11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler fonksiyonu 7. Özel bazı teoremler 8. Diofant denklemler 9. Alıştırmalar 1. Asal sayılar 1.Tanım: -1,0,1 den farklı bir p sayısının p,-1,1,p den başka böleni yoksa bu sayıya asal sayı denir. -1,0,1 den farklı asal olmayan bir sayıya bileşik sayı denir. 1.Örnek: 2,-3,5,7,-11,29,41,-97,8191 asal sayılar 4,15,27,76 bileşik sayılar yanlıştır. 3+5 2+4 Uyarı: p tam sayı asal ise p de asaldır. 1.Teorem: Herhangi bir p asal sayısı, bir a tam sayısı ile ya aralarında asaldır, veya p sayısı a sayısına böler. İspat: p asal olduğundan OBEB(p,a) ya 1 dir, veya p dir. OBEB(p,a)=1 ise (a,p)=1. OBEB(p,a)=p ise p a. 2.Teorem: ve p asal sayı olsun. İspat: ise teorem doğrudur. p nin yı bölmediğini varsayalım. ( ) ve ( ). 3.Teorem: : ve p asal sayı olsun. ( ) ( ) İspat: Tümevarım yöntemi. n=1 ise doğrudur. B(n): ( ) ( ) B(n+1): ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) veya ( ) veya 1
1.Sonuç: : p, ve asal sayılar olsun. ( ) ( ) 2.Tanım: Bir tam sayını çarpanlarına ayırmak demek, bu tam sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazmak demektir. 4.Teorem (Aritmetiğin Temel Teoremi): 1 den büyük her tam sayı ya asaldır, ya da bu tam sayı asal sayıların çarpımı olarak çarpanların sırası önemli olmamak üzere bir tek biçimde yazılabilir. 5.Teorem: Pozitif bir tam sayının 1 den farklı pozitif bölenlerinin en küçüğü asal sayıdır. 6.Teorem: olacak biçimde en büyük pozitif tam sayı k olduğuna göre, a nin k den küçük veya k ya eşit olan pozitif bir asal böleni vardır. İspat: p sayı a sayının en küçük asal böleni olsun. ve. olduğunu varsalayım. ve ve ve ( ) Bu sonuç k nin ifadesini doğrulayan en büyük tam sayı olması ile çelişir. 2.Örnek: 359 sayısının asal sayı olduğunu gösteriniz. Karesi 359 küçük olan en büyük sayı 18 dir. 2,3,5,7,11,13,17 sayılarından 359 a böleni olan bulunmadığından 359 asal sayıdır. 2. Bir tam sayının bölenleri 3.Teorem: Pozitif bir a tam sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi, olduğuna göre a pozitif bölenlerinin ( ) sayısı, ( ) dir. 3.Örnek: 1400 sayısının kaç tane pozitif böleni vardır? (3+1)(2+1)(1+1)=4.3.2=24 4.Teorem: Pozitif bir a tam sayının pozitif bölenlerinin sayısı ( ) olduğuna ( ) göre, a nin pozitif bölenlerinin çarpımı dır. 4.Örnek: 60 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı (2+1)(1+1)(1+1)=2.3.2=12 12:2=6 5.Teorem: Pozitif bir a tam sayısının asal çarpanlarının kuvvetlerine bağlı olarak yazılış biçimi, olduğuna göre a nın pozitif bölenlerinin toplamı ( ) ise, ( ) dir. 5.Örnek: 120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı 2
=15.4.6=360 3. Modüler aritmetik 3.Tanım: olsun. için, sayısı m sayısına bölünüyorsa x sayısı y saysyna m modülüne göre denktir, denir. Simgesi: ( ) için m modülüne göre denk olmadığı: ( ) Tamıma göre, 5.Örnek: ( ) olduğundan ( ) ( ) olduğundan ( ) 6.Teorem: ve olsun. ( ) dir. 7.Teorem: ve olsun. ( ) x ile y nin m ye bölünmesinden elde edilen kalanlar eşittir. 8.Teorem: ve olmak üzere ( ) ve ( ) ise aşağıdaki önermeler doğrudur: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) 9.Teorem: ve olsun. 10.Teorem: ve olsun. ( ) 11.Teorem: 4. Bölünebilme kuralları 12.Teorem: olsun. 3
a) a nın 2 ile bölünebilmesi için birler basamağındaki rakamın gösterdiği sayının 2 ile bölünmesi gerekir ve yeter b) a nın 5 ile bölünebilmesi için birler basamağındaki rakamın gösterdiği sayının 5 ile bölünmesi gerekir ve yeter c) a nın 3 ile bölünebilmesi için basamaklardaki rakamların gösterdiği sayıların toplamı 3 ile bölünebilmesi gerekir ve yeter d) a nın 9 ile bölünebilmesi için basamaklardaki rakamların gösterdiği sayıların toplamı 9 ile bölünebilmesi gerekir ve yeter 5. Lineer modüler aritmetik 4.Tanım: ve olsun. ( ) denkleme m modüllü lineer denklem denir. ( ) açık önermesi için doğru ise a m modüllü lineer denkleminin bir kökü veya bir çözümü denir. 13.Teorem: ve olsun. ( ) olmak üzerine, ( ) açık önermesinin deki doğruluk kümesinin boş kümeden farklı olması için, d nin b yi bölmesi gerekir ve yeter. İspat: ( ) açık önermesinin deki doğruluk kümesi D olsun. ve = 14.Teorem: ve olsun ( ) açık önermesinin deki doğruluk kümesinin D olduğuna göre, ( ) 15.Teorem: ve olsun. ( ) olsun. a) d sayısı b sayısını bölmüyorsa, ( ) açık önermesinin deki doğruluk kümesi boş kümedir. b) d sayısı b sayısını bölüyorsa, ( ) açık önermesinin deki doğruluk kümesi m nın farklı kalan sınıflarından d tanesinin birleşimidir. 6. Euler fonksiyonu 4
5.Tanım: olsun. ile aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısı ( ) olduğuna göre dan ye tanımlanan fonksiyonuna Euler`in fonksiyonu denir. 6.Örnek: ( ) 18 ile asal pozitif tam sayılarının kümesi A={1,5,7,11,13,17}. 16.Teorem: olsun. asal ise ( ) 7.Örnek: ( ) 17.Teorem: aralarında asalolsun. ise ( ) 7. Özel bazı teoremler 17.Teorem (Wilson): asal sayı ise 18.Teorem (Euler): ( ) ( ) tam sayısı pozitif bir m tam sayısı ile asal ise 19.Teorem (Fermat): tam sayısı pozitif bir p asal sayısı ile bölünemiyorsa, ( ) 8. Diophant denklemler 5.Tanım: ( ) biçimde yazılan denklemlere Diophant denklemler denir, burada değişkenlerin değerleri tam sayılar, P tamsayılı fonksiyondur (katsayıları tam sayılar olan polinomlar da olabilir). Örnek Bu eşitlikte her bir x değeri için tek bir y çözümü vardır ( kümesi; (X, 1 X) şeklindedir her X Z için ). Bu eşitliğin çözüm Bu defa x'in herhangi bir tam sayı olamayacağı fakat sadece tek sayı olabileceği görülüyor ( ). Bu eşitliğin çözüm kümesi; (1-2y, y) şeklindedir her y Z için 5
Bu eşitliğin çözüm kümesi boş kümedir. Her ve tam sayı seçimi için bu denklemin sol tarafı her zaman 3'ün katı olduğu halde sağ tarafı hiç bir zaman 3'ün katı olamaz. Şeklindedir. Burada a, b ve c tam katsayılar ve tamsayı değişkenlerdir. Burada tamsayıları dik üçgenin kenar uzunluklarını da temsil ettiği için Pisagor üçlemi olarak da adlandırılır. Fermat Denklemi Bu eşitliğin yoktur., n > 2 tamsayı değişkenlerinden en az birinin 0 olması durumu dışında çözümü Pell'in Denklemi, n>0 ve n tamsayısı tam kare değildir 11.Alıştırmalar 1. 179, 539,267,781 sayılarından hangileri asal sayı, hangileri bileşik sayıdır? 2. 4680,1273 ve 1321 sayılarından her birinin kaç tane pozitif böleni vardır? 3. 4680,1273 ve 1321 sayılarından her birinin pozitif bölenleri toplamı nedir? 4. için ( )olduğunu gösteriniz. 5. ( ) açık önermesini doğrulayan en küçük pozitif tam sayı hangisidir? 6. sayısının 6 ile bölünmesinden elde edilen kalan nedir? 7. sayısının 7 ile bölünmesinden elde edilen kalan nedir? 8. Her n doğal sayısı için ( ) sayısının 7 sayısına bölündüğünü gösteriniz. 9. Her n doğal sayısı için sayısının 7 sayısına bölündüğünü gösteriniz. 10. Her n doğal sayısı için sayısının 8 sayısına bölündüğünü gösteriniz. 11. Her n doğal sayısı için sayısının 8 sayısına bölündüğünü gösteriniz. 12. Aşağıdaki açık önermelerden her birinin deki doğruluk kümesi nedir? a) ( ) b) ( ) 13. asal sayı olsun. önermesinin doğru olup olmadığını gösteriniz. 14. asal sayı ise ( ) sayısının p ile bölündüğünü gösteriniz. 15. ( ) denkleminin çözüm cümlesini bulunuz. 6
16., p asal sayı ise sayısının p ile bölündüğünü gösteriniz. 7