İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70 Parabol...78 Düzlemde Vektörler...84 Uzayda Vektörler...92 Uzayda Doğru Denklemleri...101 Uzayda Düzlem Denklemleri...106 Uzayda Simetri...113 Koordinat Dönüşümleri... 115 Koniklerin Genel Denklemi... 117 Yüzeyler...122 Genel Tarama Sınavı... 127
Koniklerin Genel Denklemi Tanım: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 şeklindeki reel katsayılı ikinci dereceden denkleme koniklerin genel denklemi denir. a) B 2-4AC < 0 olsun. i) A = C ve B = 0 ise denklem çember, nokta ya da boş küme belirtir. ii) A C ve B = 0 ise denklem elips, nokta ya da boş küme belirtir. Örnek: 2x 2 + 3y 2-12 = 0 denkleminin ne belirttiğini B 2-4AC = 0 2-4. 2. 3 < 0 Örnek: x 2 + y 2-6x + 4y + 13 = 0 denkleminin ne belirttiğini B 2-4AC = 0 2-4. 1. 1 < 0 x 2-6x + 9 + y 2 + 4y + 4 = 0 (x - 3) 2 + (y + 2) 2 = 0 olduğundan denklem (3, -2) noktasını belirtir. Örnek: 3x 2 + 3y 2 + 12x 6x -12 = 0 denkleminin ne belirttiğini 2x 2 + 3y 2 = 12 2 2 x y 1 6 4 olduğundan denklem elips belirtir. Örnek: 3x 2 + 5y 2 = 0 denklemi (0, 0) noktasını belirtir. b) B 2 4AC = 0 olsun. i) Verilen denklem çarpanlarına ayrılamıyorsa parabol belirtir. B 2-4AC = 0 2-4. 3. 3 < 0 x 2 + y 2 + 4x - 2y - 4 = 0 ii) Verilen denklem çarpanlarına ayrılabiliyorsa paralel ya da çakışık iki doğru belirtir. (x + 2) 2 + (y - 1) 2 = 9 olduğundan denklem merkezi M(-2, 1) ve yarıçapı 3 birim olan çember belirtir. Örnek: 3x 2 + 3y 2 + 7 = 0 denkleminin ne belirttiğini B 2-4AC = 0 2-4. 3. 3 < 0 Örnek: x 2 + 6xy + 9y 2 + 2x - 6y = 0 denkleminin ne belirttiğini B 2-4AC = (-6) 2-4. 9 = 0 (x - 3y) 2 + 2(x - 3y) = 0 (x - 3y) (x - 3y + 2) = 0 3x 2 + 3y 2 + 11 = 0 x - 3y = 0 x 2 2 11 y 3 x - 3y + 2 = 0 olduğundan verilen denklem boş küme belirtir. olduğundan verilen denklem paralel iki doğru belirtir. 117
Koniklerin Genel Denklemi Örnek: x 2 + 4xy + 4y 2 + 6x + 12y + 9 = 0 denkleminin ne belirttiğini Örnek: x 2 + 2xy - 3y 2-4 = 0 denkleminin ne belirttiğini B 2-4AC = 4 2-4. 1. 4 = 0 B 2-4AC = 2 2-4. 1. (-3) > 0 (x + 2y) 2 + 6(x + 2y) + 9 = 0 (x + 2y + 3) 2 = 0 ve verilen denklem çarpanlarına ayrılamadığından hiperbol belirtir. olduğundan verilen denklem çakışık iki doğru belirtir. d) Bir koniğin denklemini standart denkleme dönüştürmek için Örnek: x 2-4y = 0 denkleminin ne belirttiğini B 2-4AC = 0 2-4. 1. 0 = 0 ve verilen denklem çarpanlarına ayrılamadığından parabol belirtir. c) B 2-4AC > 0 olsun. i) Verilen denklem birinci dereceden çarpanlarına B tan 2 A C eşitliğini sağlayan açısı kadar eksenler döndürülmelidir. A = C ise eksenler kadar döndürül- 4 melidir. ayrılamıyorsa hiperbol belirtir. Örnek: 3x 2 + 2xy + y 2-16 = 0 koniğini standart ii) Verilen denklem çarpanlarına ayrılıyorsa kesişen iki doğru belirtir. konik denklemine dönüştürmek için eksenlerin en az kaç radyan döndürüleceğini Örnek: x 2 - xy -2y 2 + x + y = 0 denkleminin ne belirttiğini B tan 2 A C B 2-4AC = (-1) 2-4. 1. (-2) > 0 x 2 - xy - 2y 2 + x + y = 0 (x - 2y) (x + y) + x + y = 0 (x + y) (x - 2y + 1) = 0 2 3 1 = 1 2 4 x + y = 0 8 x - 2y + 1 = 0 olduğundan verilen denklem kesişen iki doğru belirtir. 118
KONU TESTİ 1. A(3, 4, -5) noktasının xy düzlemine göre simetriği B ve orijine göre simetriği C ise BC kaç birimdir? A) 5 B) 6 C) 5 2 D) 8 E) 10 4. A(4, 1) noktasının V = (-1, 3) vektörü doğrultusunda ötelenmişi olan noktanın orijine uzaklığı kaç birimdir. A) 4 B) 2 5 C) 5 D) 2 7 E) 6 5. y = 3x + 2 2. A(0, 1, 2) noktasının x = y = z doğrusuna göre simetriği aşağıdakilerden A) (0, -1, -2) B) (0, 2, 1) C) (1, 2, 0) D) (2, 1, 0) E) (-2, -1, 0) doğrusunun V = (2, -1) vektörü doğrultusunda ötelenmişi olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden A) y = 3x + 9 B) y = 3x + 7 C) y = 3x - 1 D) y = 3x - 3 E) y = 3x - 5 6. xoy düzleminde 3. A(1, -1, 3) noktasının x - y + 2z - 5 = 0 düzlemine göre simetriği aşağıdakilerden A) (0, 0, 1) B) (-3, 1, -1) C) (3, 1, -1) D) (0, 1, -3) E) (1, 3, 0) x 2 + y 2-4x + 2y + 1 = 0 denklemi ile verilen çember başlangıç noktası O(2, -1) olan noktaya ötelendiğinde xoy düzlemindeki denklemi aşağıdakilerden A) (x) 2 + (y) 2 = 1 B) (x) 2 + (y) 2 = 4 C) (x) 2 + (y) 2 = 9 D) (x - 4) 2 + (y + 2) 2 = 1 E) (x - 4) 2 + (y + 2) 2 = 4 119
KONU TESTİ 7. Analitik düzlemde A(3, 1) noktasının orijin etrafında saatin dönme yönünde 45 döndürülmesiyle oluşan noktanın koordinatları aşağıdakilerden A) ( 2, 2 2) B) ( 2, 2) C) (2 2, 2) D) ( 2, 2 2) E) ( 2, 2) 10. 5x 2 + 5y 2 + 6x + 8y + 5 = 0 A) Çember B) Nokta C) Boş küme D) Kesişen iki doğru E) Çakışık iki doğru 11. x 2-2xy + y 2-6x + 6y + 9 = 0 8. Analitik düzlemde A(1, -2) noktası orijin etrafında pozitif yönde 90 döndürüldüğünde oluşan noktanın koordinatları aşağıdakilerden A) (1, 2) B) (2, 1) C) (-1, 2) D) (-2, -1) E) (-1, -2) A) Hiperbol B) Nokta C) Boş küme D) Elips E) Çakışık iki doğru 12. x 2 + 2xy - y 2-1 = 0 9. Analitik düzlemde 2x + y - 2 = 0 doğrusu orijin etrafında saatin tersi yönünde 90 döndürüldüğünde oluşan doğrunun denklemi aşağıdakilerden koniğini standart konik denklemine dönüştürmek için eksenler en az kaç radyan döndürülmelidir? A) 8 B) 4 C) 3 8 D) 2 E) 5 8 A) x + 2y + 2 = 0 B) x - 2y - 1 = 0 C) x - 2y + 2 = 0 D) 2x - y + 1 = 0 E) 2x + y - 1 = 0 CEVAP ANAHTARI 1. E 2. D 3. A 4. C 5. E 6. B 7. C 8. B 9. C 10. B 11. E 12. A 120
KONU TARAMA SINAVI - 13 1. A(2, -1, 3) noktasının x eksenine göre simetriği B ve z eksenine göre simetriği C olduğuna göre BC uzunluğu kaç birimdir? A) 10 B) 13 C) 2 5 D) 2 10 E) 2 13 4. Analitik düzlemde A(-3, 4) noktası saatin dönme yönünde orijin etrafında 90 döndürüldüğünde aşağıdaki noktalardan hangisi elde edilir? A) (4, 3) B) (-3, -4) C) (-4, -3) D) (3, -4) E) (4, -3) 2. A(2, 3, 1) noktasının x = y = -z doğrusuna göre simetriği aşağıdakilerden 4 7 5 2 5 1 A),, B),, 3 3 3 3 3 3 5. 4x 2-2xy + 2y 2-20 = 0 konik denklemini standart konik denklemine dönüştürmek için eksenler en az kaç radyan döndürülmelidir? A) 3 4 B) 3 8 C) 4 D) 8 E) 12 C) 5 4 1,, 3 3 3 D) 7 5 4,, 3 3 3 2 1 11 E),, 3 3 3 6. x 2 + 3xy - 4y 2-9 = 0 A) Elips 3. Analitik düzlemde y = 2x doğrusunun V = (1, 3) vektörü doğrultusunda ötelenmişi olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden A) y = 2x + 3 B) y = 2x + 1 C) y = 2x B) Hiperbol C) Parabol D) Kesişen iki doğru E) Paralel iki doğru D) y = 2x - 1 E) y = 2x - 3 CEVAP ANAHTARI 1. E 2. E 3. B 4. A 5. B 6. B 121
GENEL TARAMA SINAVI 1. y ekseni üzerindeki bir P noktası A(1, -1) ve B(-2, 0) noktalarından eşit uzaklıkta olduğuna göre, P noktasının ordinatı kaçtır? A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 4. A(3, -1) noktasının 2x y + 3 = 0 doğrusu üzerindeki dik izdüşüm noktasının apsisi kaçtır? A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 2. ABCD Kare A(1, -2) B(5, 1) Yukarıda verilere göre, D noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? A) -8 B) -6 C) -4 D) -3 E) -2 5. p bir parametre olmak üzere, (x + y 1) p + 2x y 5 = 0 doğrularının geçtiği sabit bir noktadan geçen ve ikinci açıortay doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden A) x y 3 = 0 B) x + y 2 = 0 C) x y 1 = 0 D) x + y + 1 = 0 E) x y 5 = 0 3. Yukarıda verilere göre, A(A OB) [OA] [AB] A(1, 2) kaç br 2 dir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 6. 3x 2y + 5 = 0 2 x + 3y 1 = 0 doğrularının kesim noktasından geçen ve y eksenine paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden A) x 2 = 0 B) x + 1 = 0 C) x + 2 = 0 D) y 1 = 0 E) y + 1 = 0 127
GENEL TARAMA SINAVI 55. Analitik düzlemde 3x - 2y + 6 = 0 doğrusu orijin etrafında saatin dönme yönünde 90 döndürüldüğünde oluşan doğrunun denklemi aşağıdakilerden A) 3x + 2y - 6 = 0 B) 2x + 3y - 6 = 0 C) 3x + 2y + 6 = 0 D) 2x + 3y + 6 = 0 E) 2x + 3y = 0 58. 2 2 y 3x 4xy 1 0 3 koniğini standart konik denklemine dönüştürmek için eksenler en az kaç derece döndürülmelidir? A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 56. 4x 2 - xy - 3y 2-9 = 0 A) Elips B) Hiperbol 59. Dayanak eğrisi (t, k, kt ) k, t R ve tepe noktası T(0, 0, 0) olan koninin denklemi aşağıdakilerden A) x 2 = yz B) x 2 = xz C) z 2 = xy D) x 2 = y + z E) z 2 = x + y C) Parabol D) Kesişen iki doğru E) Çakışık iki doru 57. x 2 + xy - 2y 2-3x + 3y = 0 60. x 2 - y + 1 = 0 eğrisinin x ekseni etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel yüzeyin denklemi aşağıdakilerden A) (x 2-2) 2 = y 2 + z 2 B) (x 2-1) 2 = y 2 + z 2 C) x 2 = y 2 + z 2 D) (x 2 + z) 2 = y 2 + z 2 E) (x 2 + 1) 2 = y 2 + z 2 A) Nokta B) Kesişen iki doğru C) Hiperbol D) Paralel iki doğru E) Elips CEVAP ANAHTARI 1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. B 7. E 8. C 9. C 10. C 11. D 12. A 13. B 14. C 15. B 16. A 17. A 18. C 19. E 20. B 21. B 22. A 23. A 24. E 25. B 26. C 27. C 28. D 29. D 30. C 31. D 32. B 33. C 34. D 35. A 36. E 37. D 38. B 39. E 40. D 41. B 42. A 43. D 44. B 45. E 46. C 47. D 48. B 49. D 50. C 51. A 52. D 53. A 54. C 55. B 56. B 57. B 58. B 59. C 60. E 136