Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması için hiçbir fedakârlıktan çekinmemelerini tavsiye ederim.
u kitabın her hakkı Çap Yayınları na aittir. 5846 ve 2936 sayılı ikir ve Sanat serleri Yasası na göre Çap Yayınları nın yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz. U KİTP, MİLLİ ĞİTİM KNLIĞI TLİM V TRİY KURULU ŞKNLIĞI NIN 22.12.2010 TRİH V 334 SYILI KRRI İL LİRLNN ORTÖĞRTİM GOMTRİ RSİ PROGRMIN GÖR HZIRLNMIŞTIR. izgi mine İN Kapak Tasarım Semih LİL www.semihdelil.com askı Tarihi Kasım 2012 Teşekkür Tevfik GÖRGÜN, Halil KIRKVLİ, hmet Y, urak KIRKVLİ, mine HİOĞLU ve Müjgan ŞİMŞK e katkılarından dolayı teşekkür ederiz. ISN 978 605 63479 1 7 İLTİŞİM ÇP YYINLRI kpınar Mahallesi 840. adde 857. Sokak 2 19 Çankaya nkara Tel: 0312 476 30 93 www.capyayinlari.com.tr www.capyayinlari.com ii
KIŞ ÇIMIZ Sevgili Öğrenciler, Geometride bugüne kadar uygulanan ya da size önerilen yöntemlere bir de bizim anlatacaklarımızı ekleyiniz. Herhangi bir geometri konusu ile ilgili karşınıza üç tip soru çıkar. unları kolay sorular, zor sorular ve çok zor sorular olarak sınıflandırabiliriz. Kolay sorular, ilgili konunun temel özelliklerini kavramış, formüllerini içselleştirmiş ve biraz da uygulama yapmış her öğrencinin sadece alışılmış işlemlerle sonuca ulaşabileceği soru türüdür. unlar görme işi olarak adlandırılan sorular değildir. u yıla kadar üniversite giriş sınavlarındaki geometri sorularının 90 ından fazlası (son 47 yılın sınav sorularını en alt başlıklara kadar sınıflandırıp ayrıntılı çözümlerini yapmış biri olarak söylüyorum) ve okul sınavlarındaki soruların çoğu kolay soru dur. Zor sorular, ilgili konunun temel özelliklerinin kavranmış olmasının yanı sıra başka konulara ait bilgilerin de kullanılmasını gerektiren ve tam da görme işi olarak kabul edilen soru türüdür. u sorularda sizden şeklin içinde gizlenmiş bir bilgiyi (ikizkenar üçgen, eşkenar üçgen, orta taban, açıortay vb.) fark etmeniz ve açığa çıkarmanız beklenir. unu yaptığınızda soruyu çözmüş ve görme işi ni başarmış olursunuz. u tür soruların, üniversite giriş sınavlarındaki ağırlığı 10 dan da azdır. Onun için bunlara seçme, eleme soruları da denir. Okul sınavlarındaki bu tip soruların yoğunluğu ise tamamen öğretmenin kararına bağlıdır. Çok zor sorular ise görme işi nin tek başına yetmediği, çok fazla ek çizim yapılarak sonuca ulaşılacak sorulardır. Sorunun çözülmüş ve çözülmemiş biçimlerini karşılaştırdığınızda, verilen şeklin ek çizimler arasında kaybolduğunu görürsünüz. u tür soruların üniversite giriş sınavlarında çıkmışlığı yok denecek kadar azdır. Okul sınavlarında ise öğretmeniniz bu tür sorulardan belki bir iki tane soracaktır. u tür sorularla genellikle geometriye gönül veren, matematik yarışmalarına, olimpiyatlara hazırlanan öğrenciler ilgilenmektedir. Her zaman kolay sorular ın karşınıza çıkması dileğiyle... YZRLR iii
ÖN SÖZ Yeni geometri müfredatının amaçlarından biri, geometri problemlerine sentetik, analitik ve vektörel açılardan bakabilme becerisini kazandırmaktır. Sentetik yöntemlerle yıldızı bir türlü barışmayan bir öğrenci, soruda verilen şekli koordinat düzlemine yerleştirerek soruya vektörel ya da analitik açıdan da bakabilecektir. ncak doğruda açı, üçgende açı ve kenar - açı bağıntıları konuları sentetik olarak incelenmelidir. nalitik ve vektörel inceleme diğer konularda daha yoğun bir şekilde yer almaktadır. izde bu kitabımızda konuları sadece sentetik yaklaşımlarla ele aldık. Öğrenmeyi kolaylaştırmak amacıyla kitabımızda şu bölümler yer aldı: Özet: Konunun genelini kapsayan temel bilgiler Yaklaşım: Karşımıza çıkan soru türlerinde sorunun çözümüne yönelik kullanılacak yöntemler ve teknikler irlikte Çözelim: Yaklaşımda bahsedilen özellik, yöntem ve ipuçlarının kullanıldığı detaylı örnek çözümleri Sıra Sizde: Yaklaşımı okuyup çözümlü örneği inceledikten sonra benzer soruların daha iyi kavranabilmesi için uygulama soruları Modüler Testler: Konuya ait bilgilerin pekiştirilebilmesi ve soru çözme becerisinin artırılması için farklı soru türleri Hayata farklı pencerelerden bakmanız dileğiyle... YZRLR iv
İÇİNKİLR oğruda ve Üçgende çılar Tanımları ve Konu Özeti... 7. OĞRU ÇILR... 12 çı Ölçü irimleri... 13 ar çı - Geniş çı... 15 çı Türleri... 16 oğruda çılar... 17 Test 1 : çı Ölçü irimleri... 28 Test 2 : çı Çeşitleri - I... 30 Test 3 : çı Çeşitleri - II... 32 Test 4 : oğruda çılar - I... 34 Test 5 : oğruda çılar - II... 36 Test 6 : oğruda çılar - III... 38. ÜÇGN ÇILR... 40 1. Genel çı ilgileri... 41 2. çıortayların Oluşturduğu çılar... 52 3. Muhteşem Üçlü İçeren çı Soruları... 55 4. şkenar Üçgen İçeren çı Soruları... 56 5. İkizkenar Üçgen İçeren çı soruları... 59 6. iklik Merkezi İçeren çı Sorular... 61 7. Çember Yardımıyla Çözülen çı Soruları... 64 8. Orta Taban İçeren çı Soruları... 66 Test 1 : Genel çı ilgileri - I... 68 Test 2 : Genel çı ilgileri - II... 70 Test 3 : Genel çı ilgileri - III... 72 Test 4 : Genel çı ilgileri - IV... 74 Test 5 : İç çıortay - ış çıortay... 76 Test 6 : İkizkenar Üçgen... 78 Test 7 : Muhteşem Üçlü... 80 Test 8 : şkenar Üçgen... 82 Test 9 : Orta Taban... 84 Test 10 : iklik Merkezi ve Çember... 86. KNR - ÇI ĞINTILRI... 88 Özet... 89 Test 1 : Kenar - çı Sıralama... 110 Test 2 : Üçgen şitsizliği... 112 Test 3 : ar çı - Geniş çı... 114 Test 4 : Gizli ar çı - Geniş çı - I... 116 Test 5 : Gizli ar çı - Geniş çı - II... 118 v
OĞRU ÜÇGN ÇILR TNIMLR V KONU ÖZTİ. TML KVRMLR Geometrik terim, geometride özel kavramları karşılayan sözcüklerdir. Nokta, doğru, üçgen, açı vb. sözcükler birer geometrik terimdir. Tanımsız terim, herhangi bir tanımı olmayan ancak sezgisel olarak varlığı kabul edilen terimdir. Nokta, herhangi bir büyüklüğü olmayan ve yer belirten bir geometrik terimdir. ( noktası) oğru, sezgisel bir kavramdır. üz ve uzunluğu sürekli iki yöne sınırsız uzatılabilen, kalınlığı olmayan, tek boyutlu (uzunluk) bir geometrik terimdir. d doğrusu (ya da d doğrusu) oğrusal (doğrudaş) noktalar, aynı doğru üzerinde bulunan farklı noktalar için kullanılan bir geometrik terimdir. d, d ve d ( ve noktalarına doğrusal veya doğrudaş noktalar denir.) oğru parçası, bir doğru üzerindeki farklı iki nokta ile bunların arasındaki bütün noktaların oluşturduğu noktalar kümesidir. doğru parçası ([] şeklinde gösterilir.) Işın, herhangi sabit bir nokta ile başlayıp sonsuz sayıdaki noktalar ile düz olarak sürekli tek yöne uzatılabilen, uzunluğu sınırsız, kalınlığı bulunmayan geometrik terimdir. Kapalı yarı doğru (Işın) çık yarı doğru ışını ([ şeklinde gösterilir.) üzlem, sezgisel bir kavramdır. Uzunluğu ve genişliği düz sınırsız genişletilebilen fakat kalınlığı olmayan bir geometrik terimdir. P P düzlemi üzlemde alınan bir doğru, düzlemi iki parçaya ayırır ve bu parçalardan her birine yarı düzlem denir. üzlem parçalarına doğru dahil edilirse kapalı yarı düzlem, dahil edilmezse açık yarı düzlem oluşur. P çık yarı düzlem Kapalı yarı düzlem 7
TNIM üzlemsel noktalar, aynı düzlem üzerinde bulunan noktalar için kullanılan geometrik terimdir. P, P P ( ve noktalarına düzlemsel veya düzlemdeş noktalar denir.) Uzay; uzunluğu, genişliği ve yüksekliği düz sınırsız genişletilebilen bir geometrik terimdir. Şekil İsim Sembol çıklama doğrusu doğru parçası []. ÇILR doğru parçasının iç noktaları doğru parçasından çıkarılmış doğru parçasından çıkarılmış () veya ][ (] veya ]] [) veya [[ ve noktaları dahil ve noktaları dahil değil noktası dahil değil noktası dahil değil çı, başlangıç noktası ortak olan iki ışının birleşimine denir. O [O ' [O = O ya da [O ' [O = O [O ve [O ye açının kenarları (kolları), O noktasına da açının köşesi denir. Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları ir açı bulunduğu düzlemi üç bölgeye ayırır: 1. çının kendisi 2. çının iç bölgesi 3. çının dış bölgesi P ış bölge İç bölge O çı ölçü birimleri, derece ve radyan olmak üzere iki tanedir. R = 180c π O α O açısının ölçüsü mo ( ) ile gösterilir. mo ( ) = a erecenin alt birimleri dakika ve saniyedir. çı Çeşitleri 1. ar çı O α 2. ik çı O 1 = 60' 1' = 60'' 1 = 60. 60'' = 3600'' 0 < α < 90 α dar açıdır. α = 90 α dik açıdır. 8
TNIM 3. Geniş çı 10. İç Ters çılar O α 4. oğru çı 5. Tam çı α = 180 O O 6. Komşu çılar O 7. Tümler çılar θ α 90 < a < 180 geniş açıdır. a = 180 doğru açıdır. a = 360 tam açıdır. O ile O komşu açılardır. O ile O komşu açılardır. O ile O komşu açı değildir. a + q = 90 olduğu için a ile q tümler açılardır. 8. ütünler çılar θ α 9. Ters çılar b y a a + q = 180 olduğu için a ile q bütünler açılardır. a ve b ters açılardır. ve y ters açılardır. a = b ve = y dir. Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları y a b 11. ış Ters çılar b y 12. Yöndeş çılar d 3 d 3 a d 3 d 1 d 2 d 1 d 2 a ve b iç ters açılardır. ve y iç ters açılardır. d 1 'd 2 ise a = b ve = y dir. a ve b dış ters açılardır. ve y dış ters açılardır. d 1 'd 2 ise a = b ve = y dir. a ve yöndeş b açılardır. a d c 1 b ve y yöndeş d açılardır. y d z 2 c ve z yöndeş t açılardır. d ve t yöndeş açılardır. d 1 'd 2 ise a =, b = y, c = z ve d = t dir. 13. Karşıt urumlu çılar 14. b y a d 3 d 1 d 2 a ve y karşıt durumlu açılardır. b ve karşıt durumlu açılardır. d 1 'd 2 ise a + y = 180 ve b + = 180 dir. a b ['[ ise = a + b dir. a b y c ['[ ise a + b + c = + y dir. 9
TNIM 15. a ['[ ise b c a + b + c = 360 dir. 16. Kenarları Paralel çılar a) K ['[LK ve ['[LM ise L m ( ) = mklm ( ) M b) ['[ ve ['[ ise m ( ) = m ( ) dir. c) ['[KM ve M θ ['[KL ise α L K α + θ = 180 dir. 17. Kenarları ik çılar a) b) θ [ [ ve [ [ ise α α = θ dır. [ [ ve [ [ ise θ α + θ = 180 dir. α. ÜÇGN Üçgen, doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu bir geometrik şekildir. Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları & = [] ' [] ' [] üçgeninin; i) Kenarları [], [], [] dir. ii) Köşeleri,, dir. iii) çıları,, dir. Üçgenin temel elemanları kenar, köşe ve açıdır. Üçgenin yardımcı elemanları açıortay, kenarortay ve yüksekliktir. Üçgen Çeşitleri I. çılarına Göre Üçgen Çeşitleri 1. Geniş açılı üçgen, bir iç açısı geniş açı olan üçgendir. m ( ) 2 90c 2. ik açılı üçgen, bir iç açısı 90 olan üçgendir. m( ) = 90c II. 3. ar açılı üçgen, bütün açıları dar açı olan üçgendir. m( ) 1 90c m( ) 1 90c m( ) 1 90c Kenarlarına Göre Üçgen Çeşitleri 1. İkizkenar üçgen, iki kenar uzunluğu eşit olan üçgendir. c a b : Tepe noktası []: Taban = + m( ) = m( ) 10
TNIM 2. şkenar üçgen, kenar uzunlukları eşit olan üçgendir. 60 = = a a m( W ) = m( W ) = m( X ) = 60c 60 60 a 3. Çeşitkenar üçgen, kenar uzunlukları birbirinden farklı olan üçgendir. a! b! c b c m( W )! m( W )! m( X ) a Üçgenin Yardımcı lemanları 1. Kenarortay, bir üçgenin herhangi bir köşesini, karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır. v a, v b, v c ile gösterilir. V a V b a b c V c 2. çıortay, bir üçgenin herhangi bir açısını iki eşit parçaya ayıran doğru parçasıdır. n, n, n ile gösterilir. n n n 3. Yükseklik, bir üçgenin herhangi bir köşesinden karşı kenara ya da uzantısına çizilen dik doğru parçasıdır. h a, h b, h c ile gösterilir. h a b c h b h c a Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları h a a h b b c Üçgende çı Özellikleri 1. Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180 dir. y z + y + z = 180 2. Üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360 dir. z y + y + z = 360 3. Üçgenin bir dış açısının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açısının ölçüleri toplamına eşittir. α θ = α + θ 4. a) α b) α c) α = 90c + 2 α = 90c 2 5. a) b) b a c = a + b + c a c b α = a + b + c α = 2 h c 11
OĞRU ÇILR 12
ÇI ÖLÇÜ İRİMLRİ YKLŞIM O 360 = 2π radyan 180 = π radyan r Radyanı dereceye çevirmek için π yerine 180 yazılır. ereceyi radyana çevirmek için ise R oran orantı kullanılır. d = 180c r n İRLİKT ÇÖZLİM 1. 5π 18 radyan kaç derecedir? 2. 160 kaç radyandır? 1. şağıda radyan türünden verilen açı ölçülerini dereceye çeviriniz. a) π 6 c) 7π 15 b) d) 5π 12 17π 18 a. 30 b. 75 c. 84 d. 170 2. şağıda derece türünden verilen açı ölçülerini radyana çeviriniz. a) 45 b) 108 c) 150 d) 288 a. π 4 3π b. 5 5π c. 6 8π d. 5 3. 1. SIR SİZ 4. 5π 5. 180c = = 5. 10c = 50c dir. 18 18 2. 180 π ise 160 olur 180. = 160. π 160c.π 8π = & = radyandır. 180c 9 65 O π 3, O, doğrusal Yukarıda verilenlere göre, kaç radyandır? 11π 4π 75 9 Şekilde verilenlere göre, ma k = kaç derecedir? 36 25 13
YKLŞIM Küsuratlı açıları, dakika ve saniye cinsinden belirtiriz. Ölçüsü tam sayı olmayan açılarla işlem yaparken (1 = 60' = 3600'') bilgisi kullanılır. İRLİKT ÇÖZLİM 1. (32, 51) lik açının derece, dakika ve saniye türünden eşitini bulunuz. 2. 28 24' 18'' lik açının derece cinsinden eşitini bulunuz. 3. 15 16' 27'' lik açı ile 12 45' 36'' lik açının toplam ve farkını bulunuz. 4. α = 36 42' 28'' ise 5a yı hesaplayınız. 1. (12,15) lik açının derece, dakika ve saniye türünden eşitini bulunuz. 2. (36 36' 18'') lik açının derece türünden eşitini bulunuz. 12 25' 48'' (36,605) SIR SİZ 1. (32, 51) = 32 + (0, 51) = 32 + (0, 5) + (0, 01) = 32 + (0, 5). 60' + (0, 01). 3600'' = 32 + 30' + 36'' = 32 30' 36'' olur. 2. 28 24' 18'' = 28 + 24' + 18'' 24 18 = 28 + + 60 3600 = 28 + (0, 4) + (0, 005) 3. 15 16' 27'' 12 45' 36'' = (28,405) olur. 27 61' 63'' = 28 2' 3'' 14 75' 87'' 12 45' 36'' 2 30' 51'' 4. α = 36 42' 28'' 5α = 5(36 42' 28'') = 180 210' 140'' = 180 212' 20'' = 183 32' 20'' olur. 3. 46 5' 12'' 35 43' 39'' 15 16' 27'' = 15 15' 87'' = 14 75' 87'' Yukarıdaki çıkarma işleminin sonucunu hesaplayınız. 4. 5. (14 43' 31'') çarpma işleminin sonucunu hesaplayınız. 10 21' 33'' 73 37' 35'' 14
R ÇI - GNİŞ ÇI YKLŞIM "n büyük" ya da "en küçük" değerlerin sorulduğu sorularda basit eşitsizlik bilgileri kullanılır. i) α dar açı ise, 0 < α < 90 eşitsizliği, ii) α geniş açı ise, 90 < α < 180 eşitsizliği kullanılır. İRLİKT ÇÖZLİM geniş açı olmak üzere, m( ) + m( ) = 192c ise m( ) nin alabileceği en büyük ve en küçük tam 1. 2. sayı değerleri toplamı kaç derecedir? O 5 30 3α 18 O 3. geniş açı olmak üzere, m( ) + m( ) = 222 ise m( ) kaçtır? O açısı dar açı ise 'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç derecedir? 23 O açısı geniş açı olduğuna göre, a'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaç derecedir? nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 37 131 geniş açı ise 90 < m( ) < 180 dir. m( ) + m( ) = 192c & m( ) = 192c - m( ) & 90c < 192c - m( ) < 180c & 90c < 192c -m( ) ve 192c -m( ) < 180c m( ) < 102c ve 12c 1 m( ) O hâlde, 12 < m () m () SIR SİZ m () = 101 (en büyük) = 13 (en küçük) < 102 bulunur. 4. dar açı olmak üzere, & 101 + 13 = 114 dir. m( ) + m( ) = 102 ise, m( ) kaçtır? nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 5. dik açı, doğru açı ve m( ) + m( ) 2. m( ) = 130 olduğuna göre, m( ) kaç derecedir? 6. İki tam açı ile üç doğru açının toplamı kaç dik açı oluşturur? 13 70 14 15
ÇI TÜRLRİ YKLŞIM ir açısının tümleri 90 ve bütünleri de 180 olur. İRLİKT ÇÖZLİM 1. ütünlerinin ölçüsü tümlerinin ölçüsünün üç katı olan açı kaç derecedir? 1. Ölçüsü ( 20 ) olan açının tümleri nedir? 110 2. Ölçüsü (2a + 70 ) olan açının bütünleri nedir? 110 2α 3. Kendisi tümlerinden 12 eksik olan açı kaç derecedir? 4. Kendisi bütünlerinden 50 fazla olan açı kaç derecedir? 5. ütünlerinin ölçüsü, tümlerinin ölçüsünün iki katının 40 fazlası olan açı kaç derecedir? 39 115 40 SIR SİZ 1. çı ise bütünleri 180, tümleri de 90 tir. 180 = 3. (90 ) 180 = 270 3 2 = 90 = 45 dir. 6. Tümlerinin bütünlerine oranı 8 3 olan açının ölçüsü kaç derecedir? 5 7. ütünler iki açının oranı tür. unlardan 13 küçük olanının tümleri kaç derecedir? 8. ütünler iki açıdan biri diğerinin 2 katından 15 fazladır. Küçük olanın tümleri kaç derecedir? 9. ir açının bütünlerinin tümleri, kendisinden kaç derece küçüktür? 10. ir açının tümlerinin bütünleri, kendisinden kaç derece fazladır? 36 40 35 90 90 16
OĞRU ÇILR YKLŞIM Soruda, eşit oldukları belirtilen açılara harfler atanarak gerekli denklemler kurulur ve bu denklemler çözülür. İRLİKT ÇÖZLİM 1. 2. O 40, O, doğrusal mo ( ) = mo ( ) mo ( ) = mo ( ) Yukarıda verilenlere göre, mo ( ) kaç derecedir? 50 O Şekilde verilenlere göre, mo ( ) kaç derecedir? O 28 Şekilde verilenlere göre, mo ( ) kaç derecedir? 65 76 SIR SİZ 3. 4. b b 40 a a O 2a + 2b + 40 = 180 mo ( ) = b + 40 + a 2a + 2b = 140 = 70 + 40 a + b = 70 dir. 144 O = 110 olur. Şekildeki O ve O açılarının açıortayları arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir? 62 O 135 Şekildeki komşu iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü 43 ise kaç derecedir? 24 17
YKLŞIM Paralel iki doğru üçüncü bir doğru ile kesildiğinde ters açı, iç ters açı, yöndeş açı ve karşıt durumlu açılar oluşur. İRLİKT ÇÖZLİM 5 + 20 y 3 + 80 d 3 d 1 d1 'd2 Yukarıda verilenlere göre, y kaç derecedir? 1. d 3 84 2α 5α + 30 2θ + 20 d 1 d 2 d 1 'd 2 Yukarıda verilenlere göre, a q farkı kaç derecedir? 2. d 3 5 + 64 8 32 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? d 1 d 2 d 2 d1 'd2 12 32 SIR SİZ 5 + 20 y 3 + 80 d 3 5 + 20 d 1 d 2 3. d 4 4. 6 12 150 192 7y d 1 'd 2 olduğu için 5 + 20 + 3 + 80 = 180 & 8 = 80 & = 10 dir. y + 5 + 20 = 180 & y + 50 + 20 = 180 & y = 110 dir. d 1 d 2 d 3 d 1 'd 2 'd 3 Yukarıda verilenlere göre, + y toplamı kaç derecedir? d 4 3a d 1 4b d 2 d 3 5c d 1 'd 2 'd 3 Yukarıda verilenlere göre, a ile c arasındaki sıralamayı bulunuz. 13 a > c 18
YKLŞIM Paralel iki doğru arasındaki aynı yöne bakan ardışık açıların toplamı, bunlara göre ters tarafta bulunan ardışık açıların toplamına eşittir. una kısaca, "Sağa bakanların toplamı ile sola bakanların toplamı eşittir." diyebiliriz. a d 1 a d 1 & a b d 3 ve = a + b dir. b b d 2 d 2 d 1 'd 2 d 1 'd 2 'd 3 İRLİKT ÇÖZLİM a + 20 2a + 18 5a 12 d 1 d 2 d 1 'd 2 Yukarıda verilenlere göre, a kaç derecedir? 1. d 40 1 d 2 d 1 'd 2 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 2. d + 10 1 6 70 3 20 d 2 d 1 'd 2 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 3. 20 d 1 50 80 d 1 'd 2 d 2 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 50 30 50 Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları SIR SİZ Sağa bakan açı: 5a 12 Sola bakan açılar: a + 20 ile 2a + 18 5a 12 = a + 20 + 2a + 18 & 5a 12 = 3a + 38 & 2a = 50 & a = 25 dir. 4. 52 d 1 d 1 'd 73 2 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 5. d 1 25 d 1 'd 2 63 150 d 2 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 6. d 1 140 d 1 'd 2 d 2 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? d 2 145 58 50 19
YKLŞIM Paralel iki doğru arasında birden fazla kırılma noktası varsa bir önceki sayfada anlatılan durumu her bir kırılma noktası için ayrı ayrı uygulamak gerekir. I. durum II. durum III. durum d 1 d 1 d 1 d 1 y z y z d 2 d 2 d 2 d 2 İRLİKT ÇÖZLİM d 1 50 d 2 d 1 'd 2 olduğuna göre, kaç derecedir? 1. d 1 50 d 2 d 1 'd 2 olduğuna göre, kaç derecedir? 2. d 1 160 d 102 2 d 3 d 1 'd 2 'd 3 olduğuna göre, kaç derecedir? 100 62 Çap Yayınları Çap Yayınları Çap Yayınları SIR SİZ 3. a a 50 b b d 1 d 2 I. durum b a = a + b d 1 d 2 II. durumdan; 2a + 2b = 50 & a + b = 25 I. durumdan; = a + b & = 25 bulunur. d 3 d 4 140 95 d 1 d 2 II. durum 2a 50 2b 2a + 2b = 50 d 1 'd 2 olduğuna göre, kaç derecedir? 4. d 1 40 y d 1 'd 2 olduğuna göre, + y toplamı kaç derecedir? d 2 d 1 d 2 55 80 20
YKLŞIM urum Yapılacak olan Yapılacak olan a b d 1 d 2 ise a b a b ya da a b a b d 1 d 2 = a + b = a + b İRLİKT ÇÖZLİM 1. 3 + 30 42 18 K ['[ m ( ) = 42c mk ( ) = 18c m( ) = 3 + 30c Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 32 86 K ['[ Yukarıda verilenlere göre, mk ( ) = kaç derecedir? 2. 78 6 18 36 K ['[ Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 54 10 SIR SİZ 42 I. Yol 3 + 30 18 42 18 [ ve [ ters taraftan uzatılırsa 42 + 18 = 3 + 30 60 = 3 + 30 = 10 olur. 3. 4. 2 + 5 5 10 K 30 42 18 II. Yol 42 18 [K'[ çizilirse m ( ) = 42 + 18 3 + 30 = 60 = 10 olur. K'[ Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 20 K L 80 25 ['[KL ['[ Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? K 15 55 21
YKLŞIM Kırılma noktasından verilen paralel doğrulara paralel bir başka doğru çizilerek kaç tane 180 olduğuna bakalım: b a 180 b c a 180 180 c b d a 180 180 180 a + b = 180 a + b + c = 2. 180 = 360 a + b + c + d = 3. 180 = 540 İRLİKT ÇÖZLİM ['[ 5 18 3 + 26 m ( ) = 5-18c m ( ) = 3 + 26c m ( ) = 80c -4 80 4 Yukarıdaki verilere göre, kaç dercedir? 1. 130 ['[ 160 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 2. 150 ['[ Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 70 105 SIR SİZ Kırılma noktası 'dan [ ve [ ye bir paralel çekildiğinde iki tane 180 nin olduğu yani, şeklin içindeki açıların toplamının 360 ye eşit olduğu anlaşılır. 5 18 + 3 + 26 + 80 4 = 360 4 + 88 = 360 4 = 272 = 68 dir. 3. 140 ['[ 150 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 125 4. d 1 d 1 'd 2 140 160 d 2 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 10 22
YKLŞIM Paralel doğruların dış tarafında kalan kırılma noktasından paralel çekilir. Soruda Verilen Yapılacak Olan Soruda Verilen Yapılacak Olan İRLİKT ÇÖZLİM 1. 2. 72 64 7 ' 7 m( ) = 72c m ( ) = 64c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 70 150 ['[ Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 110 50 ['[ Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 80 120 K 72 SIR SİZ 3. 4. 72 64 44 65 L K 75 130 KL'['[ çizilirse mk ( ) = m ( ) = 72c olur. m ( K) + m ( ) + m ( L) = 180c 72c + 64c + m ( L) = 180c m ( L) = 44c m ( L) + m ( ) = 180c 44c + = 180c = 136c L [KL'['[ Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 140 ['[ []'[] Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? bulunur. 85 140 23
YKLŞIM Uç noktalardan paralel çekmeye devam ediyoruz. Soruda Verilen Yapılacak Olan Ya da a b c y d ''Kaz ayağı'' şeklinde verilen bu tür açı sorularında şeklin içerisindeki açıların ölçülerinin toplamı şeklin dışındaki açıların ölçülerinin toplamına eşittir. + y = a + b + c + d İRLİKT ÇÖZLİM 1. 2. 20 110 30 80 7= 7 m ( ) = 20c m ( ) = 110c m( ) = 30c m ( ) = 80 Yukarıda verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 50 150 80 Şekildeki verilere göre, kaç derecedir? 30 85 72 80 40 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 20 23 3. I. Yol : + 20 + 90 + 30 = 110 + 80 + 140 = 190 II. Yol K M SIR SİZ 4. = 50 a 110 80 b 20 30 135 L N 70 80 110 40 ve noktalarından KL'MN çizilirse (a + 20 ) + 90 + (b + 30 ) = 110 + 80 a + b = 50 = a + b = 50 bulunur. Şekildeki verilere göre, kaç derecedir? 80 210 40 []'[] Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 15 30 24
YKLŞIM Kolları paralel olan açıların kollarının yönlerine bakılarak aşağıdakiler söylenebilir. i) ii) iii) α θ Kenarları aynı yönde paralel olan açılar eşittir. Kenarları zıt yönde paralel olan açılar eşittir. Kenarlarının biri aynı yönde diğeri zıt yönde olan açılar bütünlerdir. (α + θ = 180 ) İRLİKT ÇÖZLİM K [K'[ ['[ [ ve [ açıortay 1. 2. Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 5 20 y K 60 3 ['[K ['[K Yukarıda verilenlere göre, mk ( ) = y kaç derecedir? 3 18 72 2 ['[ ['[ Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 30 18 SIR SİZ 3. 4. K α α α α α mk ( ) = m ( ) = α olsun. m ( ) = mk ( ) = α (iç ters açılar) m ( ) = m ( ) = α (iç ters açılar) m ( ) = m ( ) = α ve üçgeninde 3α = 180 α = 60 olur. + α = 180 & + 60 = 180 & = 120 dir. 3 + 40 7 60 ['[ ['[ Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 130 ['[] ['[ [ açıortay Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 20 80 25
YKLŞIM Kenarları birbirine dik konumda olan açılardan i) irinin köşesi diğerinin içinde ise açılar bütünlerdir. ii) irinin köşesi diğerinin dış bölgesinde ise açılar eştir. α θ α + θ = 180 α θ α = θ İRLİKT ÇÖZLİM 1. 2. 2 + 40 3 70 7 = 7 7 = 7 m( W ) = 2 + 40c m( X ) = 3 70c Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 70 2 40 + Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 3 + 20 5 4 y Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = y kaç derecedir? 10 34 SIR SİZ 3. 4. açısının köşesi, açısının iç bölgesinde olduğu için bu açılar bütünlerdir. (Ya da dörtgenin iç açıları toplamı 360 dir.) 3 70 + 2 + 40 = 180 K 5 30 = 180 5 = 210 = 42 bulunur. 80 Yukarıda verilenlere göre, mk ( ) = kaç derecedir? 36 K 130 Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 72 26
NOTLR................................................................................................ 27
TST 1 : ÇI ÖLÇÜ İRİMLRİ 1. 11π 15 radyan kaç derecedir? ) 135 ) 132 ) 130 ) 128 ) 125 2. 112 lik açı kaç radyandır? ) 36π 11 ) 32π 25 ) 26π 15 ) 28π 45 ) 27π 40 3. (52,12) lik açı aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 52 6' 72'' ) 52 36' 44'' ) 52 7' 12'' ) 52 28' 32'' ) 52 12' 24'' 4. 41 15' 18'' lik açının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) (41, 30) ) (41, 255) ) (41, 35) ) (41, 25) ) (41, 235) 5. = 16 43' 56'' ve y = 15 39' 46'' olduğuna göre, + y toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 32 23' 42'' ) 31 23' 42'' 6. m( ) = 29 11' 23'' ve m( ) = 18 24' 43'' olduğuna göre, m( )- m( ) farkı aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 10 42' 44'' ) 11 46' 42'' ) 10 28' 36'' ) 10 46' 40'' 7. m( ) 3. m( ) ) 11 22' 40'' = 26 32' 43'' ise aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 78 38' 9'' ) 79 9' 38'' ) 79 38' 9'' ) 76 42' 48'' 8. m( ) ) 78 42' 18'' = 36 31' 30'' ise m( ) aşağıdakilerden hangisine eşittir? 5 ) 7 18' 18'' ) 7 18' 36'' ) 6 42' 56'' ) 7 24' 36'' ) 7 48' 36'' 9. Ölçüsü 12345'' olan açı kaç derece, kaç dakika, kaç saniyedir? ) 3 42' 56'' ) 2 58' 44'' ) 31 22' 33'' ) 32 43' 23'' ) 32 42' 23'' ) 4 20' 36'' ) 3 25' 45'' ) 2 44' 36'' 28
10. Ölçüsü 2 25' 35'' olan açı kaç saniyedir? ) 6896 ) 8735 ) 7295 ) 9243 ) 8024 11. = 36 43' 29'' ve y = 60 dir. 12. una göre, 3y 2 farkı aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 100 47' 28'' ) 108 20' 36'' ) 106 33' 2'' ) 106 43' 26'' 13. ) 107 42' 26'' O 57 46' 32'', O, doğrusal, mo ( ) = 57 46' 32'' Yukarıda verilenlere göre, mo ( ) = aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 123 13' 28'' ) 122 13' 28'' ) 122 47' 32'' ) 123 37' 42'' ) 121 58' 56'' [] [] m ( ) = 26 15' 26 15' Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 63 45' ) 63 5' ) 63 25' ) 61 75' ) 61 5' 14. 52 27' [] [] m( ) = 52 27'' ) 2428 ) 2253 ) 2243 15. ) 2156 ) 2044 üçgen m( ) = 76 45' 27'' m( ) = 38 13' 41'' Yukarıda verilenlere göre, m( ) = kaç dakikadır? Yukarıda verilenlere göre, m( ) = aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 68 48' 58'' ) 66 58' 48'' ) 65 12' 52'' ) 66 12' 18'' 16. 63 4π 9 ) 65 52'' üçgen m( 4π ) = 9 m( ) = 63 Yukarıda verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? ) 35 ) 36 ) 37 ) 38 ) 39 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 29
TST 2 : ÇI ÇŞİTLRİ - I 1. 2. O 5 25 O dar açı mo ( ) = 5-25c Yukarıda verilenlere göre, 'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? ) 20 ) 21 ) 22 ) 23 ) 24 7 18 O O geniş açı mo ( ) = 7-18c Yukarıda verilenlere göre, 'in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) 15 ) 16 ) 17 ) 18 ) 19 3. dar açı olmak üzere, m( ) + 2. m( ) = 120c dir. una göre, m( ) nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? ) (15, 30 ) ) (30, 60 ) ) (15, 45 ) ) (15, 60 ) ) (30, 60 ) 4. geniş açı olmak üzere, 2. m( )- 3. m( ) = 270c dir. una göre, m( ) sayı değeri kaçtır? nin alabileceği en büyük tam 5. 30 < 70 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima dar açıdır? ) 150 2 ) 3 10 ) 4 150 ) 50 5 4 6. 45 < α < 52 olduğuna göre, ) 120 3 2 aşağıdakilerden hangisi daima geniş açıdır? ) 3α + 26 ) 4α 27 ) 5α 80 ) 180 2α ) 245 3α 7. Ölçüsü 5 40 olan açının tümleyeninin ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir? ) 50 5 ) 50 + 5 ) 130 + 5 ) 120 4 ) 130 5 200c - 4 8. Ölçüsü olan açının bütünlerinin ölçüsü 5 aşağıdakilerden hangisidir? ) 140 4 5 ) 140 + 4 5 ) 100 + 2 ) 27 ) 28 ) 29 ) 30 ) 31 ) 145 4 ) 152 + 4 30
9. ütünlerinin ölçüsü kendi ölçüsünün 3 1 ünden 80 fazla olan açı kaç derecedir? 13. ütünlerinin tümlerine oranı ölçüsü kaç derecedir? 22 olan açının 7 ) 90 ) 80 ) 75 ) 70 ) 60 ) 54 ) 52 ) 50 ) 48 ) 46 10. Tümlerinin ölçüsü kendi ölçüsünün iki katının 18 eksiğine eşit olan açı kaç derecedir? ) 36 ) 38 ) 40 ) 42 ) 44 11. Tümleri ile bütünlerinin toplamı 180 olan açının tümleri kaç derecedir? ) 42 ) 45 ) 52 ) 56 ) 64 12. ütünleyeninin ölçüsü tümleyeninin ölçüsünün 5 katı olan açı kaç derecedir? 14. ütünler iki açıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 20 dir. una göre, küçük açı kaç derecedir? ) 28 ) 30 ) 32 ) 34 ) 36 15., y, z açı ölçüleri olmak üzere, 'in tümleri y, y'nin z 13 bütünleri z ve = tir. y 5 una göre, kaç derecedir? ) 30 ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 16. ve tümler iki açı olmak üzere, + 22c 7 = dir. - 22c 2 una göre, farkı kaç derecedir? ) 80 ) 75 ) 67,5 ) 60 ) 45 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 31
TST 3 : ÇI ÇŞİTLRİ - II 1. 2. 3., O, doğrusal [O] [] mo ( ) = 6 + 52c 3 + 20 O mo ( ) = 3 + 20c 6 + 52 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5, O, doğrusal mo ( ) = 7 7 81 4 mo ( ) = 81c -4 O Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? ) 30 ) 31 ) 32 ) 33 ) 34 [ [ m ( ) = 4-40c 6 + 110 4 40 m ( ) = 6 + 110c Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 4. 5. 6. 110 60 O mo ( ) = 110c mo ( ) = 60c Yukarıda verilenlere göre, O ve O açılarının açıortayları arasındaki açı kaç derecedir? ) 100 ) 95 ) 90 ) 85 ) 80 O α [O [O mo ( ) = α O ve O açılarının açıortayları arasındaki açının ölçüsü 72 olduğuna göre, mo ( ) = a kaç derecedir? ) 54 ) 53 ) 52 ) 51 ) 50 O 78, O, doğrusal mo ( ) = mo ( ) mo ( ) = mo ( ) mo ( ) = 78c Yukarıda verilenlere göre, mo ( ) kaç derecedir? ) 22 ) 20 ) 18 ) 16 ) 14 ) 53 ) 52 ) 51 ) 50 ) 49 32
7. 8. 9. O 62, O, doğrusal mo ( ) = mo ( ) mo ( ) = mo ( ) mo ( ) = 62c Yukarıda verilenlere göre, mo ( ) kaç derecedir? ) 125 ) 124 ) 123 ) 122 ) 121 2y O 2y, O, doğrusal mo ( ) = mo ( ) = mo ( ) = mo ( ) = mo ( ) = 2y 2 y = 10 Yukarıda verilenlere göre, mo ( ) kaç derecedir? ) 90 ) 80 ) 70 ) 60 ) 50 a b O c, O, doğrusal a b c = = 6 7 5 Yukarıda verilenlere göre, b c farkı kaç derecedir? 10. 11. 12. O 132 [O [O [O [O [O, O açısının açıortay mo ( ) = 2 mo ( ) mo ( ) = 132c Yukarıda verilenlere göre, mo ( ) kaç derecedir? ) 78 ) 76 ) 74 ) 72 ) 70 α O mo ( ) = mo ( ) = y mo ( ) = z Yukarıda verilenlere göre, mo ( ) = a aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) y + z ) + y + z ) + y z ) y + z ) y z O 72, O, doğrusal, O, doğrusal mo ( ) = mo ( ) mo ( ) = 72c Yukarıda verilenlere göre, mo ( )- mo ( ) farkı kaç derecedir? ) 30 ) 20 ) 15 ) 10 ) 5 ) 24 ) 28 ) 32 ) 36 ) 40 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 33
TST 4 : OĞRU ÇILR - I 1. 2. 3. [ ' [ 6 + 5 m ( ) = 6 + 5c m ( ) = 4 + 15c 4 + 15 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? ) 12 ) 14 ) 16 ) 18 ) 20 d 3α + 40 1 ' d 2 d 1 L ml ( ) = 3α + 40c m ( ) = 5α 10c K d 2 5α 10 Yukarıda verilenlere göre, a kaç derecedir? ) 20 ) 25 ) 30 ) 35 ) 40 120 160 [ ' m ( ) = 120c m ( ) = 160c 4. 5. 6. 30 K 50 60 15 L K ' L m ( ) = 30c m ( ) = 50c m ( ) = 60c ml ( ) = 15c Yukarıda verilenlere göre, mk ( ) = kaç derecedir? ) 40 ) 35 ) 30 ) 25 ) 20 17 288 α 19 [ ' [ m ( ) = 17 m ( ) = 19 m ( ) = 288c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = a kaç derecedir? ) 18 ) 19 ) 20 ) 21 ) 22 86 2 + 15 28 K [ ' [ m( ) = 86c m ( ) = 2 + 15c mk ( ) = -28c Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? ) 80 ) 90 ) 100 ) 110 ) 120 ) 32 ) 33 ) 34 ) 35 ) 36 34
7. d 1 8. 9. 118 d 2 d 1 ' d 2 [], [] açıortay m ( ) = 118c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 63 ) 62 ) 61 ) 60 ) 59 20a 7 15a + 8 [ ' [ [ ' [ m ( ) = 20a -7c m ( ) = 15a + 8c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 125 ) 126 ) 127 ) 128 ) 129 d 1 d 2 d 1 'd 2 m ( ) = 2m ( ) 2m ( ) = 3m ( ) Yukarıda verilenlere göre, m ( ) + m ( ) toplamı kaç derecedir? 10. 11. 12. 150 2 + 30 160 [ ' [ m ( ) = 150c m ( ) = 160c m ( ) = 2 + 30c Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? ) 12 ) 11 ) 10 ) 9 ) 8 5α 16 θ 3α + 20 [ [ [ [ m ( ) = 3α + 20c m( ) = 5α 16c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = q kaç derecedir? ) 172 ) 170 ) 168 ) 166 ) 164 70 140 45 m ( ) = 140c m( ) = 70c m ( ) = 45c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 170 ) 168 ) 166 ) 164 ) 162 ) 40 ) 35 ) 30 ) 25 ) 20 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 35
TST 5 : OĞRU ÇILR - II 1. 2. 3. 132 44 [ ' [ m ( ) = 132c m ( ) = 44c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 94 ) 92 ) 90 ) 88 ) 86 152 143 [ ' [ m ( ) = 152c m ( ) = 143c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 105 ) 110 ) 115 ) 120 ) 125 76 d 1 d 2 d 1 ' d 2 [] açıortay m ( ) = 76c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 4. 5. 6. K 160 170 50 [K ' [ mk ( ) = 160c m ( ) = 170c m ( ) = 50c m ( ) = 20c 20 Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 80 ) 75 ) 70 ) 65 ) 60 128 62 y G H [GH ' [ ' m ( ) = 128c mg ( ) = 62c Yukarıda verilenlere göre, y farkı kaç derecedir? ) 48 ) 50 ) 52 ) 54 ) 56 G 250 140 K [ ' [K ' [G [] ' [ m( ) = 140c mg ( ) = 250c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 38 ) 36 ) 34 ) 32 ) 30 ) 105 ) 110 ) 115 ) 120 ) 125 36
7. 8. 9. y 142 168 [ ' [ m ( ) = 142c m( ) = 168c Yukarıda verilenlere göre, + y toplamı kaç derecedir? ) 118 ) 120 ) 125 ) 128 ) 130 K 4y L 5 G 70 140 H [ ' [ ' [GH m ( ) = 140c m( ) = 70c m ( ) = 5 mkl ( ) = 4y Yukarıda verilenlere göre, y farkı kaç derecedir? ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 8 G 160 150 K K L GK ' L [K] [] [K] [] mg ( ) = 150c m ( ) = 160c Yukarıda verilenlere göre, mk ( ) = kaç derecedir? 10. 11. 12. 122 [ ' [ = [] [] m ( ) = 122c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 110 ) 112 ) 114 ) 116 ) 118 100 140 [ ' [ [] ' [] m ( ) = 100c m ( ) = 140c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 35 ) 38 ) 40 ) 42 ) 44 G α 143 θ [] ' [ [G ' [] m ( ) = 143c mg ( ) = α m( ) = θ Yukarıda verilenlere göre, a + q toplamı kaç derecedir? ) 120 ) 125 ) 130 ) 135 ) 140 ) 139 ) 140 ) 141 ) 142 ) 143 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 37
TST 6 : OĞRU ÇILR - III 1. 2. 3. 9 44 5 [ ' [ m ( ) = 44c m ( ) = 9 m ( ) = 5 Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? ) 10 ) 11 ) 12 ) 13 ) 14 95 113 ' m ( ) = 95c m ( ) = 113c m ( ) = 16c 16 Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 10 ) 11 ) 12 ) 13 ) 14 G y 70 140 [ ' [G mg ( ) = 140c m ( ) = 70c m ( ) = y m ( ) = Yukarıda verilenlere göre, + y toplamı kaç derecedir? 4. 5. 6. 110 150 100 [ ' [ m ( ) = 110c m ( ) = 150c m ( ) = 100c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 15 ) 20 ) 25 ) 30 ) 35 110 130 G [ ' [G ' [ [] açıortay m ( ) = 130c m ( ) = 110c Yukarıda verilenlere göre, mg ( ) = kaç derecedir? ) 80 ) 90 ) 95 ) 100 ) 110 H G 68 [ ' [ [H], [] açıortay m ( ) = 68c Yukarıda verilenlere göre, mg ( ) = kaç derecedir? ) 135 ) 140 ) 145 ) 150 ) 160 ) 44 ) 46 ) 48 ) 50 ) 52 38
7. 8. 140 G [ ' [G [ ' [ [ [G m ( ) = m ( ) m ( ) = 140c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 100 ) 105 ) 110 ) 115 ) 120 46 [ ' [ m ( ) = m ( ) m ( ) = 46c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 46 ) 44 ) 42 ) 40 ) 38 9. G 44 30 [G ' [ [], [] açıortay mg ( ) = 44c m ( ) = 30c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 10. 110 [ ' [ [], [] açıortay m ( ) = 110c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 150 ) 140 ) 130 ) 120 ) 110 11. 12. G 55 45 [ ' [ [ ' [G [ [ m ( ) = 45c mg ( ) = 55c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) kaç derecedir? ) 35 ) 40 ) 45 ) 50 ) 55 28 G G ' [], [] açıortay m ( ) = 28c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? ) 57 ) 56 ) 55 ) 54 ) 53 ) 50 ) 52 ) 54 ) 56 ) 58 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 39
ÜÇGN ÇILR 40
ÜÇGN ÇILR 1. Genel çı bilgileri YKLŞIM Üçgenin iç açıları toplamı 180, dış açıları toplamı 360 dir. İRLİKT ÇÖZLİM 1. üçgen m( W ) = 45c 50 m ( X) = 55c m ( ) = 50c 45 55 Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 32 76 Şekilde verilenlere göre, m( W ) = kaç derecedir? 2. 100 60 120 Şekilde verilenlere göre, m( W ) = kaç derecedir? 3. 4 5 3 Şekilde verilenlere göre, m( W ) kaç derecedir? 46 80 60 & den; m( V ) + 45c + 55c = 180c m( V ) = 80c ve & den SIR SİZ m( V ) + 50c + = 180c 80c + 50c + = 180c = 50c dir. 4. 125 140 Şekilde verilenlere göre, kaç derecedir? 5. 6. 3 + 40 4 15 Şekilde verilenlere göre, kaç derecedir? z y + y + z = 300 Şekilde verilenlere göre, z kaç derecedir? 95 35 60 41
YKLŞIM Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. a + b 20 + 30 = 50 + 50 a b 20 30 50 İRLİKT ÇÖZLİM 70 80 Yukarıda verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 1. 18 76 üçgen [], [] açıortay m ( ) = 70c m ( ) = 80c Yukarıda verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 2. θ 56 α 72 üçgen 2 m ( ) = m( ) Şekilde verilenlere göre, α + q toplamı kaç derecedir? 75 52 SIR SİZ 70 80 a a b b (i) ve (ii) denklemleri taraf tarafa toplandığında 2a + b = 70 2b + a = 80 3(a + b) = 150 a + b = 50 3. m( ) = m ( ) = a ve m ( ) = m ( ) = b olsun. m ( ) = m ( ) + m ( ) 70c = 2a + b... () i m( ) = m ( ) + m ( ) 80c = 2b + a... () ii & 'den; + 2a + 2b = 180 + 100 = 180 = 80 bulunur. 70 25 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 4. 60 75 Şekilde verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 45 30 42
YKLŞIM İkizkenar üçgende taban açıların ölçülerinin birbirine eşit olduğu ve dış açının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğu düşünüldüğünde aşağıdaki sorular kolaylıkla çözülür. & & 2 İRLİKT ÇÖZLİM üçgen = = = m( ) = 25 25 K Yukarıda verilenlere göre, mk ( ) = kaç derecedir? 1. 2. 36 üçgen Yukarıda verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? Yukarıda verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 80 36 üçgen 20 Çap Yayınları Çap Yayınları SIR SİZ 75 75 25 100 50 50 25 K = & m ( ) = 25c dir. m ( ) = m ( ) + m ( ) = 25c + 25c = 50c olur. = & m ( ) = 50c dir. m ( ) = m ( ) + m ( ) = 50c + 25c = 75c dir. = & m ( ) = 75c ve = m( ) + m( ) = 75c + 25c = 100c bulunur. 3. üçgen = Yukarıda verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 4. 43 540 Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 7 üçgen m ( ) = 140c 140
YKLŞIM Soruda verilen eş uzunlukları ikişer ikişer eşleyerek incelemek gerekir. i) ii) iii) & = ise, = ise, = eşitliği işe m ( ) = m ( ) m( ) = m( ) yaramaz İRLİKT ÇÖZLİM 33 üçgen = = m ( ) = 33c Yukarıda verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 1. 2. 24 Şekilde verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 20 70 Şekilde verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 44 30 +33 +33 33 = olduğu için m ( ) = m ( ) = tir. = olduğu için m() = m() = + 33c olur. & ' den; SIR SİZ m() = m( ) + m( ) = + 33c ve + + 33c + + 33c = 180c & 3 = 114c & = 38c dir. 3. 80 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 4. 35 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 60 40 44
YKLŞIM ir üçgenin içinde kenar uzunlukları farklı ikizkenar üçgenler varsa eşit açılara aynı harfler verilerek gerekli denklemler kurulur. İRLİKT ÇÖZLİM 1. 2. 70 üçgen = = m ( ) = 70c Şekilde verilenlere göre, m( W ) = kaç derecedir? 82 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 28 üçgeninde verilenlere göre, m ( ) kaç derecedir? 49 104 SIR SİZ a 70 b a b 180 2a 180 2b & den; + (180 2a) + (180 2b) = 180 = 2a + 2b 180 = 2. 110 180 = 40 dir. 3. 4. m ( ) = m( ) = a ve m ( ) = m( ) = b olsun. a + b + 70c = 180c a + b = 110c dir. üçgen m ( ) = 130c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 54 Şekilde verilenlere göre, m( W ) = kaç derecedir? 45 80 63
YKLŞIM İkişer kenarlarının uzunlukları eşit olan ikizkenar üçgenlerde tepe açılarının eş olduğu söylenemez. Örneğin; K 10 100 10 10 50 10 = = KL = KM =10 br olmasına rağmen m( )! m( K ) dır. L M İRLİKT ÇÖZLİM 1. 2. 18 Şekilde verilenlere göre, m ( ) kaç derecedir? 24 Şekilde verilenlere göre, m ( ) kaç derecedir? 42 üçgen = = m ( ) = 42c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) kaç dercedir? 72 66 SIR SİZ 3. 4. 42 & den; Şekilde verilenlere göre, m ( ) kaç derecedir? 86 Şekilde verilenlere göre, m ( ) kaç derecedir? 42 y y 2 + 2y + 2. 42 = 180 + y = 48 m ( ) = 48 dir. m ( ) = m ( ) = 42 c dir. m ( ) = m ( ) = y ve m ( ) = m ( ) = olsun. 45 43 46
YKLŞIM Soruda verilen eşit açılara aynı harfleri vererek gerekli denklem yazıldığında istenilen bilgi kendiliğinden ortaya çıkmış olur. 1. 2. 50 Yukarıda verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 65 üçgen m ( ) = m ( ) = m ( ) = 50c Şekilde verilenlere göre, m ( ) kaç derecedir? 70 Şekilde verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? İRLİKT ÇÖZLİM 65 70 SIR SİZ 65 y 65 y 50 m( ) + m ( ) = m ( ) + y = 65c + y = 65c di r. 3. 4. m ( ) = m() = y olsun. & ' de 180c - 50c m() = m() = 2 = 65c = dir. Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 124 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 90 62 47
YKLŞIM Üçgenin bir köşesinden çizilen yükseklik ile açıortay arasında kalan açının ölçüsü, diğer köşelerdeki açıların ölçülerinin farkının yarısına eşittir. m( )- m( ) 7H= 7 ve mn ( ) = mn ( ) ise = dir. 2 H N 1. 2. 1. 70 36 üçgen m ( ) = m ( ) 7= 7 m( ) = 70c m( ) = 36c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 20 üçgen m ( ) = m ( ) 30 Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? üçgen m ( ) = m ( ) İRLİKT ÇÖZLİM 20 m( ) = m( ) + 46c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 23 SIR SİZ 3. 4. 1. I. Yol Yukarıda verilen bağıntıya göre, 70c - 36c 34c = = = 17c 2 2 II. Yol 20 20 + 70 36 & de; di r. & ' den, m ( ) = 20c dir. m() = m( ) = 20c + tir. 70 + 36 + 20 + + + 20 = 180 & = 17 bulunur. 32 m ( ) = m ( ) 2 Yukarıda verilenlere göre, m( )- m( ) farkı kaç derecedir? 27 64 m ( ) = m ( ) m ( ) = 4. m ( ) Yukarıda verilenlere göre, m( ) kaç derecedir? 18 48
YKLŞIM a a b Şekildeki a,, b açıları arasında = + bağıntısı vardır. u bağıntının yanı sıra genel 2 açı bilgileri kullanılarak bu tür sorular kolaylıkla çözülebilir. b 1. 2. 70 120 [ açıortay Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 110 150 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 40 85 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? İRLİKT ÇÖZLİM 70 50 I. Yol: II. Yol: 70 + 120 = 2 70 70 = 95 dir. m ( ) = 60 (ütünler açı) 25 60 120 & ' den; m ( ) + 70c + 60c = 180c m ( ) = m ( ) = 25c dir. m( ) = 50c ve 25 & ' den; SIR SİZ 3. 4. m () = 70 (Ters açı) = 25 + 70 & = 95 olur. 60 L 100 K Yukarıda verilenlere göre, mkl ( ) = kaç derecedir? 3α 2α 50 160 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 60 64 49
YKLŞIM b İçbükey dörtgende yanda verilen açı bağıntısı kullanılır. a c = a + b + c 1. 2. 70 20 140 m( ) = 70c m ( ) = 20c m ( ) = 140c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 20 70 43 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 300 250 20 Şekilde verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? İRLİKT ÇÖZLİM 133 30 I. Yol SIR SİZ 140 = + 70 + 20 = 50 dir. 3. 4. z II. Yol 70 20 K 140 70 +20 m ( ) = m( ) + mk ( ) 140c = + 90c = 50c dir. y 60 [] uzatılırsa mk ( ) = 70c + 20c = 90c olur. ile y tümler açılar ile z bütünler açılar Yukarıda verilenlere göre, kaç derecedir? 20 40 10 50 Şekilde verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 110 60 50
Üçgenin iç açılarının toplamının 180 olduğu bilgisi, açılarla ilgili eşitsizlik içeren problemlerin çözümünde kullanılır. YKLŞIM 1. ir üçgeninde m( ) + m( ) < 4. m( ) olduğuna göre, açısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaç derecedir? 1. ir üçgeninde m( ) + m( ) < 4. m( ) olduğuna göre, açısının ölçüsü tam sayı olarak en az kaç derecedir? 2. ir üçgeninde m( ) < 3. m( )- m( ) olduğuna göre, açısının en küçük tam sayı değeri kaç derecedir? İRLİKT ÇÖZLİM 37 46 1. SIR SİZ 3. 4. m( ) + m() + m( ) = 180 c ise, m( ) + m() = 180 c - m() dir. O halde, 180 c - m( ) < 4. m( ) 180c < 5. m( ) 36 c < m( ) olur. açısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 37 dir. P 5 18 Şekilde verilenlere göre, 'in alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerleri toplamı kaç derecedir? P 3α 22 Şekilde verilenlere göre, α'nın alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerleri toplamı kaç derecedir? 61 45 51
2. çıortayların Oluşturduğu çılar YKLŞIM çıortay içeren üçgende açı sorularını çözebilmek için aşağıda verilen bağıntılar kullanılır ya da açıortaylara harf verilerek kurulan denklemler yardımıyla çözüme ulaşılır. ÖN İLGİ α α α α 90 α = c + = 2 2 α = 90c 2 İRLİKT ÇÖZLİM 1. 80 2. 30 25 üçgen [] ve [] açıortaylar, m ( ) = 30c Yukarıda verilenlere göre m ( ) = kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre, kaç derecedir? 50 Şekilde verilenlere göre, kaç derecedir? Çap Yayınları Çap Yayınları SIR SİZ 3. 4. I. Yol II. Yol m ( ) = 90c + 2 & 150c = 90c + 2 & & 60c = 2 = 120c 2 40 dir. 3 + 20 a a 50 30 150 b b m ( ) = m ( ) = a ve m ( ) = m ( ) = b olsun. & de, a + b + 150c = 180c a + b = 30 c dir. & de, + 2a + 2b = 180c + 2.30c = 180c = 120c bulunur. Şekilde verilenlere göre, kaç derecedir? 90 Şekilde verilenlere göre, kaç derecedir? 50 2 10 34 52
YKLŞIM Üçgenin iç açıortayları üçgenin içindeki bir noktada kesişir. u nokta, üçgenin "iç teğet çemberinin merkezi" ya da "üçgenin iç merkezi" dir. Sorularda bu noktadan söz edildiğinde, köşelerden bu noktaya çizilen uzunlukların açıortay olduğunu anlamamız gerekir. İRLİKT ÇÖZLİM 1. 2. Ι 40 30 üçgen Ι iç teğet çemberin merkezi m ( Ι) = 40c m ( Ι) = 30c Yukarıda verilenlere göre, mι ( ) = kaç derecedir? 28 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 30 30 10 10 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 28 50 SIR SİZ 3. 4. 40 40 Ι 30 30 O halde, 2 + 80 + 60 = 180 2 = 40 & = 20 dir. 40 25 Ι noktası iç merkez olduğuna göre, [Ι], [Ι] ve [Ι] açıortaydır. iç merkez Şekilde verilenlere göre, m( ) = kaç derecedir? 142 K K iç teğet çemberin merkezi Şekilde verilenlere göre, mk ( ) = kaç derecedir? 50 52 53
YKLŞIM Üçgenin iki dış açıortayı ile bir iç açıortayı, üçgenin dışındaki bir noktada kesişir. u noktaya "üçgenin dış teğet çemberinin merkezi" ya da "dış merkezi" denir. Problemlerde burada sözünü ettiğimiz üç açıortaydan sadece ikisi açık ya da üstü kapalı bir şekilde verilir. u iki açıortayın kesim noktasından geçen diğer uzunluğun üçüncü açıortay olduğunu anlamamız gerekir. 70 55 60 60 dörtgen m ( ) = 70c m ( ) = 55c m ( ) = m( ) = 60c 1. 2. Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 50 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 40 İRLİKT ÇÖZLİM 40 noktası üçgeninin dış teğet çemberinin merkezi Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 50 55 55 70 SIR SİZ 60 60 60 m ( ) = m ( ) = & ' den; 3. 4. 2 + 70 + 60 = 180 & = 25 dir. 80 50 30 75 ve köşelerindeki bütünler açılar hesaplandığında [] ile [] nin üçgeninin dış açıortayları oldukları anlaşılır. unların kesim noktası olan ye çizili diğer uzunluğun ([]) da açıortay olduğu görülür. Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 40 55 54
3. Muhteşem Üçlü İçeren çı Soruları YKLŞIM "Muhteşem Üçlü" nün gizlendiği açı soruları için üçgende verilen üç eşit uzunluk ile 90 lik açıdan yalnızca üçünün verildiği sorularda eksik olan bilgi tamamlanarak çözüme ulaşılır. ÖN İLGİ ik üçgende, dik köşeden hipotenüsü ortadan ikiye bölecek şekilde çizilen uzunluk, hipotenüsün yarısına eşittir. una, "Muhteşem Üçlü" de denir. 1. 2. 36 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 20 80 7+ 7 = # - 7= 7 = = m ( W) = 20c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? İRLİKT ÇÖZLİM 27 Çap Yayınları Çap Yayınları SIR SİZ 3. 25 55 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 4. 33 20 20 40 40 = ile [] [] bilgisi bize" "muhteşem üçlü" yü hatırlatmalıdır. ksik olan [] uzunluğu & çizildiğinde ikizkenar üçgeni elde edilir. = ise, m ( ) = 20c, m ( ) = 20c + 20c = 40c = ise, m ( ) = 40c ve üçgeninde + 20 = 40 + 40 & = 60 bulunur. 10 = 2 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 20 Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 38 55
4. şkenar Üçgen İçeren çı Soruları YKLŞIM şkenar üçgende bir köşeden çizilen yükseklik, kenarortay ve açıortay eştir. u bilgilerden birinin verildiği durumlarda diğer iki bilgi tamamlanarak problem çözülür. 1. 2. eşkenar üçgen [] kenarortay [] açıortay Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? eşkenar üçgen Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 15 40 eşkenar üçgen İRLİKT ÇÖZLİM 120 Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 35 SIR SİZ a) [] açıortay ise aynı zamanda hem yükseklik hem de kenarortaydır. b) [] kenarortay ise aynı zamanda hem 60 30 yükseklik hem de açıortaydır. O hâlde, [] [] ve m ( ) = 30c dir. 30 30 30 & & ' den ya da ' den 3. 4. = 120 olduğu anlaşılır. & eşkenar olduğu için; eşkenar üçgen diklik merkezi Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? K eşkenar üçgen K = 120 Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 45 56
YKLŞIM İki eşit uzunluk arasında 60 lik açı verildiğinde ya da ek çizimle bu bilgiye ulaşıldığında, 60 lik açının kollarının uç noktaları birleştirilerek eşkenar üçgen elde edilir. ÖN İLGİ 60 şkenar üçgenin kenar uzunlukları eşit ve her bir iç açısının ölçüsü 60 dir. 60 60 1. 60 100 α Şekilde verilenlere göre, m ( ) = a kaç derecedir? 2. 40 α 60 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = a kaç derecedir? 40 80 üçgen = = m( ) = 40c m( ) = 80c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? İRLİKT ÇÖZLİM 70 80 SIR SİZ 3. α 15 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = a kaç derecedir? 4. 20 α 80 57 105 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = a kaç derecedir? 40 80 80 60 20 60 60 & den m( ) = 60c dir. [] çizildiğinde m ( ) = m ( ) = 60c ve = = olur. = olduğu için m ( ) = m ( ) = 80c ve + 80 + 60 = 180 = 40 olur. 40
YKLŞIM şkenar üçgenin köşelerinden birinde oluşturulan ''30 60 90 '' üçgeni yardımıyla şeklin içerisinde gizlenmiş olan bir ikizkenar üçgen ortaya çıkarılabilir. İRLİKT ÇÖZLİM 1. 2. 22 eşkenar üçgen,, noktaları doğrusal = m() = 22 Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? 12 eşkenar üçgen Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? 20 48 eşkenar üçgen,, doğrusal Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? 20 SIR SİZ 3. 4. a S 2b 30 60 b K a S 22 a + b = a ve = 2b olsun. [K] [] çizilirse K = 2 = b = b ve 2 2 = olduğu için a + 2b = b + K K = a + b olur. O hâlde, K = K dır. üçgeninde [K], hem yükseklik hem de kenarortay olduğu için = olur. Yani, bir ikizkenar üçgendir. = = 22 dir. 46 K eşkenar üçgen [] [],, K doğrusal Yukarıdaki verilere göre, m( ) = kaç derecedir? Yukarıdaki verilere göre, m ( ) = a kaç derecedir? 23 eşkenar üçgen,, doğrusal 162 58
5. İkizkenar Üçgen İçeren çı soruları YKLŞIM İkizkenar üçgenin gizlenmiş olduğu sorularda aşağıda sözü edilen beş bilgiden ikisinin birlikte bulunduğu şekillerde mutlaka ikizkenar üçgen vardır. ksik olan bilgiler tamamlanarak (yani bir uzunluğun hem kenarortay hem de yükseklik olması) çözüm yapılır. ÖN İLGİ İkizkenar üçgende tepe noktasından indirilen kenarortay, açıortay ve yükseklik eştir. Şekilde verilen beş bilgi 1) = 2) [] [] 3) = 4) m( ) = m( ) 5) m ( ) = m ( ) 1. 2. 80 28 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 40 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? üçgen [] [] = = m( ) = 80c Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? İRLİKT ÇÖZLİM 56 50 Çap Yayınları Çap Yayınları SIR SİZ 3. 4. 80 50 α Şekilde verilenlere göre, m ( ) = α kaç derecedir? 20 Şekilde verilenlere göre, m ( ) = kaç derecedir? 50 m() = m() olur. 180c - 80c m ( ) = m ( ) = = 50c ve 2 180c - 80c m ( ) = m ( ) = = 65 c dir. 2 m ( ) = = 50c + 65c = 115c dir. [] [] ve = olması (yani bir uzunluğun hem kenarortay hem de yükseklik olması) ikizkenar üçgeni çağrıştırmalıdır. [] uzunluğu çizildiğinde =, m ( ) = m ( ) ve 59 67,5 60