1.1 Oyun Teorisi Ders Notları Muhamet Yıldız Ders 17-18 1 Eksik Bilgili Statik Uygulamalar Bu ders notları eksik ilgili ekonomik uygulamalarla ilgilidir. Amacı eksik ilgili statik oyunlarda Bayesyen Nash dengelerini hesaplamak için kullanılan temel teknikleri göstermektir. Bu uygulamalar Gions ders kitaında tartışılmıştır. Bu notlar, temel adımları gösterip, azı önemli detayları açıklamaktadır. Üç uygulamaya akacağız. Cournot duopoli-sinde, sonlu sayıda tip ve sürekli miktarda eylem olduğunda, Bayesyen Nash dengelerini nasıl hesapladığımızı göstereceğim. Diğer iki uygulama ilk-fiyat ihalesi ve çifte ihale olacak. Bu uygulamalarda, sürekli miktarda eylemler ve sürekli miktarda tipler olacak. Bu durumda, tüm dengeleri hesaplamak kolay değildir ve genellikle azı fonksiyonel formları olan dengeleri düşünürüz. Burada, i) simetrik ve lineer, ii) simetrik ama lineer olmak zorunda olmayan ve iii) lineer ama simetrik olmak zorunda olmayan dengeleri düşüneceğiz. Simetri ve lineerlikten ne kastettiğimizi, konu oraya gelince açıklayacağız. 1.1 Eksik ilgili Cournot Duopolisi Alttaki ters-talep fonksiyonlu ir Cournot duopolisi düşünelim P Q) = a Q öyle ki, Q = q 1 + q. Firma 1 in marjinal maliyeti c = 0 dır ve u ortak ilgidir. Firma nin marjinal maliyeti ise c dir ve u Firma için özel ilgidir. Alaileceği değerler c H c L θ olasılığıyla ve 1 θ olasılığıyla idir. Her firma eklenen karlarını maksimize ederler. Burada, Firma 1 in tek ir tipi, Firma ninse iki tipi vardır. Dolayısıyla, Firma 1 için strateji ir q 1 reel sayısıdır. Firma içinse ir strateji iki reel sayıdan oluşur, q c H ) ve 1
q c L ), iri maliyet c H iken, diğeri de maliyet c L iken. Bayesyen Nash Dengesi Şimdi ir Bayesyen Nash dengesi hesaplıyoruz, q1, q c H), q c L)). Her firmanın her tipini ayrı ayrı düşüneceğiz. Öncelikle Firma nin yüksek tipini c H ) düşünelim. Dengede, u tip, Firma 1 in q1 ürettiğini iliyor. Dolayısıyla, üretim miktarı q c H) alttaki maksimizasyon prolemini çözer Dolayısıyla, maxp c H )q = max [a q q q 1 q c H ] q. q c H ) = a q 1 c H 1) Şimdi, Firma nin düşük c L ) tipini düşünelim. Dengede, u tip de Firma 1 in q 1 ürettiğini ilir. Dolayısıyla, üretim miktarı q c L)alttaki maksimizasyon prolemini çözer Dolayısıyla, max q [a q 1 q c L ] q. qc L ) = a q 1 c L. ) Burada önemli olan, her iki tip aynı q1 ı düşünmesidir, ki u, Firma nin her iki tipi tarafından ilinen Firma 1 in stratejisidir. Şimdi Firma 1 e akalım. Tek tipi var. Firma 1 Firma nin stratejisini ilmektedir, ama Firma nin hangi tipiyle karşı karşıya olduğunu ilmediğinden, Firma nin üretim miktarını ilmemektedir. Firma 1, Firma nin üretiminin θ olasılıkla q c H), 1 θ olasılıkla ise q c L) olduğuna inanır. Dolayısıyla, alttaki maksimizasyon prolemini çözer max q 1 θ [a q 1 q c H )] q 1 + 1 θ) [a q 1 q c L )] q 1 = max q 1 {a q 1 [θq c H ) + 1 θ)q c L )]} q 1. Eşitlik, Firma nin üretim miktarı q, Firma 1 in kazancına, [a q 1 q ] q 1 = [a q 1 ] q 1 q 1 q, lineer olarak girmektedir. E [q ] = θq c H ) + 1 θ)q c L ) terimi Firma nin eklenen üretim miktarıdır. Dolayısıyla, Firma 1 u eklenen üretim miktarına ir en iyi tepkiyi oynar. Bunu ancak ve ancak diğerlerinin eylemleri oyuncunun
kazancını lineer ir şekilde etkiliyorsa yapailiriz.) Dolayısıyla, q 1 = a E [q ] = a [θq c H) + 1 θ)q c L)]. ) Bayesyen Nash dengesinin hesaplamak için, 1), ) ve ) te verilen üç lineer denklemi, q 1, q c L), q c H) için çözmemiz gerekir. şöyle yazailiriz q 1 q c H) q c L) = θ 1 θ 1 0 1 0 1 a a c H a c L, ve u ize q c H ) = a c H q c L ) = a c L + 1 θ)c H c L ) 6 θc H c L ) 6 q 1 = a + θc H + 1 θ)c L dengesini verir. 1. İlk-fiyat ihalesi Elimizde ir mal var ve iki teklifçi ir müzyedede u malı almak istiyorlar. Eş zamanlı olarak, her ir teklifçi ir teklifte ulunur, i 0. Sonra, en yüksek teklif malı kazanır ve kendi teklifini öder. Eğer aynı teklifi verirlerse, o zaman kazananı ir yazı-tura elirler. Bu mal için, i teklifçisinin içtiği değer v i dir ve u i teklifçisinin özel ilgisidir. Yani, v i i teklifçisinin tipidir. v 1 ve v nin [0, 1] üzerine tekdüze uniform) dağılıma tai ve ağımsız ve özdeş dağılımlı olduğunu varsayıyoruz. Kendi içtiği v i değerini ilen i teklifçisi, diğer teklifçinin içtiği değer v j [0,1] üzerine tekdüze dağılıma tai olduğunu ve her iki oyuncunun tip kümesinin [0,1] olduğunu ilir. Hatırlarsak, ir oyuncunun diğer oyuncuların tipleri hakkındaki inanışları oyuncunun kendi tipine ağlı olailir. Bağımsızlık, kendi tipine ağlı olmadığını varsayar. Burada, eylemler i dirler ve unlar [0, ) eylem uzayından gelirler; tipler v i dirler ve unlar da [0,1] tip uzayından gelirler; inanışlar her tip için [0,1] üzerine tekdüze dağılımlardır. Oyunun tanımını tamamlamak için fayda fonksiyonlarını da elirlememiz
gerekir. Fayda fonksiyonları şeklinde verilmiştir. eder. v i i eğer i > j, v u i 1,, v 1, v ) = i i eğer i = j, 0 eğer i < j. Bir Bayesyen Nash dengesinde, her tip v i eklenen kazancı i ler üzerinden maksimize E [u i 1,, v 1, v ) v i ] = v i i ) Pr{ i > j v j )} + 1 v i i ) Pr{ i = j v j )} ) Şimdi, Bayesyen Nash dengelerini hesaplayacağız. İlk olarak, özel ir dengeye akacağız. Burada kullanacağımız teknik Bayesyen Nash dengesi hesaplamada kullanılan çok yaygın ir tekniktir, o yüzden adımlara dikkat ediniz. Simetrik, lineer denge Şimdi simetrik, lineer ir denge hesaplayacağız. Simetrik, her v i tipinin i v i ) denge eylemleri, tip uzayından eylem uzayına ir fonksiyonu için i v i ) = v i ) şeklinde olduğu anlamına gelir, öyle ki, her oyuncu için aynı fonksiyondur. Lineer ise nin v i nin ir lineer fonksiyonu olduğu anlamına gelir, yani, i v i ) = a + cv i. Simetrik ve lineer dengeyi hesaplamak için alttaki adımları takip ediyoruz. 1. Adım Bir simetrik denge olduğunu varsayalım: 1 v 1 ) = a + cv 1 v ) = a + cv tüm tipler v 1 ve v için, azı saitler a ve c için, ki u saitler sonra ulunacaktır. Burada önemli olan u saitler oyunculara ya da tiplerine ağlı değildir.. Adım Her tip icin en iyi tepki fonksiyonunu hesaplayalım. Bir v i tipini saitleyelim. Bu tipin en iyi tepkisini hesaplamak için, önce farkedelim ki c > 0. [Bu çok açık
değildir; Gions ı okuyup düşünmeniz gerekir.] O zaman, herhangi ir saitlenmiş i değeri için, 1. Adımdan dolayı j, v j de kesin artan olduğundan Pr{ i = j v j )} = 0. 5) Aynı zamanda da a i v i ) v i dir. [Yine, unu açıklamanız gerekir.] Dolayısıyla, E [u i 1,, v 1, v ) v i ] = v i i ) Pr{ i a + cv j } = v i i ) Pr{v j i a } c = v i i ) i a. c Burada, ilk eşitlik 5) i ) te yerine koymakla ulunur. İkinci eşitlik asit ceir işlemleridir ve üçüncü eşitlik v j nin [0,1] üzerine tekdüze uniform) dağılmış olmasından gelir. [Eğer u dersi alıyorsaız, son adım sizin için açık olmalıdır.] En iyi tepkiyi hesaplamak için, son ifadeyi i ye göre maksimize etmeliyiz. Türevi alıp sıfıra eşitleyince i = v i + a 6) elde ederiz.. Adım En iyi tepki fonksiyonlarının gerçekten lineer olduklarını gösterelim, yani., i, i = a + cv i şeklindedir. 6) yı tekrar yazarsak i = 1 v i + a. 7) elde ederiz. Hem 1/ nin hem de a/ nin sait olduklarını kontrol edelim, yani, v i ye ağlı değiller ve her iki oyuncu için de aynılar.. Adım a ve aitlerini hesaplayalım. Bunu yapmak için, ir denge olailmesi için 6) daki en iyi tepkinin, i nin v i ) ye eşit olması gerektiğini görüyoruz: i = v i ), ya da 1 v i + a = cv i + a. 5
Bu ir eşitlik olmalı, yani, tüm v i değerleri icin doğru olmalı. Dolayısıyla, v i nin katsayısı her iki tarafta da eşit olmalı: c = 1. Kesen de her iki tarafta aynı olmalı. a = a. Dolayısıyla, a = 0. Bu ize simetrik ve lineer Bayesyen Nash dengesini verir. i v i ) = 1 v i. Herhangi ir simetrik denge Şimdi, nin lineer olduğunu varsaymadan, simetrik ir Bayesyen Nash dengesi hesaplayacağız. nin kesin artan ve türevleneilir olduğunu varsayıyoruz. 1. Adım Alttaki gii ir Bayesyen Nash dengesi olduğunu varsayalım 1 v 1 ) = v 1 ) v ) = v ) kesin artan ve türeveleneilir ir fonksiyonu için.. Adım Her tipin en iyi tepki fonksiyonunu hesaplayalım, veya en iyi tepkinin sağlayacağı irinci dereceden türevleri hesaplayalım. Bu noktada, j oyuncusunun denge stratejisine göre oynadığı verili iken, v i tipinin i oynamaktan elde edeceği eklenen değerin E [u i 1,, v 1, v ) v i ] = v i i ) Pr{ i v j )} = v i i ) Pr{v j 1 i )} = v i i ) 1 i ), olduğunu hesaplayalım, öyle ki, 1, nin tersidir. Burada, ilk eşitlik nin kesin 6
artan fonksiyon olmasından dolayı sağlanır; ikinci eşitlik yine nin artan olmasından kaynaklıdır ve son eşitlik v j nin [0,1] üzerine tekdüze uniform) dağılmış olmasından gelir. Birinci dereceden türev u son terimin i ye göre kısmi türevi alınıp sıfıra eşitlenerek elde edilir. Karışıklığa mahal vermemek için, en iyi tepki için i yazalım. Bu durumda, irinci dereceden türev 1 i ) + v i i ) d 1 d i i = i idir. Bunu, ters fonksiyonun türev formulünü kullanarak, alttaki gii tekrar yazailiriz. = 0. 1 i ) + v i 1 i ) v) = 0. 8) v)= i. Adım En iyi tepkiyi denge eylemleriyle elirleyelim, denge eylemlerini hesaplamay yönelik olarak. Yani, olsun. Bunu 8) de yerine koyarsak i = v i ) elde ederiz. Basit ceir ile, Dolayısıyla, Dolayısıyla, 1 v i + v i v i )) v i ) = 0 9) v i ) v i + v i ) = v i. d [ v i ) v i ] dv i = v i. v i ) v i = vi / + const. v i ) = v i / + const/v i. 0) olduğundan, const= 0 olmalı. Dolayısyla, v i ) = v i /. Bu durumda, şanslıyız. Genel olarak, 9) daki gii ir diferansiyel denklem elde edilir, ama denklem genelde kolay çözüleilir ir denklem değildir. Diferansiyel denklemi ulana 7
kadar geçtiğimiz adımları iyice anladığınızdan emin olunuz. Çifte İhale Şimdi ir çifte müzayede düşünüyoruz. Terim müzayedeye atıfta ulunsa da, u aslında asit ir pazarlık prolemidir. Bir mala sahip ir Satıcımız, ir de Alıcımız var. Malın alışverişini sıradaki mekanizmayla gerçekleştiriyorlar. Eş zamanlı olarak, Satıcı ir p s fiyatı anons eder, Alıcı da ir p fiyatı anons eder. Eğer p < p s ise, alışveriş olmaz; Eğer p p s ise, o zaman p = p +p s fiyatında alışveriş gerçekleşir. Malın değeri Satıcı için v s, Alıcı içinse v dir. Her oyuncu, mala içtiği değeri özel olarak ilmektedir. v s ile v nin [0,1] üzerine tekdüze uniform) dağılıma tai ağımsız ve özdeş dağılımlı olduğunu varsayıyoruz. geldiğini hatırlayınız.] O zaman, kazançlar u = { [Ilk-fiyat müzayedesinden unun ne anlama v p +p s eğer p p s 0 diğer durumlarda u s = { p +p s v s eğer p p s 0 diğer durumlarda şeklindedir. Şimdi Bayesyen Nash dengesini hesaplayacağız. Bir dengede, satıcının her v s tipi icin ir p s v s ) fiyatı ve alıcının her v tipi için ir p v ) fiyatı olacaktır. Bir Bayesyen Nash dengesinde p v ) maksimzaysyon prolemini çözer. p s v s ) de [ max E v p ] + p s v s ) : p p s v s ) p [ ] ps + p v ) max E v s : p v ) p s p s maksimizasyon prolemini çözer, öyle ki, E [x : A] x in A kümesi üzeindeki integralidir. E [x : A] = E [x A] Pr A) idir, öyle ki, E [x A], A verili iken, x in koşullu eklentisidir. Tüm u terimleri ildiğinizden emin olunuz!!!) Bu oyunda, irçok Bayesyen Nash dengesi vardır. Mesela, ir denge altta verilmiştir. 8
p = p s = { { X if v X 0 otherwise, X if v s X 1 otherwise ir X [0, 1] sait sayısı için. Şimdi lineer stratejili Bayesyen Nash dengelerine akacağız. Lineer stratejili dengeler Stratejilerin içilen değerlerin lineer fonksiyonları olduğu, ama simetrik olmak zorunda olmadıkları ir dengeyi düşüneceğiz. 1. Adım Lineer stratejili ir dengemiz olduğunu varsayalım: p v ) = a + c v p s v s ) = a s + v s azı a, c, a s ve saitleri için. c > 0 and > 0 olduğunu da varsayıyoruz. [a ve c alıcı ve satıcı için farklı olailir.]. Adım Her tip için en iyi tepkiyi hesaplayalim. Bunu yapmak için, ilk olarak, p p s v s ) = a s + v s v s p a s 10) ve p s p v ) = a + c v v p s a c 11) olduğunu görelim. Şimdi, ir v tipi için en iyi tepkiyi hesaplayacağız. Satıcının verili denge stratejisine göre oynadığını kaul edersek, p oynamaktan edineceği kazanç [ E [u p, p s, v, v s ) v ] = E v p + p s v s ) = p as cs 0 [ v p + p s v s ) ] : p p s v s ) ] dv s, 9
öyle ki, son eşitlik 10) u kullanarak elde edilmiştir. p s v s ) = a s + v s yi urada yerine koyarsak, E [u p, p s, v, v s ) v ] = p as cs elde ederiz. Basit ceir işlemlerinden sonra, 1 u eşitlik E [u p, p s, v, v s ) v ] = p a s 0 [ v p ] + a s + v s dv s. v p ) + a s. şeklini alır. En iyi tepkiyi ulmak için, son ifadenin p ye göre türevini alıyoruz ve sıfıra eşitliyoruz. Bu ize eşitliğini verir. p icin u eşitliği çözünce, 1 v p ) + a s p a s ) = 0 elde ederiz. p = v + 1 a s 1) Şimdi, ir v s tipi icin en iyi tepkiyi hesaplıyoruz. Önceden olduğu gii, p s oynamaktan dengede edineceği eklenen değeri [ ] ps + p v ) E [u s p, p s, v, v s ) v s ] = E v s : p v ) p s 1 [ ps + a + c v = ps a c v s ] dv, idir, öyle ki, son eşitlk 11) den ve p v ) = a + c v den gelir. Bir miktar asit ceir 1 İntegrali şeklinde yazailiriz. p a s = p a s = p a s = p a s ) p as cs cs 0 p a s v p + a s v p + a ) s cs v p + a s p a ) s v p ) + a s v sdv s ) 10
işleminden sonra, u E [u s p, p s, v, v s ) v s ] = 1 p ) [ s a ps + a v s + c ] c şeklini alır. Tekrardan, en iyi tepkiyi hesaplamak icin, son ifadenin p s ye göre türevini alıp sıfıra eşitliyoruz. Bu ize verir, ya da denk olarak verir. p s için çözersek, 1 c [ ps + a v s + 1 ] + 1 p ) s a = 0, c [ ps + a v s + c ] + c p s a )) = 0. p s = a + v s c + c + a ) = v s + a + c elde ederiz. Dolayısıyla, p s = v s + a + c. 1). Adım En iyi tepki fonksiyonlarının 1. adımda varsayıldığı şekilde olduklarını gösterelim 1) ve1) e akınca, unun doğru olduğunu göreiliriz. Burada önemli olan 1) deki / çarpanının ve 1 a s keseninin sait oldukları ve v den ağımsız olduklarını kontrol etmektir. Benzer şekilde 1) teki çarpan ve kesenlerini de kontrol etmek gerekir.. Adım Saitleri hesaplayalım Bunu yapmak için, en iyi tepkilerdeki çarpanları ve kesenleri 1. adımdaki saitlerle elirliyoruz. İlk olarak, 1) ve 1) sayesinde, alttaki İntegrali şeklinde yazailiriz. = = = 1 ps a ) [ ps + a ] v s + c 1 c ps a c 1 ps a c 1 ps a ) [ ps + a c 1 ps a c v dv ) [ ps + a ] v s + c ) ) ps a 1 c v s + c + ps a ] ) [ ps + a v s + c ] 11
denkliği uluyoruz Yani, ve a + c v = 1 a s + v. a = 1 a s 1) c =. 15) Benzer şekilde, 1) ve p s v s ) = p s den dolayı alttaki denkliği uluyoruz a s + v s = a + c + v s. Yani, ve a s = a + c 16) =. 17) 1),15),16) ve 17) yi çözünce, a = 1/1 and a s = 1/ elde ederiz. Dolayısıyla, lineer Bayesyen Nash dengesi p v ) = v + 1 1 p s v s ) = v s + 1 18) 19) şeklindedir. Bu dengede, alışveriş olacaktır ancak ve ancak p v ) p s v s ) ancak ve ancak ancak ve ancak v v s v + 1 1 v s + 1 1 1 ) 1 = 1 6 = 1. 1