Fırat Üniv. Fen ve Müh. Bil. Dergisi Science and Eng. J of Fırat Univ. 8 (4), 543-55, 6 8 (4), 543-55, 6 Aeroakstiğin Temel Denklemlerinin Sonl Farklar Metod İle Çözümü Filiz ÖZGEN Fırat Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi Makina Eğitimi Bölümü, 39, ELAZIĞ fozgen@firat.ed.tr (Geliş/Received:.3.6; Kabl/Accepted:.6.6) Özet: Aeroakstik, akışkan içinde sesin dağılımı ile ilgilidir. B çalışmada öncelikle. ve. mertebeden temel denklemler üzerinde drlmş ve elde edilen rahatsızlık denklemleri sonl farklar metod kllanılarak FORTRAN bilgisayar dilinde hazırlanan bir program yardımıyla çözülmüştür. Çözülen b denklemler yardımıyla akışkan içinde yayılan hız, yoğnlk ve basınç değişimleri incelenmiştir. B değişimlerin her biri birer rahatsızlıktır ve çok küçük oldğ için zn mesafelere yayılmamaktadır. Akım üniform ve akışkan sıkışamaz kabl edilmiştir. Ayrıca, rahatsızlıklar çok küçük ve zn mesafelere yayılmadığı için viskozitenin ve ısı iletiminin etkisi de ihmal edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Aeroakstik, Rahatsızlık, Üniform Akım, Sonl Fark Metod Soltion of Aeroacostics Basic Eqations by Using Finite Difference Methods Abstract: Aeroacostics is a term which is related to the emission of sond in the flid. In this stdy, first of all, first -order and second-order basic eqations are emphasized and the obtained ailment eqations are solved by means of a program prepared in the FORTRAN compter langage by sing finite difference method. The velocity, density and pressre variations of the flid are stdied by the se of solved eqations. Each of these variations is an ailment and all of them are too slight to diffse along long distances. The flow is considered niform and the flid is incompressible. Additionally, as the ailments are so slight and can t be diffsed along long distances the effects of viscosity and heat condction are neglected as well. Key words: Aeroacostics, Ailment, Uniform Flow, Finite Difference Method. Giriş Aeroakstik, çoğ zaman sadece hava ve s gibi akışkanlara doğr sesin yayılımı ile ilgilidir, çok küçük viskozite ve termal öz iletkenliğe sahiptir. Akışkan içinde yayılan rahatsızlıklar, çok geniş olmayan kendi kendine olşan şok dalgası gibi rahatsızlıklarla da ilgilidir. B tür problemlerde, viskozite ve ısıl iletkenlik ihmal edilebilir ve akışkan hareketine Eler denklemi, momentm denklemi gibi denklemlerin çözümü ile karar verilebilir. Aeroakstikte kllanılan fikirlerin ve tekniklerin çoğ, klasik akstikten veya günümüzde kllanılan hareketli ortamın akstiğinden direkt olarak alınarak faydalanılır. Aerodinamik gürültü teorisinin anlaşılması için gerekli olan bilgiler ve konnn anlaşılması için gerekli matematiksel bilgiler de literatürden alınır []. Günümüzdeki teknolojik gelişmeler her ne kadar bilimsel araştırmalar üzerinde olml etkiler bıraksalar da, bazı bilim dallarında mevct problemlerin çözümünde birtakım güçlükler halen varlığını sürdürmektedir. Bna örnek olarak, yapılan bazı deneysel çalışmaların analitik bazda çözümsüzlükleri gösterilebilir. B nedenle b tür denklemlerin çözümü için nümerik çözüm teknikleri geliştirilmiştir. B problemlerin çözümünde kllanılan nümerik metotlarla elde edilen çözümler, bize çalışma yapılan konda yaklaşık olarak bir fikir verebilmektedir. Son yıllarda nümerik akışkanlar mekaniği üzerine pek çok araştırmacı inceleme yapmıştır. Kararsız, sıkıştırılamaz bir akış ortamında bir vorteks üretecinin iki boytl incelenmesi, sonl farklar metod kllanılarak, Johnson [] tarafından yapılmıştır. B metotta her bir zaman dilimi için sonçlar elde edilmiştir. Aynı zamanda silindirik tüp etrafındaki kararsız akış değişik Reynolds sayılarında nümerik olarak
F. Özgen çalışılmış ve sonçlar deneysel gözlemlerle karşılaştırılarak b çalışmada snlmştr. Benzeri bir çalışma El Vahed [3] tarafından tekrarlanmış olp iki boytl geometriler üzerine, kllanılan geometriye ygn türbülans modellemesi çıkarılarak sonçlar vorteks üretecinin, silindir, dikdörtgen, trapez ve üçgen geometrileri için iki boytl kararsız ortamda tekrarlanmıştır. Sonç olarak, b çalışmada iki boytl sonl farklar metod yaklaşımıyla türbülans modellemesinin yapılabileceği belirtilmiştir. Son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki hızlı gelişmeler ve ilerlemeler, Akışkanlar Mekaniğinde CFD (Comptational Flid Dynamics) adıyla yeni bir çalışma alanı doğmasına neden olmştr. CFD çalışmalarında, bilgisayar yardımıyla akış simülasyon yapılacak olan alan ve b alanda meydana gelen etkileşimler detaylı olarak görülebilmektedir. Bilgisayar imkânlarının mühendislik alanında kllanılmaya başlanmasıyla birçok gelişme sağlanmıştır. Örneğin sonl farklar metod yardımıyla akışkanlar mekaniğinde kllanılan birçok diferansiyel denklem kolaylıkla çözülmüştür [4]. Yakın zamanda yapılan bir çalışmada Wilde [9] Lattice-Boltzmann metodn kllanarak drgn olmayan akışta ses ve radyasyon olşmn hesaplamıştır. Başka bir sayısal çalışmada ise aeroakstik çalışmalarında kolaylık sağlayacak bir simülasyon çalışması yapılmıştır. Özellikle b modellemede dalganın yayılma özelliği yakından incelenebilmiştir []. B çalışmada, aeroakstiğin temel denklemleri Fortran programlama dili yardımıyla sonl farklar metod kllanılarak sayısal olarak çözülmüş ve ayrıca Cochy teoremi ile de analitik olarak kıyas yapılmıştır. Böylece hız, basınç ve yoğnlkta meydana gelen değişimler kolaylıkla hesaplanmıştır. Hesaplanan değerler, rahatsızlığın yayıldığı kabl edilen x doğrltsndaki birim mesafeyi gösteren x ile zaman dilimini gösteren arasındaki ilişkiye bağlı olarak eşit ya da farklı blnmştr. Ayrıca b sonçlar kllanılarak bazı grafikler çizilmiş ve b grafiklerden anlaşıldığı gibi rahatsızlığın dalga halinde sönümlenerek yayıldığı tespit edilmiştir..sakin Akışkan Halinde Rahatsızlık Dağılımı İçin Basit Çözümler Çalışmamızda akışkan olarak hava göz önüne alınmış ve havanın temel akım halindeki özellikleri yglanan bir dış kvvet yardımıyla değiştirilmiştir. Kllanılan havanın dış kvvet yglanmadan önceki özellikleri ile dış kvvet yglandıktan sonra meydana gelen özellikleri arasındaki fark birer rahatsızlıktır [7]. B rahatsızlıklar, çok küçüktür ve zn mesafelere yayılmamaktadır. Rahatsızlıklar yeteri kadar küçükse ısı iletimi ve viskozitenin etkisi ihmal edilebilir. Aeroakstiğin temel denklemlerinden Eler, süreklilik, entropi ve enerji denklemleri rahatsızlık değişkenleri için sırasıyla aşağıdaki gibidir: ρ v v ρv v p F ( ρ ρv ) ρq () S v S S p c v ρ ρ c v ρ v p p v sabit, ρ sabit p sabit alındığında ykarıda verilen rahatsızlık denklemleri ş hale gelir: ρ v p F ρ v ρ ρ q () p c v ρ v p Akışkan drgn oldğ zaman v alındığında rahatsızlık denklemleri şöyle basitleştirilebilir: ρ p F ρ (3) 544
Aeroakstiğin Temel Denklemlerinin Sonl Farklar Metod İle Çözümü -ρ ρ q (4) x ( x,τ) [ f( x c τ) f( x c τ) ] c τ g( y)dy c () x cτ c p τ b denklem τ ya göre integre edilirse: (5) p c ρ (6) blnr. Denklem (4) ve (5) kllanılarak denklem (7) ve (3) den denklem (8) elde edilir. Denklem (7) in x e göre, denklem (8) in de τ ya göre türevi alınıp taraf tarafa çıkarılırsa denklem (9) blnr. şeklindedir [5]... Sonl Farklar Metod Yakınsamanın kararlı bir şekilde olmasını sağlamak amacıyla sonl farklar metod kllanılabilir. Elde ettiğimiz denklem (6), (8) ve (9) sonl fark denklemlerine dönüştürebilmek için; () p c ρ ρqc (7) p p p x i-, j (3) p ρ c F (8) (9) Elde ettiğimiz denklem (6), (8) ve (9) n çözümü için iki yol vardır. Bnlardan ilki sonl farklar metod kllanılarak yapılan sayısal çözüm ve ikincisi ise analitik çözümdür... Analitik Çözüm Denklem (9) hiperbolik bir denklemdir ve b denklem analitik olarak Cochy Teoremi kllanılarak çözülebilir. Başlangıç şartlarını kllanarak Cochy ya da ilk değer problemini vaz edebiliriz. Başlangıç şartları; x L ve ( ) ( ) x, f x τ da ( x,) g x ( ) olarak verildiğinde analitik çözüm; () 545 x i, j τ i, j x i, j - (4) (5) ifadeleri kllanılabilir. B ifadeler yazıldıktan sonra sonl fark denklemleri kolaylıkla blnr. Denklem (4) ve (5) yardımıyla, denklem (9) için sonl fark denklemini ş şekilde yazabiliriz: i,j i,j i,j i,j i,j i,j c (6) x c ( ) ( ) i,j i,j i,j i,j i,j (7) x Benzer şekilde denklem () ve (3) kllanılarak (8) denklemi sonl fark biçiminde aşağıdaki gibi yazılabilir. pi, j p pi, j (8) ρ F x ( i, j i, j ) F x i, j ρ x (9) p
F. Özgen Elde edilen sonl fark denklemleri (7) ve (9), FORTRAN bilgisayar dilinde hazırlanan bir program yardımıyla sayısal olarak çözülmüştür. 3. Sınır Şartları ve Sayısal Çözüm Yöntemi Rahatsızlık bir noktadan başlayıp simetrik olarak yayılmaktadır. Verilen sınır şartlarına ygn bir çözüm elde edebilmek için rahatsızlığın olştğ alan keyfi sayıda parçalara bölünmüştür. Rahatsızlığın dağılımını ve sınır şartlarını Şekil () de görebiliriz. Şekil. Rahatsızlığın dağılımı IN ve JM noktaları rahatsızlığın sona erdiği noktalardır ve b noktaların sayısı arttırılabilir. Arttırıldığı takdirde zak noktalardaki rahatsızlık değerleri daha kolay blnabilir. Hız hesabını yapabilmek için daha önce bldğmz denklem (7) yi ilk şartlardan yararlanmak amacı ile J için yazalım: i,3 c ( i, i,) [ i, i, i,] () x i,3 değerini blabilmek için i, değerine ilaveten, bölgemizin dışında kalan i, değerlerine de ihtiyacımız vardır. i, değerleri verilen başlangıç değerlerinden i, f(x) olarak blnabilmektedir. i, değerleri için ikinci başlangıç şartı kllanılabilir. B düşünce ile / ifadesini sonl fark biçimine getirmeliyiz: i, ( x) x.g( x) f () B drmda çözümün elde edilmesi mümkündür. i,3 elde edildikten sonra i,4, i,5... sırası ile ve kolayca hesaplanabilir. Böylece rahatsızlığın olştğ ABC bölgesi içinde kalan tüm noktalar için hız değerleri blnmş olr. Basınç hesabı için p p p alınırsa, i, j ( ) F x ρ x p (3) denkleminden faydalanılabilir. Şekil () de görülen ABC rahatsızlık alanı dışında kalan tüm bölgelerde basınç sabittir. Tüm noktalar için hız hesabı yapıldıktan sonra basınç hesabı da b denklem sayesinde yapılabilir. Kllandığımız hiperbolik denklemlerin karakteristik doğrları x±cτsabit doğrlarıdır [8]. Şekil () de görülen bir N noktasını düşündüğümüzde, b noktadan geçen x±cτsabit doğrları çözüm bölgesini K ve L bölgelerine ayırmaktadır. N noktasının hesaplanması için x N üzerinde verilmiş olan başlangıç şartlarının tümü değil, sadece DE üzerindeki bölümü gerekli ve yeterli olmaktadır. B nedenle K bölgesine N noktasının Bağımlılık Bölgesi adı verilmektedir. Benzer şekilde N noktasındaki değerlere bağımlı olan bütün noktalar da L bölgesi içerisinde yer almakta ve b nedenle E bölgesine N noktasının Etki Bölgesi adı verilmektedir Hız, basınç ve yoğnlk değerleri FORTRAN bilgisayar dilinde hazırlanan bir program yardımıyla sayısal olarak blnmştr [6]. Farklı başlangıç şartları ve x, n farklı değerleri için bilgisayar sonçları incelenmiş ve c x olması gerektiği görülmüştür. Aslında b hiperbolik denklemlerin bir soncdr. Denklemlerin çözümü için hazırlanan bilgisayar programının akış diyagramı Şekil () de verilmiştir. Diyagram zn oldğndan yazım formatı gereği şekil birbirini takip eden üç parçaya ayrılmıştır. i, i, i, x g( x) () 546
Aeroakstiğin Temel Denklemlerinin Sonl Farklar Metod İle Çözümü a) Akış Şeması -I- b) Akış Şeması -II- 547
F. Özgen Benzer şekilde yönündeki değişim de J noktasından başlayıp JM noktasında son blr. Akış şeması, M ve N alınarak küçük bir bölge için hazırlanmıştır. B alan rahatsızlığı olştran kvvete bağlı olarak genişletilebilir. Hız, basınç ve yoğnlğn değerleri sonl farklar metod kllanılarak hazırlanan denklemler yardımıyla ve analitik olarak hesaplanmıştır. Şekil (.a) daki akış şemasında ilk sınır şartları ve hız ifadesinin hesaplanması görülmektedir. Şekil (.b) deki akış şemasında analitik çözüm ve basınç hesabı, Şekil (.c) deki akış şemasında da hesaplanan değerler arasındaki izafi hatalar ve gerçek değerler yazdırılmıştır. Denklemlerimiz farklı sınır şartları altında sayısal ve analitik olarak çözülmüştür. Çözümlerden görülmüştür ki; c x alınması sayısal ve analitik çözümlerin birbirine yakın olmasını sağlamıştır. Aksi drmda ise sonçlar tamamen hatalıdır. Ayrıca iki sınır şartı için iki ayrı şekil çizilmiştir. Şekil (3) ve (4) deki grafikler incelendiğinde rahatsızlığın dalga halinde yayıldığı görülmüştür. Şekil (3) de, keyfi olarak seçilen f(x) ve g(x) fonksiyonlarına bağlı olarak basınç dağılımı görülmektedir. Rahatsızlığın yayıldığı x doğrltsnda x.5 alınarak her bir zaman dilimi için basıncın önce artıp daha sonra da azalma eğiliminde oldğ görülmektedir. Şekil. Akış Şeması -III- Rahatsızlığın dağılımı ve sınır şartları Şekil () de görülmektedir. Rahatsızlığın olştğ alan, rahatsızlığın büyüklüğüne göre parçalara ayrılabilir. x doğrltsndaki değişimler I noktasından başlayıp, IN noktasında son blr. 548 Şekil 3. f(x)e -x ve g(x)/(x) sınır şartı için basınç dağılımı Şekil (4) de f(x) fonksiyon trigonometrik fonksiyon olarak seçilmiş, x.5 alınarak hızın yayılımı gösterilmiştir. Sonçta, hız değerinin de dalga halinde yayıldığı görülmüştür. Rahatsızlığı
Aeroakstiğin Temel Denklemlerinin Sonl Farklar Metod İle Çözümü olştran kvvetin etkisi zayıflamaya başlayınca hız ve basınç dalgası küçülerek sıfıra doğr yaklaşacaktır. Şekil 4. f(x)sin(x) ve g(x)e -x-c sınır şartı için hız dağılımı 4. Sonçlar Ve Değerlendirme Daha önce de belirtildiği gibi çalışmada akışkan olarak hava göz önüne alınmıştır. Akışkan sıkışamaz ve akım niform kabl edilmiştir. Akışkan sıkışamaz oldğndan ρ sabit ve akım niform oldğ için de akım doğrltsndaki değişimler incelenmiştir. Rahatsızlık çok küçük kabl edildiğinden viskozitenin etkisi ihmal edilmiştir. x, rahatsızlığın yayıldığı kabl edilen x doğrltsndaki birim mesafeyi göstermektedir. ise zaman dilimidir. Rahatsızlık zn mesafelere yayılmayacağından x, benzer şekilde zn süreli olmayacağından küçük değerler alacaktır. Denklemlerimizde geçen ses hızı c boytszdr. c ya da e yakın bir değer alacaktır. Benzer şekilde ρ ya da e yakın bir değer olacaktır. Rahatsızlığı olştran temel nsr kvvettir. Rahatsızlıklar çok küçük oldğ için, on olştracak olan F kvveti de çok küçük olmalıdır. x ve n farklı değerleri için bilgisayar sonçları incelendiğinde c. x olması gerektiği görülmüştür. Daha önceden belirttiğimiz gibi bir noktadaki değerlerin hesabı, o noktaların bağımlılık bölgesi içinde kalan değerlere bağlıdır. Bağımlılık bölgesi dışında kalan değerler çözüm için kllanılmaz. Şekil () de görülen N noktasının hesaplaması için sadece DE doğrs üzerindeki şartlar gerekli ve yeterlidir. ON ise DE x dir. Yani N noktası için DE deki tüm bilgiyi kllanmak üzere x seçmiş olyorz. Şimdi NDE bölgesi içinde bir N noktasını düşünelim. N noktası D ve E nin etki bölgesi içindedir DE üzerindeki bilgiler yardımıyla hesaplanabilir. Bölge dışında kalan başka bir N noktasının çözümü için DE deki bilgi yeterli olmayabilir. O halde b hiperbolik denklemin çözümü için c x almamız gerek ve şarttır. Yapılan hesaplamaların soncnda rahatsızlığın dalga halinde yayılıp küçüldüğü görülmüştür. Semboller c Temel akım halindeki ses hızı c Rahatsızlıktan kaynaklanan ses hızı değişimi F Rahatsızlığı olştran dış kvvet P Temel akım basıncı p Rahatsızlıktan kaynaklanan basınç değişimi q Hız ve yoğnlk gradyeni ile orantılı bir büyüklük s Entropi Temel akım doğrltsnda rahatsızlıktan kaynaklanan hız değişimi v Temel akım doğrltsndaki hız v Rahatsızlık sonc olşan taşınım hızı ρ Rahatsızlık olşmadan önceki temel akım yoğnlğ ρ Rahatsızlıktan kaynaklanan yoğnlk değişimi τ Gecikme zamanı 5. Kaynaklar. Goldstein, M.E., (976). Aeroacostics. McGraw- Hill International Book Co. New York.. Johnson, M.W., (99). Comptation of Flow in a Vortex-Shedding Flow Meter, Flow Measrements and Instrments,, -8. 3. El Wahed, A. K., Johnson, M. W. Sproston, J. L., (993). Nmerical Stdy of Vortex-Shedding from Different Shaped Blff Bodies, Flow Meas. Intrm., 4, 33-4. 549
F. Özgen 4. Kaykayoğl, R.C., (994). Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiğine Giriş Ders Notları, İstanbl Üniversitesi Matbaası, İstanbl 5. Peremeci, Ö. E., (983). Sayısal Deney Yöntemleri, Ders Not, Fırat Üniversitesi Matbaası, Elazığ. 6. Özgen, F., (). Aeroakstiğin Temel Denklemleri, Yüksek Lisans Tezi, Fırat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Elazığ. 7. Peremeci, Ö. E., (973). Aerodinamik Sıkıştırılabilir Akışkanlar, Matbaa Teknisyenleri Basımevi, İstanbl. 8. Patankar, S.V., (98). Nmerical Heat Transfer and Flid Flow, Mc-Graw Hill Book Co., New York. 9. Wilde, A. (6). Calclation of Sond Generation and Radiation from Instationary Flows, Compters & Flids, 35 (8-9), 986-993.. Alléon, G. Champagnex, S. Chevalier, G. Girad L. and Sylvand G. (6). Parallel Distribted Nmerical Simlations in Aeronatic Applications, Applied Mathematical Modelling, Volme 3 (8), 74-73. 55