BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni birim çember üzerindeki tüm (, y) noktlrı bir Ç kümesi oluşturuyors Ç y y + y {(, ), ve } y B(,) C(,) A(,) D(,-)... YÖNLÜ AÇILAR St yelkovnının dönme yönünün tersini pozitif yön, st yelkovnının dönme yönüne de negtif yön olrk dlndırcğız. Örnek : o ve 5 o çılrını trigonometrik çemberde gösteriniz. 6
... AÇI ÖLÇME BİRİMLERİ Genellikle üç birim kullnılır. Bunlr, derece, rdyn ve grdtır. Derece Bir çemberin 6 eşit prçsındn her birine bir derecelik yy denir. Bir derecelik yyı gören merkez çıy bir derecelik çı denir. Derecenin 6 d birine dkik, dkiknın 6 d birine sniye, dh küçük çılr d sniyenin ondlık kesri olrk yzılır. Rdyn 6 (bir derece 6 dkik) 6 (bir dkik 6 sniye) 6 (bir derece 6 sniye Bir çemberde kendi yrıçpın eşit uzunluktki bir yy bir rdynlık yy denir. Bir rdynlık yyı gören merkez çıy d bir rdynlık çı denir. Grd Bir çemberin eşit prçsındn her birine bir grdlık yy denir. Bir grdlık yyı gören merkez çıy d bir grdlık çı denir. Bir çının derece cinsinden değeri D, rdyn cinsinden değeri R ve grd cinsinden değeri G ise D R G bğıntısı vrdır. 8 6
Örnek : 75 o kç rdyndır? D Çözüm: 8 R D 8 R 75 5 8 Örnek : 6 rdyn kç derecedir? Çözüm: D R 8 8 8R 6 8 D 6 Örnek : R G. kç grdtır? R G 5... ESAS ÖLÇÜ ) k, α > 6 ve ess ölçüsü denir. < 6 β şrtıyl α 6 + β k ise β çısın α çısının Örnek : 56 nin ess ölçüsü nedir? Çözüm: 56 6 + 76 76 56 nin ess ölçüsü 76 dir. Örnek : 5 nin ess ölçüsü nedir? 65
Çözüm: -5 6 + 5 nin ess ölçüsü dir. ) k, α > ve β < şrtıyl α k + β ise β çısın α çısının ess ölçüsü denir. 9 Örnek : rdynın ess ölçüsü nedir? 5 Çözüm: 9 + 9 + 9 9 5 5 5 5 9 9 rdynın ess ölçüsü tir. 5 5 Örnek : 7? 7 5 5 5 Çözüm: + + 7 5 rdynın ess ölçüsü tür..5. DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR Dik üçgende α dr çı ise şğıdki trigonometrik bğıntılr vrdır. AC sin α secα A AB AB BC Hipotenüs cosα BC AB cosec α AB AC C α B tnα AC BC sinα tn α cos α cotα BC AC tn α cot α 66
..6. O VE 6 O NİN TRİGONOMETRİK ORANLARI A B ABC - bir eşkenr üçgen olsun o AB BC AC AC kenrın it yüksekliği çizelim. 6 o D C Pisgor teoremine göre Yni BD BD AB AD Tnım göre, sin AD AB cos BD AB tn cot sin 6 AD BD BD AD BD AB 67
cos6 AD AB tn 6 cot 6 BD AD AD BD..7. 5 O NİN TRİGONOMETRİK ORANLARI V ABC ikizkenr dik üçgen olsun. Pisgor teoremine göre AB AC + CB AB sin 5 AC AB cos5 CB AB tn 5 AC CB cot 5 CB AC 68
..8. BİRİM ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR Tnım göre sin PD OP y α y cosα OD OP tn α PD OD y OD cot α PD y Diğer trftn Pisgor teoremine göre ; OP OD + PD + y vey sin α cos α + trigonometrinin ess formülü bulunur. Şimdi de bzı özel çılrın trigonometrik ornlrını bir tblo ile gösterelim. 69
..9. NEGATİF AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ Çember üzerindeki B(, y ) ve cos α, y sinα olduğundn Tnım göre sin BK OB y α sin( α) cos KC OC OK OB y y α y OK cos( α ) OC 7
Yni sin( α ) sin α cos( α ) cosα sin( α ) sinα tn( α) tnα cos( α) cosα cos( α ) cosα cot( α) cotα sin( α) sinα Örnek: Aşğıdkileri hesplyınız. ) sin( ) sin ) cos( 6 ) cos6 ) tn( 5 ) tn 5 ) cot( 6 ) cot 6... TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN BÖLGEDEKİ İŞARETLERİ Örnekler : ) ) ) ) tn 8 < sin9 < cos > cot( ) > 7
.. TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER sin α+cos α İfdesinin önce iki trfını Böylece şğıdki özdeşlikleri elde ederiz. sin α, sonr ise cos α y bölelim. +cot α sin α + tn α sin α tn α+ cos α + cot α cos α Örnek : Aşğıdki ifdeleri sdeleştiriniz. ) ) ) ) 5) cos α sin α sin α cos α cos α + ( sin α) cos α sin α + cos α cos α ( sin )( + sin ) cos α α α 6) (cosα )( + cosα) sin α 7) sin α cos α Örnekler: ) sinα ve < α < ise cos α, tn α ve cot α? 7
Çözüm: 8 9 9 cosα tnα 9 9 cotα ) tnα ve < α < ise sin α, cosα ve cotα? Çözüm: + sinα cosα cotα ) cotα, ve < α < ise sin α, cos α ve tn α? Çözüm: cotα, 5 5 + 6 5 sinα 6 cosα 6 5 tnα 7
... 9 DEN BÜYÜK AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ ) Birim çember üzerinde AOD ˆ α pozitif yönlü çıyı düşünelim. D noktsını çember üzerinde pozitif yönde hreket ettirelim. Birim çember üzerinde tm bir devir yplım. Bu durumd 6 lik y d rdynlık bir çı elde edilmiş olur. Elde ettiğimiz çının ölçüsü 6 + α vey + α rdyndır. Tm bir devir sonund ynı nokty geldiğimizde elde edilen çı ile α çısının trigonometrik ornlrı ynıdır. Yni : sin( + α) sinα cos( + α) cosα tn( + α) tnα cot( + α) cotα Birim çember üzerinde dönme işlemi k kere ypılırs sonuç değişmez. b) AOC ˆ α ve DOC ˆ 8 α ise DOC ˆ α OCD ve OD C dik üçgen olduğu için: sinα CD OC y y CD OC sin(8 α) Am y y olduğundn; y y 7
sin(8 α) sinα cosα OD OC OD OC cos(8 ) α Am olduğundn cos(8 α) cosα sin(8 α) sinα Böylece tn(8 α) tnα cos(8 α) cosα cos(8 α) cosα cot(8 α) cotα sin(8 α) sinα c) Şimdi de birim çember üzerinde B noktsını pozitif yönde 9 hreket ettirelim. B noktsı C oktsın dönüşür ve OABK dikdörtgeni iseopcd dikdörtgenine dönüşür ve OA OP ve olur. Diğer trftn OK DO ve DO OK BA OK sinα OK OB CD OP sin(9 + α) OP OC OA OA cosα OA OB DO DO cos(9 + α) DO OC Yni cos(9 + α) sinα OP OA ve OP OA 75
sin(9 + α) cosα sin(9 + α) cosα tn(9 + α) cotα cos(9 + α) sinα cos(9 + α) sinα cot(9 + α) tnα sin(9 + α) cosα Böylece her bir çı + α, m α, m α, m α şeklinde yzılbilir. < α < ve çının trigonometrik ornlrı bir dr çı cinsinden ifde edilebilir. Kurl: Bir geniş çının trigonometrik ornı ile n trigonometrik ornı eşit olrk lınn çının oluşturduğu eşitlikte, ) Eşitliğin sol trfınd nin ktlrı vrs trigonometrik ornının ismi sğ trf değişmeden geçer. Eğer sol trft, gibi değerler vrs trigonometrik ornın ismi değişir: (sinα cosα ve tnα cot α) b) Sol trft bulunn çının düştüğü bölge tespit edilir. Sol trft bulunn trigonometrik ornın bu bölgedeki işreti sğ trftki trigonometrik ornın işreti olrk lınır. +α için: sin + α cosα cos + α sinα tn + α cotα cot + α tnα ( α) için: sin( α) sinα cos( α) cosα cot( α) cotα tn( α) tnα ( + α) için: sin( + α) sinα cos( + α) cosα 76
tn( + α) tnα cot( + α) cotα α için: sin α cosα cos α sinα tn α cotα cot α tnα +α için: sin + α cosα cos + α sinα tn + α cotα cot + α tnα ( α ) için: sin( α) sinα cos( α) cosα tn( α) tnα cot( α) cotα ( +α ) için: sin( + α) sinα cos( + α) cosα tn( + α) tnα cot( + α) cotα Örnek: Aşğıdki değerleri bulunuz. 8 ) cos? Çözüm: 8 cos cos cos cos + cos ) sin( 585 )? Çözüm: sin( 585 ) sin 585 sin(6 + 5 ) sin 5 sin(8 + 5 ) 77
( sin 5 ) sin 5 ) + α tn? Çözüm: tn + α ( cot α ) cot α ) cot( 57 )? Çözüm: cot( 57 ) cot 57 cot(6 + ) cot cot(8 + ) cot... TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ ABC ve APB dik üçgenler olsun. m( BAC ˆ ) α ve m( PAB ˆ ) β mpmb ( ˆ ) 9 makd ( ˆ ) 9 α mpkb ( ˆ ) 9 α Yni mkpb ( ˆ ) α BC ACB den sin α BC AB sin α AB PB AB APB den sin β PB AP sin β ve cos β AB AP cos β AP AP Diğer trftn PD PM + MD MD BC ve PM PMB den cos α ve PM PB cosα PB APD PD PM + MD PB cosα + BC AP sin β cosα + AB sinα den sin( α + β) AP AP AP AP 78
MATEMATİK AP sin β cosα + AP cos β sinα sinα cos β + sin β cosα AP Yni sin( α + β) sinα cos β + sin β cosα β yerine β lınırs sin( α β) sinα cos( β) + sin( β) cosα sinα cos β sin β cosα Diğer trftn cos( α + β) sin ( + β) sin α β sin α cos β cos α sin β cosα cos β sinα sin β Şimdi de β yerine β llım: cos( α β) cosα cos( β) sinα sin( β) cosα cos β + sinα sin β sin( α + β) sinα cos β + cosα sin β tn( α + β) cos( α + β) cosα cos β sinα sin β Frz edelim ki cosα ve cos β Şimdi kesrin py ve pydsını cosα cos β çrpımın bölelim: sinα cos β cosα sin β + cosα cosβ cosα cosβ tnα + tn β tn( α + β) cosα cos β sinα sin β tnα tnβ cosα cos β cosα cos β β yerine β llım: tnα + tn( β) tnα tn β tn( α β) tnα tn( β) + tnα tn β cos( α + β) cosα cos β sinα sin β cot( α + β) sin( α + β) sinα cos β + cosα sin β 79
Frz edelim ki sinα ve sin β Şimdi kesirin py ve pydsını sinα sin β çrpımın bölelim: cot( α + β ) cosα cos β sinα sin β sinα sin β sinα sin β cotα cot β sinα cos β cosα sin β cot β + cotα + sin α sin β sinα sin β Şimdi de β yerine β llım: cotα cot( β) cotα cot β + cot( α β) cot( β ) + cotα cot β cotα Yni sin( α + β) sinα cos β + cosα sin β sin( α β) sinα cos β cosα sin β cos( α + β) cosα cos β sinα sin β cos( α β) cosα cos β + sinα sin β tnα tn β tn( α + β) + tnα tnβ tnα tn β tn( α β) + tnα tnβ cotα cot β cot( α + β) cotα + cot β cotα cot β + cot( α β) cot β cotα Örnek: Aşğıdki değerleri bulunuz. ) sin 75? Çözüm: sin 75 sin(5 + ) sin 5 cos + sin cos 5 6 + + 8
) cos5? Çözüm: cos5 cos(6 + 5 ) cos 6 cos 5 sin 6 sin 5 6 ) Aşğıd verilen ifdelerin değerini bulunuz. ) cos8 cos 6 + sin8 sin 6? Çözüm: cos8 cos 6 + sin8 sin 6 cos(8 6 ) cos( 5 ) cos 5 b) cos cos58 sin sin 58? Çözüm: cos cos 58 sin sin 58 cos( + 58 ) cos 9... YARIM AÇI FORMÜLLERİ sin( α + β) sinα cos β + cosα sin β cos( α + β) cosα cos β sinα sin β tnα + tn β tn( α + β) tnα tnβ cotα cot β cot( α + β) cotα + cot β olduğundn, α β lınırs yukrıdki bğıntılr yerine Yni sin( α + α) sinα cosα + cosα sinα sin sin cos 8
cos( α + α) cosα cosα sinα sinα ve sin α cos α + eşitliğinden bğıntılr elde edilir. Aynı yöntemle tnα tnα tn( α + α) + tnα tnα cotα cotα cot( α + α) cotα + cotα bğıntılr elde edilir. Örnekler : ) cosα,8 ve α III bölgeye it ise sin α? Çözüm: Önce sinα yı bullım: 6 sinα,6 ve sin α sinα cosα (, 6) (,8),96 8
) Aşğıdki ifdeleri hesplyınız: ) sin5 cos5? sin5 cos5 sin b) 8sin cos? 8 8 8sin cos sin cos sin 8 8 8 8 c) sin5 cos5? sin5 cos5 sin5 cos5 sin sin(8 + ) ( sin ) d) cos 5 sin 5? cos 5 sin 5 cos cos sin? 8 8 cos sin cos sin cos 8 8 8 8 7 7 e) cos sin? 7 7 7 cos sin cos cos + cos 6 6 6 8
... DÖNÜŞÜM VE TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ Eğer α + y ve β y lınırs α + β ve α β y olup ( y) ( y) sinα + sin β sin + + sin sin cos y+ cos sin y+ sin cos y cos sin y sin cos y α + β α β sinα + sin β sin cos Eğer β yerine β lınırs α β α + β sinα sin β sin cos Benzer şekilde cosα + cos β cos( + y) + cos( y) cos cos y sin sin y+ cos cos y+ sin sin y cos cos y α + β α β cosα + cos β cos cos α + β α β cosα cos β sin sin Örnekler: Aşğıdki ifdeleri çrpnlrın yırınız. ) sin + sin sin6 cos b) c) sin 5 sin sin cos cos cos sin sin 8
d) cos + α + cos α cos cosα cosα sin5 + cos65 sin5 + cos 9 5 sin5 + sin 5 sin cos5 e) ( ) Şimdi de ters dönüşüm formüllerini elde edelim. α + β α β sin cos sinα + sin β ve α + β α β, y ise α + y ve β y sin cos y sin cos y sin( + y) + sin( y) [ sin( + y) + sin( y) ] [ cos( + y) + cos( y) ] cos cos y [ cos( y) cos( + y) ] sin sin y bğıntılrı elde edilir... TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ... PERİYODİK FONKSİYONLAR VE PERİYOT Tnım : f : A B fonksiyonund her bir A f + T f olck şekilde sıfırdn frklı bir T reel syısı vrs f fonksiyonun periyodik fonksiyon, T reel syısın d periyot denir Örneğin her bir k için sin cos sec cos ( + k ) sin ( + k ) cos ( + k ) sec ec( + k ) cosec için ( ) ( ) olduğu için bu fonksiyonlr periyodiktir ve periyot ise dir: Ayrıc, her bir k için 85
tn cot ( + k) tn ( + k) cot olduğu için bu fonksiyonlr d periyodiktir ve periyotlrı dir. Şimdi de trigonometrik fonksiyonlrın periyotlrını nsıl bulcğımızı orty koylım. ) f ( ) sin( + b) f ( ) cos( + b) f ( ) sec( + b) f ( ) cosec( + b) fonksiyonlrının periyodu b) f ( ) tn( + b) f ( ) cot( + b) fonksiyonlrının periyodu c) m tek doğl syı için f f f f m ( ) sin ( + b) m ( ) cos ( + b) m ( ) sec ( + b) m ( ) cosec ( + b) fonksiyonlrının periyodu d) m çift doğl syı için f f f f m ( ) sin ( + b) m ( ) cos ( + b) m ( ) sec ( + b) m ( ) cosec ( + b) T T T dır. dır. dır. fonksiyonlrının periyodu T dır. 86
e) m syı için m f tn + b f ( ) ( ) m ( ) cot ( + b) fonksiyonlrının periyodu Örnekler : T dır. ) y 8sin + fonksiyonunun periyodu nedir? T ) y cot 6 fonksiyonunun periyodu nedir? T tür. ) y sec + + tn 8 fonksiyonunun periyodu nedir? sec + periyodu ve tn periyodu olup 8 y fonksiyonu bu iki fonksiyonun toplmındn oluştuğu için periyodu okek (, ) 6 dir. Uyrı : f ( ), birden fzl fonksiyonun toplmındn oluşuyors, toplmı oluşturn fonksiyonlrın periyotlrı yrı yrı bulunur. Bunlrın okek i fonksiyonun periyodunu oluşturur.... TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ Trigonometrik çemberi göz önüne llım. Çember üzerinde ldığımız her bir noktnın ( cos,sin ) P α α α olduğunu biliyoruz. 87
P α noktsı trigonometri çember üzerinde hreket ederse, sonsuz tne α çısı ve on krşılık gelen ( cos,sin ) P α α α noktlrı orty çıkıyor. Böylece y sin ve y cos fonksiyonlrını elde etmiş oluyoruz. Her bir P α noktsı birim çember üzerinde, olduğundn sin ve cos olur. Tnım : f : [,] fonksiyonlrı denir oln y sin ve y cos fonksiyonlrın sinüs ve cosinüs Şimdi trigonometrik fonksiyonlrı sırsıyl inceleyelim.... y sin FONKSİYONU Bu fonksiyonun periyodu dir. O hlde [, ] rlığınd inceleme ypmk yeterli olur. Fonksiyon için değerler tblosu oluşturup, bu tblodn yrrlnrk fonksiyonun grfiğini çizelim. 88
Grfikten de görüleceği gibi, y sin fonksiyonunun grfiği orijine göre simetrik olup tek fonksiyondur. Eğer dh geniş bir rlıkt y sin fonksiyonunun grfiğini görmek istersek, mesel [, ] rlığınd grfik şğıdki gibidir. 89
... y cos FONKSİYONU Bu fonksiyon için de periyot dir. Fonksiyon it değerler tblosu ve grfiği şğıdki gibidir. için [, ] y cos rlığınd grfik şğıd verilmiştir. Benzer şekilde dh geniş rlıklr için de grfik çizilebilir. y cos fonksiyonu, Oy eksenine göre simetriktir ve çift fonksiyondur...5. y tn FONKSİYONU Bu fonksiyonun periyodu dir. O hlde uzunluğund bir rlıkt tnjnt fonksiyonunun bütün özelliklerini gözleme imknı vrdır. Genel olrk tnjnt fonksiyonu + k, k Z noktlrınd tnımlı olmdığı için bu değerler düşey 9
simptottur. Özel olrk ± doğrulrı düşey simptotlrdır. y tn fonksiyonu ile ilgili değerler tblosu ve grfik şğıd verilmiştir. y tn fonksiyonu tek fonksiyondur ve orijine göre simetriktir...6. yrcsin FONKSİYONU y sin fonksiyonu, rlığınd birebir ve örtendir. O hlde bu rlıkt ters fonksiyondn bhsedilebilir. Bu d y rcsin fonksiyonudur ve rksinüs şeklinde okunur. Böylece ( ) rcsin y f fonksiyonu f : [, ], şeklinde tnımlı olup grfiği yn trftdır. 9
Örnek : Aşğıd verilen değerleri bulunuz. ) rcsin b) rcsin c) rcsin rcsin d) rcsin rcsin..7. yrccos FONKSİYONU fonksiyonu [, ] y cos bir ve örtendir. Böylece ( ) rccos rlığınd bire y f ters fonksiyonu [, ] [, ] f : şeklinde tnımlı olup grfiği yn trft verilmiştir. Örnek : Aşğıd verilen değerleri bulunuz. ) rccos b) rccos rccos 9
c) rccos 5 6 6 d) rccos..8. yrctn FONKSİYONU y tn fonksiyonu, rlığınd bire bir ve örten bir fonksiyondur. O hlde y tn fonksiyonunun, ters fonksiyonu vr ve bu d fonksiyonudur. Böylece y f ( ) rctn y rctn fonksiyonu f :, şeklinde tnımlı bir fonksiyon olup grfiği şğıdki gibidir. y y rctn Örnek: Aşğıd verilen değerleri bulunuz. ) rctn rctn 6 b) rctn 9
..TRİGONOMETRİK DENKLEMLER...sin DENKLEMİ Eğer [, ] sin denkleminin kökü yoktur. sin denkleminin,,, rlığındki kökü de rcsin dır. Eğer [, ] rlığındki kökü rcsin, Bu iki çözüm bir formül hlinde yzılırs şğıdki elde edilir. Örnek : Aşğıdki denklemleri çözünüz. ) sin k ( ) rcsin + k, k k ( ) + k ) sin k ( ) rcsin k, k + k + ( ) + k 9
... cos DENKLEMİ Eğer [, ] cos denkleminin kökü yoktur. Eğer [, ] [, ] cos denkleminin [,] rlığındki kökü rccos olur. Bu iki çözümü bir formül şeklinde yzrsk rlığındki kökü rccos ve Örnek : Aşğıdki denklemleri çözünüz. ) cos m rccos + k, k m + k ) cos m rccos + k, k m rccos + k m + k m + k 95
) cos m rccos + k, k ) cos m rccos + k, k m rccos + k... tn DENKLEMİ Her bir için, rlığınd tn denkleminin ylnız bir kökü olup Örnek :Aşğıdki denklemleri çözünüz. ) tn rctn + k; k + k ) tn ( ) rctn + k, k rctn + k + k ) tn rctn + k, k 96
) tn 7 rctn + k, k 7 rctn + k 7... cot DENKLEMİ cot denklemi eğer Ylnız ise, cot olup ise tn şeklinde yzılbilir...5. BAZI TRİGONOMETRİK DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Örnek : Aşğıdki denklemleri çözünüz. ) sin + sin sin, + sin + k, k ve k ( ) rcsin + k, k k ( ) + k 6 97
) 5sin + 6cos 6 ( ) 5 cos + 6cos 6 5 5cos + 6cos 6 cos dersek, 5 cos k, k ve cos 5 m rccos + k, k 5 5 6 + ) tn cot + Denkleminin iki trfını d tn cot tn + tn tn + tn tn + tn rctn + k, k + k ve tn rctn ( ) + k, k rctn + k tn ile çrplım 98
) sin + sin cos cos Frz edelim ki cos ve denklemin iki trfını d cos e bölelim. sin sin cos cos + cos cos cos + tn + tn tn tn ( ) rctn + k, k + k ve tn rctn + k, k BÖLÜM ALIŞTIRMALARI ) Aşğıdki çılrı derece cinsinden ifde ediniz. 5 9,,,,, 5 9 9 ) Aşğıdki çılrı rdyn cinsinden ifde ediniz. 5,,6,5,,,, 5 o o o o o o o o ) Aşğıd verilen ifdelerin değerlerini bulunuz. ) b) c) cos 6 + cos 5sin cot5 sin + 6 cos 6 tn 5 99
d) e) f) g) tn5 tn6 tn6 sin6 sin 6 cot 6 sin6 cot6 ) Aşğıdki ifdeleri sdeleştiriniz. ) sinα cosα tnα b) sinα cosα cotα c) d) e) f) g) α α α sin tn cot sin α cos α cos α α cos sin α + cos α + tn α α α + α tn cot cot h) sinα cotα i) tnα cotα j) cos α sin α 5) Aşğıdki ifdeleri sdeleştiriniz. cosα ) cotα sinα b) sinα + sinα c) cot α tnα
sin α d) + tn α cot α cos α e) tn α (sin α ) f) cos α (cot α + ) sin α g) tn( α ) cosα + sinα h) cos α tn ( α) 6) sin α, cos α, tnα ve cotα nın işretlerini bulunuz. ) α 8 o b) α o c) α 7 o d) α6 o 7) Aşğıdkileri hesplyınız. ) b) c) d) e) f) sin( ) cos( 6 ) tn( 5 ) cot( ) cos( 9 ) sin( 5 )
8) Aşğıd verilenlere göre trigonometrik ornlrı hesplyınız. ) cosα, 6 ve < α < ise sin α, tn α ve cot α? b) sinα ve < α < ise cos α, tn α ve cot α? 9) Aşğıd verilenlere göre trigonometrik ornlrı hesplyınız. ) b) c) sinα ve < α < 5 8 cosα ve < α < 7 tnα ve < α < ) Aşğıdkileri hesplyınız. ) sin b) cos( ) c) tn( ) d) sin e) cot( 5 ) f) sin 5 g) cos h) sin( 5 ) i) tn( 5 ) j) cos( 5 )
) Aşğıdkileri hesplyınız. ) 7 cos 6 b) sin 5 c) cos d) sin ) Aşğıdki ifdeleri sdeleştiriniz. ) b) c) d) cos( α ) cos(8 + α) sin( α ) sin(9 + α) sin( + α) cos( α) tn( α) cos( α ) sin( α ) cot( α ) cos(6 α) tn(8 + α) sin( + α) sin( α + ) tn( + α) cos + α ) Aşğıdkileri hesplyınız. ) cos 75 b) tn 75 c) sin5 d) cos5 e) cos5 f) sin 55 g) cos 55
h) sin5 ) Aşğıdki ifdelerin değerlerini bulunuz. ) cos7 cos7 + sin7 sin7 b) cos7 cos7 + sin7 sin7 c) cos6 cos sin 6 sin d) sin 6 cos 7 + cos 6 sin 7 e) sin 5 cos cos5 sin 5) tnα ve tn β ise tn( α + β )? 6) α IIb ve β IIIb, sinα ve 5 5 cos β ise; 7 ) sin( α + β )? b) sin( α β )? c) cos( α β )? d) cos( α + β )? 7) tnα ve < α < ise ) sin α? b) cos α? c) tn α? d) cot α?
8) Aşğıdki ifdeleri çrpnlrın yırınız. ) sin + sin6 b) sin sin c) sin + α sin α 6 6 d) cos α + cos α e) f) g) h) i) cos 6 cos7 sin sin 6 9 cos5 + cos 5 sin + sin 5 5 cos5 + sin 8 9) f ( ) fonksiyonunun periyodunu bulunuz. f cos 7 ) ( ) sin 7 f b) ( ) c) f ( ) tn d) ( ) f cot e) f ( ) cos f) f ( ) sin + cos + sin g) f ( ) 5
sin 6 h) ( ) f i) f ( ) tn, 5 cos j) ( ) f ) Aşğıd verilen denklemleri çözünüz. ) b) cos cos c) d) sin sin e) f) sin tn g) cot h) tn i) sin,6 j) cot,5 k) cos, 6
l) sin m) tn,5 n) cos( ) o) cos 6 p) tn + q) tn r) sin s) sin cos - cos sin t) sin cos u) v) w) ) y) sin cos sin sin sin + sin sin + cos cos + sin 7
BÖLÜM TESTİ 5 ) cos + sin işleminin sonucu kçtır? A) B) C) D) E) ) < < olmk üzere, sin cos olduğun göre, sin kçtır? A) 7 8 B) 7 6 C) 7 D) 9 7 E) 8 7 6 ) olmk üzere, sin + sin cos + olduğun göre, cot kçtır? A) B) C) D) E) ) sin 5 + cos5 işleminin sonucu kçtır? A) 6 B) 6 C) 6 D) 6 E) 6 5 5) cos cos 8 8 ifdesinin değeri kçtır? cos cos 8 8 A) B) C) D) E) 6) sin 5 sin5 cos5 sin 65 ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 8
7) sin α sinα cosα cosα olduğun göre, cos 5α kçtır? A) B) 8 C) D) E) 8) 7 sin sin işleminin sonucu kçtır? 8 8 A) B) C) 5 D) 5 E) 9) sin cos cos cos8 denklemini sğlyn en küçük çısı kç 6 rydndır? A) B) 8 C) 6 D) 8 E) 96 ) cos olmk üzere, sin sin olduğun göre, cos kçtır? A) B) C) D) E) ) sin + sin + sin cos + ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisine eşittir? A) sin B) sin C) cos D) cos E) tn ) cos + cos8 + cos6 işleminin sonucu şğıdkilerden hngisine eşittir? A) B) C) D) sin E) cos ) olmk üzere, eşittir? sin 7 + sin sin cos ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisine A) B) C) D) sin E) cos 9
) sin5 sin 75 cos5 + cos75 işleminin sonucu kçtır? A) B) C) D) E) 5) olmk üzere, 6 cos5 cos sin5 sin ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? A) tn B) tn C) D) E) 6) 5 nin ess ölçüsü kç derecedir? A) 5 B) 7 C) 8 D) E) 7) sin olduğun göre, eşittir? sin6 ifdesi şğıdkilerden hngisine sin 7 + sin A) B) + C) D) E) 8) sin b cos c tn olduğun göre, şğıdkilerden hngisi doğrudur? A) < b < c B) b < < c C) b < c < D) < c < b E) c < b < 9) < < ve A) B) cos olduğun göre, 5 sin tn kçtır? 5 C) D) E) ) cos + sin cos ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? A) cos B) cos C) D) + cos E) sin + cos
) Aşğıdkilerden hngisi sin cos B) sin A) ( ) ifdesine özdeş değildir? C) cos( + ) D) + sin E) cos( ) ) 7 cos + sin ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir? 5 A) B) C) D) cos 5 E) sin 5 ) sin cos olduğun göre, tn + cot kçtır? A) 5 6 7 B) 5 C) D) 6 E) 5 6 ) tn cot sin + cos ifdesi şğıdkilerden hngisine eşittir? A) sin + cos B) cos sin C) tn + cot D) sec cosec E) 5) sin + cos denkleminin çözümü nedir? + k, k A) rc tn + k + k, k D) rc tn + k + k, k B) rc tn + k E){ } + k, k C) rc tn + k
6) 5sin sin cos + denkleminin çözümü nedir? + k, k A) rc tn + k + k, k D) rc tn + k + k, k B) rc tn + k E){ } + k, k C) rc tn + k 6) sin 5sin cos 6cos + denkleminin çözümü nedir? A) rctn + k, k rctn + k B) rctn + k, k rctn + k C) rctn + k, k rctn + k D) rctn + k, k rctn + k E) { } 7) sin sin 5 sin sin 7 denkleminin çözümü nedir? k k k A), k B), k C), k k D){ } E), k
8) sin + sin + sin denkleminin çözümü nedir? A) k m, k m + k B) k, k m + k C) k m, k + k D) k, k m + k E) k m, k m + k 9) cos + cos denkleminin çözümü nedir? 5 A) m + k, k B) + k, k C) + k, k 6 6 6 D){ } E) m + k, k ) sin + cos denkleminin çözümü nedir? A) + k, k B) + k, k C) + k, k 6 D) k, k + k E){ }