ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER.................................................................. Dizierde İşemer........................................................ Dizieri Eşitiği.......................................................... Mooto Dizier.......................................................... At Dizi................................................................. Kou Testeri ( )....................................................... 7 ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER............................................... 9 Syf No Aritmetik Dizii Gee Terimii Buumsı................................. 9 Aritmetik Dizii İk Terimii Topmı..................................... 0 Geometrik Dizi.......................................................... 0 Bir Geometrik Dizii İk Terimii Topmı................................ Bir Geometrik Dizii İk Terimii Çrpımı................................ Kou Testeri ( )....................................................... Tekrr Testeri ( )...................................................... Yzııy Hzırık Sorurı ( )............................................. 7 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAVINDA ÇIKMIŞ SORULAR.......................... 0 x e x! k 0 k ( + ).r ( r)
TANIM f() f() f() f() omk üzere dizii değerer kümesi ie gösteriir. (,,,, ) DİZİLER f() syısı dizii dizii. terimi y d gee terimi deir. Gee terimi o f: N + R ( ) (,,,, ) dizisi BÖLÜM N + {,,,,, } sym syırı kümeside R gerçe syır kümesie tım her f: N + R foksiyou gerçek syı dizisi deir. ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier ie gösteriir. Dizierde İşemer ( ) ve ( ) irer dizi omk üzere; ( )+( )( + ) ( ) ( ) ( ) ( ).( ) (. ) ( ) 0 içi ^ h d ^ h c sit syı omk üzere, c.( ) (c. )
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier Bir ( ) dizisii kç terimii egtif işreti oduğuu umk içi < 0 ve > 0 eşitsizik sistemii çözüm kümesideki doğ syırı syısı uuur. d içimideki rsyoe ir dizii kç terimii tmsyı oduğuu umk içi k k, e öüür öüm c, k k ise ifdeside yi tmsyı yp eri syısı uuur. Burd > 0 oduğu uutummı, c R ve < c omk üzere ( ) dizisii kç terimii ie c rsıd oduğuu umk içi < < c eşitsizikeri çözüerek (, c) ock şekide doğ syırıı syısı uuur. f(). +. + c içimideki dizierde > 0 ise dizii e küçük terimi vr f(). +. + c dizisii grfiği pro şekide (f: Z + R) Bu proü simetri eksei oup i) r - doğ syı ise dizii e küçük terimi f- ii) r - doğ syı değise - y e ykı iki doğ syı x ve x ise k c + r - x- x dizisii e küçük terimi f(x ) f(x ) f(). +. + c içimideki dizierde < 0 ise dizii e üyük terimi vr i) r - doğ syı ise 9 + dizii e üyük terimi ii) r - doğ syı değise - y e ykı iki doğ syı x ve x ise x- x f x f x syısı dizii e üyük terimi ^ h ^ h - h k c Dizieri Eşitiği ( ) ve ( ) iki ree syı dizisi osu. ( )( ) omsı içi gerek ve yeter koşu her Z + içi omsı Her Z + içi ise ( ) ve ( ) e eşit dizier deir.
MONOTON DİZİLER Gee terimi o ir ( ) dizisi verisi. Her Z + içi Gee terimi o ir ( ) dizisii mootouğu rştırıırke:. Dizii terimeri yzırk mootouğu iceeeiir.. A ^ h + - frkı uuur. Her Z + içi A() > 0 ise dizi mooto rt, A() < 0 ise dizi mooto z. ( ) pozitif terimi ir dizi omk üzere; orı uuur. Her Z + içi B() > ise dizi mooto rt, B() < ise dizi mooto z Souçr +, ^h dizisi mooto rt +, ^h dizisi mooto z + $, ^h dizisi zmy + #, ^h dizisi rtmy ^h ^,,,,, h B ^ h +,, c, d ree syır omk üzere gee terimi ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier. + c. + d o ir ( ) diziside;. d - c ise mooto deği. d - c ise.d.c > 0 ise mooto rt. d - c ve.d.c < 0 ise mooto z..d.c 0 ise sit dizi
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier ε + ε S ALT DİZİ (k ) rt ir pozitif tmsyı dizisi (her Z + içi k < k + ) omk üzere ( ) diziside yerie k yzırk ede edie _ k i dizisie ( ) dizisii ir t dizisi deir. _ t dizisii her terimi ( ) dizisii de ir terimi Yi her Z + k i içi Komşuuk Bir ( ) dizisii, ir ( ) dizisii t dizisi oup omdığıı mk içi: ) ( ) diziside yerie k yzırk _ k i dizisi ede ediir. ^ h _ k i eşitiğide k uuur. (k ) pozitif tmsyırı rt ir dizisi omı ) ( ) dizisi ie ( ) dizisii terimeri çık ork yzıır. Eğer ( ) dizisii her terimi ( ) dizisii ir terimi ise ( ) dizisi ( ) dizisii ir t dizisi Vey ( ) dizisii e z ir terimi ( ) dizisii ir terimi değise ( ) dizisi ( ) dizisii ir t dizisi deği ε > 0 ir ree syı omk üzere ( ε, + ε) çık rığıd tüm oktrı kümesie ı ε (epsio) komşuuğu deir. ı ε komşuuğudki oktrıı kümesi S osu. x S ise our. O hde _ k i ^h x! ^ - ε, + εh, - ε x + ε,, S 8x: x- ε, x! RB -ε x- ε x- ε ı ε komşuuğud uu oktrı kümesi S 8x: x- ε, x! RB oup ı ε komşuuğu dışıd uu oktrı kümesi S 8x: x- $ ε, x! RB Bir ( ) dizisii kç terimii ı ε komşuuğuu dışıd oduğu soruduğud x ırk x- $ ε& - $ ε eşitsiziği çözüerek doğ syısı uuur.
+ ^ h + 8 içi Bigi.8 + 8 + 8 dizisii 8. terimi 0 dizisii kçıcı terimi tür? sorusuu çözeim. 0 &. 0 oup. terim + c + d c d & 8 & & tür. dizisi sit dizi ise R de gee terimi o + ir dizii te küçük kç terimi oduğuu uım.. > içi.. Kou + ^ h - dizisii. terimi kçtır? A) B) C) 0 D) 9 E) 8 ^- h. ^h G + diziside + ifdesii değeri kçtır? 9 A) B) - C) - 7 D) - E) - ^h TEST Dizier dizisii kçıcı terimi tür? A) B) C) D) E).. ^ h diziside k oduğu göre, k+ şğıdkierde hgisidir? A) 7 B) 9 C) D) 8 E) 9 k - ^ h + dizisi sit dizi ise k kçtır? A) - B) - C) - D) E) 0 7. Gee terimi Z k ] % ; k / ^modh ] ] k [ k+ ; k / ^modh ] ] k ; k / 0^mod ] / h \ ork verie dizide + kçtır? ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier < A) 0 B) C) D) E) 8 omsıı sğy kç te syısı oduğuu umıyız. < < + + < oup,, içi dizii üç terimi te küçük our.. - ^ ve h + ^ h dizierii kçıcı terimeri eşittir? A) B) C) D) E) 8. k ^ h f / -kp k dizisii eşici terimi kçtır? A) 8 B) 90 C) 9 D) 00 E) 0 ) C ) C ) A ) E ) C ) C 7) A 8) C 7
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier Bigi + + 9 dizisii kç + terimii tm syı oduğuu uım. oduğud 7 s syı oduğud + vey + 7 our. Burd + + 9 + + + + 9 + 0 vey our. pozitif tm syı oduğud Dizii. terimi tm syı R de gee terimi 7 7 + + + 9. 0... TEST + + ^h c m + dizisii kç terimi tmsyıdır? A) B) C) D) E) - + ^ h - dizisii kç terimi pozitiftir? A) B) C) D) E) ^- h. ^h G + dizisii kçıcı terimi dir? A) 7 B) C) D) E) ^kh + + + g +!! k! diziside kçtır? 7. dizisii. terimi 8 ise x kçtır? A) B) C) 0 D) E). ( ) diziside. ve oduğu göre, 9 kçtır? A) f / B) C) 8 9 k D) E) dizisii dördücü terimi kçtır? 7 7 8 A) B) C) 8 8 8 7. ( ) dizisi içi, -^x- h. ^h d -.+ ^h c + + + g + m 8 D) E) 8 8 8 + o ( ) dizisii kç terimii egtif oduğuu + uım. < 0 + + + < 0 eşitsiziğii sğy değererie krşı gee terimer egtiftir. +, tüm değereri içi pozitiftir. Eşitsizik + < 0 dektir. Burd < < uuur. ve içi iki terim egtiftir.. 7 A) B) C) D) E) + m ^h ve + ^ h + dizierii eşit omsı içi m kç omıdır? A) B) 0 C) 8 D) E) 8 ^+ h ^+ h. ve oduğu göre, + topmı kçtır? A) B) C) D) E) 8. ( k ) (sikπ) dizisii 0. terimi kçtır? A) B) 0 C) D) E) 8 9) B 0) A ) E ) E ) A ) C ) A ) E 7) B 8) B
Bigi ve iki dizi osu. ise + dizisii kçıcı terimi dir, uım. - 7 + 7 + 8 & 8 oup dizii 8. terimi ( ) e/ o dizisii. k kk ( + ) terimii uım. / uuur. k kk ( + ) ( ) c ve m + 7 ( ) e/ k o k dizieri veriiyor. (. ) dizisii. terimii uım.... Kou c m + TEST Dizier dizisii c x m + x kç omıdır? dizisie eşit omsı içi A) - + B) + C) D) E) ^h c m + dizisii tmsyı o terimeride e üyüğü p, e küçüğü t Bu göre, p t kçtır? A) B) C) D) E) + ^ h + dizisii kçıcı terimi dir? A) B) C) D) E) 7.. dizisi içi kçtır? A) B) C) / k D) E) 7 k dizisii kç terimi egtif değidir? A) B) C) D) 8 E) 0 7. Gee terimi, ^h f / k. k + k ^ h p + 9 ^h c m 7. ^ h + o dizide ifdesii eşiti şğıdkierde hgisidir? A) - + - 8 B) C) 9 - / j j j ^ D) - E) - 9 9 ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier ( ) e/ k o k ( + ).( + ) ; E (. ). ( + ).( + ) c m ( + ) (. ) ( + ) uuur. Bu dizii. terimi ise içi. + uuur.. Bir ( ) dizisii ik terimi ve içi + oduğu göre, dizii üçücü terimi şğıdkierde hgisidir? A) B) C) D) E) 8. d ve c m k ^ k + h f / ^ + hp k oduğu göre, ( ) dizisi şğıdkierdehgisidir? A) + B) + C) + 7 D) + E) + ) D ) E ) A ) C ) B ) A 7) A 8) B 9
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier dizisii. teri- / ^k+ h k + mii uım. içi / ^k+ h k. + Bigi İk terim topmı o ir dizii. terimii uım.. + 0 S ^ + h S-S. ^ + h S. ^ + h S 7 S S N + d ve ( > içi) ( + ) içimide tımı ir dizide 7 değerii uım. 9. Gee terimeri, TEST Z k, k tek ise ] k [ ], k çift ise \ k k k / ^+ kh o ( ) ve ( ) dizieri veriiyor. Bu göre, (. ) kçtır? A) B) C) 7 D) 8 E) 9 Z ] / ^k + h, / ^modh ] k ] 0. [ +, / ^modh ] ] % k, / 0^modh ] k \ dizisi veriiyor. + 7 değeri kçtır? A) 70 B) 7 C) 7 D) 7 E) 78. Bir ( ) diziside N + içi 8^+ h B ^ h $ ^ + h ve koşuu sğmkt, oduğu göre, 8 kçtır? A) B) C) D) E) 8. + ^ h dizisi sit dizi - t Bu göre, t kçtır? A) B) 7 C) 8 D) 9 E). Gee terimi + + + g + o ( ) dizisi veriiyor. Bu göre, + kçtır? 8 9 0 9 9 A) B) C) D) E) 7 7. Gee terimi o dizii dördücü terimi kçtır? A) 7 B) C) D) E). Bir dizide terimi topmı.( + ) 7. / ^k + h k + + + g + Bu dizide. terim kçtır? A) B) C) D) E) 7 + - ^h c m dizisii terimerii kç tesi tmsyıdır? A) B) C) D) E) 7 7 8. ve 7. oup 7 8.7.. 7. & uuur.. ve > içi - + içimide tımı dizide ü değeri kçtır? A) 8 B) 8 C) 8 D) 87 E) 88 7 8. İk terimii topmı S ^ + h o ir dizii dokuzucu terimi kçtır? A) B) 0 C) 8 D) E) 0 9) C 0) D ) A ) C ) C ) B ) A ) D 7) A 8) A
Bigi + - dizisii egtif omy terim syısıı u- + ım. egtif deği ise 0 + $ 0 + eşitiğii sğy kç te doğ syısı oduğuu umıyız. ^ h^ + h $ 0 + $ içi $ 0 oduğud dizisii egtif terimi yoktur. Yi egtif omy tm syısı sosuz çokukt ( ) c + 8 m dizisii tmsyı o terimerii topmıı u- + ım. ( ) c + 8 m dizisii pyıı pydsı + öeim. + 8 + + 8 + 8 8 + + N + içi 8 + ifdesii tmsyı omsı gerekir. O hde (+) yerie,, ve 8 geeiir. + & 0 N + + & N + + & N +... Kou TEST Dizier ^- h! ^h ve - G oduğu göre, k kçtır? A) B) C) 7 D) 8 E) 9 + ^h c m + dizisii terimeride kç tesi pozitif değidir? A) B) C) D) E) ^h f / kk+ k ^ h p dizisii kçıcı terimi 7 8 k k+ dir? 0 A) B) C) 7 D) 8 E) 9. Gee terimi + ie eirtie ir dizide ( N + ) ik 0 terim topmı kçtır? A) 99 B) 00 C) 0 D) 0 E) 80. Gee terimi o ve ik terimii topmı S o ir dizide S + ifdesii eşiti şğıdkierde hgisidir? A) B) + C) 7. Gee terimi - - D) E) x. + ^ h + o ( ) dizisi mooto rt ise x içi şğıdkierde hgisi doğrudur? A) x B) x C) D) E) x + ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier + 8 & 7 N + our. Souçt dizii.,. ve 7. terimeri omk üzere terimi tmsyı içi + 8 + içi 9+ 8 + 7 içi 7 9+ 7 8 oup 7+ + + uuur.. 8 ^ h + dizisii tmsyı o terimerii e küçüğü kçtır? A) B) C) D) E) 8. x. + ^ h + dizisii mooto z ir dizi omsı içi, x hgi koşuu sğmıdır? A) x > 8 B) x > C) x < D) x < 8 E) x > ) A ) C ) C ) E ) C ) C 7) B 8) D
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier Bigi dizisi içi ve her içi - + oduğu göre, 0 yi uım. + h 0 9 0 0 ^+ + + 0h 0. 0 0 07 N + d ve ( > ) içi + içimide tımı ir dizide ifdesii eşitii uım.. + +. + + +... + + +... + +. +... +. ( + + +... + ) ( ) uuur. TEST 9. > omk üzere, ir ( ) dizisi içi ve oduğu göre, ( ) dizisii gee terimi şğıdkierde hgisidir? A). B)..! C)..! D).! E). +.! 8 _ 0. ` şekide tım., $ - ( ) dizisii. terimi kçtır? A)!. B)!. 8 C)!. D)!. E)!.., / 0^modh ) +, / ^modh dizisi veriiyor. + kçtır? A) B) C) 8 D) 0 E). x. y, + ^ h ^ h c m dizieri eşit oduğu göre, x.y kçtır? A) B) 8 8 C) - D) E). k ^h > / ^ h. ^k+ hh k dizisii yirmi eşici terimi kçtır? A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E). + ^ h dizisii sit dizi omsı içi kç + omıdır? A) B) C) 0 D) 9 E) 8. N + ve içi. ve $ - oduğu göre, kçtır? A) B) C) D) E) 9 9 8 - + oduğu göre, 7 kçtır? A) B) 8 C) D) 8 E) 7. ( )+( ) dizisi sit dizi oduğu göre, kçtır? A) B) C) D) E) 8. Gee terimeri, Z- ], / 0 mod ^ h ise [ - ], / mod ise ^ h \ +, / 0^modh ise * +, / ^modh ise 8 o ( ) ve ( ) dizieri içi, + topmı kçtır? 9 A) B) C) D) E) 9) C 0) B ) B ) A ) B ) B ) E ) A 7) C 8) C
Bigi + ifdesi içi tımı deği Bu edee ir - dizi deği + dizisii k + + t dizisi k + ^ + h + + ^+ h + + + + diziside c + d d c > 0 ise mooto rt dizisii k+ ve + k t dizierii uım. ( k + ) k+ ( k + ) + 8k + k + Kou. Aşğıdkierde hgisi ir ree syı dizisi değidir? A) c B) C) m c + m ^πh + + D) E) 7+ k -. Bir ( ) dizisi içi oduğu göre, 8 kçtır? A) B) 0 C) D) 0 E). - ^ h dizisi + + ^ h k+ k kçtır? TEST Dizier ^ - h^ + h. dizisii ir t dizisi ise. Gee terimi, o ( ) dizisii mooto rt dizi omsı içi, x şğıdki koşurd hgisii sğmıdır? A) x < B) x > C) x < D) x < 0 E) x > +. Aşğıdki dizierde hgisi dizisii t dizisidir? + + + + A) B) C) + + + 7. x. + ^ h + + + D) E) + + + - ^h c m + ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier k ( k ) ( k ) + A) B) C) D) E) dizisii terimeride kç tesi egtiftir? k k + A) B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 c m dizisii kçıcı terimi + 7 e eşit oduğuu uım. 7 + 0 + 7 77 & 7. Gee terimi ( ) o ir dizide, 8 + ^ - h + oduğu göre, ( ) dizisi şğıdkierde hgisidir? + + + A) B) C) - + + + D) E) + 8. ^h _ ^- h + i dizisi, şğıd gee terimeri verie dizierde hgisie eşittir? A) si π B) cos π C) t π D) cos π E) si π ) E ) A ) C ) E ) B ) D 7) A 8) D
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier Bigi + diziside d c < 0 c + d ise mooto z ir dizi d c > 0 ise mooto rt ir dizi Z + / 0 mod ] ^ h [ + / ^modh ] / ^modh \ diziside + + topmıı uım. / ^mod h oup. / ^modh oup. + / 0^modh oup + 7 + + + + 7 8 ( ) c m + p dizisii mooto z omsı içi p hgi koşuu sğmıdır, uım. ( ) c m + p dizisii mooto z omsı içi; d < c ve.d.c < 0 omı + p 0 p < & p > ve 9. Aşğıdkierde hgisi mooto z ir dizidir? - + - A) B) C) + + + 0. TEST + - D) E) + + ^ - h -- + 9 +. Bir dizii gee terimi ^+ h $, + k ^ h oduğu göre, kçtır? A) B) C) D) 7 E) 7 7. Gee terimi Z ] +, / 0 ^modh ise ] +, / ^modh ise [ ] / kk ^ + h, / ^modh ise ] k \ o ( ) dizisi içi + + topmı kçtır? A) 0 B) C) 0 D) E) 0. ( ) diziside ve içi. oduğu göre, kçtır? A) 0 B) C) 0.. D) E) 0 dizisii sit ir dizi oimesi içi (, ) ikiisi şğıdkierde hgisi omıdır? 9 9 A), B), C) D) 9,, - E), dizisii ir t dizisi `k oduğu göre, k j 8 + 7 kçtır? A) B) C) 0 D) 9 E) 8 dizieri veriiyor. ( ).( ) dizisii gee terimi şğıdkierde hgisidir? A) B) C) D) E) - 7. ^ h ^ + ^k + h. h dizisi sit dizi 8. -. - ^ d ^ h ^ h h - ^h ^+ + + g + -h ve ^ h - Bu göre, (k. ) çrpımı kçtır? A) B) C) D) 7 E) 8 x - ^ h -.p ( ). < 0 p + < 0 & p < omı O hde, < p <. ve + ( ) + dizisi içi 0 / topmıı soucu edir? k A) 0 B) 0 C) D) 0 E) mooto rt ise x ise şğıdkierde hgisi doğrudur? A) x - B) x - C) D) x E) x $- x 9) D 0) A ) A ) C ) C ) B ) E ) B 7) E 8) D
+ c + d c d + + k dizieri veriiyor. Bigi sit dizi ise ( ) + ( ) sit dizi oduğu göre, k ı değerii uım. + + k + + () () dizisii sit dizi omsı içi ^k + h..0 omı + k + + 0 k. Kou dizisi sit ir dizi oduğu göre k. kçtır? A) B) C) D) E). ^h + ve ^ h + k dizieri veriiyor. ( ) + ( ) dizisii sit dizi oimesi içi kç omıdır? A) B) C) 0 D) E). ( ) diziside, TEST Dizier + ^ h + k, ve. oduğu göre, kçtır? A) 8 B) C) D) E).. 7. - ^h c m + + 9 + D) E) 9 + 7 + + + ^h d + dizisii ir t dizisi şğıdkierde hgisidir? + - 9 + A) B) C) + + 9 + dizisii ir t dizisi _ k oduğu göre, k i + kçtır? A) 9 B) 0 C) D) E) - + ^ d ^ h h - dizisie ( ) t dizisi şğıdkierde hgisidir? A) B) C) - - - ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier.! ( )!. ( )! D) E) - 7 - &.!. + ^h k ve + _ i + k & &. ktı omk üzere ( k ) dizisi ( ) dizisii ir t dizisi oduğu göre, c dizisii. k m terimi kçtır? A) B) C) D) E) 7 7 7 7 7 8. ^ h (, +, + +,..., + + +...+, ) dizisii 0. terimi kçtır? A) B) 0 C) D) E) 0 ) B ) E ) A ) A ) E ) C 7) E 8) D
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier Bigi + + + g + c + + + g + m $ - + + + + + + ^ + h ^ + h^+ h + 0, ve N, oduğu göre, kçtır? 0 ve. ise içi. 0 içi.. içi..!... içi! uuur.! 9. dizieri veri- ^h c + + + g + m iyor. ( ) + ( ) dizisi şğıdkierde hgisidir? A) B) + C) 0. ( ) diziside,. ^h c+ ve m D) - - E) + c m oduğu göre, u dizii gee terimi şğıdkierde hgisidir? A) + B) + C) + D) + E) + + + ^h c m + dizisii tmsyı o terimi kçıcı terimdir? A) B) C) D) 7 E) 8. Bir ( ) ree syı dizisii ik terimii çrpımı P oduğu göre u dizii. terimi kçtır? 8 8 A) B) C) D) E) 8 9. Gee terimi o dizide TEST + + ^h d ^+ h! orı kçtır? 8 + 0 9. diziside oduğu göre, m kçtır? A) 0 B) C) D) 0 E). Gee terimi + + + g + + + + g + o dizii 7. terimi kçtır? A) B) C) D) E) 7 7. Gee terimi o dizide ifdesii değeri kçtır? 8 A) B) C) D) E) 7. Gee terimi o dizide ve her > içi oduğu göre, u dizii. terimi kçtır? A) + 7 B) C) 7 + D) 7 + 8. Gee terimi + m + ^h c m + - + * +! + E) / 0 ( mod ) / ^mod h + 7 7+ c + m - c - m G o dizii. terimi kçtır? 9 0 8 8 A) B) C) D) E) 7 7 7 8 A) B) C) D) E) 9) E 0) C ) C ) A ) E ) B ) C ) D 7) E 8) D
Bigi + ^ h dizisii kç terimii i komşuuğuu dı- + 0 şıd oduğuu uım. + $ +, O hde dizii te terimi i komşuuğu dışıd 0 + dizisii mooto c + d z omsı içi d c < 0 omı Gee terimi,, N + o ( + )( + ) dizii ik 7 terimii topmıı uım. A + B ( + )( + ) + + şekide yzrsk A ve B uuur. dizisii ik 7 + + terim topmı + + c m c m c m + c m+ c m+ c m 7 8 7 9 + c m 8 0 0 ^0 + -0 h $ ^ + h ^ + h #.0 + # # # 0. ( ) dizisi içi / k + k oduğu göre 0 kçtır? A) 0 B) 0 C) 9 D) 0 E) 9. 8 ve > doğ syısı içi.. Kou 9 - o ( ) dizisii 9. terimi kçtır? A) 9 8 B) 9 C) 9 D) 9 E) 9 + ^ h + dizisii terimerii kç tesi tmsyıdır? A) B) C) D) E) k + ^ h + dizisii sit dizi omsıı sğy k syısı kçtır? 0 0 9 9 A) B) C) D) E) 9 7 7 0. ( ) ( + + +... + ) + ^h d + dizieri veriiyor. TEST Dizier (. ) dizisii. terimi kçtır? 9. - 0 + ^h c m - dizisii kç terimi egtiftir? A) B) C) D) 7 E) sosuz çokukt 7. Gee terimi Z ] + + / ^mod + h ] + [ / ^modh ] - ] / 0 ^modh \ o ( ) dizisi içi + işemii soucu kçtır? 7 A) B) C) D) E) 9 9 9 8. + ^ h + dizisii kç terimi 7 de küçüktür? A) B) C) D) E) 7 9. Gee terimi Z + ], / 0 mod + ^ h [ ^+ h, / ^modh ] ^ + h, / ^modh \ o ( ) dizisii (k ) ( ) t dizisi şğıdkierde hgisidir? - + A) d ^ h B) [.( ) + ] C) ( ) D) _ ^ - h + i ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier + 8 uuur. 9 0 A) B) C) D) 8 E) E) ( + ) ) E ) B ) A ) D ) C ) C 7) E 8) C 9) B 7
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Dizier. + c + d omsı içi c d omı / k k 8 i uım. 8 8 7 Bigi dizisii sit dizi osu. 8 / k + + g + 7+ 8 k 8 7 / k + + g + 7 k 7 + + 7 dizisii kç terimii d küçük oduğuu uım. 0.. TEST - ^ h + dizisii kç terimi dışıddır? komşuuğu A) B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 + ^h c m! ü 8 + dizisi içi ^ch e o ise c kçtır? A) B) C) D) E). Gee terimi!. ^ h ^ h o ir dizide 0 orı kçtır? 8 A) 80 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0. Bir ( ) dizisi içi +. ve 9 ise 9 orı kçtır? A) B) 0 C) D) 0 E) 9. Bir ( ) diziside 8 ve her > içi. 7.. - oduğu göre şğıdkierde hgisidir? A) B) C) D) E) 8 ^+ h π ^h cosc m 8 dizisii 99. terimi şğıdkierde hgisidir? A) - B) - C) 0 D) E) + ^+ hπ ^h ^- h.si; E dizisii 0. terimi kçtır? A) - B) - C) - D) E) + & + 7 8. + ^ h + k + + 0 0 oup dizisii 9 terimi d küçüktür.. + ^ h - dizisii ü ε komşuuğu dışıdki terim syısı oduğu göre ε kçtır? A) B) C) D) E) 00 90 80 0 0 dizisii mooto z omsı içi k syısı hgi koşuu sğmıdır? A) < k < 0 B) < k < 9 C) - k D) - k 9 E) - k 8 0) D ) A ) E ) A ) D ) D ) C 7) A 8) C
ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER ARİTMETİK DİZİ Bir ( ) dizisii rdışık terimeri rsıdki frk hep yı sit syı ise u diziye ritmetik dizi deir. Her Z + ve d R içi ise ( ) ritmetik dizi d syısı ritmetik dizii ortk frkı deir. Aritmetik Dizii Gee Terimii Buumsı Souçr KONU ÖZETI İk terimi, ortk frkı d o ir ritmetik dizii gee terimii ( ) uumsı: + d + d + d + d + ( )d. Bir ritmetik dizide p ici terim p, k ici terim k ise oup + - d p + ^p-h d - k + ^k-h d p- k ^p-kh.d p- k d p - k BÖLÜM. ve gii iki syı rsı ritmetik dizi ouşturck şekide te terim yereştiridiğide ede edie Z terimi ritmetik dizii ortk frkı: ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Serier, + + ^+ -h d - + + ^+ h d & d + 9
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Serier Aritmetik Dizii İk Terimii Topmı Ortk frkı d o ir ( ) ritmetik dizisii ik terimii topmıı uumsı: ( ) ritmetik dizisii ik terimii topmı S ie gösteriirse; GEOMETRİK DİZİ Bir ( ) dizisii rdışık iki terimii orı hep yı sit syı ise u diziye geometrik dizi deir. Her Z + ve r R içi r syısı geometrik dizii ortk çrpı deir. S + + + + + ^+ dh+ ^+ dh+ g + + ^-h d@ $ + d+ + + g + ^-h @ ^- h.+ d $ d + ^ - h @ d 8 + ^ + ^ - h hb ^ + h S ^ + h Bir Geometrik Dizii Gee Terimii Buumsı İk terimi, ortk çrpı r o ( ) geometrik dizisii gee terimii uumsı:.r r.r.r.r gggggggg + r.r.r - -.r - 0
Souçr. Bir ( ) geometrik diziside p ici terim p, k ıcı terim k ise oup trf trf orırs. ve gii iki syı rsı te terim yereştirierek ouşturu ( + ) terimi geometrik dizii ortk çrpıı uumsı:. Bir geometrik dizide herhgi ir terim, u terimde eşit uzkıkt uu iki terimi geometrik ortmsı eşittir. p > k omk üzere. Sou ir geometrik dizide şt ve sod eşit uzkıkt uu iki terimi çrpımı yı sit syıy eşittir. ( ) sou eemı ir geometrik dizi osu. Bu durumd p.r p - k.r k - p.r p - r k.r k - p - k p rp - k k,.r+ - + r + p p- k.p+ k.r+ + ^h ^,,, g,-, -,h..-.- g ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Serier. ( ) (x, y, z) üç eemı dizisii hem ritmetik hem de geometrik dizi omsı içi u dizii terimeri rsıdki iişki: ( ) (x, y, z) dizisii ritmetik dizi omsı içi x z y +
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Serier geometrik dizi omsı içi y xz omı x+ z xz & x + z xz & ^x+ zh ^ xzh & x+ xz + z xz & x- xz+ z 0 & ^x- zh 0 & x z ve x z z z z y + + z& y z oup xyz Bir Geometrik Dizii İk Terimii Topmı Ortk çrpı r o ( ) geometrik dizisii ik terimii topmı T osu. T + + + g + +.r +.r + g +.r - ^ h _ i _ i. ^ + r+ r+ g + r- h - r T $ - r Bir Geometrik Dizii İk Terimii Çrpımı ( ) ir geometrik dizi ve ortk çrpı r osu..r.r.r ggggg r - oduğud... g..r r r g r - ^ h_ i_ i _ i oup ^ - h p... g..r + + + g + - ^ h ^ h.r O hde ( ) geometrik dizisii ik terimii çrpımı: ^ - h p % k r k - ^ h % _ i ^ h.r k k
Bigi, + r, + r,... + + ( ).r dizisii terim syısı: + ^ hr @ r + + ir ritmetik dizi ise + ( )d,, c syırı ir ritmetik dizii rdışık üç terimi ise c + Bir dizide Bu dizide > içi + içimide tımı terimii ye ğı ifdesii uım. uuur. _.... `.... & + +... + + +... + + + +... + Kou TEST Aritmetik Dizi. ( ) (, 7,,,..., 9) sou ritmetik diziside terim syısı kçtır? A) B) C) 7 D) 8 E) 9. x + y, x + z, y + z ritmetik dizii rdışık üç terimi ise şğıdkierde hgieri ritmetik dizi ouşturur? A) z, x, y B) x, y, z C) z, y, x D) x, y, z E) x, y, z. ( ) ir ritmetik dizi ve oduğu göre, S 0 kçtır? A) 0 B) C) 8 D) E). ( ) ritmetik dizi ( ) ( ) oduğu göre, u dizii ortk frkı kçtır?. Bir ritmetik dizide oucu terim, yirmici terim ise otuzucu terim edir? A) B) + C). Bir ritmetik dizide D) E) + / k + k oduğu göre, kçtır? A) B) 0 C) D) 0 E) 7. ( ) ir ritmetik dizi + + + + oduğu göre, şğıdkierde hgisidir? A) B) + C) + D) E) ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Serier ( + ) A) B) C) 8 D) E) 8. +, 8, 7 + ir ritmetik dizii ik üç terimi oduğu göre, kçtır? A) 0 B) C) D) E) ) A ) B ) B ) E ) A ) C 7) A 8) A
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Serier Bigi ir ritmetik dizi ise + ( )d ritmetik dizisii ik terim topmı S ^ + h ve syırı rsı ( < ) te terim yereştirerek ouşturu + terimi ritmetik dizii ortk frkı - d + İk terimi, ortk frkı ve so terimi o ir ritmetik dizii terim syısıı uım. _ r ` + ( ).r + ( ). + & uuur. Dışükey ir dörtgede çır ir ritmetik dizii rdışık dört terimi E küçük çı 0 oduğu göre, e üyüğü kç derecedir, uım. Bir ritmetik dizii ik terim topmı; + S. c m 0 + & 0. c m 0 uuur. TEST 9. Bir ritmetik dizide 8. terim ie. terimi topmı ( + ) oduğu göre, 0. terim şğıdkierde hgisidir? + - + A) B) C) - 8 D) E) 0. Ortk frkı d o ir ritmetik dizide + oduğu göre, ik 8 terimi topmı kç d dir? A) 0 d B) d C) d D) 8 d E) 0 d. İk terimi ortk frkı eşit o ir ritmetik dizide ik terimi ritmetik ortmsı 7 Bu göre, ik 0 terimi ritmetik ortmsı kçtır? A) 0 B) C) D) E). Bir ritmetik dizii ikici terimi, ik terimii topmı Dizii ik terimi kçtır? + 0 A) B) C) D) 8 E) 0. ie rsı u syır ritmetik dizi ouşturck şekide terim yzıdığıd ede edie dizii gee terimi şğıdkierde hgisidir? A) B) C). ( ) ritmetik diziside + 0 ve + 0 oduğu göre, şğıdkierde hgisie ittir? A) B) C) D) 9 E). İk terimi o ir ritmetik dizide ik 8 terim topmı S 8 8 oduğu göre, dizii ortk frkı kçtır? A) B) C) D) E). ie 8 syırı rsıd ritmetik dizi ouşturck şekide terim yereştiriiyor. Ouş ritmetik dizide sekizici terim kçtır? A) B) C) 8 D) 0 E) 7. Gee terimi + o ir ritmetik dizide ik terimi topmı S şğıdkierde hgisidir? 8. A) - 7 7 B) + C) + D) + E) - + x, + x, + 0x, g, -x ir ritmetik dizii sou terimeri Bu göre u terimeri syısı kçtır? D) E) + A) 80 B) C) 0 D) E) 0 9) C 0) E ) B ) A ) A ) B ) A ) C 7) B 8) C
Bigi ir ritmetik dizi ise + ( )d ve syırı ( < ) rsı te syı yereştirierek + terimi ir ritmetik dizi ouşturuduğud u dizii ortk frkı - d + ritmetik dizisii ik terimii topmı S ^ + h Bir dizii ik terimii topmı S ise k S k S k Yşrı topmı 8 o krdeşi yşrı ritmetik dizi ouşturmkt E küçük krdeş yşıd oduğu göre, e üyük krdeşi yşıı uım. Bir rtmetik dizii ik terim topmı, S [ + ] krdeş,,,,,, osu. S [ + ] & 8 ( + ) & + & yşıd Kou TEST. ( ) ir ritmetik dizi, / ^ h 0, Aritmetik Dizi oduğu göre, u dizii ortk frkı kç oiir? A) B) C) D) E). ( ) ir ritmetik dizi, 0 ve / ^ h / ^h oduğu göre, u dizii ortk frkı d kçtır? A) B) C) D) 0 E). ie 0 syırı rsı u syır erer ritmetik dizi ock şekide syı yereştiriiyor. Bu yereştirie syırd üçücüsü kç our? A)9 B)0 C) D) E). Bir ritmetik dizide / c m + 8 + + 0 oduğu göre, u dizii ik 9 terimii topmı kçtır?. Bir ritmetik dizide ve 8 oduğu göre, + kçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). Bir ritmetik dizii ik terimii topmı, S ^ + h Bu dizide dördücü terim kçtır? A) B) C) D) 7 E) 8 7. İk terimi, ik eş terimii topmı o ir ritmetik dizii ortk frkı kçtır? A) B) C) D) E) 8. Bir ritmetik dizide x, x, x oduğu göre, x kçtır? ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Serier A) 9 B) 9 C) 9 D) 97 E) 98 A) B) C) D) E) ) E ) C ) B ) B ) D ) D 7) B 8) D
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Serier Bigi dizisii ik terim topmı S ise p S p S p,, c syırı ir ritmetik dizii rdışık üç terimi ise c + ritmetik diziside p. terim p + (p )d q. terim q + (q )d oup p- q d p- q dur. İk terimi, ortk frkı ve so terimi o ir ritmetik dizii terim syısıı uım. ve d ise + ( )d eşitiğide & + ( ). & uuur. So terim ise & & our. Dizii terim syısı tür. Bir ritmetik dizii. terimi 7, 7. terimi tir. Dizii ortk frkıı uım. 7, 7 ise dizii ortk frkı, 7 d 7 8 7 our. TEST 9. İk 8 terim topmı ve ik terim topmı 0 o ir ritmetik dizii ik 0 terim topmı kçtır? 8 808 70 A) B) C) 80 8 D) E) 7 0. Bir ritmetik dizide k ve p tür. k. ve p. terimer rsıd te terim oduğu göre dizii ortk frkı şğıdkierde hgisidir? A) B) C) D) E). Bir ritmetik dizide 8. terim ve. terim ise. terim kçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). og 9 x, og x 7, og 8 x pozitif terimi ir ritmetik dizii rdışık üç terimi oduğu göre, og x kçtır? A) B) + C) D) E). Bir ritmetik dizide, ik terim topmı S + oduğu göre, 0. terim kçtır? A) B) C) D) 7 E) 9. ( ) ritmetik diziside ik terimi topmı S Bu göre, S 0 ve S 8 0 oduğu göre S 0 kçtır? A) 00 B) 00 C) 000 D) 90 E) 900. Bir ritmetik dizide, x ve x m Bu göre, dizii ortk frkı kçtır? + - A) B) m C) - - m D) - - m E) - + m. Üçücü terimi 8 ve dokuzucu terimi ie ikici terimi rsıdki frkı o ir ritmetik dizii ik kç terimii topmı 0 dir? A) B) C) D) E) 7 7. Bir ritmetik dizide 0. terim,. terim ( + ) Bu dizii ik terimi ise,. terimi kçtır? A) B) C) 7 D) 8 E) 9 8. (8,,,,,...) terimeri ir ritmetik dizi ouşturduğu göre, u dizii. terimi kçtır? A) B) C) 7 D) 8 E) 9 9) A 0) C ) B ) C ) A ) E ) C ) C 7) D 8) C
Bigi ir geometrik dizi ise.r p q. r p q dur. i ik terimii topmı r S $ r İk terimi ve ortk çrpı o ir geometrik dizii. terimii uım., r ise.r &. our.... 8 uuur. v ve v8 syırı rsı hgi syıyı koyım ki, geometrik dizi meyd gesi? v ve v8 syırı rsı x syısı gediğide geometrik dizi ouyors, x omı. 8 Kou TEST Geometrik Dizi. ( ) geometrik diziside ik terim ve ortk çrp r oduğu göre, dizii dördücü terimi kçtır? A) B) C) D) E). ( ) geometrik dizi ve 8 8 oduğu göre, 0 kçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). ( ) geometrik dizi,. + ve + oduğu göre, ortk çrp şğıdkierde hgisidir? A) B) C) D) 0 E),,,, g 9 7 dizisii 0. terimi kçtır? A) B) C) D) E). Bir geometrik dizii ik dört terimii topmı ve eşici terim irici terimde fz Bu göre, dizii ik terimi kçtır? A) B) C) D) E). ( ) ir geometrik dizi omk üzere; + ve - 8 oduğu göre, kçtır? A) B) C) D) E) 9 9 9 97 7. ( ) ir geometrik dizi, oduğu göre r i pozitif değeri kçtır? A) B) C) D) E) 8. Bir geometrik dizii ik sekiz terimii topmı,, ik dört terimii topmı oduğu göre, u dizii ikici terimi kçtır? 7 A) B) C) D) E) 98 ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Serier ) D ) C ) C ) A ) E ) C 7) C 8) E 7
ÜNİTE GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ Böüm Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Serier Bigi x, y, z syırı ir geometrik dizii rdışık üç terimi ie y dekemii x, x, x kökeri ir geometrik dizii rdışık üç terimi ise ve oduğud d x uuur. x dekemde yerie yzırk istee değer ede ediir. Bir geometrik dizii ik terimi,. terimi oduğu göre,. terimii uım. r xz x+ x+ cx + d 0 xx x d - x xx x d -, ise ortk çrp Dizii gee terimi;.r ve içi.r uuur... 8 TEST 9.,, c ir ritmetik dizii rdışık üç terimi, +, ve c ise ir geometrik dizii rdışık üç terimi + + c 9 oduğu göre, kçtır? A) B) C) D) E) 0. Gee terimi ( ) o ir geometrik dizide x ve 8 oduğu göre, x şğıdkierde hgisidir? A) x B) x C) x D) x E). Bir geometrik dizii ik üç terimi sırsıy og, x, og Bu dizii ortk çrpı şğıdkierde hgisidir? A) B) C) og D) og 0 E). ( ) geometrik dizi x ve y Bu göre u dizide şğıdkierde hgisie eşittir? y9 A) 0 0 y B) 9 C) 0 x9 x y y D) x E) x. ( ) geometrik diziside, og y x9 ve S S 8 oduğu göre, u dizii ortk çrpı kçtır?. x x + x 8 0 dekemii kökeri ir geometrik dizii rdışık terimeri oduğu göre, syısı kçtır? A) B) C) 0 D) E) 8. Bir geometrik dizii rdışık terimi,,, oduğu göre, (.) çrpımı kçtır? A) B) C) 8 D) 70 E) 7. Pozitif terimi ir geometrik dizii ik tı terimii topmı, ik üç terimii topmıı ktı Dizii ortk çrpı kçtır? A) 0 B) C) D) E) 7. ( ) (.r ) ve ( ) (. ) geometrik dizieri veriiyor. e o geometrik dizisii ortk çrpı oduğu göre, ( ) dizisii ortk çrpı kçtır? A) B) C) D) E) 7 8.,, syırıı heriri x kdr rtırıdığıd ir geometrik dizii rdışık üç terimi ede ediiyor. Bu göre x kçtır? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 8 9) C 0) A ) E ) A ) B ) E ) E ) B 7) D 8) B