KONU 3. STATİK DENGE 3.1 Giriş Bir cisme etki eden dış kuvvet ve momentlerin toplamı 0 ise cisim statik dengededir denir. Kuvvet ve moment toplamlarının 0 olması sırasıyla; ötelenme ve dönme denge şartlarıdır. Bu vektörlerin skaler açılımı: 2-Boyutlu bir problemde, örneğin x-y düzleminde, sadece (1), (2) ve (6) nolu denklemler kullanılır. Moment denklemleri kullanılırken; cismin üzerindeki veya dışındaki herhangi bir noktaya (veya noktadan geçen eksene) göre moment alınabilir. 3.2 Serbest Cisim Diyagramı (SCD) Serbest Cisim Diyagramı çizimi tüm denge ve kinetik problemlerinin çözümünde temel bir noktadır. SCD oluşturmak için özetle; Diyagramı çizilecek olan eleman (cisim) veya elemanlar izole edilir ve ana hatları ile çizilir. Tüm dış kuvvetler ve momentler bu çizim üzerinde gösterilir. Burada; cismi izole ederken kaldırılan mesnetlere karşılık yerleştirilen tepki kuvvet ve momentleri de dış kuvvetler olarak adlandırılır. Denge denklemlerini uygularken kullanılacak noktalar ve boyutlar çizimde gösterilir. Bir koordinat eksen takımı tanımlanır.
3.3 İki ve Üç Boyutlu Problemlerde Mesnet (Bağlantı) Tepkileri 3.3.1 İki-Boyutlu Problemler
İki kuvvet elemanı: Üç kuvvet elemanı:
Problem Çözümünde Takip Edilecek Basamaklar: İlgili eleman veya elemanların serbest cisim diyagramları (SCD) çizilir Statik denge denklemleri uygulanarak bilinmeyenler bulunur n=bilinmeyen sayısı, m=denge denklemi sayısı olmak üzere; n m ise; bilinmeyenler bulunabilir. n >m ise; ilave denklemler yazılmalıdır ( F = µ N gibi). Eğer bilinmeyen sayısı kadar denklem yazılamıyorsa statik olarak belitsiz (hiperstatik) sistem denir ve çözüm yapılamaz. (Mukavemet yöntemleri ile çözüm yapılabilir) Örnek Problem 3.1: Şekildeki gibi 10 kn luk yük taşıyan, 6 kn ağırlığındaki uniform kirişe bağlı kablodaki ve A pimindeki kuvvetleri bulunuz.
3.3.2 Üç-Boyutlu Problemler
Örnek Problem 3.2: Şekildeki şaft A noktasında küresel bir mafsalla bağlanmıştır. Şaftın B ucundaki küresel kısım düşey duvarlara dayanmaktadır. Şaft 200 kg kütleye sahip olduğuna göre; meydana gelen tüm tepki kuvvetlerini bulunuz.
Örnek Problem 3.3: Şekildeki yükleme durumu için OAB dirseğini taşıyan kablo kuvvetlerini ve O noktasındaki küresel mafsalın tepki kuvvetlerini bulunuz.
Denge ile ilgili problemler: Örnek Problem 3.4: 250 kg lık motor bloğunun taşınması sırasında ve AB halatlarında oluşan kuvvetleri bulunuz.
Örnek Problem 3.5: Şekildeki sistemde A 20 N ağırlığında ise herbir halattaki kuvvetleri ve B yükünün ağırlığını bulunuz. Bu problemde 4 bilinmeyen mevcuttur. C ve E noktalarında 2 şer denge denklemi yazılabileceğinden bu problemi çözebiliriz. İlk önce E noktasından başlayalım. Burada bilinmeyen sayısı 2.
Örnek Problem 3.6: Yandaki sistemde - kablosu ve CA kablosundaki kuvvetleri -AB yayının uzamasını bulunuz. Serbes Cisim Diyagramı:
Örnek Problem 3.7: Yandaki sistem 500 N luk yükü kaldırdığında her bir koldaki kuvvetler ne olur? Özel noktaların koordinatları: ( ) ( ) ( ) ( ) A 0,3,2.5 B 0,0,0 C 0.75, 2,0 D 1.25, 2,0 AB ( ) r ( 3j 2.5k) r = 3j 2.5k m u AB AB = = = r 2 2 AB ( 3) + ( 2.5) ( 3j 2.5k) ( 3j 2.5k) AB 15.25 = 3.905 u = 0.7682 j 0.6402k AC ( ) r ( 0.75i 5j 2.5k) r = 0.75i 5j 2.5k m u AC AC = = = r 2 2 2 AC ( 0.75) + ( 5) + ( 2.5) ( 0.75i 5j 2.5k) ( 0.75i 5j 2.5k) AC 31.8125 5.640 u = 0.1330i 0.8865j 0.4432k = ( ) r ( 1.25i 5j 2.5k) r = 1.25i 5j 2.5k m u = = = r 2 2 2 ( 1.25) + ( 5) + ( 2.5) ( 1.25i 5j 2.5k) ( 1.25i 5j 2.5k) 32.8125 5.728 u = 0.2182i 0.8729j 0.4364k AB AB AB AB = ( ) F = F u = F 0.7682 j 0.6402k F = 0.7682F j 0.6402F k AB AB AB AC AC AC AC ( ) F = F u = F 0.1330i 0.8865j 0.4432k F = 0.1330 F i 0.8865F j 0.4432F k AC AC AC AC DA ( ) F = F u = F 0.2182i 0.8729 j 0.4364k F = 0.2182 F i 0.8729F j 0.4364F ( ) m ( 2 ) ( ) W = 500kg 9.81 k = 4905k N W = 4905k N s k
F= 0 F + F + F + W = 0 AB AC AC 0.7682F j 0.6402F k + 0.1330 F i 0.8865F j 0.4432F k AB AB AC AC AC 0.2182 F i 0.8729F j 0.4364F k 4905k = 0 AC AC AC F = 0 x 0.1330 F 0.2182 F = 0 F = 0 y 0.7682F 0.8865F 0.8729F = 0 F = 0 z AC AB AC 0.6402F 0.4432F 0.4364F 4905 = 0 AB AC 0.1330 F 0.2182 F = 0 F AC AC = 1.6406F 0.7682F 0.8865F 0.8729F = 0 ( ) 0.7682F 0.8865 1.6406F 0.8729F = 0 F AB = 3.0295F AB AC AB DA 0.6402F 0.4432F 0.4364F 4905 = 0 F F AC AB = 1.6406F AB AC = 3.0295F 0.6402F 0.4432F 0.4364F 4905 = 0 AB AC ( ) ( ) 0.6402 3.0295F 0.4432 1.6406F 0.4364F = 4905N F = 6321.1N = 6.32kN F F F AC AB = 6.32kN = 1.6406F = 10.370kN = 10.4kN = 3.0295F = 19.149kN = 19.1kN F negatif çıktı. Demekki Serbest Cisim Diyagramında alınan yön ters! AB
Örnek Problem 3.8: Mesnet tepkilerini bulunuz.
Örnek Problem 3.9: Makarada A noktasındaki tepkileri ve halattaki kuvveti bulunuz.
Örnek Problem 3.10: A bağlantı noktasındaki tepkileri bulunuz.
Örnek Problem 3.11: A noktasındaki tepkileri bulunuz.
Örnek Problem 3.12: A noktasındaki bağlantıya ve pistona gelen kuvvetleri bulunuz.
Örnek Problem 3.13: A noktasındaki ve silindirlerin çubuğa temas noktalarındaki kuvvetlerini bulunuz. ÇÖZÜM
Örnek Problem 3.14: Yandaki sistem 700 kg lık yükü kaldırmaktadır. A noktasındaki mesnet tepkisini d ye bağlı olarak bulunuz. Bu problemde BC çift kuvvet elemanıdır.
Örnek Problem 3.15: A mesnedindeki tepkileri bulunuz. DB elemanı çift kuvvet elemanıdır. 1 0.2 + 0.5 θ = tan = 60.3 0.4 A A A F x y = 0 o o F cos 60.3 F cos 45 + 400 = 0 F = 0 o o F sin 60.3 Fsin 45 = 0 F = 1.07 kn F = 1.32 kn o
Örnek Problem 3.16: -A ve D noktalarındaki tepkileri, -CD halatındaki kuvveti bulunuz. r 1i 1j = = = DA uda 0.707 i 0.707 j rda 2 r 0.2 i 0.3 j+ 0.6 k = = = + BC ubc 0.2857 i 0.4286 j 0.8571 k rbc 0.7 0.707 0.707 0 0.707 0.707 0 MDA = 0 0.5 0 + 0 1.0 0 0 0 981 0.2857 T 0.4286 T 0.8571 T MDA = 346.8 + 0.606 TB = 0 0.606 TB = 346.8 346.8 TB = 0.606 = 572 N BC ( ) ( ) ( ) TBC = T 0.2857 i 0.4286 j+ 0.8571 k TBC = 572 0.2857 i 0.4286 j+ 0.8571 k TBC = 163.4 i 245.1 j+ 490.2 k FD = Dxi+ Dyj+ Dzk FA = Ayj+ Azk W = 981 k B B B
r = 1i 1j DA r DE DB = 1j r = 0.5j F = 163.4 + D = 0 x F = 245.1+ D + A = 0 y y y z z z x F = 490.2 + D + A 981 = 0 ( ) ( ) ( ) MD = 0 = r DA Ayj+ Azk + rde 163.4 i 245.1 j+ 490.2 k + rdb 981 k M D = 0 = ( 1 i 1 j) ( Ayj+ Azk) + ( 1 j) ( 163.4 i 245.1 j+ 490.2 k) + ( 0.5 j) ( 981 k) A 490 + 490 = 0 z y A = 0 A + 163.4 = 0 z A = 0 A = 0 N z y z BC y x z y z A + 163.4 = 0 A = 163.4 N 163.4 + D = 0 D = 163.4 N 245.1+ D + A = 0 D = 245.1 163.4 = 81.7 N 490.2 + D + A 981 = 0 D = 490.2 + 981 = 490.2 N z y x ( ) T = 163.4 i 245.1 j+ 490.2 k y