MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz. Sayfa 1
DERS 20. LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ VE DİFERANSİYEL DENKLEMLER Laplace döüşümüü özellikleri. Laplace döüşümüü öemli pek çok özelliğii elde edeceğiz. Teorem 20.1. olsu. Bu durumda (i) (s-kaydırma) ; (ii) (t-kaydırma) ise, ( içi dır); (iii) (s-türev) ; (iv) (t-türev) eğer sürekli ise, ; (v) (ölçekledirme) ise,, dır. İspat. (i) eşitliğide souç görülür. (ii) olsu. Bu durumda dır. Hipotezde limitleri ile değiştirilebilir. (iii) eşitliğide souç görülür. Sayfa 2
(iv) Ders 19 da ispatladı. (v) Değişke değiştirme ile elde edilir. Alıştırma. Aşağıdakileri gösteriiz: 1. ise, 2. ise,. Örek 20.2 ÇÖZÜM. i Laplace döüşümüü hesap ediiz. döüşümüe s-türev özelliği uygulaırsa buluur. Alıştırma. ve içi olduğuu gösteriiz. Örek 20.3 foksiyouu Laplace döüşümüü hesap ediiz. ÇÖZÜM. ifadesidede s-kaydırma özelliği uygulaırsa elde edilir. Alıştırma. o ve olduğuu gösteriiz. Sayfa 3
Örek 20.4 Hagi foksiyou Laplace döüşümü dir. ÇÖZÜM. ve olduğuu görüüz. Burada, s-türev özelliği ile elde edilir. Örek 20.5 Hagi foksiyou Laplace döüşümü dir. ÇÖZÜM. Tam kareye tamamlayarak yazarız. olduğuda, -kaydırma özelliği ile elde edilir. Alıştırma. o olduğuu gösteriiz. Geelleştirilmiş Çözümler. sabit ve olmak üzere (20.1) Sayfa 4
diferasiyel deklemii iceleyelim. Yai, süreksizliklere sahip olabilir. Laplace döüşümü bu tip problemler içi çok etkili bir metottur. Öce, aşağıdaki teoremi alamalıyız. Teorem 20.6. ve bir açık aralık olmak üzere, olsu. Eğer ı bir oktasıda basit süreksizliğe sahip ise, (20.1) deklemii da bir klasik çözümü yoktur. Bir basit süreksizlik oktasıda sağ limit ve sol limit var acak birbirie eşit değildir. I da bir klasik çözüm, ı her oktasıda diferesiyel deklemi sağlaya bir foksiyoudur. koşulu, (20.1) deklemii türev içerdiğii garati eder. Kaıt, Darbox'u bir teoremii kullaır ve burada verilmemektedir. Burada çözüm kavramıı, süreksiz giriş foksiyolarıa izi vermek içi geişletiyoruz ve Laplace döüşümü teorisii bu geelleştirme kapsamıda geliştiriyoruz. Taım 20.7. aralığıda taımlı bir foksiyou içi, eğer (i),, foksiyoları I aralığıda sürekli ve (ii) aralığıda ürekl olduğu oktalarda sağlaıyorsa foksiyoua (20.1) deklemii bir geelleştirilmiş çözümü deir. (ii) koşulu i tüm kötü davraışlarıı tarafıda akladığı alamıa gelmektedir. i süreksizlik oktalarıda, deklem sağlamayabilir. i mevcut olması gerekmez. Alıştırma. olmak üzere, (20.1) deklemi ve, koşullarıda oluşa başlagıç değer problemii varlık ve teklik teoremii geelleştirilmiş çözümler sııfıda oluşturuuz. Teorem 20.8. olsu. Eğer foksiyou (20.1) i aralığıdaki geelleştirilmiş bir çözümü ise,,,, dir. İspatı aa hatları. Öce, E i toplama, çarpma ve itegral işlemlerie göre kapalı olduğuu gösteriiz, yai ise,,, dır. Sora, ise, i çözümüü Sayfa 5
olarak verildiğii gösteriiz. Burada ise olur. türevii de E ye ait olduğuu göstermek içi, deklemi y biçimide yazarız. olduğuda, dir. So olarak da üzeride tümevarım tekiğii kullaıız. Döüştürülmüş deklem. sabit olmak üzere deklemii göz öüe alalım. i karakteristik poliomu dir. süreksiz olduğuda, çözüm sözcüğü geelleştirilmiş çözüm alamıda kullaılacaktır. formülü kullaılırsa, (20.2) i Laplace döüşümü deklemii verir., ve da katsayıları başlagıç koşullarıa bağlı derecesi e çok ola bir poliom olmak üzere, so deklemi olarak yazabiliriz. ı ifadesi (19.4) de kolaylıkla elde edilebilir. Böylece deklemie ulaşırız. Burada çözümüü elde ederiz. i ters Laplace döüşümü buluursa, (20.2) deklemii ve sabitler olmak üzere, homoge olmaya terimii o Sayfa 6
foksiyolarıı solu bir toplamı olduğuu varsayalım. Bu tip giriş foksiyolarla farklı içeriklerde oldukça sık karşılaşılır. i Laplace döüşümü rasyoel foksiyoları bir toplamıdır, yai iki poliomu oraı ola foksiyoları toplamıdır. Öreği, dir.yukarıdaki tartışma bize foksiyoları bir toplamı olduğuu söyler. çıktısıı Laplace döüşümüü de yie rasyoel bir rasyoel foksiyo olduğuda, olmak üzere, yi elde etmei temel yötemi yi basit kesirlerie ayırmaktır. Örek 20.9 Laplace döüşümü yötemiyle başlagıç değer problemii çözüüz. ;, ÇÖZÜM. ve olsu. Laplace döüşümü alıırsa deklemlerii elde ederiz. Rasyoel foksiyou basit kesirle ayırıp sora da tam kareye tamamlarsak elde ederiz. Her bir terimi ters Laplace döüşümüü bularak o elde ederiz. Alıştırma (Başlagıç ve so değer teoremleri). 1. ise, l m olduğuu gösteriiz. 2. ve sürekli ise, l m olduğuu gösteriiz. 3. ve l m ise, l m olduğuu gösteriiz. Sayfa 7