V. Ulusl Üetim Aştımlı Sempozyumu, İstbul Ticet Üivesitesi, 25-27 Ksım 2005 ÖĞRENME ETKİLİ ÇİZELGELEME PROBLEMİNDE MAKSİMUM GECİKMENİN ENKÜÇÜKLENMESİ İÇİN ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Tme EREN Kııkkle Üivesitesi Et GÜNER Gzi Üivesitesi Özet Öğeme etkisi, beze yd yı işlemlei süekli olk teklmsı soucud işlem zmıd meyd gele zlmyı ifde etmektedi. Bu çlışmd mksimum gecikmei eküçüklemesi poblemi tek mkieli sistem içi öğeme etkili duumd ele lımıştı. Mksimum gecikmei eküçüklemesi poblemi içi optiml çözümle klsik duumd (öğeme etkisiz) e küçük teslim tihi (EDD) kulı ile kıs zmd bulubilike, öğeme etkili duumd ise poblem NP-zo ypıd olmktdı. Ele lı bu poblemi çözümü içi mtemtiksel pogmlm modeli geliştiileek küçük boyutlu çözümle geçekleştiilmişti. Dh büyük boyutlu poblemlei çözmek içi met sezgisel yötemlede tbu m yötemi kullılmış ve çözüm souçlı gösteilmişti. Aht Sözcükle: Tek Mkieli Çizelgeleme, Öğeme Etkisi, Mksimum Gecikme, Mtemtiksel Pogmlm, Tbu Am Yötemi.. GİRİŞ Üetim sistemleide yı vey beze fliyetlei süekli olk teklmsı soucu üetim işlemide gelişme kydedilmesiyle üetim zmıd bi kıslm meyd geli. Bu olgu litetüde öğeme etkisi olk bilimektedi. Yöeylem ştımsıı pek çok lıd öğeme etkisi kullılmsı ğme çizelgeleme kousud ypıl çlışml ck so yılld stlmktdı. Öğeme eğisi, yı işi teklmsıı bi foksiyou olk pefomsıı gelişim gfiğidi. Öğeme eğisi ilk kez Wight (936) tfıd tımlmıştı. Wight (936) uçklı üetimide üetile uçk syısı tke diek işçilik mliyetleide sıl bi zlm olduğuu tespit etmişti. Bu gözlem ve gelişme oı, bi çok uçk imltçısı tfıd tutlı ve doğu kbul edilmişti. Heize ve Rede (200), işgücü thmiide, mliyet ve bütçe hesplıd, dışıd stı lımld, şiket pefomsıı stteik gelişimii tespiti vb. bi çok uygulmld öğeme eğileii ylı olduğuu ifde etmişledi. Aştımcıl yıc, fklı ogizsyold fklı üülei, fklı öğeme eğileie ship olduklıı ve yöetim klitesie ile üü posesii potsiyelie bğlı olk öğeme olıı değiştiğii, 920 ve 955 yıllı sıd çelik edüstisii öek gösteeek bu edüstide kümültif üetimi bi öceki üetime göe iki kt ttığıd biim üü işçilik stleide %79 luk bi zlm olduğuu göstemişledi. Çizelgelemede ise öğeme etkisi ilk kez Biskup (999) tfıd icelemişti. Ypıl çlışml tek mkieli çizelgeleme (Biskup, 999; Cheg ve Wg, 2000; Mosheiov 200; Ee ve Güe 2002;2004 Mosheiov ve Sidey 2003,2005; Biskup ve Simos, 2004; Lee, 2004; Lee ve diğelei, 2004) poblemleide yoğulşmıştı. Ayıc plel mkiele (Mosheiov 200b; Ee ve Güe 2004b;2005) ve kış tipi çizelgeleme (Ee ve Güe 2003;2004c; Lee ve Wu, 2004) poblemlei ile ypıl çlışmld bulumktdı. Ele lı tek mkieli sistemde mksimum gecikme poblemi klsik duumd (öğeme etkisiz) e eke teslim tihi (EDD) kulı ile optiml çözümlei bulubilmektedi. Ayı poblem öğeme etkili olduğud ise NP-zo ypıd olmktdı (Cheg ve Wg, 2000). 243
T. Ee, E. Güe Bu çlışmd, tek mkieli öğeme etkili mksimum gecikme poblemi içi mtemtiksel pogmlm modeli geliştiilmiş ve geliştiile modelle 24 işe kd ol çözümle geçekleştiilmişti. Ayıc EDD ve tbu m yötemi kullılk 000 işe kd ol poblemlei çözümlei ypılmıştı. Çlışmı ikici bölümüde ele lı poblem tımlcktı. Poblemi mtemtiksel pogmlm modeli ise üçücü bölümde veilecekti. Dödücü bölümde sezgisel yötem olk kullıl tbu m yötemi hkkıd bilgi veilecek yı zmd icelee pobleme sıl uyldığı gösteilecekti. Deeysel souçl ise beşici bölümde suulcktı. So bölümde ise ypıl çlışm değelediilip gelecekte ypılbilecek çlışmld bhsedilecekti. 2. PROBLEMİN TANIMLANMASI Atölyeye gele iş sıfııcı zmd işlem içi hzıdı. Gele işle ( gömektedi. p ve d, işii işlem zmıı ve teslim tihii göstemektedi. tmmlm zmı ve gecikmesii ifde etmektedi. L gecikme mx { } = = L =,2,..., ) tek mkiede sısıyl işlem C ve L sısıyl işii = C d olk tımlmktdı. Mksimum = mx C d = mx L di. Bi işi işlem zmı öğeme etkisi olduğud sıdki pozisyou bi foksiyou olk zlı. işi. pozisyod çizelgeleiyo ise bu işi işlem zmı p olk kbul edili ve p = p olk belitili. Bud p, işi ilk pozisyod ye ldığıd işlem zmı, 0 ol öğeme ideksi sbitidi ve öğeme oıı iki tbı göe logitmsı olk veili. Pozisyol göe fklı işlei mkieledeki işlem zmlı mtisi Tblo de veilmişti. Tblo. Tek mkieli çizelgelemede işlem zmlı mtisi pozisyo = = 2 = 3... = p = p p p = p p2 = p2 p 2 p 2 p2 2 p 3... p p 2 3... p 2 p = p p p 2 p 3... p Çlışmd kullıl diğe vsyıml şöyledi: Mkie hzılık zmlı öcede bilimekte olup işlem zmı dhil edilmişti. İş kesitisie izi veilmeyip bşl iş mkiede tmmlmd bşk bi iş bşlymz ve mkiei çizelgeleme peiyodu süesice süekli çlıştığı vsyılmktdı. Ayıc mkiede yı d tek bi iş ypılbilmektedi. 3. MATEMATİKSEL PROGRAMLAMA MODELİ 2 Model + 3 + değişkeli ve 6 kısıtlıdı. Kullıl pmetele ve değişkele şğıd belitilmişti.. Pmetele iş syısı =,2,...,. pozisyo bğlı öğeme ideksi, =,2,..., p işii işlem zmı, =,2,..., d işii teslim tihi, =,2,..., 2. K değişkei Z Eğe işi. pozisyod işlem gömek içi çizelgelemişse, ksi hlde 0, 3. Ydımcı değişkele p [ ]. pozisyodki işi işlem zmı p[ ] Z p =,2,..., =,2,..., =,2,..., = = () 244
V. Ulusl Üetim Aştımlı Sempozyumu, İstbul Ticet Üivesitesi, 25-27 Ksım 2005 * d. pozisyodki işi teslim tihi d =,2,..., * Z d = = (2) C. pozisyodki işi tmmlm zmı =,2,..., L mx mksimum gecikme 4. Mtemtiksel pogmlm modeli Amç foksiyou: Mi Z = Kısıtl: Z = Z = L mx L mx * C d =,2,..., (3) = =,2,..., (4) = =,2,..., (5) C p[ ] ve C C p[ ] = 2,3,..., (6) ()-(3) olu ydımcı değişke kısıtlı Kısıt (4);. iş öceliğide sdece bi tek iş çizelgelemesii, kısıt (5); he bi iş sdece bi kez çizelgelemesii ifde etmektedi. Kısıt (6);. sıdki işi tmmlm zmı bi öceki işi tmmlm zmı sıdki fkı. pozisyodki işi işlem zmıd büyük vey eşit olm duumuu göstemektedi. At işlei Gtt şemsı Şekil de gösteilmişti. 5. Syısl öek Şekil. At işlei Gtt şemsı 5 işli bi öek içi işlem zmlı ve teslim tihlei Tblo 2 de veilmişti. Öğeme etkisi % 80 ( = 0. 322 ) içi mksimum gecikmeyi eküçükleyecek eiyi sılmyı bullım. Tblo 2. Syısl öek veilei 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 p 79 64 9 4 63 3 95 44 86 37 83 42 67 54 20 d 97 48 330 79 367 284 44 277 69 32 78 03 3 204 304 Poblem öeile modelle ve EDD kulı ile çözüldüğüde bulu değele ve sılml Tblo 3 de gösteilmişti. Tblo 3 de göüldüğü gibi öeile mtemtiksel modelle eiyi çözüm elde edilmişti. Tblo 3. Bulu değele ve sılml Kullıl yötem Bulu değe Eiyi sılm Mtemtiksel pogmlm 20.28 5-4-3-2- 2-- 9--4-8- 6-0-5-3-7 EDD 36.50 3-4- -2-2-9--4-8- 6-5-0-3-5-7 4. TABU ARAMA YÖNTEMİ Öeile mtemtiksel pogmlm modeli ile ck küçük boyutlu poblemle çözülebilmektedi. Hlbuki uygulmld dh büyük boyutlu poblemlei çözmek geekebili. Buu içi tbu m yötemi kullılmıştı. İlk olk Glove (986) tfıd oty tıl tbu m yötemi, bu çlışmd ele lı 245
T. Ee, E. Güe poblemi çözümüde kullıl sezgisel yötemdi. Bu yötem, eiyi vey eiyiye ykı çözümlei bulmk içi çözüm uzyıı ştıı. Kombitoyl poblemlede kullıl sezgisel optimizsyo tekikleide e çok kullıl yötemlede biidi. Tbu m, seçile hehgi bi bşlgıç çözümü ile my bşl. Mevcut çözümü tıml bi heket mekizmsı göe komşuluğu oluştuulu ve bu komşuluk içide e iyi mç değeie ship ol çözüm eğe tbu sııfı gimiyos yei mevcut çözüm olk seçili. Yötemde tbu sııflıı belilemesi içi kıs döemli hfız (tbu listesi) kullılı. Belli bi itesyo seviyeside vey iyileşme olmdığıd m duduulu. Tbu m yötemii pobleme uylmsı şu şekildedi: Bşlgıç çözümü seçimi: Tbu m yötemii bşlgıç çözümü öğeme etkisiz duumd eiyi çözümü vee e eke teslim tihi (EDD) kulı olk seçilmişti. Komşu m stteisi: Komşu m stteisi olk bitişik iş çiftleii ye değiştiilmesi (API) kullılmıştı. API stteisi ile he itesyod (-) te komşu üetilmektedi. Tbu listesi uzuluğu: Tbu listesi uzuluğu iş syısı e göe belilemiş ve 2 olk lımıştı. Dudum kitei: poblem içi itesyod iyileşme olmdığıd tbu m yötemi so veilmesi istemektedi. Tbu mı pmetelei toplu olk Tblo 4 de veilmişti. Tblo 4. Tbu m pmetelei Pmetele Değeli Bşlgıç çözümü EDD Tbu listesi uzuluğu 2 Komşu m stteisi API Dudum kitei itesyod iyileşmeme 5. DENEYSEL SONUÇLAR Ypıl çlışmd bütü deeysel testle içi Petium IV/2 GHz 52 RAM kpsiteli kişisel bilgisy kullılmıştı. Ele lı poblemi eiyi çözümleii bulmk içi Hype LINDO/PC 6.0 pogmı kullılmıştı. İşlem zmlı p, ile 00 sıd, teslim tihlei d ise 0 ile p = sıd düzgü dğılımd üetilmişti. Öğeme etkisi olk % 80 lımıştı. Deey seti toplu olk Tblo 5 de veilmişti. Tblo 5 de göüldüğü gibi toplm 240 poblem çözülmüştü. Tblo 5. Poblemi deeysel seti Pmetele Değelei İş syısı, 0,2,4,6,8,20,22,24 Öğeme etkisi % 80 İşlem zmı p U[,00] Teslim tihi d U[0, p ] Çözüle poblem 30 Toplm poblem 8 30=240 Tblo 6 d ele lı poblemi mtemtiksel pogmlm çözüm süelei ile sezgisel yötem olk kullıl EDD ve tbu mı htlı veilmektedi. Sezgisellei htsı şğıdki fomülle göe hesplmıştı: sezgisel çözüm değei optiml çözüm değei ht = optiml çözüm değei Tblo 6 d göüldüğü gibi tbu m yötemi tüm poblemlede % i ltıd ht vemişti. EDD yötemi ise otlm olk % 2 ye ykı ht değei vemektedi. Tbu m sezgiselie göe poblemlei çözüm süesi çok kıs olduğu içi yukıdki çizelgede bu süele veilmemişti. 246
V. Ulusl Üetim Aştımlı Sempozyumu, İstbul Ticet Üivesitesi, 25-27 Ksım 2005 Tblo 6. Tmsyılı pogmlmı CPU çözüm süelei (siye) ile EDD ve tbu m yötemleii htlı Sezgisellei htlı Optiml çözüm süelei (s) EDD Tbu m 0 2.2 0.82 0.0058 2 6.64 0.254 0.0053 4 2.33 0.396 0.0026 6 73.22 0.334 0.0069 8 233.98 0.067 0.000 20 732.32 0.096 0.0087 22 222.22 0.24 0.0077 24 700.48 0.007 0.0045 Otlm ht 0.94 0.0064 Büyük boyutlu poblemlei deeysel seti Tblo 7 de veilmişti. İşle EDD yötemlei ile çözülüp tbu m yötemiyle e kd geliştiildiği 000 işe kd ol poblemlede gösteilecekti. EDD yötemideki gelişme şu şekilde hesplmktdı: EDD çözüm değei Tbu m çözüm değei EDD yötemide gelişme = Tbu m çözüm değei Tblo 7. Büyük Boyutlu Poblemlei Deeysel Seti Pmetele Değelei Iş syısı, 00,200,,000 Öğeme etkisi % 80 İşlem zmı p [,00] Teslim tihi d [0, p ] Çözüle poblem 30 Toplm poblem 0 30=300 EDD yötemideki tbu myl gelişme ve çözüm süelei Tblo 8 de gösteilmişti. Tblo 8 de de göüldüğü gibi otlm olk % 5 gelişme göülmektedi. Tblo 8. Büyük boyutlu poblemlede EDD yötemii tbu m ile gelişmesi ve çözüm süelei EDD geliştime Süe (s) EDD geliştime Süe (s) 00 0.249 3.49 600 0.636 83.69 200 0.695 8.40 700 0.202 386.83 300 0.322 6.96 800 0.070 907.02 400 0.633 37.05 900 0.42 22.22 500 0.364 85.79 000 0.33 4823. 6. SONUÇ Bu çlışmd tek mkieli çizelgeleme poblemide öğeme etkili mksimum gecikmei eküçüklemesi poblemi dikkte lımıştı. NP-zo ol bu poblemi çözmek içi bi mtemtiksel pogmlm modeli öeilmişti. Ayıc tbu m sezgiseli kullılk 000 işe kd ol poblemlei çözümlei geçekleştiilmişti. Öğeme etkili çizelgeleme poblemleide diğe pefoms ölçütlei de tek ve çok mkieli otml içi iceleebili. 247
T. Ee, E. Güe 7. KAYNAKÇA BISKUP, D., 999, Sigle Mchie Schedulig with Leig Cosidetios, Euope Joul of Opetiol Resech, 5, 73 78. BISKUP, D., SIMONS, D., 2004, Commo Due Dte Schedulig with Autoomous d Iduced Leig, Euope Joul of Opetiol Resech, 59, 606 66. CHENG, T. C. E., WANG, G., 2000, Sigle Mchie Schedulig with Leig Effect Cosidetios, Als of Opetios Resech, 98, 273-290. EREN, T., GÜNER, E., 2002, İşe Bğımlı Öğeme Etkili Çizelgeleme Poblemleii Çözümü içi Bi Mtemtiksel Model, Z. K.Ü. Kbük Tekik Eğitim Fkültesi Tekoloi Degisi, 3-4, 2-29. EREN, T., GÜNER, E., 2003, Akış Tipi Çizelgeleme Poblemleide İşe-Bğımlı Öğeme Etkisi, K.H.O. Svum Bilimlei Degisi, 2 (2), -. EREN, T., GÜNER, E., 2004, Öğeme Etkisii Çizelgeleme Poblemleie Uygulmsı, 0. Egoomi Kogesi. 7-9 Ekim, Bus. 6. EREN, T., GÜNER, E., 2004b, Öğeme Etkisii İki Ölçütlü Plel Mkilı Çizelgeleme Poblemleide Uygulmsı, YA/EM 2004, XXIV. Ulusl Kogesi. 5-8 Hzi Gzitep Ad. 473-475. EREN, T., GÜNER, E., 2004c, Öğeme Etkili Akış Tipi Çizelgeleme Poblemide Otlm Akış Zmıı Eküçüklemesi, Gzi Üivesitesi Mühedislik Mimlık Fkültesi Degisi. 9 (2), 9-24. EREN, T., GÜNER, E., 2005, Öğeme Etkili İki Ölçütlü Plel Mkieli Çizelgeleme Poblemleii Çözümü içi Tmsyılı Pogmlm Modeli, 4. İsttistik Kogesi, Atly, 2-5 Myıs. GLOVER F., 986, Futue Pths fo Itege Pogmmig d Liks to Atificil İtelligece, Computes d Opetios Resech, 5, 533-549. HEIZER, J., RENDER, B., 200 Opetios Mgemet, (6. ed.), Petice Hll, New Jesey, ABD. LEE, W.-C., 2004, A Note o Deteiotig Jobs d Leig i Sigle-Mchie Schedulig Poblems, Itetiol Joul of Busiess d Ecoomics, 3, 83-89. LEE, W.-C., WU, C.-C., 2004, Miimizig Totl Completio Time i A Two-Mchie Flowshop with A Leig Effect, Itetiol Joul of Poductio Ecoomics, 88, 85 93. LEE, W.-C., WU, C.-C., SUNG, H.-J., 2004, A Bi-Citeio Sigle-Mchie Schedulig Poblem with Leig Cosidetios, Act Ifomtic, 40, 303 35. MOSHEIOV, G., 200, Schedulig Poblems with Leig Effect, Euope Joul of Opetiol Resech, 32, 687 693. MOSHEIOV, G., 200b, Pllel Mchie Schedulig with Leig Effect, Joul of the Opetiol Resech Society, 52, 65-69. MOSHEIOV, G., SIDNEY, J. B., 2003, Schedulig with Geel Job-Depedet Leig Cuves, Euope Joul of Opetiol Resech, 47, 665-670. MOSHEIOV, G., SIDNEY J. B., 2005, Note o Schedulig with Geel Leig Cuves to Miimize the Numbe of Tdy Jobs, Joul of the Opetiol Resech Society, 56, 0 2. WRIGHT, T. P., 936, Fctos Affectig The Cost of Aiples, Joul of The Aeouticl Scieces, 3, 22-28, 248