin değeri hesaplanır ve bu giriş sisteme uygulanır. Ancak zaman geçtikçe akımın gerçekten i(t)=te -t şeklinde değişip değişmediği ölçüm yoluyla belirlenmez. Sair sebeplerle akım bu değerden saparsa, bu durumda arzu edilen değerle gerçek değer arasında, umulmadık bir hata oluşabilir. 1 s 1 57

58 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Bu şekilde bir olası problemin çözüm yolu, bir Kapalı Çevrim (Geribeslemeli) Kontrol Sistemi kullanmaktır. Kapalı çevrim kontrol sistemlerinde, sistemin çıkışı sürekli olarak referans değerle (yani istenen değerle) karşılaştırılıp, aradaki farkın (yani hatanın) sıfır olup olmadığı belirlenir. Kontrolör, bu hata değerini sıfıra çekmek için tasarlanır. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemlerinin blok diyagramı aşağıdaki gibidir. GİRİŞ (REFERANS) R(s) HATA E(s) KONTROLÖR U(s) KONTROL EDİLEN SİSTEM ÇIKIŞ C(s) Şekilde görüldüğü gibi kapalı çevrim kontrol sistemlerinde, sistemin çıkışı bir sensör kullanılarak ölçülmekte ve bir geribesleme yolu üzerinden giriş (referans) değeriyle karşılaştırılmakta ve hata hesaplanmaktadır. Kontrolör, bu hata değerini sıfıra sürecek şekilde tasarlanır. 58

59 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Hatırlanacağı üzere transfer fonksiyonunu, bir sistemin çıkışı ile girişi arasındaki matematiksel ifadenin Laplace dönüşümü olarak tanımlamıştık. Bir açık çevrim kontrol sisteminin transfer fonksiyonunu belirlemek gayet basit olacaktır: Rs () Cs () Cs () Ts () Peki bir kapalı çevrim kontrol sisteminin transfer fonksiyonu nasıl elde edilir? Hesaplamalarda kolaylık sağlaması açısından, kontrolör ve kontrol edilecek sistemin transfer fonksiyonlarını tek bir blok olarak ifade edelim: Ts () Rs () C( s) G( s) E( s) E( s) R( s) C( s) C( s) G( s) R( s) C( s) C( s) 1 G( s) G( s) R( s) C( s) G( s) R( s) 1 G( s)

60 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ C( s) G( s) R( s) 1 G( s) Yukarıda görülen sistem, birim geribeslemeli kapalı çevrim kontrol sistemi olarak adlandırılır. Çünkü sistem çıkışı herhangi bir ek işleme tabi tutulmaksızın referans değerle karşılaştırılmaktadır, yani geribesleme yolunda herhangi bir kazanç yoktur. Aşağıdaki sistemde ise çıkış değişkeni bir H(s) bloğundan geçirilerek giriş sinyal ile karşılaştırılabilir. H(s) bazen bir sensörün kazancı olabileceği gibi, bazen de doğrudan kontrolör olabilir. E(s) G(s) H(s) Bu durumda ise kapalı çevrim transfer fonksiyonu: C( s) G( s) R( s) 1 G( s) H( s) 60

61 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Şekildeki birim geribeslemeli sistemde, G(s) transfer fonksiyonu, a. Gs () s s b. Gs () 3s4 s 0.5s0.9 3 s 3s s 4 olarak verildiğinde kapalı çevrim transfer fonksiyonunu bulunuz. C: a. s C s G s s s s s R s G s s s s s s s s 3s4 C( s) G( s) s 0.5s 0.9 b. 3 R( s) 1 G( s) s 5s.5s 3.1 ( ) ( ) s 3s ( ) 1 ( ) s

62 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Daha önce, pankreasın insan vücudunda bir doğal kontrol sistemi gibi çalıştığını söylemiştik. Eğer kandaki şeker konsantrasyonu belli bir değerin üstüne çıkarsa, pankreas insulin salgılayarak bu fazla şekeri ısı ve enerji yoluyla vücuttan atıp, kandaki şeker konsantrasyonunu normal değerine getiriyordu. Ancak sair sebeplerle pankreas hastalıklarının baş göstermesi, hastanın fazla şekeri vücuttan atamamasına sebep olur ve bu aşırı şeker konsantrasyonu çok sayıda sağlık problemini beraberinde getirir. Bu problemlerin oluşumunu önlemek için, Biyomühendislik uzmanları, Yapay Pankreas üretmişlerdir. Yapay pankreas, en basit haliyle şekilde görüldüğü gibi, bir insulin pompası ve bir glikoz sensörü içerir. Sensör, kandaki glikoz (şeker) miktarını ölçer ve kablosuz haberleşme yoluyla bu bilgiyi, insulin pompasının içindeki kontrol sistemine gönderir. Kontrol sistemi, ölçülen glikoz değeri ile referans glikoz değerini karşılaştırıp, uygun miktarda insulini bir kateter yoluyla vücuda pompalar.

63 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Aslında bu sistemin dinamik modeli nonlineerdir ancak çeşitli yaklaşım ve kabullerle, bu sistemi temsil eden lineer bir model de üretilebilir ve bu modelin blok diyagramı şekildeki gibi gösterilebilir. Geribesleme yolu üzerinde, kazancı 100 olan blok, kandaki glikoz miktarını ölçen sensörün çıkışındaki sinyalin çok zayıf olması nedeniyle bir op-amp yardımıyla 100 kat yükseltilmesini temsil eder. Şimdi bu sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunu bulalım. E(s) 0.067s s

64 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Gs () 0.067s s s s s Hs ( ) 100 C( s) G( s)... R( s) 1 G( s) H ( s) E(s) 0.067s s

65 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Kutuplar ve Sıfırlar: Bir sistemin transfer fonksiyonunun paydasını sıfır yapan değerlere o sistemin kutupları, payını sıfır yapan değerlere ise o sistemin sıfırları denir. Kutupların ve sıfırların s-düzlemindeki lokasyonu, o sistemin performansını tayin eder. Örnek olarak aşağıdaki basit transfer fonksiyonunu ele alalım: Bu sistemin sıfırları; 1 Ts () z z 5 ( s)( s5) ( s 3)( s 4)( s 9) p ve kutupları; 1 3 p p

66 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Kutuplar s-düzleminde birer işareti ile, Sıfırlar ise s-düzleminde birer Ο ile gösterilir. Bu örnekte verilen sistemin, s-düzleminin sağ yarı düzleminde 1 adet kutbu (3 noktasında) ve s-düzleminin sol yarı düzleminde ise iki adet kutbu (-4 ve -9 noktalarında) vardır. Sıfırların ise her ikisi de s-düzleminin sol yarı düzlemindedir. z z 1 5 jω p p p Ϭ 66

67 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Transfer fonksiyonu aşağıda verilen sistemin kutuplarını ve sıfırlarını bularak s-düzleminde gösteriniz. Ts () s s s 5 s 5 jω z1 5 p p p j 1 j -5-1 j 0 -j Ϭ 67

68 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Blok diyagramı aşağıda verilen birim geribeslemeli sistemin kutuplarını ve sıfırlarını bularak s-düzleminde gösteriniz. Gs () 100 s s 68

69 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ters Laplace Dönüşümü: Frekans domenindeki bir F(s) fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümü f(t), şeklinde gösterilir ve 1 F s ( ) f ( t) st F( s) f ( t) F( s) e ds j 1 1 j j formülü ile hesaplanır. Ancak pratikte yukarıdaki integral hemen hemen hiç kullanılmaz. Bunun yerine, genellikle transfer fonksiyonu gibi rasyonel formda olan F(s) fonksiyonu kısmi kesirlere ayrılarak Laplace dönüşüm tablolarında verilen ve aşina olunan bazı formlara zorlanır. Böylece zaman domenindeki f(t) fonksiyonu kolaylıkla bulunabilir. 69

70 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Frekans domenindeki bir F(s) fonksiyonu genellikle Fs () Ns () Ds () formundadır. Bu fonksiyon kısmi kesirlerine ayrılırken, paydadaki D(s) polinomu için 3 temel alternatif söz konusudur: 1) D(s) in katlı olmayan reel köklere sahip olması: Eğer F(s) fonksiyonu Fs () N( s) N( s) D s s p s p s p ( ) 1... n formunda ise, bu durumda bu fonksiyon N() s A1 A An Fs ( )... s p s p... s p s p s p s p 1 n 1 Ns () Ds () şeklinde kısmi kesirlerine ayrılır ve her bir A i katsayısı A s p formülüyle hesaplanır. Böylece her bir terimin Ters Laplace Dönüşümü olarak bulunur. i i n sp Ae i i pt i

71 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ör: Aşağıdaki fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümünü bulunuz. C: Fs () ( s1)( s) A1 A Fs () ( s 1)( s ) ( s 1) ( s ) A1 ( s 1) A ( s ) ( s 1)( s ) ( s 1)( s ) Fs () ( s 1)( s ) ( s 1) ( s ) f ( t) F( s) e e 1 t t s1 s 71

72 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Alıştırma: Aşağıdaki diferansiyel denklemi, tüm başlangıç koşullarını sıfır kabul ederek, Laplace Dönüşümü Yöntemiyle çözünüz. d y t ( ) dy( t) 1 3 y( t) 3 u( t) dt dt 7

73 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ ) D(s) in katlı reel köklere sahip olması: Eğer F(s) fonksiyonu Fs () N s s s Ds () s 1 ( ) 3 örneğinde olduğu gibi katlı reel kutuplar içeriyorsa, bu durumda bu fonksiyon Fs () B B B s 1 s1 s1 şeklinde kısmi kesirlerine ayrılır ve her bir B i katsayısı 3 N( s) d 3 N( s) 1 d 3 N( s) B3 s 1 B s 1 B1 s 1 D( s) ds D( s)! ds D( s) s1 s1 s1 formülüyle hesaplanır. Böylece fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümü olarak bulunur. f () t B e B te B t e t t t 1 3 3

74 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Eğer bu formülasyon n katlı kökü olan bir polinom için tümevarım ile genelleştirilirse herbir B i terimi ifadesi ile hesaplanır. ni 1 d n N( s) Bi ( s p) ni ( n i)! ds D( s) sp Ör: Aşağıdaki fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümünü bulunuz. Fs () ( s1)( s) f ( t) e te e t t t C: 74

75 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ 3) D(s) in kompleks köklere sahip olması: Öğrenciye bırakılmıştır. (Not: Tabiattaki sistemlerin önemli bir kısmında, özellikle elektromekanik sistemlerde, eğer sistemin kompleks bir kutbu varsa onun eşleniğini de sistemin bir kutbudur. Ancak yine de kutupların eşlenik olmadığı durumu da incelemeniz önerilir.) Ör: Fs () s s 3 s 5 t 1 t f ( t) e cos t sin t e cos t 6.57

76 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ters Laplace Dönüşümünü kullanılarak, transfer fonksiyonu ve/veya blok diyagramı verilmiş bir sistemin çıkışının zamana göre değişiminin ifadesi bulunabilir. Aşağıdaki basit sistemi göz önünde bulunduralım: Rs () Gs () 1 s Cs () Cs ( ) 1 Bu sistemin transfer fonksiyonu: R( s) s Eğer bu sisteme giriş sinyali olarak birim adım girişi, r(t)=u(t), uygulanırsa, bu durumda R(s)=1/s ve dolayısıyla C( s) R( s) G( s) 1 ss ( ) olur. Eğer bu ifade kısmi kesirlerine ayrılarak Ters Laplace Dönüşümü hesaplanırsa, çıkışın zamana göre değişiminin ifadesi bulunur ve herhangi bir t anında sistem çıkışının alacağı değer hesaplanabilir. t c( t) e 76

77 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ EET305 MM306 EEM304 OTOMATİK SİSTEM KONTROL DİNAMİĞİ SİSTEMLERİNE KONTROL I GİRİŞ Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu 77

78 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Elektrik devrelerinde kullanılan üç temel pasif devre elemanına ilişkin denklemler, aşağıdaki tabloda görüldüğü gibidir. Komponent Gerilim-Akım Akım-Gerilim Empedans Admitans Kirchhoff un akımlar ve gerilimler yasası kullanılarak, ayrıca çevre akımları düğüm gerilimleri gibi klasik devre analiz yöntemleri de kullanılarak, bir elektrik devresini modelleyen diferansiyel denklemler yazılır ve Laplace dönüşümü yöntemiyle bu denklemler frekans domeninde ifade edilir. Daha sonra da giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki transfer fonksiyonu elde edilir. Böylece bu transfer fonksiyonu kullanılarak devrenin dinamik davranışı incelenebilir. 78

79 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Aşağıdaki örnekte, oldukça basit bir devrenin çevre akımları yöntemiyle analizi ve transfer fonksiyonunun türetilmesi açıklanmaktadır. Ör: Aşağıdaki devrede a) Devreye uygulanan gerilim V(s) ile devreden akan akım I(s) arasındaki transfer fonksiyonunu elde ediniz. b) Eğer kondansatör uçlarındaki gerilim V C (s) çıkış değişkeni olarak seçilirse, bu durumda devreye uygulanan gerilim ile kondansatör uçlarındaki gerilim arasındaki transfer fonksiyonunu türetiniz. C: Devreyi modelleyen denklem, di( t) 1 L Ri( t) i( t) dt v( t) dt C Denklemin Laplace dönüşümü alınırsa 1 LsI ( s) RI ( s) I( s) V ( s) Cs 79

80 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ 1 Ls R I( s) V ( s) Cs Bu denklemin, [Empedansların Toplamı]I(s)=[Uygulanan Gerilimlerin Toplamı] formunda olduğuna dikkat ediniz. Bu durumda çıkış değişkeni I(s) ile giriş değişkeni V(s) arasındaki transfer fonksiyonu şu şekilde elde edilir: Is ( ) 1 V() s 1 Ls R Cs Analizlerde çok daha kullanışlı olması sebebiyle transfer fonksiyonu genellikle s in azalan üstlerine göre yazılır. Bu nedenle yukarıdaki transfer fonksiyonu daha kullanışlı bir formda aşağıdaki gibi yazılabilir: Is () V() s s 1 s L R s L 1 LC 80

81 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Eğer kondansatör uçlarındaki gerilim V C (s) çıkış değişkeni olarak seçilirse, 1 V ( ) ( ) C s I s Cs olduğu için transfer fonksiyonu şu şekilde olur: I( s) 1/ LC V() s R 1 s s L LC 81

82 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Metodolojik olarak, çevre akımları yöntemi kullanılması durumunda elektrik devrelerinin Laplace Dönüşümü yoluyla analizi ve transfer fonksiyonunun elde edilmesine ilişkin aşağıdaki adımlar takip edilebilir: Devredeki pasif elemanların her birinin empedansı frekans domeninde ifade edilip, her bir akım ve gerilim değişkenleri de frekans domeninde yazılır. Kirchhoff un Gerilimler Kanunu kullanılarak her bir çevre için denklemler yazılır. Bu denklemler, çıkış değişkeni için çözülerek giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki transfer fonksiyonu türetilir. 8

83 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Aşağıdaki örnekte ise, iki göz (çevre) içeren bir devrenin çevre akımları yöntemiyle analizi ve transfer fonksiyonunun türetilmesi açıklanmaktadır. Ör: Aşağıdaki devrede devreye uygulanan gerilim V(s) ile devreden akan akım I (s) arasındaki transfer fonksiyonunu elde ediniz. C: Öncelikle devre değişkenlerini aşağıdaki gibi frekans domeninde ifade edelim: 83

84 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Herbir çevreye ilişkin denklemler: R Ls I ( s) LsI ( s) V ( s) LsI1( s) Ls R I( s) 0 Cs Bu iki denklem, I (s) için çözülürse (Cramer kuralı ya da başka herhangi bir metod ile), aşağıdaki ifade elde edilir: ( R1 Ls) Ls Ls I( s) V ( s) 1 Ls Ls R Cs Bu durumda I (s) ile V(s) transfer fonksiyonu da aşağıdaki gibi elde edilir: I() s LCs V () s R R LCs R R C L s R

85 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Yine metodolojik olarak, çevre denklemlerinin yazılmasına ilişkin aşağıdaki yapı takip edilebilir ve bu yapı n tane çevre içeren bir devreye genellenebilir. 1 nolu çevreye ilişkin Her iki çevre için ortak 1 nolu çevreye ilişkin 1( ) ( ) empedansların toplamı I s I s empedansların toplamı gerilimlerin toplamı Her iki çevre için ortak ( ) nolu çevreye ilişkin ( ) nolu çevreye ilişkin empedansların toplamı I s I s empedansların toplamı gerilimlerin toplamı 1 85

86 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ EET305 MM306 EEM304 OTOMATİK SİSTEM KONTROL DİNAMİĞİ SİSTEMLERİNE KONTROL I GİRİŞ Kontrol Kavramı Laplace Dönüşümü Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu 86

87 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Tıpkı elektriksel sistemler gibi mekanik sistemlerin de girişiyle çıkışı arasında, yani sisteme uygulanan etki ile sistemin buna tepkisi arasında bir transfer fonksiyonu türetilebilir ve bu yolla çeşitli etkiler için sistemin dinamik davranışı (tepkisi) analiz edilebilir. Hatta bu alt bölümün sonunda vurgulanacağı gibi elektriksel sistemlerle mekanik sistemlerin modellenmesi ve dinamik davranışı arasında bir analoji (benzerlik) de kurulabilir. Mekanik sistemleri, Doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemler Dönen mekanik sistemler olarak iki alt başlıkta inceleyeceğiz. Doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemler: Hatırlanacağı üzere elektrik devlerinde üç temel pasif devre elemanı vardır. Bunlardan kapasitör ve bobin enerji depolayan elemanlar iken, direnç enerji tüketen devre elemanıydı. Benzer bir durum mekanik sistemler için de söz konusudur. 87

88 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemlerde üç temel devre elemanı vardır. Bunlardan kütle ve yay enerji depolayan elemanlar iken, viskoz damper enerji tüketen elemandır. Bu elemanların her birinin sembolleri, kuvvet-hız ve kuvvet-konum denklemleri aşağıdaki tabloda görüldüğü gibidir. Tabloda K, f v ve M sırasıyla yay sabiti, viskoz sürtünme katsayısı ve kütle olarak adlandırılır. Bu tabloya bakarak mekanik sistemlerdeki büyüklükler ile elektriksel sistemlerdeki büyüklükler arasında kolaylıkla analoji kurulabilir. Mekanik kuvvet gerilime, kuvvetin oluşturduğu hız ise akıma benzemektedir. Ayrıca yay kapasitöre, viskoz damper dirence ve kütle indüktöre (bobine) benzemekte, yani benzer bir dinamik davranış göstermektedir. 88

89 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Şimdi doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemlerin transfer fonksiyonunu türetebiliriz. Örnek olarak aşağıdaki sistemi göz önünde bulunduralım. Bu mekanik sistem, tıpkı bir RLC devresi gibidir. Sisteme bir f(t) kuvveti (giriş) uygulanmakta ve bu kuvvet kütleyi x(t) (çıkış) kadar yer değiştirmektedir. Mekanik sistemlerin analizini basitleştirmek için, kütleye etki eden kuvvetler şekildeki diyagramda görüldüğü gibi çizilir ve tıpkı elektrik devrelerinde Kirchhoff kanunlarının kullanıldığı gibi mekanik sistemlerde de Newton Kanunları kullanılarak devreyi modelleyen diferansiyel denklem türetilir. Ortadaki şekilde kütleye etki eden kuvvetler zaman domeninde, sağdaki şekilde ise frekans domeninde yazılmıştır. 89

90 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Eylemsizlik yasasına göre, cisme etkiyen kuvvetlerin vektörel toplamı d x( t) dx( t) M f ( ) ( ) v Kx t f t dt dt diferansiyel denklemini verir. Tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edildiğinde bu diferansiyel denklemin Laplace dönüşümü şu şekilde olur: Ms X s fvsx s KX s F s ( ) ( ) ( ) ( ) Ms fvs K X s F s ( ) ( ) 90

91 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Ms fvs K X s F s ( ) ( ) Elde edilen bu denklemin, elektrik devrelerindekine benzer şekilde, [Empedansların Toplamı]X(s)=[Uygulanan Kuvvetlerin Toplamı] formunda olduğuna dikkat ediniz. Bu denklem kullanılarak, artık transfer fonksiyonu yazılabilir: X( s) 1 F s Ms f s K () v

92 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ Şekildeki gibi İki Serbestlik Dereceli Two Degrees of Freedom bir mekanik sistemde, yani serbest olarak hareket eden iki cismin bulunduğu sistemde, sistemi modelleyen diferansiyel denklem sayısı iki olacaktır (tıpkı iki gözlü bir elektrik devresi gibi). Bu durumda her bir cisme etki eden kuvvetlerin diyagramı çizilir ve bu yolla denklemler elde edilir. 9

93 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ MÜHENDİSLİĞİ M1s fv 1 fv3 s ( K1 K) X1( s) fv3s K X ( s) F( s) fv3s K X1( s) M s fv fv3 s ( K K3) X ( s) 0 X 1 (s) ve X (s) değişkenlerinden hangisi çıkış değişkeni olarak seçilirse bu denklemler o değişken için çözülerek transfer fonksiyonu elde edilir. 93