erem öker / enan Osmanğlu PSS GOMTRİ ONU NLTIMLI İTP ISN 978-605-318-091-3 itapta yer alan bölümlerin tüm srumluluğu yazarına aittir. Pegem kademi u kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem kademi Yay. ğt. an. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. nılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektrnik, ftkpi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. u kitap T.. ültür akanlığı bandrlü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrlü lmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrlsüz yayınları satın almamasını diliyruz. u kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış lduğu sınavlardaki ÇIMIŞ SORULR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla lursa lsun, tamamının veya bir kısmının kpya edilmesi, ftğraflarının çekilmesi, herhangi bir ylla çğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni lmadan yapılamaz. Pegem kademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır. 27.askı: Temmuz 2015, nkara Yayın-Prje Yönetmeni: yşegül rğlu izgi-grafik Tasarım: Gülnur Öcalan apak Tasarımı: Gürsel vcı askı: yrıntı asım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti İvedik Organize Sanayi 28. adde 770. Skak N: 105/ Yenimahalle/NR Yayıncı Sertifika N: 14749 Matbaa Sertifika N: 13987 İletişim aranfil 2 Skak N: 45 ızılay / NR Yayınevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi elgeç: 0312 435 44 60 ağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 ağıtım elgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık ursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net -ileti: pegem@pegem.net
SUNU eğerli daylar; u kitap amu Persneli Seçme Sınavı (PSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan Gemetri kapsamındaki 3 veya 4 sruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. itap, srulmuş ve srulması lası sruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş lup; GOMTRİ - Gemetrik avramlar ve ğruda çılar, - Çkgenler ve örtgenler, - Çember ve aire, - nalitik Gemetri ve - atı isimler bölümlerinden luşmaktadır. itapta; bölümlerin sınav frmatına uygun ve sru çözümünü klaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin snunda, - çıkmış srular ve - cevaplı testlere; yer verilmiştir. u kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem kademi sınav kmisynuna teşekkürü bir brç biliriz. u kitap, uzun bir birikimin ve yğun bir emeğin ürünüdür. itapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. eğerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız. itabın çalışmalarınızda yararlı lması dileğiyle, PSS de ve meslek hayatınızda başarılar. erem öker - enan Osmanğlu
İÇİNİLR 1. ÖLÜM GOMTRİ VRMLR V OĞRU ÇILR...1 Gemetrik avramlar...2 Tanımsız avramlar...2 çılar...2 çının Ölçüsü...2 çının üzlemde yırdığı ölgeler...2 çı Ölçü irimleri...2 erecenin lt irimleri...3 çı Çeşitleri...3 ar çı...3 ik çı...3 Geniş çı...3 ğru çı...3 Tam çı...3 mşu çılar...3 çırtay...3 Tümler çılar...4 ütünler çılar...4 Ters çılar...5 Paralel İki ğrunun ir esen ile Yaptığı çılar...5 Paralel İki ğrunun irden Çk esen İle Meydana Getirdiği çılar...5 enarları Paralel çılar...7 enarları ik çılar...7 Üçgenler...10 Üçgen Çeşitleri...10 çılarına Göre Üçgenler...10 enarlarına Göre Üçgenler...10 Üçgende Temel ve Yardımcı lemanlar...11 Yükseklik...11 çırtay...11 enarrtay...11 Üçgende çılar ile İlgili Özellikler...12 ik Üçgen...16 Pisagr Teremi...16 Öklid ağıntıları...17 enarlarına Göre Özel ik Üçgenler...18 çılarına Göre Özel ik Üçgenler...19 Üçgende çırtay Teremleri...21 İç çırtay Teremi...22 ış çırtay Teremi...23 Üçgende enarrtay Teremleri...25 ğırlık Merkezi...25 enarrtay ağıntıları...27 Özel Üçgenler...29 İkizkenar Üçgen...29 şkenar Üçgen...31 Üçgende lan...35 Üçgende enzerlik...40 çı çı çı enzerlik uralı...40 Tales Teremi...42 Temel Orantı Teremi...42 Çapraz Tales Teremi...43 enar çı enar enzerlik uralı...44 enar enar enar enzerlik uralı...45 Üçgende çı enar ağıntıları...48 Üçgen şitsizliği...48 Çıkmış Srular...53 evaplı Test - 1...56 evaplı Test - 2...58 evaplı Test - 3...60 evaplı Test - 4...62 evaplı Test - 5...64 evaplı Test - 6...66 evaplı Test - 7...68 evaplı Test - 8...70 evaplı Test - 9...72 evaplı Test - 10...74 evaplı Test - 11...76 evaplı Test - 12...78 evaplı Test - 13...80 2. ÖLÜM ÇOGNLR V ÖRTGNLR...83 Çkgenler...84 ışbükey ve İçbükey Çkgenler...84 üzgün Çkgen...85 örtgenler...90 örtgenlerde lan...91 Paralelkenar...93 Paralelkenarda lan...94 Paralelkenarın lan Özellikleri...94 Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler...96 şkenar örtgen...97 ikdörtgen...98
are...100 Yamuk eltid...102 İkizkenar Yamuk...105 ik Yamuk...107 eltid...107 Çıkmış Srular...108 evaplı Test - 1...110 evaplı Test - 2...112 evaplı Test - 3...114 evaplı Test - 4...116 evaplı Test - 5...118 3. ÖLÜM ÇMR V İR...121 Çemberde çı...122 Çemberde Yardımcı lemanlar...122 Çemberde Yay ve çı Özellikleri...123 Merkez çı...123 Çevre çı...124 Teğet iriş çı...125 İç çı...125 ış çı...125 Çemberde iriş Yay Özellikleri...127 irişler örtgeni...127 Çemberde Uzunluk...128 ir Nktanın ir Çembere Göre uvveti...128 uvvet kseni...130 İki Çemberin Ortak Teğetleri...131 İki Çemberin irbirine Göre urumları...133 Üçgenin Çemberleri...133 Üçgenin İç Teğet Çemberi...133 Üçgenin ış Teğet Çemberi...134 Teğetler örtgeni...134 airede lan...135 airenin lanı ve Çevresi...135 aire iliminin lanı...135 Çember Yayının Uzunluğu...135 aire esmesinin lanı...135 aire Halkasının lanı...136 Çemberde enzerlik...137 Çıkmış Srular...139 evaplı Test - 1...140 evaplı Test - 2...142 evaplı Test - 3...144 4. ÖLÜM NLİTİ GOMTRİ...147 Nktanın nalitik İncelenmesi...148 nalitik üzlem...148 İki Nkta rasındaki Uzaklık...149 ğrusal Nktalar...150 ğrusal Olmayan Nktalar...152 ğrunun nalitik İncelenmesi...155 ğrunun ğim çısı ve ğimi...155 ğrunun Grafiğinin Çizimi...157 ğrunun enklemleri...158 Özel ğrular...160 İki ğrunun irbirine Göre urumları...160 ğru emeti...162 Simetriler...165 Nktanın Simetriği...165 ğrunun Simetriği...168 şitsizlikler...170 Çıkmış Srular...172 evaplı Test...173 5. ÖLÜM TI İSİMLR...175 Prizma...176 ikdörtgenler Prizması...177 üp...179 Silindir...179 önel Silindir...180 Piramit...182 üzgün Piramit...182 esik Piramit...183 ni...183 üre...185 Çıkmış Srular...186 evaplı Testler - 1...187 evaplı Testler - 2...189
2015 PGM Mİ YYINLRIN YR LN 2015 PSS - NZR SORULR 6 5 4 5 1. : c : m işleminin snucu kaçtır? 5 2 2 6 ) 12 ) 6 ) 6 ) 12 ) 24 Lisans Mezunları İçin nu nlatımlı itap Sayfa 169 / 5. sru 5. 10! - 9! 8! + 7! işleminin snucu kaçtır? ) 64 ) 65 ) 68 ) 70 ) 72 Mdüler Sru ankası Sayfa 117 / Sru 4 2 1 2. d1 + n -2 3 3 işleminin snucu kaçtır? ) 5 ) 1 ) 1 ) 3 ) 5 Genel Yetenek Genel ültür Yaprak Test Test 12 / Sru 1 6. a b 8 c x 2 6 8 + 5 6 2 8 Yanda verilen çarpma işleminde ab ile 8c iki basamaklı dğal sayılardır. una göre, a + b + c tplamı kaçtır? 3. 93 92 2-2 94 2 ) 17 ) 18 ) 19 ) 20 ) 21 Mdüler Sru ankası Sayfa 64 / Sru 16 işleminin snucu kaçtır? 1 1 1 ) ) ) 2 3 4 ) 5 1 ) 6 1 Mdüler Sru ankası Sayfa 174 / Sru 17 4. 12! - 24 $ 10! 10! + 5$ 9! işleminin snucu kaçtır? ) 84 ) 72 ) 70 ) 64 ) 60 Genel Yetenek Genel ültür Türkiye Geneli 19 32. sru 7. x y z Yanda verilen çarpma işlemine göre, x 2 3 + L + M tplamı kaçtır? + 1 1 5 8 L L M ) 11 ) 12 ) 13 ) 14 ) 15 Genel Yetenek Genel ültür Yaprak Test Test 6 / Sru 5 1
2015 PGM Mİ YYINLRIN YR LN 2015 PSS - NZR SORULR 8. x < 0 < y lmak üzere, x - y + x - y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) 2x ) y ) y ) 2y ) 2x Genel Yetenek Genel ültür Yaprak Test Test 15 / Sru 1 12. 2 2x + 1 3 3x + 4 e = e 3 2 lduğuna göre, x kaçtır? 3 1 1 ) - ) 1 ) - ) 2 2 5 Mdüler Sru ankası Sayfa 177 / Sru 6 ) 1 9. y < 0 < x < 2 lmak üzere, y 1 + x 5 + y + 2x 3 işleminin snucu aşağıdakilerden hangisidir? ) x+ y- 1 ) x+ 3 ) y-3 ) x+ y+ 1 ) x- y+ 3 Lisans Mezunları İçin nu nlatımlı itap Sayfa 193 / 3. sru 13. x 1 = 4 32 5 lduğuna göre, x kaçtır? 10. x 2 y 2 0 lduğuna göre, x + x y y+ x ) 2 ) 3 ) 4 ) 3 ) 2 5000 Genel Yetenek Genel ültür Sru ankası Sayfa 179 / Sru 8 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) - x ) 2y - x ) 2y + x ) y ) 3y - 2x Genel Yetenek Genel ültür Türkiye Geneli 14 33. sru 11. x < y lmak üzere, I. x+ z 1 y+ z II. 2 2 x 1 y III. 1 1 2 x y ifadelerinden hangileri daima dğrudur? ) Yalnız I ) Yalnız II ) Yalnız III ) I ve II ) I, II ve III Genel Yetenek Genel ültür Yaprak Test Test 14 / Sru 2 14. Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fnksiynu 2 x x f = + 2x + 15 3 9 una göre, f(a) = 6 ise a kaçtır? ) -4 ) -3 ) -2 ) 2 ) 3 5000 Genel Yetenek Genel ültür Sru ankası Sayfa 213 / Sru 1 2
2015 PGM Mİ YYINLRIN YR LN 2015 PSS - NZR SORULR 15. 1020m dan dakikadaki hızı 10 metre lan hareketli, den dakikadaki hızı 20 metre lan bir kuş aynı anda karşılıklı larak harekete başlıyr. uş hareketliyle karşılaşıp, tekrar ye dönüyr ve hiç durmadan tekrar dan hareket eden hareketliye dğru uçuyr ve karşılaşınca durmadan tekrar ye dönüyr. uş bu hareketine dan hareket eden hareketli ye varıncaya kadar devam ettiğine göre, bu süre içinde kuş tplam kaç metre yl almıştır? ) 4020 ) 3960 ) 2840 ) 2420 ) 2040 Lisans Mezunları İçin nu nlatımlı itap Sayfa 388 / 20. sru 18. - 20. sruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız larak cevaplayınız. Pamuk 74 100 iğer Naranciye Mısır 60 uğday 100 70 Greyfurt 150 Naranciye 40 Limn ir bölgedeki tarım arazisinin ne kadarının hangi ürün için kullanıldığını gösteren daire grafik aşağıdadır. Narenciye ürünlerinin çeşitlerini göstermek için ayrıca başka bir daire grafik çizilmiştir. 18. u bölgedeki pamuk, narenciye, buğday ve mısır dışında kalan diğer ürünler için kullanılan arazi tüm ürünler için kullanılan arazinin yüzde kaçıdır? 16. ir sınıftaki 20 öğrencinin 1. sınav snuçlarının rtalaması 4,5 dir. 2. sınavda 4 öğrenci ntunu 2 puan, 8 öğrenci 1 puan yükseltirken diğerleri 1,5 puan düşürmektedir. una göre, sn sınavın rtalaması kaçtır? ) 6 ) 8 ) 10 ) 12 ) 15 ) 5 ) 4,9 ) 4,8 ) 4,7 ) 4,6 Lisans Mezunları İçin nu nlatımlı itap Sayfa 306 / 14. sru 19. u bölgede mandalina için kulanılan arazi 200 dönümse mısır için kullanılan arazi kaç dönümdür? ) 900 ) 840 ) 800 ) 720 ) 648 17. trbasında 5 beyaz ve 7 kırmızı, trbasında 10 beyaz ve 5 kırmızı tp vardır. ve trbalarından sırasıyla birer tp çekildiğinde iki tpun renginin aynı lma lasılığı kaçtır? ) 4 9 ) 17 36 ) 1 2 ) 5 9 ) 7 12 5000 Genel Yetenek Genel ültür Sru ankası Sayfa 222 / Sru 18 20. u bölgede greyfurt için kullanılan arazi limn için kullanılan araziden 150 dönüm fazlaysa buğday için kullanılan arazi kaç dönümdür? ) 1000 ) 1080 ) 1100 ) 1120 ) 1150 Mdüler Sru ankası Sayfa 410 / Sru 7-9 3
2015 PGM Mİ YYINLRIN YR LN 2015 PSS - NZR SORULR 21. - 23. sruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız larak cevaplayınız. 50 75 75 60 5 35 120 80 80 45 4 1 I. Grafik II. Grafik I. grafik beş farklı tmbil firmasının yıl içerisindeki satış sayısının sayısal dağılımını göstermektedir. 3 2 23. markasının satış sayısının 5 3 'i, markasının satış sayısının 3 1 'ü yerine, markası satılmış lsaydı markalı tmbilin bu beş marka içindeki satış yüzdesi kaç lurdu? ) 10 ) 15 ) 18 ) 20 ) 35 Genel Yetenek Genel ültür Türkiye Geneli 19 Sru 23-25 50 75 75 60 5 35 120 80 80 45 4 1 3 2 I. Grafik II. Grafik II. grafik ise markalı tmbil firmasının beş farklı mdeline ait satış sayılarının dağılımı göstermektedir. 24. (2, 1) nktasının 3x 4y + 3 = 0 dğrusuna göre simetriği lduğuna göre, kaç birimdir? ) 1 ) 2 ) 2 2 ) 2 5 ) 3 5 5000 Genel Yetenek Genel ültür Sru ankası Sayfa 286 / Sru 9 21. Yıl içinde 1 mdelinden 450 adet satıldığına göre, marka tmbilden kaç adet satılmıştır? ) 560 ) 600 ) 610 ) 630 ) 700 22. 5 mdeli 2 mdelinden 80 adet fazla satıldığına göre, marka tmbilden kaç adet satılmıştır? ) 840 ) 900 ) 960 ) 1080 ) 1120 25. dikdörtgen, 6@ + 6@ = ",, 20 = 20 cm, = 15 cm ve 15 = 5 cm'dir. Yukarıdaki verilenlere T göre, ^ h kaç cm 2 dir? 5 ) 120 ) 100 ) 90 ) 80 ) 60 Gemetri Yaprak Test 13 / Sru 8 4
Gemetrİk avramlar ve ğruda çılar GOMTRİ VRMLR Yıllara Göre Çıkmış OĞRU ÇILR ÜÇGNLR ÜÇGN ÇŞİTLRİ 2005 2 2006 - Sru nalizleri ÜÇGN TML V YRIMI LMNLR ÜÇGN ÇILR İ ÜÇGNLR ÜÇGN ÇIORTY TORMLRİ ÜÇGN NRORTY TORMLRİ ÜÇGN LN ÜÇGN NZRLİ ÜÇGN ÇI NR ĞINTILRI 2007 2 2008 2 2009 1 2010 1 2011 1 2012 1 2013 1 2015-2014 1... vren her an gözlemlerimize açıktır; ama nun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. vren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer gemetrik biçimlerdir. unlar lmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır. Galıle
GOMTRİ VRMLR V OĞRU ÇILR PGM Mİ 2 GOMTRİ VRMLR Tanımsız avramlar Nkta, dğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kavramlardır. Nkta alem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir. Nktanın belli bir alanı, hacmi veya byutu yktur. Nkta büyük harfle gösterilir. Örneğin; ğru nktası nktası İki ucu sınırsız aynı dğrultulu nktaların kümesidir. d ğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d dğrusu veya diye semblize edilebilir. ğru Parçası iki nkta ile bu iki nkta arasında kalan nktaların birleşim kümesine dğru parçası denir. dğru parçası 6 @ semblü ile gösterilir. 6 @ " dğru parçası Işın " dğru parçasının uzunluğu larak gösterilir. ir ucu başlangıç nktası lup diğer ucu snsuza giden nktaların luşturduğu kümeye ışın denir. 6 " ışını diye kunur. Yarı ğru 6 ışınından başlangıç nktası yani nktasının çıkartılması ile elde edilen nktaların kümesine yarı dğrusu denir. @ " ışını diye kunur. üzlem d ir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve aynı zamanda her yöne sınırsız lan nktaların luşturduğu kümeye düzlem denir. d ÇILR aşlangıç nktaları aynı lan iki ışının birleşimine çı denir. Yani; 6 ve 6 ışınlarının birleşimi ile luşan açı ya da açısıdır. açısı ya da açısı ile gösterilir. çının Ölçüsü 6 ve 6 ışınları arasında kalan bölgeye t nın ölçüsü denir. Her t na 0 ile 180 arasında bir tek reel sayı karşılık gelir. u reel sayıya açısının (ya da açısının) ölçüsü denir. Yani açısının ölçüsü dır. ve m( ) = m( t ) = veya s( ) = s( t ) = ile gösterilir. ş çılar: Ölçüleri eşit lan açılara eş açılar denir. Yani; m ( t) = m ( t ) & ileaçýlarý eş açılardır. çının üzlemde yırdığı ölgeler Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. u bölgeler I. çının kendisi I. II. çının iç bölgesi III. çının dış bölgesi II. III. çı Ölçü irimleri erece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde ölçü birimi larak derece kullanılır. 20, 40,... şeklinde gösterilir. u üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle verebiliriz, : erece G: Grad R: Radyan lmak üzere G R = = bağıntısı vardır. 180 200 π [ [ =
3 Nt ir ışının başlangıç nktası etrafında bir tur döndürülmesi ile luşan açı 360, 400 Grad ve 2π Radyandır. erecenin lt irimleri _ 1 " ir derece b1 = 60' 1' " ir dakika ` 1' = 60'' b 1'' " ir saniye 1 = 3600'' dýr. a ÇI ÇŞİTLRİ ar çı Ölçüsü 0 ile 90 arasında lan açılara dar açı denir. Yani; 0 < a < 90 + dar açýdýr. ik çı Ölçüsü 90 lan açıya dik açı denir. Yani; = 90 + dik açýdýr., O, nktaları dğrusal, m( O ) = 2, m( O ) = 7 ve m( O ) = 3 Yukarıdaki verilenlere göre kaç derecedir? ) 10 ) 12 ) 15 ) 18 ) 20, O, nktaları dğrusal lduğundan dğru açı tanımı gereği 180 lik açı meydana getirirler. Yani; 3+ 7+ 2 = 180 dir. mşu çılar & 12 = 180 & = 15 bulunur. öşeleri ve birer kenarı rtak lan iç bölgelerinin kesişimleri bş küme lan açılara kmşu açılar denir. Yani; O ile O kmşu iki açıdır. ÇIORTY 3 O 7 O 2 Geniş çı Ölçüsü 90 ile 180 arasında lan açılara geniş açı denir. Yani; 90 < a < 180 + geniþ açýdýr. çıyı iki eşit açıya ayıran ışına açırtay denir. Yani; m( O) = m( O ) dır. 6 O ye O nın açırtayı denir. 6 O ile 6 O ye açırtayın klları (kenarları) denir. O ğru çı Ölçüsü 180 lan açıya dğru açı denir. Yani; = 180 + dðru açýdýr. = 180, O, nktaları dğrusal 6 O ile 6 O açırtay m( O ) = 80 80 O Yukarıdaki verilenlere göre m ( O ) kaç derecedir? Tam çı ) 100 ) 110 ) 120 ) 130 ) 140 Ölçüsü 360 lan açıya tam açı denir. Yani; = 360 = 360 + tam açýdýr.
4, O, nktaları dğrusal lduğundan meydana gelen açıların ölçüleri tplamı 180 dir. 80 m( O) = m( O ) =, m( O) = m( O ) = O dersek TÜMLR ÇILR Ölçüleri tplamı 90 lan iki açıya tümler iki açı denir. Yani ile bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + = 90 + a ile tümler iki açıdır. O 2+ 2+ 80 = 180 & 2a+ 2b = 100 & a+ b = 50 m( O) 80 = + + & m( O) = 130 bulunur. nın tümleri 90 - a nın tümleri 90 - b dır. mşu iki açının açırtayları arasında kalan açı 54 dir. una göre bu iki açının ölçüleri tplamı kaç derecedir? ) 100 ) 104 ) 106 ) 108 ) 110 ÜTÜNLR ÇILR Ölçüleri tplamı 180 lan iki açıya bütünler açılar denir. Yani; ile bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + = 180 + ile bütünler iki açıdır. nın bütünleri 180 - a O O ile O kmşu iki açıdır. 6 O ile 6 O açırtaydır. m( O ) = 54 verilmiş m( O) = m( O ) =, nın bütünleri 180 - b dır. m( O ) = m( O ) = dersek m ( O ) = 54 + = dir. uradan m( O) + m( O ) = 2+ 2 & 2( + ) = 108 S bulunur. 54 Nt çırtay üzerinde alınan herhangi bir nktanın, açının kllarına lan dik uzunlukları birbirine eşittir. 6 O açırtay, 6 O ile 6 O açırtayın klları lmak üzere 6@ = 6O, 6L@ = 6O, 6 = 6O ve 6@ = 6O çizilirse =, L = ve O = O, LO = O dur. O L ir açının 4 katının 5 fazlası aynı açının tümlerine eşit lduğuna göre açının bütünleri kaç derecedir? ) 157 ) 159 ) 161 ) 163 ) 165 çı Tümleri 90 - a dır. enklem kurulursa; 4+ 5 = 90 - dýr. 5 = 85 & = 17 bulunur. O halde açının bütünleri - = 180-17 = 163 180 bulunur. ütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4, kalan 10 dir. una göre küçük açı kaç derecedir? ) 32 ) 34 ) 36 ) 38 ) 40
5 ütünler iki açı ile lsun O halde + = 180 dir. Verilen denklem yazılacak lursa 4 = 4+ 10 dir. 10 uradan = 4+ 10 denklemi + = 180 denkleminde yerine yazılacak lursa 4 + 10 + b = 180 & 5b = 170 & = 34 & = 146 dýr. O halde küçük açı = 34 bulunur. TRS ÇILR esişen iki dğrunun luşturduğu açılardan birbirine kmşu lmayan açılara ters açılar denir. Yani; esişen d 1 ve d 2 dğrularında at ile ct, b t ile d t açıları ters açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. a = c ve b = d dir. PRLL İİ OĞRUNUN İR SNL YPTIĞI ÇILR b a c d d1// d2, a, b, c, d, x, y, z, t bulundukları açıların ölçüleridir. y x z t (i) Yöndeş açılar d1// d2 ise at ile xt, b t ile yt, d t ile t t, ct ile zt yöndeş açılardır. Yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani; a = x, b = y, c = z, d = t dir. d 1 b a c d d 2 d 2 d 1 (ii) İç ters açılar d1// d2 ise ct ile xt ve d t ile yt iç ters açılardır. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani; c = x ve d = y dir. (iii) ış ters açılar d1// d2 ise at ile zt ve b t ile t dış ters açılardır. ış ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani; a = z ve b = t dir. (iv) arşı durumlu açılar d1// d2 ise ct ile yt ve d t ile xt karşı durumlu iki açıdır. arşı durumlu açıların ölçüleri tplamı 180 dir. Yani; c+ y = 180 ve d+ x = 180 dir. Nt arşı durumlu açıların açırtayları birbirine diktir. Yani; d1// d2 6 ile 6 açırtay & 6 = 6 dir. PRLL İİ OĞRUNUN İRN ÇO SN İL MYN GTİRİĞİ ÇILR (i) d1// d2; d3+ d = 4 ",, δ, bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + δ = dır. (ii) d1// d2 ;,, δ bulundukları açıların ölçüleri lmak üzere + + δ = 360 dir. Nt δ d 3 δ d 3 d 4 d 1 d 2 d 1 d 2 d 1 d 2 Paralel dğrular n dğruyla kesilirse meydana gelen aynı yönlü açıların ölçüleri tplamı n : 180 dir.
6 (iii) d1// d2 ise şekildeki açılar ardışık zıt yönlü açılardır. ynı yöndeki ardışık açıların ölçüleri tplamı ile bu açılara d 1 x göre ters yönde lan ardışık aynı yönlü açıların ölçülerinin y δ tplamları birbirine eşittir. d 2 Yani; δ,,, x, y bulundukları açıların ölçüleri lduğuna göre + + δ = x+ y dir. d1// d2 6@ = 6@, 3 5 m( ) = m( ) = 3, 80 m( ) = 5, 3 3 m( ) = 3 ve m( ) = 80 Yukarıdaki verilenlere göre + kaç derecedir? ) 5 ) 10 ) 15 ) 20 ) 25 d 1 d 2 6 // 6, 6@ = 6, m( ) = 140 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? 140 ) 30 ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 Paralel dğrular arasında luşan aynı yöne bakan açıların ölçüleri tplamı, zıt yönlü açıların ölçüleri tplamına eşit lduğundan 3+ 3 = 90 & 6a = 90 & a = 15 5+ 3 = 8 = 80 & = 10 dir. O halde + = 15 + 10 = 25 bulunur. Şekilde 6 // 6 lduğuna göre sağ tarafa bakan açıların ölçüleri tplamı sl tarafa bakan açıların ölçüleri tplamına eşit lacağından + 90 = 140 & a = 50 bulunur. 6 // 6, a, b, c, d, e bulundukları açıların ölçüleridir. Yukarıdaki verilenlere göre G a+ b+ c+ d+ e kaç derecedir? ) 360 ) 450 ) 540 ) 630 ) 720 b c a d e 6 // 6 dir. Paralel dğrular 6@, 6@, 6G@, 6 G@ ile kesildiğine göre dğru parçası sayısı 4 dür. O halde a+ b+ c+ d+ e = 4: 180 = 720 bulunur. 6 // 6 m( ) = 65, m( ) = 55 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 100 ) 110 ) 120 ) 130 ) 140 65 65 55 = 120 nktasından // 6 // 6 lacak biçimde çizilirse m( ) = m( ) = 65 (iç ters açıların eşitliği) ve m( ) = m( ) = 120 dir. (iç ters açıların eşitliği) O halde = 120 bulunur. 65 55
7 NRLRI PRLL ÇILR (i) enarları aynı yönde paralel açılar: 6 // 6 ve 6 // 6 ise yöndeş açıların eşitliğinden m( ) = m( ) = dır. (ii) enarları ters yönden paralel açılar: 6 // 6 ve 6 // 6 ise yöndeş ve iç ters açıların eşitliklerinden dlayı; m( ) = m( ) = dır. (iii) enarlarından biri aynı diğeri ters yönde paralel açılar: 6 // 6 ve 6 // 6 ise yöndeş ve karşı durumlu açı tanımlarından m( ) + m( ) = + = 180 dir. NRLRI İ ÇILR (i) 6 = 6 ve 6 = 6 ise m( ) =, m( ) = lmak üzere = dır. L 6 // 6 ve 6@ // 6@ lduğundan ile kenarlarından biri aynı diğer kenarı ters yönde paralel açılardır. O halde m( ) = m( ) = 35 dir. H üçgeninde iç açıların ölçüleri tplamı yazılırsa 35 + + 90 = 180 & a = 55 bulunur. 6 // 6, 6@ = 6, 6 = 6 ve m( ) = 50 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 50 ) 55 ) 60 ) 65 ) 70 ile kenarları dik iki açıdır. O halde m( ) + m( ) = 180 dir. m( ) 50 180 + = & m( ) = 130 bulunur. ile karşı durumlu iki açı lduğundan m( ) + m( ) = 180 130 + = 180 & a = 50 bulunur. 50 (ii) 6 = 6 ve 6 = 6 ise m( ) =, m( ) = lmak üzere + = 180 dir. L 6@ // 6@, 6 // 6, H 6H@ = 6@ ve m( ) = 35 Yukarıdaki verilenlere göre 35 m( H ) = kaç derecedir? ) 25 ) 35 ) 45 ) 55 ) 65 ütünleri tümlerinin 2 katından 50 fazla lan açı kaç derecedir? ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 ) 80 çı Tümleri ütünleri 90 180 ütünleri tümlerinin 2 katından 50 fazla ise (180 - ) = 2(90 - a) + 50 180 - a = 180-2a+ 50 2a a = 50 & a = 50 bulunur.
8 6 // 6, 6@ = 6@, m( ) = m( ), m( ) = m( ) Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 30 ) 45 ) 50 ) 60 ) 75 m( ) = m( ) = a m( ) = m( ) = b dersek 2( a+ b) = 180 dir. O halde a+ b = 90 dir. 6 // 6, 6 // 6 lduğundan m( ) + m( ) = m( ) dir. O halde a a b b a+ b = dır. = 90 bulunur. Paralel dğrular arasındaki aynı yöne bakan açıla- a b rın ölçüleri tplamı zıt yöne a bakan açıların ölçüleri tplamına eşit lduğundan b m( ) + m( ) = m( ) ve m( ) + m( ) = m( ) dir. m( ) = m( ) = a, m( ) = m( ) = b dersek a+ b = ve 2a+ 2b = 90 bulunur. & a+ b = 45 = a bulunur. 6 // 6, 6 P@ ile 6 P@ açırtay, m( ) = 160, m( ) = 150 ve m( P ) = 50 dir. Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? 160 150 P 50 ) 150 ) 145 ) 140 ) 135 ) 130 6 // 6, 6 // 6, 6 @ ile 6 @ açırtay Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 60 ) 75 ) 90 ) 120 ) 135 ile bir kenarları aynı, diğer kenarları zıt yönlü paralel açılar lduğundan ölçüleri tplamı 180 dir. Yani; m( ) + m( ) = 180 dir. 6 // 6 lduğundan aynı yöne bakan,, 160 150,, açılarının ölçüleri tplamı 720 dir. P 50 P de iç açıların ölçüleri tplamı yazıla- cak lursa m( P) + m( P ) + m( P ) = 180 m( P) + m( P ) + 50 = 180 dir. m( P) + m( P ) = 130 uradan + 150 + 2(m( P) + m( P)) + a = 720 160 160 + 150+ 260 + = 720 & a = 150 bulunur.
9 6 // 6 // 6 120 m( ) = 120 m( ) = 150 ve 150 m( ) = m( ) Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 115 ) 120 ) 125 ) 130 ) 135 6 ile 6 dğrusal uzatılırsa ters açıların eşitliğinden m( ) = m( T ) = + 5 m( H) = m( ) = 2 + 10 bulunur. T // H lduğundan m( T) + m( H ) = m( ) & + 5 + 2+ 10 = 120 & 3+ 15 = 120 & 3 = 105 dir. Ohalde = 35 dir. m( ) = + 5 = 40 bulunur. + 5 T + 5 120 2+ 10 2+ 10 H 6 // 6 // 6 // d çizilirse ile L, ile L, ile L karşı durumlu açılar lduğundan ölçüleri tplamı 180 dir. 15 15 uradan m( ) + m( L ) = 180 & 150 + m( L) = 180 & m( L ) = 30 m( ) + m( L ) = 180 & 120 + m( L) = 180 & m( L ) = 60 m( L ) = m( L) + 2m( ) & 60 = 30 + 2m( ) & 30 = 2m( ) & m( ) = 15 d L 150 120 =135 30 6 // 6, 6@ = 6@, m( ) = 110 ve m( ) = 55 110 55 Yukarıdaki verilenlere göre m( ) = kaç derecedir? ) 60 ) 65 ) 70 ) 75 ) 80 O halde m( L) = m( ) + m( L ) m( L ) = 15 + 30 = 45 uradan m( ) + m( L ) = 180 & m( ) + 45 = 180 & m( ) = 135 bulunur. 6 // 6 m( ) = 120, m( ) = + 5, m( ) = 2 + 10 Yukarıdaki verilenlere göre m ( ) kaç derecedir? ) 35 ) 40 ) 45 ) 50 ) 55 + 5 120 2+ 10 L // 6 // 6 çizilirse ile karşı durumlu iki açı lduğundan ölçüleri tplamı 180 dir. m( ) + m( ) = 180 m( ) + 110 = 180 & m( ) = 70 dir. 110 L // 6 lduğundan m( L) + m( ) = m( ) & m( L) + 55 = 90 & m( L ) = 35 dir.,, L nktaları dğrusal lduğundan m( ) + m( ) + m( L ) = 180 70 + + 35 = 180 & = 75 bulunur. 70 35 55 L
ÜÇGN ÇILR PGM Mİ 10 ÜÇGNLR ğrusal lmayan üç nktayı birleştiren dğru parçalarının birleşimi ile luşan gemetrik şekle üçgen denir. 6@, 6@, 6@ = " üçgeni diye kunur. (iii) Geniş açılı üçgen Herhangi bir iç açısının ölçüsü 90 dan büyük lan üçgenlere geniş açılı üçgen denir. Yani; m ( t ) = > 90 ise geniş açılı üçgendir.,, nktaları nin köşeleri ve 6 @, 6 @, 6 @ üçgenin kenarlarıdır. üçgeninde δ,, üçgenin iç açıları,,, δ l l l üçgenin dış açılarıdır. = a, = b, = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. Nt Üçgenin iç bölgesinde kalan açılara iç açılar, üçgenin dış bölgesinde kalan ve iç açıların bütünleri lan açılara dış açılar denir. + = 180, + = 180, δ+ δ = 180, l l l c a b δ δ enarlarına Göre Üçgenler (i) Çeşitkenar üçgen ir üçgeninin bütün kenar uzunlukları birbirinden farklı ise çeşitkenar üçgendir. Yani; üçgeninde = a, = b, = c lmak üzere!! ( a! b! c) ise çeşitkenar üçgendir. (ii) İkizkenar üçgen ir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları birbirine eşit ise üçgene ikizkenar üçgen denir. Yani; = ise üçgeni ikizkenar üçgendir. c a b ÜÇGN ÇŞİTLRİ çılarına Göre Üçgenler (i) ar açılı üçgen İç açılarından her birinin ölçüsü 90 den küçük lan üçgenlere dar açılı üçgenler denir. Yani < 90 < 90 δ < 90 dar açılı üçgendir. (ii) ik açılı üçgen Herhangi bir açısının ölçüsü 90 lan üçgenlere dik açılı üçgen denir. Yani; m ( t ) = 90 ise dik üçgendir. 6 @ ' na hiptenüs denir. δ 6 @ ' na taban, eşit kenarların taban ile yaptıkları açılara taban açıları ve köşesi nktası lan açıya tepe açısı denir. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir. u ifadenin terside dğrudur. O halde m( ) = m( ) + = (iii) şkenar üçgen ütün kenar uzunlukları birbirine eşit lan üçgene eşkenar üçgen denir. şkenar üçgenin iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 60 dir. Yani; = = ise m ( t) = m ( t) = m ( t ) = 60 dir. uradan üçgeni eşkenar üçgendir. 60 dir. 60 60