ÖLÜM 1 VEKTÖLEİN İLEŞKESİ VE İLEŞENLEİ 1.1 Giriş Fiziğin eski üzıllarda ütün doğa olaları ile uğraştığı son üzıllarda ise sadece madde ve madde ileşenleri inceleen ve unlar arasındaki etkileşmeleri açıklamaa çalışan ir ilim dalı olarak görmekteiz. Kısaca fizik evrenin sırlarını, maddenin apısını ve unlar arasındaki etkileşmeleri açıklaan temel doğa ilimi olarak algılanır. Denesel orumlar ve sonuçlar çoğaldıkça, ir kişinin ütün u alanlarda çalışması zorlaştığından alt ölümler ortaa çıktı. Doğa olalarını inceleen irçok ilim dalları ulunmaktadır. otanik itki ilimini, zooloji havan ilimini, psikoloji ruh ilimini, astronomi gök ilimini, jeoloji erilimini, metroloji hava ilimini inceler. Fiziğe en akın ilim dalı kimadır. Kima maddenin apısında değişiklik medana getiren devamlı olaları, fizik ise maddenin apısında değişiklik medana getirmeen geçici olaları inceler. Şüphesiz fizik konularını öğrenirken lüzumsuz ere vakit kaıp etmemek için ugün eskimiş a da terk edilmiş olan teorileri atlaarak doğruca eni metotlarla işe aşlamak düşünüle ilinir. ncak eski klasik fizik kaidelerini öğrenmemizde gerektiren irçok seepler vardır. Klasik ilim dili modern değildir. Modern fiziğin dili daha ziade üksek matematik kurallarıdır. una göre, modern fiziği öğretmek için, öğrencilerin gerekli matematik ilgisini daha önceden öğrenmiş olmaları istenilse de, unların klasik fizik kavramları ile hiç ilgilenmeden matematik öğrenmiş olmaları tasavvur edilemez. Klasik fizik ile işe aşlamamız ir seei de kavramlarının ugün de çok fadalı öngörüler vermesidir. Klasik fizik oldukça asit olmasına rağmen irçok ilimsel ve teknik prolemlerin çözümünde eterli sonuçlara götürmektedir. aşka ir seepte klasik fizik modern fizikten önce oluşmuştur. 1. Fiziksel üüklükler, Standartlar ve irimler Fizik, evreni oluşturan en küçüğünden en üüğüne kadar tüm maddeleri ve unlar arasındaki etkileşmeleri inceleen ir doğa ilimidir. Fiziksel üüklükler, uzunluk, kuvvet, hız, zaman, oğunluk, direnç, sıcaklık, adınlatma, mağnetik alan şiddeti gii üüklüklerdir. u üüklükleri günlük aşantımızda kullanırız. Örneğin Kaa kuvvete aşvurmak işlerimizi hızlandırmaz aksine güçleştirir. cümlesi günlük aşantımızda ir anlam taşır. ncak fiziksel olarak anlamı oktur. Çünkü anlam taşıması için söz konusu fiziksel üüklüğün tam ve kesin olarak tanımlanması gerekir. ir fiziksel üüklüğün tam olarak tanımlaailmek için o üüklüğün nasıl ölçüleceğini ir kurala ağlamak ve üüklüğü ir ilim ile ifade etmek gerekir. 1
ölece ir standart tespit edilmiş olur. Standart tespiti tamamen kefi ir oladır. Örneğin kilogramı istediğimiz gii tanımlaailiriz. Önemli olan irimin ararlı ve kullanışlı olması ve tanımın herkes tarafından enimsenmesidir. Fiziksel üüklük saısı o kadar fazladır ki unların tümünü ir ütün içerisinde organize etmek mümkün değildir. Üstelik ir üüklük aşka ir üüklükten ağımsız değildir. u nedenle apılacak iş; temel olarak kaul edeceğimiz az saıda temel üüklük seçip gerie kalanları u temel üüklüklerden türetmektir. u şekilde alnız temel üüklükler için standart tespit etmek eterli olacaktır. Şimdi şu sorular aklımıza gelir. 1) Kaç tane temel üüklük seçilmelidir. ) Hangi üüklükler temel üüklük olarak seçilmelidir. 3) u seçimi kim apmalıdır. ir defa en az saıda temel üüklük seçilmelidir. u seçilen temel üüklüklerden diğer üüklükler türetilmelidir. Üçüncü soru ise uluslararası anlaşmalar çerçevesinde anıtlanmalıdır. u konulardaki çalışmalar 1875 ılında kurulan ve halen Paris te ulunan uluslararası ağırlıklar ve ölçmeler ürosu tarafından ürütülmektedir. Uluslar arası irim sistemi: 1974 ılında toplanan 14 üncü uluslar arası ağırlıklar ve ölçmeler genel toplantısında daha önceki çalışmalar değerlendirerek aşağıda gösterilen edi üüklük temel üüklük olarak kaul edilmiştir. u edi üüklük ulusal arası irim sisteminin SI ı oluşturur. üüklük dı Semol Uzunluk metre m Kütle kilogram kg Zaman sanie sn Elektrik akımı amper Termodinamik sıcaklık Kelvin K Cismin çokluğu mole mol dınlatma şiddeti condela cd u edi temel üüklükten sadece üçünü arıntılı olarak inceleeceğiz. unlar uzunluk, kütle ve zaman irimleridir.
1.3 Uzunluk Standardı Uzunluk standardı, standart metre denilen ve uluslar arası ağırlık ve ölçmeler ürosunda saklı ulunan platin-iridum dan apılmış ir çuuktur. Sıcaklık 0 0 iken çuuğun iki ucundan altın ile çizilmiş iki keskin çizgi arasındaki uzunluk ir metredir. Metre çuuğun çok saıda kopaları apılmış ve dünanın dört ir anına dağıtılmıştır. İngiliz irim sisteminde uzunluk irimi arda dır. 1 arda = 91,44 cm, 1 kara mili = 1760 arda = 1609 m 1 arda = 3 foot = 91,44 cm 1 deniz mili = 1875 m 1 foot = 1 inç = 30,48 cm 1mm = 1000 µ 1 inç =,54 cm 1 0 = 10-10 m, 1m µ = 10 0 azı uzunluklar; En akın galaksinin uzaklığı. 10 m Galaksinin arıçapı 6. 10 18 m Güneşin arıçapı 7. 10 8 m Dünanın çapı 6,5.10 6 m Kitap safasının kalınlığı 10-4 m Protonun arıçapı 10-15 m 1.4 Kütle Standardı SI irim sisteminin kütle standardı uluslar arası ağırlık ve ölçmeler ürosunda saklanan ve uluslar arası anlaşmalarla kütlesi 1 kg olan platin- iridum alaşımından apılmış ir silindirdir. İngiliz irim sisteminde kütle irimi sluğ dur. azı ölçülmüş kütleler; Galaksimiz. 10 41 kg Güneş.10 30 kg 7,4.10 kg Düna 6.10 4 kg ir fil 4,5.10 3 kg ir üzüm tanesi 3.10-3 kg ir toz zerresi 6,7.10-10 kg ir proton 1,7.10-7 kg ir elektron 9.10-31 kg 3
1.5 Zaman Standardı Ortalama güneş günü, dünanın kendi ekseni etrafında ki dönüşü zaman standardı olarak kaul edilmiştir. ir ortalama güneş saniesi ir ortalama günün 1 / 86400 ü olarak tanımlanır. azı zaman ölçümleri; Dünanın aşı 1,3.10 17 sn Ortalama insanın ömrü. 10 9 sn ir güneş günü 8,6.10 4 sn Molekülün dönme periodu 10-1 sn 1.6 Kuvvet Mekanik, cisimlerin hareketini ve harekete seep olan kuvvetleri konu alan ir ölümdür. Hareket konusunu ii anlaailmek için diferansiel ve integral formüllerinin ilinmesi gerekir. Her hangi ir cismi ittiğimiz vea çektiğimiz zaman, u cisme ir kuvvet ugulamış oluruz. Kuvvetler cansız cisimler tarafından da medana getirile ilinir. Örneğin: Gerilmiş ir a uçlarının ağlı olduğu cisimlere, sıkıştırılmış gaz içinde ulunduğu kaın çeperlerine, ir lokomotif de çektiği trene kuvvet ugular. Günlük haatımızda en çok farkına vardığımız kuvvet, dünada ulunan her cisim üzerine etkien ve cisimlerin ağırlığını medana getiren er çekimi kuvvetidir. Kuvvet irimi standart kilogram kuvvettir. 1kg.f = 9,8 Newton. 1.7 Vektörler ve Skalerler Skaler üüklükler ir saı ve ir irim ile ifade edilen üüklüklerdir. ir sepet içinde ulunan 38 elma skaler üüklüğe örnektir. u ifade istenilen ilgii tamamen elirler. Yöne ve doğrultua gerek oktur. aşka skaler örnekler; sıcaklık, hacim, kütle ve zaman aralıklarıdır. Vektörler ise ir saı ve ir irim ile eraer önü ve doğrultusu olan üüklüklerdir. ir parçacığın ulunduğu eri değiştirmesi olaına, er değiştirme denir. Parçacığın ir noktasında noktasına gittiğini düşünelim. u durumda er değiştirme dan noktasına çizilen doğru parçası ile gösterilir. Hareketin dan e doğru olduğunu göstermek için doğru parçasının ucuna ir ok çizilir. ( Şekil.1.1.a ) Parçacık den C e ir er değiştirme göstereilir.iki er değiştirmenin net sonuçu dan C e çizilen ir er değiştirmedir.(şekil.1.1.) u üzden C er değiştirmesine ve C er değiştirmelerin toplamı denir. Dikkat edilecek olursa u asit ir ceirsel toplam değildir. 4
C (a) ( ) Şekil.1.1 Vektörlerin Gösterilmesi Yer değiştirmeler gii davranan üüklüklere vektör adı verilir. una göre vektörler, hem elli ir uzunluğu olan hem de elli ir önü gösteren ve elli kurallara göre toplanan üüklüklerdir. Vektörel olan diğer azı üüklükler arasında kuvvet, hız, ivme, momentum, elektriksel ve magnetik alan saılailir. 1.8 Vektörlerin Toplanması ve Çıkarılması nı önde ve anı üüklükteki ve vektörleri eşit vektörlerdir. = dır. Vektörlerin toplanmaları için konulan kurallar, geometrik öntemlere ugun olarak tanımlanır. Vektörler paralel kenar, üçgen ve çokgen kurallarına göre toplanır. Paralelkenar kuralına göre; vektörü ile vektörünü toplamak için verilen doğrultuda ve elli ir ölçekte vektörü çizilir. vektörü de verilen doğrultuda ve ölçekte çizilir. Sonra vektöründen vektörüne ve vektöründen vektörüne irer paralel çizilir. vektörü ile vektörünün aşlangıç noktasından iki paralelin irleştiği nokta ir okla irleştirilir.(şekil.1..a) = + ileşke kuvvet u şekilde elde edilir. = + + C + D = + D = + (a) () ( c) Paralel kenar Kuralı Üçgen Kuralı Çokgen Kuralı Şekil.1. Vektörlerin Toplanması C Üçgen kuralına göre ise verilen vektörü elli ir ölçekte ve doğrultuda çizilir sonra itiş ucuna vektörü eklenir. vektörünün aşlangıç noktası ile vektörünün itiş noktası irleştirilir. Elde edilen u vektör = + vektörüdür ( Şekil.1. ). 5
Eğer cisme ikiden fazla kuvvet etki ederse en ii geometrik çözüm ucuca ekleme ani çokgen metodudur. Üçgen kuralında olduğu gii verilen doğrultu ve ölçeklerde kuvvetler ardı ardına ( ucuca ) eklemek suretile ilk vektörün aşlangıç noktası ile son vektörün itiş noktasını irleştiren doğru parçası vektörlerin toplamını verir. = + + C + D (Şekil.1..c) Vektörlerin çıkartılması ise ir vektörün negatifi, o vektörün toplandığı zaman sonucu sıfır eden vektör olarak tanımlanır. Yani ir vektöründen ir vektörünü çıkarmak istiorsak; vektörünün negatifini vektörüne eklememiz gerekir. ( Şekil.1.3 ) - = + ( - ) - - Şekil.1.3 Vektörlerin çıkartılması 1.9. Vektörlerin Çarpılması 1.9.1. ir vektörün ir skaler ile çarpılması ir vektörü, pozitif ir m skaler ile çarpılırsa, m. çarpımı, ile anı önde ve m. üüklüğünde olan ir vektördür. m negatif ise m. vektörü ile zıt önlüdür. İki vektörün skaler çarpımı : a ve gii iki vektörün skaler çarpımı ; a. = a.. cosθ olarak tanımlanır. İki vektörün skaler çarpımının 4 değişik şekli görülmektedir. ( Şekil.1.4 ) θ = iki vektör arasındaki açıdır. θ a a a a a. = a..cosθ θ = 0, a. = a. θ = 90, a. = 0 θ = 180, a. = a. Şekil. 1.4. İki Vektörün Skaler Çarpımının Değişik Şekillerde Gösterilmesi Skaler çarpım gereği ; i. i = j. j = k. k = 1, i. j = j. k = k. i = 0 dir. k J i 6
1.9.. İki vektörün vektörel çarpımı a ve gii iki vektörün vektörel çarpımı ( a ) u iki vektörün oluşturduğu düzleme dik ve u iki vektörün üüklükleri ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımı üüklüğünde ir vektördür. c = a, c = a.. sin θ c vektörünün önünü ulmak için sağ el kuralı ugulanır. Sağ elimizi aşparmağı iki vektörün oluşturduğu düzleme dik olmak şartıla diğer parmaklar θ açısı kadar ükülür. u şekilde aşparmak c nin önünü gösterir. ( Şekil.1. 5 ) Vektörel çarpım gereği: c = a. i i = 0 j j = 0 k k = 0, i j = k j i = - k k i = j i k = -j j k = i k j = - i. k j θ i a Şekil. 1. 5. İki vektörün vektörel çarpımı 1.10 ir Vektörün ileşenleri Vektörler geometrik olarak toplama işlemi, çok hassas sonuçlar elde etmek istendiğinde ve üç outlu prolemlerde eterli değildir. u kısımda vektörlerin toplanmasını dik koordinat sisteminin eksenleri üzerinde izdüşümlerini alarak açıklaacağız. u izdüşümleri vektörün ileşenleri denir. Herhangi ir vektör, ileşenleri ile tam olarak tanımlanailir. Şekil 1.6 deki gii düzleminde er alan ve pozitif eksenile herhangi ir θ açısı apan ir vektörünü göz önüne alalım. vektörü, nın vektör ileşenleri adı verilen diğer iki ve vektörünün toplamı olarak ifade edileilinir. ileşeni nın ekseni ounca izdüşümünü, ileşeni nın ekseni ounca izdüşümünü gösterir.şekil.1.6 dan = + olduğunu görürüz. ir vektörün ileşenleri ( - ) vea ( + ) olailir. ölece nın dik ileşenleri ; =. cos θ =. sin θ dir. uradan ; = +, tan θ = θ Şekil 1.6. ir Vektörün ileşenleri 7
1.11 ileşke Kuvvet ir cisme anı anda çeşitli üüklükte ve doğrultudaki kuvvetlerin etkisinde kalailir. Kuvvetler anı düzlemin içinde ve doğrultuları kesişiorsa u kuvvetlerin apacağı etkii tek aşına apan ir kuvvet ulunailir. u kuvvete ileşke kuvvet denir. Eğer cisme irçok kuvvet etki ediorsa ileşke kuvveti ulmak için en ii ol dik ileşenler metodudur. Dik ileşenler metodula ileşke kuvvetin ulunması: ir cisme irçok saıda kuvvetler etki edeilir. Şekil.1.7 deki gii üç kuvvet etki etmiş olsun. F 3 F 1 F 3 F 3 F F F F F 3 F 1 Y θ X Şekil.1.7 ileşke Kuvvetin Dik ileşenler Metodula ulunması. u kuvvetlerin düzleminde dik ileşenlerine arıldıktan sonra; = Σ F, = Σ F azılır. = + tan θ = olur. 8
ÇÖZÜMLÜ POLEMLE 1.1. Şekildeki kuvvetlerin ileşkesini ve doğrultusunu ulunuz. 8 t 30 0 4 3 4 3 6 t 10 t 7.5 t Çözüm : Σ F =, Σ F = = + cosθ = 4 / 5 = 0,8, sin θ = 3 / 5 = 0,6 cosα = 3 / 5 = 0,6, sinα = 4 / 5 = 0,8 Σ F = = 10.cosθ + 6 8.cos30 7,5.cosα X = 10.0,8 + 6 8.0,86 7,6.0,6 =,6 t 8 t 7.5 t 30 0 θ 3 α 4 4 3 6 t 10 t Σ F = = 10. sin θ + 8.sin30 7,5. sinα Y = 10.0,6 + 8. 0,5 7,5.0,8 = 4 t = (,6 ) + ( 4 ) =,76, tan β = Y X = 4,77 t = 4 = 1, 64, β = 57 0,6 Y β X 1.. Şekildeki kuvvetlerin ileşkesinin ata olailmesi için; a ) P kuvveti ne olmalıdır? ) ileşke kuvveti ulunuz. P 45 60 30 6 t 10 t cos 30 = sin 60 = 0,86 sin 30 = cos 60 = 0,5 sin 45 = cos 45 = 0,7 15 t 9
Çözüm: a) ileşke kuvvetin ata olailmesi için; = 0 olmalıdır. ΣF ΣF = = = = 0 + P 45 60 30 6 t 10 t ΣF 10.0,5+ P.0,86 15.0,7= 0 P.0,86= 10,5 5 P= = 5,5 0,86 t t = 10.sin30 + P.sin60 15 sin45 = 0 = 6,4 t olur. 15 t ) ΣF = = 10.cos30 + 6 P.cos60 15.0,7 0 X = = 10.0,86 + 6 +-6,4.0,5-10,5 = 0,9 t = 0,9 t, X + =, = 0, = = 0,9 t Y 1.3. a ) ileşke kuvvetin düşe doğrultuda olailmesi için P kuvveti ne olmalıdır? ) ileşke kuvvetin şiddetini ve doğrultusunu ulunuz. 10 n 30 60 14 n 1 n 3 4 8 n Çözüm : a) ileşke kuvvetin düşe doğrultuda olailmesi Σ F = 0 olmalıdır. P 14 n 1 n Σ F = 8 + 1.cosα.-10.cos30 - P.cos60 = 0 P.0,5 = 8 + 1.0,8 10.0,86 P.0,5 = 8+ 9,6 8,6 P = 18 nt 10 n 30 60 4 3 8 n P 10
) = + =, =, Σ F = = 0 = = Σ F = 14 + 1.sinα + 10.sin30 P.sin60 = = 14 + 1.0,6 +10.0,5-18.0,86 = 14 + 7, + 5 15,48 = 10,7 nt (ukarı doğru ) 1.4. 3 irim uzunluğunda ir a vektörü, irim uzunluğunda ir vektörü ile 30 lik açı r r r r r r apıor. a) = a+ ) = 3a vektörlerinin şiddetini ve doğrultusunu cosinus ve sinüs teoremleri ile ulunuz. Çözüm : a) r = a +.a.. cosθ r = 9 + 4 -.3. cos150 0 r = 13 + 1.cos 30 r = 3,3 r = 4,83 irim. r sin 150 r sin 30 = a sinα = 1 sinα =, sinα 1 4,83 =, sinα 1 = 1 = 0, 0, α =11,5 0 0,5 sinα 4,83 1 r = irim 30 α 1 150 30 r a= 3 irim r r r r = a+ α ) r r r = 3a r = (3a) + () -.a..cos30 = 81+16.9.4.0,86 = 86,68-30 α 1 3a r α 30 r = 5,91 irim r sin30 0 4.0,5 =, sinα 1 =, α 1 = 19,7 sinα 5,91 1 1.5. İki adam ve ir çocuk üük ir sandığı şekilde görüldüğü gii ekseni doğrultusunda itmek istiorlar. damlar şekilde görülen şiddet ve önde F 1, F kuvvetlerini uguluor.çocuğun ugulaacağı kuvvetin şiddet ve doğrultusunu ulunuz. F 1 =100 nt 60 30 F = 80 nt 11
Çözüm: Sandığı ekseni doğrultusunda hareket etmesi için üç kuvvetin ileşkesinin ekseni doğrultusunda olmalıdır. ileşkenin ekseni doğrultusunda ileşeni oktur. = Σ F = F 1 +F = F 1.cos60 0 + F.cos30 0 = 100.0,5 + 80.0,86 = 50 + 68,8 = 118,8 nt = Σ F = F 1 F = F 1.sin60 0 F.sin30 0 = 100.0,86 80.0,5 = 86 40 = 46 nt Cisim ekseni doğrultusunda hareket etmesi için çocuğun ugulaacağı F 3 kuvveti ileşeni ile anı doğrultuda fakat zıt önde ve eşit olmalıdır. Yani; F 3 = = 46 nt olur. 1.6. ir araa iki adam tarafından çekilior. raaa ağlı çekme sicimleri arasındaki açı 45 dir. adamı 150 nt, adamı 100 nt luk kuvvet uguladığına göre ileşe kuvvetin şiddetini ve doğrultusunu adamının iple aptığı açıı ulunuz. Prolemi (a) çokgen metodu () üçgen metodu ( c) dik ileşenler metodula çözünüz Çözüm : θ = 45 0 F = 150 nt F = 100 nt =? α =? a) cosinüs teoreminden i ulalım. = F + F -.F.F.cos ( 180 45 ) = 500 + 10000.100.150.cos135 = 53500 = 31,7 nt sinüs teoreminden α ulunur. sin135 F =, sinα F = 100 nt 45 α F = 150 nt 31,7 100 70 =, sin α = = 0, 3 α = 18 ulunur. 0,7 sinα 31,7 180 - α ) F = 100 nt = 31,7 nt = 31,7 nt F = 100 nt F = 150 nt F = 150 nt 1
c) X = F +F X = 150 + 100.cos45 = 150 + 70 = 0 nt Y = F Y = 100.cos45 = 100.0,7 = 70 nt = X + Y = 4900 + 48400 = 53300 = 30,8 nt Y 70 tanθ= = = 0,318, θ = 18 olur. 0 X F Y F = 100 nt 45 F X F = 150 nt 1.7. a) Şekildeki kuvvetlerin çizimle + =0 nt toplamını ve farkını ulunuz. ) Vektörlerin toplanmasını ve çıkarılmasını dik ileşenler metodula ulunuz. =7 nt 37 Çözüm : a ) + = Çizimle - = Çizimle + 37 37 - ) + =? (Hesapla) X = X =.cos37 = 0.0,8 7 = 9 nt Y =.sin30 = 0.0,6 = 1 nt 37 = + = 81 + 144 = 5 = 15 n 13
=? (Hesapla) X = - X = -7-.cos37 = -7-0.0,8 = -3 nt 37 37 Y = -.sin37 = - 0.0,6 = -1 nt = + = ( -3 ) + ( - 1 ) - = 5,94 nt 1.8. ir dik koordinat sisteminin irinci ölgesinde ekseni ile 60 0 açı apan cm uzunluğunda ir vektörü ile dördüncü ölgede ekseni ile 60 0 açı apan cm uzunluğunda ir vektörü vardır. Çizimle ; a) + toplamını ) farkını ulunuz. Çözüm: a) + 60 60 + ) - - - - 60 0 60 0 60 0 60 0 60 0 - - 14
1.9. 10 irim uzunluğunda ir vektörü, 6 irim uzunluğunda ir vektörü ile 30 0 lik açı apıor. vektörünün şiddetini ve doğrultusunun ile aptığı açıı; a) u işlem için üçgen metodunu ) Dik ileşenler metodu ile ulunuz Çözüm : a) Şekilde görüldüğü gii vektörünü ekseni doğrultusunda alalım. vektörünü de ekseni üstünde eksenle 30 0 açı apacak şekilde çizelim. = + ( - ) dir. vektörü ile vektörünü paralelkenara tamamlar ve 30 0 - - köşegeni ölçersek ileşke kuvveti uluruz. ) = = 10 irim, = 0 =.cos30 0 = 6.0,86 = 5,16 irim =.sin30 0 = 6.0,5 = 3 irim = = = 10-5,16 = 4,84 irim = = - 3 irim = + = ( 4,84) + (-3) = 5,7 irim tanθ = = 3 4,84 = 0,6 θ = 31,5 dördüncü ölge 1.10. F 1, F kuvvetleri ir cisme etkimektedir. unların ileşkesinin şiddeti F 1 e eşit ve F ile 90 0 lik açı apmaktadır. F 1 = = 10 nt F alarak ikinci vektörün şiddetini ve doğrultusunu ulunuz. α F 1 α 15
Çözüm : = F 1 = 10 nt, F =? F = F 1 +.F..cos90 0 F = F 1 + = 100 + 100, F = 14,14 nt tanα = 10 / 10 = 1, α = 45 0 F 1 ile F arasındaki açı ; θ = 180 45 = 135 0 olur. 1.11. ou 5 irim olan ve doğua önelmiş ir vektörü ve ou 4 irim olan ve kuzeatıa önelmiş kuze ile 45 0 ir açı apan ir vektörü ulunsun. a) ( + ) ve ( ) vektörlerini hesaplaailmek için vektör grafiklerini çiziniz. ) ( + ) ve ( ) vektörlerinin olarını u grafikten aklaşık olarak hesaplaınız. Çözüm : a ) - + θ α - ) = 5 i, = 4. ( i+ j) + = (5.)i+ j=,.i+,8j + = + = [, +,8 ] 1/ = 3,6 irim α = tan -1 (, /,8 ) = 38, 0 olur. =. ( i+ j) 5i= (5+ )i+ j = -7,8 i +,8 j = - = [ (-7,8 ) +(,8 ) ] 1/ θ = tan -1 ( 7,8 /,8 ) = 70,1 0 olur = 8,3 irim 16
1.1. oları 10 irim olan a ve vektörleri şekilde gösterildiği gii ir koordinat sistemine erleştirilmiştir. İki vektörün toplamı r ise a) r vektörünün ve ileşenlerini ulunuz. ) r vektörünün ounu ulunuz. c) r vektörünün pozitif ekseni ile aptığı açıı ulunuz. Çözüm : a = = 10 irim a = 10 ( cos30 0.i + sin30 0.j) = 10 (cos135 0.i + sin135 0.j ) a) r = a + = 10 ( cos30 0.i + sin30 0.j) +10 (cos135 0.i + sin135 0.j ) r = 1,59.i + 1,1.j 105 0 ) r= (1,59) + (1,1) = 1,irim c ) θ = tan -1 ( 1,1 / 1,59 ) = 8,5 0 o a 30 0 1.13. Şekilde gösterilen koordinat sistemine göre i.i = j.j = k.k = 1 ve i.j = j.k = k.j = 0 olduğunu gösteriniz. Çözüm : i, j ve k iririne dik olan irim vektörleridir. Vektörlerin kendileri ile olan z skaler çarpımları ; i. i = i.i. cos0 0 = i = 1 j. j = j.j.cos0 0 = j = 1 k. k = k.k.cos0 0 = k = 1 olduğundan, j i.i = j.j = k.k = 1 olur. i. j = i. j. cos90 0 = 0 k i i. k = i. k.cos90 0 = 0 j. k = j.k.cos90 0 = 0 olduğundan, i.j = j.k = k.j = 0 olur. 17
1.14. Şekilde görülen a ve vektörleri arasındaki üçgenin alanının 1/ [ a ] olduğunu gösteriniz. θ a.sinθ Çözüm : lan = 1 a. a = a.. sinθ, h =. sinθ una göre ; a = a. h a.h = paralelkenarın alanı, θ a.sinθ Üçgenin alanı ise lan = 1 a. dir. 18