MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
DİNAMİK MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Konum, Hız ve İvme - Newton Kanunları 2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ - Doğrusal Hareket - Düzlemde Eğrisel Hareket - Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde) - Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi 3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ - Kuvvet, Kütle ve İvme - İş ve Enerji - İmpuls ve Momentum
DİNAMİK MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ 2 KİNEMATİK
DİNAMİK MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ 2.3 Bağıl Hareket (Ötelenen eksenlerde)
A nın sabit eksen takımına göre hareketinin, A nın mutlak hareketinin O Y r A = r B + r A/B r A = r B + r A/B r A = r B + r A/B r A r B X-Y eksen takımı, sabit bir cisme bağlanmış olan eksen takımı X y B A r A/B a A = a B + a A/B x A nın B ye göre hareketinin, A nın bağıl hareketinin x-y eksen takımı, hareketli bir cisme bağlanmış olan eksen takımı, dönmeden hareket ediyor sadece öteleniyor B nin sabit eksen takımına göre hareketinin, B nin mutlak hareketinin : A nın B ye göre hızı = + / B a A/B : A nın B ye göre ivmesi 2.3. Bağıl Hareket (Ötelenen eksenlerde) 1 + Hız vektörlerinin oluşturduğu üçgen herhangi bir üçgen ise, sinüs ve kosinüs bağıntılarından yararlanılır. 90 o 90 o + 90 o Hız vektörlerinin oluşturduğu üçgen dik üçgen ise, pisagor bağıntısından yararlanılır. (+) (+) Hız vektörlerinin hepsi birbirine paralel ise, vektörel denklem skaler olarak da geçerlidir. Fakat bir taraf pozitif seçilir ve ona göre işlem yapılır. < 0
A nın sabit eksen takımına göre hareketinin, A nın mutlak hareketinin Y r A r B B y A r A/B x x-y eksen takımı, hareketli bir cisme bağlanmış olan eksen takımı, dönmeden hareket ediyor sadece öteleniyor B nin A ya göre hareketinin, B nin bağıl hareketinin 2.3. Bağıl Hareket (Ötelenen eksenlerde) 2 O X-Y eksen takımı, sabit bir cisme bağlanmış olan eksen takımı X B nin sabit eksen takımına göre hareketinin, B nin mutlak hareketinin Sürat teknelerinin yere göre hareketleri mutlak harekettir. Birbirlerine göre hareketleri bağıl harekettir. r B = r A + r B/A = + / A r B = r A + r B/A = + /A = /A = /A A nın B ye göre hızı B nin A ya göre hızına eşit şiddette ve zıt yöndedir. r B = r A + r B/A a B = a A + a B/A a A = a B a B/A a A/B = a B/A A nın B ye göre ivmesi B nin A ya göre ivmesine eşit şiddette ve zıt yöndedir.
Behcet Örnek Problem DAĞHAN 2/21 Örnek Problem 2/21 Bir su damlası, bir üst geçidin A noktasından ilk hızsız olarak düşmektedir. 6 m düştükten sonra, yatay bir yolda 100 km/h lik bir hızla gitmekte olan bir otomobilin ön camına B noktasından çarpmaktadır. Otomobilin ön camı şekilde görüldüğü gibi düşey doğrultu ile 50 o açı yapacak şekilde eğimli ise, su damlasının cama çarpma doğrultusunun, cama dik olan doğrultu ile yaptığı açıyı bulunuz. 2.3. Bağıl Hareket (Ötelenen eksenlerde) 3 Verilenler: Çözüm 0 = 0 h A = 6 m Su damlasının 6 m serbest düşme yaptıktan sonra cama tam çarpacağı andaki mutlak hızı, : = 100 km/h v 2 = 2 g h = 10.85 m/s = 39.06 km/h düşey β düşey 50 o cama dik olan doğrultu α β yatay cama çarpma doğrultusu İstenenler: α =? su damlasının cama göre hızı, bağıl hızı tanβ = β = 21.3 o α + β = 50 o } α = 28.7 o
Behcet Örnek Problem DAĞHAN 2/22 Örnek Problem 2/22 A arabası, θ nın 45 o olduğu şekilde görülen anda, yarıçapı 300 m olan çembersel bir yörünge üzerinde 60 km/h lik sabit şiddette bir hızla hareket etmektedir. B arabası ise bu anda 80 km/h lik sabit şiddette bir hızla çemberin merkezinden geçmektedir. A arabasının hareketi, B arabasına yerleştirilmiş polar koordinatlarla belirlenmektedir. Bu anda yi ve B arabasında bulunan bir gözlemci tarafından ölçülen r ve θ değerlerini bulunuz. Verilenler: = 60 km/h = 80 km/h ρ A = R A = 300 m İstenenler: r = R A } θ = 45 o iken: =? r =? θ =? r A Dönmeden } hareket eden bir referans ekseni r = R A θ = 45 o 135 o θ r A/B α Çözüm 2 = 2 + 2 2 cos135 o = 129.6 km/h sinα = o sin135 α = 25.9 o ρ A = R A = 300 m (sabit) C : A nın yörüngesinin eğrilik merkezi B : r-θ hareketli eksen takımının kutbu r v r = r 2.3. Bağıl Hareket (Ötelenen eksenlerde) 4 θ v (A/B)θ r θ α r v (A/B)r v (A/B)r = sinα v θ = r θ v (A/B)θ = cosα } } r = 56.6 km/h θ = 0.1079 rad/s
Behcet Örnek Problem DAĞHAN 2/23 Örnek Problem 2/22 Bir önceki örnek problem 2/22 de verilmiş olan anda, B arabasında bulunan bir gözlemci tarafından ölçülen r ve θ değerlerini, o problemden elde ettiğiniz sonuçları da kullanarak bulunuz. 2.3. Bağıl Hareket (Ötelenen eksenlerde) 5 Verilenler: = 60 km/h (sabit) = 80 km/h (sabit) r = 56.6 km/h θ = 0.1079 rad/s ρ A = R A = 300 m r (sabit) a A θ a A/B r Çözüm A arabası sabit şiddette bir hızla çembersel hareket yaptığı için mutlak ivmesinin teğetsel bileşeni yoktur. A t ρ A = R A = 300 m a A = a B + a A/B 0 a A = a B + a A/B a A/B = a A (sabit) a A = a An = 2 ρ A a A = 0.926 m/s 2 (sabit) İstenenler: r = R A θ = 45 o } iken: r =? θ =? Dönmeden hareket eden bir referans ekseni} θ (sabit) a B = 0 B arabası sabit şiddette bir hızla doğrusal haraket yaptığı için mutlak ivmesi yoktur. B a r = r r θ 2 a (A/B)r = a Ar = a A } a θ = r θ + 2 r θ a (A/B)θ = a Aθ = 0 } r = 2.567 m/s 2 θ = 0.0113 rad/s 2
Behcet Örnek Problem DAĞHAN 2/24 Örnek Problem 2/24 Şekildeki uzay aracı S, Mars gezegeninin yörüngesi a-a ile aynı düzlemde yer alan kendi yörüngesi b-b üzerinde 19 km/s lik mutlak bir hızla hareket ederken Mars ile birbirlerine yaklaşmaktadırlar. Marsın mutlak hızı 24.1 km/s dir. Uzay aracında bulunan birine göre Mars, tam üzerlerine geliyormuş gibi göründüğü anda S-M doğrultusu ile b-b yörüngesi arasındaki β açısını bulunuz. 2.3. Bağıl Hareket (Ötelenen eksenlerde) 6 Verilenler: v S = 19 km/s v M = 24.1 km/s b a 15 o v M Çözüm 15 o α v S S v M β α M v M/S a b vs v M/S v M = v S + v M/S İstenenler: v 2 M/S = v 2 M + v 2 S 2 v M v S cos15 o β =? v M/S = 7.56 km/s sinα v S = o sin15 v M/S α = 40.6 o β = α +15 o β = 55.6 o