DİNMİK DERS NOTLRI Kaynaklar: Engineering Mechanics: Dynamics,, SI Version, 6th Edition, J. L. Meriam,, L. G. Kraige Vector Mechanics for Engineers: : Dynamics, Sith Edition, Beer and Johnston Doç.Dr. Cesim TŞ
1. MDDESEL NOKTNIN (PRÇCIK) KİNEMTİĞİ (KINEMTICS OF PRTICLES) 1.1 Doğrusal Hareket (rectilinear motion) O P - Parçacığın hızı; v = d dt Bir parçacığın düz bir çizgi boyunca hareketi doğrusal hareket olarak adlandırılır. ivme a hızın (v) zamana (t) göre türevi ile bulunur; a = dv dt + veya a = d 2 dt 2 İvme (a) zamandan bağımsız olarak da ifade edilebilir: a = v dv d
Hız (v) ve ivme (a) vektörel büyüklüklerdir. Burada; doğrultusu belli olan bir çizgi boyunca hareket söz konusudur. İşlemler de hız için bulunan pozitif ve negatif değerler hareket yönünü temsil ederken, pozitif ivme değerleri hızlanmaya negatif değerler ise parçacığın yavaşlamasına işaret eder. Düzgün Doğrusal Hareket: = o + vt v= sabit a= 0 Düzgün Değişen Doğrusal Hareket: v = v o + at 1 = o + v o t + at 2 v 2 2 = v o + 2a( - o ) 2 (a= sabit)
Bağıl Hareket: B/ B nin ya göre bağıl konumu (aslında konum vektörü) olmak üzere; O B B B/ B = + B/ ; v B = v + v B/ ; a B = a + a B/
Problem çözümlerinde grafik yöntemler de kullanılabilir.grafik çözümler genellikle - t, v - t, ve a - t eğrileri kullanılarak yapılır. a Herhangi bir t anında, v v 2 v 1 2 1 t 1 t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 t t 2 v 2 - v 1 = a dt t1 t t t 2 2-1 = v dt t1 v = ( t) eğrisinin eğimi Ortalama hız ; Δ Δt a = (v - t) eğrisinin eğimi Ortalama ivme ; Δv Herhangi bir zaman aralığında t 1 - t 2, v 2 - v 1 = (a t) eğrisinin altında kalan alan 2-1 = (v - t ) eğrisinin altında kalan alan v = a = Δt
y O 1.2 Eğrisel Hareket (curvilinear motion) r P o s P v r: göz önüne alınan parçacığın herhangi bir andaki konum vektörü Parçacığın hızı; v = dr dt Hız vektörü daima parçacığın hareket yörüngesine teğettir ve şiddeti (v), parçacığın aldığı yolun (s)zamana göre türevi ile bulunur. v = ds dt y O r P o a s P Fakat, genellikle, ivme hareket yörüngesine teğet değildir. Hız vektörlerinin yörüngesine teğettir. a = dv dt
1.3 Hız ve İvmenin Dik Bileşenleri y v y y a y v z P v P a z r=i+yj+zk k j v = dr a = dv dt dt... v = v y = y v z = z...... a = a y = y a z = z r i yj i zk z k a z j r i
Örnek; Bir mermin 2-Boyutlu hareketi
1.4 Öteleme Yapan Bir Eksen Takımına Göre Bağıl Hareket -y-z; sabit eksen takımı -y -z ; hareketli eksen takımı v B/ : B nin ya göre bağıl hızı; a B/ : B nin ya göre bağıl ivmesi r B = r + r B/ v B = v + v B/ a B = a + a B/ 1.5 Normal ve Teğetsel Koordinatlar (n-t) Bazen, hız ve ivme bileşenlerini kartezyen koordinatlardan (, y, ve z ) daha farklı bir sistemde tanımlamak daha kolaydır. Örneğin eğrisel bir yörüngede hareket eden bir P parçacığını yörüngeye teğet ve yörüngeye normal bileşenler şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda; v 2 dv v = ve t ; a = e + t e dt ρ n y O C a n = e ρ n P v 2 dv a t = dt e t
1.6 Kutupsal (Polar) Koordinatlar (r ve θ) Düzlemdeki eğrisel bir yörüngede hareket eden bir parçacığın konumunu r ve θ ile ifade etmek mümkün ise hız ve ivmeyi de radyal ve ona dik doğrultudaki bileşenlerine ayırmak mümkün olmaktadır. e r ve e θ birim vektörlerdir. Hız ve ivme bileşenleri;.. v = re r + rθe θ....... a = (r - rθ 2 )e r + (rθ + 2rθ)e θ O e θ r = r e r θ P e r Burada noktalar zamana göre türevi temsil etmektedir. Bu durumda skaler bileşenler şu şekilde ifade edilebilir:.. v r = r v θ = rθ....... a r = r - rθ 2 a θ = rθ + 2rθ
2. MDDESEL NOKTNIN (PRÇCIK) KİNETİĞİ: NEWTON UN İKİNCİ KNUNU (KINETICS OF PRTICLES:NEWTON S SECOND LW) 2.1 Giriş m:kütle, Newton un ikinci kanunu Σ F: bileşke kuvvet vektörü a: ivme vektörü Σ F = ma Bir parçacığın lineer momentumu, L = mv ile ifade edildiğinde Newton un ikinci kanunu aşağıdaki gibi yazılabilir. Σ F = L. Bu bağıntı; bir parçacığa etkiyen bileşke kuvvetin, parçacığın lineer momentumu nun değişim hızına eşit olduğu anlamına gelir.
z y P a z a y a Bir parçacığın hareketiyle ilgili bir problemi çözerken; Σ F = ma yerine skaler bileşenleri içeren bağıntılar da kullanılabilir. Kartezyen koordinatlarda; Σ F = ma Σ F y = ma y Σ F z = ma z y O a n P a t Teğetsel ve Normal koordinatlarda, Σ F t = ma t = m dv dt Σ F n = ma n = m v 2 ρ O a θ r θ P a r Kutupsal koordinatlarda,... Σ F r = ma r = m(r - rθ 2 ).... Σ F θ = ma θ = m(rθ + 2rθ)
H O z 2.2 çısal Momentum y O r P φ mv Bir parçacığın O noktasına göre açısal momentumu (angular momentum) (H O ); parçacığın lineer momentumu nun (mv) O noktasına göre momenti olarak tanımlanabilir. H O = r mv Burada H O ; r and mv vektörlerini içeren düzleme dik bir vektördür. Şiddeti; H O = rmv sin φ H O = i j k y z mv mv y mv z
z H O O y r mv φ P H O = i j k y z mv mv y mv z y düzleminde hareket eden bir parçacık için; z = v z = 0. çısal momentum y düzlemine her zaman diktir. Bu durumda açısal momentum sadece şiddeti ile de tanımlanabilir: H O = H z = m(v y - yv ) çısal momentum (H O ) daki değişim hızını Newton un ikinci kanununu uygularsak;. Σ M O = H O. H O hesaplayıp Bu bağıntıya göre; bir parçacığa etki eden kuvvetlerin O noktası etrafındaki bileşke momentlerinin, parçacığın O etrafındaki açısal momentumundaki değişim oranına/hızına eşittir.
3. MDDESEL NOKTNIN (PRÇCIK) KİNETİĞİ: ENERJİ VE MOMENTUM METOTLRI (KINETICS OF PRTICLES: ENERGY ND MOMENTUM METHODS ) Kinetik analizde ivme kullanılmadan analiz yapma imkanı veren iki yöntem vardır: iş-enerji ve impuls-momentum. Her iki yönteme ait bağıntılar Newton un 2. kanunundan yararlanılarak elde edilebilir. Bir kuvvetin işi: s 1 1 s 2 s ds dr α F 2 Parçacığa etki eden F kuvvetinin küçük dr deplasmanına karşılık gelen işi; du = F dr = Fdscos α Böylece, 1 den 2 ye yapılan iş; 1 2 U 1 2 = F dr 1 2 = (F d + F y dy + F z dz)
Doğrusal harekette sabit bir kuvvetin işi: F α 2 1 Δ U 1 2 = (F cos a) Δ ğırlığın işi: 1 y 1 W y dy 2 y 2 ğırlığı W olan bir cismin işi (y 1 den y 2 ye çıkarıldığında); F = F z = 0 and F y = - W. y2 U 1 2 = - Wdy = Wy 1 -Wy 2 y 1
B Yay kuvvetinin işi: spring undeformed O Bir yayın uyguladığı F kuvvetinin yaptığı iş ( 1 den 2 ye) du = -Fd = -k d B 1 1 F U 1 2 = - 1 2 k d 1 2 2 2 1 2 = k 1 - k 2 Yayı şekil değiştirmemiş konumuna dönmeye zorlayan yay kuvvetlerinin işi pozitif (+) tir. B 2 2.
iş-enerji prensibi Bir parçacığın kinetik enerjisi; T = mv 2 Newton un 2. kanunu kullanılarak iş-enerji prensibi 1 2 çıkarılabilir: T 1 + U 1 2 = T 2 Eğer bir F kuvvetinin yaptığı iş parçacığın takip ettiği yoldan bağımsız ise; F kuvvetine konservatif kuvvet denir. Yay kuvveti ve ağırlık konservatif kuvvetlerdir. Bu durumda enerjinin korunumundan söz edilebilir. T 1 + V 1 = T 2 + V 2 Buna göre; sadece konservatif kuvvetler etkisinde hareket eden bir parçacığın, potansiyel enerjisinin ve kinetik enerjisinin toplamı hareket boyunca sabit kalır.
İmpuls-momentum prensibi Bir parçacığın lineer momentumu; parçacık kütlesi ( m) ile hızının (v) çarpımına eşittir. Newton un ikinci kanunundan, F = ma, impuls-momentum t 2 bağıntısı şu şekilde çıkarılabilir: mv 1 + F dt = mv 2 t 1 mv 1 + Imp 1 2 = mv 2 Eğer parçacık birden fazla kuvvetin etkisinde ise; mv 1 + ΣImp 1 2 = mv 2 Burada yer alan vektörel büyüklükler bileşenlerine ayrılarak (ör; ve y ), impuls-momentum bağıntısı skaler bağıntılar şeklinde de ifade edilebilir.
Eğer çok büyük impulsif kuvvetler çok küçük bir zaman aralığında (Δt) etki ediyorsa; impulsif olmayan kuvvetlerin impulsları ihmal edilebilir: mv 1 + ΣFΔt = mv 2 Birden fazla parçacığın impulsif hareketinde; Σmv 1 + ΣFΔt = Σmv 2 Burada ikinci terim sadece impulsif dış kuvvetleri içermektedir. Eğer dış kuvvetlerin impulslarının toplamı 0 ise, parçacıkların toplam momentumları korunur; Σmv 1 = Σmv 2
Çarpışma: Doğru Merkezsel Çarpışma Çarpışma doğrultusu v B v B Çarpışma öncesi v B and B parçacıklarının doğru merkezsel çarpışma dan sonraki hızlarını bulmak için iki denklem kullanılabilir: Birinci denklem, iki cismin toplam momentumlarının korunumu; m v + m B v B = m v + m B v B..(I) İkinci denklem,çarpışma öncesi ve sonrası hız ilişkisini ifade eder (çarpışma katsayısını içerir) ; v B - v = e (v - v B )....(II) v B Çarpışma sonrası Çarpışan malzemelerin özelliklerine bağlı olarak, çarpışma katsayısı (e), 0 ile 1 arasında değerler alır. e = 0, tam plastik çarpışma. e = 1, tam elastik çarpışma.
Eğik Merkezsel Çarpışma t Line of Impact B v B n Eğik merkezsel çarpışmada, çarpışan cisimlerin hızları; çarpışma doğrultusundaki (n) ve temas yüzeyine teğet doğrultudaki (t) bileşenlerine ayrılır. Bu durumda bilinmeyenleri bulmak şu 4 bağıntıdan yararlanılır: t doğrultusunda; Before Impact (v ) t = (v ) t (v B ) t = (v B ) t v v B n n doğrultusunda; t m (v ) n + m B (v B ) n = m (v ) n + m B (v B ) n v B v B (v B ) n -(v ) n = e [(v ) n -(v B ) n ] v fter Impact Bu bağıntılar, çarpışma öncesi ve sonrası serbest hareket eden cisimler için çıkarılmış olmakla beraber, hareketleri sınırlanmış cisimlerin çarpışmasında da kullanılabilir.
4. RİJİT CİSİMLERİN KİNEMTİĞİ (KINEMTICS OF RIGID BODIES) Rijit cisimlerin düzlemdeki hareketi genel olarak 3 e ayrılır: Ötelenme, Sabit bir eksen etrafında dönme ve Genel düzlemsel hareket. Ötelenme Ötelenmede cisim üzerindeki tüm noktalar aynı hız ve aynı ivme ile hareket ederler. Sabit bir eksen etrafında dönme Genel düzlemsel hareket
Sabit bir eksen etrafında dönme: θ O B φ r z P Yani P nin hızının şiddeti; y v = Z ekseni etrafında dönen P noktasını göz önüne alırsak; θ nın gördüğü açı Δs ise; Δs = BP Δθ = r sin Φ Δθ lim Δt 0 θ & Δs Δt = = w = lim r sin Φ Δt 0 açısal hız Δθ Δt ds. v = = rθ sin φ dt ; v ds = = r & θ sin dt Φ
P noktasının hız, vektörel çarpımla; şeklinde ifade edilir ve; dr v = = ω r dt ω = ωk = θk. Burada ω sabit eksen etrafındaki açısal hıza karşılık gelmektedir. α = dω dt... = αk = ωk = θk = açısal ivme P nin sabit eksen etrafındaki ivmesi; a dv d( ω r) = = dt dt = α r + ω v = a = α r + ω (ω r) dω dr = r + ω dt dt α r + ω ( ω r)
y O r ω = ωk y O α = αk v = ωk r P a t = αk r P a n = -ω 2 r ω = ωk Düzlemde O noktasından geçen eksen etrafında dönme; v = ωk r İvme; a = α r + ω (ω r) r=r i +r y j yazılırsa a = α r ω 2 r= a t + a n a t = αk r a t = rα a n = -ω 2 r a n = rω 2
İki özel durum: Düzgün Dönme (α=0): α = dω dt =sbt ω = dθ dt θ= θ 0 + ωt Düzgün Değişen Dönme (α=sbt): ω= ω 0 + αt ω 2 = ω 2 0+ 2α (θ θ 0 ) θ= θ 0 + ω 0 t + 1 2 αt2
Genel düzlemsel hareket: hız analizi v vb v v y (fied) ωk r B/ B B B v B/ Düzlem hareket = ya göre öteleme + ya göre dönme v B = v + v B/ = v + ωk r B/ v B/ = ωk r B/ ; v B/ = (r B/ )ω = rω a B = a + α r + ω (ω r) v v B/ v B
ni Dönme Merkezi (DM): C B v v B Bir plakanın düzlemsel hareketinde, hızla ilgili çözüm yaklaşımlarından birisi de ani dönme merkezi (DM) ni kullanmaktır. ncak C noktasının ivmesi her zaman 0 olmayabilir. Bu nedenle İvme analizinde DM yaklaşımı kullanılmaz. C v B v
Genel düzlemsel hareket: ivme analizi a ab a ωk y αk B B B Düzlem hareket = ya göre öteleme + ya göre dönme (a B/ ) n a (a B/ ) n a B/ (a B/ ) t a B = a + a B/ a B = a + α r + ω (ω r) a B a a B/ (a B/ ) t a B = a + α r ω 2 r Vektör diyagramı
Dönen bir eksene göre bağıl hareket Y y r ω α B P Bir P parçacığının, sabit bir eksen etrafında ω açısal hızı ile dönen -y eksen takımına göre hareketi (düzlemde) incelenirse; P nin mutlak hızı: v B = v + v B/ v P = v B + v P/B = v + v B/ + v P/B v P = v + ω r B/ + v bağ P nin mutlak ivmesi: X a B = a + a B/ =a + α r B/ + ω (ω r B/ ) a P = a B + a P/B + a cor = a + α r B/ + ω (ω r B/ )+2(ω v bağ )+ a cor Not: Hız ve ivme için yazılan bağıntılar 3-boyutlu problemler için de kullanılabilir. Bu durumda, bağıntılardaki vektörel büyüklükleri 3-boyutlu olarak yazmak gerekir.
5. RİJİT CİSİMLERİN KİNETİĞİ (RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL HREKETİ) F 1 F 2 (PLNE MOTION OF RIGID BODIES:FORCES ND CCELERTIONS) Kuvvet ve İvme G F 4 F 3 G m: cismin kütlesi a: kütle merkezinin (G ) ivmesi... H G ma H G : cismin G noktasına göre açısal momentumun türevi. I: rijit plakanın/cismin G noktasından geçen eksene göre kütle atalet momenti. ω: açısal hız Rijit cisimlerin kinetiğinde kullanılan iki temel bağıntı vardır: ΣF = ma. ΣM G = H G H G = Iω.. H G = Iω = Iα
F 1 F 2 G F 4 F 3 G Iα ma Referans düzlemine göre simetrik olan rijit bir cismin hareketini ifade eden bağıntılar skaler olarak da yazılabilir: ΣF = ma ΣF y = ma y ΣM G = Iα
Enerji ve Momentum Metotları İş-enerji prensibi: T 1 + U 1 2 = T 2 ω s1 s 2 U 1 2 = (F cos α) ds G v θ açısı ile dönen rijit bir cisme etkiyen bir kuvvet çiftinin veya momentin işi: Düzlem harekette bir T 1 ve T 2 : cismin 1 ve 2 konumlarındaki kinetik enerjisi U 1 2 : cisme etki eden dış kuvvetlerin işi (Bir kuvvetin işi) θ 2 U 1 2 = M ds θ 1 cismin kinetik enerjisi: T = mv 2 + Iω 2 1 2 1 2 O ω Sabit bir eksen etrafında dönen rijit bir cismin kinetik enerjisi: T = I O ω 2 Göz önüne alınan rijit cisme sadece konservatif kuvvetler etki ediyorsa; enerjinin korunumu ilkesi: T 1 + V 1 = T 2 + V 2 1 2
Parçacığın hareketi için çıkarılan İmpuls ve momentum prensibi rijit cismin hareketi için de kullanılabilir: Sist. Momentumu 1 + Sist. Dış Imp 1 2 = Sist. Mom. 2 y mv 1 y Fdt y mv 2 G G Iω 1 Iω 2 O O O
n Çarpışmada da benzer bir yaklaşım kullanılabilir, ancak; çarpışan cisimlerin kütle merkezleri çarpışma doğrultusu üzerinde değilse buna eksantrik çarpma (eccentric impact ) denir. Bu durumda; çarpışma boyunca temasta olan ve B noktalarının hızları göz önüne alınır. B v Çarpışma öncesi n v B n B n v v B Çarpışma sonrası (v B ) n -(v ) n = e[(v ) n -(v B ) n ]