T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ.

Transkript

1 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ İsmail AYDOĞDU Balıkesir, Hazira-009

2

3 ÖZET CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR İsmail AYDOĞDU Balıkesir Üiversitesi, Fe Bilimleri Estitüsü, Matematik Aabilim Dalı (Yüksek Lisas Tezi / Tez Daışmaı: Doç. Dr. Ciha ÖZGÜR) Balıkesir, 009 Bu çalışmada Chaki pseudo simetrik, pseudo Ricci simetrik, pseudo-projektif Ricci simetrik, zayıf simetrik Riema maifoldları ele alımıştır. Ayrıca pseudo simetrik mükemmel akışkalı uzay zamaı icelemiş ve bazı fiziksel uygulamalar verilmiştir. Yedi bölümde oluşa bu tezi birici bölümü giriş bölümüdür. İkici bölüm ise bazı temel taım ve özelliklerde oluşmaktadır. Üçücü bölümde Chaki pseudo simetrik maifoldları taımı yapılmış, iki boyutlu pseudo simetrik maifoldlar ve Eistei pseudo simetrik maifoldlarla ilgili teoremler ve ispatları verilmiştir. Dördücü bölümde pseudo Ricci simetrik maifold taımı yapılmış ve bu maifoldlar içi skaler eğrilik foksiyouu bazı özellikleri icelemiştir. Beşici bölümde pseudo-projektif Ricci simetrik maifoldlar taımlamış ve bir vektör alaıı eerji foksiyouyla ilgili teoremler verilmiştir. Altıcı bölümde zayıf simetrik Riema maifoldlar ayrıtılı olarak ele alımış ve bu maifoldlarla ilgili bazı temel souçlar verilmiştir. So bölüm ola yedici bölümde ise Chaki pseudo simetrik maifoldları bazı fiziksel uygulamalarıda bahsedilmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Pseudo simetrik, pseudo Ricci simetrik, pseudo-projektif simetrik maifold, mükemmel akışka uzay-zamaı. ii

4 ABSTRACT CHAKI PSEUDO SYMMETRIC MANIFOLDS İsmail AYDOĞDU Balıkesir Uiversity, Istitue of Sciece, Departmet of Mathematics (M.Sc. Thesis / Supervisor: Associate Prof. Dr.Ciha ÖZGÜR) Balıkesir TÜRKİYE, 009 I this thesis, Chaki pseudo symmetric, pseudo Ricci symmetric, pseudoprojective Ricci symmetric, weakly symmetric Riema maifolds are studied. Furthermore a pseudo symmetric perfect fluid space-time is ivestigated ad give some physical applicatios. This thesis cosists of seve chapters ad the first is the itroductio. I the secod chapter, some otios ad defiitios which will be used i the ext chapters are give. I the third chapter, the otio of Chaki pseudo symmetric maifold is defied ad some theorems ad their proofs are give. I the fourth chapter, the pseudo Ricci symmetric maifold is defied ad some properties of the scalar curvature are studied. I the fifth chapter, the pseudo-projective Ricci symmetric maifolds are defied ad some theorems related to the eergy fuctio of a vector field are give. I the sixth chapter, the weakly symmetric Riema maifolds are studied comprehesively ad some fudametal results are give. I the seveth ad fial chapter, some physical applicatios of pseudo symmetric maifolds are give. KEY WORDS: pseudo symmetric, pseudo Ricci symmetric, pseudoprojective symmetric maifold, perfect fluid space-time. iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET, ANAHTAR KELİMELER ABSTRACT, KEY WORDS İÇİNDEKİLER SİMGELER DİZİNİ ÖNSÖZ Sayfa ii iii iv vi vii. GİRİŞ. TEMEL KAVRAMLAR 3. CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR 3. Taım (Chaki Pseudo Simetrik Maifold) 3. İki Boyutlu Pseudo Simetrik Maifoldlar 3.3 Sabit Skaler Eğrilikli Uzay Olarak (PS) ( >) Eistei Pseudo Simetrik Maifoldlar Codazzi Tipide Ricci Tesörüe Sahip Pseudo Simetrik Maifoldlar 7 4. PSEUDO RICCI SİMETRİK MANİFOLDLAR 9 4. Taım (Pseudo Ricci Simetrik Maifold) 9 4. (PRS) de Skaler Eğrilik (PRS) de Ricci Tesörü ve U Vektör Alaı 4.4 Koform Olarak Flat (PRS) (>3) 3 iv

6 5. PSEUDO-PROJEKTİF RICCI SİMETRİK MANİFOLDLAR 9 5. Taım (Pseudo-Projektif Ricci Simetrik Maifold) 9 5. (PWRS) i Skaler Eğriliği Torse Formuda Verile U Vektör Alaı Torse Formuda Verile U Vektör Alaıı Eerjisi ZAYIF SİMETRİK RIEMANN MANİFOLDLAR Taım (Zayıf Simetrik Maifold) Zayıf Simetrik Maifoldlar İçi Temel Souçlar Koform Olarak Flat Zayıf Simetrik Maifoldlar 4 7. CHAKI PSEUDO SİMETRİK MÜKEMMEL AKIŞKANLI UZAY ZAMANI 5 7. Taım (Mükemmel Akışkalı Uzay Zama) 5 7. Mükemmel Akışka Madde İçerikli Chaki Pseudo Simetrik Uzay-Zamaı Mükemmel Akışka Madde İçerikli, Sıfırda Farklı Sabit Skaler Eğriliğe Sahip Chaki Pseudo Simetrik Uzay-Zamaı 55 KAYNAKLAR 57 v

7 SİMGELER DİZİNİ M, M Maifold g Metrik Tesör [, ] Lie Paratez Operatörü TpM (M) R S L r d C A, B, w div P Tajat Vektör Uzayı Vektör Alaları Uzayı Levi-Civita Koeksiyo Riema-Christoffel Eğrilik Tesörü Ricci Eğrilik Tesörü Ricci Operatörü Skaler Eğrilik Foksiyou Diferesiyel Operatörü Weyl Koformal Eğrilik Tesörü Tesör Çarpımı -Form Dış Çarpım Operatörü Diverges Operatörü Projektif Ricci Tesörü vi

8 ÖNSÖZ Matematik, akademisyeleri loş koridorlarda birbirlerii kulağıa fısıldadığı alaşılmaz kavramlarda oluşa bilgiler yumağı değildir. Matematik, hayatı dolu dolu yaşamış isaları seviçleri, üzütüleri, başarı ve yeilgileriyle oluşturdukları bir isalık macerasıdır. diyor Sia Sertöz, Matematiği Aydılık Düyası adlı kitabıda. Atıldığım bu macerada bilgi ve deeyimiyle baa yol göstere, sevgi, hoşgörü ve alçak göüllülüğüyle örek ola, daışmaı öteside bir ağabey gibi her zama yaımda ola, bilim isaı, çok değerli hocam Doç. Dr. Ciha ÖZGÜR e teşekkürü bir borç bilirim. Üzerimde her birii ayrı ayrı emeği ola Balıkesir Üiversitesi, Matematik Bölümü öğretim üyelerie ve bede hiçbir yardımı esirgemeye araştırma görevlisi sayı Sibel SULAR a teşekkür ederim. So olarak da eğitim gördüğüm süre boyuca bede maddi ve maevi desteklerii esirgemeye, caımda çok sevdiğim biricik aem Fatma AYDOĞDU ve sevgili babam Necati AYDOĞDU ya, ablalarım, ağabeylerim ve küçük kardeşim Yuus Emre ye sevgi ve saygılarımı suarım. Balıkesir, 009 İsmail AYDOĞDU vii

9 . GİRİŞ Chaki pseudo simetrik maifoldlar ilk defa 987 yılıda Hitli geometrici Maidra Chadra Chaki (M. C. Chaki) tarafıda ortaya atılmıştır. taımlamıştır. 988 yılıda yie M. C. Chaki pseudo Ricci simetrik maifold kavramıı Chaki i bu makaleleride sora birçok geometrici bezer taımlamalar yaparak yei tip maifoldlar üzeride çalışmaya başlamışlardır. Öreği L. Tama ssy, T. Q. Bih, U. C. De ve S. Badyopadhy gibi geometriciler Chaki pseudo simetrik maifold kavramı yardımyla pseudo-projektif Ricci simetrik maifold ve zayıf simetrik maifold taımlarıı verip bu tür maifoldları bazı özelliklerii icelemişlerdir. 998 yılıda B. Chaki, S. Ray ve A. Koar yaptıkları makalede Chaki pseudo simetrik maifoldları fiziksel alada uygulaabilir olduğuu gösterdiler. 4-boyutlu Chaki pseudo simetrik maifoldu Loretz metriğiyle birlikte bir uzay-zamaı modeli oluşturmasıda hareketle mükemmel akışkalı uzay-zamaı bazı özelliklerii araştırdılar. Bu tez ise Chaki pseudo simetrik, pseudo Ricci simetrik, pseudo-projektif Ricci simetrik ve zayıf simetrik Riema maifoldlar hakkıda elde edile souçları bir derlemesi iteliğidedir. Ayrıca pseudo simetrik maifoldları fiziksel uygulamaları da verilmiştir.

10 . TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde soraki bölümlerde kullaılacak ola bazı taım ve özellikler verilecektir. Taım. M bir diferesiyelleebilir ( C ) maifold olsu. M üzerideki diferesiyelleebilir ( C ) vektör alaları kümesii ( M ) ile ve M maifolduda reel sayılar kümesi ye C foksiyoları kümesii de C ( M, ) ile gösterelim. Eğer M maifoldu üzeride: g : ( M ) ( M ) C ( M, ) (.) biçimide; pozitif, simetrik ve -lieer bir Riema metriği taımlaabiliyorsa, bu metrikle birlikte M maifoldua Riema maifoldu deir []. -boyutlu bir Riema maifoldu ( M, g ) biçimide gösterilir. Taım. M bir diferesiyelleebilir maifold olmak üzere, lieer : ( M ) ( M ) ( M ) (, Y ) (, Y ) Y (.) döüşümü; f, g C ( M, ) ve, Y, Z ( M ) içi: i) ( Y Z) Y Z ii) f gy Y Z f Z g Z iii) ( fy ) f Y ( f ) Y (.3) koşullarıı sağlıyorsa ya M maifoldu üzeride bir afi koeksiyo deir [].

11 Taım.3 ( M, g ) bir Riema maifoldu ve da M üzeride bir afi koeksiyo olsu. döüşümü;, Y, Z ( M ) içi: i) Y [, Y] (sıfır torsiyo özelliği) Y ii) g( Y, Z) g( Y, Z) g( Y, Z) (metrikle bağdaşma özelliği) (.4) koşullarıı sağlıyorsa ya M üzeride Riema koeksiyo veya Levi-Civita koeksiyo deir []. Taım.4 ( M, g)( ) bir Riema maifoldu olsu. ( M ) ve ( k ) içi (0, k ) tipide bir T tesör alaıı kovaryat türevi: ( T )(,,..., ; ) ( T)(,,..., ) k k ( T (,,..., )) T (,...,,..., ) (.5) k i k i k biçimide taımlaır []. Eğer bir U vektör alaı içi: U a ( ) U (.6) eşitliği sağlaıyorsa U vektör alaıa torse formudadır deir. Burada a sıfırda farklı bir skaler, w ise bir -formdur [4]. Taım.5 ( M, g ) bir Riema maifoldu ve da M üzerideki Levi-Civita koeksiyo olsu. Burada: R : ( M ) ( M ) ( M ) ( M ) (, Y, Z) R(, Y) Z Y Z Y Z [, Y ] Z (.7) 3

12 biçimide taımlaa R foksiyou (,3) tipide bir tesör alaıdır ve M maifolduu Riema eğrilik tesör alaı olarak adladırılır. Ayrıca R(, Y, Z, W ) g( R(, Y ) Z, W ) biçimide taımlaa tesöre de M maifolduu Riema-Christoffel eğrilik tesörü deir [5]., Y, Z, W ( M ) içi Riema eğrilik tesörü aşağıdaki koşulları sağlar [5]. i) R(, Y ) Z R( Y, ) Z ii) g( R(, Y ) V, W ) g( R(, Y ) W, V ) iii) R(, Y ) Z R( Y, Z ) R( Z, ) Y 0 iv) g( R(, Y ) V, W ) g( R( V, W ), Y ) v) g(, R( Y, Z ) W ) R( Y, Z, W, ). (.8) Taım.6 ( M, g ) Riema maifolduu R eğrilik tesörü her yerde sıfır ise M maifoldua flattir deir. Eğer bir M maifoldu içi: R 0 (.9) ise M ye lokal simetrik maifold adı verilir [5]. Taım.7 ( M, g ) bir Riema maifoldu, bir vektör alaı ve A da bir -form olmak üzere, V, V3,..., Vr TpM ( r ) vektörleri içi M maifoldu üzeride: ( C A)( p)( V, V,..., V ) A( ( p), V, V,..., V ) (.0) 3 r 3 r biçimide taımlaa C A, ( r ) -formua A ı ile kotraksiyou deir [5]. Taım.8 (, ) M g bir Riema maifoldu olsu. üzeride baz vektör alalarıı göstermek üzere: e, e,..., e bu maifold 4

13 S : ( M ) ( M ) (, Y ) S(, Y ) g( R( ei, ) Y, ei ) i (.) biçimide taımlı (0,) tipideki S tesör alaıa M üzeride Ricci eğrilik tesör alaı deir [5]. Eğer M maifoldu içi: S 0 (.) ise M Ricci simetrik maifold olarak adladırılır [5]. Ayrıca L Ricci operatörü: g( L, Y ) S(, Y ) (.3) biçimide taımlaır []. Taım.9 (, ) M g bir Riema maifoldu olsu. üzeride baz vektör alalarıı göstermek üzere; e, e,..., e bu maifold r S( e, e ) (.4) i i i biçimide taımlaa r foksiyoua, adı verilir [6]. M maifolduu skaler eğrilik foksiyou Taım.0 ( M, g ) bir Riema maifold olmak üzere, Y ( M ) içi: S(, Y ) g(, Y ) (.5) 5

14 olacak biçimde bir : M foksiyou varsa, yai M maifolduda S Ricci tesörü g metrik tesörüü bir katı ise M maifoldua bir Eistei maifoldu deir. Ayrıca içi sabittir ve -boyutlu her maifold Eistei maifolddur [6]. Taım. ( M, g) bir diferesiyelleebilir maifold olsu. Eğer, ( S )( Y, Z ) Q ( ) S ( Y, Z ) (.6) olacak biçimde bir Q( ) -formu varsa, M ye Ricci reküret deir [7]. Ayrıca M maifolduu S Ricci tesörü: ( S)( Y, Z) ( S)( Y, ) (.7) Z koşuluu sağlıyorsa S ye Codazzi tipidedir deir [8]. Taım. M, -boyutlu bir Riema maifoldu olsu. f : M, C foksiyouu diferesiyeli : p M ve p TpM olmak üzere, M üzeride: df ( ) f (.8) p p biçimide taımlaa df, C -formudur []. M maifoldu üzeride C bir w -formuu dış türevi:, Y T M ve p M olmak üzere, M üzeride: p p p dw(, Y ) w( Y ) w( ) w [, Y]( p) (.9) p p p Yp 6

15 biçimide taımlaa C dw -formudur []. Burada ve Y ; p oktasıı içere ve M maifolduu açık bir alt kümesi ola bir U kümesi üzeride ( p) p ve Y ( p) Yp biçimide taımlaa tajat vektör alalarıdır. [, Y ] ise M üzeride: [, Y ]( q) Y (.0) q Yq biçimide taımlı Lie paratez operatörüdür. Burada eğer dw 0 ise w -formua kapalıdır deir []. Lemma.3 f : M, C bir foksiyo ve w da yie M üzeride C bir -form olsu. Bu durumda: i) d( df ) 0 ii) d( fw) df w fdw (.) koşulları gerçekleir []. Taım.4 ( M, g) bir Riema maifoldu olmak üzere, Y ( M ) ve w ve w M üzeride -formlar olsular. ( w w )(, Y) w ( ) w ( Y ) w ( Y ) w ( ) (.) biçimide taımlaa w w foksiyou M üzeride bir -formdur ve w ve w - formlarıı dış çarpımı olarak adladırılır []. Taım.5 ( M, g ) bir Riema maifoldu olmak üzere eğer M i R eğrilik tesörü;, Y, Z ( M ) ve c içi: R(, Y ) Z c g( Y, Z) g(, Z) Y (.3) 7

16 biçimide ise M e sabit eğrilikli uzay deir ve ( ) M c ile gösterilir []. Taım.6 ( M, g ) bir Riema maifoldu olsu., Y, Z ( M ) içi: C(, Y ) Z R(, Y ) Z S( Y, Z) S(, Z) Y g( Y, Z) L r g(, Z) LY g( Y, Z) g(, Z) Y ( )( ) (.4) biçimide taımlaa C tesörüe tesörü deir [9]. M maifolduu Weyl koformal eğrilik Eğer bir ( M, g) ( 4) Riema maifoldu içi C 0 ise koform olarak flattir deir. M maifoldua Bir M maifoldu içi 3 ise C 0 her zama sağlaır fakat M maifolduu koform olarak flat olması gerekmez [6]. Ayrıca C Weyl koformal eğrilik tesörüü divergesi: 3 ( divc)(, Y ) Z [( S)( Y, Z) ( Z S)( Y, )] [{ g(, Y ) dr( Z) ( ) g( Y, Z) dr( )}] (.5) biçimide taımlaır [0]. Taım.7 ( M, g)( ) Riema maifoldu içi projektif eğrilik tesörü; W (, Y ) Z R(, Y ) Z S( Y, Z) S(, Z) Y (.6) 8

17 biçimide taımlaır [0, s.35]. Ayrıca W projektif eğrilik tesörüü kullaarak (0,) tipideki P projektif Ricci tesörüü ; P(, Y ) W (, e, e, Y ) (.7) i i biçimide taımlayabiliriz. Burada { e },( i ) ( M, g ) i tajat uzayıı ortoormal bir bazıdır. i Taım.8 ( M, g) bir Riema maifoldu olsu. Eğer, Y ( M ) içi: M i S Ricci tesörü S(, Y ) ag(, Y ) ba( ) A( Y ) (.8) koşuluu sağlıyorsa M e kuazi-eistei maifold deir []. Burada a ve b reel değerli foksiyolar ve U bir vektör alaı olmak üzere; A, A( ) g(, U ) (.9) biçimide taımlaa bir -formdur. Taım.9 ( M, g) ( 3) koform olarak flat bir Riema maifoldu olsu. M i R eğrilik tesörü: R(, Y ) Z a g( Y, Z) g(, Z) Y b A( Y ) A( Z) g(, Z) A( Y) U g( Y, Z) A( ) U A( ) A( Z) Y (.30) koşuluu sağlıyorsa M maifoldua kuazi-sabit eğrilikli maifold deir[]. dır. Burada A, (.9) eşitliğii sağlaya bir -form, a ve b birer skaler olup b 0 9

18 Taım.0 Jorda kaoik formudaki bir matrisi bloklarıı mertebeleride oluşa kümeye bu matrisi Segre karakteristiği deir. Ayı kökü içere alt matrislerle bu matrise karşılık gele tamsayılar ayı paratez içide gösterilirler [3]. Buradaki Jorda kaoik formu blok matrisi özel bir tipidir. Her blok kedi aralarıda gruplamış sabitlerde oluşur [3]. Taım. V, 4-boyutlu reel vektör uzayı ve g, V üzeride g : V V taımlı bir Loretz iç çarpımı olmak üzere U V vektörüe; i) g( U, U ) 0 ise uzay-bezeri ii) g( U, U ) 0 ise zama-bezeri iii) g( U, U ) 0 ise ull veya ışık-bezeri vektör deir [4]. Taım. f her mertebede türevi ola reel değerli bir foksiyo olmak üzere; f g ( U, U ) (.3) biçimde taımlaa f foksiyoua U vektör alaıı eerji foksiyou deir [5]. Taım.3 ( M, g) ( ) flat olmaya bir Riema maifoldu olsu. M i S Ricci tesörü sıfırda farklı ve ( S )( Y, Z ) A ( ) S ( Y, Z ) B ( Y ) S (, Z ) D ( Z ) S ( Y, ) (.3) koşuluu sağlıyorsa M e zayıf Ricci simetrik maifold deir [4]. Burada A, B, D sıfırda farklı -formlardır. Bu tür maifoldlar ( WRS) simgesiyle gösterilirler. 0

19 3. CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR Bu bölümde Chaki pseudo simetrik maifoldları bazı özelliklerii iceleyeceğiz. 3. Taım (Chaki Pseudo Simetrik Maifold) ( M, g) ( ) flat olmaya bir Riema maifoldu olsu. Eğer eğrilik tesörü R ;, Y, Z, W ( M ) içi: M i ( R )( Y, Z ) W A ( ) R ( Y, Z ) W A ( Y ) R (, Z ) W A( Z) R( Y, ) W A( W ) R( Y, Z) g( R( Y, Z ) W, ) U (3.) eşitliğii sağlıyor ise M ye pseudo simetrik maifold adı verilir [6]. Burada, M üzeride Levi-Civita koeksiyou, A sıfırda farklı bir -formdur. Her vektör alaı içi; g(, U ) A( ) (3.) biçimide taımlaau vektör alaıa da A -formuu üreteci deir. Eğer (3.) deklemide A -formu sıfır olarak alıırsa maifold lokal simetrik maifold halie idirgeir. Bu yüzde pseudo simetrik ismi tercih edilmiştir. - boyutlu bir pseudo simetrik maifold ( PS simgesiyle gösterilir. ) Şimdi (3.) deklemide eşitliği her iki tarafıı keyfi bir V vektör alaıyla iç çarpımıı alalım. Böylece

20 ( R )( Y, Z, W, V ) A ( ) R ( Y, Z, W, V ) A ( Y ) R (, Z, W, V ) A( Z) R( Y,, W, V ) A( W ) R( Y, Z,, V ) g( V, U ) R( Y, Z, W, ) (3.3) buluur. (3.3) deklemide Y ve V üzeride kotraksiyo yapılırsa; ( S )( Z, W ) A ( ) S ( Z, W ) A ( R (, Z ) W ) A ( R ( Z, W ) ) A( Z) S(, W ) A( W ) S( Z, ) (3.4) elde edilir. (3.4) deklemide de Z ve W üzeride kotraksiyo yapılır ve (.3) eşitliği kullaılırsa; dr( ) A( ) r S(, U ) S(, U ) S(, U ) S(, U ) A( ) r 4 S(, U ) A( ) r 4 g( L, U ) (3.5) buluur. 3. İki Boyutlu Pseudo Simetrik Maifoldlar Teorem 3.. -boyutlu pseudo simetrik maifoldlarda üretece karşılık gele - form kapalıdır [6]. İspat : Taım. de Q -formuu Q( ).(log r) (3.6) biçimide yazılabileceğii ve [7] de -boyutlu her maifoldu reküret maifold olduğuu biliyoruz. Ayrıca -boyutlu her maifoldu Eistei maifoldu olduğuu biliyoruz [6]. Şimdi (.5) eşitliğii her iki yaıı ve Y ye göre kotraksiyouu yaparsak;

21 r = ve = r buluur. Bu değer (.5) de yerie yazılırsa -boyutlu bir maifold içi; r S(, Y) g(, Y ) (3.7) deklemi elde edilebilir. (3.5) deklemide (3.7) deklemi kullaılırsa r dr( ) A( ) r 4 g(, U ) olur. Bu dekemi her iki tarafıa da A( ) r ekleir ve deklem düzeleirse; dr( ) A( ) r rg(, U ) 4 A( ) r (3.8) elde edilir. (3.6) deklemide Q( ).(log r) dr( ) yai dr( ) rq( ) r yazılabilir. Bu değer (3.8) deklemideki yerie yazılırsa: r( Q( ) 4 A( )) 0 (3.9) buluur. Şimdi ( M, g ) maifolduda r 0 olduğuu farz edelim. Bu durumda maifold flat olur. Bu ise pseudo simetrik maifold taımıyla çelişir. O halde r 0 dır. Böylece (3.9) deklemide Q( ) 4 A( ) 0 veya A( ) 4 Q( ) (3.0) 3

22 olmalıdır. Ayrıca -formu türevii bir -form olduğuu ve dq(, Y) Q( Y ) YQ( ) Q( Y ) Q( Y) YQ( ) Q( Y) Q( ) Y Y biçimide taımladığıı (.9) eşitliğide biliyoruz. Böylece (3.6) deklemii kullaarak dq(, Y ) 0 buluur. Bu ise Q -formuu kapalı olması demektir. (3.0) deklemi yardımıyla A -formuu da kapalı olduğu görülür. Bu teoremde hareketle aşağıdaki soucu verebiliriz. Souç 3.. -boyutlu pseudo simetrik bir maifoldu skaler eğriliği sabit olamaz [6]. İspat: Eğer r sabit olsaydı, (3.8) deklemide ya r 0 ya da A( ) 0 Acak bu mümkü değildir. olmalıdır. 3.3 Sabit Skaler Eğrilikli Uzay Olarak (PS) ( >) Teorem 3.3. Eğer -boyutlu pseudo simetrik maifoldda skaler eğrilik sabit ise U vektör alaı yöüdeki Ricci eğriliği r dir [6]. İspat : ( PS ) ( > ) de r skaler eğriliğii sabit oduğuu varsayalım. O halde; dr( ) 0 olacaktır. (3.5) deklemide A( ) r 4 g( L, U ) 0 4

23 ve burada da r g( L, U ) A( ) (3.) buluur. Şimdi (3.) eşitliği sağlası. O halde yie (3.5) gereği r sabit olmalıdır. Buda dolayı eğer (3.) eşitliği sağlaıyorsa, ( PS sahiptir diyebiliriz. ) ( > ) sabit skaler eğriliğe Tekrar (3.) eşitliğii sağladığıı farz edelim. faydalaarak; (.3) eşitliğide yai r S( U, U ) A( U ) S( U, U ) r g( U, U ) elde edilir ki bu U yöüdeki Ricci eğriliğii ispat tamamlaır. r olması demektir [8]. Böylece 3.4 Eistei Pseudo Simetrik Maifoldlar Teorem 3.4. Eistei pseudo simetrik maifoldda r skaler eğriliği sıfırdır [6]. İspat : Bir ( M, g) ( ) Eistei maifolduda r skaler eğriliğii sabit olduğuu biliyoruz [9]. dr( ) 0 olacaktır. (3.5) deklemide; O halde bir Eistei pseudo simetrik maifoldu içi A( ) r g( L, U ) 0 yai A( ) r S(, U ) 0 (3.) 5

24 elde edilir. r Bir Eistei maifoldu içi S(, Y) g(, Y ) biçimide yazılabileceğide, (3.) eşitliği; r A( ) r A( ) 0 veya ra( ) 0 (3.3) biçimide yazılabilir. A( ) -formu sıfır olamayacağıda (3.3) deklemide r = 0 olmalıdır. Şimdi de ( M, g) ( ) pseudo simetrik maifolduu sabit eğrilikli uzay formuda olduğuu varsayalım. O halde Taım.5 de R eğrilik tesörü içi: R(, Y, Z, W ) c g( Y, Z) g(, W ) g(, Z) g( Y, W ) (3.4) yazılabilir. Ayrıca sabit eğrilikli her uzay Eistei maifoldu olacağıda Teorem 3.4. gereği sabit eğrilikli ( PS ) ( > ) de skaler eğrilik r 0 dır. (3.4) deklemide Y ve Z üzeride kotraksiyo yapılırsa; S(, W ) c g(, W ) g(, W ) buluur. Bu deklemde de ve W üzeride kotraksiyo yapılarak; r c( ) elde edilir. Burada r 0 ise c 0 olmalıdır. c 0 olursa (3.4) deklemide R(, Y, Z, W ) 0 olur ki bu ise taımla çelişir. Böylece aşağıdaki soucu verebiliriz. 6

25 Souç boyutlu bir pseudo simetrik maifold sabit eğrilikli uzay formuda olamaz [6]. [9] gereği 3-boyutlu Eistei maifoldlar sabit eğrilikli uzay formuda olduklarıda, Souç 3.4. gereği aşağıdaki souç verilebilir. Souç boyutlu Eistei pseudo simetrik maifold yoktur [6]. 3.5 Codazzi Tipide Ricci Tesörüe Sahip Pseudo Simetrik Maifoldlar Bu bölümde Ricci tesörü Codazzi tipide verile pseudo simetrik maifoldlar çalışılacaktır. Teorem 3.5. Pseudo simetrik bir maifoldda (>3) Ricci tesörü Codazzi tipide ise C Weyl koformal eğrilik tesörü içi divc 0 dır [6]. İspat : (3.4) deklemide; ( S)( Y, Z) ( S)( Z, ) ( S)(, Y ) A( ) S( Y, Z) A( Y ) S(, Z) Y Z A( Z) S( Y, ) A( ) S( Z, Y ) A( R( Y, Z) ) A( R( Y, ) Z ) A( Z) S(, Y ) A( ) S( Z, Y ) A( Y ) S(, Z) A( R( Z, ) Y ) A( R( Z, Y ) ) elde edilir. Bu deklem düzeleirse; ( S)( Y, Z) ( S)( Z, ) ( S)(, Y) 4[ A( ) S( Y, Z) Y Z A( Y ) S( Z, ) A( Z ) S(, Y )] (3.5) buluur. (.7) eşitliği kullaılarak (3.5) deklemi; 3( S )( Y, Z ) 4[ A ( ) S ( Y, Z ) A ( Y ) S ( Z, ) A ( Z ) S (, Y )] (3.6) biçimide yazılabilir. (3.6) deklemide Y ve Z üzeride kotraksiyo yapılırsa; 7

26 3 dr( ) 4[ A( ) r g( L, U )] (3.7) olur. (3.7) deklemide (3.5) kullaılırsa; dr( ) 0 (3.8) elde edilir. O halde (.7), (.5) ve (3.8) eşitlikleride ( divc)(, Y ) Z 0 buluur. Teorem boyutlu pseudo simetrik maifoldda Ricci tesörü Codazzi tipide ise bu maifold koform olarak flattir [6]. İspat: (,3) tipideki l tesör alaıı; l(, Y ) Z ( S)( Y, Z) ( Z S)( Y, ) [ (, ) ( ) ( ) g Y Z dr Z g( Y, Z) dr( )] (3.9) biçimide taımlayalım. Eğer Ricci tesörü Codazzi tipide ise (.7) ve (3.8) eşitlikleride dolayı (3.9) deklemide l(, Y ) Z 0 olur. [0] da bir 3 ( M, g) maifolduu acak ve acak l(, Y ) Z 0 ike koform olarak flat olduğuu biliyoruz. Böylece ispat tamamlaır. 8

27 4. PSEUDO RICCI SİMETRİK MANİFOLDLAR 4. Taım (Pseudo Ricci Simetrik Maifold) ( M, g ) ( > 3) flat olmaya bir Riema maifoldu olmak üzere, M i S Ricci tesörü,, Y, Z ( M ) içi; ( S )( Y, Z ) A ( ) S ( Y, Z ) A ( Y ) S (, Z ) A( Z ) S( Y, ) (4.) eşitliğii sağlıyorsa M ye pseudo Ricci simetrik maifold deir [0]. Burada A sıfırda farklı bir -form ve ( M ) içi g(, U ) A( ) dir. Pseudo Ricci simetrik maifoldlar ( PRS simgesiyle gösterilirler. Bu maifoldlar içi pseudo Ricci simetrik ismi tercih edilmiştir, çükü eğer (4.) deklemide A -formu sıfır olarak alıırsa ( S )( Y, Z ) 0 olacak ve maifold ) Ricci simetrik halie döüşecektir. Pseudo simetrik her maifold pseudo Ricci simetriktir fakat tersi her zama doğru değildir. 4. (PRS) de Skaler Eğrilik Teorem 4.. ( M, g) ( ) pseudo Ricci simetrik bir maifold olmak üzere, eğer M i skaler eğriliği r, sabit ise sıfırdır. Eğer r 0 ise A -formu kapalıdır [0]. İspat : L, Ricci operatörüü göstermek üzere, B -formuu; B( ) A( L ) 9

28 biçimide taımlayalım. (4.) deklemi kullaılarak; ( S)( Y, Z) ( S)( Y, ) A( ) S( Y, Z) A( Y ) S(, Z) A( Z) S( Y, ) Z A( Z) S( Y, ) A( Y ) S( Z, ) A( ) S( Y, Z) A( ) S( Y, Z) A( Z) S( Y, ) (4.) elde edilir. Burada Y ve Z üzeride kotraksiyo yapılırsa ve [] yardımıyla dr( ) dr( ) A( ) r B( ) buluur. Böylece: dr( ) A( ) r B( ) (4.3) elde edilir. Ayrıca (4.) deklemide Y ve Z üzeride kotraksiyo yapılırsa; dr( ) A( ) r B( ) (4.4) eşitliği elde edilir. (4.3) ve (4.4) eşitlikleride; B( ) 0 (4.5) olacağı görülür. O halde bu eşitliğe dayaarak (4.4) deklemii; dr( ) A( ) r (4.6) biçimide yazabiliriz. Bu eşitlikte her iki tarafı dış türevi alıırsa, Lemma.3 yardımıyla: d( dr( )) d( A( ) r) 0 [ dr( ) A( Y ) dr( Y ) A( ) rda(, Y )] 0

29 buluur. Burada (4.6) deklemi kullaılırsa; rda(, Y ) 0 yai rda(, Y ) 0 (4.7) elde edilir. Eğer r skaler eğriliği sabit ise (4.6) da A( ) r 0 olur. A -formu sıfırda farklı olacağıda r 0 olmalıdır. Eğer r 0 ise (4.7) deklemide da(, Y ) 0 olur ki bu A -formuu kapalı olması alamıa gelir. 4.3 (PRS) de Ricci Tesörü ve U Vektör Alaı Teorem 4.3. ( M, g) ( ) pseudo Ricci simetrik bir maifold olmak üzere, M i U üreteç vektör alaı, (.6) eşitliğiyle verile torse formudaysa a A( U ) dur [0]. İspat : (4.5) de B( ) 0 idi. Yai B( ) A( L ) g( L, U ) 0 dır. Burada ( M ) içi; S(, U ) 0 (4.8) buluur. Şimdi de ( S)( Y, Z) S( Y, Z) S( Y, Z) S( Y, Z) eşitliğide Z U alırsak,

30 ( S)( Y, U ) S( Y, U ) S( Y, U ) S( Y, U ) elde edilir. (4.) ve (4.8) eşitliklerii kullaarak; ( S )( Y, U ) A ( ) S ( Y, U ) A ( Y ) S (, U ) A ( U ) S ( Y, ) elde edilir. Burada da kovaryat türev taımı yardımıyla: ve S( Y, U ) S( Y, U ) S( Y, U ) A( U ) S( Y, ) S( Y, U ) A( U ) S( Y, ) 0 (4.9) buluur. U vektör alaı torse formuda olduğuda (.6) deklemi (4.9) deklemideki yerie yazılırsa: [ a A( U )] S( Y, ) 0 elde edilir. Burada S( Y, ) 0 olduğuda a A( U ) 0 ve a A( U ) buluur. Teorem 4.3. ( M, g) ( ) skaler eğriliği sıfırda farklı bir pseudo Ricci simetrik maifold olsu. ise kosirkulardır [0]. M i U vektör alaı, torse formuda ve eerjisi sabit İspat : f g ( U, U ) (4.0) torse formuda verile U vektör alaıı eerjisi olsu. Y ( M ) içi, g(, Y) ( Y ) olarak taımlayalım. (4.0) deklemide her iki tarafı türevii alırsak,

31 df ( Y ) [ g( YU, U ) g( U, YU )] g( YU, U ) buluur. U vektör alaı torse formuda verildiğide (.6) da df ( Y ) g( ay ( Y ) U, U ) g( ay, U ) g(, Y ) g( U, U ) olur ve (4.0) deklemi kullaılarak: df ( Y ) g( Y, au f ) elde edilir. O halde gradf au f A( U ) U A( U ) (4.) yazılabilir. f sabit ise (4.) de A( U )( U ) 0 olur. A( U ) 0 olduğuda U olmalıdır. Böylece Y ( M ) içi ( Y ) A( Y ) buluur. r 0 olduğuda Teorem 4.. de A -formu kapalı ve dolayısıyla -formu da kapalı olacaktır. -formu kapalı ike U vektör alaıı kosirkular olduğuu biliyoruz [4]. O halde ispat tamamlaır. 4.4 Koform Olarak Flat (PRS) (>3) Daha öce pseudo Ricci simetrik bir maifoldu pseudo simetrik olmadığıı söylemiştik. Bu bölümde pseudo Ricci simetrik bir maifoldu eğer koform olarak flat ise pseudo simetrik halie döüşeceğii göstereceğiz. 3

32 Teorem 4.4. Koform olarak flat pseudo Ricci simetrik bir maifold eğer pseudo Ricci simetrik maifoldla ayı birleşe -forma sahipse pseudo simetriktir [0]. İspat : ( M, g ) koform olarak flat bir maifold olsu. O halde: ( S)( Y, Z) ( ZS)( Y, ) [ dr( ) g( Y, Z) dr( Z) g(, Y )] ( ) (4.) eşitliğii yazabiliriz [0]. (4.6) eşitliği kullaılarak bu deklem: ( S)( Y, Z) ( Z S)( Y, ) A( ) rg( Y, Z) A( Z) rg(, Y ) ( ) r ( ) A( ) g( Y, Z) A( Z) g(, Y ) biçimide yazılabilir. Ayrıca (4.) ve (4.) deklemleri kullaıldığıda; r r S( Y, Z) g( Y, Z) A( ) S(, Y) g(, Y) A( Z) elde edilir. Burada U alıırsa ve (4.8) deklemi kullaılırsa; r r S( Y, Z) g( Y, Z) A( U ) S( U, Y ) g( U, Y) A( Z) (4.3) buluur. Ayrıca T ( ) A( ) (4.4) A( U ) biçimide taımlaırsa (4.3) deklemi: 4

33 r S( Y, Z) g( Y, Z) T ( Y ) T ( Z) (4.5) halie döüşür. S( Y, Z) 0 olduğuda (4.5) deklemide r 0 olmalıdır. Böylece koform olarak flat bir pseudo Ricci simetrik maifoldda skaler eğrilik sıfırda farklıdır. Yie koform olarak flat bir ( M, g) ( 3) maifoldu içi C 0 olacağıda (.4) deklemide; R(, Y, Z, W ) S( Y, Z) g(, W ) S(, Z) g( Y, W ) S(, W ) g( Y, Z) g(, Z) g( Y, W ) g( Y, Z) g(, W ) S( Y, W ) g(, Z) r ( )( ) (4.6) eşitliğii yazabiliriz. (4.5) deklemii (4.6) deklemide yerie yazılırsa; r R(, Y, Z, W ) g( Y, Z) g(, W ) g(, Z) g( Y, W ) ( )( ) T ( ) T ( Z) g( Y, W ) T ( Y ) T ( Z) g(, W ) T ( Y ) T ( W ) g(, Z) T( ) T( W ) g( Y, Z) (4.7) deklemi elde edilir. Şimdi de t olmak üzere; ( ) r (4.8) B( Y, Z) ts( Y, Z) (4.9) olarak taımlayalım. Burada, 5

34 S( Y, Z) B( Y, Z) ve (4.4) de t g( Y, Z) B( Y, Z) T ( Y) T ( Z) rt buluur. So olarak (4.7) deklemii; R(, Y, Z, W ) r ( ) g( Y, Z) g(, W ) T( ) T ( W ) g( Y, W ) g(, Z) T ( ) T ( Z) g(, W ) T ( Y) T ( Z) g(, Z) T ( Y ) T( W ) (4.0) biçimide yazabiliriz. düzelemeler yapılırsa: (4.0) deklemide T i değeri yerie yazılıp gerekli r ( ) R(, Y, Z, W ) B( Y, Z) B(, W ) B(, Z) B( Y, W ) ( ) r t olarak buluur. Burada da R(, Y, Z, W ) B( Y, Z) B(, W ) B(, Z) B( Y, W ) (4.) deklemi elde edilir. Bu so deklemde her iki tarafı kovaryat türevii alırsak; ( R)(, Y, Z, W ) B(, W )( B)( Y, Z) B( Y, Z)( B)(, W ) V V V B( Y, W )( B)(, Z) B(, Z)( B)( Y, W ) (4.) V V eşitliğii elde ederiz. Şimdi de (4.8) deklemii kovaryat türevii alalım. ( )( ) dr( ) tdt( ) ( ) r olur. (4.6) ve (4.8) deklemleri yardımıyla; 6

35 dt( ) ta( ) (4.3) buluur. Bu defa (4.9) deklemide kovaryat türev alıırsa; ( B)( Y, Z) dt( ) S( Y, Z) t( S)( Y, Z) elde edilir. Tüm bu eşitlikleri (4.) deklemide yerie yazarak; ( V R)(, Y, Z, W ) tdt( V ) S(, W ) S( Y, Z) t S(, W )( V S)( Y, Z ) tdt V S Y Z S W t S Y Z S W tdt V S Z S Y W ( ) (, ) (, ) (, )( V )(, ) ( ) (, ) (, ) t S(, Z)( S)( Y, W ) tdt( V ) S( Y, W ) S(, Z ) t S( Y, W )( S)(, Z) V V deklemii elde ederiz. Şimdi (4.3) bu deklemdeki yerie yazılır ve (4.) deklemi kullaılırsa; ( )(,,, ) ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) V R Y Z W t A V S W S Y Z S Z S Y W t S(, W ) A( V ) S( Y, Z) A( Y ) S( V, Z) A( Z) S( V, Y ) S( Y, Z) A( V ) S(, W ) A( ) S( V, W ) A( W ) S( V, ) S(, Z) A( V ) S( Y, W ) A( Y ) S( V, W ) A( W ) S( V, Y ) S( Y, W ) A( V ) S(, Z) A( ) S( V, Z) A( Z) S( V, ) elde edilir. Bu deklemde (4.9) ve (4.) deklemleri yardımıyla; ( R )(, Y, Z, W ) A ( V ) R ( V, Y, Z, W ) 4 A ( V ) R (, Y, Z, W ) A( ) R( V, Y, Z, W ) A( Y ) R(, V, Z, W ) A( Z) R(, Y, V, W ) A( W ) R(, Y, Z, V ) (4.4) deklemi elde edilir. Böylece (4.4) deklemi; 7

36 ( R )(, Y ) Z A ( V ) R (, Y V ) Z A ( ) R ( V, Y ) Z A ( Y ) R (, V ) Z A( Z) R(, Y ) V g( R(, Y ) Z, V ) U biçimide yazılabilir. Bu so deklem göz öüe alıırsa ( M, g ) maifolduu pseudo simetrik olduğu görülür. 8

37 5. PSEUDO-PROJEKTİF RICCI SİMETRİK MANİFOLDLAR 5. Taım (Pseudo-Projektif Ricci Simetrik Maifold) ( M, g) ( ) flat olmaya bir Riema maifoldu olsu. Eğer projektif Ricci tesörü P ; M i ( P )( Y, Z ) A ( ) P ( Y, Z ) A ( Y ) P (, Z ) A ( Z ) P ( Y, ) (5.) eşitliğii sağlıyorsa ( M, g ) maifoldua pseudo-projektif Ricci simetrik maifold deir [5]. Bu tür maifoldlar ( PWRS simgesiyle gösterilirler. ) Bu kouyla ilgili teoremlere geçmede öce ileride kullaacağımız bazı deklemleri elde etmeye çalışalım. (.6) ve (.7) deklemlerii kullaarak; W (, e, e, Y ) R(, e, e, Y ) S( e, e ) g(, Y ) S(, e ) g( Y, e ) i i i i i i i i P (, Y ) S (, Y ) (, ) (, ) rg Y S Y r S(, Y ) g(, Y ) (5.) eşitliklerii yazabiliriz. (5.) deklemide ( PWRS ) i ( PRS ) olması gerekmediği soucua varabiliriz. ( PWRS ) eğer r 0 olursa ( PRS ) halie döüşür. l ve L tajat uzayı her oktasıda sırasıyla P ve S ye karşılık gele simetrik edomorfizmler olsular. Bu durumda, 9

38 g( l, Y ) P(, Y ) (5.3) ve dir. g( L, Y ) S(, Y ) (5.4) (5.), (5.3) ve (5.4) deklemleride; r g( l, Y ) g( L, Y ) g(, Y ) (5.5) buluur ve burada da r l L (5.6) elde edilir. (5.5) deklemi üzeride kotraksiyo yapılırsa; Cl 0 olur. (5.) ve (5.3) deklemleri kullaılarak, g( l)( Y, Z) A( ) g( ly, Z) A( Y ) g( l, Z) A( Z) g( ly, ) elde edilir. Bu so deklemde de ( l)( Y ) A( ) ly A( Y ) l P(, Y ) U (5.7) buluur. Yie (5.6) deklemii her iki tarafıı kovaryat türevi alıırsa; dr( Y ) ( Yl)( ) ( Y L)( ) (5.8) elde edilir. Sırasıyla (5.7) ve (5.8) deklemleri üzeride kotraksiyo yapılırsa; 30

39 ( divl)( ) g( l, U ) P(, U ) 3 P(, U ) (5.9) ve ( divl)( ) dr( ) ( ) (5.0) buluur. (5.9) ve (5.0) deklemleride; 3 P(, U ) dr( ) ( ) (5.) soucu elde edilir. 5. (PWRS) i Skaler Eğriliği Teorem 5.. ( PWRS ) i r skaler eğriliği sabittir ve U yöüdeki Ricci eğriliği r dir [5]. İspat : (5.7) deklemide Y üzeride kotraksiyo yapılırsa; 0 3 P(, U ) veya P(, U ) 0 (5.) buluur. O halde (5.) deklemide, dr( ) 0 olur. Bu ise r skaler eğriliğii sabit olması alamıa gelir. Şimdi de (5.) deklemide Y U alalım. Burada, r P(, U ) S(, U ) g(, U ) 3

40 deklemi buluur. (5.) de P(, U ) 0 olduğuda bu so deklemde; r S(, U ) g(, U ) elde edilir. Böylece; S( U, U ) r g( U, U ) buluur ki bu U yöüdeki Ricci eğriliğii r olması demektir []. 5.3 Torse Formuda Verile U Vektör Alaı Bu bölümde U vektör alaıı torse formuda olduğuu farzedeceğiz. Eğer U vektör alaı torse formuda ise, Taım.4 de; U ( ) U (5.3) eşitliğii var olduğuu biliyoruz. Burada sıfırda farklı bir skaler ve ise sıfırda farklı bir -formdur. Bulara sırasıyla U vektör alaıı skaleri ve -formu deir. Teorem 5.3. ( M, g ) pseudo-projektif Ricci simetrik bir maifold olmak üzere, M i U vektör alaı torse formudaysa, skaleri ve -formu sırasıyla A( U ) ve ( ) log( A( U )) A( ) biçimidedir [5]. İspat : (5.) deklemide Z U olarak alalım. Burada, ( P )( Y, U ) A ( ) P ( Y, U ) A ( Y ) P (, U ) A ( U ) P (, Y ) (5.4) 3

41 elde edilir. (5.) deklemide P(, U ) 0 idi. Bu eşitlik (5.4) de yerie yazılırsa; ( P )( Y, U ) A ( U ) P (, Y ) (5.5) buluur. Ayrıca Taım.4 ü kullaarak ( P)( Y, U ) P( Y, U ) P( Y, U ) P( Y, U ) eşitliğii yazabiliriz. Yie (5.) eşitliği yardımıyla ( P)( Y, U ) P( Y, U ) elde edilir. Bu eşitliği (5.5) deklemide yerie yazarak P( Y, U ) A( U ) P(, Y ) deklemii elde ederiz. Bu so deklemde (5.3) de U yerie yazılırsa; P( Y, ( ) U ) A( U ) P(, Y ) ve [ A( U )] P(, Y ) 0 (5.6) elde edilir. Böylece (5.6) deklemide A( U ) (5.7) buluur. Şimdi de yı (5.3) deklemide yerie yazalım. ( U ) A ( U ) ( ) U (5.8) 33

42 olur. Kovaryat türev taımıda ( A)( U ) A( U ) A( U ) eşitliği yazılabilir. Burada da ( A) g( U, U ) A( U ) A( U ) A( U ) A( U ) elde edilir. (5.8) eşitliği bu deklemdeki yerie yazılarak, ( A )( U ) A [ A ( U ) ( ) U ] A( U ) A( ) ( ) A( U ) buluur. Burada da; veya ( )( ) ( ) A U A( ) A( U ) ( ) log( A( U )) A( ) (5.9) elde edilir. 5.4 Torse Formuda Verile U Vektör Alaıı Eerjisi Bu bölümde f eerji foksiyouu bazı özelliklerii iceleyeceğiz. Teorem 5.4. ( M g ), pseudo-projektif Ricci simetrik bir maifold olmak üzere M i U vektör alaı torse formudaysa, U vektör alaıı eerji foksiyou ola 34

43 f i kritik oktaları ya kedisii ya da U.log( A( U )) foksiyouu sıfır yerleridir [5]. İspat : Herhagi bir Y vektör alaı içi, g( Y, ) ( Y ) olarak taımlayalım. Şimdi de (.3) eşitliğii her iki yaıı Y vektör alaı yöüde türevi alıırsa; df ( Y ) Yf Y g( U, U ) g( YU, U ) g( U, YU g( YU, U ) buluur. U vektör alaı torse formuda verildiğide (5.3) ü kullaarak, df ( Y ) g( Y ( Y ) U, U ) g( Y, U ) ( Y ) g( U, U ) g( Y, U ) g( Y, f ) g( U f, Y ) elde edilir. Bu deklemde Y U alıırsa; df ( U ) g( U f, U ) g( U, U ) fg(, U ) [ ( U )] f buluur. Burada (5.7) ve (5.9) eşitliklerii kullaarak, df ( U ) A( U ) U log( A( U )) A( U ) f U log( A( U )) f elde edilir. Bu so deklemde f foksiyouu kritik oktalarıı [3] ya kedisii ya da U log( A( U )) u sıfır yerleri olduğu görülür. 35

44 Teorem 5.4. Pseudo-projektif Ricci simetrik bir maifoldda U vektör alaı torse formuda ve U u eerji foksiyou f sabit ise U vektör alaıı itegral eğrileri geodeziklerdir [5]. İspat : f foksiyou sabit olduğuda (5.9) da ( ) A( ) olur. Böylece (5.8) deklemii; U A ( U ) A ( ) U biçimide yazabiliriz. Bu deklemde U alıırsa; U A U ( U ) U A ( U ) U 0 buluur ki bu U vektör alaıı itegral eğrilerii geodeziklerde oluştuğu alamıa gelir. 36

45 6. ZAYIF SİMETRİK RIEMANN MANİFOLDLAR Zayıf simetrik ve zayıf-projektif simetrik maifold kavramlarıı ilk defa 989 yılıda L.Tamassy ve T.Q. Bih ortaya atmışlardır. Bu bölümde biz sadece zayıf simetrik maifoldlar üzeride çalışacağız. 6. Taım (Zayıf Simetrik Maifold) ( M, g) ( ) flat olmaya bir Riema maifoldu olmak üzere eğer R eğrilik tesörü; M i ( R )( Y, Z, U, V ) A ( ) R ( Y, Z, U, V ) B ( Y ) R (, Z, U, V ) C( Z) R( Y,, U, V ) D( U ) R( Y, Z,, V ) E( V ) R( Y, Z, U, ) koşuluu sağlıyorsa M ye zayıf simetrik maifold deir [4]. Burada, Y, Z, U, V birer vektör alaı ve A, B, C, D, E sıfırda farklı -formlardır. Bu tür maifoldlar ( WS ) simgesiyle gösterilirler. Zayıf simetrik maifoldu varlığı M. PRVANOVIC tarafıda ispatlamıştır [5]. Daha sora U. C. DE ve S. BANDYOPADHYAY zayıf simetrik maifoldda B C ve D E olduğuu gösterdiler [6]. Böylece zayıf simetrik maifoldu taımlama şartı, ( R )( Y, Z, U, V ) A ( ) R ( Y, Z, U, V ) B ( Y ) R (, Z, U, V ) biçimie idirgemiş oldu. B( Z) R( Y,, U, V ) D( U ) R( Y, Z,, V ) D( V ) R( Y, Z, U, ) (6.) 37

46 6. Zayıf Simetrik Maifoldlar İçi Temel Souçlar Teorem 6.. ( M, g) ( ) zayıf simetrik maifoldu eğer, B( R(, Z) U ) D( R(, U ) Z ) 0 koşuluu sağlıyorsa zayıf Ricci simetriktir [7]. İspat: (6.) deklemide Y ve U üzeride kotraksiyo yaparsak; ( S )( Z, U ) A ( ) S ( Z, U ) B ( R (, Z ) U ) B ( Z ) S (, U ) D( U ) S( Z, ) D( R(, U ) Z) (6.) elde edilir. Burada Taım.3 göz öüe alıırsa B( R(, Z) U ) D( R(, U ) Z ) 0 olduğuda maifoldu zayıf Ricci simetrik olacağı görülür. Teorem 6.. Zayıf simetrik maifoldda skaler eğrilik sıfırda farklı ve sabit ise A -formu; A( ) [ B( L ) D( L )] r biçimide ifade edilebilir [7]. Burada L, g( L, Y ) S(, Y ) biçimide taımlaa Ricci operatörüdür. İspat: (6.) deklemide Z ve U üzeride kotraksiyo yapılırsa; dr( ) A( ) r B( L ) D( L ) (6.3) deklemi elde edilir. r skaler eğriliği sabit olduğuda dr( ) 0 olur. (6.3) deklemide, 38

47 A( ) r [ B( L ) D( L )] buluur ve bu deklemde de A( ) [ B( L ) D( L )] (6.4) r elde edilir. Ayrıca (6.3) deklemide hareketle aşağıdaki soucu verebiliriz. Souç 6..3 Zayıf simetrik bir maifoldda skaler eğrilik sıfır ise B( L ) D( L ) 0 koşulu sağlaır [7]. içi, Teorem 6..4 ( M, g) ( ) zayıf simetrik bir maifold olsu. ( M ) içi T ( ) g(, ) B( ) D( ) 0 biçimide taımlaa öz vektörüe karşılık gele Ricci tesörüü öz değeri r dir [7]. İspat: (6.) deklemide Z ve U vektör alalarıı yerleri değiştirilirse, ( S )( U, Z ) A ( ) S ( U, Z ) B ( U ) S (, Z ) D ( Z ) S (, U ) B( R(, U ) Z) D( R(, Z) U ) elde edilir. Bu deklemi (6.) deklemide çıkartırsak, ( S)( Z, U ) ( S)( U, Z) [ B( Z) D( Z)] S(, U ) [ B( U ) D( U )] S(, Z) B( R(, Z) U ) B( R(, U ) Z) D( R(, U ) Z ) D( R(, Z) U ) (6.5) buluur. Ayrıca Biachi özdeşliğide, 39

48 R(, Z) U R( Z, U ) R( U, ) Z 0 ve R(, U ) Z R( U, Z) R( Z, ) U 0 olduğuda bu eşitlikler kullaılarak, B( R(, Z) U ) B( R(, U ) Z) B( R( U, Z) ) ve D( R(, U ) Z ) D( R(, Z) U ) D( R( U, Z) ) yazılabilir. Bu deklemleri (6.5) deklemide yerie yazarsak, [ B( Z) D( Z)] S(, U ) [ B( U ) D( U )] S(, Z) [ B( R( Z, U ) ) D( R( Z, U ) )] 0 (6.6) elde edilir. Bu so deklemde ve U üzeride kotraksiyo yapılırsa; r[ B( Z) D( Z )] [ BLZ) D( LZ )] (6.7) buluur. T ( ) g(, ) B( ) D( ) 0 biçimide taımladığıda (6.7) deklemii; r T ( LZ) T( Z) (6.8) biçimide yazabiliriz. Bu ise özvektörüe karşılık gele Ricci tesörüü öz değerii r olması demektir. Teorem 6..5 ( M, g) ( ) zayıf simetrik bir maifold olmak üzere,, Z, U ( M ) içi, 40

49 T ( Z) S(, U ) T ( U ) S(, Z) T ( R( Z, U ) ) 0 (6.9) koşulu sağlaır [7]. Burada T, T ( ) B( ) D( ) 0 biçimide taımlaa bir -formdur. İspat: T ( ) B( ) D( ) 0 biçimide taımladığıda (6.6) deklemide, T ( Z) S(, U ) T ( U ) S(, Z) T ( R( Z, U ) ) 0 elde edilir. 6.3 Koform Olarak Flat Zayıf Simetrik Maifoldlar Teorem 6.3. ( M, g) ( 3) koform olarak flat zayıf simetrik bir maifold olsu. Eğer M i skaler eğriliği sıfırda farklı ve sabit ise, S Ricci tesörü; S(, Z ) g(, Z ) B( ) B( Z) B( Z ) D( ) B( ) B ( Z ) 3 B( Z) B ( ) B( Z) D ( ) B ( Z) D( ) A( ) B ( Z) formudadır [7]. Burada,,,..., 7 ler r, B( ) ve B( 3) e göre skalerlerdir. Ayrıca bütü vektör alaları içi B ( ) B( L ) ve D ( ) D ( L ) biçimide taımlamıştır. İspat: Koform olarak flat bir Riema maifoldu içi, ( S)( Y, Z) ( Z S)( Y, ) g( Y, Z) dr( ) g(, Y ) dr( Z) ( ) (6.0) eşitliğii olduğuu biliyoruz. (6.) deklemide ve U u yerii değiştirip elde ettiğimiz soucu (6.) deklemide çıkartırsak, 4

50 ( S)( Z, U ) ( S)( Z, ) A( ) S( Z, U ) B( Z) S(, U ) D( U ) S(, Z) U B( R(, Z) U ) D( R(, U ) Z) A( U ) S( Z, ) B( Z) S(, U ) D( ) S( U, Z) B( R( U, Z) ) D( R( U, ) Z) buluur. Burada (6.0) eşitliğii ve Biachi özdeşliğii kullaarak, ( S)( Z, U ) ( U S)( Z, ) A( ) D( ) S( U, Z) A( U ) D( U ) S(, Z) B( R(, U ) Z) D( R(, U ) Z) ve ( S)( Z, U ) ( U S)( Z, ) g( Z, U ) dr( ) g(, Z) dr( U ) ( ) (6.) elde edilir. Şimdi,, 3 vektör alalarıı sırasıyla A, B ve D -formlarıa karşılık gele üreteçler olarak taımlayalım. Yai g(, ) A( ), g(, ) B( ) ve g(, ) ( ) 3 D biçimide olsu. (6.) deklemide U yerie alırsak, A( ) D( ) S(, Z) A( ) D( ) S(, Z) B( R(, ) Z) D( R(, ) Z) g( Z, ) dr( ) g(, Z) dr( ) ( ) buluur. (6.3) deklemi yardımıyla bu deklemi; A( ) D( ) B( LZ ) A( ) D( ) S(, Z) B( R(, ) Z) R(,, Z, 3) B( Z) ra( ) B( L ) D( L ) ( ) g(, Z) ra( ) B( L) D( L) 4

51 biçimide yazabiliriz. ( M, g) zayıf simetrik maifoldu sıfırda farklı ve sabit bir skaler eğriliğe sahip olduğuda Teorem 6.. de A -formuu; A( ) [ B( L ) D( L )] r biçimide alabiliriz ve burada, A( ) D( ) B( LZ) A( ) D( ) S(, Z) R(,, Z, ) R(,, Z, 3) B( Z) r B( L ) r D( L ) B( L ) ( ) r r D( L ) g(, Z) r B( L) r D( L) r r buluur. (6.) deklemi düzelediğide: (6.) A( ) D( ) S(, Z) A( ) D( ) B( LZ) R(,, Z, ) R(,, Z, ) 0 (6.3) 3 elde edilir. Ayrıca koform olarak flat bir Riema maifoldu içi C 0 olduğuda R(, Y, Z, W ) S( Y, Z) g(, W ) S(, Z) g( Y, W ) S(, W ) g( Y, Z) r S( Y, W ) g(, Z) g(, Z) g( Y, W ) ( )( ) g( Y, Z) g(, W ) (6.4) eşitliğii yazabiliriz. Bu eşitlikte, 43

52 R(,, Z, ) R(,, Z, 3) (, ) ( ) ( ) ( ) S Z B B LZ B B( L ) g(, Z) B( L ) B( Z) S(, Z) B( ) B( LZ) D( ) 3 r B( L3) g(, Z) D( L ) B( Z) B( Z) B( ) g(, Z) B( ) ( )( ) B( Z) D( ) g(, Z) B( ) 3 (, ) ( ) ( 3) ( ) ( ) ( ) (, ) S Z B B B LZ B D g Z r B( L ) B( L 3) B( Z) B( L ) D( L ) B( Z) ( )( ) B( ) D( ) g(, Z) B( ) B( ) 3 deklemi elde edilir. Bu deklemi (6.3) deklemide yerie yazarsak, A( ) D( ) S(, Z) A( ) D( ) B( LZ) S(, Z) B( ) B( 3) B( LZ ) B( Z) D( ) g(, Z) B( L) B( L3) r B( Z) B( L ) D( L ) B( Z) B( ) D( ) ( )( ) g(, Z) B( ) B( 3) 0 soucu buluur. Bu so deklemde, S(, Z ) g(, Z ) B( ) B( Z) B( Z ) D( ) B( ) B ( Z ) 3 B( Z ) B ( ) B( Z) D ( ) B ( Z) D( ) A( ) B ( Z) (6.5) elde edilir. Şimdi kuazi-sabit eğrilikli maifold taımıı geelleyerek hiper kuazi-sabit eğrilikli maifold taımıı verelim. 44

53 Taım 6.3. ( M, g) ( 3) koform olarak flat bir Riema maifold olsu. M maifolduu R eğrilik tesörü; R(, Y, Z, W ) a g( Y, Z) g(, W ) g(, Z) g( Y, W ) g(, W ) P( Y, Z) g(, Z ) P( Y, W ) g( Y, Z ) P(, W ) g( Y, W ) P(, Z ) koşuluu sağlıyorsa M maifoldua hiper-kuazi sabit eğrilikli maifold deir [7]. Burada,,..., 8 sıfırda farklı skalerlerdir ve P( Y, Z ) ; P( Y, Z) B( Z ) D( Y ) B( Z) B( Y ) B ( Z ) B( Y ) B( Z) B ( Y ) 3 4 B( Z) D ( Y ) B ( Z) D( Y ) B ( Z) B ( Y ) B ( Z) D ( Y ) biçimide taımlamıştır. Teorem ( M, g) ( 3) koform olarak flat zayıf simetrik bir maifold olsu. Eğer M i skaler eğriliği sıfırda farklı ve sabit ise bu maifold hiper kuazi-sabit eğrilikli uzay formudadır [7]. İspat: (6.4) deklemii (6.5) daki yerie yazarsak, S(, Z ) g(, Z ) B( ) B( Z) B( Z ) D( ) B( ) B ( Z ) 3 B( Z) B ( ) B( Z) D ( ) B ( Z ) D( ) B ( ) D ( ) B ( Z) r (6.6) buluur. (6.6) deklemi (6.4) deklemideki yerie yazılırsa; 45

54 R(, Y, Z, W ) g(, W ) g( Y, Z) B( Y ) B( Z) B( Z) D( Y ) B( Y ) B ( Z) B( Z ) B ( Y ) B( Z) D ( Y ) B ( Z) D( Y ) B( Y ) D( Y ) B( Z) g( Y, W ) g(, Z) r B( ) B( Z) B( Z) D( ) B( ) B ( Z) B( Z) B ( ) 3 4 5B( Z) D ( ) 6B ( Z) D( ) 7 B( ) D( ) B( Z) r g( Y, Z) g(, W ) B( ) B( W ) B( W ) D( ) B( ) B ( W ) B( W ) B ( ) B( W ) D ( ) B ( W ) D( ) B( ) D( ) B( W ) g(, Z) g( Y, W ) r B( Y ) B( W ) B( W ) D( Y ) B( Y ) B ( W ) B( W ) B ( Y ) 3 4 r 5B( W ) D( Y ) 6B( W ) D( Y ) 7 B( Y ) D( Y ) B( W ) r g(, Z) g( Y, W ) g( Y, Z) g(, W ) ( )( ) elde edilir. Bu so deklemi, R(, Y, Z, W ) g( Y, Z) g(, W ) g(, Z) g( Y, W ) g(, W ) P( Y, Z) g(, Z) P( Y, W ) g( Y, Z) P(, W ) g( Y, W ) P(, Z) (6.7) biçimide yazabiliriz. Burada, P( Y, Z) B( Z) D( Y ) B( Z) B( Y ) B ( Z) B( Y ) B( Z) B ( Y ) 3 4 B( Z) D ( Y ) B ( Z) D( Y ) B ( Z) B ( Y ) B ( Z) D ( Y ) biçimidedir ve,,..., 8 sıfırda farklı skalerlerdir. (6.7) deklemi ve Taım 6.3. yardımıyla M maifolduu hiper kuazi-sabit eğrilikli olduğu görülür. 46

55 Teorem ( M, g) ( 3) skaler eğriliği her yerde sıfırda farklı ola koform olarak flat zayıf simetrik bir maifold olsu. Bu durumda M ; ( M ) içi T ( ) B( ) D( ) 0 biçimide taımlaa T -formuyla birlikte bir kuazi- Eistei maifolddur [7]. İspat: (6.9) deklemide U alalım. T ( Z) T ( L ) T ( ) S(, Z) T ( R( Z, ) U ) 0 olur. (6.8) deklemi yardımıyla bu deklemde, r T ( ) T ( Z ) T ( ) S (, Z ) R (, Z,, ) 0 (6.8) elde edilir. ( M, g) zayıf simetrik maifoldu koform olarak flat olduğuda ve sıfırda farklı skaler eğriliğe sahip olduğuda (6.4) deklemide, R(, Z,, ) S(, Z) g(, ) S(, ) g( Z, ) S(, ) g(, Z) r S( Z, ) g(, ) g(, ) g( Z, ) ( )( ) g(, Z) g(, ) r T ( ) S(, Z) rt ( ) T ( Z) T( ) g(, Z) r T ( ) T( Z) T( ) g(, Z) ( )( ) yazılabilir. Bu eşitliği (6.8) deklemideki yerie yazarsak, 47

56 r r T ( ) T ( Z) T ( ) S(, Z) T ( ) S(, Z) T ( ) T( Z) r T ( ) g(, Z) r T( ) T ( Z) r T ( ) g(, Z) 0 ( ) ( )( ) ( )( ) olur ve burada da ( )( 3) 3 rt( ) T ( Z) T( ) S(, Z) ( )( ) 3 rt ( ) g(, Z) 0 ( )( ) deklemi elde edilir. Böylece ( ) T ( ) S(, Z) rt ( ) g(, Z) r( ) T ( ) T ( Z ) (6.9) buluur. Şimdi T ( ) 0 olduğuu gösterelim. Tersie T ( ) 0 olduğuu farz edelim. O halde (6.9) deklemide r( ) T ( ) T ( Z ) 0 olur. 3 olduğuda ve içi T ( ) 0 olduğuda r 0 olmalıdır ki bu ise hipotezle çelişir. Yai T ( ) 0 dır. Souç olarak ve sıfırda farklı skalerler olmak üzere (6.9) deklemii, S(, Z ) g(, Z) T ( ) T ( Z) (6.0) biçimide yazabiliriz. Taım (.8) de bu maifoldu bir kuazi-eistei maifold olduğu görülür. Teorem ( M, g) ( 3) skaler eğriliği her yerde sıfırda farklı ola koform olarak flat zayıf simetrik bir maifold olsu. Bu durumda M, ( M ) içi T ( ) B( ) D( ) 0 biçimide taımlaa T -formuyla birlikte kuazi-sabit eğrilikli bir maifolddur [7]. 48

57 İspat: (6.0) deklemii (6.4) deklemideki yerie yazarsak, R(, Y, Z, W ) g(, W ) g( Y, Z) T ( Y ) T ( Z) g( Y, W ) g(, Z) T ( ) T ( Z) g( Y, Z) g(, W ) T ( ) T ( W ) g(, Z) g( Y, W ) T ( Y ) T ( W ) r ( )( ) g(, Z) g( Y, W ) g( Y, Z) g(, W ) buluur. Bu deklemi, r R(, Y, Z, W ) g(, W ) g( Y, Z) g(, Z) g( Y, W ) ( )( ) (, ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) g W T Y T Z g Y W T T Z g( Y, Z) T ( ) T ( W ) g(, Z) T( Y ) T ( W ) r biçimide yazabiliriz. Burada ( )( ) ve deilirse: R(, Y, Z, W ) g(, W ) g( Y, Z) g(, Z) g( Y, W ) g(, W ) T ( Y ) T( Z) g( Y, W ) T( ) T ( Z) g( Y, Z) T ( ) T ( W ) g(, Z) T ( Y ) T( W ) (6.) deklemi elde edilir. Bu so deklem ve Taım.9 yardımıyla kuazi-sabit eğrilikli olduğu görülür. M maifolduu Teorem ( M, g) ( 3) sıfırda farklı skaler eğriliğe sahip koform olarak flat zayıf simetrik bir maifold olsu. Bu durumda sahiptir[7]. M hiper kuazi-sabit eğriliğe 49

58 İspat: (6.) deklemide T -formuu ifadesi yerie yazılırsa; ve R(, Y, Z, W ) g(, W ) g( Y, Z) g(, Z) g( Y, W ) g(, W ) B( Y ) D( Y) B( Z) D( Z) g(, Z) B( Y ) D( Y ) B( W ) D( W ) g( Y, Z) B( ) D( ) B( W ) D( W ) g( Y, W ) B( ) D( ) B( Z) D( Z) R(, Y, Z, W ) g(, W ) g( Y, Z) g(, Z) g( Y, W ) g(, W ) B( Y ) B( Z) B( Y ) D( Z) D( Y ) B( Z) D( Y ) D( Z) g(, Z) B( Y) B( W ) B( Y ) D( W ) D( Y ) B( W ) D( Y ) D( W ) g( Y, Z) B( ) B( W ) B( ) D( W ) D( ) B( W ) D( ) D( W ) g( Y, W ) B( ) B( Z) B( ) D( Z) D( ) B( Z) D( ) D( Z) elde edilir. Burada BD BB BD DB DD deklemi, (6.) olarak taımlaırsa, (6.) R(, Y, Z, W ) g(, W ) g( Y, Z) g(, Z) g( Y, W ) g(, W ) BD ( Y, Z) g(, Z) BD ( Y, W ) g( Y, Z) BD (, W ) g( Y, W ) BD (, Z) biçimide yazılabilir. Bu so deklemde ve Taım 6.3. de hiper kuazi-sabit eğrilikli olduğu görülür. M maifolduu 50

59 7. CHAKI PSEUDO SİMETRİK MÜKEMMEL AKIŞKANLI UZAY ZAMANI Bu bölümde Chaki pseudo simetrik maifoldları bazı fiziksel uygulamalarıda bahsedeceğiz. 4-boyutlu pseudo simetrik maifoldlar üzerleride taımlaa Loretz metriğiyle birlikte uzay-zamaı içi bir model oluştururlar. Bu uzayı baz vektörüe akışkaı hız vektörü karşılık gelir. 7. Taım (Mükemmel Akışkalı Uzay Zama) Bu bölümde mükemmel akışka uzay zamaı diye baz vektör alaı olarak akışkaı hız vektör alaıı kabul ede 4-boyutlu pseudo simetrik Loretz uzayıa diyeceğiz [9]. Öcelikle ileride kullaacağımız bazı eşitlikleri elde etmeye çalışalım. Göreceli uzay zamaı olarak 4-boyutlu pseudo simetrik Loretz uzayıı ve A -formuyla birleşe U baz vektör alaıı da mükemmel akışka maddei hız vektörü olarak alırsak, U zama-bezeri vektör alaı olur. O halde; g( U, U ) ve her içi g(, U ) A( ) yazılabilir. 5

60 Ayrıca Eistei ala deklemii S rg g T (7.) biçimide yazılabileceğii biliyoruz [8]. Burada kozmolojik sabit, yerçekimi sabiti ve T de eerji mometum tesörüdür. Ayrıca madde mükemmel akışka olduğuda T tesörü: T ( p) A A pg biçimidedir. Bu deklemde akışkaı yoğuluğuu, p ise basıcıı simgeler ve p 0 dır. (7.) deklemide T i ifadesii yerie yazarsak, S(, Y) rg(, Y ) g(, Y ) ( p) A( ) A( Y) pg(, Y ) (, ) ( ) ( ) ( ) r p g Y p A A Y elde ederiz. Bu deklemde ve Y üzeride kotraksiyo yapılırsa; r r p 4 ( p) r 4 4 p p böylece r 4 ( 3 p) (7.) buluur. 5

61 7. Mükemmel Akışka Madde İçerikli Chaki Pseudo Simetrik Uzay-Zamaı Teorem ( M, g) Chaki pseudo simetrik uzay-zamaı olsu. Eğer madde içeriği mükemmel akışka ve U baz vektör alaı da bu akışkaı hız vektör alaı ise uzay-zamaı Ricci tesörüü Segre karakteristiği, dir [9]. İspat: 4 ( M, ) g, Chaki pseudo simetrik bir maifold olduğuda ve U baz vektör alaı akışkaı hız vektörüe karşılık geldiğide g( U, U ) dir. Ayrıca (7.) eşitliğide Eistei ala deklemii S(, Y) ( r p) g(, Y ) ( p) A( ) A( Y) (7.3) biçimide yazabiliriz. Bu deklemde Y U alıırsa; S(, U ) ( r p) g(, U ) ( p) A( ) A( U ) (, ) r g U (7.4) buluur. O halde r, S Ricci tesörüü bir öz değeridir ve U da bu öz değere karşılık gele öz vektördür. S i U da farklı bir öz vektörü de V olsu. O halde V vektörü U ya dik olacaktır. Yai; g( V, U ) 0 veya A( V ) 0 olmalıdır. Şimdi de (7.3) deklemide Y V alırsak, 53

62 S(, V ) ( r p) g(, V ) ( p) A( ) A( V ) (, ) r p g V buluur. Burada r p S i diğer bir öz değeridir. V ise bu öz değere karşılık gele öz vektördür. Verile bir öz vektöre yalız bir öz değer karşılık geleceğide ve bu öz değerler farklı olduklarıda S Ricci tesörüü yalız r ve r p gibi iki tae öz değeri vardır. Bu öz değerlerde r i katlılığıa m diyelim. Böylece uzay-zamaı boyutu 4 olduğuda diğer öz değer katlılığı 4 m olacaktır. Burada r p i m r (4 m) r p r (7.5) yazılabilir. Ayrıca (7.) ve (7.5) deklemleri göz öüe alıırsa; m m r m m r 4 4 p r m m p 4 3 p ( p)( m ) 0 (7.6) buluur. p 0 olduğuda (7.6) da m dir. Böylece r öz değerii katlılığı ve karakteristiği [30] r p i katlılığı da 3 olacaktır. Burada S i Segre, olarak buluur. 54

63 7.3 Mükemmel Akışka Madde İçerikli, Sıfırda Farklı Sabit Skaler Eğriliğe Sahip Chaki Pseudo Simetrik Uzay-Zamaı Bu bölümde Chaki pseudo simetrik uzay-zamaıda mükemmel akışka maddei bazı fiziksel özelliklerii iceleyeceğiz. Teorem ( M, ) g sıfırda farklı sabit skaler eğrilikli Chaki pseudo simetrik uzay-zamaı olsu. Bu uzayda madde içeriği mükemmel akışka ve akışkaı hız vektör alaı da uzay-zamaı baz vektör alaı ise akışkaı ivme vektörü ve geişleme skaleri sıfırdır [9]. İspat : 4 ( M, ) g, Chaki pseudo simetrik bir maifold olduğuda (3.) deklemi sağlaır. (3.) deklemide kotraksiyo yardımıyla, dr( ) A( ) r 4 S(, U ) (7.7) elde edilir. r skaler eğriliği sıfırda farklı ve sabit olduğuda (7.7) de r S(, U ) A( ) buluur. Bu eşitlik ve (7.4) deklemi kullaılırsa, rg(, U ) r g(, U ) elde edilir. Burada da r g(, U ) 0 veya r A( ) 0 buluur. A( ) 0 olduğuda r 0 olmalıdır. O zama, 55

64 r (7.8) yazılabilir. ı bu değeri (7.) deklemideki yerie yazılırsa, p buluur. Burada ve sabit olduklarıda p de sabittir. Ayrıca (7.8) eşitliğide r sabit olduğuda ı da sabit olduğu görülür. Bu iki eşitlik kullaılarak r p 0 elde edilir. Mükemmel akışkalar içi eerji ve kuvvet deklemlerii; ve U ( p) divu (7.9) ( p) U gradp ( Up) U (7.0) biçimide verildiğii biliyoruz [3]. O halde; p 0 ve ve p sabit olduklarıda (7.9) ve (7.0) da divu 0 U U 0 buluur. divu geişleme skalerii ve tamamlaır. U U da ivme vektörüü gösterdiğide ispat 56