ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SONLU CİSİMLER ÜZERİNDEKİ ÖZEL ÜRETEÇLİ TOPLAMSAL KODLAR. Hayrullah ÖZİMAMOĞLU

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SONLU CİSİMLER ÜZERİNDEKİ ÖZEL ÜRETEÇLİ TOPLAMSAL KODLAR Hayrullah ÖZİMAMOĞLU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2019 Her hakkı saklıdır

ÖZET Doktora Tezi SONLU CİSİMLER ÜZERİNDEKİ ÖZEL ÜRETEÇLİ TOPLAMSAL KODLAR Hayrullah ÖZİMAMOĞLU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Murat ŞAHİN Kodlama teorisinin amacı, iletişim sistemlerinde oluşabilecek hataları tespit etmek ve düzeltmektir. Hata düzeltme kodları; uzaydan görüntü alma, kayıt numaraları tasarlama, kompakt disklerde bilgi depolama vb. birçok uygulama alanına sahiptir. Kodlama teorisi; pür matematik, lineer cebir, sonlu cisimler vb. matematiksel alanlardan birçok fikri barındırmaktadır. Lineer kodlar ve toplamsal kodlar bunlara birer örnektir. Ayrıca toplamsal kodlar kuantum hata düzeltme kodlarının da bir sınıfı olduğu için ilgi çekmektedir. Hata düzeltme kapasitesi yüksek kodları inşa etmek ve sınıflandırmak önemli bir problemdir. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde, tezin amacı ve kapsamı verilmiştir. İkinci bölümde, toplamsal kodlar ve toplamsal kodlardaki denklik kavramlarından bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, üzerindeki Toeplitz toplamsal kodlar tanımlanarak, literatürdeki dairesel toplamsal kodların bir genelleştirilmesi elde edilmiştir. Bu bölümde, optimal Toeplitz toplamsal (OTT) kodların sınıflandırılması ve inşa edilmesi amaçlanmıştır. Uzunluğu 13'e kadar olan üzerindeki OTT kodlar sınıflandırılmıştır. Optimal dairesel toplamsal (ODT) kodları inşa etmek için, kuadratik rezidü kodlarla bağlantılı bir yöntem kullanılmıştır. Bu yöntem genelleştirilerek; bazı asalları için, uzunluğunda OTT kodlar ve hemen hemen optimal Toeplitz toplamsal (HHOTT) kodlar inşa edilmiştir. Dördüncü bölümde, dairesel toplamsal kodların başka bir genelleştirilmesi olan üzerindeki -dairesel toplamsal kodlar tanımlanmıştır. Uzunluğu 13'e kadar olan üzerindeki optimal -dairesel toplamsal ( -ODT) kodlar sınıflandırılmıştır. Beşinci bölümde, -otokorelasyon tanımlanmıştır. -otokorelasyon, standart otokorelasyonun bir genelleştirilmesidir. üzerindeki bir dairesel toplamsal kodun minimum uzaklığını hesaplamak için -otokorelasyondan yararlanılarak bir yöntem geliştirilmiştir. Son bölümde ise sonuçlar verilmiştir ve bu sonuçların kodlama teorisindeki önemi vurgulanmıştır. Şubat 2019, 92 sayfa Anahtar Kelimeler: Lineer kodlar, toplamsal kodlar, dairesel toplamsal kodlar, otokorelasyon ii

ABSTRACT Ph.D. Thesis ADDITIVE CODES WITH PARTICULAR GENERATOR OVER FINITE FIELDS Hayrullah ÖZİMAMOĞLU Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Murat ŞAHİN The goal in coding theory is to detect and correct errors in communication systems. Errorcorrecting codes are used in applications such as returning pictures from deep space, design of registration numbers, storage of data compact discs. Coding theory is also of great mathematical interest, relying largely on ideas from pure mathematics, linear algebra, finite fields etc. Linear codes and additive codes are examples. The additive codes are a class of the quantum errorcorrection codes. Then we focus our attention these codes. The error-correcting capability of some codes is large. The construction and classification of such codes is an important problem. This thesis consists of six chapters. In the first chapter, the goal and content of thesis are given. In the second chapter, the additive codes and equivalence of these codes are mentioned. In the third chapter, the additive Toeplitz codes over are defined. The additive Toeplitz codes over of length up to 13 are classified. The optimal and near-optimal additive Toeplitz codes of length some primes are constructed. In the fourth chapter, the additive -circulant codes over are defined. The additive -circulant codes over of length up to 13 are classified. In the fifth chapter, the -autocorrelation is defined. The -autocorrelation is used to determine the minimum distance of additive circulant codes over. In the last chapter, the conclusions are given. The importance of these conclusions is emphasized. February 2019, 92 pages Key Words: Linear codes, additive codes, additive circulant codes, autocorrelation iii

TEŞEKKÜR Bu tez çalışmasının seçiminde, yürütülmesinde ve sonuçlandırılmasında bilgi ve tecrübesiyle bana yol gösteren, her konuda yakın ilgi ve desteğiyle yardımlarını esirgemeyen ve kendilerinden çok şey öğrendiğim değerli hocam sayın Doç. Dr. Murat ŞAHİN e (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı), tez izleme komitemde yer alarak tezi hazırlamamda yönlendiren, her türlü yardımı yapan, zaman harcayan, emek veren ve tecrübelerini paylaşan değerli hocalarım sayın Prof. Dr. Ali Bülent EKİN e (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) ve sayın Doç. Dr. Oğuz YAYLA ya (Hacettepe Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Hayatımın her aşamasında beni yalnız bırakmayan, bana verdikleri manevi destek ve göstermiş oldukları sabır ve anlayıştan dolayı sevgili aileme en içten teşekkürlerimi sunarım. Bu tez TÜBİTAK 2211-E Doğrudan Yurt İçi Doktora Burs Programı tarafından desteklenmiştir. Doktora öğrenimim boyunca maddi desteklerinden dolayı Türkiye de bilimin en büyük destekçisi TÜBİTAK a teşekkür ederim. Ayrıca bu tez GF(q) Üzerindeki Özel Üreteçli Toplamsal Kodların İncelenmesi isimli ve 16H0430023 proje numaralı Hızlandırılmış Destek Projesi ile Ankara Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinasyon Birimi tarafından desteklenmiştir. Bu desteklerinden dolayı Ankara Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordinasyon Birimi ne teşekkür ederim. Hayrullah ÖZİMAMOĞLU Ankara, Şubat 2019 iv

İÇİNDEKİLER TEZ ONAY SAYFASI ETİK... i ÖZET... ii ABSTRACT... iii TEŞEKKÜR... iv SİMGELER DİZİNİ VE KISALTMALAR... vi ÇİZELGELER DİZİNİ... vii 1. GİRİŞ... 1 2. ÜZERİNDEKİ TOPLAMSAL KODLAR... 6 2.1 Üzerindeki Toplamsal Kodlar... 6 2.2 Üzerindeki Toplamsal Kodlarda Denklik... 10 2.2.1 Monomial denklik... 11 2.2.2 -denklik... 12 2.3 Üzerindeki Toplamsal Kodlarda Denklik Algoritması... 23 3. ÜZERİNDEKİ TOEPLITZ TOPLAMSAL KODLAR... 31 3.1 Üzerindeki Dairesel Toplamsal Kodlar... 31 3.2 Üzerindeki Toeplitz Toplamsal Kodların İnşası... 32 3.3 Üzerindeki Optimal Toeplitz Toplamsal Kodlar... 34 3.3.1 üzerindeki optimal Toeplitz toplamsal kodların sayısı... 34 3.3.2 üzerindeki optimal Toeplitz toplamsal kodların sınıflandırılması... 38 3.3.3 üzerindeki optimal ve hemen hemen optimal Toeplitz toplamsal kodların inşası... 39 4. ÜZERİNDEKİ -DAİRESEL TOPLAMSAL KODLAR... 45 4.1 Üzerindeki -Dairesel Toplamsal Kodların İnşası... 45 4.2 Üzerindeki -Dairesel Toplamsal Kodların Sınıflandırılması... 48 5. ÜZERİNDEKİ DAİRESEL TOPLAMSAL KODLARDA MİNİMUM UZAKLIK HESABI... 51 5.1 -otokorelasyon... 51 5.2 -otokorelasyon ile Hamming Ağırlık Arasındaki İlişki... 52 5.3 -otokorelasyon ile Üzerindeki Dairesel Toplamsal Kodlarda Minimum Uzaklık Hesabı... 55 6. TARTIŞMA VE SONUÇ... 66 KAYNAKLAR... 68 EKLER... 70 EK 1 Denk Olmayan Optimal Toeplitz Toplamsal Kodların Listesi... 71 EK 2 Denk Olmayan Optimal -Dairesel Toplamsal Kodların Listesi... 85 ÖZGEÇMİŞ... 91 v

S MGELER D Z N #A A kümesinin eleman says A T d max Aut(B) wt(c) d(c) B C N p Q p I n n Z + p(x) F q d(u, v) wt(u) A matrisinin transpozu Bir kodun sahip olabilece i minimum uzaklklarn en büyü ü B kodunun otomorzma grubu Bo³ küme C kodunun minimum a rl C kodunun minimum uzakl kili kod Toplamsal kod Modulo p'ye göre kudratik olmayan rezidülerin kümesi Modulo p'ye göre kudratik rezidülerin kümesi n n tipindeki birim matris Pozitif tamsaylar kümesi p(x) polinomunun üretti i ideal q elemanl cisim u ile v vektörleri arasndaki Hamming uzaklk u vektörünün Hamming a rl ( n, 2 k ) F 4 üzerinde uzunlu u n, boyutu k olan toplamsal kod F 2 [x] F 2 [x]/i F n q [n, k] q F 2 cismi üzerinde x belirsizine göre polinomlar halkas F 2 [x] polinom halkasnn I idealine göre bölüm halkas F q üzerindeki n boyutlu vektör uzay F q üzerinde uzunlu u n, boyutu k olan lineer kod Ksaltmalar HHOTT ODT OTT σ-odt Hemen Hemen Optimal Toeplitz Toplamsal Optimal Dairesel Toplamsal Optimal Toeplitz Toplamsal Optimal σ-dairesel Toplamsal vi

ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 2.1 cismi üzerindeki toplama işlemi... 7 Çizelge 2.2 cismi üzerindeki çarpma işlemi... 7 Çizelge 3.1 ODT kodların sayısı (Danielsen ve Parker 2011)... 33 Çizelge 3.2 OTT kodların sayısı... 38 Çizelge 3.3 için dairesel OTT kodların üreteç vektörleri... 39 Çizelge 3.4 için dairesel olmayan OTT kodların üreteç vektörleri... 39 Çizelge 3.5 Dairesel olan ve dairesel olmayan OTT kodların (denk olmayan) sayısı... 40 Çizelge 3.6 için OTT kodun üreteç vektörleri... 41 Çizelge 3.7 için OTT kodların üreteç vektörleri... 41 Çizelge 3.8 için OTT kodların üreteç vektörleri... 42 Çizelge 3.9 için OTT kodların üreteç vektörleri... 42 Çizelge 3.10 için HHOTT kodların üreteç vektörleri... 43 Çizelge 3.11 için HHOTT kodun üreteç vektörleri... 43 Çizelge 3.12 için HHOTT kodların üreteç vektörleri... 43 Çizelge 3.13 için HHOTT kodların üreteç vektörleri... 44 Çizelge 3.14 için HHOTT kodun üreteç vektörleri... 44 Çizelge 3.15 için HHOTT kodların üreteç vektörleri... 44 Çizelge 4.1 için -ODT kodların sayısı... 49 Çizelge 4.2 için denk olmayan -ODT kodların üreteç vektörleri... 49 Çizelge 4.3 Denk olmayan -ODT kodların sayısı... 50 Çizelge 5.1 dizisinin 2-otokorelasyonları... 52 Çizelge 5.2 dizisinin 3-otokorelasyonları... 53 Çizelge 5.3 dizisinin 2-otokorelasyonları... 64 Çizelge 5.4 olan üreteç vektörlerinin 2-otokorelasyonları... 64 Çizelge 5.5 olan üreteç vektörlerinin 3-otokorelasyonları... 65 vii

1. G R Sonlu cisimlerin uygulama alanlarndan biri kodlama teorisidir. Kodlama teorisinin amac, dijital bilgi iletilmesi veya depolanmas srasnda olu³abilecek hatalar tespit etmek, e er hata olu³mu³sa bu hatalar düzeltmektir. Hata düzeltme kodlar; telefon ile ileti³im sa lama, uzaydan görüntü alma, kayt numaralar tasarlama, kompakt disklerde bilgi depolama gibi birçok uygulama alanna sahiptir. Bir kodun minimum uzakl ne kadar büyükse, bu kod o kadar çok hatay düzeltebilir. Kodlama teorisinde mümkün olan en büyük minimum uzakl a sahip kodlar, optimal kodlardr. Bu yüzden optimal ve hemen hemen optimal kodlarn in³a edilmesi önemli bir problemdir. Kodlama teorisi; pür matematik, lineer cebir, sonlu cisimler vb. matematiksel alanlardan birçok kri barndrmaktadr. Lineer kodlar ve toplamsal kodlar bunlara birer örnektir. Ayrca toplamsal kodlar kuantum hata düzeltme kodlarnn da bir snf oldu u için ilgi çekmektedir. Bir n uzunlu unda F q üzerindeki lineer kod, F n q vektör uzaynn bir alt uzaydr. Uzunlu u n, boyutu k olan F q üzerindeki bir lineer kod C veya [n, k] q ile gösterilir. E er q = 2 alnrsa, F 2 üzerindeki lineer kod ikili kod olarak adlandrlr. Uzunlu u n, boyutu k olan bir ikili kod B veya [n, k] ile gösterilir. Lineer kodlar vektör uzaylar olduklarndan bu kodlarn cebirsel yaplarn tanmlamak ve kullanmak lineer olmayan kodlardan daha kolaydr. Bu yüzden, lineer kodlar kodlama teorisi üzerinde en çok çal³ma yaplan kodlar olmu³tur. Örne in; Hamming kodlar, Golay kodlar, Reed-Muller kodlar, Reed-Solomon kodlar en çok bilinen lineer kodlardandr. Sonlu bir cisim F ve F'nin bir alt cismi K olsun. Bir n uzunlu unda F/K-toplamsal kod veya F üzerinde bir toplamsal kod, F n 'nin bir K lineer alt uzaydr (Calderbank vd. 1998). Toplamsal kodlar, lineer kodlarn bir genelle³tirilmesidir. Çünkü; toplamsal kod tanmnda K = F alnrsa, F üzerinde lineer kod elde edilir. Dolaysyla F üzerinde bir toplamsal kod, F üzerinde lineer olmak zorunda de ildir. Dört elemanl bir cisim w 2 = w + 1 olmak üzere F 4 = {0, 1, w, w 2 } ile gösterilsin. Toplamsal kod tanmnda özel olarak F = F 4 ve K = F 2 alnrsa, n uzunlu unda F 4 üzerindeki bir toplamsal kod, F n 4 toplamsal grubunun bir alt grubu olur ve bu kod C ile gösterilir. 1

Bu tezde, F 4 üzerindeki toplamsal kodlar incelenmi³tir. Bir C toplamsal kodunun kod kelimeleri, C kodunun elemanlardr. Bile³enleri F 4 cisminden olan ve satrlar toplamsal olarak C kodunu üreten k n tipindeki matris, C kodunun üreteç matrisidir. Uzunlu u n, boyutu k olan F 4 üzerindeki bir C toplamsal kodu, 0 k 2n için 2 k tane kod kelimesi içerir ve ( n, 2 k) ile gösterilir. E er k = n alnrsa, (n, 2 n ) toplamsal koduna yar-oranl toplamsal kod ad verilir. Bir u F n q vektörünün Hamming a rl, u'nun sfrdan farkl bile³enlerinin saysdr ve wt(u) ile gösterilir. Ayrca u ile v arasndaki Hamming uzaklk wt(u v) dir. Bir C kodunun minimum uzakl, C'nin herhangi iki farkl kod kelimeleri arasndaki Hamming uzaklklarn en küçü üdür, d veya d(c) ile gösterilir. Bir C kodunun minimum a rl ise, C'nin sfrdan farkl kod kelimelerinin Hamming a rlklarnn en küçü üdür ve wt(c) ile gösterilir. F 4 üzerindeki bir C toplamsal kodunun minimum uzakl ile minimum a rl ayndr. Bu yüzden C toplamsal kodunun minimum uzakl d = d(c) = wt(c) = min {wt(u) 0 u C} ³eklindedir ve C toplamsal kodu ( n, 2 k, d ) ile gösterilir. Minimum uzakl d olan bir (n, 2 n ) yar-oranl toplamsal kodu için n d + 1 2 ³eklinde bir üst snr (Singleton bound) bulunmaktadr (Human ve Pless 2003). E er bir C = ( n, 2 k) toplamsal kodu tüm ( n, 2 k) toplamsal kodlar arasnda minimum uzakl en büyük olan kod ise, bu C koduna optimal ad verilir ve optimal kodun minimum uzakl d max ile gösterilir. E er bir C = ( n, 2 k) toplamsal kodunun minimum uzakl d max 1 ise, bu C kodu hemen hemen optimal olarak adlandrlr. Toplamsal kodlarda denklik, Gaborit vd. (2001) tarafndan ³u ³ekilde tanmlanm³tr. ki toplamsal kod olan C 1 ile C 2 kodlar denktir ancak ve ancak C 1 'in kod kelimelerini C 2 'nin kod kelimelerine dönü³türen srasyla; (1) Koordinatlarn bir permütasyonu 2

(2) Koordinatlarn {1, w, w 2 } ile çarplmas (3) Koordinatlarn F 4 cisminin otomorzmalar altndaki görüntülerinin alnmas ile olu³an bir dönü³üm vardr. Bir n uzunlu undaki F 4 üzerindeki toplamsal kod için bu ³ekilde 6 n n! tane dönü³üm vardr. Denklik altnda, n uzunlu unda F 4 üzerindeki self-dual toplamsal kodlarn snflandrlmas yaplm³tr. Bu kodlar n 5 için Calderbank vd. (1998) tarafndan, n 7 için Höhn (2003) tarafndan, farkl bir yöntem ile n 7 için Hein vd. (2004) tarafndan, n 9 için Glynn vd. (2006) tarafndan ve n 12 için Danielsen ve Parker (2006) tarafndan snandrlm³tr. Tüm optimal self-dual toplamsal kodlar n = 8, 9, 11, 12 için snandrlm³tr (Gaborit vd. 1999, 2001). Bachoc ve Gaborit (2000) tarafndan n = 10 için tüm optimal self-dual toplamsal kodlar snandrlm³tr ve n = 14 için en az 490 optimal self-dual toplamsal kodun var oldu u gösterilmi³tir. Gulliver ve Kim (2004) tarafndan n 15 için optimal dairesel selfdual toplamsal kodlar snandrlm³tr. Varbanov (2007) tarafndan n = 13, 14 için tüm optimal self-dual toplamsal kodlar snandrlm³tr ve 15 n 21 için birçok optimal self-dual toplamsal kod in³a edilmi³tir. Görüldü ü gibi F 4 üzerindeki selfdual toplamsal kodlarn snandrlmas ve in³as üzerine birçok çal³ma yaplm³tr. Fakat bu tezde, self-dual toplamsal kodlar üzerine de il, optimal toplamsal kodlar üzerine yo unla³lm³tr. Danielsen ve Parker (2011) F 4 üzerindeki (n, 2 n ) yar-oranl toplamsal kodlar, baz özel durumlar haricinde yönlü graar ile göstermi³lerdir. Östergard (2002) iki lineer kodun denk olup olmad n graardan yararlanarak bir algoritma ile belirlemi³tir. Danielsen ve Parker (2011) F 4 üzerindeki iki toplamsal kodun denk olup olmad n kontrol etmek için, Östergard (2002)'n çal³masndaki algoritmann bir uyarlamasn kullanm³tr. Bu algoritma ve toplamsal kodlarn yönlü graar ile gösterimleri kullanlarak, n 7 uzunluklar için F 4 üzerindeki (n, 2 n ) yar-oranl toplamsal kodlar snandrlm³tr (Danielsen ve Parker 2011). Ayrca Danielsen ve Parker (2011) F 4 üzerindeki dairesel toplamsal kodlar üzerine de çal³m³lardr. Bu çal³mada, n 26 uzunluklar için ODT kodlar snandrlm³tr ve bu kodlarn saylar çizelge 3.1'de 3

verilmi³tir. Dairesel toplamsal kodlarn bir genelle³tirilmesi olan F 4 üzerindeki Toeplitz toplamsal kodlar tanmlanm³tr. Ayrca Gaborit vd. (2001) de F 4 üzerindeki iki toplamsal kodun denk olup olmad n bir algoritma ile belirlemi³lerdir. Bu algoritma geli³tirilerek, OTT kodlar snandrlm³tr. Bu doktora tezinin bölümleri ³u ³ekilde planlanm³tr. kinci bölümde, ba³ta F 4 üzerindeki toplamsal kodlarn tanm olmak üzere temel tanm ve kavramlara, F q üzerindeki lineer kodlardaki denklik kavramna ve F 4 üzerindeki toplamsal kodlardaki denklik kavramna yer verilmi³tir. F 4 üzerindeki toplamsal kodlardaki denklik, F 4 üzerinde lineer kodlardaki denkli in bir genelle³tirilmesidir. Gaborit vd. (2001)'nin F 4 üzerindeki iki toplamsal kodun denk olup olmad n kontrol eden yöntemi kullanlarak, denklik algoritmas üretilmi³tir. Üçüncü bölümde, F 4 üzerindeki Toeplitz toplamsal kodlar tanmlanm³tr. Bu kodlar, F 4 üzerindeki dairesel toplamsal kodlarn bir genelle³tirilmesidir. Bu bölümde, OTT kodlarn snandrlmas ve OTT kodlarn in³a edilmesi amaçlanm³tr. Tüm ( n, 2 k ) optimal toplamsal kodlar snandrmak için; ilk önce ( n, 2 k) optimal toplamsal kodlar elde edilir ve daha sonra bu kodlar arasndan birbirine denk olmayan kodlar belirlenir. lk önce OTT kodlar ksmen snandrmak için baz teoremler elde edilmi³tir. Sonra ikinci bölümde üretilen Gaborit vd. (2001)'nin denklik algoritmas ile bu teoremler birle³tirilerek uzunlu u 13'e kadar olan F 4 üzerindeki OTT kodlar tam olarak snandrlm³tr. Böylece n = 5 için 2 tane denk olmayan ve dairesel olmayan OTT kod, n = 8 için 92 tane denk olmayan ve dairesel olmayan OTT kod, n = 9 için 2068 tane denk olmayan ve dairesel olmayan OTT kod, n = 11 için 39 tane denk olmayan ve dairesel olmayan OTT kod elde edilmi³tir. EK 1'de, n 13 uzunlu unda dairesel olan ve dairesel olmayan OTT kodlar verilmi³tir. Ayrca Danielsen ve Parker (2011) F 4 üzerindeki ODT kodlar in³a etmek için kuadratik rezidü kodlar ile ba lantl bir yöntem kullanm³lardr. Bu yöntem geli³tirilerek, p asal olmak üzere p uzunlu unda birçok OTT kod ve HHOTT kod elde edilmi³tir. Dördüncü bölümde, F 4 üzerindeki σ-dairesel toplamsal kodlar tanmlanm³tr. Bu kodlar da, F 4 üzerindeki dairesel toplamsal kodlarn ba³ka bir genelle³tirilmesidir. 4

Özel olarak σ = 1 alnrsa, bilinen dairesel toplamsal kod elde edilir. Bu bölümde σ-odt kodlar incelenmi³tir. kinci bölümde üretilen Gaborit vd. (2001)'nin denklik algoritmas kullanlarak uzunlu u 13'e kadar olan F 4 üzerindeki σ-odt kodlar tam olarak snandrlm³tr. Böylece n = 5 için 1 tane 1-dairesel olmayan σ-odt kod, n = 8 için 9 tane denk olmayan ve 1-dairesel olmayan σ-odt kod, n = 9 için 17 tane denk olmayan ve 1-dairesel olmayan σ-odt kod, n = 11 için 3 tane denk olmayan ve 1-dairesel olmayan σ-odt kod elde edilmi³tir. EK 2'de, n 13 uzunlu unda denk olmayan σ-odt kodlar verilmi³tir. Be³inci bölümde, bir ikili dizi ile bu dizinin herhangi k 1 tane sa öteleme dizisi için, k-otokorelasyon kavram tanmlanm³tr. Standart otokorelasyonun bir genelle³tirilmesi, k-otokorelasyondur. Hamming a rlk ile k-otokorelasyon arasndaki ili³ki incelenmi³tir. Sonra F 4 üzerindeki bir dairesel toplamsal kodun minimum uzakl n hesaplamak için, k-otokorelasyon kavramndan faydalanlarak elde edilen bir yöntem geli³tirilmi³tir. Son bölümde ise, tezde elde edilen sonuçlar verilmi³tir, bu sonuçlarn literatürdeki öneminden bahsedilmi³tir ve bu tez çal³masnn devamnda yaplabilecek öneriler sunulmu³tur. 5

2. F 4 ÜZER NDEK TOPLAMSAL KODLAR Toplamsal kodlar, lineer kodlarn bir genel halidir. Bu yüzden F 4 üzerinde bir lineer kod, ayn zamanda F 4 üzerinde bir toplamsal koddur. Di er taraftan F 4 üzerinde bir toplamsal kod ise, F 4 üzerinde lineer olmak zorunda de ildir, fakat F 2 üzerinde lineerdir. Dolaysyla F 4 üzerindeki toplamsal kodlar, F 4 üzerindeki lineer kodlarn bir genelle³tirilmesidir. Bu bölümde, F 4 üzerindeki toplamsal kodlar ile ilgili temel tanm ve kavramlardan, lineer kodlardaki ve toplamsal kodlardaki denklik kavramlarndan bahsedilmi³tir. Sonra da Gaborit vd. (2001)'nin iki toplamsal kodun denk olup olmad n kontrol eden yöntemi kullanlarak, denklik algoritmas üretilmi³tir. 2.1 F 4 Üzerindeki Toplamsal Kodlar Modulo 2'deki toplama ve çarpma i³lemlerine göre F 2 = {0, 1} bir cisimdir. Bu cismin dört elemanl bir geni³lemesi ³u ³ekilde bulunur. ki elemanl F 2 cismi üzerindeki polinomlar halkas F 2 [x] ile gösterilsin. Derecesi iki ve F 2 üzerinde indirgenemez olan tek polinom p(x) = x 2 + x + 1 F 2 [x] polinomudur. Bu p(x) polinomu ile üretilen ideal I = p(x) = x 2 + x + 1 olmak üzere F 4 = F 2 [x]/i = {(ax + b) + I a, b F 2 } = {0 + I, 1 + I, x + I, (x + 1) + I} { 0, 1, w, w 2}, w 2 = w + 1 bölüm cismi elde edilir. Çizelge 2.1'de, F 4 cismi üzerindeki toplama i³lemi ve çizelge 2.2'de ise F 4 cismi üzerindeki çarpma i³lemi tanmlanm³tr. Tanm 2.1.1 Uzunlu u n olan F q üzerinde bir lineer kod; F n q vektör uzaynn bir alt uzaydr. Uzunlu u n, boyutu k olan F q üzerinde bir lineer kod C veya [n, k] q ile gösterilir. Bir C lineer kodunun elemanlarna ise C'nin kod kelimeleri denir. E er q = 2 alnrsa, F 2 üzerindeki lineer koda ikili kod ad verilir. Uzunlu u n, boyutu k olan bir ikili kod B veya [n, k] ile gösterilir (Human ve Pless 2003). 6

Çizelge 2.1 F 4 cismi üzerindeki toplama i³lemi + 0 1 w w 2 0 0 1 w w 2 1 1 0 w 2 w w w w 2 0 1 w 2 w 2 w 1 0 Çizelge 2.2 F 4 cismi üzerindeki çarpma i³lemi 0 1 w w 2 0 0 0 0 0 1 0 1 w w 2 w 0 w w 2 1 w 2 0 w 2 1 w Tanm 2.1.2 Bir C = [n, k] q lineer kodunun üreteç matrisi, satrlar C'nin tabanndaki vektörlerden olu³an k n tipindeki bir matristir ve G ile gösterilir (Human ve Pless 2003). Bu tezde, n uzunlu undaki bir vektörün koordinatlar {0, 1,..., n 1} ile gösterilmi³tir. Vektörel toplama i³lemi; n Z + olmak üzere her u = (u 0, u 1,..., u n 1 ), v = (v 0, v 1,..., v n 1 ) F n 4 için : F n 4 F n 4 F n 4 (u, v) u v = (u 0 + v 0, u 1 + v 1,..., u n 1 + v n 1 ) ³eklinde tanmlansn. Buna göre (F n 4, ) bir gruptur. Tanm 2.1.3 Uzunlu u n olan F 4 üzerinde bir toplamsal kod; (F n 4, ) grubunun bir alt grubudur ve C ile gösterilir. Bir C toplamsal kodunun elemanlarna ise C'nin kod kelimeleri ad verilir ve her i = 0, 1,..., n 1 için c i F 4 olmak üzere c = (c 0, c 1,..., c n 1 ) ile gösterilir (Gaborit vd. 1999). 7

Skaler ile çarpma i³lemi ise; n Z + olmak üzere her α F 2 ve her u = (u 0, u 1,..., u n 1 ) F n 4 için : F 2 F n 4 F n 4 (α, u) α u = (α u 0, α u 1,..., α u n 1 ) ³eklinde tanmlansn. Bu durumda (F n 4,, ), F 2 üzerinde bir vektör uzaydr. F 4 üzerindeki bir toplamsal kod, bu vektör uzaynn bir alt uzay olur. Bu yüzden F 4 üzerindeki toplamsal kodlar, F 4 üzerindeki lineer kodlarn bir genelle³tirilmesidir. Ayrca bir C toplamsal kodu, F 2 üzerinde bir vektör uzay oldu undan bu C kodunun bir F 2 -taban vardr. Tanm 2.1.4 Uzunlu u n, boyutu k olan F 4 üzerinde bir toplamsal kod C olsun. Ayrca her i = 0, 1,..., k 1 için r i = ( ) r i0, r i1,..., r i(n 1) F n 4 olmak üzere C kodunun bir F 2 -taban {r 0, r 1,..., r k 1 } olsun. Satrlar C kodunun tabanndaki vektörlerden olu³an r 00 r 01 r 0(n 1) r G = 10 r 11 r 1(n 1)...... r (k 1)0 r (k 1)1 r (k 1)(n 1) matrisine C kodunun üreteç matrisi ad verilir (Gaborit vd. 1999). Dolaysyla C = {(α 0 r 0 ) (α 1 r 1 ) (α k 1 r k 1 ) i = 0, 1,..., k 1 için α i F 2 } olur. Buradaki C kodu, k = 0, 1,..., 2n için 2 k tane kod kelimesi içerir ve ( n, 2 k) ile gösterilir. Tanm 2.1.5 Bir u = (u 0, u 1,..., u n 1 ) F n q vektörü verilsin. Bu u vektörünün Hamming a rl, u'nun sfrdan farkl koordinatlarnn saysdr ve wt(u) = {i i = 0, 1,..., n 1 için u i 0} ile gösterilir (Ling ve Xing 2004). k n 8

Tanm 2.1.6 Bir C kodu verilsin ve C kodundaki a rl i olan kod kelimelerinin says A i olsun. Bu C kodunun a rlk da lm, (A 0, A 1,..., A n ) dizisidir (Human ve Pless 2003). Tanm 2.1.7 Uzunlu u n olan iki vektör u = (u 0, u 1,..., u n 1 ), v = (v 0, v 1,..., v n 1 ) F n q olsun. Bu u ile v vektörleri arasndaki Hamming uzaklk, u ile v'nin farkl koordinatlarnn saysdr ve d(u, v) = {i i = 0, 1,..., n 1 için u i v i } ile gösterilir (Ling ve Xing 2004). Tanm 2.1.8 Bir C kodu verilsin. Bu C kodunun minimum a rl, C'nin sfrdan farkl kod kelimelerinin Hamming a rlklarnn en küçü üdür ve wt(c) = min {wt(u) 0 u C} ile gösterilir (Ling ve Xing 2004). Tanm 2.1.9 Bir C kodu verilsin. Bu C kodunun minimum uzakl, C'nin herhangi iki farkl kod kelimesi arasndaki Hamming uzaklklarn en küçü üdür ve d = d(c) = min {d(u, v) u, v C, u v} ile gösterilir (Ling ve Xing 2004). F 4 üzerindeki bir C toplamsal kodunun uzunlu u n, boyutu k ve minimum uzakl d ise; C toplamsal kodu ( n, 2 k, d ) ile gösterilir. Lemma 2.1.10 Uzunlu u n olan iki vektör u, v F n q olmak üzere d(u, v) = wt(u v) dir (Ling ve Xing 2004). Lemma 2.1.11 F q üzerinde bir lineer kod C olsun. Bu C kodunun minimum uzakl ile minimum a rl ayndr. Yani d(c) = wt(c) dir. (Ling ve Xing 2004). 9

Lemma 2.1.12 F 4 üzerinde bir toplamsal kod C olsun. Bu C kodunun minimum uzakl ile minimum a rl ayndr. Yani d(c) = wt(c) dir. spat: Tanm 2.1.9'dan d(c) = d(x, y) olacak ³ekilde birbirinden farkl x, y C vardr. Her a F 4 için a = a oldu undan y C ise y = y dir. Lemma 2.1.10'dan ve Tanm 2.1.8'den d(c) = d(x, y) = wt(x y) = wt(x + y) wt(c) (2.1) olur. Tanm 2.1.8'den wt(c) = wt(z) olacak ³ekilde sfrdan farkl bir z C vardr. Lemma 2.1.10'dan ve Tanm 2.1.9'dan wt(c) = wt(z) = d(z, 0) d(c) (2.2) olur. Bu durumda (2.1) ve (2.2)'den d(c) = wt(c) elde edilir. Örnek 2.1.13 n = 2 uzunlu undaki bir C 1 toplamsal kodunun üreteç matrisi G 1 = w 1 0 w 2 ise C 1 = { α 1 (w, 1) α 2 ( 0, w 2) } α 1, α 2 F 2 = { (0, 0), (w, 1), (0, w 2 ), (w, w) } olur. Burada C 1 kodunun uzunlu u n = 2, boyutu k = 2 ve minimum uzakl d = 1 oldu undan C 1 bir (2, 2 2, 1) toplamsal kodudur. Bu C 1 kodunun a rlk da lm ise (1, 1, 2) dir. 2 2 2.2 F 4 Üzerindeki Toplamsal Kodlarda Denklik Lineer kodlardaki monomial denklik kavramnn bir genelle³tirilmesi M γ-denklik kavramdr. F 4 üzerindeki toplamsal kodlardaki denklik kavram ise, F 4 üzerindeki lineer kodlardaki M γ-denklik kavramnn bir genelle³tirilmesidir. 10

2.2.1 Monomial denklik Tanm 2.2.1 Sonlu elemanl F q cismi üzerinde tanml bir monomial matris, her bir satr ve sütununda tam bir tane sfrdan farkl bile³eni olan bir kare matristir ve M ile gösterilir (Human ve Pless 2003). Bir M monomial matrisi, P D veya DP ³eklinde yazlabilir. Bu tezde, monomial matrislerin M = P D gösterimi kullanlm³tr. Burada P ; bir permütasyon matris ve D; kö³egen üzerindeki bile³enleri sfrdan farkl olan bir kö³egen matristir. Tanm 2.2.2 Bir X kümesi üzerinde tanml bir ba nt R olsun. E er R ba nts a³a daki özellikleri sa lyorsa, R'ye X kümesi üzerinde bir denklik ba nts ad verilir. Burada x, y X için (x, y) R ise xry ³eklinde gösterilmi³tir. Ayrca xry ise x ile y, R ba ntsna göre denktir denir (Lidl ve Niederreiter 1986). (a) Her x X için xrx dir. (Yansma Özelli i) (b) E er x, y X için xry ise yrx dir. (Simetri Özelli i) (c) E er x, y, z X için xry ve yrz ise xrz dir. (Geçi³me Özelli i) Uzunlu u n olan F q üzerinde bir lineer kod C olmak üzere n n tipinde bir M monomial matrisi için CM = {cm c C} ³eklinde tanmlansn. Sonlu elemanl F q cismi üzerinde tanml n n tipindeki monomial matrislerin kümesi N ile gösterilsin. Buna göre N, matrislerde bilinen çarpma i³lemine göre bir gruptur. Lemma 2.2.3 Uzunlu u n olan F q üzerindeki tüm lineer kodlarn kümesi S olsun. Ayrca S kümesindeki iki lineer kod C 1 ve C 2 olsun. Bu S kümesi üzerinde "C 1 C 2 olmas için gerek ve yeter ³art C 1 M = C 2 olacak ³ekilde bir M N olmasdr" ³eklinde tanmlanan ba nts bir denklik ba ntsdr. spat: A³a da ba ntsnn Tanm 2.2.2'nin ³artlarn sa lad gösterilmi³tir. 11

(a) n n tipindeki birim matris I olmak üzere I N dir. Her C S için CI = C oldu undan C C dir. Bu yüzden ba nts yansma özelli ine sahiptir. (b) Kabul edilsin ki C 1, C 2 S için C 1 C 2 olsun. Bu durumda C 1 M 1 = C 2 olacak ³ekilde bir M 1 N vardr. Ayrca N matrislerdeki çarpma i³lemine göre bir grup oldu undan M 1 'in tersi vardr ve M 1 1 N dir. Di er taraftan C 1 M 1 = C 2 C 1 = C 2 M 1 1 oldu undan C 2 C 1 dir. Bu yüzden ba nts simetri özelli ine sahiptir. (c) Kabul edilsin ki C 1, C 2, C 3 S için C 1 C 2 ve C 2 C 3 olsun. Bu durumda C 1 M 1 = C 2 ve C 2 M 2 = C 3 olacak ³ekilde M 1, M 2 N vardr. Ayrca N matrislerdeki çarpma i³lemine göre bir grup oldu undan M 1 M 2 N dir. Di er taraftan C 2 M 2 = C 3 C 1 M 1 M 2 = C 3 oldu undan C 1 C 3 dür. Bu yüzden ba nts geçi³me özelli ine sahiptir. Dolaysyla ba nts bir denklik ba ntsdr. Lemma 2.2.3'deki denklik ba nts kullanlarak, a³a daki monomial denklik kavram tanmlanm³tr. Tanm 2.2.4 Uzunluklar n olan F q üzerinde iki lineer kod C 1 ve C 2 olsun. E er C 1 C 2 ise C 1 ile C 2 lineer kodlar monomial denktir denir (Human ve Pless 2003). Ayrca G 1 ; C 1 lineer kodunun üreteç matrisi ve G 2 ; C 2 lineer kodunun üreteç matrisi olmak üzere C 1 ile C 2 kodlar monomial denk ise C 1 M = C 2 olacak ³ekilde bir M N vardr. Bu yüzden G 1 M = G 2 dir. 2.2.2 M γ-denklik Tanm 2.2.5 Sonlu elemanl F q cismi üzerinde tanml bir γ : F q F q dönü³ümü 12

verilsin. Her x, y F q için γ(x + y) = γ(x) + γ(y) γ(x y) = γ(x) γ(y) olsun. E er γ dönü³ümü birebir ve örten ise, γ'ya F q 'nun bir cisim otomorzmas ad verilir (Lidl ve Niederreiter 1986). Teorem 2.2.6 Bir p asal says ve bir m pozitif tamsays için F p m sonlu bir cisim olsun. Sonlu elemanl F p m cisminin her x F p m ve j = 0, 1,..., m 1 için γ j : F p m F p m, γ j (x) = x pj ile tanml birbirinden farkl tam m tane cisim otomorzmas vardr (Lidl ve Niederreiter 1986). Sonlu elemanl F q 'nun bir cisim otomorzmas γ olmak üzere n uzunlu undaki (γ, γ,..., γ) vektörlerinin kümesi Γ = {(γ, γ,..., γ) γ, F q 'nun bir cisim otomorzmas} olsun. Bu Γ'nn bir (γ, γ,..., γ) eleman ksaca γ ile gösterilsin. Bir u = (u 0, u 1,..., u n 1 ) F n q vektörü verilsin. Bir γ Γ için uγ = (γ(u 0 ), γ(u 1 ),..., γ(u n 1 )) (2.3) ³eklinde tanmlansn. Ayrca C, n uzunlu unda F q üzerinde bir lineer kod olmak üzere bir M N ve bir γ Γ için CMγ = {cmγ c C} (2.4) ³eklinde tanmlansn. Teorem 2.2.6'dan, j = 0 için γ 0 (x) = x p0 = x olacak ³ekilde F q cisminin bir γ 0 cisim otomorzmas vardr. (2.3)'deki gibi tanmlanan Γ, dönü³ümlerdeki bile³ke i³lemine göre bir gruptur. Bu Γ'nn birim eleman γ 0 dir. Bir γ Γ'nn tersi ise γ 1 dir. 13

Lemma 2.2.7 (2.4)'deki gibi tanmlanan M γ dönü³ümlerinin kümesi NΓ ile gösterilsin. Bu durumda NΓ dönü³ümlerdeki bile³ke i³lemine göre bir gruptur. spat: NΓ'nn dönü³ümlerdeki bile³ke i³lemine göre bir grup oldu u a³a da gösterilmi³tir. (i) Kabul edilsin ki P 1 D 1 γ 1, P 2 D 2 γ 2 NΓ olsun. Bir a F n q alnsn. Bir b = ap 1 D 1 F n q olmak üzere bγ 1 P 2 = bp 2 γ 1 (2.5) olur. Bu durumda c = ap 1 D 1 P 2 F n q olmak üzere (2.5)'den a (P 1 D 1 γ 1 ) (P 2 D 2 γ 2 ) = bγ 1 P 2 (D 2 γ 2 ) = bp 2 γ 1 (D 2 γ 2 ) = c (γ 1 D 2 ) γ 2 (2.6) elde edilir. Burada c = (c 0, c 1,..., c n 1 ) F n q olsun. Her i = 0, 1,..., n 1 için d i 0 olmak üzere d 0 0 0 0 d D 2 = 1 0 : :... : 0 0 d n 1 olsun. Bu durumda c (γ 1 D 2 ) = (γ 1 (c 0 )d 0, γ 1 (c 1 )d 1,..., γ 1 (c n 1 )d n 1 ) (2.7) olur. Her i = 0, 1,..., n 1 için d i = γ1 1 (d i ) olmak üzere d 0 0 0 0 d D 3 = 1 0 : :... : 0 0 d n 1 (2.8) 14

olsun. Ayrca γ 1, F q 'nun bir cisim otomorzmas ve d i = γ 1 1 (d i ) oldu undan her i = 0, 1,..., n 1 için γ 1 (c i d i) = γ 1 (c i γ 1 1 (d i )) = γ 1 (c i )γ 1 (γ 1 1 (d i )) = γ 1 (c i )d i bulunur ve buradan c (D 3 γ 1 ) = = ( ) c 0 d 0, c 1 d 1,..., c n 1 d n 1 γ 1 ( ) γ 1 (c 0 d 0), γ 1 (c 1 d 1),..., γ 1 (c n 1 d n 1) = (γ 1 (c 0 )d 0, γ 1 (c 1 )d 1,..., γ 1 (c n 1 )d n 1 ) (2.9) olur. (2.7) ve (2.9)'dan c (γ 1 D 2 ) = c (D 3 γ 1 ) (2.10) elde edilir. Dönü³ümlerdeki bile³ke i³lemine göre Γ bir grup oldu undan γ 1, γ 2 Γ ise γ 1 γ 2 Γ dr. Di er taraftan c = ap 1 D 1 P 2 oldu u bilinmektedir. Ayrca γ 3 = γ 1 γ 2 Γ, M 1 = P 1 D 1, M 2 = P 2 D 3 ve M 3 = M 1 M 2 N olsun. Buna göre (2.6)'da, (2.10) denklemi yerine yazlrsa a (P 1 D 1 γ 1 ) (P 2 D 2 γ 2 ) = c (γ 1 D 2 ) γ 2 = c (D 3 γ 1 ) γ 2 = cd 3 γ 3 = ap 1 D 1 P 2 D 3 γ 3 = a(p 1 D 1 )(P 2 D 3 )γ 3 (2.11) = am 1 M 2 γ 3 = am 3 γ 3 bulunur. M 3 N ve γ 3 Γ oldu undan (P 1 D 1 γ 1 ) (P 2 D 2 γ 2 ) NΓ dr. (ii) Her a F n q, her M 1 γ 1, M 2 γ 2, M 3 γ 3 NΓ için olur. a (M 1 γ 1 ) (M 2 γ 2 M 3 γ 3 ) = a (M 1 γ 1 M 2 γ 2 ) M 3 γ 3 15

(iii) n n tipindeki birim matris I olmak üzere I N dir. Teorem 2.2.6'dan, j = 0 için γ 0 (x) = x p0 = x olacak ³ekilde bir γ 0 Γ vardr. Bu yüzden Iγ 0 NΓ dr. Her a F n q ve her Mγ NΓ için a(mγ)(iγ 0 ) = amγ oldu undan Iγ 0, NΓ'nn birim elemandr. (iv) Kabul edilsin ki (P 1 D 1 γ 1 ) NΓ olsun. (2.11)'de P 2 = P1 1, D 3 = P 1 D1 1 P1 1 ve γ 2 = γ 1 1 alnrsa her a F n q için a (P 1 D 1 γ 1 ) (P 2 D 2 γ 2 ) = a(p 1 D 1 )(P 2 D 3 ) = a(p 1 D 1 )(P 1 1 P 1 D 1 1 P 1 1 ) = a yazlr. Burada D 3 kö³egen matrisinin kö³egen üzerindeki sfrdan farkl elemanlar her i = 0, 1,..., n 1 için srasyla d i ise, D 2 kö³egen matrisinin kö³egen üzerindeki elemanlar srasyla γ 1 (d i) dür. Benzer ³ekilde a (P 2 D 2 γ 2 ) (P 1 D 1 γ 1 ) = a oldu u gösterilir. O halde (P 1 D 1 γ 1 ) 1 = (P 2 D 2 γ 2 ) dir. Böylece ispat tamamlanr. Lemma 2.2.8 Uzunlu u n olan F q üzerindeki tüm lineer kodlarn kümesi S olsun. Ayrca S kümesindeki iki lineer kod C 1 ve C 2 olsun. Bu S kümesi üzerinde "C 1 C 2 olmas için gerek ve yeter ³art C 1 Mγ = C 2 olacak ³ekilde bir Mγ NΓ olmasdr" ³eklinde tanmlanan ba nts bir denklik ba ntsdr. spat: A³a da ba ntsnn Tanm 2.2.2'nin ³artlarn sa lad gösterilmi³tir. (a) n n tipindeki birim matris I olmak üzere I N dir. Teorem 2.2.6'dan, j = 0 için γ 0 (x) = x p0 = x olacak ³ekilde bir γ 0 Γ vardr ve Iγ 0 NΓ dr. Her C S için CIγ 0 = C oldu undan C C dir. Bu yüzden ba nts yansma özelli ine sahiptir. 16

(b) Kabul edilsin ki C 1, C 2 S için C 1 C 2 olsun. Bu durumda C 1 M 1 γ 1 = C 2 olacak ³ekilde bir M 1 γ 1 NΓ vardr. Lemma 2.2.7'den, NΓ dönü³ümlerdeki bile³ke i³lemine göre bir grup oldu undan M 1 γ 1 'nin tersi vardr ve (M 1 γ 1 ) 1 NΓ dr. Di er taraftan C 1 M 1 γ 1 = C 2 C 1 = C 2 (M 1 γ 1 ) 1 oldu undan C 2 C 1 dir. Bu yüzden ba nts simetri özelli ine sahiptir. (c) Kabul edilsin ki C 1, C 2, C 3 S için C 1 C 2 ve C 2 C 3 olsun. Bu durumda C 1 M 1 γ 1 = C 2 ve C 2 M 2 γ 2 = C 3 olacak ³ekilde M 1 γ 1, M 2 γ 2 NΓ vardr. Lemma 2.2.7'den, NΓ dönü³ümlerdeki bile³ke i³lemine göre bir grup oldu undan M 1 γ 1 M 2 γ 2 NΓ dr. Di er taraftan C 2 M 2 γ 2 = C 3 C 1 M 1 γ 1 M 2 γ 2 = C 3 oldu undan C 1 C 3 dür. Bu yüzden ba nts geçi³me özelli ine sahiptir. Dolaysyla ba nts bir denklik ba ntsdr. Lemma 2.2.8'deki denklik ba nts kullanlarak a³a daki M γ-denklik kavram tanmlanm³tr. Tanm 2.2.9 Uzunluklar n olan F q üzerinde iki lineer kod C 1 ve C 2 olsun. E er C 1 C 2 ise C 1 ile C 2 kodlar Mγ-denktir denir (Human ve Pless 2003). Ayrca G 1 ; C 1 lineer kodunun üreteç matrisi ve G 2 ; C 2 lineer kodunun üreteç matrisi olmak üzere C 1 ile C 2 lineer kodlar Mγ-denk ise, G 1 üreteç matrisi ilk önce F q üzerinde tanml olan M monomial matrisi ile çarplr, daha sonra elde edilen matrisin tüm bile³enlerine γ cisim otomorzmas uygulanrsa G 2 üreteç matrisi elde edilir. Bir C lineer kodunun herhangi bir c kod kelimesi göz önüne alnsn. Bununla birlikte P ; bir permütasyon matris, D; kö³egen üzerindeki elemanlar sfrdan farkl olan bir kö³egen matris, σ; P permütasyon matrisinin sütunlarna göre olan permütasyon ve γ; F q 'nun bir cisim otomorzmas olsun. Bir monomial matris M = P D olmak üzere c kod kelimesine bir M γ dönü³ümünün uygulanmas; c kod kelimesine ilk önce 17

σ permütasyonun uygulanmasna, sonra elde edilen vektörün bile³enlerinin srasyla D'nin kö³egen üzerindeki sfrdan farkl elemanlar ile çarplmasna ve daha sonra elde edilen vektörün her bile³enine γ cisim otomorzmasnn uygulanmasna kar³lk gelmektedir. Bu durumda c kod kelimesinin a rl ile en son elde edilen vektörün a rl nn ayn oldu u açk bir ³ekilde gözükmektedir. Lemma 2.1.11'den bir lineer kodun minimum uzakl ile minimum a rl e³ittir. Dolaysyla M γ dönü³ümü, bir C lineer kodunun minimum uzakl n de i³tirmez. Buraya kadar lineer kodlardaki denklik kavramndan bahsedilmi³tir. imdi F 4 üzerindeki toplamsal kodlardaki denklik kavram ele alnsn. Teorem 2.2.6'dan p = 2 ve m = 2 için, F 4 'ün tam iki tane cisim otomorzmas vardr. Bu cisim otomorzmalar γ 1 : F 4 F 4, γ 1 (x) = x γ 2 : F 4 F 4, γ 2 (x) = x 2 ³eklinde tanmldr. Her i = 0, 1,..., n 1 için λ i 'ler F 4 'ün cisim otomorzmalar olmak üzere Λ = {(λ 0, λ 1,..., λ n 1 ) λ i, F 4 'ün bir cisim otomorzmas} olsun. Bir u = (u 0, u 1,..., u n 1 ) F n 4 vektörü verilsin. Bir λ = (λ 0, λ 1,..., λ n 1 ) Λ için uλ = (λ 0 (u 0 ), λ 1 (u 1 ),..., λ n 1 (u n 1 )) (2.12) ³eklinde tanmlansn. Ayrca C, n uzunlu unda F 4 üzerinde bir toplamsal kod olmak üzere bir M N ve bir λ Λ için CMλ = {cmλ c C} (2.13) ³eklinde tanmlansn. 18

(2.12)'deki gibi tanmlanan Λ, dönü³ümlerdeki bile³ke i³lemine göre bir gruptur. Burada Λ'nn birim eleman (γ 1, γ 1,..., γ 1 )'dir. Bir λ = (λ 0, λ 1,..., λ n 1 ) Λ'nn tersi ise λ 1 = ( λ 1 0, λ 1 1,..., λ n 1) dir. Lemma 2.2.10 (2.13)'deki gibi tanmlanan M λ dönü³ümlerinin kümesi NΛ ile gösterilsin. Bu durumda NΛ dönü³ümlerdeki bile³ke i³lemine göre bir gruptur. spat: Bu teoremin ispat Lemma 2.2.7'dekine benzer ³ekilde yaplr. (i) Kabul edilsin ki λ = (λ 0, λ 1,..., λ n 1 ), α = (α 0, α 1,..., α n 1 ) Λ olmak üzere P 1 D 1 λ, P 2 D 2 α NΛ olsun. Buna göre (P 1 D 1 λ) (P 2 D 2 α) NΛ oldu u Lemma 2.2.7 (i)'deki iki durumda de i³iklik yaplarak, geriye kalan durumlar ise Lemma 2.2.7 (i)'deki ile ayn ³ekilde gösterilir. Bu de i³ikliklerden birincisi; P 2 permütasyon matrisinin sütunlarna göre olan permütasyon σ olmak üzere δ = λσ = (δ 0, δ 1,..., δ n 1 ) Λ olsun. (2.5) denklemi yerine bλp 2 = bp 2 δ yazlr. kinci de i³iklik ise; (2.8)'deki D 3 matrisi yerine her i = 0, 1,..., n 1 için d i = δ 1 i (d i ) olmak üzere d 0 0 0 0 d D 3 = 1 0 : :... : 0 0 d n 1 alnr. (ii) Lemma 2.2.7 (ii)'deki gibi NΓ'nn birle³me özelli ine sahip oldu u açktr. (iii) n n tipindeki birim matris I olmak üzere I N dir. Ayrca λ = (γ 1, γ 1,..., γ 1 ) Λ dr. Lemma 2.2.7 (iii)'deki gibi NΓ'nn birim eleman Iλ dr. (iv) Kabul edilsin ki λ = (λ 0, λ 1,..., λ n 1 ) Λ olmak üzere P 1 D 1 λ NΛ olsun. Lemma 2.2.7 (iv)'deki gibi (P 1 D 1 λ) 1 Burada P 2 = (P 2 D 2 α) NΛ oldu u gösterilir. = P 1 1, D 3 = P 1 D 1 1 P 1 1 dir. Ayrca P 2 permütasyon matrisinin sütunlarna göre olan permütasyon σ olmak üzere δ = λσ = (δ 0, δ 1,..., δ n 1 ) 19

Λ olsun. Di er taraftan α = δ 1 = ( δ 1 0, δ 1 1,..., δ n 1) Λ ve D3 kö³egen matrisinin kö³egen üzerindeki sfrdan farkl elemanlar her i = 0, 1,..., n 1 için srasyla d i ise, D 2 kö³egen matrisinin kö³egen üzerindeki elemanlar srasyla δ i (d i) dür. Böylece ispat tamamlanr. Bile³enleri F 4 'ün elemanlarndan olu³an n n tipinde birbirinden farkl tüm monomial matrislerin says 3 n n! dir. Bir u F n 4 vektörünün her bile³enine, F 4 'ün 2 farkl cisim otomorzmas uygulanabilece inden, bu ³ekilde birbirinden farkl tüm dönü³ümlerin says 2 n dir. Dolaysyla NΛ'daki tüm Mλ dönü³ümlerinin says 6 n n! olur. Lemma 2.2.11 Uzunlu u n olan F 4 üzerindeki tüm toplamsal kodlarn kümesi S olsun. Ayrca S kümesindeki iki toplamsal kod C 1 ve C 2 olsun. Bu S kümesi üzerinde "C 1 C 2 olmas için gerek ve yeter ³art C 1 Mλ = C 2 olacak ³ekilde bir Mλ NΛ olmasdr" ³eklinde tanmlanan ba nts bir denklik ba ntsdr. spat: Lemma 2.2.10'dan, NΛ dönü³ümlerdeki bile³ke i³lemine göre bir gruptur. Bu yüzden Lemma 2.2.8'deki ile ayn ³ekilde ispat yaplr. Lemma 2.2.11'deki denklik ba nts kullanlarak a³a daki denklik kavram tanmlanm³tr. Tanm 2.2.12 Uzunluklar n olan F 4 üzerinde iki toplamsal kod C 1 ve C 2 olsun. E er C 1 C 2 ise C 1 ile C 2 kodlar denktir denir (Gaborit vd. 2001). F 4 üzerindeki bir C 1 lineer koduna Mγ-denk kod olan bir C 2 lineer kodu elde etmek için; ilk önce C 1 'in kod kelimeleri F 4 üzerinde tanml olan M monomial matrisi ile çarplr, daha sonra elde edilen vektörlerin tüm bile³enlerine F 4 'ün bir γ cisim otomorzmas uygulanr. F 4 üzerindeki bir C 1 toplamsal koduna denk kod olan bir C 2 toplamsal kodu elde etmek için, ilk önce lineer kodlarda oldu u gibi C 1 'in kod kelimeleri F 4 üzerinde tanml olan M monomial matrisi ile çarplr, daha sonra elde edilen vektörlerin baz 20

bile³enlerine γ 1 cisim otomorzmas, baz bile³enlerine ise γ 2 cisim otomorzmas uygulanr. Dolaysyla F 4 üzerindeki toplamsal kodlardaki denklik kavram, F 4 üzerindeki lineer kodlardaki M γ-denklik kavramnn bir genelle³tirilmesidir. Lineer kodlarda oldu u gibi, C 1 ile C 2 toplamsal kodlar Lemma 2.2.11'deki bir Mλ dönü³ümü ile denk ise, M λ dönü³ümün bu toplamsal kodlarn kod kelimelerinin a rlklarn de i³tirmedi i açktr. Lemma 2.1.12'den bir toplamsal kodun minimum uzakl ile minimum a rl e³ittir. Dolaysyla M λ dönü³ümü, bir C toplamsal kodunun minimum uzakl n de i³tirmez. Ayrca G 1 ; C 1 toplamsal kodunun üreteç matrisi ve G 2 ; C 2 toplamsal kodunun üreteç matrisi olmak üzere C 1 ile C 2 toplamsal kodlar bir Mλ dönü³ümü ile denk ise, G 1 üreteç matrisi ilk önce F 4 üzerinde tanml olan M monomial matrisi ile çarplr, daha sonra elde edilen matrisin baz sütunlarna γ 1 cisim otomorzmas, baz sütunlarna ise γ 2 cisim otomorzmas uygulanrsa G 2 üreteç matrisi elde edilir. A³a da F 4 üzerinde denk olan iki toplamsal kod örne i verilmi³tir. Örnek 2.2.13 Örnek 2.1.13'deki C 1 = {(0, 0), (w, 1), (0, w 2 ), (w, w)} toplamsal kodu ele alnsn. F 4 üzerinde tanml bir M = 0 w w 2 0 monomial matrisi, M = P D = 0 1 w2 0 1 0 0 w ³eklinde yazlr. Bu C 1 koduna M monomial matrisi uygulanrsa, C 2 = C 1 M = C 1 P D = { (0, 0), (w, 1), (0, w 2 ), (w, w) } P D = { (0, 0), (1, w), (w 2, 0), (w, w) } D = { (0, 0), (w 2, w 2 ), (w, 0), (1, w 2 ) } 21

toplamsal kodu elde edilir. Bu yüzden C 1 ile C 2 toplamsal kodlar monomial denktir. Di er taraftan Örnek 2.1.13'den C 1 'in üreteç matrisinin G 1 = w 1 0 w 2 oldu u bilinmektedir. Ayrca G 1 üreteç matrisi M monomial matrisi ile çarplrsa, G 2 = G 1 M = G 1 P D = w 1 P D 0 w 2 = 1 w D w 2 0 = w2 w 2 w 0 olur. Buradaki G 2 matrisi, C 2 toplamsal kodunun üreteç matrisidir. Örnek 2.2.14 Örnek 2.1.13'deki C 1 = {(0, 0), (w, 1), (0, w 2 ), (w, w)} toplamsal kodu ele alnsn. F 4 üzerinde tanml bir M = 0 w w 2 0 monomial matrisi verilsin. Bu C 1 toplamsal koduna ilk önce M monomial matrisi uygulanrsa, Örnek 2.2.13'den C 1 M = {(0, 0), (w 2, w 2 ), (w, 0), (1, w 2 )} oldu u bilinmektedir. Daha sonra elde edilen C 1 M kodundaki kod kelimelerinin birinci bile³enlerine γ 2 cisim otomorzmas, ikinci bile³enlerine ise γ 1 cisim otomorzmas uygulanrsa, C 3 = { (γ 2 (0), γ 1 (0)), (γ 2 (w 2 ), γ 1 (w 2 )), (γ 2 (w), γ 1 (0)), (γ 2 (1), γ 1 (w 2 )) } = { (0, 0), (w, w 2 ), (w 2, 0), (1, w 2 ) } toplamsal kodu bulunur. Bu yüzden C 1 ile C 3 toplamsal kodlar denktir. Di er taraftan Örnek 2.1.13'den C 1 'in üreteç matrisi G 1 = w 1 0 w 2 22

dir. Ayrca G 1 2.2.13'den üreteç matrisi ilk önce M monomial matrisi ile çarplrsa, Örnek G 1 M = w2 w 2 w 0 ³eklinde elde edilmi³ idi. Daha sonra elde edilen G 1 M matrisinin birinci sütunundaki elemanlara γ 2 cisim otomorzmas, ikinci sütunundaki elemanlara ise γ 1 cisim otomorzmas uygulanrsa, G 3 = w w2 w 2 0 olur. Buradaki G 3 matrisi, C 3 toplamsal kodunun üreteç matrisidir. 2.3 F 4 Üzerindeki Toplamsal Kodlarda Denklik Algoritmas Gaborit vd. (2001), F 4 üzerindeki iki toplamsal kodun denk olup olmad n kontrol etmek için bir yöntem geli³tirmi³lerdir. Bu bölümde, bu yöntemden detayl olarak bahsedilmi³tir ve sonra bu yöntem kullanlarak toplamsal kodlarda denklik algoritmas üretilmi³tir. Tanm 2.3.1 Uzunluklar n olan iki ikili kod B 1 ve B 2 olsun. Buna göre B 1 'in kod kelimelerini B 2 'nin kod kelimelerine dönü³türen {0, 1,..., n 1} koordinatlar kümesi üzerinde tanml bir P permütasyonu varsa, B 1 ile B 2 kodlar denktir denir. Yani B 2 = B 1 P olacak ³ekilde bir P permütasyonu varsa, B 1 ile B 2 kodlar denktir denir (Vermani 1996). Tanm 2.3.2 Bir ikili kod B olsun. Buna göre B'nin kod kelimelerini yine B'nin kod kelimelerine dönü³türen {0, 1,..., n 1} koordinatlar kümesi üzerinde tanml permütasyonlarn kümesi, dönü³ümlerdeki bile³ke i³lemine göre bir gruptur. Bu gruba B ikili kodunun otomorzma grubu ad verilir ve Aut(B) ile gösterilir (Vermani 1996). 23

Bir β dönü³ümü β : F 4 F 3 2 0 (0, 0, 0) 1 (0, 1, 1) w (1, 0, 1) w 2 (1, 1, 0) ³eklinde tanmlansn. F 4 üzerindeki bir C toplamsal kodu (n, 2 k ) olsun. Bu C kodunun her kod kelimesinin tüm bile³enlerine β dönü³ümü uygulansn. Bu ³ekilde elde edilen kod, bir [3n, k] ikili kodudur ve bu kod β(c) ile gösterilsin. Uzunlu u n olan F 4 üzerindeki iki denk toplamsal kod C 1 ve C 2 olsun. A³a da C 1 toplamsal kodunu C 2 toplamsal koduna dönü³türen dönü³ümler ile β(c 1 ) ikili kodunu β(c 2 ) ikili koduna dönü³türen permütasyonlar arasndaki ili³ki incelenmi³tir. Bir C toplamsal kodunun kod kelimelerinin koordinatlarnn kümesi I n = {0, 1,..., n 1} olsun. Buna göre β(c) ikili kodunun kod kelimelerinin koordinatlarnn kümesi ise her i I n için, i = {3i, 3i + 1, 3i + 2} olmak üzere ile gösterilsin. Ayrca olsun. I n = {{0, 1, 2}, {3, 4, 5},..., {3n 3, 3n 2, 3n 1}} {0, 1,..., (n 1) } S n = {σ σ : I n I n permütasyon} { } S n = σ σ : I n I n permütasyon Bir C toplamsal kodunun kod kelimelerinin herhangi bir i I n koordinatna, β(c) ikili kodun kod kelimelerinin i koordinatlarna uygulanan permütasyonlar ile i I n koordinat kar³lk gelmektedir. Dolaysyla i koordinatlarna uygulanan permütasyonlar arasnda birebir bir e³leme vardr. Yani bir σ S n permütasyonu için, 24

Cσ toplamsal koduna β(c)σ ikili kodu kar³lk gelecek ³ekilde bir σ S n permütasyonu vardr. Tersine, bir σ S n permütasyonu için de, β(c)σ ikili koduna Cσ toplamsal kodu kar³lk gelecek ³ekilde bir σ S n permütasyonu vardr. I 3 = {0, 1, 2} kümesi üzerinde tanml permütasyonlarn kümesi S 3 = {I, (012), (021), (12), (02), (01)} { } φ 1, φ 2, φ 3, φ 4, φ 5, φ 6 olsun. Cσ toplamsal kodunun kod kelimelerinin de herhangi bir i I n koordinatndaki eleman {1, w, w 2 }'nin elemanlarndan biri ile çarplsn, sonra elde edilen elemana {γ 1, γ 2 } cisim otomorzmalarndan biri uygulansn. Buna göre Cσ toplamsal kodunun kod kelimelerinin i I n koordinatndaki elemana uygulanan bu dönü³ümler ile β(c)σ ikili kodunun kod kelimelerinin i = {3i, 3i + 1, 3i + 2} I n koordinatndaki elemana uygulanan S 3 'deki permütasyonlar arasnda birebir e³leme vardr. Bu birebir e³leme a³a da verilmi³tir. Her x F 4 ve β(f 4 ) = {(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}} olmak üzere her y β(f 4 ) için φ 1 : F 4 F 4 x 1 x φ 1 : β(f 4 ) β(f 4 ) y yi φ 2 : F 4 F 4 x w x φ 2 : β(f 4 ) β(f 4 ) y y(012) φ 3 : F 4 F 4 x w 2 x φ 3 : β(f 4 ) β(f 4 ) y y(021) φ 4 : F 4 F 4 φ 4 : β(f 4 ) β(f 4 ) x (1 x) 2 y y(12) φ 5 : F 4 F 4 φ 5 : β(f 4 ) β(f 4 ) x (w x) 2 y y(02) 25

³eklinde birebir e³leme vardr. φ 6 : F 4 F 4 φ 6 : β(f 4 ) β(f 4 ) x (w 2 x) 2 y y(01) Her i = 0, 1,..., n 1 için Φ = { (φ r0,..., φ rn 1 ) φ ri {φ 1, φ 2, φ 3, φ 4, φ 5, φ 6 } } ve Φ = { (φ r 0,..., φ r n 1 ) φ r i { φ 1, φ 2, φ 3, φ 4, φ 5, φ 6}} kümeleri tanmlansn. Bir u = (u 0,..., u n 1 ) F n 4 vektörü verilsin. Buna göre β(u) = (β(u 0 ),..., β(u n 1 )) F 3n 2 olur. Bir φ = (φ r0,..., φ rn 1 ) Φ için ve bir φ = (φ r 0,..., φ r n 1 ) Φ ³eklinde tanmlansn. β(u)φ = uφ = ( φ r0 (u 0 ),..., φ rn 1 (u n 1 ) ) için ( ) φ r 0 (β(u 0 )),..., φ r n 1 (β(u n 1 )) Buna göre F 4 üzerindeki toplamsal kodlardaki denklik dönü³ümlerinin kümesi S n Φ = {σφ σ S n, φ Φ} (2.14) olur. Ayrca S nφ = { σ φ σ S n, φ Φ } (2.15) kümesi bir permütasyon grubudur. (2.14)'deki S n Φ ve (2.15)'deki S nφ sonuç elde edilmi³tir. arasnda birebir e³leme oldu undan a³a daki Sonuc. 2.3.3 Uzunluklar n olan F 4 üzerinde iki toplamsal kod C 1 ve C 2 olsun. Ayrca B 1 = β(c 1 ) ve B 2 = β(c 2 ) olsun. Buna göre C 1 σφ = C 2 olacak ³ekilde bir σφ S n Φ vardr ancak ve ancak B 1 σ φ = B 2 olacak ³ekilde bir σ φ S nφ vardr (Gaborit vd. 2001). A³a da Sonuç 2.3.3 'e dair bir örnek verilmi³tir. 26

Örnek 2.3.4 Örnek 2.2.14'deki F 4 üzerindeki C 1 = { (0, 0), (w, 1), (0, w 2 ), (w, w) } C 3 = { (0, 0), (w, w 2 ), (w 2, 0), (1, w 2 ) } toplamsal kodlar ele alnsn. Her x F 4 için φ 6 (x) = (w 2 x) 2 ve φ 2 (x) = w x dir. Ayrca σ = (01) ve φ = (φ 6, φ 2 ) olsun. Buradaki C 1 toplamsal koduna σφ dönü³ümü uygulanrsa, C 1 σφ = { (0, 0), (w, 1), (0, w 2 ), (w, w) } σφ = { (0, 0), (1, w), (w 2, 0), (w, w) } φ = { (0, 0), (w, w 2 ), (w 2, 0), (1, w 2 ) } = C 3 olur. Di er taraftan B 1 = β(c 1 ) = {(0, 0, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 0, 1)} B 3 = β(c 3 ) = {(0, 0, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 1, 0)} dr. Her y β(f 4 ) için φ 6(y) = y(01) ve φ 2(y) = y(012) dir. Ayrca σ = (0 1 ) ve φ = (φ 6, φ 2) olsun. Buradaki B 1 ikili koduna σ φ dönü³ümü uygulanrsa, B 1 σ φ = {(0, 0, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 0, 1)} σ φ = {(0, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 1, 0, 1)} φ = {(0, 0, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 1, 0)} = B 3 elde edilir. Bundan sonraki amaç; β(c 1 ) ile β(c 2 ) ikili kodlarnn denk olup olmad n kontrol ederek, C 1 ile C 2 toplamsal kodlarn denk olup olmad n belirlemektir. ki toplamsal kod olan C 1 ve C 2 denk ise, Sonuç 2.3.3'den β(c 1 ) ile β(c 2 ) ikili kodlarnn da denk oldu u görülür. Bu yüzden β(c 1 ) ile β(c 2 ) ikili kodlar denk de ilse, C 1 ile C 2 toplamsal kodlar da denk de ildir. 27

Tersine β(c 1 ) ile β(c 2 ) ikili kodlar denk olsun. Sonuç 2.3.3'den β(c 1 )P = β(c 2 ) olacak ³ekildeki her P S 3n için P / S nφ ise C 1 σφ = C 2 olacak ³ekilde bir σφ S n Φ yoktur. Bu yüzden β(c 1 ) ile β(c 2 ) ikili kodlar denk ise, C 1 ile C 2 toplamsal kodlar denk olmayabilir. A³a da bu durum incelenmi³tir. lk önce Lemma 2.3.5 ve Lemma 2.3.6 verilmi³tir. Sonra bu lemmalar kullanlarak ispat edilmi³ olan Teorem 2.3.7 verilmi³tir. Bu teorem ile C 1 ile C 2 toplamsal kodlarn denk olup olmad belirlenmi³tir. Lemma 2.3.5 F n 4 kümesi (n, 2 2n ) toplamsal kodudur. Bu kod Ω ile gösterilsin. (2.15)'deki S nφ permütasyon grubu, β(ω)'nn otomorzma grubuna izomorftur. Yani S nφ = Aut(β(Ω)) dr (Gaborit vd. 2001). Lemma 2.3.6 ki ikili kod B 1 ve B 2 olsun. Ayrca B 1 P = B 2 olacak ³ekilde bir P permütasyonu var olsun. Buna göre B 1 Q = B 2 olacak ³ekilde bir Q permütasyonunun var olmas için gerek ve yeter ³art Q Aut(B 1 )P olmasdr (Gaborit vd. 2001). spat: (: ) Kabul edilsin ki B 1 Q = B 2 olacak ³ekilde bir Q permütasyonu var olsun. Bu durumda B 1 Q = B 1 P B 1 QP 1 = B 1 QP 1 Aut(B 1 ) Q Aut(B 1 )P elde edilir. ( :) Kabul edilsin ki Q Aut(B 1 )P olsun. Buna göre Q = AP olacak ³ekilde bir A Aut(B 1 ) vardr. Bu durumda B 1 Q = B 1 (AP ) = (B 1 A)P = B 1 P = B 2 bulunur. 28