ÜNİTE - 9 GEOMETRİK CİSİMLER

ÜNİ - 9 GMRİK İSİMLR

KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ RİZMLR Q ve Q birbirine prlel iki düzlem olsun. iri, diğeri Q düzlemindeki birbirine eş iki çokgenin köşeleri krşılıklı olrk birleştirilirse elde edilen cisme prizm denir. oğrulr çokgene dik ise prizmy dik prizm, dik değilse eğik prizm denir. Çokgenlere prizmnın tbnlrı, köşelerini birleştiren doğrulr ynl yrıt, ynl yrıtlrının oluşturduğu düzlemsel yüzeylere ynl yüz denir. ynı yüzde bulunn iki yrıtın kesim noktsın köşe denir. şğıdki prizmd; Üst tbn Yn yüz bn yrıtı Köfle lt tbn. ve ʹʹʹʹ çokgensel bölgeleri prizmnın tbnlrıdır.. ʹ, ʹ, ʹ, ʹ doğru prçlrı prizmnın yn yrıtlrıdır..,,,, ʹ, ʹ, ʹ, ʹ noktlrı prizmnın köşeleridir.. ʹʹ, ʹʹ, ʹʹ, ʹʹ... prizmnın yüzeyleridir. Yn yr t RİZM ÇŞİLRİ ÖLÜM rizmlr tbn şekillerine göre dlndırılırlr. bnı dikdörtgen oln prizmy dikdörtgenler prizmsı, tbnı üçgen oln prizmy üçgen prizm denir. ikdörtgenler prizmsı İK RİZM Üçgen prizm Kre prizm ltıgen prizm NIM Yn yrıtlrı tbn düzlemine dik oln prizmlr dik prizm denir. Yükseklik bn lnı S vey G bn çevresi Ç Ynl lnı S Y ütün lnı S ile gösterilir. ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 59

ÜZGÜN RİZM ÜNİ 9 NIM bnı düzgün çokgen oln dik prizmy düzgün prizm ) ikdörtgenler prizmsının lnı = (b + bc + c) denir. ir düzgün prizmnın yn yüzleri birbirine eş dikdört- = ( + 8 + 8 ) genlerdir. GMRİK İSİMLR = ( + 8 + ) = 08 cm b) isim köşegeninin uzunluğu; k= + b + c = + + 8 = = 9 cm bulunur. üzgün ltıgen dik prizm İKÖRGNLR RİZMSI NIM üm yüzeyleri dikdörtgen oln dik prizmy dikdörtgenler ölüm prizmsı denir. F = FG = b k c = c e b F = e G F isim köşegeni: F = k = F = k olsun. ikdörtgenler prizmsının cisim köşegeni + b + c FG yüz köşegeni: F = e = +b + b + c = 88 + b + c = ( + b + c) = + b + c + (b + bc + c) = 5 ikdörtgenler prizmsının bütün yüzeyleri dikdörtgendir. + b + c = & + b + c = ^ KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ ir dikdörtgenler prizmsının yrıt uzunluklrı, b, c dir. + b + c = = bc ve dikdörtgenler prizmsının cisim köşegeni olduğun göre kç cm dir? 88 + (b + + c) = 5 (b + + c) = 5 88 ( + b + c) = 8 yrıt uzunluklrı cm, cm, 8 cm oln dikdörtgenler prizmsının ) lnı kç cm dir? b) isim köşegeninin uzunluğu kç cm dir? bulunur. = 8 = 550 dir.

yrıtlrı uzunluklrı, b, c oln bir dikdörtgenler prizmsınd + + = b c ve bc = 7 cm olduğun göre prizmnın yüzey lnı kç cm dir? bc = 7 + + = b c ( bc) ( c) ( b) bc + c + b = bc bc + c + b = 7 bc + c + b = $ 7 = 5 = ( bc+ c+ b) = 08 cm bulunur. ln yrıt uzunluklrı cm, cm ve cm oln dikdörtgenler prizmsının cisim köşegeninin uzunluğu kç cm dir? isim köşegeni k olsun. u durumd bulunur. k = + b + c = + + = + + = 9 = k = cm ir dikdörtgenler prizmsının üç frklı yüzünün lnlrı cm, cm, 8 cm olduğun göre prizmnın cisim köşegeninin uzunluğu kç cm dir? ikdörtgenler prizmsının yrıtlrı, b, c olsun. isim köşegeni = + b + c soruluyor. Verilenler: $ b = İstenen: + b + c b$ c = c$ = 8 $ b = _ b b$ c = ` c$ = 8 b eşitliklerini trf trf çrplım. ( b) (b c) (c ) = 8 ( b c ) = ( ) 8 ( b c) = ( 8) ( b c) = ( b c) = b c = = olur. b = ve b c = c = c = = 8 c = 8 ve c = = 8 = = b = ve = b = b = = tür. lde + b + c = + + = 9 = cm bulunur. ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 55

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ KÜ NIM üm yrıtlrı birbirine eşit oln dikdörtgenler prizmsın küp denir. isim köşegeni: k = Yüzey köşegeni: e = e F k Küpün bütün yüzeyleri birbirine eş krelerdir. Küpün ltı yüzü, on iki yrıtı, sekiz köşesi ve dört cisim köşegeni vrdır. isim köşegenleri birbirine eşittir. yrıt uzunluğu cm oln bir küpün lnı kç cm dir? yrıt uzunluğu oln bir küpün yüzey lnı olduğundn = iken S = = = 9 cm bulunur. F G G e d ik prizm c ) ik rizmnın lnı e b c d b ik prizmnın çınımı Şekil ik prizmnın ynl lnı, tbn çevresi ile yükseklik uzunluğunun çrpımın eşittir. Yukrıdki Şekil, Şekil deki dik prizmnın düzleme çınımı görülüyor. ik prizmnın ynl yüzü dikdörtgenlerden oluşur. u dikdörtgenlerin [ʹ], [ʹ], [ʹ], [ʹ], [ʹ] kenrlrı prizmnın yüksekliğidir. u nedenle dik prizmnın ynl lnı, bu dikdörtgenlerin lnlrının toplmın eşittir. S Y = + b + c + d + e S Y = ( + b + c + d + e) S Y = (bnın çevre uzunluğu) S Y = Ç SNUÇ : erngi bir prizmnın toplm lnı; ynl lnı ile lt tbn ve üst tbn lnlrının toplmın eşittir. üm ln S ise d c e b e b ik prizm Şekil ik prizmnın çınımı F G S = S Y + S dir. 55

SNUÇ : yrıt uzunluklrı, b, c oln dikdörtgenler prizmsının yüzey lnı: dır. S = (b + bc + c) F 5 F 5 0 0 c bnı dik üçgeni oln dik prizmd verilen uzunluk ölçülerine göre prizmnın: ) ynl lnını b) tüm yüzey lnını bulunuz. dik üçgeninde = cm (ipotenüs) = cm (dik kenr) olduğundn ) Ynl ln = bn çevresi x yükseklik = (5 + + ) 0 = 0 0 = 00 cm dir. b) üm ln = bn lnı + Ynl ln = 5 $ $ + 00 = 0 + 00 = 0 cm bulunur. = 5 cm (dik kenr) dir. b 0 yrıt uzunluklrı cm, cm ve 0 cm oln şekildeki dik prizmnın bir köşesinden dikdörtgenler prizmsı şeklinde bir prç kesilip çıkrılıyor. Geriye kln kısmın yüzey lnı kç cm dir? ir dikdörtgenler prizmsının bir köşesinden dikdörtgenler prizmsı şeklinde bir prç kesilip çıkrılırs prizmnın yüzey lnı değişmez. Çünkü, çıkrıln yüzeyler yerine, onlr eş yeni yüzeyler gelir. lde prizmnın yüzey lnı = ( + 0 + 0) = ( + 0 + 0) = 8 cm bulunur. SNUÇ : yrıt uzunluğu oln bir küpün yüzey lnı dir. S = yrıt uzunluğu cm oln küpün,, köşeleri birleştirilerek üçgeni elde ediliyor. üçgeninin: ) Çevresi kç cm dir? b) lnı kç cm dir? ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 55

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ K, L, dik ikizkenr üçgenler olup K L ikkt edilirse [], [], [] küpün yüzey köşegenleridir. Küpün er yüzü eş krelerden oluştuğundn bu krelerin köşegenleri eşit uzunluktdır. Yni = = olup eşkenr üçgen olur. K = K = L = L = = = olduğundn = = = cm dir. lde, & ) Çevre ( ) = + + = 8 cmdir. & ( ) $ b) ln ( ) = = 8 cm bulunur. bnı ymuğu oln dik prizmnın yüksekliği cm, = 0 cm = cm = = cm olduğun göre prizmnın ynl lnı kç cm dir? ik prizmnın ynl yüzleri birer dikdörtgen olduğundn S Y = Ç = (0 + + + ) = 0 = 80 cm bulunur. Ynl lnı 0 cm ve tbn çevresi 5 cm oln bir dik prizmnın yüksekliği kç cm dir? ik prizmnın ynl lnı: S Y = Ç 0 = 5 = 8 cm dir. bnı düzgün ltıgen oln dik prizmnın tbn yrıtlrının uzunluğu 5 cm ve yüksekliği 0 cm olduğun göre prizmnın ynl lnı kç cm dir? ik prizmnın ynl lnı S Y = Ç = ( 5) 0 = 00 cm bulunur. Yndki şekilde verilen binnın üstü riç diğer cepeleri boyncktır. [K] [F], F 8 = m, 0 = 0 m, K K = m ve = 8 m olduğun göre boynck kısım kç m dir? F 8 [K] [F] F = K = = 8 cm 0 8 K = cm olduğundn 8 8 0 = 8 = 8 cm dir. K & Ön cepenin lnı = (F) + F ( ) 8 = 8 +. = 9 + 8 = m Sğ yüzün lnı = () = 8 0 = 0 m Ön cepe ile rk, sğ cepe ile sol cepe ynı olup boynck toplm ln = ( + 0) = 08 m dir. 55

b) İK RİZMNIN Mİ ir cismin uzyd kpldığı yere o cismin cmi denir. ir cismin cmini ölçmek için öncelikle bir ölçü birimi seçilir. Sonr cismin uzyd kpldığı yerde bu birimden kç tne bulunduğu esplnır. Seçilen ölçü birimi cim esplmlrınd kolylık sğlmlıdır. cim esplmlrınd en uygun ölçü birimi birim küptür. NIM yrıt uzunluğu birim oln küpe birim küp denir. ğer birim; cm olrk seçilirse br = cm, m olrk seçilirse br = m olur. oyutlrı cm birimi ile verilen bir cismin cmi bu cismin içine yerleştirilebilen cm lük küplerin syısın eşittir. ir dik prizmnın cmi tbn lnı ile yüksekliğinin çrpımın eşittir. ' ' ' & V = ( l l l) $ l l $ l l V = f p$ ' F' F ' ' ' ' b c ' V = ( l l l l) $ l V = $ b$ c ' ' ' V = (ʹʹʹʹʹF) V = S $ Kre dik prizm şeklindeki üstü kplı teneke içinde 0 cm yüksekliğinde sıvı bulunmktdır. = = 8 cm olduğun göre teneke KF tbn olck şekilde ytırılırs sıvının yüksekliği kç cm olur? V sıvı = 8 0 cm tür. eneke, KF tbn gelecek şekilde ytırılırs son durumd sıvının yüksekliği olmk üzere V sıvı = ln(kf) x dir. lde bulunur. 8 0 = (8 0) Yndki kre dik prizmd = cm = 8 cm 8 = = olduğun göre prizmnın cmi kç cm tür? = cm ' 8 F ' L 8 ' K 0 0 ' 8 ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 555

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ rizmnın cmi = bn lnı Yükseklik olduğundn cim: bnı F düzgün ltıoln dik prizmnın tbn çevresi 5 cm ve yüksekliği cm olduğun göre prizmnın cmi kç cm tür? ltıgen dik prizmnın cmi: V = (F) F düzgün ltıgeninin bir 5 kenr uzunluğu = 9 cm dir. V = () ʹ = 8 = 8 = 88 cm olur. F' F F ' ' ' ' ' 9 9 9 9 0 0 0 9 9 0 0 0 9 9 9 9 9 ir düzgün ltıgen birbirine eş tne eşkenr üçgenden oluşur. 0 & F ( ) = $ ( ) 0 0 9 = $ () = = $ 8 = cm dir. lde düzgün ltıgen dik prizmnın cmi: ^ $ V 58 = $ = cm bulunur. geni bn çevresi 8 cm ve yüksekliği 8 cm uzunluğund oln kre dik prizmnın cmi kç cm tür? rizmnın cmi V = bn lnı yükseklik kresinin bir kenrı olsun. Ç() = 8 = 8 9 = = cm V = ln () 9 V = d n $ 8 V = 8 $ 8 = cm bulunur. ' 5 ' ' L L = 9 F F K K 8 = 9 çınımı yukrıdki gibi oln üçgen dik prizmnın cmi kç cm tür? 8 55

' 5 5 Şekilde ikizkenr üçgenini tbn kbul eden dik prizmd ' 0 rizmnın cmi & V = ( ) $ l 5$ = $ = 0 $ = 80 cm bulunur. = = 0 cm, = cm ve F = 0 cm olduğun göre, prizmnın cmi kç cm tür? 0 0 8 8 üçgeninde [] [] çizilirse ikizkenr üçgen olduğundn = = 8 cm ve dik üçgeninde = 8 cm, = 0 cm (ipotenüs) olduğundn = cm ( 8 0 dik üçgeni) dir. ik prizmnın cmi & V = ( ) $ $ = $ 0 V = 8 $ 0 = 90 cm bulunur. 0 0 0 F F cm cm cm cm cm cm 8 cm Yukrıd verilen ypının komşu yüzleri birbirine diktir. Verilen uzunluk ölçülerine göre, ypının cmi kç cm tür? N N cm F K cm cm cm cm cm S F cm cm cm cm S cm K S 8 cm cm cm 8 cm cm Verilen ypının tbnını FKN çokgensel bölgesi, yüksekliğini de [] kbul edelim. u durumd, ypının cmini bulbilmek için tbn lnı ile yüksekliğinin çrpımı bulunmlıdır. bn S, S ve S şeklinde üç dikdörtgensel bölgeye yrıldığınd ölçüler şekildeki gibi bulunbilir. urdn; ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 557

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ S =. = cm S = 8. = cm S =. = cm olcğındn (FKN) = + + lde ypının cmi; = 8 cm bulunur. bn lnı x yükseklik = 8.8 = 7 cm bulunur. İKÖRGNLR RİZMSININ Mİ yrıt uzunluklrı, b, c birim oln bir dikdörtgenler prizmsının cmi Sonuçlr: V = $ b$ c br tür. b c ) ir dikdörtgenler prizmsının cmi, tbn lnı ile yüksekliğinin çrpımın eşittir. Yni V = S $ b c b c ) yrıt uzunluğu birim oln bir küpün cmi V = br tür. ikdörtgenler prizmsının yrıtlrı, b, c olsun. b = b c = c = 9 olup üç eşitlik trf trf çrpılırs ( b cc) = 9 ( b c) = ( ) b c = V = b c = cm bulunur. b c yırt uzunluklrı, b, c oln bir dikdörtgenler prizmsınd + + = ve b c b prizmnın lnı 88 cm olduğun göre cmi kç cm tür? ir dikdörtgenler prizmsının üç frklı yüzünün lnlrı cm, cm, 9 cm olduğun göre prizmnın cmi kç cm tür? bc + c + b + + = & = b b c bc ve prizmnın lnı = (b + bc + c) = 88 b + bc + c = cm dir. = & bc = 8 cm olur. bc lde prizmnın cmi V = bc = 8 cm bulunur. c 558

yrıt uzunluklrı, b, c oln bir dikdörtgenler prizmsınd; 7 + + = b c c b 88 ve prizmnın cmi 8 cm olduğun göre cisim köşegeninin uzunluğu kç cm dir? V = bc = 8 cm 7 + b + c 7 + + = & = b c c b 88 ( bc) 888 + b + c 7 & = 8 88 7$ 8 & + b + c = 88 7 ( $ ) & + b + c = $ 7$ & + b + c = = 5 olup prizmnın cisim köşegeni k = + b + c = 5 = cm bulunur. cmi cm oln küpün yrıt uzunluğu kç cm dir? yırt uzunluğu olsun, cmi V = = = = cm dir. isim köşegeninin uzunluğu 9 cm oln küpün cmi kç cm tür? Küpün yrıt uzunluğu olsun. isim köşegeni: = 9 9 9 = = = cm olup küpün cmi : V = = ^ = 7 $ ^ = 8 cm bulunur. isim köşegeninin uzunluğu 5 cm oln küpün cmi kç cm tür? yrıt uzunluğu oln küpün cisim köşegeni = 5 & = 5 dir. Küpün cmi V = = 5 = 5 cm bulunur. Şekildeki küpün cmi syısl değer bkımındn lnın eşit olduğun göre yrıt uzunluğu kç birimdir? ' ' ' ' K olduğundn ' ' ' ' ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 559

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ Küpün bir yrıt uzunluğu olsun. Küpün cmi V = Küpün lnı = olup problemde verilenlerden = =, ( 0) = bulunur. İRMİLR NIM ir düzlemsel çokgene dynn ve bu çokgenin düzlemi dışındki sbit bir noktdn geçen doğrulrın oluşturduğu yüzeye, pirmidl yüzey denir. Sbit nokty tepe noktsı, çokgene dynk eğrisi, yüzeyin tepeden geçen erngi bir doğrusun d n doğru denir. irmidl yüzey epe n do ru irmidl Yüzey ynk e risi irmidl bölge NIM irmit irmidl bölge irmit yüzeyi ir pirmidl yüzeyin bütün n doğrulrını kesen bir düzlemle, tepesi rsınd kln cisme, pirmit denir. tepe epesi ve doğrultmnı dörtgeni oln bir pirmit, (, ) ile gösterilir. yüzy Ynl Çokgenle sınırlnn düzlem (yrıt) prçsın tbn, tbn köşeleri ile tepeyi birleştiren doğru bn prçlrın d ynl yrıt, ynl yrıtlr rsınd kln üçgensel bölgelere, ynl yüz, den (, ) irmidi çokgensel bölgenin bulunduğu düzleme indirilen dikmeye pirmidin yüksekliği denir. ir pirmitte, bir ynl yüzdeki üçgenin tbnın it yüksekliğine de o ynl yüze it ynl yüksekliği denir. 50

İRMİ ÇŞİLRİ irmitler tbnlrındki çokgenlerin çeşitlerine göre dlndırılırlr. bnı üçgen oln pirmide üçgen pirmit, tbnı kre oln pirmide kre pirmit, tbnı ltıgen oln pirmide ltıgen pirmit denir. Kre pirmit irmidin yüksekli i Ynl yükseklik ÜZGÜN İRMİ NIM Üçgen pirmit Ynl yükseklik irmidin yüksekli i K Ynl yükseklik Ynl yükseklik lt gen pirmit bnı düzgün çokgen ve yükseklik yğı tbn merkezinde oln pirmide, düzgün pirmit denir. şkenr üçgenin merkezi kenrortylrının kesim noktsıdır. Krenin merkezi köşegenlerinin kesim noktsıdır. üzgün beşgenin merkezi, er köşesinden krşı kenr çizilen dikmelerin kesim noktsıdır. üzgün çokgenlerin merkezi çevrel çemberinin merkezidir. flkenr üçgen dik pirmit F üzgün lt gen pirmit üzgün kre pirmit üzgün beflgen pirmit ) üzgün irmidin lnı üzgün pirmidin tbnı düzgün çokgen, ynl yüzleri eş ikizkenr üçgenlerdir. ir düzgün pirmidin ynl lnı, tbn çevresi ile ynl yüksekliğinin çrpımının yrısın eşittir. ' G ' ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 5

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ üzgün pirmit üzgün pirmidin ç n m (üzgün kre pirmit) bnı kre oln yukrıdki düzgün pirmitte ynl yüz yüksekliği oln ikizkenr üçgen bulunur. lde $ S Y = = ( ) $ = $ $ ( bn Çevresi) dir. un göre tbnı bir düzgün n kenrlı çokgen oln düzgün pirmitin tbn çevre uzunluğu n. olduğundn ynl lnı: dir. $ bnçevresi$ Ynl yükseklik S = n = $ ( n) = Y ir düzgün pirmidin bütün lnı, ynl lnı(s Y ) ile tbn lnının (G) toplmıdır. S = G+ S Y çınımı verilen düzgün kre pirmidin yn yüzleri eşkenr üçgenlerdir. Şeklin çevresi 8 cm olduğun göre, pirmidin yüzey lnı kç cm dir? Şeklin çevresi 8 cm olduğundn eşkenr üçgenin kenr uzunluğu 8 = cm dir. 8 Yüzey lnı = Krenin lnı +. eşkenr üçgenin lnı = + $ = + cm bulunur bnının bir kenrı 8 birim ve yüksekliği birim oln düzgün kre pirmidin ynl lnını ve bütün lnını bulunuz. Şekildeki düzgün pirmitte [] [] çizelim. = = = = = = 8 cm noktsı krenin köşegenlerinin kesim noktsı olup = cm dir. dik üçgeninde = = 5 dir. (,, 5 üçgeni) ( pirmidin ynl yüksekliğidir.) 8 lde pirmidin Ynl lnı Ç $ ( ) : S $ 8 $ 5 Y = SY = = 80 br ütün lnı : S = S Y + G = 80 + 8 = br bulunur. 5

bnının bir kenrı birim ve yüksekliği ltıgen pirmidin ynl lnı kç cm dir? noktsı düzgün ltıgeninin uzun köşegenlerinin kesim noktsıdır. u nokt ltıgenin merkezidir. üzgün ltıgen, bir köşesi oln tne eşkenr üçgenden oluşur. & u üçgenlerden biri F dır. F eşkenr üçgeninde [] [F] çizilirse F = = cm dik üçgeninde = = = 5 cm, 5 F birim oln düzgün cm ise dik üçgeninde isgor bğıntısı ile cm dir. & F $ $ 5 F üçgeninde, F ( ) = = = 5 ve irmidin ynl lnı, S = $ 5 = 90 cm dr. Y d; ( bnçevresi) $ Ynl yükseklik $ $ 5 S = = Y = 90 cm bulunur. b) irmidin cmi ir pirmidin cmi, tbn lnı ile yükseklik uzunluğunun çrpımının üçte birine eşitttir. Üçgen pirmit Üçgen prizm ' ' Önce bir üçgen pirmit llım. unu üçgen prizmy tmmlylım. Sonr bu üçgen prizmyı üç pirmide yırlım. ir pirmidin tbn lnı G, yüksekliği ise cmi: V G $ = olur. bn lnlrı ynı ve yükseklik uzunluklrı eşit oln biri üçgen diğeri dörtgen oln iki pirmit llım. Q G' G ir pirmidin tbnın prlel düzlemlerle oluşn kesitleri tbnındki çokgene benzer çokgenlerdir. u pirmitlerin tbnındn ynı yükseklikteki prlel düzlemlerle kesitlerinin lnlrı birbirine eşittir. (bn lnlrı ve yükseklikleri eşittir) bnının bir kenrı 0 cm ve ynl yüksekliği cm oln düzgün kre pirmidin cmi kç cm tür? ' G' G 0 ' ' ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 5

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ dik üçgeninde = 0 = = 5 cm ve ynl yüksekliği cm olup isgor bğıntısın göre + = + 5 = 0 = 5 = 9 5 = = cm dir. bn lnı Yükseklik irmitin cmi : V = V G $ 0 $ = = V = 00 cm bulunur. bnı eşkenr üçgen oln düzgün pirmidin tbn yrıtı cm ve yüksekliği 8 cm olduğun göre cmi kç cm tür? irmidin tbn lnı: G = = = 9 cm irmidin yüksekliği : = 8 cm olup irmidin cmi: V G $ 9 $ 8 = = = cm tür. bnı dik üçgen oln dik pirmidin yüksekliği cm = 8 cm ve = 0 cm olduğun göre pirmidin cmi kç cm tür? 8 5 5 0 8 5 dik üçgeninde isgor bğıntısın göre = cm dir. irmidin cmi: $ 8 V G d n$ $ = = V = 8$ = 8 cm bulunur. ir düzgün ltıgen dik pirmidin tbn çevresi 8 cm ve yüksekliği cm olduğun göre pirmidin: ) ynl yrıtını b) ynl yüksekliğini c) tbn lnını d) cmini bulunuz. ) [F] köşegeni çizilirse F = =. = cm dir. = cm ve = cm & olduğundn dik üçgeninde isgor bğıntısı ile = + = 9 + = 5 = 5 cm dir. b) F eşkenr üçgeninde [] yüksekliği çizilirse = = + F = f p + 7 9 9 = + = & = cm dir. c) rmidin tbnı düzgün ltıgen ve düzgün ltıgen birbirine eş eşkenr üçgenden oluştuğundn 7 G = ( F) = $ = cm dir. 7 d) irmidin cmi : V G $ $ = = = 8 cm tü. r 0 8 5 5

yrıt uzunluğu birim oln düzgün dörtyüzlünün lnını ve cmini bulunuz. üzgün dört yüzlü tüm yrıt uzunluklrı birim oln dört eş eşkenr üçgenden oluşn bir düzgün pirmittir. G, nin ğırlık merkezi olmk üzere [G] [] dir. eşkenr üçgen olduğundn = ve G ğırlık merkezi olduğundn G = = $ = dır. = = olup G + G = & G + f p = f p & G = 7 G = = G = & G = G G = tür. G = düzgün dörtyüzlünün cisim yüksekliğidir. lde düzgün dörtyüzlünün cmi: & $ ( ) $ G $ V = = = V = br bulunur. ir yrıtı birim oln düzgün sekizyüzlünün lnını ve cmini bulunuz. üm yrıtlrının uzunluklrı birim oln iki kre pirmidin tbn tbn birleştirilmesiyle düzgün sekizyüzlü elde edilir. üzgün sekizyüzlünün tüm yüzleri birbirine eş, eşkenr üçgenlerden oluşur. üzgün sekizyüzlünün lnı = 8$ = br dir. ln = kresinde = ve ve dik üçgeninde = + = & + f p = & + = ' & = = & = lde düzgün sekizyüzlünün cmi V = $ d $ G$ n = $ f $ $ p = br bulunur. ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 55

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ İK İRSL SİLİNİR NIM ir f eğrisine dynn ve sbit bir d doğrusun prlel olrk kyn doğrulrın oluşturduğu yüzeye silindirik yüzey denir. f eğrisine silindirik yüzeyin dynk eğrisi prlel doğrulr d n doğrulrı denir. d NIM f dynk e risi n do ru ynk eğrisi kplı bir eğri oln bir silindirik yüzeyin n doğrulrını kesen ve birbirlerine prlel oln iki düzlemle silindirik yüzey rsınd kln cisme silindir denir. d f dynk e risi Silindirik Yüzey n do ru üzlemlerle oluşn kesitlere silindirin tbnlrı, tbnlr rsındki dik doğru prçsın, silindirin yüksekliği denir. n doğrulrı tbn dik oln silindire dik silindir, eğik oln silindire eğik silindir denir. Çember ik diresel silindir r (yükseklik) Çember ğik diresel silindir r ik diresel silindire dönel silindir de denir. d simetri ekseni (yükseklik) ir dikdörtgen bir kenrı etrfınd 0 döndürülürse oluşn dik silindir bir dönel silindir olur. d simetri ekseni Yukrıdki silindir dikdörtgeninin [] kenrı etrfınd 0 döndürülmesiyle elde edilmiştir. d (simetri ekseni) Yukrıdki silindir dikdörtgeninin [] kenrı etrfınd 0 döndürülmesiyle elde edilmiştir. ) Silindirin lnı ir dik diresel silindir n doğrusu boyunc kesilip düzleme çılırs lttki şekil elde edilir. ik diresel silindirin ynl yüzünün çınımı bir kenrı dire çevresine, diğer kenrı yüksekliğe eşit oln bir dikdörtgendir. ik silindirin ynl lnı: S Y = bn Çevresi Yükseklik = πr dir. r S Y r 5

ir dik diresel silindirin bütün lnı, (S Y ) ynl ln ile tbn lnlrının (G) toplmın eşittir. Silindirin bütün lnı: S = S Y + G S = πr + π r S = rr( r+ ) dir. b) ik iresel Silindirin cmi ir silindirin cmi (V S ) tbn lnı ile yüksekliğinin çrpımın eşittir. V S = πr Yndki dik diresel silindirin; ) Ynl lnı kç cm dir? b) ütün lnı kç cm dir? c) cmi kç cm tür? = direnin çevresi = π r = π = 8π cm ) Silindirin ynl lnı; S Y = π r = 8π 8 = π cm b) Silindirin bütün lnı: ' r ' cm 8 cm 8 π = 8 π S = S Y + πr = π + π = π + π = 9π cm c) Silindirin cmi: V = πr = bn lnı. yükseklik = π r = π 8 V = 8π cm bulunur. Yndki dik diresel silindirin cmi 5π cm ve yüksekliği cm olduğun göre ) Silindirin tbn diresinin yrıçpı kç cm dir? b ) Silindirin ynl lnı kç cm dir? c ) Silindirin bütün lnı kç cm dir? ' cm ) V = π r = 5π r = 5 r = 5 r = 9 r = cm dir. b) Silindirin ynl lnı S Y = πr = π S Y = π cm c) Silindirin bütün lnı: S = S Y + πr = π + π = π + 8π = 5π cm bulunur. ir dik diresel silindir içine üst tbnı, lt tbnı ʹʹʹʹ oln kre dik prizm şekildeki gibi yerleştiriliyor. Kre dik prizmnın cmi 0 cm olduğun göre silindirin cmi kç cm tür? ' π = π ' ' r ' cm cm ' 0 ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 57

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ ʹʹʹ dik üçgeninde ʹʹ = ʹʹ = olsun. Kre dik prizmnın cmi = 0 ve = 0 ise 0 ' 0 = = ' r = cm olur. ' ' ʹʹ = = r & r = cm dir. lde silindirin cmi V = π r = π ^ 0 V = 80π cm bulunur. ik diresel silindir biçimindeki kütüğün tbn yrıçpı 5 m, yüksekliği π metredir. u kütüğün noktsınd bulunn bir krınc kütük yüzeyini bir kez dolşrk noktsın gidiyor. un göre en z kç metre yürüyerek yolunu tmmlr? Krıncnın, kütük yüzeyini bir kez dolşrk en kıs yoldn gidebilmesi; silindir biçimindeki kütüğün yn yüzünün çık çizimi oln dikdörtgenin köşegen uzunluğu kdr gitmesi demektir. K = πr = π 5 = 0π dir. K dik üçgeninde isgor bğıntısın göre = (0π) + (π) = π (0 + ) ' = π (00 + 57) = π 7 = π = π metre bulunur. π 5=0 π 5 π K bn yrıçpı cm yüksekliği 5π cm oln dik silindir biçimindeki kütüğün noktsın bir ip bğlnıyor. İp iki tur silindire dolnrk ucu noktsın getiriliyor. un göre ipin uzunluğu en z kç cm dir? Silindirin çık biçimini düşünelim. İp iki tur dolndığı için + nin en küçük olmsı için noktsı [] nin = ort noktsı olmlıdır. Silindirin tbn yrıçpı cm oldu- ğundn ʹ = πr = π = π ve ʹʹ = 5π cm olduğundn 5r ʹ = cm dir. dik üçgeninde isgor ğıntısı ile 5r = (π) +d n 5r 89r = r + = 89 7r = r & = cm ve = olduğundn 7r + = = = 7r cm bulunur. çınımı ynd verilen dik diresel silindirin cmi kç cm tür? r π ' 5 π ' 5 5 ' 8 58

KNİ = π r = π r = cm dir. Silindirin cmi: V = π r = π 8 = 7π cm bulunur. Sbit bir noktsındn geçen ve sbit bir f eğrisine dynn doğrulrın oluşturduğu yüzeye koni yüzeyi denir. noktsın koninin tepe noktsı, f eğrisine dynk eğrisi, tepeden geçen doğrulr d n doğrusu denir. epe nokts NIM n do ru f do ru e risi n do ru epe epe nokts Koni yüzeyi (Konik yüzey) ynk eğrisi, kplı bir eğri oln koni yüzeyinin tüm n doğrulrını kesen bir düzlemle, tepe noktsı rsınd kln cisme koni denir. üzlemsel kesite koninin tbnı, tepenin tbn oln uzklığın d koninin yüksekliği denir. f tbn yükseklik İK İRSL KNİ NIM Yükseklik yğı tbn merkezinde oln koniye dik koni denir. bnı dire oln dik koniye dik diresel koni denir. ik diresel koninin yüksekliği simetri eksenidir. ik diresel koninin ekseninden geçen er düzlemle rkesiti bir ikizkenr üçgensel bölgedir. (Şekilde KL üçgeni) ik diresel konide n doğrulrın uzunluklrı eşittir. ik diresel konide tbn prlel er kesit bir diredir. ) ik iresel Koninin lnı ir dik diresel koninin ynl lnı, tbn çevresi ile n doğrusunun uzunluğu çrpımının yrısın eşittir. l r l ik diresel koni l K α S Y r r l r dik diresel koninin düzleme ç n mı L = ik diresel koninin çık biçiminde S Y ile gösterilen kısım koninin ynl yüzüdür. Koninin ynl yüzü merkezli = =, yrıçplı, α merkez çısın sip bir dire dilimidir. % yyının uzunluğu: % º = $ ve 0º r, % (tbn diresinin çevresi) ol- º r º duğundn $ r, = r$ r & = dir. merkezli dire dilimi, koninin ynl yüzü olduğundn koninin ynl 0º, 0º lnı º r S = $ r $, ve = Y 0º 0º, olup ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 59

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ r S Y = $ r $,, = r $ r $, ( rr) $, = SY = r $ r$, dir. ik diresel koninin bütün lnı S = Ynl ln + bn lnı = S Y + G S = π r, + π r S = rr$ ( r +,) b) ik iresel Koninin cmi ir dik diresel koninin cmi tbn lnı ile yükseklik uzunluğunun çrpımının üçte birine eşittir. c r $ r $ Vkoni = ir dik üçgen bir dik kenr etrfınd 0 döndürüldüğünde bir dik diresel koni elde edilir. b dik üçgeni kenrı c etrfınd 0 döndürülürse yndki koni elde edilir. c b dik üçgeni kenrı etrfınd 0 döndürülürse yndki koni elde edilir. b c G l b b r l r $ c $ Vkoni = c b r $ $ c Vkoni = G bn yrıçpı cm ve yüksekliği 8 cm oln dik silindirin: ) Ynl lnı kç cm dir? b) lnı kç cm dir? c) cmi kç cm tür? dik üçgeninde isgor bğıntısı yrdımıyl = + 8 = + = 00 = 0 cm dir. r = cm, = 8 cm,, = 0 cm olup ) Silindirin ynl lnı: S Y = π r, = π 0 = 0π cm b) Silindirin lnı: S = bn lnı + ynl lnı = G + S Y = π + 0π c) Silindirin cmi: = π + 0π = 9π cm dir. V = bn lnı x yükseklik x 8 0 0 8 V = G $ r $ $ 8 = = 9r cm bulunur. bn lnı π cm ve n doğru uzunluğu 5 cm oln dik koninin: ) Ynl lnı kç cm dir? b) cmi kç cm dir? 5 570

Koninin tbn lnı: πr olup πr = π r = r = cm dir. dik üçgeninde isgor bğıntısın göre, + = 5 = 5 = 5 = 9 ) Koninin ynl lnı: S Y = π r, = 9 = π 5 = 0π cm = cm dir. r$ r $ r$ $ b) Silindirin cmi: V = = = r bulunur. bn yrıçpı 0 cm yüksekliği 00 cm oln silindir biçimindeki kütük içinden tepe noktsı oln koni biçiminde bir prç oyulrk tılıyor. Geriye kln kısmın cmi kç π cm tür? Kln kısmın cmi: Silindirin cmi Koninin cmi = 0000r cm 0 = V S V K r $ 0 $ 00 = r $ 0 $ 00 = r$ 0 $ 00d n= r$ 0 $ 00 $ bulunur. lde cevp: 0000 olur. r= 5 00 cm çınımı ynd verilen koninin tbn yrıçpı cm ve ynl lnı 5π cm olduğun göre; ) Koninin yüksekliği kç cm dir? b) Koninin cmi kç cm tür? Koninin ynl lnı: π r, olup r = ve S Y = 5π olduğundn π, = 5π, = 5 cm dir. ) dik üçgeninde isgor bğıntısı kullnılırs + = 5 = 5 9 = = = cm dir. lde = cm dir. b) Koninin cmi: V = bn lnı yükseklik km km V G r $ r$ $ r$ $ = = $ V = π cm bulunur. Yukrıd üstteki şekil lttki koninin çık biçimidir. % m ( ) = 0, = ʹ = km Koni şeklindeki dğın noktsınd bulunn bir krınc dğın yüzeyinde bir tur dolşıp tekrr noktsın geliyor. Krıncnın yürüdüğü yol en z kç km dir? 5 ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 57

KÜR ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ ğın yüzeyinde bir tur dolşrk dn y en kıs yol koninin çık biçiminde ʹ uzunluğudur. ʹ üçgeninde ʹ = K L km dir. cm cm ' 0 cm Şekildeki tt kleminde L = cm 0 km ʹ = (0,5) cm = 0 cm Verilenlere göre klemin cmi kç cm tür? K L cm cm ' 0 cm Klem, bir silindir ve bir koniden oluşuyor. Silindirin ve koninin tbnı ynı ve tbn diresinin yrıçpı r = (0,5) cm dir. V klem = V silindir + V koni r( 05, ) $ = r $ ( 05, ) $ 0 + rd n $ = r $ d n $ 0 + 0 $ r r 8r = + r $ $ = = cm bulunur. = NIM Uzyd sbit bir noktdn eşit uzklıkt bulunn noktlrın kümesine küre yüzeyi vey küre denir. Sbit nokty kürenin merkezi, sbit uzklığ d kürenin yrıçp uzunluğu denir. ir küre üzerindeki iki noktyı birleştiren doğru prçsın kürenin bir kirişi, merkezden geçen kirişe kürenin çpı, merkezi ile kürenin bir noktsını birleştiren doğru prçsın kürenin yrıçpı denir. kirifl İR ÜZLML İR KÜRNİN RKSİİ ir düzlemle bir kürenin rkesiti bir tek nokt ise bu düzlem küreye teğettir. ir düzlem bir küreyi birden çok noktd keserse rkesit bir çemberdir. Çp rkesit çemberinin yrıçpı rʹ, kürenin yrıçpı r ve kürenin merkezinin kesit diresine uzklığı d olsun. isgor bğıntısın göre = + r = d + (rʹ) rʹ = r d r yr çp e me nokts e et üzlemi r r' d 57

KÜRNİN LNI V Mİ Yrıçp uzunluğu r oln bir kürenin lnı: S = rr Yrıçp uzunluğu r oln bir kürenin cmi: V = rr Yrıçp uzunluğu r oln bir dire çpı etrfınd 80 döndürülürse bir küre oluşur. r Yrıçp uzunluğu cm oln kürenin: ) lnı kç cm dir? b) cmi kç cm tür? ) Yrıçpı r oln kürenin lnı dir. r S = πr ve r = olduğundn S = π = π 9 = π cm b) Yrıçpı r oln kürenin cmi V = r $ r ve r = olduğundn V = r$ = r bulunur. r d Yüzey lnı π cm oln kürenin cmi kç cm tür? S = πr = π r = r = r = cm ve kürenin cmi: V = rr = r$ V = r$ = 88r cm dür. Yrıçpı 5 cm oln bir küre merkezinden cm uzklıkt bir düzlemle kesiliyor. lde edilen kesitin lnı kç π cm dir? Yrıçpı 5 cm oln küre bir düzlemi ile merkezinden cm uzklıktn kesilirse elde edilen kesit bir diredir. K = cm, L = 5 cm olduğundn KL = cm dir. ( 5 özel dik üçgeni) M K 5 5 lde kesit direnin lnı: πr = π = π cm dir. İstenen cevp dır. Yrıçp uzunluğu 5 cm oln kürede ve kesit direlerinin merkezleridir. = 7 cm = 5 cm K = 5 cm dir. Verilenlere göre kesit direlerinin lnlrının toplmı kç cm dir? 0 L 5 K ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 57

ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ ve dik üçgenlerinde = 5 cm = 7 cm ve = 5 cm olduğundn isgor bğıntısın göre = = = 5 7 = 5 5 = 5 9 = 57 = 5 5 = 00 = 57 dir. lde kesit direlerin lnlrının toplmı π. + π. = π 57 + π 00 = 97π cm bulunur. bn yrıçp uzunluğu cm oln dik diresel silindirin içine yrıçpı cm oln iki küre şekildeki gibi yerleştiriliyor. Silindir içinde kln boşluğun cmi kç cm tür? Silindirin yüksekliği x = cm dir. İstenen: Silindirin cmi x kürenin cmi. V boşluk = V S V küre = r$ $ $ $ r$ = 08r 7r V boşluk = π cm bulunur. 5 5 0 7 5 K Yrıçpı r oln bir bilye kg boy ile boynıyor. ilye merkezinden geçen bir düzlemle kesiliyor. lde edilen iki prç kç kg boy ile boynbilir? S = πr = r ilyeyi merkezinden ikiye yırlım. İki prçnın lnı rr S = $ frr + p= rr + rr S = rr πr lik ln için kg boy kullnılırs πr lik ln için x kg boy kullnılır. oğru rntı: π r x = π r x = kg bulunur. Yrım dire çpı etrfınd 0 döndürülürse bir küre oluşur. luşn kürenin cmi V = rr = r$ = rcm tür. r d r Yrıçpı cm oln yrım dire d doğrusu etrfınd 0 döndürülüyor. luşn cismin cmi kç cm olur? d 57

. ir küpün yüzey köşegeni cm ise küpün yüzey lnı kç cm dir? 08. yrıt uzunluklrı cm, 5 cm ve 8 cm oln dikdörtgenler prizmsının yüzey lnı kç cm dir? ÇIK UÇLU SRULR 58. bnı kre oln bir dik prizmnın ynl lnı 0 cm ve tbn lnı 5 cm olduğun göre prizmnın yüksekliği kç cm dir?. isim köşegeni birim oln küpün cmi kç br tür? 5. yrıt uzunluğu birim oln küpte K = K olduğun göre K kç birimdir? G 8 K F. ir yüzünün köşegen uzunluğu cm oln küpün cisim köşegeni kç cm uzunluğunddır? 7. yrıt uzunluğu birim oln bir küpün tüm yüzeyleri srı ile boynıyor. sonr küp birim küplük küplere yrılıyor. ) Üç yüzü srı oln kç küp vrdır? b) Kç tnesinin sdece iki yüzeyi srıdır? c) Kç tnesinin sdece bir yüzeyi srıdır? ) 8, b), c) 8. ir dikdörtgenler prizmsının yrıt uzunluklrı 5,, 7 ile doğru orntılıdır. rizmnın cisim köşegeni 0 cm olduğun göre, ) lnı kç cm dir? b) cmi kç cm tür? 9. Yndki dik kre prizmd = = birim K = 0 birim olduğun göre dikdörtgenler prizmsı kç tne birim küple doldurulbilir? L ), b) 0 F K 0 ÜNİ 9 GMRİK İSİMLR ölüm KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ 575