DİNAMİK GEOMETRİ ÖĞRETİMİ Ders Notları Prof.Dr.Recep ASLANER İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi Malatya 2016
İÇİNDEKİLER Bölüm 1. GEOMETRİK YER ve İNVERSİYON KAVRAMLARI v 1. Locus: Geometrik Yer Kavramı ve Öğretimi v 2. İnversiyon Eğrisi ve Koniklerin İnersyion Eğrileri xii 2.1. Çemberin İnversion Eğrileri xiii 2.2. Elipsin İnversion Eğrileri xv 2.3. Hiperbolün İnversion Eğrisi xvi 2.4. Parabolün İnversion Eğrileri xvii Index xix iii
BÖLÜM 1 GEOMETRİK YER ve İNVERSİYON KAVRAMLARI 1. Locus: Geometrik Yer Kavramı ve Öğretimi Tanım 1.1. Verilen bir veya birkaç şartı şartı sağlayan (bu şartlar cebirsel veya geometrik olabilir) noktaların, doğruların veya çemberlerin kümesine geometrik yer adı verilir. Bu tanıma göre, aşağıda verilen iki önerme doğrudur: 1. Geometrik yere ait olan her nokta verilen şartları sağlar, 2. Verilen şartları sağlayan her nokta geometrik yere aittir. Örnek 1.1. Sabit bir M noktasından r br uzaklıkta bulunan noktaların kümesi ( geometrik yeri) * doğru üzerinde iki nokta, r * düzlemde Ç(M,r) çember ve * uzayda K(M, r) küre yüzeyidir. Y M A X Çember için, B AM = BM = r br olduğundan A,B Ç(M,r) XM < r ve YM > r olduğundan X,Y / Ç(M,r) dir. Bu örnekten görüldüğü üzere geometrik yer göreceli bir kavramdır. Cabri programında yörüngesini bildiğimiz hareketli bir A noktası alınır ve bu noktaya bağımlı olup verilen şartları sağlayan bir nokta Q noktası (veya noktalar kümesi) bulunur. Burada A noktasının yörüngesi ya bir doğru(sınırlı ise doğru parçası) ya da bir çember (veya çember yayı) olarak alınabilir. A noktası kendi yörüngesinde hareket ederken bu noktaya bağımlı olup verilen şartları sağlayan v
R.Aslaner Q noktasının hareketi izlenir. Bunun için Cabri programında Q noktasına iz, A noktasına animasyon verilerek oluşum dinamik olarak görülür veya locus seçeneği açılarak önce Q noktası sonra A noktasına tıklanarak geometrik yer bulunmuş olur. Örnek 1.2. Düzlemde verilen bir noktadan eşit uzaklıktaki doğruların geometrik yeri nedir? Burada bir noktanın bir doğruya (veya doğrunun noktaya) uzaklığı ile en kısa uzaklık, yani verilen noktadan geçen ve verilen doğruya dik olan doğrunun asıl doğru ile kesişim noktası arasındaki uzaklık kast edilir. M d H A t İki nokta arasındaki uzaklık sabit tutulur, noktalardan birisi hareket ettirilirse bir çember elde edilir. Buna göre yukarıdaki örnekte verilen ifade Bir çembere teğet olan doğruların geometrik yeri nedir? ifadesine dönüşür. Cabri programında * M merkezli bir çember çizerek üzerinde bir A nokta alalım. * m = AM doğrusunu ve A noktasından bu doğruya dik olan doğruyu çizelim. Bu doğru çembere teğet olan t doğrusudur. * t dğrusuna iz ve A nokasına animasyon verelim. Ne görüyorsunuz? Örnek 1.3. Düzlemde verilen iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi (geometrik yeri) C bu noktaların oluşturduğu doğru parçasının orta dikmesi olan doğrudur. * Düzlemde verilen üç noktaya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri nedir? A D d B vi
R.Aslaner Örnek 1.4. Düzlemde verilen bir d doğrusundan sabit (h br) uzaklıktaki noktaların kümesi verilen doğrunun farklı taraflarında bulunan paralel iki doğrudur. h h d Örnek 1.5. Bir ÂBC açısının kenarlarına eşit uzaklıktaki noktaların kümesi bu açının açıortayı olan ışındır. Buna göre, Bir açının açıotayı üzerinde alınan her nokta kenarlara eşit uzaklıktadır. önermesi elde edilir. B C A d Örnek 1.6. Düzlemde verilen iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yeri nedir? Çözüm: Düzlemde verilen iki nokta [FF ] bir doğru parçası belirtir ve her doğru parçasının bir orta noktası vardır. B P [FF ] nın orta noktası O ve OF = c diyelim. a > c bir sabit sayı olmak üzere PF + PF = 2a F F eşitliğini sağlayan P noktalarının kümesi O mekezli, yarı eksen uzunlukları a ve b = a 2 c 2 olan bir elipsdir. Klasik anlamda elde edilen elipsin geometrik şeklinin yukarıdaki şekil olduğu, düzlemi temsilen bir tahta üzerine iki çivi çakıp, uzunluğunun yarısı bu çiviler arasındaki uzaklıktan biraz daha büyük olan bir ip parçası alınır, iki ucu birleştirilir ve uygun bir materyal (kalem veya tepeşir) ile ip gerdirilip hareket ettirilerek gösterilebilir. Ancak teknoloji çağını yaşadığımız bu günlerde tahtaya çivi çakarak ip bağlayarak ders anlatmak uygun düşmez. Bunun için bu işlemi bilgisayar ortamında oluşturulması gerekir. Peki nasıl? Bu işlemi farklı şekillerde oluşturabiliriz: vii A
R.Aslaner 1.Yol: Cabri programını açarak, * Sabit iki nokta F, F ve keyfi bir P noktası alınır. * PF + PF = s hesaplanır. * Ekranın bir köşesinde AB = s br olacak şekilde bir [AB] doğru parçası çizerek üzerinde bir nokta P noktası alınır. * P A = a ve P B = b olmak üzere a ve b sayıları P noktasına bağımlı olarak değişir ancak a+b = s sabittir. *PergelseçeneyinikullanarakÇ(F,a)veÇ(F,b)çemberleriniçizipkesişim noktaları bulunur. * Bu noktaların P noktasına göre geometrik yerine bakıldığında elde edilen eğrinin P noktasından geçen elips olduğu görülür. * Ayrıca çemberlerin kesişim noktalerına iz, P noktasına animasyon verilirse bu eğrinin oluşumu dinamik olarak görülmüş olur. 2.Yol: Cabri programını açarak, * Sabit iki nokta F, F ve keyfi bir P noktası alınır. * P merkezli F noktasından geçen çember çizilir. (F noktasının alınmasının nedeni P ye daha yakın olmasıdır.) * FP doğrusu ile çemberin kesişim noktaları bulunur. * Bu noktalardan F noktasına uzak olan noktaya K diyelim. Böylece keyfi olarak aldığımız P noktası FK doğrusu ile [F K] doğru parçasının orta dikme doğrusunun kesişim noktası olur. Yani keyfi olarak aldığımız P noktasının yeri sabit olarak verilen F ve F noktalarına bağımlı olarak bulunmuş olur. Ayrıca istenilen uzaklık PF + PF = FK olur. * F merkezli K noktasından geçen çemberi çizilerek üzerinde bir A noktası alalım. A noktası K ile aynı özelliğe sahiptir. O halde yukarıda tespit edilen kuralda K yerine A noktası alınır ve elde edilen noktaya Q dersek Q ile P noktalarıda aynı kümeye ait iki nokta olur. * AF doğrusu ile [AF ] doğru parçasının orta dikme doğrusunun kesişim nokatası Q bulunur. viii
R.Aslaner * Q noktanın A noktasına göre geometrik yerine bakılırsa elde edilen eğrinin P noktasından geçen elips olduğu görülür. * Ayrıca Q noktasına iz, A noktasına animasyon verilirse bu eğrinin oluşumu dinamik olarak görülür. Böylece öğrencilerde ezberlemek yerine anlamlı öğrenme gerçekleşmiş olur. Ödev 1: Düzlemde verilen üç noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yeri nedir? araştırınız. Örnek 1.7. M merkezli bir çember ve bu çemberin iç bölgesinde bir N noktası alınız. N noktasından geçen ve çembere teğet olan çemberlerin merkez noktalarının geometrik yeri nedir? Ayrıca verilen şartı sağlayan çemberelerin geometrik yeri de bakılabilir. Örnek 1.8. Düzlemde verilen iki noktaya uzaklıkları farkı sabit olan noktaların geometrik yeri verilen noktaları odak kabul eden bir hiperboldür. Elipse benzer düşünceyle Cabri programını açarak, * Sabit iki nokta F, F ve keyfi bir P noktası alınır. * P merkezli F noktasından geçen çember çizilir. * FP doğrusu ile çemberin kesişim noktaları bulunur. * Bu noktalardan F noktasına yakın olan noktaya K dersek, PF PF = FK olur. * F merkezli K noktasından geçen çemberi çizilerek üzerinde bir A noktası alalım. * AF doğrusu ile [AF ] doğru parçasının orta dikme doğrusunun kesişim nokatası Q bulunursa QF QF = AF = FK olur. * Q noktanın A noktasına göre geometrik yerine bakılırsa elde edilen eğrinin P noktasından geçen bir hiperbol olduğu görülür. * Ayrıca Q iz, A noktasına animasyon verilirse bu eğrinin oluşumu dinamik olarak görülür. ix
R.Aslaner Ödev 2: Düzlemde verilen iki noktaya uzaklıkları çarpımı sabit olan noktaların geometrik yeri nedir? araştırınız. Örnek 1.9. Düzlemde verilen bir [AB] doğru parçasını sabit bir α açısıyla gören noktaların geometrik yeri nedir? Çözüm: Bir [AB] ve bir 0 < απ açısı veilmiş olsun. Verilen [AB] doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde m( ˆ AMB) = 2α olacak şekilde alınan M noktasını merkez ve MA = r uzaklığını X yarıçap kabul eden çember yayının, AXB parçası üzerindeki her noktada oluşan çevre M açının ölçüsü, [AB] doğru parçasını gören yayın ölçüsüne yani α eşittir. A B Ayrıca bu yayın AB doğrusuna göre simetriği olan yay üzerindeki her noktanın A ve B noktaları ile oluşturduğu açının ölçüsü de α dır. O halde düzlemde verilen bir [AB] doğru parçasını sabit bir α açısıyla gören noktaların geometrik yeri, bu doğru parçasını ortak kiriş kabul eden bir çift çember yıyıdır. Eğer α = 90 o ise bir çember yayı elde edilir ve verilen doğru parçası bu çemberin bir çapı olur. Böylece Çapı gören çevre açı bir dik açıdır sonucu elde edilir. Eğer α bir geniş açı ise, Bu durumda, verilen [AB] nı α açısıyla gören noktaların geometrik yeri bu iki çemberde ÂB yaylarını oluşturan noktalar kümesidir olup A ve B noktaları bu geometrik yere ait değildir. Neden? Bu problemi Cabri programında çözmek için; * Ekranın üst köşesinde bir [KL] doğru parçası ve bu doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde başka bir doğru parçası alarak üzerinde bir X noktası seçip bir KXL yayı tanımlayalım. * Yay üzerinde bir A noktası alarak m( ˆ KAL) = α bir açı tanımlayalım. * Bir [MN] doğru parçası alalarak bu doğru parçasını α açısıyla gören noktaları bulalım. Bunun için, x
R.Aslaner * M noktasından [AK] ya N noktasından [AL] ye paralel çizilen doğruların kesişim noktası Q 1 için m( ˆ MQ 1 N) = α dır. * M noktasından [AL] ye N noktasından [AK] ya paralel çizilen doğruların kesişim noktası Q 2 için m( ˆ MQ 2 N) = α dır. * Elde edilen Q 1 ve Q 2 noktalarının A noktasına göre geometrik yerinin verilen [MN] doğru parçasını kiriş kabul eden iki çember yayının birleşim kümesi olduğu görülür. * X noktasına animasyon vererek α açısındaki değişime bağlı olarak elde edilen GY deki değişimi görebilirsiniz. PROBLEMLER 1. Düzlemde uzunluğu 6 cm olan bir doğru parçasının uç noktalarına uzaklıkları toplamı 10 cm olan noktaların geometrik yeri nedir? 2. Uzunluğu2 cmolan bir[ab]doğruparçasını30 o likaçı ilegören noktaların geometrik yerini bulunuz. 3. Düzlemde sabit bir nokta ve bu noktadan geçmeyen bir doğru verildiğinde, verilen nokta ve doğruya eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik nedir? xi
R.Aslaner 2. İnversiyon Eğrisi ve Koniklerin İnersyion Eğrileri Düzlemde bir noktanın bir çembere göre inversi tanımındaki P noktası özel olarak bir α eğrisi üzerinde bir nokta alınırsa P noktası bu eğri üzerinde hareket ederken bu noktanın inversi olan P noktasıda bir eğri gösterir. Bu eğriye P noktasının yörüngesi olan α eğrisinin inversyion eğrisi adı verilir. Teorem 2.1. Düzlemde bir doğrunun, merkezi bu doğru üzerinde olmayan bir çembere göre inversiyon eğrisi çemberin merkez noktasından geçen bir çemberdir. * Eğer doğru çemberi kesmiyor ise inversiyon eğrisi çemberin iç bölgesinde bir çember, * Doğru çembere teğet ise invesiyon eğrisi değme noktasında her ikisine teğet olan bir çember, * Doğru çemberi kesiyorsa inversiyon eğrisi kesişim noktalarından geçen bir çember gösterir. * Eğer doğru çemberin merkezinden geçen bir doğru (çap doğrusu) ise inversiyon eğrisi kendisidir. Bu teoremin doğru olduğunu germek için Cabri programında * A noktasından geçen bir doğru ve merkezi bu doğru üzerinde olmayan bir çember çiziniz, * doğru üzeinde bir P noktası alınız ve bu noktanın çembere göre inversi olan P noktasını bulunuz, * invers noktasının P noktasına göre GY ne bakınız, Ne görüyorsunu? doğru (veya çember) hareket ettirilerek yukarıda verilen önermelerin doğru olduğunu dinamik olarak görebilirsiniz. Doğru ve çemberi başlangıç nesneleri, GY sonuç nesnesi alarak bir doğrunun bir çembere göre inversiyon eğrisini veren bir makro tanımlanabilir. Bu çalımayı Uyg.1 Doğrunun İnversiyon Eğrisi olarak kayıt ediniz. Şimdi kıca konik olarak isimlendirdiğimiz çember, elips, hiperbol ve parabol eğrilerinin bu eğrilerle ilintili olan çamberlere göre inversyion eğrilerini araştıralım: xii
R.Aslaner 2.1. Çemberin İnversion Eğrileri. Teorem 2.2. İki çemberin birbirine göre inversiyonu yine bir çemberdir. Cabri programını açarak ekranda * M 1 noktasından geçen bir doğru çizerek üzerinde bir M 2 noktası alınız, * M 1 ve M 2 merkezli ayrık iki çember çiziniz. * M 1 merkezli çember üzerinde bir P noktası alınız. *PnoktasınınM 2 merkezli çemberegöreinversi olanp noktasını bulunuz. *P noktasınınpnoktasınagöregeometrikyerinebakınız. Negörüyorsunuz? M 2 merkezli çemberin iç bölgesinde yeni bir çember göreceksiniz. * M 1 noktasından tutarak çemberi M 2 noktasına doğru yaklaştırınız. İnversiyon çemberinin hareketini inceleyiniz. Çemberlerin dıştan teğet olması, kesişmesi, içden teğet olması, M 2 noktasından geçmesi ve merkez noktalarının çakışık olması durumlarını gözleyiniz. İnvesiyon çemberinin yukarıda bahsedilen durumlara karşılık gelen konumlarını yazınız. Mesela, M 1 merkezli çember M 2 noktasından geçiyorsa inversiyon eğrisi bir doğrudur. gibi Çemberleri başlangıç nesneleri ve inversiyon eğrisi olan çemberi GY ri sonuç nesnesi alarak bir çemberin başka bir çembere göre inversiyon eğrisini veren bir macro tanımlanabilir. Bu çalımayı Uyg.2 Çemberin İnversiyon Eğrisi olarak kayıt ediniz. Bir arbelos içerisine çizilen Pappus Zincirini oluşturan çemberler başka bir çembere göre inverisiyon eğrileridir. Diğer bir ifadeyle Pappus Zincirini çembere göre inversyon eğrilerini kullanarak oluşturabiliriz. Bunun için, * Bir ABC arbelosu oluşturunuz. * C merkezli bir çember çiziniz. *[AC] ve[bc] çaplı çemberlerin C merkezli çembere göre inversiyon eğrilerine bakınız. Bu çemberler C noktasından geçen iki çember olduğundan inversiyon eğrileri bir birine paralel ve [AC] ye dik olan iki doğrudur. xiii
R.Aslaner * Bu doğruların AC ile kesişim noktalarının orta noktası M olmak üzere M merkezli doğrulara teğet olan çemberi çiziniz. * Bu çemberin C merekezli çembere göre inversyon eğrisi[ab] çaplı çemberdir. * M noktasından AC ye dik olan doğrunyu çizip çember ile kesişim noktalarını alınız. * M noktasının doğrunun çemberi kestiği noktaya göre simetriği olan nokta M 1 olmak üzere M 1 merkezli doğrulara teğet olan çemberi çiziniz. * Bu çemberin C merekezli çembere göre inversyon eğrisi Pappsu çemberdir. * M 1 noktasının doğrunun çemberi kestiği noktaya göre simetriği olan nokta M 2 olmak üzere M 2 merkezli doğrulara teğet olan çemberi çiziniz. * Bu çemberin C merekezli çembere göre inversyon eğrisi zinci oluşturan ilk çemberdir. Böyle devam edilerek zincir oluşur. Aynı işlemi A ve B merkezli çembereler çizek farklı zincirler oluşturabilkirsiniz. xiv
R.Aslaner 2.2. Elipsin İnversion Eğrileri. Tanım 2.1. Düzlemde verilen iki noktaya uzaklıklarının toplamı sabit olan noktaların kümesine elips denir. Bunagöre F vef aynı düzlemdesabit iki nokta ve FF = 2colmak üzereelipsin cebirsel ifadesi (2.1) PF + PF = 2a a > c F P F eşitliğini sağlayan P noktalarının kümesi olup geometrik şekli yandaki gibidir. [FF ] doğru parçasının orta noktasını başlangıç noktası ve FF doğrusu asal eksen alınarak oluşturulan Oxy dik koordinat sistemi için O merkezli a yarıçaplı çembere elipsin dış teğet çemberi, F O F b yarıçaplı çembere elipsin iç teğet çemberi adı verilir. Elipsin bu çemberlere göre inversiyon eğrisini araştıralım. Bunun için, * daha önce oluşturduğumuz odak noktaları ve geçtiği bir noktası verilen elipsi çiz macrosunu açarak bir elips çizelim. * Odak noktalarından geçen ve odaklarının orta dikme doğrusunu çizelim. * Elipsin bu dorularla kesişim noktaları bularak teğet çemberleri çizelim. Elipsin iç teğet çemberine göre (veya dış teğet) inversiyon eğrini bulmak için, * Elips üzerinde bir P noktası alarak bu noktanın iç teğet çembere göre invesi olan P noktasını bulalım, * P noktasının P noktasına göre GY ne bakalım veya * P noktasına iz, p noktasına animasyon vererek bu eğrinin oluşumunu görebiliriz. Odak noktaları y ekseni üzerinde olan Cassini eğrileri olduğu görülür. Ayrıca elipsin Ç(O, c) çemberine göre inversiyon eğrisi nedir? araştırınız. Bu çalımayı Uyg.3 Elipsin inversiyon eğrileri olarak kayıt ediniz. xv
R.Aslaner 2.3. Hiperbolün İnversion Eğrisi. Tanım 2.2. Düzlemde verilen iki noktaya uzaklıklarının farkı sabit olan noktaların kümesine Hiperbol denir. Buna göre F ve F aynı düzlemde sabit iki nokta ve FF = 2c olmak üzere hiperbolün cebirsel ifadesi (2.2) PF PF = 2a a < c eşitliğini sağlayan P noktalarının kümesi olup geometrik şekli yandaki gibidir. O [FF ] doğru parçasının orta noktası başlangıç noktası ve FF doğrusu asal eksen alınarak oluşturulan Oxy dik koordinat sistemi için O merkezli a yarıçaplı çembere hiperbolün teğet çemberi adı verilir. Hiperbolün teğet çemberine göre inversiyon eğrisini araştıralım. Bunun için, * daha önce oluşturduğumuz odak noktaları ve geçtiği bir noktası verilen hiperbolü çiz macrosunu açarak bir hiperbol çizelim. * Odak noktalarından geçen ve odaklarının orta dikme doğrusunu çizelim. * Hiperbolün asal eksenle kesişim noktalarını bularak teğet çemberi çizelim. Hiperbolün bu çembere göre inversiyon eğrini bulmak için, * Hiperbol üzerinde bir P noktası alarak bu noktanın çembere göre invesi olan P noktasını bulalım, * P noktasının P noktasına göre GY ne bakalım veya * P noktasına iz, P noktasına animasyaon vererek bu eğrinin oluşumunu görebiliriz. Yine bir Cassini eğrisi olan ve Bernoulli Lemniskatı olarak bilinen sonsuz eğrisi olduğu görülür. Ayrıca hiperbolün * Ç(O,c), * Ç(F,c a) ve * Ç(T,c a) çemberlerine göre inversiyon eğrilerini araştırınız. Bu çalımayı Uyg.4 Hipebolün İnversiyon Eğrileri olarak kayıt ediniz. xvi
R.Aslaner 2.4. Parabolün İnversion Eğrileri. Tanım 2.3. Düzlemde verilen bir nokta ve bu noktadan geçmeyen bir doğruya eşit uzaklıkta olan noktaların kümesine parabol denir. Buna göre F odak noktası ve d doğrultman doğrusu olmak üzere parabolün cebirsel ifadesi d H P (2.3) PF = PH, H d eşitliğini sağlayan P noktalarının kümesi olup geometrik şekli yandaki gibidir. Parabolün aşağıda verilen çemberlere göre, T * Odak merkezli tepe noktasından geçen çembere göre, * Odak merkezli doğrultman doğrusuna teğet olan çembere göre, * Orijin merkezli odak noktasından geçen çembere göre * M( c, 0) merkezli tepe noktasından geçen çembere göre inversiyon eğrilerini araştırınız: Bu çalımayı Uyg 5 Parabolün İnversiyon Eğrileri olarak kayıt ediniz. xvii
Index İnversiyon Eğrisi, xii Bernoulli Lemniskatı, xvi Cassinni Eğrileri, xv Elips, vii, xv Geometrik Yer:(Locus), v Hiperbol, ix, xvi Parabol, xvii xix