. ÜNİTE Sılr ve Cebir 9. DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Trihte ilk ölçme tekikleri prmk klılığı, el geişliği, krış, k gibi ort bodki bir isı vücududki prç ve mesfelerde ol çıkılrk oluşturulmuştur. Fkt ticret ve ülkeler rsı ilişkiler geliştikçe bu ötemler eterli gelmemiştir. Kuumculr çok değerli ltı ve gümüş gibi ziet eşlrıı strke hsss terzi kullırlr. Terzi, bir cismi ve mddei kütlesii ölçmee r lettir. E gı kullılı eşit kollu terzidir. Terzile kütle ölçme işlerie trtm deir. Eşit kollu terzide trtm, ölçülecek kütle, bilie kütlelerle mukese edilerek pılır. Bulrd, ort oktsıd bir bıçk sırtı bulu terzi kolu ve bu kolu uçlrı sılı dur iki kefe vrdır. Bir kefee kütlesi ölçülecek cisim, diğer kefee bilie stdrt kütleler koulrk dege sğlır. Bu trtı sistemide erçekimi kuvveti her iki kefee de ı şiddette etkidiğide trtı erçekimi ivmeside bğımsızdır. Yi eşit kollu terzile dü, ve diğer gezegelerde trtı pıls ı souçlr lıır. Eşit kollu terzii deklem ve eşitsizliklerle e gibi bezer öleri olbilir? Deklem ve eşitsizliklerde çözüm prke kedi rlrıd bilimeeli ifdeleri ve sılrı, eşit kollu terzii kefelerie bezetebilir miiz? Deklem ve eşitsizliklerde çözüm kümesie ulşmk içi bilimeeli ifdeleri ve sılrı e şekilde grupldırıp işlemler pmlıız? Deklem ve eşitsizlikleri çözüm kümesii oluştur elemlrı frklı ollrd sıl bulbilirsiiz? Açıklıız. 0
Sılr ve Cebir. ÜNİTE 9.. Gerçek Sılr A = " ;-5 # # 6,! Z, kümesi verilior. ) Sm sılrıd oluş küme {,,,, 5, 6} dır. b) Doğl sılrd oluş küme {0,,,,, 5, 6} dır. c) Tm sılrd oluş küme { 5,,,,, 0,,,,, 5, 6} dır. ç) Negtif tm sılrd oluş küme { 5,,,, } dir. d) Pozitif tm sılrd oluş küme {,,,, 5, 6} dır. e) 5 ve 6 tm sılrı rsıd bşk bir tm sı oktur. Ack bu iki tm sı rsıd sılmck kdr çok şeklide ^b! 0h rsoel sı zılbilir. b Sm sılrı kümesi N + = {,,,...}, doğl sılr kümesi N = {0,,,,...}, tm sılr kümesi Z = {...,,, 0, +, +,...}, rsoel sılr kümesi ise Q = & ; b,! Zb, 00 şeklide b ifde edilir. sısıı rsoel sı olmdığıı gösterelim., b Z + ve ile b rlrıd sl iki tm sı olsu. = içi, her iki trfı kresii llım. b = & = b olur. b b çift olduğud çift sıdır. O hâlde sısı d çifttir. k Z + içi = k biçimide zbiliriz. = b eşitliğide (k) = b k = b b = k olduğud b de çift sıdır. Bu göre b sısı d çifttir. Hem ı hem de b i çift sı olmsı ile b i rlrıd sl olmsı ile çelişmektedir. O hâlde değildir. = (, b Z, b 0) şeklide zmız. Dolısıl rsoel sı b
. ÜNİTE Sılr ve Cebir sısıı sı doğrusu üzeride gösterelim. C A B D 0 ABC dik üçgeide, AB + BC = AC + = AC + = AC AC = br dir. AC rıçplı ve A merkezli çemberi sı doğrusuu kestiği okt D oktsı olduğu göre AD = br olur. AC = AD olduğud D oktsı e krşılık gelir. Rsoel olm sılr irrsoel sılr deir. (,,...vb.) İrrsoel sılr kümesi Ql ile gösterilir. Rsoel ve irroel sılrı oluşturduğu kümee gerçek sılr kümesi dı verilir ve R ile gösterilir. ^Q, Ql = Rh. Bu göre N Z Q R dir. Toplm İşlemii Özellikleri. Kplılık özelliği:, b R olmk üzere + b R olur. Bu göre gerçek sılr kümesi toplm işlemie göre kplıdır.. Değişme özelliği:, b R olmk üzere + b = b + olur. Bu göre gerçek sılr kümeside toplm işlemii değişme özelliği vrdır.. Birleşme özelliği:, b, c R olmk üzere ( + b) + c = + (b + c) olur. Bu göre gerçek sılr kümeside toplm işlemii birleşme özelliği vrdır.. Etkisiz elem: R olmk üzere + 0 = 0 + = 0 olur. Bu göre gerçek sılr kümeside toplm işlemii etkisiz elemı 0 dır. 5. Ters elem: R olmk üzere + ( ) = ( ) + = 0 olur. Bu göre gerçek sılr kümeside toplm işlemie göre her elemı tersi vrdır.
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Çrpm İşlemii Özellikleri. Kplılık özelliği:, b R olmk üzere b R olur. Bu göre gerçek sılr kümesi çrpm işlemie göre kplıdır.. Değişme özelliği:, b R olmk üzere b = b olur. Bu göre gerçek sılr kümeside çrpm işlemii değişme özelliği vrdır.. Birleşme özelliği: b c R olmk üzere ( b) c = (b c) olur. Bu göre gerçek sılr kümeside çrpm işlemii birleşme özelliği vrdır.. Etkisiz elem: R olmk üzere = = olur. Bu göre gerçek sılr kümeside çrpm işlemii etkisiz elemı dir. 5. Yut elem: R olmk üzere 0 = 0 = 0 olur. Bu göre gerçek sılr kümeside çrpm işlemii ut elemı 0 dır. 6. Ters elem: R ve 0 olmk üzere $ = $ = olur. Bu göre gerçek sılr kümeside çrpm işlemie göre her elemı (0 hriç) tersi vrdır. 7. Dğılm özelliği:, b, c R olmk üzere (b + c) = b + c ve (b + c) = b + c olur. Bu göre gerçek sılr kümeside çrpm işlemii toplm işlemi üzerie sold ve sğd dğılm özelliği vrdır. Sı doğrusud gerçek sılr kümesii her elemı bir okt krşılık gelir. Gerçek sılrl gösterile herhgi bir sırlı ikili de koordit sistemide ie bir okt krşılık gelir. A ( ), B(0) ve C(+) oktlrıı sı doğrusud; D(+, +), E(, +), F(, ) ve G(+, ) oktlrıı ise koordit sistemide gösterelim. + A B C 0 + + + E(, +) + + D(+, +) Gerçek sılr (R) sı doğrusud, R R ise koordit sistemide gösterilir. + F(, ) + + G(+, )
. ÜNİTE Sılr ve Cebir Ac m, Bc - m C(5), D( ) ve O(0) oktlrıı sı doğrusud gösterelim. D B O A C 5-0 5 A(, ), B(, ), C(, ) ve D(, ) oktlrıı koordit sistemide gösterelim. A(, ) D(, ) C(, ) B(, ) ALIŞTIRMALAR. Aşğıdkilerde hgisi irrsoel sıdır? A) B) 5 C) 9 D) 0 E). 5 sısıı sı doğrusud gösteriiz.. Aşğıdki ifdelerde kç tesi doğrudur? I. Gerçek sılr kümesi Z ile gösterilir. II. Gerçek sılr kümeside toplm işlemii etkisiz elemı dir. III. Gerçek sılr kümesii her elemı sı doğrusud bir okt krşılık gelir. IV. Gerçek sılr kümeside çrpm işlemii ut elemı 0 dır. V. 5 sısıı çrpm işlemie göre tersi 5 tir. A) B) C) D) E) 5. A( 7), B( ), C() oktlrıı sı doğrusud; D(, ), E(, 5), F(, ) ve G(, ) oktlrııd koordit düzlemide gösteriiz.
Sılr ve Cebir. ÜNİTE 9.. Birici Derecede Deklem ve Eşitsizlikler $ eşitsizliğii sı doğrusud gösterelim. 0 8 eşitsizliğii çözüm kümesii N de bullım. 8 8 + Ç = {0,,,,, 5} 6 Eşitsizliği Özellikleri Çözüm kümesideki elemıı eşitsizliği sğlıp sğlmdığıı kotrol edelim. 8 6 8 8 souç doğrudur. Her, b, c, d! R içi,. b, = b ve b de lız biri doğrudur. (Üç durum özelliği). b ve b c ise c dir. 6 ve 6 9 ise 9 dur.. b + + c b + c Eşitsizliği her iki trfı ı sı ekleir ve her iki trft ı sı çıkrılırs eşitsizlik ö değiştirmez. 5 9 + 5 + 9 + 9 tür. b. b ve c 0 & c b c ve c c dir. Eşitsizliği her iki trfı pozitif bir sı ile çrpılır ve bölüürse eşitsizlik ö değiştirmez. 6 ve 0 6 & 6 8 dir. b 5. b ve c 0 & c b c ve c c dir. Eşitsizliği her iki trfı egtif bir sı ile çrpılır ve bölüürse eşitsizlik ö değiştirir. 5 7 ve 0 5 ( ) 7 ( ) & 0 tür. 5
. ÜNİTE Sılr ve Cebir 6. b ve c d & + c b + d dir. Aı ölü eşitsizlikler toplbilir. ve + + & 7 dir. 7., b, c, d! R + içi b ve c d & c b d dir. 6 ve 7 8 7 6 8 & 8 dir. 8. ve b ı işretli iki sı, b & dir. b 9 & dur. 9 9. ve b ters işretli iki sı, 0 b & 0 dir. b - - 0 5 & 0 5 tir. 0, = b ve b = c verilior., b ve c reel sılrıı sırllım. 0 olduğud b 0 dır. b 0 olduğud b = c eşitliğide c 0 dır. Bu durumd sırlm b c olur. Gerçek Sılr Kümeside Arlık Kvrmı b,! R ve < b olmk üzere,. " ; b,! R, ve b sılrıı rsıdki tüm sılrd oluş rlığ çık rlık deir. (, b) şeklide gösterilir. b ^b, h = " ; b,! R, 6
Sılr ve Cebir. ÜNİTE " ; 6,! R, kümesie krşılık gele rlığı sı doğrusud gösterelim. " ; 6,! R, kümesie krşılık gele rlık (, 6) dır. Sı doğrusud gösterim şekli şöledir. 0 5 6 7 8. " ; # b,! R, ve" ; # b,! R, ve b sılrıd birisi ve rsıdki tüm sılrd oluş rlığ rı çık rlık deir. [, b) ve (, b] şeklide gösterilir. " ;- #,! R, kümesie krşılık gele rlığı sı doğrusud gösterelim. " ;- #,! R, kümesie krşılık gele rlık [, ) tür. Sı doğrusud gösterim şekli şöledir. 0 " ;- #,! R, kümesie krşılık gele rlık (, ] dir. Sı doğrusud gösterim şekli şöledir: 0. " ; # # b,! R, ve b sılrı ile rsıdki tüm sılrd oluş rlığ kplı rlık deir. [, b] şeklide gösterilir. " ; 0 # # 5,! R, kümesie krşılık gele rlık [0, 5] tir. Sı doğrusud gösterim şekli şöledir: 0 5 6 7 7
. ÜNİTE Sılr ve Cebir A = " ; # 7,! R, ve B = " ; # 9,! R, kümeleri verilior. A B ve A B kümelerii belirttiği rlıklrı sı doğrusud gösterelim. A = " ; # 7,! R, = 67, h B = " ; # 9,! R, =^, 9@ 7 9 A+ B = ^7, h A, B = 69, @ 7 9 7 = 8 deklemii çözüm kümesii N, Z, Q ve R de gösterelim. 7 = 8 7 = 8 + 7 = 0 0 = 7 0 N ve Z de Ç =, Q ve R de Ç = ' dir. 7 ( + ) + ( ) = 0 deklemii R de çözüm kümesii bullım. ( + ) + ( ) = 0 + + = 0 + = + 5 = - = 5 Ç = '- tir. 5, b, R ve 0 olmk üzere + b = 0 şeklideki deklemlere birici derecede bir bilimeeli deklem deir. değerii oluştur kümee çözüm kümesi deir. 8
Sılr ve Cebir. ÜNİTE + b = 0 deklemide;. 0 içi deklemi çözüm kümesi Ç b = &- 0 dır ve çözüm kümesi bir elemlıdır.. = 0 ve b = 0 ise çözüm kümesi sosuz elemlıdır. ( Ç = R). = 0 ve b 0 ise çözüm kümesi boş kümedir. (Ç = ) ( ) + = 7 deklemii R de çözüm kümesii bullım. ( ) + = 7 + = 7 7 = 7 0 = 0 Ç = R + + ( + ) = 5 ( ) deklemii R de çözüm kümesii bullım. + + ( + ) = 5 ( ) + + + = 5 5 5 + 6 = 5 5 6 5 Ç = ( ) + b + = 0 deklemii çözüm kümesi sosuz elemlı ise ve b değerlerii bullım. ( ) + b + = 0 = 0 b + = 0 = b = olur. = 5 = 0 + deklemii çözüm kümesi olduğu göre değerii bullım. 5 = 0 + 5 0 = 0 5 0 = 0 5 = 0 (5 0) 6 = 0 = 5 0 = 0 olmlı. 9
. ÜNİTE Sılr ve Cebir 5 7 # + 9 eşitsizliğii N ve R de çözüm kümelerii bullım ve sı doğrusud gösterelim. 5 7 # + 9 N de Ç = {0, } 7 # 9 5 0 # R de Ç = " ; #,! R, # 0 8 $ + 5 eşitsizliğii R de çözüm kümesii bullım ve sı doğrusud gösterelim. 8 $ + 5 8 $ 5 + $ 6-6 # - # - 0 + # + 7 eşitsizliğii R de çözüm kümesii bullım ve sı doğrusud gösterelim. + # + 7 + # ve + 7 + # 7 + # 0 # 5 Ç = " ; # 5,! R, 0 5 50
Sılr ve Cebir. ÜNİTE, Z olmk üzere - # 5 ve # 7 ise ifdesii lbileceği e büük tm sı değerii bullım. i e büük tm sı değeri içi e büük, e küçük değeri lmlıdır. - # 5 rlığıd i e büük tm sı değeri 5, # 7 rlığıd i e küçük tm sı değeri olur. Bu göre; = 5 = 0 6 = olur. 6 + eşitsizliğii sğl i tm sı değerlerii bullım. 6 + eşitsizliğii iki prç ırlım. 6 6 + 6 + 6 8 6 Çık souçlrı birleştirirsek elde edilir. Bu rlıktki tm sılrı,, 0 ve dir. 7 + # 5 + 0 eşitsizliğii sğl i doğl sı değerlerii bullım. 7 + # 5 + 0 7 5 # 0 # 6 # Bu göre doğl sılrı,, ve 0 dır. - - # eşitsizliğii çözüm kümesii R de zlım. - - # Her trfı ile çrplım. ( ) # - 6 # 8 Her trf ekleelim. 6 + # + 8 + # 0 Ç = " ;- # 0,! R, 5
. ÜNİTE Sılr ve Cebir ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki eşitsizlikleri sı doğrusud gösteriiz. ) # b) - c) 0 ç) $-5. Aşğıdki rlıklrı sı doğrusud gösteriiz. ) ^ 07, @ b) ;-, m c) c-, m ç) 6-5, 9@. bc,,! R, 0 olmk üzere = 5b ve b = c olduğu göre, b ve c i küçükte büüğe doğru sırlıız.. ( ) + + = ( + ) + deklemii çözüm kümesii N, Z ve R de buluuz. 5. - 5 7 + + = - deklemii çözüm kümesi şğıdkilerde hgisidir? 5 5 7 A) '- B) &- 0 C) & 0 D) & 0 E) ' 7 7 5 6. = deklemii çözüm kümesii olmsı içi e olmlıdır? A) B) C) D) 5 E) 6 7. Aşğıdki eşitsizlikleri çözüm kümelerii N, Z ve R de buluuz. ) + # 5 b) 7 + $ c) - # + + ç) - + 5+ 9 d) + + # 6 - e) - 7 - - 8.,! Z, - # ve - 5 # 9 ise ifdesii e büük tm sı değeri şğıdkilerde hgisidir? A) 8 B) 0 C) D) E) 6 9. + -5 # # eşitsizliğii çözüm kümesii R de buluuz. 5 0. Aşğıdki ifdeleri öüe doğru ise D, lış ise Y zıız. ) Bir eşitsizliği her iki ı ı sı ekleip çıkrılbilir. b) Bir eşitsizliği her iki trfı pozitif bir sı ile çrpılırs eşitsizlik ö değiştirir. c) Bir eşitsizliği her iki trfı egtif bir sı ile çrpılırs eşitsizlik ö değiştirmez. ç) Aı ölü eşitsizlikler trf trf toplbilir. 5
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Mutlk Değer Sıcklık bir cismi diğer cisimlere ısı trsferi pbilme ve olrd ısı lbilme kbilietii belirtilmesi durumudur. Gülük ve mevsimlik sıcklık frklrı, kıılrd dh z olduğu hâlde, iç bölgelerde dh fzldır. Yerüzüdeki sıcklık dğılımıdki frklılıklrı edeleri rsıd bölgelere göre iklim çeşitliliği gelmektedir. Termometre üzerideki sılr hgi kümei elemlrıd oluşmktdır? İşretleri frklı m sılrı ı ol tm sılrı sıfır oktsı ol uzklıklrı hkkıd eler söleebilirsiiz? Uzklıklr ve mesfeler hgi sılrl ifde edilir? Sı doğrusu üzeride verile iki eş kibrit çöpüü uzuluğuu ve uç oktlrıı bşlgıç oktsı ol uzklığıı krşılştırlım. Elimizde 5 cm uzuluğud iki te kibrit çöpü vrdır. Bu kibrit çöplerii, bşlrı bşlgıç oktsı gelecek şekilde sğ ve sol sı doğrusu erleştirelim. 5 0 5 Şekilde de görüldüğü gibi her iki kibrit çöpüü diğer uçlrıı i 5 ve 5 oktlrıı bşlgıç oktsı ol uzklıklrı eşittir. Sı doğrusud bir sısıı sıfır ol uzklığı i mutlk değeri deir. R içi i mutlk değeri şeklide gösterilir., 0 R içi, = olur. Mutlk değer içideki ifde pozitif ise dışrı ı şekilde, < 0 çıkr, egtif ise ifde işret değiştirilerek dışrı çıkrtılır. 5
. ÜNİTE Sılr ve Cebir -9,,, -, -r ve 5 - sılrıı mutlk değerlerii iceleelim. 9 < 0 olduğud - 9 =-- ^ 9h = 9 olur. > 0 olduğud = olur. > 0 olduğud = olur. - 0oldu ud - =-^- h =- + = - olur. - r 0 oldu ud -r =- ^-rh =- + r = r - olur. 5-0oldu ud 5 - = 5 - olur. ise - ifdesii eşitii bullım. ise - 0 olur. Bu göre; - =-^- h =- + olur. - ise - + + ifdesii eşitii bullım. - içi ve- durumlrı vrdır. & - 0 & - =-^- h =- + olur. - & + 0 & + = + olur. Bu durumd - + + =- + + + = 7 olur. + 5 + - ifdesii lbileceği e küçük değeri bullım. + 5 = 0 & + 5 = 0 - = 0 & - = 0 =-5içi - 5+ 5 + -5- = 0+ 8 = 8 = içi + 5 + - = 8+ 0 = 8 =- 5 = O hâlde ifdei lbileceği e küçük değer 8 dir. 5
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Mutlk Değeri Özellikleri,! Rve, b! R + olmk üzere;. #,- # #. $, ^ $ ve #-h. # # b, ^ # # bve -b # #-h. $ = $ 5. = ^! 0h 6. - # + # + (üçge eşitsizliği) 7. = ise ( = ve = ) 8. - # # 9. = -, - = - - = 8 deklemii çözüm kümesii bullım. = 8 ve = 8 = 8 = 8 = 8 + = 8 + = = Bu durumd Ç = "-,, buluur. $ - - = 0 deklemii çözüm kümesii bullım. $ - - = 0 & $ - = & - = tür. - = eşitliğide = ve = olur. = = = + = + = 5 = Bu durumd Ç = "-5,, buluur. $ + + 9 = deklemii çözüm kümesii bullım. $ + + 9 = & $ + =- 8 & + =- olur. Gerçek sılrı mutlk değeri egtif olmcğı içi Ç = Q dir. 55
. ÜNİTE Sılr ve Cebir + + - + - z = 0 ise + z i eşitii bullım. + + - + - z = 0 ise + = 0 = 0 z = 0 = = z = + z = ( ) + = + = 5 buluur. + + + 6 + + + 6 kesrii e büük değerii bullım. kesrii e büük olmsı içi pdı e küçük olmsı gerekir. = ve = 6 olur. = içi =, = 6 içi = olur. Kesri e büük değeri tür. 0 içi - - ifdesii eşitii bullım. 0 ise 0 ve =-, 0 ise - 0 ve - =-olur. - - = - - - =--^- h =- + =- buluur. - # eşitsizliğii çözüm kümesii N, Z, Q ve R de bullım. - # & - # - # - + # # + - # # 6buluur. Ç = {0,,,,, 5, 6} (Doğl sılr kümeside) Ç = {,, 0,,,,, 5, 6} (tm sılr kümeside) Ç = " ;- # # 6,! Q, (rsoel sılr kümeside) Ç = " ;- # # 6,! R, (gerçek sılr kümeside) 56
Sılr ve Cebir. ÜNİTE - 6 eşitsizliğii çözüm kümesii N, Z ve R de bullım. - 6 & -6-6 - 6+ 6+ - 9 - buluur. Ç = {0,, } (doğl sılr kümeside) Ç = {0,, } (tm sılr kümeside) Ç = " ;-,! R, (gerçek sılr kümeside) - 5 eşitsizliğii çözüm kümesii R de bullım. - 5 & - 5 ve - - 5 olur. 5+ - 5+ 6 - Ç = " ; - ve 6,! R, olur. - # + 7 eşitsizliğii çözüm kümesii R de bullım. - # + 7 ve - #- ^ + h 7 olur. -- # 7- - #- - 7-5 # 5 - + #- 7+ - #- 9 ( ile çrprsk) $ - 9 &-9 # İki soucu birleştirirsek Ç = " ;-9 5,! R, buluur. - eşitsizliğii sğl tm sılrıı toplmıı bullım. - - - + - + ( ) + ( ) = 7 buluur. - 5 5 6 7 57
. ÜNİTE Sılr ve Cebir bc,,! Rve! 0, b! 0 olmk üzere + b + c = 0 biçimideki deklemlere birici derecede iki bilimeeli deklem deir. deir. + b+ c = 0 + b+ c = 0 biçimideki iki dekleme birici derecede iki bilimeeli deklem sistemi b c = = b c ise doğrulr çkışık, çözüm kümesi sosuz elemlıdır. b c =! b c ise doğrulr prlel, çözüm kümesi boş kümedir. b! ise doğrulr kesişir, çözüm kümesi bir elemlıdır. b ( + ) + = 6 + (b ) = + = = b - + = 6 = 6 b = = buluur. deklem sistemii çözüm kümesi sosuz elemlı ise b i bullım. + 6 6 & = ve b - = olur. & b & b 8 & b b - = = - = = + 8 = 0 9 + k = 0 deklem sistemii çözüm kümesi Q olduğu göre k ı hgi değeri lmcğıı bullım. 8 8! &! & k! - 9 = - - olmlıdır. -k k + = 0 deklem sistemii çözüm kümesi Ç = " ^, h, ise b i kç olduğuu bullım. + b = 0 (, ) ü deklemde erie zlım. + = 0 + b = 0 6 + = 0 + b = 0 + = 0 + b = 0 = 8 + b = 0 b = 8 buluur. 58
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Deklem Sistemlerii Çözüm Yollrı. Yok Etme: İki deklemi bilimeeleride bir tesii kt sılrı zıt işretli olrk eşitleir ve deklemler trf trf toplır. Bilimeeleri bir tesi ok edilerek diğeri hesplır. = + = Deklem sistemii çözüm kümesii bullım ve litik düzlemde gösterelim. = Deklemlerde biride gördüğümüz ere zrk i hespllım. + + = + = & + = & = buluur. = 6 = tür. Çözüm kümesii elemlrı (, ) ikilileri şeklide olduğud Ç = " ^, h, zılır. = deklemide; = 0 içi 0- = & =- buluur. (, ) = (0, ) olur. = 0 içi - 0 = & = buluur. (, ) = (, 0) olur. + = deklemide; = 0 içi 0 + = & = buluur. (, ) = (0, ) olur. = 0 içi + 0 = & = buluur. (, ) = (, 0) olur. Alitik düzlemde doğrulrı grfiğii çizelim. = Deklem sistemii çözüm kümesi ol (, ) oktsı litik düzlemde görüldüğü gibi iki doğruu kesim oktsı krşılık 0 + = gelmektedir. + = 8 + = Deklem sistemide ( + ) i soucuu bullım. + = 8 + = 8 & $ + = 8 & + = 8 & = buluur. / + = Bu göre + = + = 5 buluur. + = 8 + = 7 = 7 = dir. 59
. ÜNİTE Sılr ve Cebir. Yerie Kom: İki deklemi biride bilimeelerde biri diğeri ciside zılır. Bulu ifde kullılm deklemde erie zılırs bilimee hesplmış olur. = + = 8 deklem sistemii çözüm kümesii bullım. = & = + + = 8 & ( + ) + = 8 & 5 + = 8 & 5 = 5 & = olur. = + & = + & = 5 buluur. Ç = " ^5, h, olur. + = 8 + = deklem sistemide ( + ) i soucuu bullım. + = & = + + = 8 & ( +) + = 8 & 6 + + = 8 & = 6 & = dir. = + & = ( ) + & = 7 buluur. Bu göre + = 7 + ( ) = 5 olur. + = = 0 deklem sistemii çözüm kümesii bullım. = 0 & = 0 dur. + = & ( 0) + = & 0 = & = & = 8 olur. = 0 & = 8 0 & = buluur. Ç = " ^-8, h, olur. 5 = + = 5 deklem sistemii çözüm kümesii bullım. + 5 = 5 / + = 5 5 = 0 + 5 = 5 = 8 = dir. + = 5 & + = 5 & = buluur. Bu göre Ç = " ^, h, olur. 60
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Eşitsizlik sistemleri öce deklem sistemleri olrk kbul edilip çözüm pılır ve doğru grfikleri litik düzlemde çizilir. Eşitsizlik sistemide ve vrs doğrulr düz çizgi ile # ve $ vrs doğrulr kesikli çizgiler ile çizilir. Geelde (0, 0) test oktsı olrk kbul edilerek eşitsizliklerde erie zılır. Souç doğru ise test oktsıı buluduğu bölge, lış ise doğru grfiğii diğer bölgesi trır. Her iki doğru grfiğii kesişe d ortk ol trlı l bölgesi, verile eşitsizlik sistemii çözüm kümesii oluşturur. + - $ 0 - + $ 0 eşitsizlik sistemii çözümüü litik düzlemde gösterelim. Verile eşitsizlikleri deklem kbul ederek çözümleelim. + = 0 = 0 içi 0 + = 0 = A(0,) = 0 içi + 0 = 0 = B(,0) + = 0 = 0 içi 0 + = 0 = C(0,) = 0 içi 0 + = 0 = D(,0) Her iki deklemi grfiğii çizelim. Her iki eşitsizlikte eşitlik işreti olduğu içi doğru düz bir çizgi ile çizilmiştir. (0, 0) oktsıı test ok- D C A B (0, 0) tsı olrk lıp her iki eşitsizlikte erie zrsk, + $ 0 d $ 0 lış soucu, + $ 0 d $ 0 doğru soucu ort + = 0 çıkr. + = 0 (0, 0) oktsı + $ 0 d lış souç ort çıkrdığı içi turucu çizgiler ve doğruu kedisi çözüm kümesidir. (0, 0) oktsı + $ 0 d doğru souç ort çıkrdığı içi eşil çizgiler ve doğruu kedisi çözüm kümesidir. Turucu ve eşil çizgileri kesiştiği bölgeler ile doğrulrı kesişim bölgeside kl kısmı eşitsizlik sistemii çözüm kümesidir. 6
. ÜNİTE Sılr ve Cebir - + # 0 + + 0 eşitsizlik sistemii çözümüü litik düzlemde gösterelim. + = 0 = 0 içi + = 0 & = A(0, ) = 0 içi + = 0 & = B(, 0) + + = 0 = 0 içi + = 0 & = C(0, ) = 0 içi + = 0 & = D(, 0) A (0, 0) test oktsıd; + # 0 içi # 0 lış soucu, + + 0 içi 0 lış soucu ort çıkr. D B (0, 0) C + + = 0 + = 0 Eşitsizlik sistemii çözüm kümesie trlı llrı kesişim bölgesi ve + = 0 doğrusuu kesişim bölgeside kl kısmı dâhildir. Doğrulrı kesim oktsı ve + + = 0 doğrusuu kesişim bölgeside kl kısmı ise çözüm kümesie dâhil değildir. ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki mutlk değerli ifdeleri eşitlerii buluuz. ) - b) c) 5 - r ç) 8 - d) -. + -7 - - işlemii soucu kçtır?. 0 olmk üzere - + ifdesii eşiti edir?. olmk üzere, - + - ifdesii eşiti edir? 6
Sılr ve Cebir. ÜNİTE 5. 0 olmk üzere 7 + - - ifdesii eşiti edir? 6. - + + ifdesii e küçük değeri şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 6 E) 7 7. - 6 = deklemii çözüm kümesi şğıdkilerde hgisidir? A) ", B) " 0,, C) " 0, D) ", E) " 6,, 8. $ + + 7 = 0 deklemii çözüm kümesi şğıdkilerde hgisidir? A) ", B) ", C) " 7, D) " 0, E) Q 9. - 5 + 9- + - z = 0 olduğu göre + + z toplmı kçtır? A) B) 5 C) 9 D) 8 E) 7 0. + 6 eşitsizliğii çözüm kümesii N, Z ve R de buluuz.. + # 5 eşitsizliğii çözüm kümesii N, Z ve R de buluuz.. - eşitsizliğii çözüm kümesii N, Z ve R de buluuz.. 5 # - 7 eşitsizliğii sğl tm sılrıı toplmıı buluuz.. + + = deklemii çözüm kümesii buluuz. 5. + 6 - # 8 eşitsizliğii çözüm kümesii buluuz. 6. + = 8 - = 6 7. 7 + = - = 8. + = 8 - = 9. + + $ 0 5- + 0 0. + 5 #-- deklem sistemii çözüm kümesii buluuz. deklem sistemide + toplmı kçtır? deklem sistemii çözüm kümesii litik düzlemde gösteriiz. eşitsizlik sistemii çözüm kümesii litik düzlemde gösteriiz. eşitsizlik sistemii çözüm kümesii litik düzlemde gösteriiz. 6
. ÜNİTE Sılr ve Cebir 9.. Üstlü İfde ve Deklemler Vücut kitle edeksi, etişki bir isı kilosuu bou göre orml olup olmdığıı göstere bir prmetredir. Yd görüle Vücut Kitle Edeksi (VKE ve VKİ) tblosud kilogrm ciside kilouz ve metre ciside bouuzu kesiştiği oktı içide buluduğu l göre kilouzu idel olup olmdığıı öğreebilirsiiz. Eğer mevcut kilouz idel kilouzu ltıd d üstüde ise bu kilo ulşbilmek içi izleecek ol, kıs sürede fzl miktrd kilo kbetmek d lmk değil, sğlıklı kilo kbıı/kzcıı sğlmk ve bu kilou uzu döemde korumktır. Vücut kitle edeksi, vücut ğırlığıızı bo uzuluğuuzu kresie bölümesi ile elde edilir. Vücut kitle edeksi hesplırke üstlü ifde ve deklemlerde rrlılır. Vücut kitle edeksi ve bo uzuluğu verile bir kişii kütlesii sıl bulbilirsiiz? Açıklıız. Bir bkteri bölüerek her st iki ktı sı ulşıor. Bu bkterii st soud kç bkteri olcğıı bullım. Bşlgıç te 0 = te. st te = te. st te =. = te. st 8 te =.. = 8 te bkteri olur. R ve Z + olmk üzere =..... olduğuu htırlıız. te Belirli bir ükseklikte tıl top her zıplmsıd bir öceki üksekliğii rısı kdr zıplbilior. m de bırkıl bu topu. zıplm sorsı kç metre ükseleceğii bullım. m de bırkıldı. = m m. zıplm sorsı 0 = m m. zıplm sorsı = m m. zıplm sorsı = m R ve Z + olmk üzere = olduğuu htırlıız. 6
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Üstlü İfdeleri Özellikleri, b R ve, m Z + olmk üzere üs (kuvvet) =..... ve = dir. tb te ) 0 olmk üzere 0 = dir. (0 belirsizdir) ) = dır. ) = dir. ). + z = ( + z). Üstlü ifdelerde, tb ve üs tüm terimlerde ı olduğu zm üslü sı prtezie lırk toplm ve çıkrm işlemleri pılır. 5). m =........... =..... = m+ te m te m + te. m = +m dir. 6). b =...... b. b. b... b = (. b). (. b). (. b)... (. b) = (. b) te te m + te. b = (. b) dir. 7) ( ) m =..... =. m = m. m. m... m = ( m ) m te te ( ) m =. m = ( m ) dir. 8) m -m -m = $ m = $ = 5. özellik m m = dir. - 9) b te..... = = $ $ $$$ = b l b. b. b... b b b b b b te te b = b l dir. b 65
. ÜNİTE Sılr ve Cebir 0) b b b b - b b l = = $ = - $ b = - = b b b l l = b b - l dir. - - ) e Z olsu e = (e ) pozitif (egtif sılrı kreleri pozitiftir.) e + = e e = (e ) e Negtif (pozitif bir sıl egtif bir sıı çrpımı egtiftir) pozitif egtif Negtif sılrı tek sı kuvvetleri egtif, çift sı kuvetleri pozitiftir. ) d, e {, 0, } olmk üzere d = d m ise = m dir. d = e deklemide; tek sı ise d = e çift sı ise d = d = eşitliğide; d 0 ve = 0 d = ve R d = ve çift sıdır. e + + + işlemii soucuu bullım. 5 + + + $ $ 5- = = = = = = 8 olur. c 5 - - 8 m $ c m işlemii soucuu bullım. 5 - - 5 8 5 5 5-6 - c m $ c m = c m $ c m = $ = $ = $ 5 = 5 5 8 c m 6 5 5 5 8 olur. + $ -$ 0 9 $ + $ 8 7 6 + $ -$ 0 9 $ + $ 8 7 6 işlemii soucuu bullım. 6 6 6 6 $ + $ $ -$ $ ^9+ 6-h = = 9 9 9 $ $ + $ ^9+ h 6 $ = = - 9 $ olur. 6 + ( ) ( ) + ( 6 ) ifdesii rısıı bullım. 6 + ( ) ( ) + ( 6 ) = 6 + 6 6 + 6 = 6 ( + + ) = 6 6 6 6 $ rısı = 6 olur. 66
Sılr ve Cebir. ÜNİTE + 6 = ise işlemii soucuu bullım. - + + 6 ^$ h + + $ $ $ $ - = - = - = - = $ $ $ = 5 = ( ) 5 = c m 5 = 5 = 6 olur. 9 + + + - + $ $ + + işlemii soucuu bullım. - + 5$ $ - - $ + $ $ $ $ + $ ^9+ 6h ^+ h + = + - - 5$ $ $ $ $ 5$ $ 8 + 5 5 9 9 + 9 5 = + = $ + $ = 9 + = = olur. 8 5 8 6 6 6 5 $ = ve b l 7 = 9 ise değerii bullım. = ise = 7 dir. b l = 9, ^7h = 9, = 7 = de = buluur. ( ) = 8 deklemii sğl değerlerii bullım. ( ) = ( ) ( ) = kuvvetler çift sı olduğud = sğlmlıdır. = ve = - = ve = olur. 7 + 7 + 7 = 7 + 7 + 7 = 7 deklemii çözüm kümesii bullım. 7, + + = 6, = 6 + = 6 ise + = 6 = ise =, çözüm kümesi = ' dir. 67
. ÜNİTE Sılr ve Cebir ( ) + = deklemii çözüm kümesii bullım. = olduğud = ise = 5 0 = olduğud + = 0 ise = ( = 0) = ise + çift sı olmlı = içi + = + = 8, = de sğlıor. Çözüm kümesi = " 5, -,, olur. - - ^ - h = deklemii çözüm kümesii bullım. = ise = = 0 ise ( ) ( + ) = 0 = ve = = içi değeri = = 0 olduğud (0 0 belirsiz) sğlmz. = ise =, = = (çift sı) olduğud sğlr. Çözüm kümesi = "-,,, olur. + + 8 c m = c m deklemii sğl değerii bullım. 6 + + + + + + 8 8 c m = c m, c m = c, = 6 m c m c m + -- 8 c m = c m ise + = 8, 7 = 9 ise = Köklü Sılr -9 olur. 7 > ve N olmk üzere, = deklemii sğl sısı ı. kuvvette kökü deir., tek ise = ise =!, H 0ve çitf ise = ise = olrk gösterilir. 5 = ise 5 = 5 5, = ve = = 5 5 = 8 ise =, = ve =, diğer bir ifdele = " 8 = " = 6 ise =, = ve =, diğer bir ifdele = " 6 = " 6 = " dir. 68
Sılr ve Cebir. ÜNİTE > ve N olmk üzere, =, tekise, çiftise dir. 5 5 Öreğimizde =, = = ve = = = olur. 0 < < < z içi - z+ z + + z+ z i bullım. - z+ z + + z+ z = ^- zh + ^+ zh = - z + + z = ( z) + ( + z) = + z + + z = + + z olur. ^- 5h + ^- 5h toplmıı bullım. 5 dir. 5 ^ - h + ^- 5h = - 5 + - 5 =-^- 5h + - 5 =- + 5 + - 5 = 0 buluur. b 0 olmk üzere b ^ - h + ^b- h + i bullım. ^- bh + ^b- h + = - b + b- + =-^- bh + b-- = + b + b = b olur. 9+ 8 + + 8 = 0 ise değerii bullım. 9+ 8 + + 8 = 0, 9^+ h + ^+ h = 0 + + + = 0, 5 + = 0 ise + = Eşitliği her iki trfıı kresii llım. + = ise = olur. 6 işlemii soucuu bullım. 6 = $ = $ = $ = m m, m > ve, m N olmk üzere = dir. Öreğimizde 6 6 = = = sğlır. 69
. ÜNİTE Sılr ve Cebir Köklü Sılrı Özellikleri m, > ve m, N olmk üzere m m m ) ^ h = $ $ $$$ = $ $ $$$ = _ i = = m te m te m ^ h = m dir. m$ k ) k Z + $ k m$ k olmk üzere = = = = $ k m$ k m olur. $ k ) $ b = $ b = $ b = b ( çift sı ise > o olmlıdır.) $ b = $ b olur. m m m ) $ " $ = ^" h ( prtezie ldık.) 5) b b b $ = $ = ^ $ h = $ b ( çift sı ise, b R + olmlı.) $ b = $ b olur. 6) b b = = b l = ( çift sı ise, b R b b b + olmlı.) = dir. b m - m m+ - m 7) m - $ m = $ = = = olduğud ^ m - m h = Bezer şekilde ^ - m (Pdı kökte kurtrdık.) - b = + b - b - b h ve _ i = olur. 0 $ 8 işlemii soucuu bullım. 0 0 $ 8 0 $ 8 0 $ 8 = = = $ 8 = 6 = olur. 0 0 0 00, + 0, 6-05, işlemii soucuu bullım. 00, + 0, 6-05, = ^0, h + ^0, h - ^0, 5h = 0, + 0, 0, 5 = 0, olur. 70
Sılr ve Cebir. ÜNİTE 75 + - 8 işlemii soucuu bullım. 75 + - 8 = 5 $ + $ - 6$ = 5 $ + $ - 6 $ = 5 + - = ^5+ - h = olur. - işlemii soucuu bullım. - ^+ h = ^ + h ^- h^+ h = $ ^+ h - ^ h = ^+ h 6 = + olur. 6 = olduğu göre 6 ı türüde eşitii bullım. 6 = = 6 = = = 6 6 = 8$ = $ = $ = = olur. - = deklemii çözüm kümesii bullım. - =, ^ - h =, - = 8 ise =, Çözüm kümesi = ", olur. + 8-8 işlemii soucuu bullım. + 8-8 = + 8- = + 6 = + = 6 = olur. :; < :;; < :;; < = = - ^ h işlemii soucuu bullım. - - - ^ + h ^ + h ^ = - = - - + h = - - =- dir. 999$ 00 + işlemii soucuu bullım. 999$ 00 + = ^000- h^000 + h + = 000 - + = 000 = 000 olur. 7
. ÜNİTE Sılr ve Cebir ^ b h $ ^ b 7 7 5 8 h ifdesii sde şeklii zlım. 7 7 5 8 6 9 8 ^ b h $ ^ b h = _ 7 $ b 7 i $ _ 7 $ b 7 i = 7 $ b 7 $ 7 $ b 7 9 7 7 = $ b = $ b olur. 5 8 0 7 8 9 + 9 + 9 8 9 + 9 + 9 ^ h 8 8 = = = 5 = = olur. $ 9 $ 5- + 5- ^5+ h + işlemii soucuu bullım. 5 + = 5+ ^5- h 5+ 5-5- + 5-5 5 = + + - = 0 8 8 8 8 6 6 işlemii soucuu bullım. $ 8 8 = = 8 = = = = = olur. 8 + + - - işlemii soucuu bullım. = + - = + = + = olur. 6 = olduğu göre ifdesii türüde eşitii bullım. = = = 6 6 = = 6 = _ i = olur. 7
Sılr ve Cebir. ÜNİTE ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki ifdeleri doğru ollrıı, lış ollrıı X işretile belirtiiz. ) (...) R ve,m Z + olmk üzere m = m dir. b) (...) R ve,m Z + olmk üzere ( ) m =( m ) dir. c) (...) R ve,m Z + olmk üzere m = m dir. m ç) (...) m, > ve,m N içi = m dir. d) (...) R ve,m Z + olmk üzere + m = + m dir.. + - $ 5$ + A) - - işlemii soucu hgisidir? B) 8 C) D) 5 E) 7 8. ( ) ( ) ( 8) 5 işlemii soucu kçtır? A) B) C) 0 D) 9 E) 8. 5 + 5 + 5 + + + + işlemii soucuu buluuz. 6 5. = ise 9 şğıdkilerde hgisie eşittir? A) B) C) D) 5 E) 6 6. $ ^$ h + + $ ^$ h işlemii soucu hgiside doğru verilmiştir? A). B) +. + C). + D) +. E) +. 7. ( + ) = deklemii çözüm kümesii buluuz. 8. + 5 c m = c m deklemii sğl değeri hgisidir? 5 9 A) - B) - C) 8 0 - D) - E) 9. Aşğıd verile ifdelerde hgisi lıştır? A) 5 0 5 0 = 5 0 B) 5 7 + 5 7 = 5 7 C) 6 5 6 = 6 D) 5 0 = 8 5 E) = 5 5 7
. ÜNİTE Sılr ve Cebir 0. 80 sısıı çereği ile rısıı çrpımı kçtır? A) 60 B) 0 C) 57 D) 6 E) 70. 8 - - işlemii soucu şğıdkilerde hgiside doğru verilmiştir? A) B) C) 0 D) E). 7 9 + işlemii soucuu buluuz.. 75 + 8 işlemii soucu hgisidir? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5. ^- 5h işlemii soucu hgisidir? A) 5 + B) 5 + C) 5 - D) 5 - E) 5 5. 8-8 + 50 işlemii soucu hgisidir? A) B) C) D) E) 0 6. 6 - işlemii soucuu buluuz. - 7. ^+ h^- h işlemii soucu hgisidir? A) B) C) D) 0 E) 8. + 5-5 + işlemii soucuu buluuz. 9. 5 işlemii soucu şğıdkilerde hgisidir? A) 5 B) 5 8 C) 5 5 D) 5 9 E) 5 0. + = ise değeri kçtır? A) B) C) 5 D) 7 E) 8. + 0 $ 99 işlemii soucu kçtır? A) 98 B) 0 C) 99 D) 0 E) 00 7
Sılr ve Cebir. ÜNİTE 9.. Deklem ve Eşitsizlik ile İlgili Ugulmlr Smolu glksisii çpı 00.000 ışık ılı kdrdır. Or ve Ortı Or ve ortı it özellikleri htırllım. Işık ılı, ışığı bir ıld boşlukt ldığı mesfedir. Işık hızı siede ortlm 00.000 km dir. Dü ve A rsıdki e büük uzklık. ışık siesidir. Dü ile Güeş rsıdki e büük uzklık 99 ışık siesidir (8. ışık dkiksı). Oort bulutu klşık ışık ılı çpıddır. Bize Güeş te sor e kı ıldız ol Proim Ceturi,. ışık ılı uzklıktdır. Smolu u komşu glksileride Adromed, bize..7 milo ışık ılı uzklıktdır. Bu göre bir ışık ılı; 65 = 8760 st, 8760 60 = 55 600 dkik, 55 600 60 = 56 000 sie 56 000 00 000 = 9 60 800 000 000 km dir. Güeş ışılrıı dümız e geç 8, ışık dkiksıd ulştığı bilgisi verilior. Bu veride rrlrk güeş ile dü rsıdki mesfei sıl bulbilirsiiz? Işık dkiksıı kilometree döüştürecek bir deklem zbilir misiiz? E z birisi sıfırd frklı iki çokluğu krşılştırılmsı or deir. ve b gerçek sılrıd e z biri sıfırd frklı olmk koşulul e ı b e orı deir. b E z iki orı eşitliğie ortı deir. c = = k ortısıd k, ortı sbitidir. b d. c = ise d = b c dir. b d ve d e dışlr, b ve c e içler deir. İçler çrpımı dışlr çrpımı eşittir.. İki çoklukt biri rtrke diğeri de ı ord rtıors ve biri zlırke diğeri de ı ord zlıors bu iki çokluk doğru ortılıdır, deir. ve doğru ortılı ise = k ve = k dir. (k ortı sbiti). İki çoklukt biri rtrke diğeri ı ord zlıors d biri zlırke diğeri ı ord rtıors bu iki çokluk ters ortılıdır, deir. ve ters ortılı ise = k ve k = dir. (k ortı sbiti). İçide ikide fzl ortı buludur ortılr bileşik ortı deir. $ t ; ile doğru t ile ters ortılı ise k = dir. (k ortı sbiti) 75
. ÜNİTE Sılr ve Cebir 00 TL, şlrı 9 ve 6 ol iki krdeşe şlrı ile ortılı olrk dğıtılıor. 9 şıdki krdeşi 6 şıdki krdeşte kç TL fzl ldığıı bullım. 00 TL, krdeşlere şlrı ile ortılı (doğru ortılı) olrk plştırılmış. büük, küçük krdeşi ldığı prlr olsu. = = k 9 6 ise = 9 k = 6 k + = 9k + 6k = 5 k 00 = 5 k ise k = 0 olduğud = 9k = 9 0 = 80 TL = 6k = 6 0 = 0 TL Büük krdeş küçük krdeşte 80 0 = 60 TL fzl lmıştır. Arıc = 9 k 6 k = k (k = 0 olduğud) k = 0 = 60 TL Büük krdeşi küçük krdeşte ldığı fzl pr miktrıdır diebiliriz. Bir sfltlm işii ı kpsitedeki 0 işçi 5 güde pbilior. İşi 0 güde bitebilmesi içi ı kpsitede dh kç işçie ihtiç olduğuu bullım. İşçi sısı rttıkç sfltlm işii bitme süresi kıslcğıd ters ortı kullılmlıdır. 0 iflçi * 5 güde bitirior * 0 güdebitmesi 0 $ 5 = $ 0, 0 $ 5 = = 5 0 Asfltlm işii 0 güde bitebilmesi içi 5 0 = 5 işçie dh ihtiç vrdır. Aı kpsitedeki 8 işçi 6 m hlıı güde dokurs, bu işçileri 6 sıı m hlıı kç güde dokubileceğii bullım. 8iflçi * gü 6mhl gü 6 iflçi * gü m hl gü 8$ = 6 $ 6 $ = $ Ters ortı Doğru ortı 8iflçi 6m hl gü 6 iflçi m hl gü 6 $ 6 $ = $ 8$ Bileşik ortı $ 8 $ = = güde dokur. 6 $ 6 76
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Bir mrketteki üç sıvı ğ mrksıı mbljıı içideki ğ miktrı ve ücreti şğıd verilmiştir. A mrksı 500 ml 8.50 TL B mrksı 00 ml 8.00 TL C mrksı 600 ml 9.00 TL Mrkette sıvı ğ lmk istee bir müşterii hgi mrk ğd lırs dh vtjlı olcğıı bullım. Ortıı kullrk A, B ve C mrklrıı L = 000 ml sii kç TL olcğıı bullım. A 500 ml 8.50 TL B 00 ml 8.00 TL 000 ml 000 ml D.O 850. $ 000 7. 00 D.O 000 $ 800. = = TL = = 0. 00 TL 500 00 C 600 ml 9.00 TL 000 ml D.O 000 $ 900. = = 5. 00 TL 600 5.00 TL 7.00 TL 0.00 TL olduğud müşteri C mrk ğd lmlıdır. Kilogrmı TL ol A cis ş üzüm kuruuc kütlesii %60 ıı, kilogrmı TL ol B cis ş üzüm kuruuc kütlesii % 50 sii kbetmektedir. A cis kuru üzümü bir kilogrmıd 5 litre, B cis kuru üzümü bir kilogrmıd litre ı klitede hoşf elde edilebilior. Yş üzümü lıp kurutup L hoşf pmk istee bir kişii hgi cis ş üzümde lırs dh kârlı olcğıı bullım. 60 L hoşf pmk içi gerekli ol kuru üzüm miktrı D.O A cis üzüm kg 5 L 60 L 60 = = kg 5 D.O B cis üzüm kg L 60 L 60 = = 5 kg Gerekli kuru üzüm içi ihtiç duul ş üzümü kütlesi 00 0 00 50 5 D.O $ 00 = = 0 kg 0 D.O 5 $ 00 = = 0 kg 50 Gerekli ş üzüm içi ödemesi gereke pr miktrı 0 = 90 TL 90 TL 60 TL 0 = 60 TL olduğud B cis ş üzüm lmmsı dh ugudur. 77
. ÜNİTE Sılr ve Cebir Fhreheit (Fhret), 7 ılıd dıı Alm fizikçi trfıd l sıcklık ölçüm birimidir. Bu birime göre suu dom sıcklığı, km sıcklığı derece olrk lımış ve iki okt rsı 80 derecee bölümüştür. Amerik bu ısı ölçüm birimii kullmktdır. Celsius (Selsius), 7 ılıd dıı İsveçli fizikçi trfıd l sıcklık ölçüm birimidir. Bu birime göre buzu erime oktsı 0 stigrt derece, suu km oktsı 00 stigrt derecedir. Ülkemiz bu ısı ölçüm birimii kullmktdır. Derece Selsius (stigrt) C, Fhret F ile gösterilmek üzere 9 F = C$ + dir. 5 Amerik d 68 Fhret ile ifde edile sıcklığı Türkie de kç derece selsius ile belirtileceğii bullım. 9 9 5$ ^F - h F = C$ + & F- = C$ & = C 5 5 9 5$ ^68- h 5$ 6 C = = = 5$ = 0 stigrt derecedir. 9 9 bğıtısıd Şehirlerrsı mesfeleri belirlemede bzı ülkeler mil, bzı ülkeler kilometre birimlerii kullırlr. Öreği Amerik d Housto - Mimi rsıdki mesfe klşık 96 mil ve 59 km olrk belirtilior. Belirtile veride rrlrk Akr - İstbul rsıdki mesfei klşık kç mil olduğuu belirleelim. Akr - İstbul rsı mesfe 5 km dir. 96 mil 59 km D.O = 5 km 96$ 5 59, 8 Akr İstbul rsı mesfe klşık 8 kilometredir. D.O Formül ile ifde edelim. Housto - Mimi rsı mesfe 96 mil 59 km 96 mil mil 59,, 6, km 96, 59 km mil,, 6 km dir. ve 59 km 96 mil km D.O 96 =, 06, mil 59 km, 0,6 mil dir. 78
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Hız (km / st) 00 90 80 Ydki grfikte bir rcı 7 st bouc gittiği hız miktrlrı verilmiştir. Belirtile rç 80 km hızl giderke stte 8 L, 90 km hızl giderke stte 7 L ve 00 km hızl giderke stte 0 L kıt hrcıor. Arç olu tmmıı 90 km hızl gitsedi kç L kıt tsrruf ederdi? Bullım. 0 5 6 7 Yolculuk Zmı (st) Arç 80 km / st hızl st ol gitmiş, 8 = L 90 km / st hızl st ol gitmiş, 7 = 7 L 00 km / st hızl st ol gitmiş, 0 = 0 L + Toplm 6 lt kıt hrcmıştır. Eğer rç 7 st bouc 90 km / st hızl gitmiş olsdı 7 7 = 9 L kıt hrccktı. Arç 7 st bouc 90 km / st hızl gitsedi 6 9 = L kıt tsrruf ederdi. Bir kuruemişçi kilogrmı 0 TL ol fıdıklrd 0 kg, kilogrmı TL ol çekirdeklerde 5 kg ve kilogrmı 5 TL ol leblebilerde 0 kg lrk bir krışım hzırlıor. Krışımı kilogrmıı kç TL de stmlıdır ki stış soud %0 kâr etsi? Bullım. Krışımı ğırlıklı ortlmsıı bullım 0 $ 0 + $ 5+ 5$ 0 Ağırlıklı ortlm = = 0 + 5 + 0 00 + 60 + 50 5 0 = = 6 5 Stıcı krışımı kilogrmıı 6 TL de lmıştır. Krışımı stışıd %0 kâr edebilmesi içi 0 6+ 6$ = 6+ 0, 6 = 6, 60 TL e stmlıdır. 00 Akr d ikmet ede bir vtdş kulldığı her metreküp su içi TL su bedeli, TL de tık su bedeli ödüor. Arıc hrc sud frklı olrk,7 TL şube olu,,68 TL çevre temizlik vergisi ve %8 ktm değer vergisi ödüor. Akr d ikmet ede bu vtdş mrt ıd 7 m su tüketior. Ödemesi gereke su ftursı miktrıı klşık olrk bullım. İlgili vtdş 7 = TL su bedeli 7 = 7 TL tık su bedeli,7 TL şube olu,68 TL çevre temizlik vergisi 8 + 7 +,7 +,68 =,95;,95, 9, TL %8 ktm değer vergisi 00 +, 5, 86 TL ftur miktrı ödemelidir. 79
. ÜNİTE Sılr ve Cebir A ve B ketleri rsıdki uzklık 60 km dir. A ketide stteki hızı 70 km ol bir rç B ketie, B ketide stteki hızı 50 km ol bir rç A ketie doğru hreket edior. A ve B ketleride hreket ede bu rçlrı kç dkik sor krşılcğıı bullım. 60 km A v = 70 km/s 60 C B v = 50 km/s Bir hreketlii ldığı ol, hızıl geçe zmı çrpımı eşittir. t süre soud C oktsıd iki rç krşılşmış olsu. Yol = Hız Zm = v t bğıtısıd t 50 = 70 60 70 C oktsı A ketie 0 km uzklıktdır. 0 İki rç = st = 60 = 80 dkik sor krşılşır. 70 İki rç, A ve B ketleride sırsıl stte 90 km ve 70 km hızlrl ı d ı öe doğru hreket edior. AB = 80 km olduğu göre A ketide hreket ede rcı B ketide hreket ede rc kç dkik sor etişeceğii bullım. A d hreket ede rç B de hreket ede rc C oktsıd etişsi. = v dir. 0 = 70 60 ise = 0 km dir. A v = 90 km/s Yol = Hız Zm = v t bğıtısıd t = v dir. A d hreket ede A d kl 80 km B v = 70 km/s 80 + = 90 60 - = 70 50 70 C B d kl B de hreket ede 70 (80 + ) = 90, 5600 = 0, = 80 km dir. Geçe sürei B de klk rçt rrlrk bulbiliriz. t v 80 = = = st, 60 = 0 dkikdır. 70 560 km A v = 60 km/s v B Yukrıdki şekilde belirtile rçlr ı d birbirlerie doğru hreket ediorlr. Arçlr st sor krşılştıklrı göre B de hreket ede rcı hızıı bullım. = v t de = 60 = 0 km (A d hreket ede rç st soud 0 km ol gitmiştir.) 560 0 = 0 km (B de hreket ede rç stte 0 km ol gitmiştir.) 0 v = = = 80 km/s hız ile ol lmıştır. t 80
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Bir bb ile iki çocuğuu şlrı toplmı 78 dir. İki ıl sor bbı şı, çocuklrıı şlrı toplmı eşit oluor. Bbı şıı bullım. Bb B, çocuklr Ç, Ç şlrıd olsulr. B + Ç + Ç = 78 Ç + Ç = 78 B B + Ç + + Ç + Bb 0 şıddır. ıl sorki şlrı B + = Ç + Ç + 78 B B = 80 ise B = 0, İki krdeşi şlrı frkı 7 dir. Küçük krdeş büük krdeşi şı geldiğide şlrı toplmı 9 oluor. Küçük krdeşi şimdiki şıı bullım. Ali i şı; Aşe i şıı ktı, Hs ı şıı ktıdır. Hs Ali i şı geldiğide Aşe şıd olcğı göre Aşe i şimdiki şıı bullım. Hs 0 ılıd 7 şıddır. Ali Hs d 7 ş büük olduğu göre Ali i doğum ılıı bullım. Hs 0 ılıd 7 şıd ise Küçük krdeş Ali Aşe Hs 6 + + + Büük krdeş + 7 7 ıl sor 7 ıl sor + 7 + 7 + 7 + 7 + + = 9 = 8, = 9 Küçük krdeş 9 şıddır. 0 7 6 şlrıd olurlr. Aşe 7 = olmlı Aşe i şimdiki şı = 6 = 8 dir. 0 7 9 7 6 ılıd doğmuştur. olsu. Hs Ali i şı geldiğide i ıl sor Ali Hs d 7 ş büük ise = 6 9 7 6 7 9 6 9 ılıd doğmuştur. 8
. ÜNİTE Sılr ve Cebir Tuz orı %0 ol 60 kg tuzlu su krışımıdki su ve sf tuz miktrıı bullım. Tuz orı %0 ol krışımd D.O 00 krışım 0 sf tuz 60 krışım 00 = 60 0 ise = kg sf tuz 60 = 6 kg su buluur. Şeker orı %0 ol 0 kg şekerli su ile şeker orı %0 ol 50 kg şekerli su krıştırılıor. Krışımı şeker üzdesii klşık olrk bullım. + = D.O 00 0 0 = kg sf şeker Şeker orı %0 krışım 0 kg D.O 00 0 50 Krışımı şeker üzdesi klşık %6 dır. Şeker orı %0 krışım 50 kg = 0 kg sf şeker krışım 90 kg 90 kg krışım + 0 sf şeker 00 krışım = 00$, 6 90 Tuz orı %0 ol 50 kg tuzlu su 5 kg sf tuz ve 5 kg su ekleior. Yi krışımı tuz üzdesii bullım. Tuz orı %0 ol 50 kg tuzlu suu D.O 00 0 50 = 5 kg ı Alkol orı %0 ol 00 cl koloı % 0 si dökülüor. 00 0 Gerie 00 0 = 80 cl kolo klmıştır. 00 D.O tuz, 5 kg ı sudur. = 0 cl dökülmüş Yei krışım 50 + 5 + 5 = 80 kg Yei krışımdki sf tuz 5 + 5 = 0 kg dır. Yei krışımı tuz üzdesi 80 krışım 0 sf su 00 krışım 00$ 0 D.O = = 5, % 5 dir. 80 Alkol orı %0 ol 00 cl koloı %0 si dökülüor. Döküle koloı erie sf su ekleior. So durumdki lkol üzdesii bullım. Yei krışım 00 0 + 0 = 00 cl Yei sf Alkol 00 0 80 D.O = 8 cl dir. 00 8 00 D.O = 8 ei krışımı lkol üzdesidir. 8
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Bir mv iki ks kivi lıor. Kivii kilogrmıı TL de strs 0 TL zrr, 5 TL de strs 5 TL kâr edior. Bu mvı iki ks kivii kç TL e ldığıı bullım. Mv A kilogrm kivi lsı. Kilosuu TL de stıc 0 TL zrr ediors mliet A + 0, 5 TL de stıc 5 TL kâr ediors mliet 5A 5 olmlıdır. A + 0 = 5A 5 ise A = 5 kilogrmdır. İki ks kivi 5 kg ise Alış fitı = A + 0 = 5 + 0 = 0 TL dir. Bir cüzdd 50 krş ve TL lik prlrd toplm 5 te vrdır. Bu cüzddki prlrı toplm tutrı 0 TL olduğu göre 50 krş luklrd kç te olduğuu bullım. 50 krş luklrd te olsu, de 5 te olmlıdır. 0,50 + (5 ) = 0 0,5 + 5 = 0 5 = 0,5 5 = 05, = 0 0,50 TL = 50 krş luklrd 0 te vrdır. = + b deklemide, bir uz rcıı deposudki kıt miktrıı, ise geçe zmı göstermektedir. Uz rcıı ilk hreketide st sor 88 litre, 6 st sor 6 litre kıt kldığı göre + b toplmıı bullım. = + b ifdeside kıt miktrıı, geçe zmı gösterior ise 88 = + b 6 = 6 + b 88 = + b 6 = 6 b = = 8 deklemlerii zrız. 88 = + b (. deklemde) 88 = + b b = 0 ise + b = 8 + 0 = 9 buluur. 8
. ÜNİTE Sılr ve Cebir ALIŞTIRMALAR. Aşğıdki ifdeleri doğru ollrıı, lış ollrıı X işretile belirtiiz. ) (...) E z birisi sıfırd frklı iki çokluğu krşılştırılmsı ortıdır. b) (...) İçide ikide fzl ortı buludur çokluklr çoklu ortı deir. c) (...) E z iki ortıı eşliğie or deir. ç) (...) İki çoklukt biri rtrke diğeri de ı ord rtıors bu çokluklr doğru ortılı çokluklrdır. d) (...) İki çoklukt biri rtrke diğeri de ı ord zlıors bu çokluklr ters ortılı çokluklrdır.. Kilogrmı 8 TL ol fıdık ile kilogrmı 0 TL ol tep fıstığı krıştırılrk 00 grmlık bir krışım elde edilior. Krışımı kilogrmı 6 TL e geldiğie göre krışımd kç grm fıdık vrdır? A) 800 B) 900 C) 000 D) 60 E) 00. Bir mv 0 kssıı 00 TL e ml ettiği sltlıklrı 8 kssıı 00 TL e stmktdır. Mv elideki sltlıklrı tümüü sttığı göre stışt üzde kç kâr etmiştir?. Aşe ile Hzl ı 5 ıl öceki şlrı orı 5 tür. Aşe Hzl d ş küçük olduğu göre Hzl ı şimdiki şı kçtır? A) B) C) 5 D) 6 E) 7 5. Aşe stte 50 sflık kitbı 90 sfsıı okuor. Aı performsl kç dkik dh okurs kitbı %90 ı biter? A) 6 B) 8 C) 50 D) 90 E) 00 6. Aşğıdki tblod beş peir mrksıı ı klitedeki peirlerii bir pketii grm miktrı ve stış fitı verilmiştir. Peirleri kilogrm fitıı bulrk küçüktü büüğe doğru sırlıız. Peir mrksı A B C D Pket kütlesi 00 gr 00 gr 500 gr 700 gr Stış fitı,60 TL,60 TL 5.00 TL 9,80 TL 7. Bir merdivei bsmklrıı ikişer ikişer çıkıp üçer üçer ie bir kişi iişte ve çıkışt toplm 50 dım ttığı göre merdive kç bsmklıdır? A) 70 B) 80 C) 90 D) 00 E) 0 8
Sılr ve Cebir. ÜNİTE 8. Aşğıdki ifdelerde hgileri doğrudur? I. Bir işi ı itelikteki işçi, işçii rı süreside pr. II. Bir hvuzu ı itelikteki musluk, musluğu iki ktı sürede doldurur. III. Yrım kilogrmı 0 TL ol kşr peiri, çerek kilogrmı 6 TL ol kşr peiride dh ucuzdur. IV. Aritmetik ortlmsı 5 ol 9 sıd ritmetik ortlmsı 5 ol iki sı çıkrtılırs kl sılrı ritmetik ortlmsı değişmez. V. 5 km/st hızıı 5000 m/dk hızı ile de ifde edebiliriz. A) I, III ve IV B) I, II ve III C) III, IV ve V D) II, III ve IV E) I, II ve V 9. Bir kmpt 0 kişie 5 gü etecek kdr iecek vrdır. gü sor bu kmpt 0 kişi rılıor. Gerie kl 0 kişie iecekler kç gü eter? 0. Ali ile Hs bir miktr fıdığı sırsıl 5 ve 8 ile ters ortılı olck şekilde plşıorlr. Toplm fıdık sısı 0 olduğu göre Ali kç fıdık lmıştır? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90. 50 soruluk bir testte lış doğruu götürmektedir ve her et 0 pudır. Bu sıv gire Ali 0 soruu boş bırkrk 50 pu lmıştır. Ali kç soruu doğru cevplmıştır? A) B) C) 6 D) 8 E) 0. Stteki hızlrı 0 km/s ve 00 km/s ol iki rç, ı oktd zıt öde hreket ettikleride st sor rlrıdki mesfe, ı öde hreket ettikleride st sor rlrıdki mesfe Y olduğu göre + kçtır?. Bir miktr krışımdki tuz orı %0 dur. Bu krışım 5 kg dh tuz ilve edildiğide krışımı tuz orı %50 oluor. Bşlgıçtki krışım kç kilogrmdır? A) 0 B) C),5 D) E),5. Bir teli bir ucud 6 i kesilior. Bu durumd ort okt cm kıor. Bu göre bşlgıçtki teli uzuluğu kç stimetredir? A) B) 8 C) 5 D) 56 E) 60 85
. ÜNİTE Sılr ve Cebir 9. FONKSİYONLAR Foksio kvrmıı şğıdki örekle çıkllım. Bir prtmı 5 umrlı direside e, bb, çocuk ve dede şmkt olsu. Tdilt işlemleri ve bo pılcğıd dolı herkesi evde olmmsı gerektiğii ve ile birelerii prtmdki komşulr gideceğii düşüelim. Evdeki ile birelerii her birii bir kümei elemı olrk kbul edelim ve bu kümee A dielim. Aprtmdki diğer direleri de B kümesii elemlrı olrk düşüelim. A B Ae Bb Çocuk Dede A kümesie tım kümesi, B kümesie de değer kümesi deir. Şimdi birkç durumu değerledirelim. A kümesideki elemlrı hiçbiri çıkt klmck şekilde ok işreti ile B kümesie öledirelim. A B A B A B A B Ae Ae Ae Ae Bb Bb Bb Bb Çocuk Çocuk Çocuk Çocuk Dede Dede Dede Dede. Şekil. Şekil. Şekil. Şekil Yukrıdki gösterimleri her biri bir foksiou ifde etmektedir. Çükü A kümeside çıkt elem klmmıştır ve her bir elemd sdece bir tek çıkış olmuştur.. şekilde bütü bireler olu diree gitmiş,. şekilde e ve bb olu, çocuk ve dede olu diree gitmiştir. Bu eşleşmelerde mtığ kırı hiçbir durum oktur. A B A B A B Ae Ae Ae Bb Bb Bb Çocuk Çocuk Çocuk Dede Dede Dede. Şekil. Şekil. Şekil Yukrıdki eşleşmeleri icelersek,. şekilde A kümeside çıkt elem klmış,. şekilde A kümesideki bir elem B kümesideki iki rı elem ile eşleşmiştir. Bu şu orumu pbiliriz: Bir kişi ı d iki frklı erde olmcğı içi durum mtığ kırıdır.. şekilde ise hem A kümeside çıkt elem klmış hem de bir elem B kümesideki birde çok eleml eşleşmiştir. Dolısıl ukrıdki gösterimleri hiçbiri foksio ifde etmez. Souç olrk foksio olbilme şrtlrı, tım kümeside çıkt elem klmmsı i her elemı değer kümeside bir elem eşlemesi ve tım kümesideki her bir elemı değer kümeside bir ve lız bir elem eşlemesidir. Siz de ukrıdki çlışmı he hlkıı 5, ev sısıı 6 olduğu bir kö içi modelleiiz. Yptığıız modellemei çıklıız. 86
Sılr ve Cebir. ÜNİTE 9.. Fokio Kvrmı ve Gösterimi Aşğıd verile eşleşmeleri foksio olup olmdığıı rştırlım. A b c 5 B A b c 5 7 B. Şekil. Şekil A b c 5 7 B A b c 5 7 B. Şekil. Şekil Yukrıd verile eşleşmelerdeki tım kümesi ol A kümesii çocuklr, değer kümesi ol B kümesii de eler olrk dldırlım. Her çocuğu esi olcğı ve buu bir tek olcğı şikârdır. ve. şekildeki eşleşmeler foksiou ifde eder.. şekilde her çocuğu esi frklı kişiler,. şekilde bütü çocuklrı esi ı kişi olrk orumlbilir. ve. şekildeki eşleşmeler ise foksio ifde etmez.. şekilde bir çocuğu iki frklı esi olduğu,. şekilde ise bir çocuğu hiç esii olmdığı orumu pılır. Bu durum mtığ kırıdır. Dolısıl ve. şekiller foksio, ve. şekiller ise foksio değildir. A ve B boş olm iki küme olmk üzere, A ı her elemıı B i bir ve lız bir elemı eşlee f ifdesie A d B e bir foksio deir. f : A $ B ve A A tım kümesi, B e de değer kümesi deir. f B şeklide gösterilir. fa ^ h= " f ^ h;! A, kümesie ise f foksiouu görütü kümesi deir ve f^ah ile gösterilir. fa ^ h B dir. f A B Görütü Kümesi ^fa ^ hh Tım Kümesi Değer Kümesi 87
. ÜNİTE Sılr ve Cebir A 0 f B 0 6 8 Ydki şekilde verilelere göre tım, değer ve görütü kümelerii elemlrıı liste ötemile zlım. f : A $ B (f, A d B e bir foksiodur.) A = Tım Kümesi = {, 0,, }, B = Değer Kümesi = {,, 0,, 6, 8} f(a) = Görütü Kümesi = {, 0,, 6}, fa ^ h B dir. f = {(, ), (0, 0), (, ), (, 6)} olur. Bezer şekilde f ( ) =, f(0) = 0, f() =, f() = 6 diebiliriz. ^, h! f ve = f() ise ^f, ^ hh! folur. Girdi f() Çıktı Foksio Mkiesi Girdi Çıktı 0 0 6 Yd foksio mkiesi ve bu mkiee gire çık değerler verilmiştir. f foksiouu kurlıı zlım. Mkiee gire sılr, ktıı fzlsı olrk çıkmıştır. Yi f() = + dir. f( ) = ( ) + = + = 0 f(0) = 0 + = 0 + = f() = + = + = f( ) = + = + = 6 f = {(, 0), (0, ), (, ), (, 6)} olur. Aşğıd verile foksiolrı iceleelim. A b c f 5 B C b c g 5 D E b c h 5 F Tım kümesideki her frklı elemı görütüsü frklı ol foksio bire bir foksio deir. Görütü kümesi ile değer kümesi eşit ol foskio örte foksio deir. Örte olm foksio ise içie foksio deir. f : A $ B foksiou bire bir ve örte foksiodur. g : C $ D foksiou bire bir ve içie foksiodur. h: E $ F foksiou bire bir olm ve içie foksiodur. 88
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Aşğıd verile foksiolrı iceleelim. f g h A B C D E F 6 8 0 0 Tım kümesideki her elemı tekrr kedisie eşlee foksio birim (özdeşlik) foksio deir. Tım kümesii bütü elemlrı değer kümesii lız bir elemı ile eşleiors bu foksio sbit foksio, değer kümeside eşlediği elem 0 (sıfır) elemı ise sıfır foksio deir. f : A $ B foksiou birim foksiodur. g : C $ D foksiou sbit foksiodur. h: E $ F foksiou sıfır foksiodur. Grfiği doğru ol b,! R ve f() = + b şeklideki foksiolr doğrusl foksio deir. f doğrusl bir foksiodur. f(0) = 5 ve f() = 9 olduğu göre f foksiouu zlım. f foksiou doğrusl olduğud f() = + b şeklide zılbilir. f(0) = 5 ( 0 + b = 5 ( b = 5 f() = 9 ( + b = 9 ( + 5 = 9 ( = ( = olur. Bu durumd f() = + b = + 5 olur. f : A $ B ve g : A $ B, Her! A içi f() = g() ise f ve g foksiolrı eşit foksiolr deir. A = {, }, B = {,, 5, 6} f : A $ B, f() = + g : A $ B, g() = f() = + $ f() = g() = $ g() = f() = + $ f() = 5 g() = $ g() = 5 f = {(, ), (, 5)} g= {(, ), (, 5)} f ve g foksiolrı tım kümesii her elemı içi ı değeri lmıştır. Dolısıl f ve g foksiolrı eşittir. Yi f= g dir. f : R {} $ R, + 5 f() = - olduğu göre f() değerii hespllım. + 5 $ + 5 f^h= ( f^h= ( f^h = olur. - - 89
. ÜNİTE Sılr ve Cebir f : R $ R, f() = + ise f( ) değerii bullım. f() = + f( ) = ( ) + f( ) = + f( ) = + olur. f ^ h = - - ise f^- h+ f^5h toplmıı bullım. f^- h= -- - - = - - - = - = f5 ^ h= 5- - 5 = - 5 = - 5 =- f^- h+ f^5h= + ^- h = 0 olur. f: R $ R, f^h= ^- h $ + b+ foksiou birim foksio olduğu göre + b toplmıı bullım. f ^ h= ^- h $ + b + = b + = 0 + b = = olur. 0 = b = f: R $ R, f^h= ^+ h $ + - foksiou sbit foksio olduğu göre f(5) i değerii bullım. f ^ h= ^+ h$ + - 0 + = 0 & =- f ^ h= $ ^-h- =- f5 ^ h =- dir. f^- h = 5 + 7 olduğu göre f(0) ı değerii bullım. f^- h = 5 + 7 = 0 = 0 = dir. f^$ - h= 5$ + 7 ( f^0h = olur. f ^ $ bh= f^h+ f^bh olduğu göre f^h i değerii bullım. = içi f^$ bh= f^h+ f^bh( f^bh= f^h+ fb ^ h ( f ^ h = 0 olur. 90
Sılr ve Cebir. ÜNİTE Foksiolrı Grfiği f() Grfiği verile f() foksiouu tım ve görütü kümelerii bullım. 0 5 Foksio grfiğii üzerideki her bir oktı ekseie ol dik iz düşümleri tım kümesii, ekseie ol dik iz düşümleri ise görütü kümesii oluşturur. Grfiği verile f() foksiouu tım kümesi 6 -, @, görütü kümesi 6-5, @ rlıklrıdır. f() 5 0 f() foksiouu tım ve görütü kümelerii gösterelim, tım ve görütü kümelerideki elemlrı görütülerii iceleelim. f() foksiouu tım kümesi 6-5, @, görütü kümesi 6 -, @ rlıklrıdır. Tım kümesideki elemlrı görütüsü foksio krşılık gele ekseideki oktlrdır. Görütü kümesideki elemlrı görütüsü (ters görütüsü) foksio krşılık gele ekseideki oktlrdır. Grfik üzerideki f() foksiou krşılık gele oktlrı iceleelim. ( 5, ) oktsı içi f^- 5h= ve - f ^h =-5, (, ) oktsı içi f^- h= ve - f ^h =-, (0, ) oktsı içi f^0h= ve - f ^h = 0, (, ) oktsı içi f^h= ve - f ^h =, (, 0) oktsı içi f^h= 0 ve - f ^0h =, (, ) oktsı içi f^h=- ve - f ^- h = olur. 9
. ÜNİTE Sılr ve Cebir Verile grfikteki şekli bir foksio olbilmesi içi eksei üzeride tımlı olduğu her bir oktd ekseie prlel olrk çizile doğrulrı grfiği lızc bir oktd kesmesi gerekir. Bu işleme düşe (dike) doğru testi dı verilir. Aşğıd grfiği verile ifdeleri foksio olup olmdığıı bullım. ) f() 0 Çizile düşe doğrulrı hepsi grfiği lız bir oktd kestiği içi f() foksiodur. b) f() 0 Çizile düşe doğrulrı hepsi grfiği lız bir oktd kestiği içi f() foksiodur. c) f() 0 Çizile düşe doğrulr grfiği birde fzl oktd kestiği içi f() foksio değildir. ç) 0 f() Çizile düşe doğrulr grfiği birde fzl oktd kestiği içi f() foksio değildir. 9