12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş cebir izomorfizması vermekteydi, burada U n, T k = n k=0 k i=1g nın U(g) içerisindeki görüntüsüdür. Poincare-Birkhoff-Witt teoreminin bir sonucu olarak, eğer verilen Lie cebiri g onun bir Lie altcebiri a ve alt vektör uzayı p nin direk toplamı şeklinde yazılabiliyorsa, o zaman U(g) = U(a) C U(p) izomorfizması elde edilir. Benzer bir şekilde, eğer g = a 1 a 2 ise verilen a 1, a 2 g alt cebirleri için, ona karşılık gelen izomorfizma U(g) = U(a 1 ) C U(a 2 ) şeklindedir. Şimdi, k-modülü A bir birleşik cebir, ve M bir A-modülü olsun. A yerel sonlu olarak adlandırılır, eğer M sonlu boyutlu altmodüllerinin toplamı seklinde yazılabiliyorsa. Açıklama 1.1. 1) Yerel sonlu A-modüllerinin kategorisi toplama altında kapalıdır. Buna ek olarak, sonlu türetilmiş modüller için genişletme işlemi altında da kapalıdır. 2) Herhangi bir A-modülü V için, onun bütün sonlu boyutlu alt modüllerinin direk toplamı V nin tek maksimal yerel sonlu alt modülünün içerisinde kalır, ve bunu V mlf ile gösterecegiz. 1
Önsav 1.2. A = g bir Lie cebiri olsun. 1) İki yerel sonlu A-modülünün tensör çarpımı yine yerel sonludur. 2) a, g nin sonlu boyutlu bir Lie alt cebiri ve V bir g-modülü olsun. Ayrıca a sonlu boyutlu g nin bir alt cebiri ve V bir g-modülü olsun. O zaman V a-mlf bir g-modülüdür. Kanıt. Birinci önermenin ispatı oldukça açıktır. İkinci önerme için ise, tensör çarpım g V a-mlf V fonksiyonunu ele alalım. g sonlu boyutlu oldugundan, bu çarpımın görüntüsü V a-mlf içerisinde yatmaktadır. Sonuç olarak, V a-mlf bize bir g-modülü vermektedir. Diyelim ki elimizde herhangi bir Lie cebiri g ve g-modülü V olsun. Eğer φ(g) gl(v ) global sıfırlandırma kuvvetli üstel sıfır matrislerini içeriyorsa, V ye üstel sıfır denir. Diğer bir ifade ile, g üstel sıfır olarak adlandırılır eğer (ad g) m = 0 bazı m 1. Eğer V üstel sıfır altmodüllerinin direk toplami ise, V yerel üstel sıfır olarak adlandırılır. Üstel sıfır altcebirlerinin toplamı yine bir üstel sıfır olduğundan, V içerisinde maksimal yerel üstel sıfır altcebiri vardır ve tektir, ve V nil ile gösterilir. Ek olarak, biliyoruz ki eğer a, g nin bir altcebiri ise, V aynı zamanda bir a-modülüdür. V nin tek maksimal yerel üstel sıfır altcebirini de V a-nil ile göstereceğiz. Önsav 1.3. 1) İki yerel üstel sıfır modülün tensör çarpımı yine yerel üstel sıfırdır. 2) a, g nin bir Lie altcebiri olsun öyle ki ad a, g üzerinde yerel üstel sıfır. O halde verilen herhangi bir g-modülü V için, V a-nil bir g-altmodülüdür. Lineer cebirden biliyoruz ki, eğer bir vektör uzayı V nin özvektörlerini içeren bir bazı varsa, herhangi bir Lie cebiri o uzaya yarıbasit (ya da, diyagonalleştirilmiş) şekilde etki eder. Açıkça görülmektedir ki iki yarıbasit modülün toplamı yine bir yarıbasit modüldür. Sonuç olarak, herhangi bir g-modülü içerisinde maksimal yarıbasit bir altmodül vardır ve tektir. Bu modülü V ss ile gösterecegiz. Hatta buna ek olarak, eğer a g nin bir altcebiri ise, V nin içerisinde a nın yarıbasit etki ettiği tek maksimal bir altcebiri vardır ve bu cebir V a-ss ile gösterilir. Önsav 1.4. 1) İki yarıbasit g-modülün tensör çarpımı yine bir yarıbasit g-modülüdür. 2
2) a, g nin bir Lie altcebiri olsun öyle ki ad a g üzerine yarıbasit şekilde etki etsin. O zaman verilen herhangi bir g-modülü V için, V a-ss bir g-altmodülüdür. 2 Berstein-Gelfand-Gelfand Kategori O Bu bölümde, g herhangi bir Lie cebiri ve h onun maksimal değişmeli altcebiri olsun. g nin kök uzay ayrışmasını ( g = α Φ g α ) ( ) h g α α Φ + şeklinde yeniden düzenleyelim. Bu durumda, α Φ + g α altuzayı bir üstel sıfır altcebiridir ve n + ile gösterilir. Benzer şekilde, üstel sıfır altcebiri olan α Φ g α altuzayı n ile gösterilir. BBG kategorisinin nesneleri g-modülleri M lerdır öyle ki; a) M sonlu üretilmiş U(g)-modülü, b) M herhangi sabit bir maksimal değişmeli altcebiri h için h-köşegenleştirilebilir, c) M n + -sonlu, yani yerel sonlu n + -modül. Bu kategoride nesneler arası dönüşümler ise olağan g-modül homomorfizmasıdır. Bazı Özellikler: 1. Eğer g-modülü M, O içerisinde ise M nin herhangi bir altmodülü ve herhangi bir bölüm modülü de O içerisindedir. 2. Eğer M 1, M 2 O ise, M 1 M 2 O dir. 3. g yarıbasit Lie cebiri ise herhangi bir sonlu boyutlu g-modülü V, O içerisinde yatar. 3
3 Kök Sistemlerine Geri Dönüş Diyelim ki M bir g-modülü olsun ve M = χ h M(χ) olarak tanımlansın, öyle ki; M(χ) = {v M m r χ v nin anihilatörü; bazı r N}. Eğer M(χ) 0 ise, χ a M nin h e göre ağırlığı denir. Önceden de bildiğimiz üzere eğer M = g yarıbasit Lie cebiri ise eşlek etkinin ağırlıkları g nin kökleri olarak adlandırılır. h üzerinde bir tam sıralama seçerek kök kümesini pozitif ve negatif kökler şeklinde ayrıştırabiliriz, yani Φ = Φ + Φ. Pozitif kök ayrıştırılabilir olarak adladırılır eğer iki tane pozitif kökün toplamı şeklinde yazılabiliyorsa. Ayrıştırılabilir bütün köklerin kümesi Φ +, h için bir baz oluşturmaktadır. Daha önceki derslerden hatırlayacağımız üzere, aldığımız iki kök χ, β için β(h χ ) Z, burada h χ = 2tχ h öyle ki t B(t χ,t χ) χ h χ nin tanımlayıcı elemanı. h χ nin birimleştirilmiş biçimi χ ile ilişkili eş-kök olarak adlandırılır. Herhangi bir χ için, h χ nin eşleniği temel baskın ağırlık olarak adlandırılır, ve ω χ ile gösterilir. Ayrıca, ω χ (h β ) = δ χβ, her χ, β. Şimdi, diyelim ki γ, h den herhangi bir karakter olsun. O zaman, bazı a α R lar için γ = α a αω α dır. Bunun bir sonucu olarak ta, γ(h β ) = a β eşitliğini elde ederiz. Verilen herhangi bir ağırlığa baskın deriz eğer her β için γ(h β ) Z 0. 4 En Yüksek Ağırlık M bir g-modülü olsun. Herhangi bir vektör m M en yüksek ağırlık vektörüdür eğer n + m = 0. n + = χ Φ g + χ olduğundan dolayı, m en yüksek ağırlıktır ancak ve ancak her α için g α m = 0 ise. Önerme 4.1. Diyelim ki M O sıfır olmayan bir nesne. O zaman, M sıfır olmayan bir en yüksek ağırlık vektörü içerir. 4
Kanıt. V M, M M tarafından üretilen h-değişmez sonlu boyutlu bir altuzay olsun. Bunu U(n + ) V ile değiştirelim, hatta n + -değişmez olduğunu kabul edelim. Şimdi V içerisindeki h in bütün ağırlıklarını düşünelim. V sonlu boyutlu olduğundan dolayı, χ V vardır öyle ki V ss (χ + α) = 0, her α Φ +. Diğer bir ifade ile, herhangi bir v V ss (χ) en yüksek ağırlık vektörüdür. 5 Verma Modülleri Önsav 5.1. χ h olsun. O zaman, M χ bir g-modülü ve m χ ρ = 1 2 α Φ + α için M χ(χ ρ) de bir en yüksek ağırlık vektörü olmak üzere bir (M χ, m χ ) ikilisi vardır, öyle ki herhangi bir g-modülü M ve χ ρ ağırlıklı en yüksek ağırlık vektörü v M için, öyle tek bir g-modül dönüşümü ι v : M χ M vardır ki ι(m χ ) = v dir. Kanıt. Öncelikle şunu görmeliyiz ki eğer böyle bir modül varsa, bu modül kesinlikle doğal izomorfizma ile tektir. Şimdi, x γ ile üretilen I χ sol idealini düşünelim. O zaman γ Φ + ve h h için h + ρ(h) χ(h) U(g) dir. Diyelim ki, M χ = U(g)/I χ ve m χ 1 U(g) in M χ içerisindeki görüntüsü olsun. Bu durumda, M χ ve m χ istenilen teklik özelliğini sağlamaktadırlar. M χ en yüksek ağırlık vektörü ile üretildiğinden dolayı, O içerisinde yatmaktadır. Önsav 5.2. χ h ise M χ tek üreteçli, m χ, serbest bir U(n )-modülüdür. Kanıt. Biliyoruz ki U(g) = U(h) U(n + ) U(n ). Bu da bize U(g)m χ = U(n )m χ eşitliğini vermektedir. Sonuç 5.3. 1) M χ in ağırlıklarının kümesi olan P (M χ ), χ ρ Q + = {χ ρ β β Q + }, kümesine eşittir, burada Q + pozitif kökler ile üretilen kök latis(örgü)idir. 5
2) M herhangi bir g-modülü, m M, χ ρ ağırlıklı en yüksek ağırlık vektörü ve ι m : M χ M buna karşılık gelen tek dönüşüm olsun. Bu durumda, ι m bir gömmedir ancak ve ancak herhangi bir sıfırdan farklı X U(g) için Xm 0 eşitsizliği sağlanıyorsa. Kaynaklar [1] Knapp, A. Lie Groups, Beyond an Introduction [2] Humphreys, J. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory 6