Matematk Dünyas, 00 K fl Kapak Konusu: Geometrk Kombnatork Tasar m kuram n n geçmfl 8 ye, Euler n subay problem ne dayan r. Problem blyoruz. An msatal m: farkl alay ve farkl rütbeden subay sat r ve sütunluk br çzelgeye, her alay ve her rütbe her sat r ve her sütunda sadece br kez görülecek bçmde yerlefltrmek mümkün müdür? Tasar m kuram nda 850 de T. P. Krkman n sordu u Krkman ö renc problem de önemldr. Krkman ö renc problem blok tasar mlar ad verlen br baflka konuya yol açm flt r. Problem flöyle: Br ö retmen 5 ö rencsn haftan n yed günü yürüyüfle ç kar yor. Ö rencler erl befl s ra halnde yürüyorlar. Bu yürüyüfl program n herhang k ö renc sadece br gün ayn s rada yürüyecek fleklde ayarlamak mümkün müdür? Bu sorunu yan t n n evet oldu u gösterleblr. Örne n, afla dak yürüyüfl program çözümlerden brdr. (5 ö rency den 5 e kadar say larla adland rd k.) Ptes Sal Çmba Pmbe Cuma Ctes Pazar 5 8 9 0 5 8 8 0 9 5 5 5 0 5 5 9 0 8 9 0 5 5 9 5 5 9 9 5 5 8 0 8 5 8 0 Bu soruyu ve çözümünü gördükten sonra akl - n za do al olarak gelen soru, 5 yerne baflka say da ö renc olsayd ne olurdu? olablr. Yukar dak çözüm 5 lk Krkman üçlü sstem dye adland r lan özel br Stener üçlü sstemne örnektr. Stener Üçlü Sstem (SÜS). v > 0 br do al say ve S = {,,..., v} olsun. B, S nn baz üç elemanl altkümelernden oluflan br küme olsun. E er S nn herhang k farkl say s B nn elemanlar nda sadece br kez görülüyorsa, yan her x y v çn, {x, y} A özell n sa layan br ve br tek A B varsa, o zaman (S, B) s ral klsne v lk Stener üçlü sstem * Koç Ünverstes Matematk bölümü ö retm üyes. nglzces Stener trple system, k sa ad yla STS. Stener Üçlü Sstemler ve Çzgeler Selda Küçükçfç* / skucukcfc@ku.edu.tr denr. B nn elemanlar na da üçlü denr. Stener üçlü sstem termn SÜS olarak k saltal m. Örnekler.. v =, B =.. v =, B = {{,, }}.. v =, B = {{,, }, {,, 5}, {,, }, {, 5, }, {5,, }, {,, }, {,, }} s ras yla, ve lk SÜS lerdr. Üçüncü örne, 5 5 5 olarak göstereblrz. Burada her sütun br üçlüdür.. Her günün her s ras n br üçlü olarak görürsek, Krkman ö renc problemnn her çözümü 5 lk br SÜS verr. SÜS ün tan m nda, smgeler kümesn, S = {,,..., v} yerne, v tane smges olan herhang br kümey de alablrdk elbet. lerde buna gereksnm duyaca z. SÜS ler çzgelerle de yorumlamak mümkündür. S dek her say br noktay temsl etsn ve her {a, b, c} üçlüsünü a, b, c köflel ve {a, b}, {a, c}, {b, c} kenarl üçgen olarak düflünelm. Her say çft B nn sadece br üçlüsünde olaca ndan her kenar sadece br üçgende olacakt r. Dolay s yla (S, B) SÜS ü, K v tamçzgesnn üçgenlere parçalanmas na denktr. Afla da v = çn bunun br resmn görüyorsunuz. 5 5 5 5 K nn üçlü parçalan fl
Matematk Dünyas, 00 K fl Braz önce v =,, çn SÜS örnekler gördük. Br SÜS ün oldu u br sonrak v say s 9 dur. Okur, yaz n n devam n okumadan 9 luk br SÜS bulmaya çal flablr. Br sonrak teorem hang v ler çn SÜS lern oldu unu söyleyecek. Teorem [T.P. Krkman, 8]. v lk Stener üçlü sstemnn varl çn gerek ve yeter koflul v ya da (mod ) d r. Ayr ca bu durumda B = v(v )/ d r. Kan t. Bu koflulun gerekll n görmek kolayd r. SÜS ü K v tamçzgesnn üçgenlere parçalan fl olarak düflünürsek, her üçgende üç kenar oldu undan, üçgen say s B oldu undan ve v noktadan herhang ks mutlaka tek br kenar üzernde olmas gerekt nden, parçalan fltak kenar say s n k de flk fleklde hesaplayarak, buluruz. Demek k v(v )/ say s, dolay s yla v(v ) de ün kat olmal d r, yan v 0 ya da mod olmal, yan v 0,, ya da mod olmal. fmd noktas ndan geçen kenarlar sayal m. Bunlardan v tane vard r elbet. Bu noktay çeren her üçgende de bu kenarlardan fler tane oldu- undan, v çft br say olmal. Bu kofluldan dolay, yukardak dört seçenekten sadece ks kal r: v ya da mod. Gerekll gösterdk. Bu arada üçlü say s n veren formülü de göstermfl olduk. Yeterllk koflulunu gösteren brçok kan t olmas na karfl n, en yal n ve fl k olan n (mod ) durumu çn Bose, n (mod ) durumu çn Skolem taraf ndan verlmfltr. Her k kan t da latn karelern çerr. v (mod ) f kk. Önce, köflegen 0,,..., n olan (bunlara tekgüçlü (dempotent) latn kare denr) ve (, j) hücresndek say s (j, ) hücresndek say s na eflt olan (bunlara de flmel latn kare denr) br latn kares bulal m (bkz. afla dak gr kare). E er tekgüçlü ve de flmel latn karenn (, j) hücresnde k varsa, bunu I j = k olarak gösterelm. nfla edece mz SÜS ün smgeler kümesn, S = {(, ε) : = 0,,..., n, ε =,, } olarak tan mlayal m. B de k de flk türden üçlü olacak. Bu üçlüler flöyle tan mlayal m:. Her n + çn, {(, ), (, ), (, )} B olsun.. Her < j n + çn, j {(, ), (j, ), ( I j, )} B {(, ), (j, ), ( I j, )} B Ij {(, ), (j, ), ( I j, )} B olsun. B, kolayca s nanaca üzere, n + lük br SÜS oluflturur. Tekgüçlü ve De flmel Latn Kare nflas {0,,..., n} tabanl, tekgüçlü ve de flmel br latn kare flöyle nfla edleblr: E er j, 0 ve j 0 se, (, j) hanesne, + j k (mod n+) denkl n ve 0 k n efltszl n sa layan k say s n yazal m. (, ) hanesne yazal m. (, 0) ve (0, ) hanelerne, k (mod n+) denkl n ve 0 k n efltszl n sa layan k say s n yazal m. Br baflka deyflle, Z/(n+)Z nn toplama cetvelnde + y gösteren (, ) hanesyle + 0 ve 0 + y gösteren (, 0) ve (0, ) hanelernn yerlern de- fltrelm. Örne- n, n = se, soldak toplama cetvelnden sa dak tekgüçlü ve de- flmel latn karey elde ederz. 0 5 8 5 8 0 5 8 0 5 8 0 5 8 0 5 8 0 8 0 5 8 0 5 8 0 5 0 8 5 5 8 0 5 8 0 5 8 0 8 5 0 8 0 5 8 0 5 5 8 0 0 5 8 v (mod ) f kk. fmd de Skolem n bu durum çn verd kan t gösterelm. Bu nfla metodu Bose un nfla yöntemnden brazc k daha karmafl k. Bu kez n derecel yar tekgüçlü ve de flmel latn kareler kullanaca z. Bunlar, I j = j I ve I = (n + ) I (n + ) = efltlklern sa layan n lk latn karelerdr (bkz. afla dak gr kare). Böyle br latn karenn smgelernden oluflan kümeye Q dyelm. Ayr ca gb yepyen br smge alal m. Stener üçlü sstemn smgeler kümes, S = { } (Q {0,, }) olarak alal m. B dek üç tür üçlü olacak:
Matematk Dünyas, 00 K fl Yar Tekgüçlü ve De flmel Latn Kare nflas n br tek say olsun. A, {0,,..., n } tabanl tekgüçlü ve de flmel br latn kare olsun. B, {n, n+,..., n } tabanl br latn kare olsun. B t, B nn köflegene göre smetr olsun. O zaman, A B B t A n derecel, yar tekgüçlü ve de flmel br latn karedr. Örne n, 0 5 0 5 0 5 A = 0 B = 5 se A B B t = 0 5 dr. 0 5 A 5 0 5 0 5 0 fmd n br çft say olsun. Z/nZ grubunun toplama cetvelndek say lar, her < n çn, y ye götüren br dönüflümle de fltrelm. n derecel, yar tekgüçlü ve de flmel br latn kare elde ederz. Örne n n = se, ( )( ) dönüflümü y e, ü ye, y e götüren dönüflümlerden brdr. fmd afla dak karenn say lar n bu dönüflüme göre de fltrrsek sa dak yar tekgüçlü ve de flmel karey elde ederz. 0 5 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5 0 5 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 0 5 0 5. Her 0 n çn, {(, 0), (, ), (, )} üçlüler. Bunlar afla da resmettk. 0 n n n. Her 0 n çn, {, (n+, 0), (, )}, {, (n+, ), (, )}, {, (n+, ), (, 0)} üçlüler. Bunlar da afla da resmettk. n+ n+ n+. Her 0 < j n çn, {(, 0), (j, 0), ( I j, )}, {(, ), (j, ), ( I j, )}, {(, ), (j, ), ( I j, 0)} üçlüler. flte resmler: Ij j Bu üçlülern heps brden n + lk br Stener üçlü sstem oluflturur. Oldukça kolay olan kan t okura b rak yoruz. Devrl SÜS ler Yaz n n bafl nda verd mz üçüncü örnektek B üçlüler kümesnde yerne 0 yazarsak, B = {{ +, +, + } : Z/Z} elde ederz. Buradak {,, } üçlüsüne temel blok denr. Bell br (a, b, c) çn, B = {{a +, b +, c + } : Z/Z} bçmnde olan Stener üçlü sstemlerne devrl Stener üçlü sstemler denr. SÜS ler, Bose ve Skolem n nfla yöntemlernn yan s ra, e er n 9 se devrl br fleklde de elde etmek de mümkündür (soru [Hef] te sorulmufl, [Pel] de yan tlanm flt r), ancak nflaat Bose ve Skolem nkler kadar sade de ldr. Örne n, e er n = se, (0,, ) ve (0,, ) üçlülernn bu özell vard r. Krkman Üçlü Sstemler Br (S, B) Stener üçlü sstemnde B dek üçlüler üçer noktal do ru lar olarak yorumlarsak, kesflmeyen üçlüler paralel do rular olarak alg - lanablr. (S, B) nn br paralel s n f S nn her eleman n n (her noktan n) sadece ve mutlaka br kez göründü ü ayr k üçlüler (paralel do rular) kümesdr. Yan br paralel s n f demek, asl nda, S kümesnn B nn üçlüleryle parçalan fl demektr, ya da, paragraf n bafl ndak yorumla, S nn brbrne paralel do rularla kaplanmas demektr. Örne n Krkman Ö renc Problem nn çözümünde her gün br paralel s n f na tekabül eder. Yanda çözümdek pazartes ve sal günlerne tekabül eden k paralel s n f görüyorsunuz. 8 5 0 9 5
Thomas Krkman Thomas Krkman (80-895) Manchester yak nlar ndak Bolton da okula gtmfl, Esk Yunanca ve Latnce ö renmfl, ancak matematk görmemfltr. Okul müdürü Krkman n Cambrdge e greblecek yetenekte oldu- una nansa da, babay kna edemed nden Krkman yafl nda okulu terkedp babas n n bürosunda çal flmaya bafllar. Büroda bofl durmaz, Esk Yunanca ve Latnce blgsn genfllett gb Frans zca ve Almanca da ö renr. 9 y l burada çal flt ktan sonra can na tak eder ve babas n dnlemeyerek Dubln e Trnty College a matematk, felsefe, klask eserler ve blm okumaya gder. 85 te ngltere ye ger döndü ünde ngltere Klses ne grp papaz olur. lk makalesn 0 yafl nda yazar ve ölümüne dek matematkten kopmaz, durmadan yazar çzer, sorular sorar. Grup teorye ve geometrye katk lar yla blnr. Stener n SÜS lerle lgl problem sormas ndan y l önce problem Lady's and Gentleman's Dary de görüp yan tlam fl ve 8 da Cambrdge and Dubln Mathmatcal Journal da yay mlam flt r. 859 da M. Ress n soruyu yan tlamas ndan sonra, alayc br dlle, Nas l oluyor da Cambrdge and Dubln Mathematcal Journal, clt II, sayfa 9, daha sonra yay mlanan Crelle s Journal clt LVI, sayfa dak br kombnatork makalesnden bu kadar çalablmfl, anlam fl de lm demesyle blnr. Ne var k üçlü sstemler bugün Krkman n de l Stener n ad yla an lmaktad r. 5 Matematk Dünyas, 00 K fl Sonuç olarak, br P paralel s n f, ) Her de flk a, b P çn, a b =, ) a P a = S özellklern sa layan B nn br P altkümesdr. (S, B) de en az br paralel s n f olmas çn v nn e tam bölünmes gerekr elbette, yoksa paralel s n f olamaz. Demek k, braz önce kan tlad - m z teoreme göre, br paralel s n f n olmas çn v (mod ) denkl gerekldr. Her üçlüde/do ruda üç nokta oldu undan, br paralel s n f nda tam v/ tane do ru vard r. Toplam do ru say s v(v )/ oldu undan, en fazla (v )/ tane paralel s n f olablr. Krkman ö renc problemnde (v = 5) haftan n her gününe tekabül eden ayr k paralel s n f bulmufltuk. E er v lk br SÜS (v )/ tane ayr k paralel s - n f na ayr fl yorsa, o zaman bu SÜS v lk Krkman Üçlü Sstem (KÜS) ad n al r. 9 de Djen Ray-Chaudhur yle Rck Wlson v (mod ) denkl n sa layan her v çn br KÜS oldu unu kan tlad. Ayr k Stener Üçlü Sstemler Krkman Ö renc Problem ne br kez daha bakal m. Problemde 5 ö renc var. Bu 5 ö rency, 5 n lüsü kadar, yan, kadar üç kfllk gruplara ay rablrz. Her SÜS te 5 tane üçlü olaca ndan flu soru akla geleblr: Bu 55 üçlüyü tane SÜS e parçalayablr myz? Yan öyle tane (S, B ),..., (S, B ) SÜS ü bulablr myz k, her j çn, B B j = olsun. Bu problem lk kez yeryüzünün gelmfl geçmfl en eksantrk matematkçlernden br olan Sylvester sormufltur. Yan t çn 0 y ldan fazla beklemek gerekt. 9 de R. Dennston yan t n olumlu oldu unu gösterd [Den]. Dennston un yan t flöyle: Smgeler 0,,,...,, a, b olsun. Önce afla - dak SÜS ü kural m. Bu brnc SÜS ümüz. 0 9 50 8 a b 0 8 5 9 a 0 b 0 8 0 5 a 9 b 0 8 90 a 5 b 0 5 8 9 0 a b 00 5 9 a 8 b 5 0 8 9 0 ab Sonra, yukardak SÜS ün say lar na le aras nda modülo say lar ekleyelm. a ve b smgelerne dokunulmayacak. Böylece tane daha SÜS elde edlr. Örne n yukardak SÜS e ekleyerek elde edlen SÜS, 0 5 0 8 9 a b 8 5 9 0 0 a b 8 0 9 a 50b 5 9 0 0 a 8 b 9 80 5 a 0 b 0 0 5 8 a 9 b 5 8 9 00 ab
Matematk Dünyas, 00 K fl dür. Bu sayede elde edlen SÜS ün hçbrnn ortak üçlüsü yoktur. fmd 5 yerne v ö renc alal m. O zaman tüm üç ö renclk gruplar n say s, d r. Her SÜS te v(v )/ tane üçlü bulundu undan, brbrnden ayr k v tane SÜS ün olup olmad n sorablrz. Cayley 850 de v = çn 5 tane ayr k SÜS ün olamayaca n kan tlad. Ama v = çn tane ayr k SÜS bulablrz. Örne n, 000 000 5 5 55 55 ayr k k SÜS tür. (Her sütun br üçlüyü gösteryor.) Brçok matematkçnn, ama özellkle Dennston, Lu Jax n ve Terlnck n katk lar yla 989 da soru tamam yla çözüldü: E er v > se ve elbette v, (mod ) se, v tane ayr k v lk SÜS vard r. Dk Stener Üçlü Sstemler Brbrnden ayr k en büyük say da SÜS bulunablece n yukarda gördük. Ayr kl a br koflul daha ekleyelm. (S, A) ve (S, B) k ayr k SÜS olsunlar, yan A B = olsun. Br de ayr ca, (S, A) ve (S, B) nn flu özell sa lad n varsayal m: x y, z t, (x, y) (z, t) özellklern sa layan her x, y, z, t S çn, {x, y, w}, {z, t, w} A özell n sa layan br w S varsa, o zaman, {x, y, w }, {z, t, w } B özell n sa layan br w S yoktur. Yan (S, A) da (x, y) ve (z, t) nokta çftlernden geçen bloklar kesflyorsa, (S, B) de (x, y) ve (z, t) nokta çftlernden geçen bloklar kesflmez. Yukardak koflulu sa layan SÜS lere dk SÜS ler denr. 99 te her v, v 9 ve v, (mod ) çn brbrne dk k v lk SÜS oldu u kan tland [CGMMR]. 00 te her v 9 ve v (mod ) çn ve belk say d fl nda her v ve v (mod ) çn her br d erne dk üç tane v lk SÜS oldu u kan tland [DDL]. Ayn makalede v =,, 9,, 5 çn brbrne dk üç tane SÜS olmad kan tlan yor. James Joseph Sylvester James Joseph Sylvester lkokulu Londra da, lsey Lverpool da okudu. 8 te Cambrdge Ünverstes ne grd. O zamanlar mezun olmadan önce nglz Klses nde dn br yemn gerekyordu. Ama Sylvester Musev oldu undan yemn etmed ve mezun olamad. Mezun olamad - gb brçok ödül ve bursu da kaç rd. Dn ayr m yapmayan brkaç yerden br olan Londra Ünverstes nde üç y l fzk okuttu. yafl nda Vrgna Ünverstes nde br fl bulduysa da brkaç ay sonra dersnde gazete okuyan ve üstüne üstlük dklenen br ö rencsne b çak uçlu bastonuyla vurunca ö rencsn öldürdü- ünü san p lk vapurla New York a kaçt. Daha sonra avukatl k ve muhasebeclk yapt ve özel matematk ders verd. (Ö renclernden br Florence Nghtngale d.) Ayn adlyede avukat olarak çal flan meflhur matematkç Cayley le tan flt ve k matematkç hayat boyu dost oldular. Adlye kordorlar nda s k s k matematk yap yorlard. Bu arada Sylvester akademk br fl bulmaya çal fl yordu. Brçok baflar s zl ktan sonra, kends yerne terch edlen br aday ölünce, Woolwch Asker Akadems ne profesör olarak atand. Matrslerde öneml fller yapmas na karfl n, burada yazd tek ktap flr üzerneyd: M sralar n Kanunu. Al flt rmalar ) 9 luk SÜS ler bulun. Bu sstemler devrl elde etmek mümkün müdür? ) K n tamçzgesn K lere parçal yor olsayd k gerek koflul ne olacakt? (Bu parçalan fl n asl nda k =, λ = olan br tasar m oldu unu farkettnz m? Bkz. sayfa.). v = çn tane ayr k SÜS bulablr msnz? v = 9 çn en fazla kaç tane ayr k SÜS vard r?
Matematk Dünyas, 00 K fl Jakob Stener Jakob Stener okumay yafl nda ö rend. Okula lk kez 8 yafl nda gtt. Daha sonra Hedelberg ve Berln ünverstelernde okudu. Özel derslerden kazand çok az br harçl kla ö rencl n sürdürebld. zdüflümsel geometrye çok öneml katk lar vard r. Analz ve cebr sevmezd, çünkü hesaplar n düflünmey gerekszlefltrd n öte yandan geometrnn düflünmey tetkled n savunurdu. Gerçek pay olan br düflünce... Matematkçlerle lgl tuttu u günlü üyle blnen matematkç Thomas Hrst, Stener hakk nda flunlar yazm flt r: Ortayafll br adam, r k - y m, b y kl, sakall, genfl al nl, uzun br entellektüel yüz, grleflmeye yüz tutmufl koyu saçlar. Yüzde göze lk çarpan dern br endfle ve kayg, nerdeyse ac. Romatzma... Derslern önceden haz rlamazd ve derste s k s k tak l r, kan tlamak sted n kan tlayamazd ve o zaman da dersn hep neleyc br lafla noktalard. SÜS Say s (S, B) br SÜS olsun. π, S nn br eflleflmes (yan permütasyonu) olsun. O zaman (S, π(b)) de br SÜS tür. Burada, π(b) = {π(a) : A B} ve A = {a, b, c} se π(a) = {π(a), π(b), π(c)} dr. (S, B) ve (S, π(b)) SÜS lerne eflyap sal denr. Eflyap sal SÜS ler aras nda dfle dokunur br fark yoktur ve bu yüzden eflyap sal SÜS ler tek br SÜS olarak alg layablrz. Bu anlamda, v = ve 9 çn br tek SÜS, v = çn SÜS, v = 5 çn 80 SÜS vard r. Bu konuda fazla br fley blnmyor. SÜS lern Özyap Dönüflümler (S, B) br SÜS olsun. π : S S eflleflmes B dek üçlüler gene B dek üçlülere gönderyorsa π ye (S, B) nn özyap dönüflümü denr. Stener Sstemler S, v elemanl br küme, t < k brer do al say ve B, S nn k elemanl altkümelernden oluflan br küme olsun. E er S nn t elemanl herhang br altkümes B dek kümelerden sadece brnn altkümesyse, (S, B) ye t-(v, k, ) tasar m ya da Stener sstem ad verlr. E er t = ve k = se Stener üçlü sstemlern elde ederz. (S, B) br t-(v, k, ) tasar m olsun. P S sabt br nokta olsun. S = S \ {P} ve B = {l \ {P} : P l B} olsun. O zaman, (S, B ) br (t )-(v, k, ) tasar m d r. Aç k Soru. 5-(,, ), 5-(, 8, ) gb t nn 5 oldu u brçok Stener sstemler blnmektedr [Cuy], ama t > 5 çn, t-(k, v, ) parametrel br Stener sstem blnmemektedr. Ayr ca, t çn, sadece sonlu tane Stener sstem blnmektedr. Selda Küçükçfç 9 stanbul do umluyum. Lsey Sant Benot Frans z Lses nde, ünverstey Bo azç nde okudum. Matematk a r bas nca, Kmya Mühendsl nden Matematk e geçtm. 995 mezunuyum. Yne ayn bölümde yüksek lsans yapt ktan sonra ABD dek kombnatork dyar Auburn Ünverstes nde doktora yapt m. Doktora sonras araflt rmac olarak br y l Auburn Ünverstes nde ve Etna yanarda n n eteklerndek Catana Ünverstes nde çal flt m. Eylül 00 den ber Koç Ünverstes ndeym. Araflt rma alan m genelde kombnatork, özelde tasar m ve çzge kuramlar d r. Orta ve lsede halkoyunlar, ünverstede seramk, son y llarda yan flüt ve sürekl olarak snema, matemat n yan s ra yaflam mdak güzel fleyler aras nda oldular.