T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KISA ELYAF TAKVİYELİ KOMPOZİT PLAKLARDA TİTREŞİM ANALİZİ Sit Özmen ERUSLU DOKTORA TEZİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANA BİLİM DALI TEZ DANIŞMANI: Doç Dr. Metin AYDOĞDU 28 EDİRNE

T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KISA ELYAF TAKVİYELİ KOMPOZİT PLAKLARDA TİTREŞİM ANALİZİ Sit Özmen ERUSLU DOKTORA TEZİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANA BİLİM DALI Bu tez.trihinde şğıdki jüri trfındn kbul edilmiştir. Doç. Dr. Metin AYDOĞDU Dnışmn Prof. Dr. Ş. Erol OKAN Prof.Dr.Erol AKATA Doç. Dr. Tner TIMARCI Yrd. Doç. Dr. Güler GAYGUSUZOĞLU

iii ÖZET Doktor Tezi Kıs Elf Tkvieli Kompozit Plklrd Titreşim Anlizi T.C. Trk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Mkin Mühendisliği An Bilim Dlı Bu çlışmd; kıs elf tkvieli dik ktmnlı kompozit kre plklrın serbest titreşim nlizi pılmıştır. Kompozit mlzemedeki kıs elflr bout ornın bğlı olrk sürekli elf kdr değişim gösteren küresel inklüzon olrk ele lınmışlrdır. Mori-Tnk ortlm ln teorisi kullnılrk inklüzon ornlrı ve bout ornlrın bğlı olrk efektif elstik sbitler bulunmuştur. Efektif elstik sbitler izotropik ve dikine izotropik durum için krışımlr kurlı sonuçlrıl krşılştırılmıştır. Önelikle plğın hreket denklemleri elde edilmiş ve bu denklemler Nvier tipi ve Ritz öntemi kullnılrk çözülmüştür. Arı Anss pket progrmı rdımıl plğın titreşim sonuçlrı elde edilmiş bulunn sonuçlrl krşılştırılmıştır. Dikine izotropik durum için bsit destekli ve genel sınır şrtlrındki plğın titreşimleri klsik plk teorisi ve birini mertebe km deformson teorisi kullnılrk inelenmiştir. Anlizlerde frklı kenr-klınlık ornlrı kullnılmıştır. Nümerik hesplmlr m elf tkvieli epox kompozit için verilmiştir. Bulunn sonuçlr litertürdeki değerlerle krşılştırılmıştır, Hung, 2 sonuçlrıl ii bir uum gözlenmiştir. Ktmnlr rsı süreklilik koşullrı erdeğiştirme lnınd kullnıln bir şekil fonksionu rdımıl sğlnmıştır. Anliz sonuçlrı efektif elsik sbitlerin inklüzon him ornlrındn ve bout ornlrındn etkilendiğini göstermiştir. Yüksek bout ornlrı için kıs elf tkvieli kompozit sürekli elf klşımı pmktdır. Anhtr Kelimeler: Kıs Elf Tkvieli Kompozitler, Kompozit Plk, Mori-Tnk Modeli, RitzYöntemi, Birini Mertebe Km Deformson Teorisi.

iv ABSTRACT Dotor of Philosoph Disserttion Vibrtion Anlsis of Short Fiber Reinfored Composite Pltes Trk Universit Institute of Nturl nd Applied Sienes Mehnil Engineering Deprtment In this work, the free vibrtion nlsis of short fiber reinfored ross pl lminted squre pltes re performed. The shpe of the short fibers re expressed s inlusions tht enbles the omposite reinforement geometril onfigurtions rnging from sphere to short nd ontinous fiber. The effetive elsti modulus of omposite is expressed b using Mori-Tnk men field pproh for different spet rtio nd volume frtions. The effetive elsti modulus re ompred with rule of mixture for isotropi nd trnsversl isotropi se. The governing equtions re obtined b mens of Hmilton s priniple nd solved b using Nvier tpe solution, Ritz Method nd Anss finite element progrm. The trnsversl isotropi plte vibrtions re obtined for simpl supported nd generl boundr onditions b using lssil plte theor nd first order deformtion theor. The nlsis is performed for different plte spn to thikness rtio. Numeril nlses re is given for glss reinfored epox omposites. The results re ompred with literture nd good ggrement is observed with Hung, 2 solution. The ontinuit onditions between lers of smmetri lminted pltes re stisfied b the use of the shpe funtion inorported into the theor whih lso unfies the first order sher deformble bem theories. The nlsis results indite tht the fiber ontent nd spet rtio ffet the nturl frequen for unidiretionll ligned omposites. For lrger spet rtios behvior of short fiber reinfored omposites pproximtes behvior of ontinous fiber reinfored omposites. Kewords: Short Fiber Reinfored Composites, Composite Plte, Mori-Tnk Method, Ritz Method, First Sher Deformtion Theor.

v ÖNSÖZ Bu çlışmı gerçekleştirmemde bu konud çlışmmı sğln desteklerini esirgemeen dnışmnım Doç.Dr. Metin AYDOĞDU çlışmnın her şmsınd gösterdiği rdımlrındn dolı teşekkür ederim. Litertür rştırmlrım sırsınd ve hlen sürekli mkle sğlmm rdımı oln ULAKBİM çlışnlrın rı teşekkür ederim. Bu çlışmnın hzırlnmsı sırsındki oğun çlışmlr sırsındki sbır ve desteği için eşim Yeliz ERUSLU gönülden teşekkür ederim. Son olrk, bu günlere gelmemde en büük p shibi oln kdemik ht tılmmd beni destekleen nnem, bbm ve krdeşime ıllr süren çblrı için sonsuz teşekkürler.

vi İÇİNDEKİLER Özet Abstrt Önsöz İçindekiler Şekil Listesi Çizelge Listesi Simgeler iii iv v vi ix xiii xiv BÖLÜM 1 GİRİŞ 1 BÖLÜM 2 KISA ELYAF TAKVİYELİ KOMPOZİTLERİN ELASTİK SABİTLERİNİN BELİRLENMESİ 6 2.1 Elstik Sbitlerin Mori Tnk Yöntemile Belirlenmesi 6 2.1.1 Eshelb tnsörünün bout fktörüne bğlı olrk belirlenmesi 1 2.1.2 Elf önlenmelerinin elstik sbitler üzerine etkisi 1 2.2 Elstik Sbitlerin Krışımlr Kurlıl Belirlenmesi 13 2.3 Elstik Sbitlerin Hshin-Shtrikmn Sınırlrıl Bulunmsı 14 2.4 Elstik Sbitlerin Birim Hüre Modellerile Bulunmsı 16 BÖLÜM 3 KATMANLI KOMPOZİT PLAK DENKLEMLERİ 17 3.1 Ktmn Gerilme Genleme İlişkileri 17 3.2 Ktmnlı Kompozit Plk Teorileri 21

vii 3.2.1 Klsik plk teorisi 21 3.2.2 Birini mertebe km deformson teorisi 22 3.3 Ktmnlı Kompozit Plklrın Titreşim Denklemleri 25 3.3.1 Sınır şrtlrı 28 3.4 Simetrik Dik Ktmnlı Plklrın Ktmnlrı Arsı Süreklilik Koşullrının Sğlnmsı 3 BÖLÜM 4 KISA ELYAF TAKVİYELİ KOMPOZİT PLAKLARIN ELASTİK SABİTLERİ İÇİN ELDE EDİLEN SONUÇLAR 32 4.1 Kıs Elf Tkvieli Kompozitlerin Elstik Sbitlerinin Bulunmsı 32 4.1.1 Cm elf tkvieli kompozitlerin elstik sbitlerinin bulunmsı 33 4.1.2 Küresel m elf tkvieli plstik esslı kompozitler için birim hüre modeli ugulmsı 35 4.1.3 Al/SiC tkvieli metl mtris kompozitlerin elstik sbitlerinin bulunmsı 38 BÖLÜM 5 KISA ELYAF TAKVİYELİ KOMPOZİT PLAKLARIN BASİT DESTEKLİ DURUMDA SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ 43 5.1 Bsit Desteklenmiş Dik Ktmnlı Kompozit Plklrın Titreşimi 43 5.1.1 Nvier tipi çözüm öntemi 43 BÖLÜM 6 KISA ELYAF TAKVİYELİ KOMPOZİT PLAKLARIN RİTZ YÖNTEMİYLE TİTREŞİM ANALİZİ 52 6.1 Ritz Yöntemi 52 6.2 Kıs Elf Tkvieli Dik Ktmnlı Kompozit Plklrın Ritz

viii Yöntemile Serbest Titreşim Sonuçlrı 54 6.2.1 Bsit desteklenmiş dik ktmnlı kompozit plklrın Ritz öntemile serbest titreşim sonuçlrı 55 6.2.2 Sonlu elemnlr modeli 56 6.3 Genel Sınır Şrtlrındki Dik Ktmnlı Kompozit Plklrd Serbest Titreşim Sonuçlrı 59 6.4 Süreklilik Koşullrı Şğlnmış Durumd Freknslrın Değişimi 66 6.5 Bsit Destekli Dik Ktmnlı Kompozit Plklrd Mod Şekillerinin İnelenmesi 68 BÖLÜM 7 SONUÇLAR 77 KAYNAKLAR 79 ÖZGEÇMİŞ 83

ix ŞEKİL LİSTESİ Şekil 2.1 Küresel inklüzon boutlrı 9 Şekil 2.2 Kıs elflrdki önlenme çılrı 11 Şekil 2.3 Elf önünde üklenmiş him elemnı 13 Şekil 3.1 Asl ve globl eksenler ve ktmn önlenme çısı 2 Şekil 3.2 Plk eksen tkımı ve plk boutlrı 27 Şekil 3.3 Kompozit plk kenrı boun sınır şrtlrının sırlnışı 29 Şekil 4.1 Enine elstisite modülünün ( L 11 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (CTP) 33 Şekil 4.2 Boun elstisite modülünün ( L 33 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (CTP) 34 Şekil 4.3 Km modülünün ( L 44 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (CTP) 34 Şekil 4.4 Bout ornın bğlı olrk elstik sbitlerin değişimi (CTP) 35 Şekil 4.5 Enine izotropik küresel tkvieli birim hüre modeli 36 Şekil 4.6 Birim hüre modelinde ugulnn sınır şrtlrı 37 Şekil 4.7 Mikromeknik modellere göre elstisite modülü değişimleri 38 Şekil 4.8 Enine elstisite modülünün ( L 11 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (Al/SiC) 39 Şekil 4.9 Boun elstisite modülünün ( L 33 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (Al/SiC) 4 Şekil 4.1 Km elstisite modülünün ( L 44 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (Al/SiC) 4 Şekil 4.11 Al/SiC kompozit mlzeme için gerilme genleme eğrileri 41 Şekil 4.12 Elstisite modülün elf him ornın göre değişimi (Al/SiC) 42 Şekil 5.1 Simetrik dik ktmnlı [ / 9 / 9 / ] kompozit plklrd

x frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (KPT) 45 Şekil 5.2 Antisimetrik dik ktmnlı [ / 9 / / 9 ] kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (KPT) 45 Şekil 5.3 Antisimetrik dik ktmnlı [ / 9 ] 5 kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (KPT) 46 Şekil 5.4 Simetrik dik ktmnlı [ / 9 / 9 / ] kompozit plklrd plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (BMT) 47 Şekil 5.5 Antisimetrik dik ktmnlı [ / 9 / / 9 ] kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (BMT) 47 Şekil 5.6 Antisimetrik dik ktmnlı [ / 9 ] 5 kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (BMT) 48 Şekil 5.7 Simetrik dik ktmnlı [ / 9 / 9 / ] kompozit plklrd frekns prmetresinin kenr klınlık ornı (L/h) ile değişimi [ : f =.3, : f =.5] 49 Şekil 5.8 Antisimetrik dik ktmnlı [ / 9 / / 9 ] kompozit plklrd frekns prmetresinin kenr klınlık ornı (L/h) ile değişimi [ : f =.3, : f =.5] 49 Şekil 5.9 Dik ktmnlı [ ] kompozit plklrd frekns prmetresinin kenr klınlık ornı (L/h) ile değişimi [ : f =.3, : f =.5] 5 Şekil 5.1 Kıs elf tkvieli kompozitlerin frekns prmetrelerinin elf him ornı ile değişimi 51 Şekil 5.11 Ortotropi ornın bğlı olrk frekns prmetrelerinin elf him ornıl değişimi 51 Şekil 6.1 Bsit destekli dik ktmnlı plklrd kenr klınlık ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi 56 Şekil 6.2 Sonlu elemnlr modeli 57 Şekil 6.3 SSSS sınır şrtı için simetrik dik ktmnlı [ / 9 / 9 / ] kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi 58

xi Şekil 6.4 SSSS sınır şrtı için ntisimetrik dik ktmnlı [ / 9 / / 9 ] kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi 58 Şekil 6.5 SSSS sınır şrtı için [ ] ktmnlı kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi 59 Şekil 6.6 BSBS sınır şrtı için [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd elf him ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi 6 Şekil 6.7 BABS sınır şrtı için [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd elf him ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi 61 Şekil 6.8 BBBS sınır şrtı için [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd elf him ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi 61 Şekil 6.9 ASSS sınır şrtı için [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd elf him ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi 62 Şekil 6.1 Elf him ornın bğlı olrk [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd frekns prmetresinin değişimi 63 Şekil 6.11 Elf him ornın bğlı olrk [ / 9 / / 9 ] dik ktmnlı kompozit plklrd frekns prmetresinin değişimi 63 Şekil 6.12 Elf him ornın bğlı olrk[ ] dik ktmnlı kompozit plklrd frekns prmetresinin değişimi 64 Şekil 6.13 Bout ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi (L/h=1) 65 Şekil 6.14 Bout ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi (L/h=1) 65 Şekil 6.15 Mod şekillerinin plk kenrı boun değişimi 69 Şekil 6.16 Mod şekillerinin plk kenrı boun değişimleri (Mod 1 4) 7 Şekil 6.16b Mod şekillerinin plk kenrı boun değişimleri (Mod 5-9) 71

xii Şekil 6.17 Düzlem içi er değiştirmeleri (u) veren mod şekilleri (Mod 1 6) 72 Şekil 6.17b Düzlem içi er değiştirmeleri (u) veren mod şekilleri (Mod 7-9) 73 Şekil 6.18 Düzlem içi er değiştirmeleri (v) veren mod şekilleri (Mod 1 2) 73 Şekil 6.18b Düzlem içi er değiştirmeleri (v) veren mod şekilleri (Mod 3-8) 74 Şekil 6.18 Düzlem içi er değiştirmeleri (v) veren mod şekilleri (Mod 9) 75 Şekil 6.19 Düzlem dışı er değiştirmeleri (w) veren mod şekilleri (Mod 1 4) 75 Şekil 6.19b Düzlem dışı er değiştirmeleri (w) veren mod şekilleri (Mod 5 9) 76

xiii ÇİZELGE LİSTESİ Çizelge 3.1 Kompozit plk sınır şrtlrı 28 Çizelge 4.1 Kıs elf tkvieli kompozitlerin meknik özellikleri 32 Çizelge 6.1 Sınır koşullrı 54 Çizelge 6.2 Dik ktmnlı kompozit plklrd boutsuz frekns prmetresinin kınsm çlışmsı 55 Çizelge 6.3 Simetrik dik ktmnlı / 9 / kompozit plklrd sürekli ve süreksiz durumd frekns prmetresinin elf him ornın bğlı olrk değişimi (=1, L/h=1) 66 Çizelge 6.4 Simetrik dik ktmnlı / 9 / kompozit plklrd sürekli ve süreksiz durumd frekns prmetresinin elf him ornın bğlı olrk değişimi (=1, L/h=1) 67 Çizelge 6.5 Simetrik dik ktmnlı / 9 / kompozit plklrd sürekli ve süreksiz durumd frekns prmetresinin elf him ornın bğlı olrk değişimi (=4, L/h=1) 67 Çizelge 6.6 Simetrik dik ktmnlı / 9 / kompozit plklrd sürekli ve süreksiz durumd frekns prmetresinin elf him ornın bğlı olrk değişimi (=4 L/h=1) 68 Çizelge 6.7 Mod değişim çizelgesi[ / 9 / 9 / ] 69 Çizelge 6.8 Mod değişim çizelgesi[ / 9 / / 9 ] 7

xiv SİMGELER 1, 2, 3 Kürenin ort ekseni C,C r Mtris ve fiber fzının elstisite modülü C İki fzlı kompozitin efektif elstisite modülü f, f r Mtris fiber fzının him ornı ε Uzk sınırdki üniform ük Him ortlmsı pt pt ε r, ε Fiber ve mtris fzındki ortlm ε, dğılmış genleme. ε r Mtris ve fiber fzındki ortlm genleme T ε Trnsformson genlemesi S r Eshelb tnsörü dil A r r th Sereltilmiş Konsntrson Fktörü A Mtris fzındki sereltilmemiş konsntrson fktörü A r Fiber fzındki sereltilmemiş konsntrson fktörü σ Mtris içerisindeki ortlm fz gerilmeleri M σ Fiber içerisindeki ortlm fz gerilmeleri r σ σ,b N E 1, E 2 G 12, G 13, G 23 Kompozitteki ortlm gerilme Uzk sınırd ugulnn gerilme x, önlerindeki plk boutlrı Lmin kompozitlerdeki ktmn sısı Ktmnlrdki elstisite modülleri Ktmnlrdki km modülleri

xv ν 12, ν 13 h σ τ (k) x (k) xz, σ, τ (k) (k) x, τ (k) z Poison ornlrı Plk klınlığı Krtezen koordintlrdki gerilme bileşenleri U,V,W x,,z önlerindeki deplsmnlr u, v, w Plğın ort düzlemlerinin deplsmn bileşenleri u 1, v 1 Plk ort düzlemindeki enine km genlemelerini içeren fonkionlr Q ij (i,j=1,2,6) İndirgenmiş Rijitlikler ε, ε, γ, γ, γ Gerinme bileşenleri x x xz z x,,z Krtezen koordintlrı t Zmn N, N, N, Q, Q Kuvvet bileşenleri x x x M M x, M, M, M x, M x, M x x A ij, B ij, D ij (i,j=1,2,6) B ijl, D ijl, D ijlm, A pqlm (i,j,l,m=1,2; p,q=4,5) q ρ, ρ i lm j (i =,1,2; j =,,1; l, m = 1,2) Moment bileşenleri Rijitlikler Km deformsonunu içeren rijitlikler Enine ük Atlet bileşenleri ρ Yoğunluk ω Frekns [K] Rijitlik mtrisi [M] Kütle mtrisi { } Bilinmeen ktsılr vektörü λ Boutsuzlştırılmış frekns prmetresi

1 BÖLÜM 1 GİRİŞ Elf tkvieli kompozit mlzemeler pek çok mühendislik ugulmsınd pı elemnı olrk kullnılmktdır. Bunun sebebi kompozit mlzemelerin üksek özgül dnımlı, üksek özgül modüllü, ii sönüm özellikli ve üksek orulm dnımlı olmlrıdır. Kompozitler genel olrk dnıklı sürekli elflrın nispeten dh umuşk mtris mlzeme içine koulmsıl elde edilir. Bu şekilde dnıklı ve hfif pılr elde edilir. Ugulmlrd mlieti zltmk ve krmşık şekilli pılr elde edebilmek için kıs elflı kompozitler kullnılbilmektedir. Prtik ugulmlrd kıs elf kullnımı gınlşmktdır. Gerekli olduğu erlerde kullnıldıklrınd mlzemenin performnsını önemli ornd rttırmktdırlr. Elf şekli prçık ve inklüzon şeklindeki kıs elflrdn sürekli elflr kdr değişmektedir. Son ıllrd fbrikson teknikleri; enjeksion klıplm, him klıpçılığı ve üç boutlu örgüleme öntemlerinin gelişmesile çeşitli formlrdki inklüzon şekilli kıs elflrın bir r getirilmesi sğlnmıştır. İnklüzon ile desteklenmiş kompozitlerin popülerlik kznmsıl bu tür kompozitlerin meknik dvrnışlrını nlmk gerekliliği ort çıkmıştır. Bu kompozitlerde kıs elflrın istenilen şekilde önlendirilmesi sonuund orulm ömrü rttırılbilmekte, hsr modlrı kontrol edilebilmektedir. Bu tür kompozitlerde en önemli mlzeme özelliği kompozitin sttik ve dinmik dvrnışını belirleen elstik sbitlerdir. İnklüzon içeren kompozit mlzemenin elstik özelliklerini belirlemede çeşitli klşımlr ort tılmıştır. İnklüzonlrın him ornlrı küçük olduğund Eshelb metodu efektif elstik sbitleri belirlemede ii sonuçlr vermektedir. Bu metot gerilmesiz genleme denilen inklüzonun üklemesiz durumdki dönüşüm genlemesini gözönüne lrk inklüzon üzerinde genlemeleri belirlemektedir (Eshelb, 1957). Eshelb genlemei inklüzonun şeklini, bout ornını ve mtrisin Poison ornını içeren Eshelb tnsörüle belirlemiştir. Diğer bir klşım krışımlr kurlıdır. Christensen ve Mlls, 1972,Hlphin vd., 1971 bu tekniği kullnrk elstik sbitleri bulmuştur. Bu klşım göre özellikleri bilinen bileşenler krışımlr kurlın göre krıştırılrk tüm mlzemenin özellikleri

2 sptnmktdır. Krışımlr kurlı fzlr rsınd sbit gerilme-genleme dğılımı olduğu kbulüne dnır. Gerçekte gerilme genleme değerleri fzlr rsınd sbit dğılmz. Bu klşımd mkroskobik olup elflrın geometrik özellikleri ve elflr rsı etkileşim de ihml edilmektedir. Krışımlr kurlı elstik sbitlerin belirlenmesinde etersiz klmktdır. Sürekli ve bsit geometrili iki fzlı pılrd efektif modüllerin tespiti oldukç kol olduğu hlde tkvielerin krmşık şekle ship ve süreksiz olduğu durumlrd geometrik prmetrelerin hesb ktılmsı zor olmktdır. Mtris mlzemesi ile elf mlzemesi rsındki etkileşimleri ele lrk her bir fz mlzemesinin fiziksel özelliklerinin dikkte lındığı klşımlr lokl homojenleştirme klşımlrı olrk nitelendirilir. Bu klşımlrdn biri tutrlı modeldir (Self onsistent). Bu model kullnılrk ilk olrk sürekli fz içinde gömülü oln önlenmeleri dikkte lınmmış polikristl trzınd ikinil fzlr inelenmiştir (Kröner, 1958, Wlpole, 1965). Dh sonrlrı mtris inklüzon etkileşimli modellerin oluşmsıl bu model modifie edilerek genelleştirilmiş tutrlı modeller oluşturulmuştur (Christensen ve Loo, 1979). Efektif elstik sbitlerin belirlenmesinde diğer bir lokl klşım Hshin Shtrikmn sınırlrı dır (Hshin ve Shtrikmn, 1963). Bu klşımd kıs elf tkvieli kompozit mlzemelerin elstik sbitlerinin lt ve üst sınırlrı fzlrın him ornlrı ve meknik özellikleri dikkte lınrk ifde edilmiştir. Mtrisin tkvieden umuşk olduğu durumlrd lt sınırlr, tkvieden sert olduğu durumlrd üst sınırlr geçerli olmktdır. Bu klşım him ornı %2 e kdr ii sonuçlr vermektedir. Prçıklr rsı etkileşimler, büük himsel tkvie ornlrınd ihml edilmektedir. Diğer bir klşım oln birim hüre modeli klşımlrı Cox trfındn ort koulmuştur (Cox, 1952). Bu modelde mtris ile tkvie mlzemesi r üzeindeki km gerilmeleri rılığıl gerilme ktrımındn ol çıkılrk elstik sbitler belirlenir. Bu teori (Clne, 1989) trfındn küçük tkvie bo/en ornlrını içereek şekilde genişletilmiştir. Son ıllrd çeşitli tkvie şekillerinde hüre modelleri üç boutlu olrk sonlu elemnlr öntemi rdımıl modellenmektedir (Gusev, 21). Bu modeller üç boutlu kompozit geometrisi, tkvie simetrilerinin zor sğlnmsı sebebile mtemtiksel olrk krmşık hle gelmektedir. Bu çlışmlr kıs elf bout ornlrını ve elf uzunluk dğılımlrını içereek şekilde genişletilmiştir (Hine P.J.vd, 22).

3 Tkvielerin modellenmesinde efektif sbitleri belirlemede diğer önemli klşım Mori-Tnk metodudur (Mori ve Tnk, 1973). Bu klşımd Eshelb nin gerilmesiz dönüşüm genlemesi çözümünü kullnılrk Mori-Tnk önelikle inklüzonlr içeren mtris mlzemesindeki ortlm genlemeleri belirlemiş ve eşdeğer inklüzon metodunu kullnrk inklüzonlrın şekillerini hesb ktmıştır. Bu teorile Mori-Tnk elflr ile mtris rsındki etkileşimi içeren bir klşım ort komuştur. Mori-Tnk bu metodl Eshelb nin metodunu, ükleme durumunu ve sereltilmemiş durumu göz önüne lrk genişletmiştir. Tndom ve Weng, 1984, Mori- Tnk ve Eshelb klşımını enine izotropik dğılmış inklüzon tkvieli kompozitler için bout ornı içereek şekilde ugulmışlrdır. Dh sonrlrı Pettermn vd., 1997 Mori-Tnk ortlm ln teorisini iki fzlı kıs elf destekli kompozitlerde termo elstik özellikleri belirlemede kullnmıştır. Onun çlışmsı nı zmnd inklüzon (kıs elf) destekli kompozitlerde inklüzon önlenmelerinin etkileri hkkınd bilgiler içermektedir. Son ıllrd pıln Mori-Tnk lt pılı çlışmlrd bout ornının ( / 3 1 ), inklüzon him ornlrının ve fiber önlenmesinin kompozit üzerine etkisi inelenmiştir (Hung, 21). İnklüzonlrın bout ornlrı 1(küre) den bşlrk rttırılmktdır. Bout ornı rttırıldıkç sürekli elflı sistemlere klşılmktdır. Sonuçt elstik sbitler fz özelliklerinin, him ornlrının ve inklüzon şekillerinin bir fonksionudurlr. Çlışmlrd bulunn efektif elstik sbitler tek önlü kıs elflr içerebileeği gibi kıs elflrın frklı önlerde önlenmeleride değerlendirilerek elstik sbitler bulunbilir. Ugulmd kıs elflrın kusursuz bir şekilde önlenmelerini kontrol etmek imkânsızdır. Getirilen klşımlrd kusursuz önlenme erine kısmi önlenme kullnılrk kıs elflr terih edilen önlerde önlendirilebilir. Geliştirilen mlzeme modellerinin ugulnbilir olmsı için bu modellerin bir çok frklı mlzemenin meknik dvrnışını belirlemesi gerekir. Litertürde Mori- Tnk klşımının frklı mlzemeler için ugulnbilirliği bir çok çlışmd ort konulmuştur (Funki K.vd., 26, Çlışıı M., 23). Son ıllrd pıln çlışmlrd Hung, 2, Chng vd., 24, Shukl vd., 24, Hung ve Shukl, 25 Mori-Tnk ortlm ln teorisini kullnrk elstik sbitlerini bulduklrı kıs fiber tkvieli kompozit plklrın titreşimi, burkulmsı üzerine çlışmlr pmktdır.

4 Kompozit ktmnlı plklrın değişik sınır şrtlrı ltındki sttik ve dinmik dvrnışı konusund pek çok rştırm pılmıştır. Kompozit dik ktmnlı plklrın kplı çözümlerle bsit destekli durumd dinmik nlizinin pıldığı ilk çlışmlr klsik plk teorisine (KPT) dnmktdır (Whithne ve Leiss, 1969, Jones, 1973). Değişik sınır koşullrındki plklrın burkulm ve titreşim dvrnışını inelemek mıl Ritz metodu, sonlu elemnlr metodu gibi klşık metodlr kullnılmıştır. Dikinson ve Blsio, 1985, Bhrlou ve Leiss, 1987, Leiss ve Nrit, 1989 Ritz öntemini kullnrk kompozit plklrın burkulm ve titreşim problemlerini değişik sınır koşullrınd inelemişlerdir. Jensen ve Crwle, 1985 nkstre plklrın titreşimini Ritz ve sonlu elemnlr öntemlerini kullnrk ve denesel olrk ele lmıştır. KPT ile elde edilen sonuçlrın denesel sonuçlrdn frklı olmlrındn dolı km deformsonu etkilerinin de göz önüne lındığı eni çlışmlr pılmıştır. Whitne ve Pgno, 197 kompozit plklrın sttik ve dinmik dvrnışlrını uniform km deformson teorisi (UKDT) çerçevesinde inelemişlerdir. Redd, 1984, Phn ve Redd, 1985 üksek mertebe km deformson teorisi kpsmınd sonlu elemnlr ve Lev tipi çözüm öntemlerini kullnrk kompozit plklrın sttik ve dinmik dvrnışlrını inelemişlerdir. Soldtos ve Tımrı, 1993 litertürde vr oln teorileri özel hl olrk elde etme olnğı sğln birleştirilmiş bir üksek-mertebe km deformson teorisi (BKDT) önermişlerdir. Adoğdu ve Tımrı, 21 BKDT çerçevesinde, değişik sınır koşullrındki kompozit plklrın kritik burkulm ükleri ve serbest titreşim freknslrını inelemişlerdir. Bu kısımd belirtilen km deformson teorileri tek tbk teorileri olrk bilinirler ve sbit sıd bilinmeen içerirler. Tek tbklı teoriler ile UKDT kpsmınd ktmnlr rsı süreklilik şrtlrının sğlnmsı mıl çeşitli çlışmlr pılmıştır (Chou ve Crleone, 1973, Di Siuv, 1986). BKDT kpsmınd Tımrı ve Soldtos, 1995 simetrik dik ktmnlı kbuklrın titreşim probleminde süreklilik şrtlrını sğlmışlrdır. Bu çlışmd; kıs elf tkvieli dik ktmnlı kompozit kre plklrın serbest titreşim nlizi pılmıştır. Kompozit mlzemedeki kıs elflr bout ornın bğlı olrk sürekli elf kdr değişim gösteren küresel inklüzon olrk ele lınmışlrdır. Mori-Tnk ortlm ln teorisi kullnılrk inklüzon him ornlrı ve bout ornlrın bğlı olrk efektif elstik sbitler bulunmuş ve frklı mikro meknik

5 klşımlrl krşılştırılmıştır. Yönlenme etkileri göz önüne lınrk elflrın enine önde önlendiği ve izotropik dğıldığı durum için elstik sbitler iki frklı mlzeme için bulunmuştur. Mori-Tnk metodunun ugulnbilirliği ort konulmuştur. Dh sonr plğın titreşim dvrnışını öneten hreket denklemleri elde edilmiş ve bu denklemler Nvier tipi ve Ritz öntemi kullnılrk çözülmüştür. Arı ANSYS pket progrmı rdımıl plğın titreşim freknslrı elde edilmiş bulunn sonuçlrl krşılştırılmıştır. Kompozit plğın titreşimleri klsik plk teorisi ve birini mertebe km deformson teorileri kullnılrk frklı sınır şrtlrı için inelenmiştir. Anlizlerde frklı kenr-klınlık ornlrı kullnılmıştır. Ktmnlr rsı süreklilik koşullrı er değiştirme lnınd kullnıln bir şekil fonksionu rdımıl sğlnmıştır. Çlışmd mikromeknik modelin sürekli elf klşımı, elstik özellikler ve dinmik krkteristikler ort konulurken çeşitli modellerle kıslmlr pılrk inelenmiştir. BÖLÜM 2

6 KISA ELYAF TAKVİYELİ KOMPOZİTLERİN ELASTİK SABİTLERİNİN BELİRLENMESİ 2.1 Elstik Sbitlerin Mori-Tnk Yöntemile Belirlenmesi Tutrlı model ve Mori-Tnk kompozit mlzemelerin elstik sbitlerinin belirlenmesinde kullnıln bşlı homojenleştirme öntemlerindendir (Kiriş A. ve İnn E., 25). Bu öntemlerin hemen hepsinde Eshelb trfındn önerilen ve prçıklrın serbest bir genleme ptığı vrsılrk bu genleme ile mtrisin genlemesi rsındki ilişkii veren Eshelb eşdeğer dönüşüm tnsörü kullnılmktdır. Ortmd elstik genlemeler dışındki nedenlerle oluşn bu gerilme ve genlemeler ilk olrk Mur trfındn tnımlnmıştır (Mur, 1987). Mori-Tnk önteminde elstik sbitler Eshelb nin ek genleme ek gerilme klşımın göre bulunmktdır. Bu çlışmd formulson N fzlı tek önde önlemiş kıs elflr için çıkrtılmıştır. Formulsond kıs elflrın çevresini srn mtris indisi ile gösterilmiş, elstisite modülü C, him ornı f olrk lınmıştır. Mtris ve elflr frklı mlzeme özelliklerine shiptir. Her bir elf fzı ( r th ) nı şekile (bout ornı), nı önlenmee ve mlzeme özelliklerine ship olrk lınmıştır. Fzdki him ornı f r ile elstisite modülü C r ile gösterilmiştir. Eshelb klşımın göre kompozite uzk bir sınırd düzgün ılı bir ük ugulndığınd fiberlerin çıkrıldığı kısımlrd düzgün ılı bir genleme( ε ) oluşur. Fkt inklüzonlrın vrlığı lokl olrk hem mtris içerisinde hemde inklüzonlrd dğılmış genlemeler rtır. Mori- Tnk bu klşımdn ol çıkrk mtris ve elflr içerisindeki ortlm genlemeleri tnımlmıştır. Mtristeki ortlm dğılmış genleme pt ε ve herhngi bir fzdki dğılmış genleme pt ε r olrk belirlenmiştir. Burdki işreti bu değerin kompozit boun him ortlmsı olrk lındığını göstermektedir. Mtristeki ortlm genleme şğıdki şekilde verilebilir (Hung, 21). pt ε ε ε = + (2.1)

7 Fzın mlzeme koordintlrının sl eksenlerle çkıştığı kbul edilip herhngi bir r ini fzdki ortlm genleme ε dn frklı olrk şğıdki şekilde verilebilir. pt r ε ε r ε = + (2.2) Her bir fz tek bir gerilme ve genlemee shiptir. Herhngi bir r ini fzdki ortlm gerilme genleme ilişkisi σ = olrk lınbilir. Eshelb klşımın göre r Cr ε r inklüzon içerisindeki gerilmeler mtrisin elstik sbitleri ve gerilmesiz dönüşüm genlemesi ( ε ) ile şğıdki şekilde gösterilebilirler. C * r ( * ) r ε r C ε r ε r = (2.3) İnklüzon küre olduğund dğılmış genleme gerilmesiz dönüşüm genlemesi ile ilişkilendirilerek Eshelb tnsörüle birlikte şğıdki şekilde gösterilebilir. pt r r * r ε = S ε (2.4) Enine İzotropik bir ortmdki küresel inklüzonlr için Eshelb tnsörü şğıdki şekildedir (Eshelb, 1957). ( S r ) 11 ( S r ) 12 ( S r ) 13 ( S r ) 12 ( S r ) 11 ( S r ) 13 ( S r ) 31 ( S r ) 31 ( Sr ) 33 S r = (2.5) ( S r ) 44 ( S ) r 44 ( S r ) 66 Eshelb tnsörü küresel inklüzonun elstik özelliklerinin ve elipsoidin ort ekseninin uzklıklrın bğlı bir fonksionudur. Burd ( S r ) ifdeleri küresel inklüzon için şğıdki şekilde tnımlnbilir. ( S ) = (7L + 2 L ) / (15 L ) (2.6) r 11 11 12 11 ( S ) = ( S ) = ( S ) = (4 L L ) / (15 L ) (2.7) r 12 r 13 r 31 12 11 11 ( S ) 4L L = (2.8) 11 12 r 44 15L11 ( S ) [ S ) ( S ) ]/ 2 r ( 66 r 11 r 12 = (2.9)

8 Burd L11 ve L 12 mtris mlzemesi için elstik sbitleri belirtmektedir. Yukrıdki eşitliklerdeki ε r çözülürse şğıdki gibi elde edilir. * r 1 ( Cr C ε = C ) ε r (2.1) Her bir fz için bulunn genleme ifdesinde erine zılırs şğıdki ifdeler bulunbilir. ε dil r A r dil ε = (2.11) 1 [ I + S ] 1 rc ( Cr ) Ar = C (2.12) Bu ifde içerisindeki Ι dördünü mertebeden birim tnsörü göstermektedir. herhngi bir fzdki sereltme gerinme konsntrson fktörünü belirtmektedir. Uzk bir sınırd ugulnn düzgün ılı bir ükteki genleme ifdesi rdımıl mtris mlzemesindeki ve herhngi bir fzdki sereltilmemiş genleme konsntrson fktörü şğıdki şekilde bulunbilir. f N + f r ε r = ε r= 1 ε (2.13) N f = 1 f r (2.14) r= 1 (2.8) denklemi (2.1) denklemi rdımıl çok fzlı sereltilmemiş (him ornı üksek oln) kompozitlerdeki mtris için ve her bir fz için konsntrson fktörü şğıdki gibi bulunbilir. 1 = + N dil A f I f r A r (2.15) r= 1 dil r A A = r A (2.16) dil A r Kompozitteki toplm gerilme σ her bir fzdki ortlm gerilmeler insinden tnımlnbilir. 1 σ = V 1 C ε dx + V D λ N r= 1 λr C ε dx = Cε r r (2.17) Her bir fzdki ortlm fz gerilmeleri şğıdki şekilde tnımlnbilir (Wkshim ve Tsukmoto, 1991). σ = fc ) + M T ( Sr I ε σ (2.18)

9 T σ = 1 f ) C ( S r r I) ε + ( σ (2.19) Sonuç olrk kompozitin elstik sbitleri C şğıdki şekilde bulunur. C = N f C A + f rcr Ar (2.2) r = 1 Bu durumd C ij elstik sbitleri şğıdki şekilde tnımlnbilir. C ij C C C C C C C C C 11 12 13 12 11 13 13 13 33 = C44 C44 C66 (2.21) Elstik sbitler frklı inklüzon bout ornlrın bğlı olrk bulunmuştur. İnklüzonlrın bout ornın bğlı olrk kıs elflrdn sürekli elf kdr değişimi şğıdki denklem ile tnımlnmıştır (Mur, 1987). Ω x z 2 2 2 : + + 2 2 2 1 2 3 1 (2.22) Bout ornlrı bulunurken elipsoidin ort ekseni 3 > 1 = 2 şeklinde tnımlnmıştır. (Şekil 2.1) Şekil 2.1 Küresel inklüzon boutlrı Bu çlışmd bout ornı = 3 1 şeklinde tnımlnmıştır.

1 2.1.1 Eshelb tnsörünün bout fktörüne bğlı olrk belirlenmesi Eshelb tnsörünün bout ornlrın bğlı olrk belirlenmesinde şğıdki formül kullnılmıştır (Snboh vd., 1999). 3 1+ 3M 1 2ν S1111 = S2222 = 1 (1 M ) 2 8(1 ν ) 2( 1) + + (2.23) 4(1 ν ) S 1 1+ 3M 1 2ν = 1 (1 + M ) 8(1 ν ) 2( 1) 4(1 ν ) 1122 2 2 1 (1 + 3 M ) 1 2ν S1133 = S2233 = (1 + M ) 2 4(1 ν ) 1 4(1 ν ) S S 1+ 3 M (1 2 ν ) M = S = + 4(1 ν )( 1) 2(1 ν ) 3311 3322 2 M ν M 2(1 ν ) 1 2(1 ν ) 2 1 (1 + ) (1 2 ) 3333 = 1 2 (2.24) (2.25) (2.26) (2.27) M 2 2 3/2 1 1/ ( 1) / ( 1) ) osh ( ) for 1 = 2 2 3/2 1 1/ ( 1) + / (1 ) ) os ( ) for 1 (2.28) Burd =1 küresel inklüzonu göstermekte olup M ifdesi bout ornının değişimine göre frklı değer lmktdır. 2.1.2 Elf önlenmelerinin elstik sbitler üzerine etkisi Bir öneki bölümdeki formulson elflrın sl eksenlerinin mtris önüle çkıştığı vrsımın dnmktdır. Bu bölümde önlenme etkileri dikkte lınrk sırsıl dikine izotropik ve izotropik dğılımlrd elstik sbitlerin değişimleri ineleneektir. Elf önlenme dğılımı iki Euler çısı ( θ, φ ) rdımıl Şekil 2.2 deki gibi tnımlnbilir (Hung ve Shukl, 25).

11 Şekil 2.2 Kıs elflrdki önlenme çılrı (Hung ve Shukl, 25) Asl eksenler ile dönmüş eksenler rsındki ilişki şğıdki şekilde tnımlnmıştır. u = u, i ij j mp n mq ij = np m nq q p m = os θ, n = sin θ, p = osφ ve q = sin φ (2.29) Burd u i ve u j sırsıl dönmüş ve sl eksen tkımlrındki birim vektörleri, ij dönmüş eksenler ile sl eksenler rsındki ilişkii tnımln trnsformson mtrisini göstermektedir. Kompozitin efektif elstik sbitleri önlenme etkileri dikkte lındığınd Euler çılrı rdımıl şğıdki şekilde tnımlnbilir (Hung ve Shukl, 25). θ π 1 L = C( θ, φ) sin φdφdθ (2.3) 4θ sin φ Burd θ ρ r oğunluk fonksionu şğıdki gibi tnımlnbilir. ( θ, φ ) 4θ sin φ ρ = r (2.31)

12 θ θ θ π π φ φ + φ (2.32) 2 2 Burd sin φ kürenin üze lnını tnımln çrpnı, C ( θ, φ) (2.2) denklemi ile elstik özellikleri belirlenen kompozitin tnsörel dönüşüm sonrsı efektif elstik sbitlerini tnımlmktdır. Durum 1 θ = ve φ = durumund bütün elflr tek önde sırlnmış ve x 1 eksenine prlel durum ort çıkmıştır. Bu durumd elflr sdee üç eksene göre dönebilir ve 5 bğımsız elstik sbit oluşur. Yönlenmiş elstik sbitler önlenmemiş elstik sbitler insinden şğıdki gibi tnımlnbilir. Kompozit bütün olrk dikine izotropik olrk kbul edilir (Hung, 21). L L L L L L L L L 11 12 13 21 12 22 23 31 13 32 23 33 = C(3,3) = C(1,2) = C(1,6) = Q ( C(1,1) + C(1, 2)) = 2 = C(2,6) = Q = Q = C(4, 4) Durum-2 θ = π ve (2.33) π φ = durumund elflrın her önde uniform dğıtılmış 2 olduğu durumu gösterir. Kompozit bu durumd önden bğımsızdır. Ve kompozit bütün olrk izotropik kbul edilir. Bu durumd önlenmiş elstik sbitler önlenmemiş elstik sbitler insinden şğıdki gibi tnımlnbilir. 1 2 L11 = L22 = [ ( 2 C(1,1) + C ( 3, 3 )) H ] 3 15 1 1 L12 = [ (2 C(1,3) + C(1, 2)) + H ] 3 15 L = L = C 13 23 16 1 1 L33 = [ (2 C(4, 4) + C(5,5) + H ] 3 15 Burd H şğıdki gibi tnımlnmıştır. (2.34)

13 H = [ C(1,1) + C(3,3) 2( C(2,3) 4 C(4, 4))] (2.35) Bu durumd izotropik durumdki kompozitteki efektif elstisite modülü ve Poisson ornı sırsıl şğıdki şekilde tnımlnır. E = C 11 2 2C 12 C + C 11 12 C C + C 12 ν = (2.36) 11 12 2.2 Elstik Sbitlerin Krışımlr Kurlıl Belirlenmesi Bu klşım mukvemet klşımı ve krışımlr kurlı olrk d bilinir. Sürekli elf tkvieli kompozitlerin meknik özelliklerini belirlemek mıl ort çıkmıştır. Bu klşım göre elflrd ve mtris mlzemede eşit genlemeler oluştuğu vrsılır (Jones, 1998). (Şekil 2.3) Şekil 2.3 Elf önünde üklenmiş him elemnı (Jones, 1998) Bu klşımd elf önündeki elstik modülü şğıdki şekilde hesplnır (Jones, 1998). 1 = E f V f EmVm (2.37) E + Burd E f elflrın elstisite modülünü, E m Mtris mlzemesinin elstisite modülünü, V m, V f sırsıl mtris ve fiberlerin him ornlrını göstermektedir. Elf önüne dik doğrultudki elstisite modülü şğıdki şekilde bulunur (Jones, 1998). E f Em E2 = (2.38) V E + V E m f f m

14 Km modülü ( G 12 ) şğıdki gibi hesplnır (Jones, 1998). 1 G 12 1 1 = Vm + V f (2.39) G G m f Burd G ve G sırsıl mtris ve elflrın km modüllerini göstermektedir. m f Poisson Ornı şğıdki şekilde belirlenir (Jones, 1998). 12 = V fν f Vmν m (2.4) ν + Bu klşımd kompozitlerin mikromeknik nlizinde ess lınn vrsımlr şğıd gösterilmektedir.. Mtris homojen,izotropik pıd olup lineer elstik dvrnış gösterir. b. Elflr homojen,izotropik pıd olup lineer elstik dvrnış gösterirler, pı içerisinde düzenli bir dğlım ve kusursuz bir önlenmee shiptirler.. Kompozit mlzeme ortotropik krkterli olup lineer elstik dvrnış gösterir. d. Ypı bileşenlerinde ve kompozitte pı htlrı, iç gerilmeler bulunmmkt ve bileşenler rsı üze bğlrı bulunmmktdır. Bu klşımı kullnrk süreksiz dğılmış fiber durumund kompozitin elstisite modülü (Cox, 1952) kritik elf uzunluğu klşımı kullnılrk bulunmktdır (Clister, 27). E V E + V f f m = Em (2.41) 5 V V Burd E süreksiz dğılmış durumd kompozitin elstisite modülü, V kompozitin toplm him ornı. 2.3 Elstik Sbitlerin Hshin-Shtrikmn Sınırlrıl Bulunmsı Hshin ve Shtrikmn homojen ve izotropik mlzemelerin elstik sbitlerinin lt ve üst sınırlrını her bir fzın fiziksel ve meknik özelliklerini hesb ktrk ort komuşlrdır (Hshin vd.,1962). Mtrisin tkvieden dh umuşk olduğu durumlrd

15 lt sınırlr, mtrisin tkvieden dh sert olduğu durumlrd üst sınırlr geçerlidir. Hshin Shtrikmn (HS) sınırlrı fz içerisinde homojen dğılmış küresel prçıklr için % 2 e vrn himsel tkvie ornlrınd elstik sbitlerin lt ve üst sınırlrının belirlenmesinde oldukç doğru sonuçlr vermektedir (Ürkmez, 24). Ypıln çlışmlrd Mori-Tnk modellerile HS sınırlrı rsınd uum gözlenmiştir (Weng, 199). Hshin Shtrikmn elstik sbitlerin lt ve üst sınırlrını belirlerken şğıdki eşitlikleri kullnmıştır. K L = K m + 1 V p ( K ) + ( + ) p K m 3V m 3K m 4Gm (2.42) K U = K p + 1 V m ( K ) + ( + ) m K p 3V p 3K p 4G p (2.43) G L = G m + V p ( 1 ( G )) + ((6( + 2 ) ) (5( 3 + 4 ) )) p Gm K m G m Vm K m Gm Gm (2.44) G U = G p + V m ( 1 ( G )) + ((6( + 2 ) ) (5( 3 + 4 ) )) m G p K p G p V p K p G p G p (2.45) Ve elstisite modülünün hesplnmsınd şğıdki eşitlik kullnılır. 9KG E = 3 ( K + G) (2.46) Burd K bulk modülü, G km modülünü, m ve p lt indisleri sırsıl mtris ve prçık, V him ornını, L ve U lt indisleri ise sırsıl lt ve üst sınırlrı ifde etmektedir. Yukrıdki eşitliklerde Km ve K p bulk modülleri mtris mlzemesi ve tkvie mlzemesi izotropik seçildiği için şğıdki formd hesplnmıştır. E K = 3(1 2 ν ) (2.47)

16 2.4 Elstik Sbitlerin Birim Hüre Modellerile Bulunmsı En bsit birim hüre modeli (BHM) kusursuz düzenlenmiş elflr için Cox trfındn ileri sürülmüş oln modeldir. Bu modelde ük ktrımı mtris ile tkvie r üzeindeki km gerilmeleri rılığıl sğlnmktdır. Bu klşım tkvie bo/en ornı küçük oln tkvie türü için doğru sonuçlr vermemektedir. Dh sonrlrı bu teori küçük tkvie bo/en ornlrını içereek şekilde genişletilmiştir (Clne, 1989). Prçık tkvieli kompozit mlzemelerin elstik özellikleri çeşitli tkvie şekillerinde (kübik, küresel, silindirik vs.) hüre modelleri olrk modellenerek üç boutlu modeller oluşturulmktdır. Son ıllrd simulson tekniklerinin gelişmesile istenilen şekilde, bout ornlrınd homojen dğılmış elf tkvieli kompozitlerin üç boutlu sonlu elemnlr modelleri oluşturulmktdır (Gusev, 22). Bu çlışmlr nı zmnd elf uzunluk dğılımınıd içermektedir.

17 BÖLÜM 3 KATMANLI KOMPOZİT PLAK DENKLEMLERİ Bu bölümde ktmnlı kompozit plklrın serbest titreşim probleminin denklemleri elde edilmiştir. Ktmnlrın gerilme genleme ilişkileri inelendikten sonr ktmnlı kompozit klsik plk ve birini mertebe km deformson (uniform km deformson teorisi) teorileri inelenmiştir. Bu teoriler kpsmınd elstik sbit ilişkileri kıs elf tkvieli kompozitler için tnımlnmıştır. Hmilton ilkesi kullnılrk ktmnlı kompozit plğın titreşim denklemleri ve olsı sınır şrtlrı elde edilmiştir. 3.1 Ktmn Gerilme Genleme İlişkileri Bu bölümde kıs fiber tkvieli ktmnlı kompozit plklrın titreşim dvrnışını inelemek mıl gerilme genleme ilişkileri inelenmiştir. Mori-Tnk öntemile belirlenmiş oln elstik sbitler ile ktmnlı kompozit plklrın elstik sbitleri rsınd ilişki ort konulmuştur. En genel hlde elstik bir isimde üç boutlu hlde bir noktd 9 gerilme ve 9 genleme bileşeni bulunur. Hooke ssın göre ktılık mtrisi 81 elstik sbit ile tnımlnır. Elstik sbitlerin sısı gerilme ve genlemelerin simetrik olmsı sebebile ( σ σ ε = ε ) ij =, sırsıl öne 54 e sonr 36 düşer (Gibson, 1994). Bu durumd ji ij ji genelleştirilmiş Hooke ssı şğıdki şekilde zılbilir. σ = C ε (3.1) i ij j Elstik sbitlerin sısı genleme enerjisi oğunluk fonksionunun kullnılmsıl (W) 21 e düşer (Gibson, 1994). Genleme enerjisi oğunluk fonksionul elstik sbitlerin ktılık mtrisinin simetrik olduğu ort çıkr. ( Cij = C ji )

18 Ktılık mtrisinin bundn sonrki bsitleştirmeleri mlzemenin kendinin bir tkım simetri düzlemlerine ship olmsı ile mümkündür. Eğer bir mlzemede üç simetri düzlemi vrs bu tür mlzemelere ortotropik mlzeme denir. Ortotropik mlzemelerde gerilme genleme ilişkisi şğıd verilmiştir. Bu durumd elstik sbit sısı denklem 3.2 de gösterildiği gibi 21 den 12 e düşer bu sbitlerden 9 tnesi bğımsızdır. σ1 C11 C12 C13 ε1 σ 2 C12 C22 C23 ε 2 σ 3 C13 C23 C33 ε 3 = σ 4 C44 ε 4 σ 5 C55 ε 5 σ 6 C66 ε 6 (3.2) Özelde ortotropik dikede izotropik durumd elstik sbit sısı 21 den 12 e bğımsız sbit sısı 5 e düşer. İzotropik durumd elstik sbit sısı 21 den 12 e bğımsız sbit sısı 2 e düşer. Bu çlışmd Özelde ortotropik dikede izotropik ve izotropik bir mlzeme kullnılktır. Özelde ortotropik dikede izotropik durumd bir düzlem boun elstik sbitler nı olmkt bu öne dik önde frklı mlzeme özellikleri bulunmktdır. Çlışmmızd düşe öndeki norml genleme ( ε 3 ) ihml edileektir ve σ 3 lınmktır. Özelde ortotropik dikede izotropik durumd ve izotropik durumd gerilme genleme ilişkileri sırsıl şğıd gösterilmektedir. σ1 C11 C12 ε1 σ 2 C12 C11 ε 2 σ 4 = C44 ε 4 σ 5 C44 ε5 σ 6 C 66 ε 6 (3.3)

19 σ1 C11 C12 ε1 σ 2 C12 C11 ε 2 σ 4 = K ε 4 σ 5 K ε5 σ 6 K ε 6 (3.4) Burd K C 11 C = 12 dir. 2 Özel bir hl olrk düzlem gerilme hlinde özelde ortotropik dikede izotropik durumd gerilme genleme ilişkisi şğıd verilmiştir. ( σ =, τ = τ ) 3 23 31 = σ C C σ = C C τ 1 11 12 1 2 12 11 2 C 12 66 12 ε ε γ (3.5) Ktmn elstik sbitleri denesel mühendislik sbitleri elstisite modülü ( E i ),km modülü ( G ij ),poison ornlrı ( ν ij ) insinden belirlenir. Özelde ortotropik bir mlzeme için düzlem gerilme hlinde bu sbitler şğıdki şekilde verilir. σ Q Q σ = Q Q τ 1 11 12 1 2 12 22 2 12 66 12 Q ε ε γ (3.6) Q 11 E1 = 1 ν ν 12 21 Q 12 = Q 21 ν 12 E2 = 1 ν ν 12 21 Q 22 E2 = 1 ν ν 12 21 Q = Q (3.7) 66 G 12 16 = Bu eşitliklerdeki E 1 ve E 2 sırsıl elf doğrultusund ve elf dik doğrultudki elstisite modülleridir. ν ij j önündeki genlemenin i önündeki genlemee ornı oln poison ornıdır. Kıs fiber tkvieli kompozit plklrın rijitliklerini tnımlmk mıl özelde ortotropik dikede izotropik kompozit için ktmn elstik sbitlerile önlenme etkileri göz önüne lınrk bir ilişki tnımlnmıştır. Bu tnımlmlr plk teorileri kısımlrınd belirtileektir. Genel durumd elf doğrultusu ktmn kenrı ile belli bir çı pk şekildedir (Jones, 1998). Elf doğrultusunu gösteren eksen tkımın sl eksen tkımı

2 dı verilir. Bu eksen tkımı sırsıl 1,2 ve 3 ile gösterilir. Ktmn kenrlrın prlel olrk çizilen sl olmn eksen tkımın globl eksen tkımı denir.(x,,z) Şekil 3.1 Asl ve globl eksenler ve ktmn önlenme çısı Globl eksen tkımındki gerilme genleme ilişkilerini tnımlmk mıl sl eksen tkımıl globl eksen tkımı rsınd bir dönüşüm tnımlmk gerekmektedir. Bu dönüşüm rdımıl globl eksenler insinden özelde ortotropik dikede izotropik bir mlzeme için gerilme-genleme ilişkileri şğıdki şekilde tnımlnır. σ x Q11 Q12 Q ε 16 x σ Q12 Q11 Q ε 26 τ z = Q44 γ z τ xz Q44 γ xz τ x Q16 Q26 Q γ 66 x (3.8) Q + 4 4 2 2 11 = Q11 + Q22s + 2( Q12 2Q66 ) s 2 2 4 4 ( Q + Q 4Q ) s + Q ( ) Q + 12 = 11 22 66 12 s Q + Q Q 4 4 2 2 22 = ( Q11 s + Q22 + 2( Q12 2Q66 ) s 3 3 = ( Q Q 2Q ) s ( Q Q 2Q s (3.9) 16 11 12 66 22 12 66 ) 3 26 = Q11 Q12 2Q66 ) s ( Q22 Q12 2Q66 ) ( s 3

21 2 2 4 Q 66 = ( Q11 Q12 2Q66 ) s + Q66 ( + s Q + 4 4 44 = Q44 Q55s 4 ) Bu eşitliklerdeki önlenme çısının kosinüsünü, s önlenme çısının sinüsünü göstermektedir. Bu çlışmd ktmn önlenme çısı ve 9 oln dik ktmnlı kompozit plklr kullnılmıştır. Tek ktmnlı, çok ktmnlı simetrik, ntisimetrik ktmn dizilişi için nlizler gerçekleştirilmiştir. 3.2 Ktmnlı Kompozit Plk Teorileri 3.2.1 Klsik plk teorisi Bu teorie göre deformsondn öne plk ort düzlemine dik doğrultulr deformsondn sonr şekil değiştirmez doğru klırlr ve deforme olmuş üzee teğet olk şekilde dönerler ( ε, γ =, γ = ) (Whithne ve Leiss, 1969). z = xz z Klsik plk teorisine (KPT) göre er değiştirme lnı bileşenleri şğıdki şekilde seçilmiştir. U, ( x, ; t) = u( x, ; t) zw x V, ( x, ; t) = v( x, ; t) zw (3.1) W ( x, ; t) = w( x, ; t) Birim şekil değiştirme bileşenleri şğıdki şekilde tnımlnmıştır (Gibson, 1994). ε x = e + zk x x ε = e + zk (3.11) γ x = e + zk x x Yukrıdki eşitlikteki genleme bileşenleri şğıdki gibi tnımlnmıştır.

22 e e e k k k x x x x = u = v, x, = u, = w = w + v, xx, = 2w, x, x (3.12) Genlemeleri bulduktn sonr gerilme-genleme ilişkilerinden rrlnrk gerilmeler tnımlnmıştır. σ 1 Q = σ 2 Q τ 12 Q 11 21 61 Q Q Q 12 22 62 Q Q Q 16 26 66 ε1 ε 2 γ 12 (3.13) Burd Q ij indirgenmiş elstik sbitlerdir (Jones, 1998). Yukrıdki denklemdeki indirgenmiş elstik sbitlerler ile Mori-Tnk öntemile bulmuş olduğumuz elstik sbitler rsınd fiber önlenme etkileri kullnılrk şğıdki gibi bir ilişki kurulmuştur (Hung, 25). Q Q Q Q Q Q Q Q Q 11 12 16 21 12 22 26 61 16 62 26 66 = C(3,3) = C(1,2) = C(1,6) = Q ( C(1,1) + C(1,2)) = 2 = C(2,6) = Q = Q = C(4,4) (3.14) 3.2.2 Birini mertebe km deformson teorisi Km deformson teorilerinde düşe km genlemeleri gözönüne lınrk vrsıln düzlem içi er değiştirme bileşenlerinde, düşe eksenin her ilve kuvveti için

23 eni bir bğımlı değişken ilve edilmektedir. Uniform km deformson teorisinde (Birini Mertebe Teori) düzlem içi er değiştirmelerin klınlık ile doğrusl olrk değiştiği vrsılmktdır. Bu klşım er değiştirme lnın eklenen eni fonksionlrın z nin fonksionu oln bir şekil fonksionu şeklinde seçilmesile genelleştirilmiştir (Tımrı ve Soldtos, 1995). Birini mertebe km deformson teorisine (BMT) göre er değiştirme lnlrı şğıdki şekilde seçilmiştir. U x, ; t) = u( x, ; t) zw x + zu ( x, ; ), (, 1 t V x, ; t) = v( x, ; t) zw + zv ( x, ; ), (3.15) (, 1 t W ( x, ; t) = w( x, ; t) Birim şekil değiştirme bileşenleri şğıdki şekilde tnımlnmıştır (Adoğdu, 23). ε = e + zk + zk x x x x ε = e + zk + zk γ = e + zk + zk + zk (3.16) γ γ x = x z e z = xz e xz x x x Yukrıdki eşitlikteki genleme bileşenleri şğıdki gibi tnımlnmktdır. e e e k k k x x x x = u = v, x, = u, = w = w + v, xx, = 2w, x, x (3.17)

24 e e k k k k z x x x x = v = u = u = v 1 1 = v 1, x 1, = u 1, 1, x (3.18) Genlemeleri bulduktn sonr gerilme-genleme ilişkilerinden rrlnrk gerilmeleri tnımlbiliriz. σ 1 Q σ 2 Q τ = 23 τ 13 τ 12 Q 11 12 16 Q Q 12 22 Q 26 Q 44 Q 55 Q16 ε1 Q 26 ε 2 γ 23 γ 13 Q 66 γ 12 (3.19) Burd Q ij indirgenmiş elstik sbitlerdir (Jones, 1998). Yukrıdki denklemdeki indirgenmiş elstik sbitlerler ile Mori-Tnk öntemile bulmuş olduğumuz elstik sbitler rsınd fiber önlenme etkileri kullnılrk şğıdki gibi bir ilişki kurulmuştur (Hung, 25). Q 11 = C 33 Q 12 = C 12 Q 16 = C 16 Q 21 = Q 12 Q ( C + C ) 11 12 22 = (3.2) Q 26 = Q 26 Q 44 = Q 66 2 Q = 55 = Q66 C44

25 3.3 Ktmnlı Kompozit Plklrın Titreşim Denklemleri Ktmnlı nizotropik plklrın serbest titreşim dvrnışını öneten denklemler Hmilton ilkesi ugulnrk elde edilmiştir. Bu mçl ilk öne ismin potnsiel ve kinetik enerjileri tnımlnmıştır. Elstik bir ismin genleme potnsiel enerjisi ε = kbulu ile (Lnghr, 1962) U 1 = ( σ xε x + σ ε + τ xγ x + τ xzγ xz τ zγ z ) dv (3.21) 2 G + V ve kinetik enerjisi (Whitne, 1987) 1 2 2 2 ( U, t + V, t + T = ρ W, t ) dv (3.22) 2 V şeklinde tnımlnmıştır. Bu eşitliklerde ρ mlzeme oğunluğunu " ", t = t zmn göre türevi, V hmi göstermektedir. Plğın titreşim denklemleri Hmilton ilkesi ile birlikte kefi bir zmn rlığınd şğıdki gibi zılbilir. (Lnghr, 1962). t ( δ U G δt ) dt = (3.23) t Burd δ vrsonel semboldür. Potnsiel enerji ve kinetik enerji ifdeleri erdeğiştirme bileşenlerinin türevleri insinden zılır ve vrsonel olrk ifde edilir. Aşğıd (3.21) denklemindeki ilk terimin vrsonu gösterilmiştir. xδε xdv = σ xδ ( u, x zw, xx + φ1u1, x ) V σ dzddx (3.24) V Burd kuvvet, moment bileşenleri ve tlet terimleri şğıdki gibi tnımlnmıştır. ( N x ( M, N x, M, N x x ) = ) = h / 2 h / 2 z h / 2 ( σ x, σ, τ x ) dz ( M x, M, M x ) = ( σ x, σ, τ x ) zdz h / 2 h / 2 ( σ x, τ x ) φ1 ( z) dz ( M, M x ) = ( h / 2 h / 2 h / 2 σ, τ ) φ z x 2 ( ) dz Q x = h / 2 τ φ dz Q = τ dz (3.25) xz 1 h / 2 h / 2 zφ 2 h / 2

26 ρ = i h / 2 h / 2 ρz i dz,(i=,1,2), h / 2 lm i m ρ i = ρz z dz( i =,1; l = m = 1,2) (3.26) h / 2 Kuvvet ve moment bileşenleri (3.23) denkleminde erine zılırs şğdki eşitlik elde edilir. b ( N δ x u, x M δ x w, xx + M δ x u1, x) ddx (3.27) Bu eşitliğe kısmi integrson ugulnırs şğıdki gibi üze ve eğrisel integrller elde edilir. b b N xδud N x, xδ uddx... (3.28) Anı vrsonel işlem diğer potnsiel ve kinetik enerji ifdelerinin tüm terimleri için pılıp ort çıkn integrller δ u, δv, δw, δu1 veδv1 vrsonlrı insinden gruplnıp sıfır eşitlenirse üze integrllerinden ktmnlı kompozit plğın denklemleri şğıdki gibi elde edilmiştir. 11 x, x + x, = ( ρ ρ1, x + ρ 1 ), tt N N u w u 21, + x, x = ( ρ ρ1, + ρ 1 ), tt N N v w v 11 21 x, xx +, + 2 x, x = [ ρ ρ1, ρ2 (, +, xx) + ρ1 1, x + ρ1 1, + ρ1, x], tt M M M w v w w u v u 11 11 12 x, x + x, x = ( ρ ρ1, x + ρ 1 ), tt M M Q u w u M + M Q, x, x 21 21 22 = ( ρ v ρ w + ρ v ) 1, 1, tt (3.29) Bu denklemlerde indisi ile gösterilen terimler klsik terimleri indisi ile gösterilen terimler km deformson teorilerinde kullnıln ek ifdeleri göstermektedir. Plk denklemlerindeki iç kuvvetleri ve moment ifdeleri rijitlikler insinden şğıdki şekilde tnımlnmıştır. Tnımlmlr pılırken koordint sistemi (x,,z) plğın ort düzlemi olrk seçilmiştir (Şekil 3.2 ). ( x Lx L h / 2 z h / 2 )

27 Şekil 3.2 Plk eksen tkımı ve plk boutlrı = ijlm ijl ijl ijl ij ij ijl ij ij k k e D D B D D B B B A M M N (3.3) = x x N N N N, = x x M M M M, = x x x M M M M M (3.31) + = x x v u v u e,,,,, = x xx w w w k,,, 2 = x x x M M M M k (3.32) = 1 1 5511 4422 u v A A Q Q x (3.33) Bu denklemdeki ktsılr (rijitlikler) şğıdki gibi tnımlnmıştır. = 2 / 2 / h h k ij ij dz Q A, = 2 / 2 / h h m l k pq pqlm dz Q A φ φ Ort düzlem x z x L L h

28 h / 2 k B ij = Qij zdz ijl = h / 2 h / 2 h / 2 h / 2 B Q φ dz h / 2 k 2 k D ij = Qij z dz Dijl = Qijφ l ( z) zdz h / 2 h / 2 k ij l D ijlm = h / 2 k Q φ φ dz ij h / 2 l m (3.34) l, m = 1,2; i, j = 1, 2 ; p, q = 4, 5 Bu ifdelerde φ,φ 1 2 deformson teorisi kpsmınd şekil fonksionlrını göstermektedir. Çlışmmızd birini φ 1 = φ 2 = z, klsik plk teorisi kpsmınd φ = φ lınmıştır. Km düzeltme fktörü k = 5 6 lınmıştır. 1 2 = 3.3.1 Sınır şrtlrı (3.24) denkleminin çözümlenmesi sonuund (3.25) denkleminde ort çıkn eğrisel integrller Çizelge3.1 deki sınır şrtlrını verirler. Bu sınır şrtlrındn er değiştirme bileşenleri (çökme ve dönmeler) ile ilgili olnlr geometrik sınır şrtlrı, kuvvet ve moment bileşenleri ise doğl sınır şrtlrı dını lır (Tımrı ve Soldtos, 1995). Çizelge 3.1 Kompozit plk sınır şrtlrı x=, L x =, L u d N x u d N x v d N x v d N w d M x, x + 2M, w, x d M x u 1 d v 1 d M x M x x w d M, + 2M, w, d M u 1 d v 1 d M x M x x

29 Bu çlışmd x=sbit kenrlr için kullnılk oln sınır şrtlrı şğıd verilmiştir (Tımrı ve Soldtos, 1995). Bsit Destekli (B): N = v = w = M = M = v1 = x x x Ankstre Destekli (A) : u = v = w = w, = u1 = v1 Serbest Destekli (S) : N = N = M = M, + M, = M = M x x x x =sbit kenrlr için kullnılk oln sınır şrtlrı şğıd verilmiştir Bsit Destekli (B) : N = u = w = M = M = u1 = Ankstre Destekli (A) : u = v = w = w, = u1 = v1 = Serbest Destekli (S) : N = Nx = M = M, + 2M x, x = M = M x = Kompozit plklrın sınır şrtlrının isimlendirilmesi Şekil 3.3 de gösterildiği şekilde pılktır. Bun göre x=sbit kenrlrı bsit destekli =sbit kenrlrı serbest oln plk şekilde görüldüğü gibi BSBS şeklinde isimlendirileektir. Şekil 3.3 Kompozit plk kenrı boun sınır şrtlrının sırlnışı

3 3.4 Simetrik Dik Ktmnlı Plklrın Ktmnlrı Arsı Süreklilik Koşullrının Sğlnmsı Yer değiştirme lnlrındki şekil fonksionlrı ktmnlı kompozit plklrın r üzlerinde dik km gerilmelerinin sürekliliğini sğlmz. Ar üzlerdeki gerilmelerin ve er değiştirmelerin sürekliliğini sğln eni şekil fonksionlrı kullnılbilir. Kefi bir tek sıd (2N+1) dik ktmnlı [ / 9] 2 1 + N simetrik plklrd süreklilik koşullrı eni şekil fonksionlrıl (Adoğdu ve Tımrı, 23) trfındn sğlnmıştır. [ A ( z) + B ], Φ ( z) = [ C ( z D ] Φ z φ ) + (3.35) 1( ) = k 1 k 2 kφ1 Burdki ktsılr k Q φ ( z ) A = A, A = 1, k ( km1) ( k m1) 55 k ( k ) ( k ) Q55 φ ( zk ) k m 1 Q Ck = Ck m 1, C = 1, Q ( k m1 44 ( k ) 44 B D [ A A ],, k = Bk µ 1 + φ 1( zk ) k µ 1 k B = [ C C ],. = Dk µ 1 + φ 2 ( zk ) k 1 k E = (3.36) k µ şeklinde elde edilirler. Burd ktmn numrsını gösteren k sısı, ort ktmnın üstünde pozitif, ltınd negtif işretlerini lmkt lt indisi ortdki ını ktmnı, zk ise k ını ktmn ile (k-1) ini ktmn rsındki r üzein koordintını göstermektedir. Verilen ktsılrd k nın pozitif ve negtif işretleri için denklemlerin sğ trfındki m işretlerinde, sırsıl ve + seçilir. Şekil fonksionlrının bu eni biçimlerinin dh öne verilen ilgili formulson ve denklemlerde kullnılmsı ile beş bilinmeen fonksiondn oluşn titreşim dvrnışlrını önlendiren denklemler elde edilmiştir. Bunun sonuund simetrik dik ktmnlı plklrd klınlık boun ktmnlr rsı er değiştirmelerin ve km gerilmelerinin sürekliliği sğlnmış olur. 3.37, 3.38 denklemleri 3.36 d erine zılır ve er değiştirme lnlrınd erine zılırs şğıdki denklemler elde edilir. U V W ( k ) ( k ) ( k ) () ( k ) ( x, z; t) = u zw, x + [ Akφ ( z) + Bk ] () ( k ) ( x, z, t) = v zw + [ C φ ( z) + D ] ( x, z; t) = w., x k k u () 1 v () 1,, (3.37)

31 Burd u v ( k ) 1 ( k ) 1 = A u = C k v () 1 () k 1 (3.38) lınmktdır.birini mertebe km deformson teorisi için ukrıdki ifdelerde şekil fonksionlrı şğıdki gibi seçilmiştir. φ ( z) = φ ( z) = z (3.39) 1 2

32 BÖLÜM 4 KISA ELYAF TAKVİYELİ KOMPOZİT PLAKLARIN ELASTİK SABİTLERİ İÇİN ELDE EDİLEN SONUÇLAR Bu bölümde önellikle 2 frklı mlzeme için frklı mikromeknik modellerle enine izotropik ve izotropik durum için elstik sbitler bulunrk, ugulmd kullnılk Mori-Tnk önteminin geçerliliği rştırılmıştır. 4.1 Kıs Elf Tkvieli Kompozitlerin Elstik Sbitlerinin Bulunmsı Bu çlışmd iki frklı kıs elf tkvieli kompozit için ugulm gerçekleştirilmiştir. Aşğıd ugulmsı gerçekleştirilen kompozit mlzemeler ve meknik özellikleri verilmektedir (Çizelge 4.1). Çizelge 4.1 Kıs elf tkvieli kompozitlerin meknik özellikleri Tkvie Mtris Tkvie Mtris Mtris Mlzemesi mlzemesi Mlzemesi Mlzemesi Mlzemesi Mlzeme Elstisite Elstisite Yoğunluk Yoğunluk Poisson Modülü Modülü 3 3 E 1 ( GP ( kg m ) ( kg m ) Ornı ) E 2 ( GP) 1-Cm Elf Tk. Plstik (CTP) 2-SiC Tkvieli Alüminum (Al/SiC) Tkvie Mlzemesi Poisson Ornı 73 256 5.35 125.34.22 49 32 68 27.34.19

33 4.1.1 Cm elf tkvieli kompozitlerin elstik sbitlerinin bulunmsı Çizelge 4.1 de meknik özellikleri verilmiş oln kompozit mlzemelerin elstik sbitleri Mori-Tnk metodu kullnılrk bulunmuş ve mikromeknik modellerden krışımlr kurlı ve birim hüre modellerile bulunmuş sonuçlrl krşılştırılmıştır. Şekil 4.1-4.3 de Cm elf tkvieli plstik mtris kompozitlerde tek önde önlenmiş elf dğılımı için (Özelde ortotropik dikede izotropik ) elstik sbitlerin frklı bout ornlrınd elf him ornın bğlı olrk değişimi gösterilmektedir. Bout ornlrı bulunurken elipsoidin ort ekseni 3 > 1 = 2 şeklinde tnımlnmıştır. Bout ornın bğlı olrk değişim ve önlenme etkileri Bölüm 2 deki şekilde tnımlnmıştır. Boun Elstisite Modülü dışındki tüm sbitler bout ornı rttıkç düşmektedir. Bout ornı rttırılıp sürekli elf klşıldıkç Boun Elstisite Modülü rtmıştır. İnklüzon him ornın bğlı olrk tüm elstik sbitler rtmıştır. Bout ornı rttırılıp belirli bir değere ulşıldığınd elstik sbitler klşık sbit klmıştır. Ykınsm bout ornı =4 değerine ulşıldığınd gözlemektedir. Burdn bout ornı rttırıldıkç kompozit mlzemenin sürekli elf klşımı ptığı sölenebilir. L11 (GP) 2 18 16 14 12 küre =2 =4 =4 =1 1 8,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 4.1 Enine elstisite modülünün ( 11 L ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (CTP)

34 L33(GP) 6 5 4 3 2 küre =2 =4 =4 =1 1,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 4.2 Boun elstisite modülünün ( L 33 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (CTP) 17 15 13 küre =4 =1 L44(GP) 11 9 7 5,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 4.3 Km modülünün ( L 44 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (CTP)

35 Lij (GP) 35 3 25 2 15 1 L33 L11 L44 L12 L13 5 1 2 4 4 1 Elf Bout Ornı Şekil 4.4 Bout ornın bğlı olrk elstik sbitlerin değişimi (CTP) 4.1.2 Küresel m elf tkvieli plstik esslı kompozitler için birim hüre modeli ugulmsı Elstik sbitlerin hesp edilmesinde kullnıln Mori-Tnk metodunun ugulnbilirliğini ve geçerliliğini rştırmk mıl küresel m elf tkvieli kompozitler için birim hüre modeli ugulmsı gerçekleştirilmiştir. Model sonlu elemnlr zılımı ANSYS rdımıl oluşturulmuştur. Model oluşturulurken birim hüre modeli ugulmlrı göz önüne lınrk küp bir model oluşturulmuştur (Kumlutş ve Tvmn, 26). Mori-Tnk modeline ugun olrk küresel tkvielerin çekme düzlemi boun enine izotropik şekilde dizildiği düşünülmüştür (Şekil 4.5).

36 Şekil 4.5 Enine izotropik küresel tkvieli birim hüre modeli Küresel m elf tkvieler için model gerçekleştirilmiştir. Mtris mlzemesi ve elf mlzemesi özellikleri Çizelge 4.1 de belirtildiği gibi m elf tkvieli plstik mtrisli mlzeme için oluşturulmuştur. Mtris ve küresel elflr Solid 45 ktı model elemn ile oluşturulmuştur. Mtris ve elf mlzemelerinin elstik bölgede birlikte dvrndığı düşünesile elf ve mtris mlzemeleri rsınd birleşim (oupling) işlemi ugulnmıştır ( Liu ve Zheng, 26 ). Küp him elemnı olrk sol kenrındn nkstre bir şekilde sbitlenmiştir. Çekme ükü küpün sğ üzeinde deplsmn kontrollü olrk verilmiştir. Aşğıdki him elmnın ugulnn sınır şrtlrı gösterilmektedir.

37 Şekil 4.6 Birim hüre modelinde ugulnn sınır şrtlrı Birim hüre klşımıl oluşturuln model belirli bir deplsmn ltınd elstik sınırlr içerisinde zorlnmıştır. Gerilme genleme ilişkilerinden rrlnrk çekme önündeki elstisite modülü tespit edilmiştir. Bulunn sonuçlr Mori-Tnk öntemile ve krışımlr kurlıl bulunn sonuçlrl krşılştırılmıştır (Şekil 4.7). Ugulm (=1) küresel m elf tkvieli epox için gerçekleştirilmiştir.

38 Boun Elstisite Modülü 25 2 15 1 5 Mori Tnk Birim Hüre Modeli Krışımlr Kurlı,66,14,2,266 Elf Him Ornı Şekil 4.7 Mikromeknik modellere göre elstisite modülü değişimleri Şekilden görüldüğü gibi Birim Hüre Modeli ve Mori-Tnk Modeli rsınd ii bir uum gözlenmektedir. Küçük elf him ornlrınd Krışımlr Kurlı d Mori- Tnk ve Birim Hüre modellerile kın sonuç vermektedir. Him ornı rttıkç Krışımlr kurlı ile diğer iki model rsı frk rtmıştır. 4.1.3 Al/SiC tkvieli metl mtris kompozitlerin elstik sbitlerinin bulunmsı Şekil 4.8-4.1 d AlSiC kompozitlerde tek önde önlenmiş elf dğılımı için elstik sbitlerin frklı bout ornlrı için elf him ornın bğlı olrk değişimi gösterilmektedir. Bu çlışmd Mori Tnk öntemile bulunn elstisite modülleri krışımlr kurlı sonuçlrıl krşılştırılmıştır. Şekillerden de görüldüğü gibi krışımlr kurlı Enine ve Km Elstisite Modüllerini düşük vermektedir. Ypıln çlışmlr krışımlr kurlı enine elstisite modülü sonuçlrının denesel değerlerden düşük değerler verdiğini göstermektedir (Gibson, 1994). Bout Ornı 3 / 1 > 4 için

39 Boun Elstisite Modülü sonuçlrı krışımlr kurlı sonuçlrındn üksek sonuçlr vermiştir. Dolısıl üksek bout ornlrı için inklüzon tkvieli kompozit sürekli fiber klşımı pmktdır. Bulunn sonuçlrl Hung, 2 trfındn bulunn sonuçlr rsınd ii bir uum gözlenmiştir. L11(GP) 23 21 19 17 15 13 11 9 =1 =2 =4 =4 =1 Krışımlr Kurlı 7,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 4.8 Enine elstisite modülünün ( L 11 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (Al/SiC)

4 4 35 3 =1 =2 =4 =4 =1 Krışımlr Kurlı L33(GP) 25 2 15 1,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 4.9 Boun elstisite modülünün ( L 33 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi (Al/SiC) 16 14 12 =1 =2 =4 =4 =1 Krışımlr Kurlı L44(GP) 1 8 6 4,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 4.1 Km elstisite modülünün ( L 44 ) elf him ornın bğlı olrk değişimi(al/sic)

41 Aşğıd önlenme etkileri göz önüne lınrk Al/SiC kompozit mlzeme için izotropik durumd elstisite modülü çlışmsı pılmıştır. Şekil 4.11 de (Ktsuuki vd., 25) him ornı f=.15 için pıln denesel çlışm bz lınrk çeşitli mikromeknik modellerin elstik bölgedeki gerilme-genleme klşımlrı inelenmiştir. Denesel verile krşılştırm prken önlenmiş fiber klşımını içeren Mori- Tnk öntemi, izotropik kbullerde kullnıln krışımlr kurlı ve Hshin-Shtrikmn sınırlrı kullnılmıştır (Bölüm 2.2). Bu çlışmdn görüldüğü gibi Mori-Tnk öntemi bz lınrk pıln önlenmiş fiber klşımı ve Hshin Shtrikmn sınırlrı ii sonuçlr vermiştir. Şekil 4.12 de önlenme etkileri göz önüne lınrk Al/SiC kompozit mlzeme için izotropik durumd elstisite modülleri gösterilmektedir. Şekilden görüldüğü gibi Mori-Tnk klşımı ve Hshin Shtrikmn sınırlrı düşük him ornlrınd ii sonuçlr vermiştir. Him ornı rttıkç krışımlr kurlı ile Hshin Sınırlrı ve Mori-Tnk metodu sonuçlrı rsındki frkın çıldığı gözlenmiştir. 5 Gerilme (MP) 4 3 2 1 2 4 6 8 1 Genleme є 1 6 Denesel Mori Tnk Krışımlr Kurlı Hshin Sınırlrı Şekil 4.11 Al/SiC kompozit mlzeme için gerilme genleme eğrileri

42 E(GP) 39 34 29 24 19 14 9 Mori Tnk Krışımlr Kurlı Dene Hshin Sınırlrı 4,1,15,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 4.12 Elstisite modülünün elf him ornın göre değişimi (Al/SiC) Hshin Sınırlrının %2 tkvie ornı üzerinde ii sonuçlr vermediği bilinmektedir (Hshin vd., 1963). Yptığımız çlışmlr Mori-Tnk modellerinin enine izotropik ve izotropik durumd ii sonuçlr verdiğini göstermiştir.

43 BÖLÜM 5 KISA ELYAF TAKVİYELİ KOMPOZİT PLAKLARIN BASİT DESTEKLİ DURUMDA SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ 5.1 Bsit Desteklenmiş Dik Ktmnlı Kompozit Plklrın Titreşimi Bu çlışmd, öneki bölümde elstik özellikleri belirlenmiş oln m elf tkvieli plstik mtrisli dik ktmnlı kompozit plklrın bsit desteklenmiş durumd serbest titreşim nlizi, Klsik Plk Teorisi ve Birini Mertebe Km Deformson Teorisi kullnılrk Nvier tipi çözüm öntemile nlitik olrk çözülmüştür. 5.1.1 Nvier tipi çözüm öntemi Plğın hreket denklemleri Nvier tipi çözüm öntemi kullnılrk çözülmüştür. Çözüm şmsınd plğın kenrlrındn bsit destekli olduğu şğıd verilen sınır şrtlrı kullnılmıştır. x = ± L x / 2 için sınır şrtlrı N = w = v = M = M = v x x x (5.1) = ± L / 2 için sınır şrtlrı N = w = u = M = M = v1 = (5.2) Bu sınır şrtlrını sğln Nvier tipi er değiştirme ln bileşenleri şğıdki gibi belirlenebilir. 2mπ x 2nπ ( u, Lxu1 ) = ( A, D)os sin sin ωt, (5.3) L L x 2mπ x 2nπ ( v, Lv1 ) = ( B, E)sin os sin ωt, (5.4) L L x 2mπ x 2nπ w = C sin sin sinωt (5.5) L L x 1 =

44 Burd m ve n x ve önleri boun rım dlg sılrını, A,B,C,D,E bilinmeen ktsılrı, L x ve L şekil 3.2 de gösterilen plk kenr uzunluklrını göstermektedir. Bu çlışmd serbest titreşim nlizi kre plk için gerçekleştirildiğinden plk boutlrı L = L = L şeklinde lınmıştır. x Klsik plk teorisi sonuçlrı bulunurken (5.3-5.5) denklemlerindeki u,v,w er değiştirme lnlrı ele lınmıştır. Yer değiştirme lnlrı plğın hreket denklemlerinde erine zılırs şğıdki özdeğer problemi elde edilir. 2 [ K λ M ] = (5.6) T = (ABCDE) (5.7) Bu eşitliklerdeki K ktılık mtrisini, M tlet mtrisini, λ boutsuz frekns prmetresini göstermektedir. ρ ω Serbest titreşim problemin çözümünde frekns prmetresi boutsuz olrk 2 L λ = x şeklinde seçilmiştir. Burd ( rd sn) 3 E2h ω diresel freknsı, E 2 enine öndeki elstisite modülünü, h plk klınlığını, ρ kompozit mlzeme oğunluğunu göstermektedir. Serbest titreşim freknslrı sonuçlrı, m elf tkvieli plstik esslı dik ktmnlı simetrik ve ntisimetrik kre plklr için frklı elf bout ornlrı, elf him ornlrı ve kenr-klınlık ornlrı için bulunmuştur. Şekil 5.1-5.3 te simetrik ve ntisimetrik dik ktmnlı kompozit plklr it klsik plk teorisi ile elde edilen temel serbest titreşim freknslrının, kenr klınlık ornı L/h=5 için elf him ornı ve bout ornı ile bsit destekli durumd değişimi verilmiştir. Bu şekillere göre elf him ornının rtmsıl boutsuz frekns prmetresi rtmıştır. Bu rtış küçük bout ornlrınd 4 ukrı konveks iken büük bout ornlrınd şğı konkv olmuştur. Bout ornlrı rttırıldığınd belli bir değerden sonr sonuçlrın değişmediği gözlenmiştir. Bu durumd sürekli elf durumun klşılmktdır. Ktmn sısının rttırılmsındn frekns prmetresi fzl etkilenmememiştir. Bulunn sonuçlr Hung, 2 sonuçlrıl kıslnmış ii bir uum olduğu gözlenmiştir.

45 Frekns Prmetresi 16 15 14 13 12 11 1 9 =1 =2 =4 =4 =1 8,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 5.1 Simetrik dik ktmnlı [ / 9 / 9 / ] kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (KPT) Frekns Prmetresi 16 15 14 13 12 11 1 9 =1 =2 =4 =4 =1 8,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 5.2 Antisimetrik dik ktmnlı [ / 9 / / 9 ] kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (KPT)

46 Frekns Prmetresi 16 15 14 13 12 11 1 9 =1 =2 =4 =4 =1 8,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 5.3 Antisimetrik dik ktmnlı [ / 9 ] 5 kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (KPT) Şekil 5.4-5.6 d simetrik ve ntisimetrik dik ktmnlı kompozit plklrın birini mertebe km deformson teorisi ile elde edilen doğl titreşim freknslrı sunulmuştur. Grfiklerden görüldüğü üzere frekns prmetresinin elf him ornı ve bout ornı ile değişimi klsik teorile elde edilen sonuçlr benzer dvrnış göstermiştir. Burd elde edilen sonuçlr Şekil 5.1-5.3 de KPT için elde edilen sonuçlrl kıslndığınd BMT sonuçlrının dh düşük olduğu gözlenmiştir. Arı BMT sonuçlrının bout ornı ile değişimi dh dr bir rlıkt gerçekleşmiştir.

47 Frekns Prmetresi 13,5 12,5 11,5 1,5 9,5 8,5 =1 =2 =4 =4 =1 7,5,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 5.4 Simetrik dik ktmnlı [ / 9 / 9 / ] kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (BMT) Frekns Prmetresi 13,5 12,5 11,5 1,5 9,5 8,5 =1 =2 =4 =1 =4 7,5,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 5.5 Antisimetrik dik ktmnlı [ / 9 / / 9 ] prmetresinin elf him ornıl değişimi (BMT) kompozit plklrd frekns

48 Frekns Prmetresi 13,5 12,5 11,5 1,5 9,5 8,5 =1 =2 =4 =4 =1 7,5,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 5.6 Antisimetrik dik ktmnlı [ / 9 ] 5 kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi (BMT) Frekns prmetresinin frklı ktmn dizilişi için L/h ornı ile frklı bout ornlrı ve frklı him ornlrı için değişimi Şekil 5.7-5.9 d verilmiştir. Grfiklere göre büük him ornlrınd dh üksek freknslr elde edilmektedir. Bunun sebebi küçük elstisite modüllü mtris mlzemesine hime dh fzl ornd dh üksek elstisite modüllü elf ktılmsı sonuund elde edilen kompozitin etkin mlzeme modüllerinin rtmsıdır. Frekns prmetresi L / h 2 iken dh belirgin olrk değişmekteken dh büük kenr klınlık ornlrınd değişim zlmktdır.

49 Frekns Prmetresi 15, 14,5 14, 13,5 13, 12,5 12, 11,5 11, 1,5 1, =1 (1) =1 (2) =4 (1) =4 (2) =4 (1) =4 (2) =1 (1) =1 (2) 1 2 5 1 L/h Şekil 5.7 Simetrik dik ktmnlı [ / 9 / 9 / ] kompozit plklrd frekns prmetresinin kenr klınlık ornı (L/h) ile değişimi [ : f =.3, : f =.5] Frekns Prmetresi 15, 14,5 14, 13,5 13, 12,5 12, 11,5 11, 1,5 1, =1 (1) =1 (2) =4 (1) =4 (2) =4 (1) =4 (2) =1 (1) =1 (2) 1 2 5 1 L/h Şekil 5.8 Antisimetrik dik ktmnlı [ / 9 / / 9 ] kompozit plklrd frekns prmetresinin kenr klınlık ornı (L/h) ile değişimi [ : f =.3, : f =.5]

5 Frekns Prmetresi 15, 14,5 14, 13,5 13, 12,5 12, 11,5 11, 1,5 1, =1(1) =4(1) =4(1) =1(1) =1(2) =4(2) =4(2) =1(2) 1 2 5 1 L/h Şekil 5.9 Dik ktmnlı [ ] kompozit plklrd frekns prmetresinin kenr klınlık ornı (L/h) ile değişimi [ : f =.3, : f =.5] Şekil 5.1 d Bölüm 4 de elstik sbitlerini belirlediğimiz kıs elf tkvieli kompozit mlzemelerin frekns prmetrelerinin elf him ornıl değişimleri inelenmiştir. Bu şekilde kesik çizgi ile gösterilen ifdeler SiC tkvieli lüminum mtris kompozitleri (Al/SiC), düz çizgi ile gösterilenler m elf tkvieli plstik mtris kompozitleri (CTP) göstermektedir. Çlışmd klsik plk teorisi kullnılrk [ ] dik ktmnlı kompozit plklrın bsit destekli durumd serbest titreşim nlizi sonuçlrı bout ornı ve elf him ornını içereek şekilde verilmiştir. Şekildeki kompozit mlzemelerin, tkvie elstisite modülü mtris elstisite modülü ornı ( E1 / E2) inelendiğinde Al/SiC ve Cm elf tkvieli plstik için sırsıl 7.2 ve 13.64 bulunmktdır. Şekilden görüldüğü gibi ( E1 / E2) ortotropi ornı rttıkç frekns prmetresinin rttığı gözlenmektedir. Şekil 5.11 de [ ] ktmnlı kompozit plklrın bsit destekli durumd ortotropi ornı, bout ornı ve elf him ornını bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi inelenmiştir. Şekillerden görüldüğü gibi ( E1 / E 2) ornı rttıkç bout ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi geniş bir rlıkt gerçekleşmektedir.

51 Frekns Prmetresi 15, 14, 13, 12, 11, 1, A=1 ( Al/SiC) A=4 (Al/SiC) A=1 (Al/SiC) A=1 (CTP) A=4 (CTP) A=1 (CTP) 9, 8,,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 5.1 Kıs elf tkvieli kompozitlerin frekns prmetrelerinin elf him ornıl değişimi Frekns Prm etresi 16 15 14 13 12 11 1 9 =4 (E1/E2=5) =1 (E1/E2=5) =4 (E1/E2=1) =1 (E1/E2=1) =4 (E1/E2=2) =1 (E1/E2=2) 8,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 5.11 Ortotropi ornın bğlı olrk frekns prmetrelerinin elf him ornıl değişimi

52 BÖLÜM 6 KISA ELYAF TAKVİYELİ KOMPOZİT PLAKLARIN RİTZ YÖNTEMİYLE TİTREŞİM ANALİZİ 6.1 Ritz Yöntemi Ritz öntemi vrsonel ilkelere dnn klşık çözüm öntemlerinden birisidir. Plğın titreşim dvrnışlrını öneten denklemler vrsonel ilkeler ile Bölüm3 te elde edilmişti. Ritz önteminde ise toplm potnsiel enerjii tnımlmk için 3 serbestlik dereeli klsik plk teorisi çerçevesinde şğıd verildiği gibi klşık bir er değiştirme lnı önerilir. u = v = w = I i= J k= M m= A f ( x,, z), B i k C m f i k f ( x,, z), m ( x,, z). Bu eşitliklerde u, v, w, sırsıl x, ve z önlerindeki er değiştirme bileşenlerinin klşık ifdeleri, A, B ve C bilinmeen ktsılr ve f i, f k ve fm en zındn i k m kenrlrd verilen geometrik sınır şrtlrını sğlk şekilde seçilen sürekli (6.1) fonksionlrdır. Bu vrsıln er değiştirme bileşenleri, serilerin üst sınırlrı sonsuz giderken gerçek değerlerine kınsrlr. Ritz önteminde kınsm büük ölçüde seçilen er değiştirme lnın bğlıdır. Titreşim probleminde, plğın toplm potnsiel enerji fonksioneli şğıdki gibi tnımlnır. F = T U (6.2) mx G mx Burd T (3.2) denklemi ile verilen plk kinetik enerijisini, U G (3.21) denklemi ile verilen genleme potnsiel enerjisini göstermektedir. (6.2) denklemi ile tnımlnn enerji fonksioneli (6.1) deki er değiştirme lnı bileşenleri insinden elde edilip ktsılr göre şğıdki gibi minimize edilirse bilinmeen ktsılrı insinden bir homojen denklem sistemi elde edilir.

53 F A i F F =, =, =, B C k m (6.3) (i=,1,2,...,i; k=,1,2,...,k; m=,1,2,...,m), Bu denklem tkımındki ktsılr mtrisinin determinntını sıfır pk özdeğerler gerçek değerlere üst sınır oluşturur. Mtris boutu (6.1) eşitliğindeki serilerin terim sısın bğlıdır. Yukrıd (6.1) denklemi ile verilen serilerdeki fonksionlr plğın nl koordintlrın bğlı iki fonksionun çrpımı şeklinde vrsılır. Aşğıdki denklemde KPT çerçevesinde plğın kenrlrınd ugulnbileek tüm sınır koşullrını sğlbilmek mıl, bileşenlerinin bsit polinomlr şeklinde vrsıldığı genel ktmnlı plklrın titreşimi için önerilen formülson verilmektedir (Nrit, 1995). X ( x) = x Y ( ) = g f g f ( x 1) ( 1) B1 B2 ( x + 1) ( + 1) B3 B4, f = i, k, m, g = j, l, n (6.4) B i üst indisleri kenrlrdki sınır koşullrın bğlı olrk; serbest kenr için,bsit destekli kenr için 1 ve nkstre kenr için 2 değerlerini lmktdır. (6.4) denkleminde verilen polinomlr iki fonksionun çrpımı şeklinde (6.1) denkleminde zılırlrs şğıdki eşitlik elde edilir. Aşğıdki denklem 5 serbestlik dereeli birini mertebe km deformson teorisini içereek şekilde genişletilmiştir. u( x, ) = v ( x, ) w ( x, ) u ( x, ) = 1 v ( x, ) = 1 = = I i= j= K k = l = M m= n= P R J L N Q S A X ( x) Y ( )sin ωt, B p= q= r = s= kl C ij D E X mn pq rs i k X X ( x) Y ( )sin ωt, X m r ( x) Y ( )sin ωt, p l j n ( x) Y ( )sin ωt, q ( x) X ( s)sin ωt (6.5)

54 Minimizson işlemi sonuund A, B, C, D, E bilinmeen ktsılrın göre bir ij kl mn pq rs denklem sistemi oluşur. Bu denklem sistemi mtris formund ifde edilirse şğıdki gibi bir özdeğer problemine dönüşür. 2 [ K λ M ] = T = ( ABCDE) (6.6) Aşğıd çlışmd kullnıln sınır koşullrı gösterilmektedir (Çizelge 6.1). Çizelge 6.1 Sınır koşullrı Sınır Koşullrı ξ = ± 1 η = ± 1 Bsit Destekli (B) v = w = v u = w = u 1 = Ankstre (A) u = v = w = w ξ = u = v = v = w = w = u = v, 1 1 = 1 = u, η 1 1 = Serbest(S) u, v, w, u, v u, v, w, u, v 1 1 1 1 6.2 Kıs Elf Tkvieli Dik Ktmnlı Kompozit Plklrın Ritz Yöntemile Serbest Titreşim Sonuçlrı Krşılıklı iki kenrının bsit destekli olduğu durumlr dışınd kompozit plklrın titreşim problemlerine nlitik çözümler bulunmsı mümkün olmmktdır. (6.5) eşitliğindeki er değiştirme lnlrının seri çılımlrınd (6.4) eşitliğindeki bsit polinomlrın seçilmesi ile her çeşit sınır şrtındki nizotropik plklrın titreşim nlizi inelenebilmektedir. Bu bölümde bu polinomlrın seçilmesile 5 frklı sınır şrtı için m elf tkvieli plstik mtrisli dik ktmnlı plklrın serbest titreşim nlizi pılmıştır. Bu nlizde sonuçlrın bulunmsınd birini mertebe km deformson teorisi kullnılmıştır. Çizelge 6.2 de [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd elf bout ornı =4 kenr klınlık ornı L/h=1 elf him ornı f=.2 için boutsuz frekns prmetresinin kınsm çlışmsı gösterilmektedir. Tblo göre 5 ile 6 terim için elde edilen boutsuz freknslr rsındki en büük frk BABS sınır şrtı için %.28 olrk elde edilmiştir. Bu nedenle bu çlışmd Ritz öntemile elde edilmiş

55 sonuçlr için terim sısı denklem (6.5) te verilen her bir toplm için 6 terim olrk lınmıştır. Çizelge 6.2 Dik ktmnlı kompozit plklrd boutsuz frekns prmetresinin kınsm çlışmsı MxN BBBB BSBS BABS BBBS ASSS AASS BBSS 3x3 9.252 4.449 5.983 5.665 1.643 3.29 1.791 4x4 9.249 4.438 5.949 5.612 1.621 3.193 1.772 5x5 9.249 4.381 5.941 5.594 1.66 3.185 1.763 6x6 9.249 4.381 5.924 5.585 1.64 3.178 1.76 6.2.1 Bsit desteklenmiş dik ktmnlı kompozit plklrın Ritz öntemile serbest titreşim sonuçlrı Çlışmnın bu kısmınd öneki bölümlerde Nvier tipi çözüm öntemile bulunmuş oln bsit desteklenmiş dik ktmnlı kompozit plklrın serbest titreşim nlizi klşık bir öntem oln Ritz öntemi ve sonlu elemnlr pket progrmı ANSYS ile bulunmuş ve Nvier tipi çözüm öntemile krşılştırılmıştır. Anlizlerde birini mertebe km deformson teorisi kullnılmıştır. Şekil 6.1 de simetrik ve ntisimetrik dik ktmnlı kompozitlere it serbet titreşim freknsı sonuçlrı frklı öntemler için kıslnmıştır. 1 ve 2 ikonul gösterilen nlizler sırsıl [ / 9 / 9 / ] simetrik dik ktmnlı ve [ / 9 / / 9 ] ntisimetrik dik ktmnlı kompozit plğı göstermektedir. Şekilde Fem ikonul gösterilen ifdeler dik ktmlı kompozit plklr için ANSYS pket progrmı rdımıl elde edilmiş oln serbest titreşim sonuçlrını göstermektedir. Anlizlerimizde bout ornı =4 him ornı f=.3 lınmıştır (Şekil 6.1). Bu şekle göre frklı öntemlerle elde edilen sonuçlr rsındki frklr en kötü durumd % 4-5 ler mertebesindedir. L/h ornının rtmsıl frklı öntemlerle elde edilen sonuçlr birbirine klşmktdır ( Eruslu ve Adogdu, 28).

56 Frekns Prmetresi 11,65 11,45 11,25 11,5 1,85 1,65 Nv ier(f.s.)-1 Ritz (f.s.)-1 Fem-1 Nv ier (f.s)-2 Ritz(f.s.)-2 Fem-2 1,45 1 2 5 1 L/h Şekil 6.1 Bsit destekli dik ktmnlı plklrd kenr klınlık ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi 6.2.2 Sonlu elemnlr modeli Çlışmnın bu kısımınd Mori-Tnk metodu kullnılrk dikine izotropik bir kompozitteki (=4) bout ornlrı için bulunmuş oln elstik sbitler kullnılmk suretile sürekli elf tkvieli bir kompozit için sonlu elemnlr modeli oluşturulmuştur. Dik ktmnlı kompozit plklrın BBBB, BSBS, BABS, BBBS, ASSS sınır koşullrı için serbest titreşim nlizi gerçekleştirilmiştir. Bulunn sonuçlr boutsuzlştırılrk Nvier öntemi ve Ritz metodul bulunn sonuçlrl krşılştırılmıştır. Sonlu elemnlr modeli dik ktmlı kompozit plklr ( / 9 / 9 / ), ( / 9 / / 9 ), ( ) için ANSYS pket progrmı rdımıl oluşturulmuştur. Model, ktmnlı kompozit pılrd kullnıln Shell99 kbuk elemn ile 64 elemnlı olrk oluşturulmuştur. Modelde ktmn klınlığı h=2mm lınmıştır. Anlizlerimizde kenr klınlık ornı L/h=5,1 lınmıştır. Şekil 6.2 de oluşturuln sonlu elemnlr modeli gösterilmektedir. Serbest titreşim nlizinde her bir model için

57 him ornın bğlı olrk beş rı nliz gerçekleştirilmiştir. Anlizlerde temel freknslr bulunmuştur. Şekil 6.2 Sonlu elemnlr modeli Şekil (6.3-6.5) de simetrik ve ntisimetrik dik ktmnlı plklr it birini mertebe km deformson teorisi ile Ritz metodu kullnılrk elde edilen temel titreşim freknslrının elf him ornı ve bout ornı ile bsit destekli durumd değişimi gözlenmektedir. Bu çlışmd sürekli elf tkvieli kompozit (=4, L/h=5) için ANSYS pket progrmı rdımıl bulunn serbest frekns değerleri Ritz sonuçlrıl kıslnmıştır. Şekillerde görüldüğü gibi bsit destekli durumd üksek bout ornlrınd ANSYS progrmıl ve Ritz öntemile elde edilen frekns prmetresi sonuçlrı kın değerler vermektedir. Yüksek bout ornlrı için kıs elf tkvieli kompozitin sürekli elf klşımı ptığı sölenebilir.

58 Frekns Prmetresi 14,45 13,45 12,45 11,45 1,45 9,45 =1 (Ritz) =4 (Ritz) =4 (Ritz) =4 (Fem) =1 (Ritz) 8,45,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 6.3 SSSS sınır şrtı için simetrik dik ktmnlı [ / 9 / 9 / ] plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi kompozit Frekns Prmetresi 14,45 13,45 12,45 11,45 1,45 9,45 =1 (Ritz) =4 (Ritz) =4 (Ritz) =4 (Fem) =1 (Ritz) 8,45,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 6.4 SSSS sınır şrtı için ntisimetrik dik ktmnlı [ / 9 / / 9 ] plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi kompozit

59 Frekns Prmetresi 14,45 13,45 12,45 11,45 1,45 9,45 =1 (Ritz) =4 (Ritz) =4 (Ritz) =4 (Fem) =1 (Ritz) 8,45,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 6.5 SSSS sınır şrtı için [ ] ktmnlı kompozit plklrd frekns prmetresinin elf him ornıl değişimi 6.3 Genel Sınır Şrtlrındki Dik Ktmnlı Kompozit Plklrd Serbest Titreşim Sonuçlrı Yer değiştirme lnlrının (6.5) seri çılımlrınd (6.4) eşitliğindeki bsit polinomlrın seçilmesi ile her çeşit sınır şrtındki nizotropik plklrın titreşim nlizinin inelenebileeği belirtilmişti. Öneki kısımd bsit destekli kompozit plklrın serbest titreşim nlizi inelendi. Bu kısımd BSBS, BABS, BBBS, ASSS sınır şrtlrı için Ritz öntemile dik ktmnlı kompozitlerde serbest titreşim nlizi gerçekleştirilmiştir. Şekil 6.6-6.9 d frklı sınır şrtlrınd kenr klınlık ornı L/h=5 için bout ornın ve elf him ornın bğlı olrk serbest titreşim nlizinin sonuçlrı gösterilmektedir. Şekillerden de görüldüğü gibi dik ktmnlı kompozitlerde him ornı ve bout ornı rttırıldıkç frekns prmetresi rtmktdır. Bout ornı rttırılıp sürekli elf klştıkç frekns değişimi zlmktdır. ANSYS pket progrmıl bulunn sonlu elemnlr frekns sonuçlrı sınır şrtlrın ve elf him ornlrın bğlı olrk

6 küçük bout ornlrın kın sonuçlr vermektedir. En üksek frekns prmetresi BABS sınır koşulu için, en düşük frekns prmetresi ASSS sınır koşulu için elde edilmiştir. Plk kenrlrının nkstre şekilde mesnetlenmesi frekns sonuçlrını ükseltmekte, serbest bırkılmsı frekns sonuçlrını düşürmektedir. Frklı bout ornlrı için elde edilen frekns sonuçlrı rsındki frk rtn him ornı ile rtmktdır. Frekns Prmetresi 8,3 7,8 7,3 6,8 6,3 5,8 5,3 4,8 4,3 3,8 3,3 =1 =4 =4 =1 =4(f em),1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 6.6 BSBS sınır şrtı için [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd elf him ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi

61 Frekns Prmetresi 1, 9,5 9, 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, 5,5 5, =1 =4 =4 =1 =4(f em),1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 6.7 BABS sınır şrtı için [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd elf him ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi Frekns Prmetresi 9,5 9, 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, 5,5 5, 4,5 =1 =4 =4 =1 =4(f em),1,2,3,4,5 Elf Him Ornı " Şekil 6.8 BBBS sınır şrtı için [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd elf him ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi

62 Frekns Prmetresi 3, 2,8 2,6 2,4 2,2 2, 1,8 1,6 1,4 =1 =4 =4 =1 =4(f em) 1,2,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 6.9 ASSS sınır şrtı için [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd elf him ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi Şekil 6.1 6.12 de =4 bout ornı ve L/h=1 için genel sınır şrtlrındki dik ktmnlı kompozitlerdeki frekns prmetresinin elf him ornı ile değişimi frklı sınır şrtlrı için verilmiştir. Şekillerden de görüldüğü gibi elf him ornı rttıkç tüm frekns prmetreleri rtmktdır. En üksek frekns prmetresine ( ) ktmnlı kompozit plklrd ulşılmıştır. Antisimetrik dik ktmnlı kompozitlerde frekns prmetresi sonuçlrı simetrik durumdn küçük çıkmıştır. ASSS sınır şrtı için frekns prmetresi değerleri elf him ornındn z etkilenmektedir. Sınır koşullrın bğlı olrk frekns prmetreleri rsındki frk ktmn sısı ve simetrik ntisimetrik dizilişten etkilenmektedir.

63 Frekns Prmetresi 17 15 13 11 9 7 5 BBBB BSBS BABS BBBS ASSS 3 1,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 6.1 Elf him ornın bğlı olrk [ / 9 / 9 / ] dik ktmnlı kompozit plklrd frekns prmetresinin değişimi Frekns Prmetresi 17 15 13 11 9 7 5 BBBB BSBS BABS BBBS ASSS 3 1,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 6.11 Elf him ornın bğlı olrk [ / 9 / / 9 ] dik ktmnlı kompozit plklrd frekns prmetresinin değişimi

64 Frekns Prmetresi 15 13 11 9 7 5 BBBB BSBS BABS BBBS ASSS 3 1,1,2,3,4,5 Elf Him Ornı Şekil 6.12 Elf him ornın bğlı olrk [ ] prmetresinin değişimi ktmnlı kompozit plklrd frekns Şekil 6.13-14 de kenr klınlık ornı sırsıl L/h=1,1 ve him ornı f=.3 için simetrik dik ktmnlı [ / 9 / 9 / ] kompozit plklrd frekns prmetrelerinin bout ornı ile değişimi inelenmektedir. Bout ornı rttırılıp sürekli elf klşıldıkç frekns prmetresindeki değişim zlmktdır. Düşük bout ornlrı için frekns prmetresinin hızlı bir değişim gösterdiği görülmektedir. Kenr klınlık ornın bğlı olrk frekns değerlerinde düşük rtışlr gözlenmiştir.

65 Frekns Prmetresi 18 16 14 12 1 8 6 4 2 BBBB BSBS BABS BBBS ASSS 2 4 6 8 1 Bout Ornı () Şekil 6.13 Bout ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi (L/h=1) Frekns Prmetresi 18 16 14 12 1 8 6 4 2 BBBB BSBS BABS BBBS BSSS 2 4 6 8 1 Bout Ornı () Şekil 6.14 Bout ornın bğlı olrk frekns prmetresinin değişimi (L/h=1)

66 6.4 Süreklilik Koşullrı Şğlnmış Durumd Freknslrın Değişimi Tımrı Soldtos, 1995 trfındn geliştirilen eni şekil fonksionlrının er değiştirme lnınd kullnılmsıl simetrik dik ktmnlı plklr için süreklilik koşullrı sğlmıştır. Çizelge 6.3-6.6 d BSBS, BABS, BBBS, ASSS sınır şrtlrı için Ritz öntemile / 9 / dik ktmnlı kompozitlerde sürekli ve süreksiz durumd elde edilen frekns prmetresinin değişimleri gösterilmektedir. Anlizler sırsıl bout ornı =1 ve 4 kenr klınlık ornı L/h =1, 1 için gerçekleştirilmiştir. Çizelgelerden görüldüğü gibi bout ornlrı rttıkç süreklilik koşullrı sğlnrk bulunn frenkns prmetresi değerleri ile süreklilik sğlnmmış frekns prmetresi değerleri rsındki frk rtmktdır. Bunun nınd kenr-klınlık ornı rttıkç sürekli süreksiz durumlr rsındki frk zlmktdır. Çizelge 6.3 Simetrik dik ktmnlı / 9 / kompozit plklrd sürekli ve süreksiz durumd frekns prmetresinin elf him ornı ile değişimi (=1, L/h=1) f BBBB BABS BBBS AASS.1.2.3.4.5 Süreksiz Sürekli Süreksiz Sürekli Süreksiz Süreksiz Süreksiz Sürekli 8.27 8.294 5.19 5.97 4.679 4.731 2.792 2.785 9.143 9.17 5.567 5.649 5.186 5.241 3.16 3.98 1.89 1.119 6.164 6.245 5.744 5.793 3442 3.435 11.144 11.175 6.819 6.96 6.356 6.45 3.814 3.87 12.345 12.377 7.569 7.658 7.49 7.13 4.236 4.23

67 Çizelge 6.4 Simetrik dik ktmnlı / 9 / kompozit plklrd sürekli ve süreksiz f durumd frekns prmetresinin elf him ornı ile değişimi (=1, L/h=1) BBBB BABS BBBS AASS Süreksiz Sürekli Süreksiz Sürekli Süreksiz Sürekli Süreksiz Sürekli.1 8.58 8.58 5.167 5.164 4.795 4.791 2.863 2.863.2 9.391 9.391 5.727 5.722 5.31 5.36 3.178 3.181.3 1.353 1.353 6.332 6.326 5.865 5.865 3.521 3.524.4 11.427 11.427 6.999 6.994 6.488 6.484 3.95 3.93.5 12.653 12.653 7.758 7.755 7.19 7.19 4.33 4.333 f Çizelge 6.5 Simetrik dik ktmnlı / 9 / kompozit plklrd sürekli ve süreksiz durumd frekns prmetresinin elf him ornı ile değişimi (=4, L/h=1) BBBB BABS BBBS AASS Süreksiz Sürekli Süreksiz Sürekli Süreksiz Sürekli Süreksiz Sürekli.1 8.66 8.752 5.727 5.861 5.422 5.532 2.983 3.3.2 9.83 9.954 6.774 6.953 6.457 6.62 3.435 3.472.3 1.94 11.144 7.726 7.943 7.382 7.56 3.866 3.923.4 12.13 12.357 8.625 8.877 8.246 8.457 4.31 4.374.5 13.334 13.638 9.513 9.789 9.93 9.324 4.753 4.842

68 Çizelge 6.6 Simetrik dik ktmnlı / 9 / kompozit plklrd sürekli ve süreksiz f durumd frekns prmetresinin elf him ornı ile değişimi (=4, L/h=1) BBBB BABS BBBS AASS Süreksiz Sürekli Süreksiz Sürekli Süreksiz Sürekli Süreksiz Sürekli.1 8.927 8.999 5.899 5.934 5.567 5.598 3.65 3.95.2 1.114 1.246 6.971 7.38 6.618 6.678 3.528 3.577.3 11.278 11.471 7.949 8.38 7.569 7.646 3.968 4.41.4 12.469 12.716 8.865 8.982 8.449 8.552 4.41 4.54.5 13.725 14.25 9.767 9.96 9.311 9.429 4.873 4.982 6.5 Bsit Destekli Dik Ktmnlı Kompozit Plklrd Mod Şekillerinin İnelenmesi Aşğıd bsit destekli simetrik dik ktmnlı kompozit plklrd ( / 9 / 9 / ) mod değişimleri (Çizelge 6.7) ve mod şekilleri (Şekil 6.15) gösterilmektedir. Bu çlışmd KPT ile elde edilen serbest titreşim freknslrı elf him ornı f=.1, bout ornı =4, kenr klınlık ornı L/h=5 için verilmiştir. Şekil 6.15 de simetrik dik ktmnlı kompozit plk özellikleri dikkte lınrk sdee düşe öndeki mod değişimleri verilmiştir. Çizelge 6.7 de verilen sonuçlr bsit destekli durumd Nvier tipi kesin sonuçlrı göstermektedir. Şekil 6.15 de bzı modlrdki. simetri özelliği görülmektedir Mod (1,2), Mod (2,1). Simetrik modlrd nı freknslr ve mod şekilleri elde edilmiştir.

69 Çizelge 6.7 Mod değişim çizelgesi [ / 9 / 9 / ] Mode m n Frekns Prmetresi 1 1 1 9.5 2 1 2 2.8 3 2 1 2.8 4 2 2 36.2 5 1 3 37.792 6 3 1 37.792 7 2 3 54.929 8 3 2 54.929 9 3 3 81.5 Şekil 6.15 Mod şekillerinin plk kenrı boun değişimi Aşğıd bsit destekli nti simetrik dik ktmnlı kompozit plklrd [ / 9 / / 9 ] mod değişimleri (Çizelge 6.8) ve mod şekilleri (Şekil 6.16) gösterilmektedir. Bu çlışmd BMT ile elde edilen serbest titreşim freknslrı elf him ornı f=.1, bout ornı =4, kenr klınlık ornı L/h=5 için verilmiştir. Çizelge 6.8 de verilen Nvier sonuçlrı bsit destekli durumd kesin çözümü, ANSYS sonlu elemnlr sonuçlrı klşık sonuçlrı göstermektedir. Bsit destekli durumd kesin çözüm ile klşım çözüm frekns sonuçlrı rsınd uum