c

Transkript

1 Bağıntı Sayıları Çalışma Kağıdı c selianwordpress@gmail.com Özellikle Bilgisayar Olimpiyatları sınavlarına hazırlanan öğrenci arkadaşların mutlaka ilmesi gereken konulardan irisi de ağıntı çeşitleri ve ağıntı sayılarıdır. Bu çalışma kağıdında genel manası ile ir öğrencinin ilmesi gereken tüm ağıntılar verilmiştir. Çalışma kağıdının son kısmına eklenen Bilgisayar Olimpiyatı soruları ile konuyu daha iyi kavranmanıza yardımcı olunmuştur. Umarız faydalı ir çalışma olmuştur. Kolay gelsin. SBELIAN Σ 1

2 A kümesi oş kümeden farklı ir küme olmak üzere A A kartezyen çarpım kümesinin tüm alt kümelerine irer ağıntı denir. Varsayalım kümemiz A = {a,, c} olsun. Önce kartezyen çarpımı ve ağıntıyı talo ile gösterelim. Talo çizmekteki amacımız hem kartezyen çarpımı hemde seçeileceğimiz herhangi ir ağıntıyı göstereileceğiz. a Yukarıdaki taloda verilen ağıntının ikilileri, eğer u ağıntıya β dersek, β = {(a, ), (c, a), (c, c)} Yıldızları talodaki karelere rastgele koyarak, yada hiçir kareye koymayarak, ağıntılar elde edeiliriz. Bu noktadan sonra karşılaşaileceğimiz soruladan iriside, u şekilde kaç ağıntının yazılaileceği Yukarıda çizdiğimiz talo üzerinden düşünürek aşlayalım. Eğer talodaki her ir hücreye, irer yıldız koyarsak toplamda 3 3 = 9 yıldız Bağıntılarımız kartezyen çarpımlarımızın irer alt kümesi olduğuna göre, 9 tane ağıntımız Bu durumu genelleştirelim. Eğer s(a) = n olarak alırsak, ağıntı sayımız n n = n Şimdi, ağıntı çeşitlerini ve sayılarını inceleyelim. Yansıyan Bağıntı. x A olmak üzere, x A için (x, x) ikilisi ağıntının ir elemanı ise ağıntımız yansıyan Eğer A = {a,, c} ise, a c yukarıdaki taloda da görüldüğü üzere, en küçük yansıyan ağıntımız β = {(a, a), (, ), (c, c)} Öyleyse, u ağıntıya ekleyeceğimiz her ikili için ağıntı hala yansıyan ağıntı olarak kalacaktır. İşaretli olmayan 6 kutu için, kartezyen çarpımın 6 tane alt kümesi olacağından 64 tane yansıyan ağıntı yazılailir. Eğer A kümesinin n tane elemanı olduğunu varsayarsak, A A kümesinin n tane elemanı Oluşturulacak talonun köşegeni üzerindeki n elemanı çıkarırsak kalan n n tane elemanın alt kümelerini almamız yeterlidir. Yani yansıyan ağıntı sayımız n n = n (n 1) Bu elge selian.wordpress.com a aittir. c

3 İngilizce kaynaklarda Irreflexive Relation olarak geçen, ağıntıya iz Türkçe olarak Yansımaz Bağıntı diyelim. Buna göre, eğer yazılan ağıntının x A için (x, x) / β durumu varsa, ağıntımız ir yansımaz ağıntı Daha asit ir anlatımla çizilecek talonun köşegeni üzerinde ağıntılar yazılırken hiç yıldız ulunmayacak. Demek ki, yansıyan ağıntı sayısı ile yansımaz ağıntı sayısı aynıdır. Ayrıca Yansımaz Bağıntı ile Yansıyan Olmayan Bağıntı irirlerinden farklıdır. Simetrik Bağıntı. Bir ağıntının simetrik olması için, (x, y) elemanı ağıntının yse, (y, x) ağıntısınında ağıntının olması şartı aranır. Eğer talo üzerinden düşünürsek, talonun kşegene göre simetrik olması gerekir. a Örneğin yukarıda verilen taloda verilen ağıntı simetriktir. Bağıntının elemanları {(a, ), (, a), (, c), (c, ), (a, a)} Şimdi durumu genelleştirelim. Eğer s(a) = n olarak alırsak, simetrik ağıntı yazacağımız için köşegen üstündeki ve üzerindeki noktaları seçip u noktaların oluşturduğu kümenin alt kümelerini almamız yeterlidir. Durumu genelleştirelim. Tüm ikililerin sayısı n, köşegen üzerindeki noktaların sayısı n ise, n n + n = n (n + 1) istediğimiz ikililerin sayısını alt kümelerin sayısı, yani Simetrik Bağıntı Sayısı n (n+1) Anti-Simetrik Bağıntı. x ve y iririnden farklı elemanlar olmak üzere (x, y) ve (y, x) aynı anda ağıntının elemanı değilse ağıntı antisimetrik ir ağıntı olur. Örneğin aşağıda talosu verilen ağıntı ir antisimetrik ağıntıdır. a Bu elge selian.wordpress.com a aittir. 3 c

4 Bağıntının elemanları, (a, a), (a, ), (c, a), (c, c) Bağıntıda (a, ) varken (, a) ve (c, a) varken (a, c) yoktur. Ama köşegenler üzerindeki elemanlar istenildiği gii seçileilir. Peki, kaç tane simetrik ağıntı vardır? Bu sayıyı ulmak için köşegen üstünde olma ve olmama durumlarını ayrı ayrı değerlendirelim. Eğer s(a) = n olarak alırsak, köşegen üzerindeki, elemanlar için n tane durum vardır. Köşegen üzerinde olmayan elemanlar için ise üç durum vardır. Bunlar, (x,y) (y,x) şeklinde (x, y) ve (y, x) ikilisinin ikiliside zaten ağıntının olamaz. Kümemizde n tane eleman olduğunu varsayarsak, ( ) n, n (n 1) C = farklı durum vardır. Her ikili için üç farklı durum olduğuna göre, 3 n (n 1)/ farklı durum oluşacaktır. Buna göre toplam antisimetrik ağıntı sayısı n 3 n (n 1)/ Ayrıca antisimetrik ağıntı ile simetrik olmayan ağıntılar iririnden farklı durumlardır. Örneğin, {(a, ), (a, c), (c, a), (c, c)} ağıntısı simetrik değildir. Çünkü, (a, ) ağıntının elemanı iken (, a) ağıntının elemanı değildir. Benzer içimde ağıntı antisimetrik değildir çünkü hem (a, c) hemde (c, a) ağıntının irer elemanıdır. Anti-Simetrik Bağıntı.Eğer u durumu antisimetrik ağıntı ile karşılaştırırsak, aradaki tek fark, u durumda her iki köşegen üzerindeki tüm karelerde irer yıldız Ancak hala, n (n 1) eleman için 3 farklı durum vardır. Bu seepten de, yansıyan ve antisimetrik ağıntı sayısı 3 n (n 1)/ Bu elge selian.wordpress.com a aittir. 4 c

5 Çalışma Soruları Aşağıdaki çalışma soruları Tüitak XVI. Bilgisayar Olimpiyatları sınavında sorulmuştur. Soruların çözümlerini önce kendiniz yapmaya çalışınız. Daha sonra çözümleri okuyunuz. A = {0, 1, {1}, {1, {1}}} küme olarak tanımlanıyor. 1. A kümesi üzerinde kaç farklı ikili ağıntı tanımlanailir?. A kümesi üzerinde kaç farklı simetrik olan ikili ağıntı tanımlanailir? 3. A kümesi üzerinde kaç farklı simetrik ve yansıma özeliğine sahip ikili ağıntı tanımlanailir? Çözümler Soruların çözümlerini konuyu okuyarak kolaylıkla yapailirsiniz. Ancak hala çözümlerde yada enzer soruların çözümlerinde sorunlar yaşıyorsanız, selianwordpress@gmail.com adresine mail atmakta tereddüt etmeyiniz. Bu elge selian.wordpress.com a aittir. 5 c