MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00

2

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Daışma :Yrd. Doç. Dr. Yusuf KARAKUŞ Yıl : 00, Sayfa: 68 Jüri : Yrd. Doç. Dr. Yusuf KARAKUŞ :Prof. Dr. Doğa DÖNMEZ :Yrd. Doç. Dr. Ersi KIRAL Bu çalışmada -Normlu Uzaylar, -Baach Uzayları ve Sıırlı Lieer - Foksiyoeller icelemiş ve ayrıca Geelleştirilmiş -Normlu Uzaylarda Hah- Baach Teoremi ele alımıştır. Aahtar Kelimeler: -Norm, -Normlu Uzaylar, -Baach Uzayları, Sıırlı Lieer -Foksiyoeller, Hah-Baach Teoremi I

4 ABSTRACT MSc THESIS -NORMED SPACES Serka ÖKTEN ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS Supervisor : Asst. Prof. Dr. Yusuf KARAKUŞ Year : 00, Pages: 68 Jury : Asst. Prof. Dr. Yusuf KARAKUŞ :Prof. Dr. Doğa DÖNMEZ :Asst. Prof. Dr. Ersi KIRAL I this thesis, -Norm, -Normed Spaces, -Baach Spaces ad Bouded Liear -Foctioals were studied ad also Hah-Baach Theorem I Geeralized - Normed Spaces was cosidered. Key Words: -Norm, -Normed Spaces, -Baach Spaces, Bouded Liear - Foctioals, Hah-Baach Theorem II

5 TEŞEKKÜR Yüksek lisa çalışmamda hiçbir özveride kaçımada aydılatıcı fikirleri ile bu eseri meydaa gelmesii sağlaya saygıdeğer hocam, sayı Yrd. Doç. Dr. Yusuf KARAKUŞ a, çalışmamı başlagıç aşamasıda kayak ve yol göstererek desteğii esirgemeye hocalarım, sayı Prof. Dr. Doğa DÖNMEZ ve sayı Yrd. Doç. Dr. Mehmet AÇIKGÖZ e, ve eğitim hayatıma ilk adım attığım güde itibare elleride gele hiçbir desteği esirgemeye sevgili aeme, babama ve tüm aile fertlerime teker teker sosuz teşekkürlerimi suarım. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER.....V.GİRİŞ....TEMEL TANIM VE TEOEREMLER Lieer Uzaylar Norm BANACH UZAYI Cauchy Dizisi Baach Uzayı SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Sıırlı Lieer -Foksiyoel DİĞER ÇALIŞMALAR Geelleştirilmiş -Normlu Uzaylarda Hah-Baach Teoremi KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ IV

7 .GİRİŞ Serka ÖKTEN.GİRİŞ Bu tezde -Norm ve -Baach uzayları icelemiştir. -Norm aşağıdaki şekilde taımlaır. X bir vektör uzayı ve,, X X üzeride taımlı reel değerli bir foksiyo olsu. xyz,, X ve α olmak üzere, (N): xy, 0, xy=, 0 acak ve acak x ve y lieer bağımlıysa, (N): xy, = yx,, (N3): αxy, = α xy,, (N4): xy, + z xy, + xz,, koşullarıı sağlaya, foksiyoua -orm ve (,, ) X ikilisie de -ormlu lieer uzay veya -ormlu vektör uzay yada kısaca -ormlu uzay deir. ele alımıştır. Bu çalışmada Sıırlı Lieer -Foksiyoellerle ilgili teoremler ve souçlar Diğer çalışmalar kısmıda ise Hah-Baach Teoremii Geelleştirilmiş - Normlu uzaylar üzerie uygulaması iceleerek ilgili teoremlere ve souca yer verilmiştir.

8 .GİRİŞ Serka ÖKTEN

9 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bu çalışmada K, hem, reel sayılar, hem de, kompleks sayılar, kümelerii ifade etmek içi kullaılmıştır. K ı elemaları skalerler olarak adladırılmıştır.. Lieer Uzaylar Taım..: X bir küme ve K bir cisim olsu. X X de X e ( x+ y) + z = x+ ( y+ z) ( xy, ) x+ y toplama ve ( α, y) αx skalerle çarpma foksiyoları aşağıdaki koşulları sağlarsa o zama X e K cismi üzeride bir lieer uzay veya vektör uzay deir. xyz,, X ve α, β K içi: A ) ( x+ y) + z = x+ ( y+ z), A) x+ y= y+ x, A) x X içi x+ 0= 0+ x= x olacak biçimde bir 0 X vardır, 3 A) 4 x X ve x 0 içi x+ ( x) = ( x) + x = 0 olacak biçimde bir ( x) X vardır, S) α( x+ y) = αx+ αy, S) ( α + β)x= αx+ βx, S) α( βx) = ( αβ ) x, 3 S) 4.x= x. Bir lieer uzay üzeride taımlı ise bir reel vektör uzay ve üzeride taımlı ise bir kompleks vektör uzay olarak adladırılır. A-A 4 özellikleri X i toplama altıda bir abelia gurup olduğuu gösterir. X i elemalarıa oktalar veya vektörler deir. 0 sembolü hem sıfır skaleri hem de 0 vektörüü göstermek içi kullaılır. Ayrıca, i bir alt kümesi olduğuda 3

10 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN üzerideki bir vektör uzay ayı zamada üzeride de bir vektör uzay olarak ele alıabilir. Örek..: Reel sayıları x = ( α, α,..., α ) biçimli bütü -lilerii kümesi V V ile gösterilsi. Aşağıdaki toplama ve skalerle çarpma işlemlerie göre bir vektör uzayıdır. Bu uzaya -boyutlu reel öklid uzayı deir: ( α,..., α ) + ( β,..., β ) = ( α + β,..., α + β ), = içi V ( ) = ve birer vektör uzayıdır. γα (,..., α ) = ( γα,..., γα ). Taımda aşağıdaki özellikler görülür: ) x X içi 0x = 0, ) α K içi α 0= 0, 3) Sıfır vektör 0 tektir, V = dir. Böylece ve kedi üzerleride 4) Her bir x X içi A 4 de belirtile ( x) elemaı tektir, 5) x X içi ( )x= x, 6) xy X, iki vektör olsu, x+ y= z olacak biçimde tek bir z X vektörü vardır. Örek..: X, boş olmaya bir S kümeside bir K cismie taımlı tüm foksiyoları kümesi olsu. ( f + g)( t) = f () t + gt (), ( α f )( t) = α f () t biçimide taımlı toplama ve skalerle çarpma işlemlerie göre X, K üzeride bir vektör uzayıdır. Eğer Örek.. de S={ },..., alıırsa, V ( ) ve V i sırasıyla ve üzeride birer vektör uzayı olduğu görülür. Eğer S=, tüm pozitif tamsayılar kümesi, alıırsa X, K ı elemalarıı tüm dizilerii kümesi olur, toplama ve skalerle çarpma işlemleri aşağıdaki şekilde taımlaır: ( α ) + ( β ) = ( α + β ), γα = ( γα ). 4

11 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Böylece bu diziler, taımlamış ola işlemlerle K üzeride V ( K) ile gösterile bir vektör uzayı oluşturur. Eğer Örek.. de, S {(, i j): i,..., m; j,..., } = = = alıırsa X, K daki i tüm m matrislerii kümesi olur. α j K ike bir matrisi α α L α i α α α A ( α j ) L = = M M O M m m m α α α L biçimide gösterirsek, X deki toplama ve skalerle çarpma işlemleri aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: ve α + β α + β L α + β i i α + β α + β L α + β i i j j j j A+ B= ( α ) + ( β ) = = ( α + β ), M M O M m m m m m m α + β α + β α + β L üzeride γα γα L γα i γα γα γα i γa γα ( j) L = = = ( γα j). M M O M m m m γα γα γα L Böylece tüm m matrislerii kümesi yukarıda ifade edile işlemlerle, K m K biçimide gösterile bir vektör uzayı olur. E, K üzeride taımlı bir X lieer uzayıı bir alt kümesi olsu. xy E, ve α, β K ike αx+ βy E oluyorsa veya eş değer olarak, x+ y E ve α x E oluyorsa E ye X i bir lieer alt uzayı deir. Böylece E i kedisi de K üzeride bir vektör uzayıdır. { 0 } herhagi bir vektör uzayı alt uzayıdır ve trivial lieer uzay olarak adladırır. Taım..: X bir vektör uzayı ve M, X i bir alt kümesi olsu. Eğer herhagi bir m0 M içi M m0 kümesi, yai 5

12 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN { : ve } M m = m m m M m M kümesi, X i bir lieer alt uzayı ise o zama M ye X de bir lieer maifold deir. X i her bir alt vektör uzayı bir lieer maifolddur. X, toplama ve skalerle çarpma işlemleri ile [ ab, ] kapalı aralığıda taımlı tüm reel değerli foksiyoları kümesi olsu. X, Örek.. de dolayı, üzeride bir vektör uzaydır. E, X i X deki tüm sürekli foksiyoları içere bir alt kümesi olsu. Eğer f ve g sürekli foksiyolar, α ve β herhagi iki reel sayı ise α f + βg süreklidir ve E, X i bir alt uzayıdır. Bu uzay C[ ab, ] ile gösterilir. Verile bir X vektör uzayı ve X i bir E alt uzayı ile aşağıdaki biçimde başka bir vektör uzayı düzeleebilir: X de eğer a b E ise a b şeklide bir bağıtı taımlaır. Buu bir deklik bağıtısı olduğuu görmek oldukça kolaydır. Ayrıca, bu deklik bağıtısı şu özellikleri sağlar: Eğer a b ve c d ise a+ c b+ d, ve α K içi a b ise αa αb dir. Bu deklik bağıtısı X E bölüm kümesi ile gösterilir ve a ı temsil ettikleri de (a) deklik sııfı biçimide ifade edilir. Bu durumda aşağıda taımlaa toplama ve skalerle çarpma işlemleri ile X E bir vektör uzayıdır: ( a) + ( b) = ( a+ b), α( a) = ( αa). Her zama olduğu gibi böyle bir durumda gösterilmesi gereke şey bu taımları temsil ede kullaımlarıı bağımsız olduğudur, öreği, eğer (a)=( a ) ve ( b) = ( b ) ise ( a) + ( b) = ( a+ b) = ( a + b ) = ( a ) + ( b ) olduğu gösterilmelidir. X E lieer uzayıa X modül E i bölüm uzayı deir. Taım..3: X bir vektör uzayı olsu. x, y X ve α K içi aşağıdaki koşulları sağlaya reel değerli x x foksiyoua X üzeride bir orm deir. (N ) x 0 ve x = 0 acak ve acak x = 0 ike, (N ) αx = α x, (N 3) x+ y x + y. 6

13 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Üzeride ormu ile taımlı ola X lieer uzayıa ormlu vektör uzay deir ve ( X,. ) biçimide gösterilir. Örek..3: Örek.. deki V üzeride bir vektör uzayıdır. V ( ) üzeride orm şu şekilde taımlaır. x ( x, x,..., x ) V = içi x = x + x x = xi. i= Gerçekte de (N ), (N ) ve (N 3) koşulları kolaylıkla doğrulaabilir. Böylece, (,. ) V bir ormlu vektör uzayıdır. Örek..4: Örek.. de C[ ab, ], üzeride bir vektör uzayıdır. [, ] f Cab i ormu ise aşağıdaki şekilde taımlaır: [, ] f = max f x. x Cab Gerçekte de (N ), (N ) ve (N 3) koşulları kolaylıkla doğrulaabilir. Böylece, ( [, ],. ) C ab bir ormlu vektör uzayıdır. Vektör uzayları ormu doğal olarak aşağıdaki gibi taımlaa bir metrik meydaa getirir: Taım..4: Bir X kümesi üzeride, aşağıdaki koşulları sağlaya ( xy, ) d( xy, ) foksiyoua bir metrik (veya bir uzaklık foksiyou) deir. xyz,, X içi, D d xy, 0, D d xy, = 0 acak ve acak x = y ise, ( D ) d( xy, ) d( yx, ) 3 =, ( D ) d( xy, ) d( xz, ) d( yz, )

14 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Üzeride bir d metriği ile birlikte taımlaa X kümesie metrik uzay deir ve ( X, d ) ile gösterilir. Örek..5: X boş olmaya bir küme ve d reel değerli bir foksiyo olsu, (, ) d xy 0, x= y, =, x y. Bu durumda d, X üzeride bir metriktir, bu metriğe discrete metrik deir. Örek..6: V x= ( x x x ), y ( y y y ) V,,..., Böylece, ( V d) de, reel değerli bir d foksiyou şöyle taımlası, =,,..., içi, (, ) max { i i :,,..., } d xy = x y i=., bir metrik uzaydır. { } Örek..6: C[ ab, ] de d( f, g) max f ( x) g( x) : x [ ab, ] durumda ( C[ ab, ], ) d bir metrik uzaydır. = olsu. Bu Eğer ( X,. ) bir ormlu vektör uzayı ise, (, ) d xy = x y bir metrik taımlar. Böylece bir ormlu lieer uzay taımlaa d metriği ile daima bir metrik uzay gibi değerledirilebilir. Bir metrik uzayda (ve dolayısıyla bir ormlu vektör uzayıda), dizileri yakısaklığı, Cauchy dizileri ve tamlık aşağıdaki şekilde taımlaır. Taım..5: { x }, (, ) N içi d( x x) ε dizisie, x oktasıa yakısıyor deir., Taım..6: { x }, (, ) m, N içi d( x, x ) ε dizisie bir Cauchy dizisi deir. X d metrik uzayıda bir dizi olsu. Eğer ε > 0 ve < olacak biçimde bir N = N( ε ) tam sayısı varsa { x } m X d metrik uzayıda bir dizi olsu. Eğer ε > 0 ve < olacak biçimde bir N = N( ε ) tam sayısı varsa { x } Her yakısak dizi bir Cauchy dizisidir. 8

15 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Taım..7: X deki her bir Cauchy dizisi bir oktaya yakısıyor ise ( X, d ) metrik uzayıa tamdır deir. Taım..8: Eğer bir ( X,. ) ormlu lieer uzayı bir metrik uzay gibi tam ise, bua bir Baach uzayı deir. Örek..8: Örek..3 deki ( V,. ) ormlu lieer uzayı ayı zamada bir Baach uzayıdır. Örek..9: Örek..4 ( [, ],. ) bir Baach uzayıdır. Taım..9: ( X, d ) ve (, ) taımlı f foksiyou xy, X içi, C ab ormlu lieer uzayı ayı zamada X d iki metrik uzay olsu. (, ) = (, ) d f x f y d xy X de X ye eşitliğii sağlıyor ise f e bir izometri deir. Eğer X de X ye örte bir izometri var ise ( X, d ) ve (, ) X d metrik uzaylarıa izometriktirler deir. İzometrii bir uygulaması da kimi kümelerde metrik taımlamak içi bir metot olarak öerilir. (, ) X d bir metrik uzay, bire-bir ve örte bir foksiyo olsu. Eğer xy, X ise (, ) X d bir metrik uzaydır. Taım..0: X bir lieer uzay olsu. X koşulları sağlaya, skaler değerli, ( xy, ) ( xy) üzeride bir iç çarpım deir. xyz,, X ve K ( I ) ( xy) 0, 0 ( I ) ( xy) ( yx) =, ( I 3 ) ( x yz) ( xz) ( yz) α içi, kompleks eşleik X bir küme ve f, X de X ye içi d ( xy, ) = d ( f( x), f( y) ) X de K ya taımlı, aşağıdaki foksiyoua X lieer uzayı xy şeklide gösterilirke, xy = acak ve acak x = 0 ise sağlaabilir, + = +, 9

16 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN ( I 4 ) ( αxy) α( xy) =. Üzeride bir ( ) iç çarpımı taımlı ola X vektör uzayıa bir iç çarpım uzayı (veya pre-hilbert uzayı) deir ve ( X,( )) biçimide gösterilir. Teorem..: Eğer ( X,( )) bir iç çarpım uzayı ise x = ( xx) X üzeride bir orm taımlar. Teorem..: Eğer ( X,( )) bir iç çarpım uzayı ise x, y ( xy) x y dir, eşitlik acak ve acak x ve y lieer bağımsız ike sağlaır. X içi Teorem.. deki eşitsizlik Schwartz eşitsizliği, Cauchy eşitsizliği, Cauchy- Schwartz eşitsizliği veya Cauchy-Buyakovski-Schwartz eşitsizliği olarak da biliir. Teorem..3: Eğer ( X,( )) bir iç çarpım uzayı ise de sürekli bir foksiyodur. iç çarpımı X X Teorem.. de biliiyor ki bir iç çarpım uzayı, x ( xx) = şeklide taımlaa orm ile birlikte, bir ormlu lieer uzay gibi göz öüe alıabilir. Bu orm ( ) iç çarpımı verdiği orm olarak adladırılır. Taım..: Eğer bir iç çarpım uzayı iç çarpımda elde edile orma göre tam ise bu uzay bir Hilbert uzayı olarak adladırılır. Örek..0: V ( ) vektör uzayıda bir iç çarpım, her x= ( x x K x ) (,, K, ) ( ) içi ( xx) = xy + xy + + xy y = y y y V ( I ) ( I ) 4,,,, K şeklide taımlası. koşullarıı sağladığı kolaylıkla görülebilir ve iç çarpımda ayı Örek (, )..3 deki gibi bir orm elde edilebilir. Böylece V uzayıdır. bir reel Hilbert 0

17 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Örek..: C[ ab, ] vektör uzayıda, bir iç çarpım, f, g C[ ab, ] b içi ( f g) = f( xgxdx ) şeklide taımlası. Bu durumda [, ], a çarpım uzayıdır fakat tam değildir ve böylece bir Hilbert uzayı değildir. C ab bir iç Teorem..4: Eğer ( X,. ) ormlu vektör uzayı bir iç çarpım uzay ise orm Paralelkear Kuralıı sağlar, x, y X içi, x+ y + x y = x + y. Ayrıca Paralelkear Kuralı bir ormlu lieer uzayda sağlaıyor ise bu uzay bir iç çarpım uzayıdır. [ 0,] Taım..: C, bir X vektör uzayıı bir alt kümesi olsu. Eğer xy, C ve t içi tx+ ( t) C oluyorsa C ye koveks deir. Taım..3: Eğer E, X lieer uzayıı bir alt kümesi ise, E yi içere e küçük A koveks kümesie E i koveks kabuğu deir ve cov E şeklide gösterilir. Teorem..5: : Eğer E, X lieer uzayıı bir alt kümesi ise, dir. cov E = z: z = ax i i, ai 0, ai =, xi E i= i= Taım..4: X, K üzeride bir lieer uzay ve E, X i bir alt kümesi olsu. () Eğer E E { x: x E} = = ise E ye simetriktir deir. () Eğer her x E içi t tx ike t x E olacak biçimde bir t x > 0 varsa E ye absorbig (veya absorbet) deir. (3) Eğer { :,, } te = tx x X t K t E ise E ye balaced deir. (4) Eğer { :,, [ 0,] } deir. te+ te = tx+ t y xy E t E ise E ye affie

18 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN (5) Eğer E { tx ( t) y: xy, E, t R} deir. = + ise E ye x ve y de geçe doğru (6) Eğer E { tx ( t) y: xy, E, t [ 0,] } = + ise E ye x ve y yi birleştire doğru parçası deir. Örek..3: X = = {( x, x) : x, x } ve {, : } E = x x x + x = alısı. X i simetrik ve absorbig olduğu kolaylıkla görülür. Açıkça, E koveks değildir. Örek..4: X, bir kompakt Hausdorf uzayı ve Cx, X deki tüm reel değerli foksiyoları kümesi olsu. Bu durumda Cx açıkça koveks ve balaced olur. X, K üzeride bir lieer uzay olsu. X üzerideki foksiyoları öemli bir sııfı aşağıdaki taımla ele alıır. Taım..5: Aşağıdaki koşulları sağlaya reel değerli p: X foksiyoua yarı-orm deir: () p( x) 0 () px ( + y) px + py (3) Her xy, X ve her α içi p( αx) = α px Eğer, px = 0 acak ve acak x = 0, olursa yarı-orma, orm deir. Eğer X, K üzeride bir vektör uzayı ve p, X üzeride bir yarı-orm ise { x px } B (0,) : p = < kümesi açıkça koveks, simetrik, balaced ve absorbig olur. Aşağıdaki teorem balaced, absorbig ve yarı-orm ola koveks kümeler arasıdaki ilişkiyi verir. Teorem..6: X, K üzeride bir vektör uzayı ve E kümesi X i bir alt kümesi olsu. E kümesi aşağıdaki koşulları sağlası: (a) E koveks, (b) E balaced ve absorbig.

19 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Bu durumda X üzerideki p ( x) if{ t 0: x te} aşağıdaki özellikleri sağlar. () pe ( x) 0, () p ( x+ y) = p ( x) + p ( y), E E E (3) p ( αx) = α p ( E), E E (4) { x: p ( x) < } E { x: p ( x) } E E = > şeklide taımlı p E foksiyou E Taım..6: X bir küme olsu. X i bir alt kümeler topluluğu τ ile gösterilsi. Eğer τ aşağıdaki koşulları sağlarsa τ ya X üzeride bir topoloji deir. () X τ, τ, () τ u herhagi bir ailesii birleşimi yie τ dadır, (3) Eğer O,, K Om τ ise O O K Om τ ( X, τ ) ikilisie bir topolojik uzay deir. Kısaca X e bir topolojik uzay deir. τ u elemalarıa ise açık küme deir. Taım..7: Bir x X içi, x O olacak biçimde O τ kümesii içere X i herhagi bir alt kümesie x i komşuluğu deir. Burada O açık kümeyi gösterir. Taım..8: X ve X iki topolojik uzay ve f : X X taımlı bir foksiyo olsu. Eğer f( x ) i herhagi bir N komşuluğu içi, x N ike f( x) N olacak biçimde x i bir N komşuluğu var ise o zama f foksiyou x oktasıda süreklidir deir. Taım..9: X, K üzeride bir vektör uzayı olsu. X üzerideki bir τ topolojisie göre + : X X X ve : K X X foksiyoları sürekli ise bu X uzayıa topolojik vektör uzayı veya lieer topolojik uzay deir. Bu koşullar altıda τ ya X üzeride bir lieer topoloji deir. Taım..0: X topolojik vektör uzayı üzeride bir lieer topoloji alısı. Eğer 0 (sıfır) ı her komşuluğu 0 ı bir koveks komşuluğuu içeriyorsa bu lieer topolojiye yerel koveks topoloji deir. 3

20 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Teorem..7: Eğer X, K cismi üzeride bir yerel koveks uzay ise o zama X i topolojisi, yarı-ormları bir ( p ) ailesi tarafıda belirleir. i i I. -Norm Taım..: X bir vektör uzayı ve,, X X üzeride taımlı reel değerli bir foksiyo olsu. xyz,, X ve α R olmak üzere, (N): xy, 0, xy=, 0 acak ve acak x ve y lieer bağımlıysa, (N): xy, = yx,, (N3): αxy, = α xy,, (N4): xy, + z xy, + xz,, koşullarıı sağlaya, foksiyoua -orm ve (,, ) X ikilisie de -ormlu lieer uzay veya -ormlu vektör uzay yada kısaca -ormlu uzay deir., egatif olmaya bir foksiyodur. orm Örek..: 3 X = ve x ( x, x, x3) =, y ( y, y, y ) i j k xy, = x y = det x x x 3 y y y 3 = ike X üzeride - 3 şeklide taımlası. Bu durumda ( X,, ) ikilisii bir -ormlu uzaydır. Gerçekte: (N): xy, X ve x ile y lieer bağımlı olsu, bu durumda bir k içi y = kx olur, yai y = ( y, y, y ) = ( kx, kx, kx ) dir. Böylece, 3 3 i j k i j k xy, = x y = det x x x = det x x x = y y y 3 kx kx kx 3 4

21 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN elde edilir. Şimdi xy=, 0 olsu. Bu durumda, olduğuda k içi y (N): xy, X olsu, i j k xy, = x y = det x x x 3 = 0 y y y 3 = kx olmalıdır. Böylece x ile y lieer bağımlı olurlar. i j k xy, = x y = det x x x 3 y y y 3 i j k = det y y y 3 x x x 3 = i j k det y y y 3 x x x 3 (N3): xy, X ve α olsu, = y x = yx,. i j k αxy, = αx y = det αx αx αx 3 y y y 3 i j k = α det x x x 3 y y y 3 = α i j k det x x x 3 y y y 3 5

22 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN = α xy,. (N4): xyz,, X olsu, i j k xy, + z = x ( y+ z) = det x x x 3 y z y z y3 z i j k i j k = det x x x + det x x x 3 3 y y y 3 z z z 3 i j k i j k det x x x + det x x x 3 3 y y y 3 z z z 3 xy, + xz,. Souç olarak, (N)-(N4) koşulları sağladığıda, ( X,, ) ikilisi bir - ormlu uzaydır. Örek..: [ 0, ] aralığı üzeride derecesi ola reel poliomları kümesi P ile gösterilsi. P bilie toplama ve skaler ile çarpma işlemleri ile reel sayılar üzeride bir lieer vektör uzayıdır. { x x x } [ ] oktalar olsu ve P üzeride -orm, k =,,..., f, g = f x. g x f x. g x k k k k 0, de ayrık, sabitlemiş biçimide taımlası. Bu durumda ( P,, ) ikilisii bir -ormlu uzaydır. Gerçekte: g = kf dir. (N): f, g P olsu. f ve g lieer bağımlı ise, g = kf olur. Bu durumda k = f, g = f x. g x f x. g x k k k k 6

23 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN k= Şimdi f, g = 0 alısı. g 0 olsu, = f x. kf x f x. kf x = 0 k= olur. Burada her k =,,..., içi k k k k f, g = f x. g x f x. g x = 0 k k k k f x. g x f x. g x = 0 k k k k = biçimide elde edilir. Böylece, sol taraf f ( x) g ( x) f ( x) g( x) P( x) gösterilirse, P( x ) poliomuu tae sıfırı (kökü) vardır. Oysa bu poliom - ici derecededir. O halde 0 P x = olur. fg fg = 0. Öte yada f fg fg = = g g 0 f olduğuda g böylece f ile g lieer bağımlı olurlar. (N): f, g P olsu. k= k= k= = k (sabit) olur. Burada f = kg olur ve f, g = f x. g x f x. g x k k k k ( f ( xk). g( xk) f ( xk). g ( xk) ) = = g, f (N3): f, g P ve α olsu... = g x f x g x f x k= k= k= k k k k α f, g = α f x. g x α f x. g x k k k k ( f ( xk). g ( xk) f ( xk). g( xk) ) = α ( f ( xk). g ( xk) f ( xk). g( xk) ) = α 7

24 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN = α f, g (N4): f, gh, P olsu. k= k= k= k k k ( k) ( ( k) ( k) ) f, g+ h = f x. g x + h x f x. g x + h x.... = f x g x + f x h x f x g x f x h x ( f ( xk). g ( xk) f ( xk). g( xk) ) ( f ( xk). h ( xk) f ( xk). h( xk) ) ( f ( xk). g ( xk) f ( xk). g( xk) ) f ( xk). h ( xk) f ( xk). h( xk) k= k k k k k k k k = + + f, g + f, h Souç olarak, (N)-(N4) koşulları sağladığıda, ( P,, ) ikilisi bir - ormlu uzaydır. k = Örek..3: ( X,, ) ikilisi bir -ormlu uzay olsu,,, x+ z, y+ z xy, + yz, + zx, xyz X içi, dir. Buu gösterilmesi içi -orm u (N4) özelliğii kullamak yeterli olacaktır. Örek..4: x+ z, y+ z xy, + z + z, y+ z xy, + xz, + z, y + zz, = xy, + yz, + zx, 3 X = olsu. x ( a, b, c) =, y ( a, b, c ) = X i elemaları ike xy, = bc bc + ac ac + ab ab biçimide taımlaa foksiyou bir -ormdur. Gerçekte: (N): xy, X olsu. Eğer bazı α reel sayıları içi y = α x ise, ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( α ) ( bc bc ) ( ac ac ) ( ab ab) xy, = b c b c + a c a c + a b a b = 0. = α + α + α 8

25 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN Tersie, eğer xy=, 0 ise x ile y i lieer bağımsızlığı gösterilmelidir. Eğer xy=, 0 ise bc bc + ac ac + ab ab = 0 olur. Mutlak değer egatif olmadığıda bc bc = 0, ac ac = 0 ve ab ab = 0 olmalıdır. Eğer c ise a = ( c c ) a, b = ( c c ) b ve 0 alıırsa x x c = c c c olur. Burada α = c c = α y olur. Eğer c = 0 ise cebirsel işlemleri soucu olarak ya = ( a, b,0) ve y = ( 0,0,0) ya da x= (( b b) a, ( b b) b,0) ve y = ( a, b,0) olur. Souç olarak x ile y lieer bağımlıdır. (N): xy, X olsu. xy, = bc bc + ac ac + ab ab = bc bc + ac ac + ab ab = yx,. (N3): xy, X ve λ olsu. ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( bc bc ) ( ac ac ) ( ab ab ) ( bc bc ac ac ab ab ) xy, = b c b c + a c a c + a b a b = λ + λ + λ = λ + + = λ (N4): xyz,, xy,. X ve z = ( a, b, c ) olsu ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) a( b b3) ( a a3) b ( bc bc ) ( bc 3 bc 3 ) ( ac ac ) ( ac 3 ac 3 ) ( ab ab ) ( ab ab) xy, + z = b c + c b + b c + a c + c a + a c = bc bc + bc 3 bc 3 + ac ac + ac 3 ac 3 + ab ab + ab ab = xz, + yz,. Souç olarak, (N)-(N4) koşulları sağladığıda, ( P,, ) ikilisi bir - ormlu uzaydır. 9

26 .TEMEL TANIM VE TEOREMLER Serka ÖKTEN 0

27 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN 3. -BANACH UZAYI 3. Cauchy Dizisi m, Taım 3..: { x }, -ormlu X uzayıda bir dizi olsu. Eğer lim x x, y = 0 ve m lim x x, z = 0 olacak biçimde X de lieer bağımsız iki m, m y ve z vektörü varsa { x } dizisie y ve z ye göre bir Cauchy dizisi deir. Teorem 3..: X bir -ormlu vektör uzay olsu. i) Eğer { x } X de a ve b ye göre bir Cauchy dizisi ise reel Cauchy dizileridir. { x, a } ve { x, b } ii) Eğer { x } ve { y } X de a ve b ye göre Cauchy dizileri ve { } reel Cauchy dizisi ise { x + y } ve { x } α bir α dizileri de X de Cauchy İspat: dizileridir. i) (N4) özelliğide, x, a = x x + x, a m m x x, a + x, a m m elde edilir. Burada x, a x, a x x, a m m olur. Bezer olarak, x, a x, a x x, a m m veya x x, a x, a x, a m m olur. Böylece

28 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN x, a x, a x x, a m m elde edilir. Hipoteze göre { x } bir Cauchy dizisi olduğuda lim x, a x, a lim x x, a = 0 m m m, m, olur ve böylece { x, a } bir reel Cauchy dizisidir. Bezer şekilde {, } reel Cauchy dizisidir. ii) ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) x y x y, a x x y y, a m m m m x x, a + y y, a m m x b de bir buluur. Burada limite geçildiğide hipotezde sağ taraf 0 buluur. Bu yüzde sol tarafıda limiti 0 olur. Bezer işlemlerle m, lim x + y x + y, b = 0 m m buluur. Bu yüzde taımda dolayı { x y } Şimdi { x } burada { α } ve {, } α dizisii iceleyelim, + dizisi X de bir Cauchy dizisidir. α x α x, a = α x α x + α x α x, a m m m m m m α x α x, a + α x α x, a m m m m = α x x, a + α α x, a m m m k x x, a + k α α m m x a reel Cauchy dizileri olduğuda sıırlıdırlar. Buda dolayı öce α k ve x, m a k yazıldı. Ayrıca, yie Cauchy dizileri olmaları edeiyle x x, a 0 ve α α 0 olur ve böylece sağ taraf 0 olur. O halde elde edilir. Bezer olarak, buluur. Bu yüzde { α x } m m, m lim α x α x, a = 0 m, m m lim α x α x, b = 0 m m, X de bir Cauchy dizisidir.

29 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN Taım 3..: { x }, -ormlu X uzayıda bir dizi olsu. Eğer her y X içi lim x xy, = 0 olacak biçimde bir x X { x }, x e yakısıyor ise x varsa, { } x e yakısak dizi deir. Eğer x şeklide yazılır ve { x } i limiti x dir deir. 3. -Baach Uzayı Taım 3..: Bir lieer -ormlu uzayda her Cauchy dizisi yakısak ise bu uzaya -Baach uzayı deir. Teorem 3..: Herhagi bir -ormlu X uzayıda i) x x ve y y ise x + y x+ y dir, ii) x x ve α α ise αx αx dir, iii) dimx, x x ve x y ise x = y dir. İspat: i) ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) x y x y, a x x y y, a x xa, + y ya, 0. Böylece x + y x+ y olur. ii) α x αxa, = α x α x+ α x αxa, α x α xa, + α x αxa, = α x xa, + α α xa, k x xa, + α α xa,. Burada lim x xa, = 0 ve lim α α = 0 olduğuda eşitsizliği sol tarafı da 0 olur. Böylece αx αx olur. 3

30 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN iii) Burada x x ve x ( ) ( ) x ya, = x y x x, a x ya, + x x, a. y olduğuda her a X içi x ya, =0 olur. Böylece her a X içi x y ve a lieer bağımlı olurlar. dimx olduğuda x y i bütü a X vektörleriyle lieer bağımsız olabilmesi içi tek yol x y = 0 olmasıdır. Örek 3..: 3, üç boyutlu Öklid uzayıı göstersi. 3 xy, olacak biçimde x= ai+ bj+ ck ve y = di+ ej+ fk alalım. i j k xy, = x y = det a b c d e f 3 de -orm, = bf ce i+ cd af j+ ae db k ( bf ce) ( cd af ) ( ae db) = + + biçimide taımlası. Bu durumda ( 3,, ) gösterilsi. Örek.. de, ikilisii bir -Baach uzayı olduğu xy foksiyouu bir -orm ve (,, 3 ) E i bir - ormlu uzay olduğu biliiyor. Şimdi bu -ormlu uzaydaki her Cauchy dizisii yakısak olduğu gösterilsi. m, x = ai + bj + ck ( x x ) y = ve lim 0 m 3 de bir Cauchy dizisi olsu. Böylece m, ola y = di+ ej+ fk ve z pi qj rk birer Cauchy dizisi oldukları gösterilsi. 3 de lim x x z = 0 olacak biçimde lieer bağımsız m = + + vektörleri vardır. { a }, { b } ve { } c i 4

31 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN i j k x x y = det a a b b c c d e f m m m m Böylece m, = + f b bm e c cm d c cm f a am + e a a d b b m m lim x x y = 0 acak ve acak olması ile mümküdür. m m, m, m, α:lim f b bm e c cm = 0, β :lim d c cm f a am = 0, γ :lim e a am d b bm = 0, ( x x ) z = r( b b ) q( c c ) + p( c c ) r( a a ). m m m m m Böylece m, + q a a p b b m m lim x x z = 0 acak ve acak olması ile mümküdür. δ da her iki taraf m m, m, m, δ :lim r b bm q c cm = 0, ε :lim p c cm r a am = 0, ζ :lim q a am pb bm = 0, f ile çarpılırsa, m, ve α da her iki taraf r ile çarpılırsa, lim rf b b + m qf c c = m 0 m, elde edilir. Taraf tarafa toplaırsa, lim rf b bm re c cm = 0 m, ( qf re)( c c ) lim m = 0. 5

32 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN buluur. β da her iki taraf r ile çarpılırsa, ve ε da her iki taraf m, lim rd c cm rf a am = 0 f ile çarpılırsa, m, lim pf c c + m rf a a = m 0 elde edilir. Bu so ikisii taraf tarafa toplamasıyla, buluur. ve rd m, ( rd pf )( c c ) lim m = 0 Şimdi { c } i bir Cauchy dizisi olmadığı varsayılsı. Bu durumda qf = re = pf olur, burada r q p = = olur ki bu durum, x ile y lieer bağımsız f e d olduğuda imkasızdır. Souç olarak { c } bir Cauchy dizisidir. Bezer yaklaşım ve işlemlerle { a } ve { } b de birer Cauchy dizileridir. Reel sayıları tamlığıda dolayı lim a = a, limb = b ve limc = c olacak biçimde a, b ve c reel sayıları vardır. x= ai+ bj+ ck alalım. x x olsu. w= si+ tj+ uk 3 ü bir elemaı olsu. lim i j k x x w = lim det a a b b c c s t u = lim u b b t c c + s c c u a a + t a a s b b = 0 olur. Çükü lim a = a, limb = b ve limc uzayıdır. = c dir. Böylece ( 3,, ) bir -Baach 6

33 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN Örek 3..3: Rasyoel sayılar üzeride, tüm katsayıları rasyoel ola, üç boyutlu Öklid vektör uzayı 3 Q olsu. 3 Q de, u Örek 3.. deki gibi taımlası. x kk+ = 0 i alısı. x xm, i 0 k= 0 = dır. Gerçekte > m içi, o halde, olur.böylece, kk k k+ m + x x = 0 i 0 i m x = k= 0 k= 0 k= m+ 0 k k+ xm = 0 k= m+ i k k+ i j k x x i = = kk+, det m k= m+ 0 0 Bu yüzde o halde, lim x x, i = 0 dır. m, m i j k 0 0 kk+, det m k= m+ x x j = k k+ = 0. k = x x k = x x k= m+ m m lim x x, j = lim x x = lim 0 m m m, m, m, k = m + ( m )( m ) kk lim 0 K 0 0 m, = + + = 7

34 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN olur. Böylece lim x x, j = 0 elde edilmiş oldu. i ve j m, olduğuda { x } biçimde bir m 3 Q de bir Cauchy dizisi olur. Varsayılsı ki 3 x= ai+ bj+ ck Q olsu. Böylece lim, lim det 0 m, 3 Q de lieer bağımsız x x olacak lim x x, j = 0 olur, çükü i j k k k+ x x j = a b c k= 0 dır. Burada açıkça c = 0 olmalıdır. Böylece 0 0 k k+ lim 0 a c 0 k= 0 = + = k k+ lim 0 = k = 0 kk+ 0 = K k= 0 a olur. Burada, yazıldığıda açıkça görülür ki kk ( + ) 0 dizisi reel sayılarda bir irrasyoel sayıya k= 0 yakısar. Bu durumda a bir irrasyoel sayı olmalıdır. 3 Q rasyoel sayılar üzeride taımladığıda bu durum imkasızdır. Böylece Gähler (964) göstermiştir ki, B, bazı {, } 3 Q bir -Baach uzayı değildir. e e ola bir -ormlu vektör uzayı ise ab, B içi a= αe+ αeve b= βe+ βeike -ormu, biçimide taımlaır. ab, = αβ αβ. e, e (*) Teorem 3..: Üzeride taımladığı cisim tam ola boyutlu her -ormlu vektör uzayı bir -Baach uzayıdır. İspat: B, bazı { e, e } ola bir -ormlu vektör uzayı olsu. { } x B de bir Cauchy dizisi olsu. Böylece B de lim x x, a = 0 ve m, m lim x x, b = 0 m, m 8

35 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN olacak biçimde lieer bağımsız a ve b vektörleri vardır. x = x e+ xe, a= ae + ae ve b= be + be olsu. Böylece (*) da, olur. Bezer olarak yie (*) da, x x, a = x x e + x x e, ae + ae m m m = a x x a x x. e, e m m x x, b = b x x b x x. e, e m m m yazılır. Bu ifadelerde e ile e lieer bağımsız olduklarıda e, e 0 dır. Böylece, m, lim a x x a x x = 0 m m ve elde edilir. Burada, ve m, lim b x x b x x = 0 m m lim a x x a x x = 0 m m m, lim b x x b x x = 0 m m m, olur. Birici eşitlik b ile çarpılırsa, ve ikici eşitlik de a ile çarpılırsa, lim ab x x ab x x = 0 m m m, lim ab x x ab x x 0 + = m m m, elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tafra topladığıda, m, ( ab ab )( x x ) lim = 0 m 9

36 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN a b olur. Burada ab ab = 0olması halide = olacaktır ki bu durum a ile b i a b lieer bağımsız olmasıda dolayı imkasızdır. Bu durumda lim x xm = 0 olacaktır ve buda dolayı { x } bir reel Cauchy dizisidir. Ayrıca, lim a x x a x x = 0 m m m, m, ve lim b x x b x x = 0 m m m, eşitlikleride, birici eşitlik b ile çarpılırsa, ve ikici eşitlik de aile çarpılırsa, lim ab x x ab x x = 0 m m m, lim ab x x ab x x 0 + = m m m, elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tafra topladığıda, m, ( ab ab )( x x ) lim = 0 m olur. Burada ab ab 0 olduğuda lim x xm = 0 olacaktır ve buda dolayı { x } de bir reel Cauchy dizisidir. { x } ve { } m, x reel Cauchy dizileri olduklarıda lim x = y ve lim x = y olacak biçimde y ve y reel sayıları vardır. x ye ye = + olsu. x varsayalım. c= ce + ce B i bir elemaı olsu. Böylece (*) kullaılırsa, lim x xc, = lim x y e + x y e, ce + ce = lim c x y c x y. e, e x olduğuu olur. Burada lim x = y ve lim x = y olduğuda dolayı lim x xc, = 0 olur. Böylece x x olur. Bu durumda B bir -Baach uzayıdır. 30

37 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN Teorem 3..3: B, bir -ormlu vektör uzayı olsu. Eğer ise, o zama { x xd, } İspat: olur ve burada, elde edilir. Bezer olarak, veya olur ve böylece (* ) ve (* ) de, dizisi her x B içi yakısak bir dizidir. x xd, = x x + x xd, m m x x, d + x xd, m m x xd, xm xd, x xm, d ( ) x xd, x xd, x x, d m m x xm, d x xd, xm xd, ( ) x xd, x xd, x x, d m m lim x x, d = 0 m, m buluur. Burada lim x x, d = 0 olduğuda, m, m lim x xd, x xd, = 0 m, olur. Buu soucu olarak { x xd, } yüzde { x xd, } m dizisi bir gerçel Cauchy dizisi olur ve bu dizisi yakısak bir dizidir. Bu yakısaklık x de bağımsızdır. Teorem 3..4: Eğer lim x xd, = 0 ise lim x, d = xd, dir. İspat: olur ve burada, elde edilir. Bezer olarak, x, d = x x+ xd, x xd, + xd, x, d xd, x xd, (*) 3

38 3. -BANACH UZAYI Serka ÖKTEN veya buluur. Böylece (*) ve (**) da, xd, x, d x xd, x xd, x, d xd, (**) x, d xd, x xd, elde edilir. Eşitsizliği her iki tarafıı limiti alıdığıda, lim x xd, = 0 olduğuda, lim x, d xd, = 0 olur. Böylece lim x, d = xd, buluur. Ek olarak eğer hipotezde d = x alıırsa lim x, x = xx, = 0 olduğu görülür. 3

39 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER 4. Sıırlı Lieer -Foksiyoel Taım 4..: A ve C, -ormlu bir vektör uzayıı lieer maifoldları olsu Taım kümesi A C ola reel değerli bir foksiyoa bir -foksiyoel deir. Taım 4..: F, taım kümesi A C ola bir -foksiyoel olsu. Eğer F, i) F( a cb, d) F( ab, ) F( ad, ) F( cb, ) F( cd, ) ii), + + = + + +, αβ cismi elemaları olmak üzere F( αa, βb) αβ F( ab, ) koşullarıı sağlıyorsa F ye bir lieer -foksiyoel deir. =, Taım 4..3: F, taım kümesi D( F ) ola bir lieer -foksiyoel olsu. Her ( ab, ) D( F) içi F( ab) sıırlıdır deir. Eğer F sıırlı ise F i ormu,, K ab, olacak biçimde bir K reel sayısı var ise F ye { } F = if K : F ab, K ab,, ab, D F biçimide taımlaır. Eğer F sıırlı değil ise F =+ biçimide taımlaır. Örek 4..: B, bazı {, } a e e = α + α ve b βe βe e e ola bir -ormlu vektör uzayı olsu. = + ike F( ab, ) αβ αβ Ayrıca c= ve + ve ve d = δe+ δeolsu. dir. ( +, + ) = ( α + )( β + δ ) ( α + )( β + δ ) F a cb d v v = biçimide taımlası. = αβ + αδ + vβ + vδ αβ αδ v β v δ ( αβ αβ ) ( αδ αδ ) ( vβ vβ) ( vδ vδ) F( ab, ) F( ad, ) F( cb, ) F( cd, ) = = (, ) F αa βb = αα ββ αα ββ ( αβ ) F( ab, ) = αβ αβ = αβ 33

40 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN dir. Böylece F, bir lieer -foksiyoeldir. Bazı {, } e e ola bir -ormlu vektör uzayıda -orm, ab, = αβ αβ. e, e biçimide olduğu bilimektedir. Burada, olur ve αβ αβ = e, e ab, (, ) = F ab αβ αβ eşitliğide yerie yazılırsa F( ab, ) = ab, e, e elde edilir. F( xy, ) K e, e olduğuda F, sıırlı bir lieer -foksiyoeldir. Örek 4..: (,, 3 ) E Örek 3.. de taımlaa -Baach uzayı olsu. = xy g biçimie taımlası. Burada g, vektör aalizideki skaler çarpımı göstermektedir. F bir sıırsız lieer -foksiyoeldir. Gerçekte: dir. ( +, + ) = ( + ) g( + ) F a cb d a c b d = ab g + ad g + cb g + cd g (, ) (, ) (, ) (, ) = F ab + F ad + F cb + F cd (, ) F αa βb = αagβb = αβ = αβ ( ab g ) F( ab, ) dir. x= ai+ bj+ ck ve y = di+ ej+ fk içi xy g = ad + be+ cf dir. Burada F( xy, ) = ad + be+ cf dir. xy, = x y = ( bf ce) + ( cd af ) + ( ae db) 34

41 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN olduğuda sıırlılık sağlaacak biçimde bir K 0 sayısı buluamaz. a, a ı uzuluğuu gösteriyor ike G xy, x y xy = g biçimide taımlaa G ise a b ab g = a b olduğuda dolayı bir sıırlı lieer -foksiyoeldir. Gerçekte: dir. (, ) G xy = x y xy ( a b c )( d e f ) ( ad be cf ) = = ad + ae + a f + bd + be + b f + cd + ce + c f ad be c f adbe adcf becf = ae + a f + bd + b f + cd + ce adbe adcf becf xy, = x y = bf ce + cd af + ae db dir. Böylece = b f + ce bfce+ cd + a f cdaf + ae + db aedb G xy, = xy, =. xy, olup K = dir. Lemma 4..: Eğer F, bir sıırlı lieer -foksiyoel ve ( ab, ) D( F) a ile b lieer bağımlı ise F( ab, ) = 0 dır. İspat: F sıırlı olduğuda her ( xy, ) D( F) içi ile b lieer bağımlı olduğuda ab, = 0 dir. Böylece olur. Böylece F( ab, ) = 0 olarak buluur. olsu. F ab, F.0= 0 ike F xy, F xy, dir. a Teorem 4..: F, taım kümesi D( F ) ola bir sıırlı lieer -foksiyoel 35

42 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN dir. içi, { } F( xy, ) xy ( xy) D( F) F = sup F xy, : xy, =, xy, D F = sup :, 0,, xy, { } İspat: A= sup F( xy, ) : xy, =, ( xy, ) D( F) olsu. Her ( xy, ) D( F) F xy, F xy, olduğuda A F (*) olur. Varsayalım xy, 0 olsu. Burada, x xy,, y = olduğuda dir. Böylece her ( xy, ) D( F) x F, y A xy, içi, 0 xy ike F( xy), Axy, dir. Eğer xy=, 0 ise taımda dolayı x ile y lieer bağımlıdır ve Lemma 4.. de dolayı F( xy, ) = 0 olur. Böylece her ( xy, ) D( F) içi F( xy), Axy, dir ve burada F A (**) dır. O zama (*) ve (**) da F = A buluur. (, ) F xy C = sup : xy, 0, ( xy, ) D( F) xy, ( xy, ) D( F) içi xy, 0 ike olsu. F i taımıda, her 36

43 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN (, ) F xy xy, F dir. Böylece her iki tarafı sup u alıdığıda C F (* ) elde edilir. Lemma 4.. ve C i taımıda her ( xy, ) D( F) F xy, C xy, olur. Böylece içi F C (* ) dir. O halde (* ) ve (* ) de F = C olur. Souç olarak F = A= C buluur. Taım 4..4: F, bir lieer -foksiyoel ve ( ab, ) D( F) olsu. Verile bir ε > 0 içi a cb, < δ ve cb, d < δ veya a cd, < δ ve ab, d < δ ike (, ) (, ) F ab F cd < ε olacak biçimde bir 0 δ > var ise F, (, ) ab de süreklidir deir. Eğer F taım kümesii her bir oktasıda sürekli ise F süreklidir deir. Teorem 4..:, bir sürekli -foksiyoeldir. İspat: olur. Burada elde edilir. Ayrıca ab, = a c + cb, a cb, + cb, = a cb, + c, b d + d a cb, + cb, d + cd, ab, cd, a cb, + cb, d (*) cd, = c, d b + b cd, b + cb, = cd, b + c a + ab, cd, b + c ab, + ab, 37

44 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN olur. Burada ise elde edilir. Bu ifade düzeleir ise cd, ab, a cb, + cb, d ab, cd, a cb, + cb, d (**) olur. Böylece (*) ile (**) da ve mutlak değer taımıda buluur. Şimdi ε > 0 verildiğide ε ε cb, d < δ = ve a cb, < δ = ike buluur. Böylece, süreklidir. ab, cd, cb, d + a cb, ε δ = seçilirse Taım 4..4 e göre ε ε ab, cd, + = ε Teorem 4..3: F, taım kümesi D( F ) ola bir lieer -foksiyoel olsu. Eğer F, ( 0,0 ) da sürekli ise D( F ) i her oktasıda süreklidir. İspat: F lieer olduğuda F ( 0,0) = 0 dır. F, ( 0,0 ) da sürekli olduğuda herhagi bir ( cd, ) D( F) içi verile bir ε > 0 sayısı içi cd, < δ ike (, ) F cd ε < olacak biçimde bir 0 δ > vardır. ( ab, ) D( F) olsu. Bu durumda a xb, < δ ve xb, y < δ ike (, ) (, ) = (, ) (, ) + (, ) (, ) F( ab, ) F( xb, ) + F( xb, ) F( xy, ) = F( a xb, ) + F( xb, y) F ab F xy F ab F xb F xb F xy ε ε + = ε olur. Böylece F, ( ab, ) de süreklidir. 38

45 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN sıırlıdır. ab, Teorem 4..4: F bir lieer -foksiyoel olsu. F süreklidir acak ve acak F İspat: F i sürekli olduğu kabul edilsi. Bu durumda ( ab, ) D( F) < δ ike F( ab, ) < olacak biçimde bir 0 δ > vardır. ( cd, ) D( F) içi içi c ve c δ d lieer bağımsız ike, d cd, ele alısı. c δ olur. Böylece F, d < cd, ab, δ < ike F( ab, ) cd, 0 δ = < olur ve böylece c δ, d = δ cd, = δ cd, cd, dir. Burada F( cd), < cd, olur. Bu durumda δ < olacak biçimde bir δ vardır. c ile d lieer bağımlı ise F cd, = 0 dır. Böylece F sıırlıdır. F i sıırlı olduğu kabul edilsi. Her ( xy, ) D( F) içi F( xy), < K xy, olacak biçimde bir K 0 sayısı vardır. Verile bir ε > 0 içi xy, < δ ike ε δ = K + olsu. ε F( xy, ) K xy, < K <ε K + dir. Böylece F, ( 0,0 ) da süreklidir ve Teorem 4..3 de dolayı F süreklidir. Taım 4..5: B, bir -Baach uzayı ve sıırlı lieer -foksiyoelleri kümesi olsu. * B, taım kümesi B FG, i) Her ( ab, ) B B içi F( ab, ) G( ab, ) ii) ( F G)( ab, ) F( ab, ) G( ab, ) + = +, iii) ( αf)( ab, ) αf( ab, ) olarak taımlaır. =, * B içi: = ise F = G dir, B ola tüm 39

46 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN uzayıdır. ve Teorem 4..5: Taım 4..3 ve Taım 4..5 e göre ( B *,. ) Baach İspat: ( F + G)( a+ cb, + d) = F( a+ cb, + d) + G( a+ cb, + d) = F( ab, ) + F( ad, ) + F( cb, ) + F( cd, ) + G( ab, ) + G( ad, ) + G( cb, ) + G( cd, ) = ( F( ab, ) + G( ab, )) + ( F( ad, ) + G( ad, )) ( F + G)( αa, βb) = F( αa, βb) + G( αa, βb) = αβf( ab, ) + αβg( ab, ) = αβ F( ab, ) + G( ab, ) ( F G)( ab, ) = αβ + ( F + G)( ab, ) = F( ab, ) + G( ab, ) F( ab, ) + G( ab, ) F ab, + G ab, = F + G ab,. O halde * F + G B ve F+ G F + G dir. Bezer olarak * α F B dır. Böylece * B bir vektör uzayıdır.., { F }, * B üzeride bir orm taımlar çükü: ) Eğer F = 0 ise F = 0, eğer F = 0 ise F = 0 dır. ) αf = α F. 3) F+ G F + G. * B da bir Cauchy dizisi olsu. Böylece lim F F = 0 m, m ve F ab, F ab, F F ab, m m 40

47 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN dir. O zama her ( ab, ) B B içi { (, )} Ayrıca, (, ) lim (, ) F ab = F ab biçimide taımlası. ( +, + ) = lim ( +, + ) F a cb d F a cb d = lim F a+ cb, + d Bu yüzde F, bir lieer -foksiyoeldir. F ab bir reel Cauchy dizisidir. = lim F ab, + F ad, + F cb, + F cd, = lim F ab, + lim F ad, + lim F cb, + lim F cd, = F ab, + F ad, + F cb, + F cd,. ( α, β ) = lim ( α, β ) F a b F a b ( ab) = lim αβ F, ( ab) = αβ lim F, = αβ F ab,. F Fm F Fm olduğuda { F } bir reel Cauchy dizisidir. Bu durumda { } F sıırlıdır. Böylece her içi F K olacak biçimde bir K reel sayısı vardır. (, ) = lim (, ) F ab F ab ( ab, ) ( ab) = lim F, ( ab) lim F, K buluur. O zama F * B olur. Varsayalım, 0 ab olsu. Verile bir ε > 0 içi m, > N ike Fm F < ε olacak biçimde bir N sayısı vardır. Bu yüzde, her m, > N içi 4

48 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN olur. F( ab, ) lim F ( ab, ) F ab, F ab, F F ab, m m = olduğuda olacak biçimde bir (, ) abε, F ab, F ab, < ε ab, M M = M ab > N sayısı vardır. Bu yüzde her > N içi (, ) (, ) (, ) (, ) + (, ) (, ) F ab F ab F ab F ab F ab F ab M M ε ab, + ε ab, = ab, ε dur. Eğer ab, = 0 ise a ile b lieer bağımlı olacağıda Lemma 4.. de olur ve böylece olur. Souç olarak her ( ab, ) D( F) (, ) = 0 = (, ) F ab F ab F ab, F ab, abε, ve her > N içi F ab, F ab, abε, dir. Bu yüzde F ab, F ab, F F ab, abε, buluur. Burada her > N içi F F ε uzayıdır. dur. Böylece ( *,. ) B bir Baach Sıradaki teorem, B * lieer bağımlılığa göre bir -Baach uzayıdır ifadesii alamıı açıklayacaktır. Burada * B, bir -Baach uzayı olmaı, F ve G lieer bağımlı ike FG, = 0 koşulu hariç, tüm koşullarıı sağlar. Başka deyişle F ve G lieer bağımlı olmasıa rağme FG, 0 olabilir. 4

49 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN Teorem 4..6: ( B *,, ), lieer bağımlılığa göre, FG, = F G ike bir - Baach uzayıdır. İspat: Teorem 4..5 de * B ı bir vektör uzayı olduğu biliiyor., foksiyou, * B üzeride lieer bağımlılığa göre bir -orm taımlar çükü: ) Eğer FG, = 0 ise F = 0 veya G = 0 dır; böylece F ve G lieer bağımlıdır. Fakat F = 0 veya α = 0 olmadıkça F, α F sıfır olamaz. ) FG, = F G = G F = GF,. 3) F, αg = F αg = F α G = α FG,. 4) Teorem 4..5 de G+ H G + H. Böylece, { } F, ( *,, ) FG, + H = F G+ H F G + H = F G + F H = FG, + F, H. B da bir Cauchy dizisi olsu. Böylece * B da lim F F, G = 0 ve m, m lim F F, H = 0 olacak biçimde lieer bağımsız G ve m, H elemaları vardır. Teorem 4..5 deki ayı yaklaşımlarla, { } m F, ( *,. ) B de bir yakısak dizidir ve buda dolayı ( B *,, ) uzayıda da yakısaktır. Böylece ( B *,, ), lieer bağımlılığa göre bir -Baach uzayıdır. Eğer ( B *,, ), F ile G lieer bağımlı ike FG, = 0 ve F ile G lieer bağımsız ike FG, = F G olacak biçimde yeide taımlaacak olursa, o zama ( B *,, ) uzayı, FG, + H FG, + F, H 43

50 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN özelliği, F ile G lieer bağımlı ve F ile H lieer bağımsız olması koşullarıı göz öüe alıması halide daima doğru olmaması dışıda -Baach uzayıı özelliklerii sağlar. Ayrıca belirtilmeli ki Gähler (964), eğer ( L,. ) uzayı bir lieer ormlu uzay ise o zama L üzeride bir -orm taımlaabileceğii ispatlamıştır. Buula beraber L bir Baach uzayı olmadığı zama L i bir -Baach uzayı olup olmadığı ispat gerektirir. Notasyo: B bir -ormlu vektör uzay ve b B olsu. [ b ] sembolü, b tarafıda doğrulmuş lieer maifoldu gösterir. Sıradaki teorem foksiyoel aalizdeki Hah-Baach teoremii bezeridir. Teorem 4..7: B bir -Baach uzayı ve M ile [ b ], B de lieer maifoldlar olsular. F, taım kümesi M [ b] ola bir sıırlı lieer -foksiyoel olsu. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde, taım kümesi B [ b] bir lieer -foksiyoel vardır: i) Her ( a, αb) M [ b] içi H( a, αb) F( a, αb) ii) H = F. İspat: g B M i elemaları olsular. dır. Bu yüzde =. olsu. N { α βg: α M, β keyfi} (, ) (, ) = (, ) F a b F a b F a a b ola H gibi = + olsu. a ve a M F a a, b ( ) ( ) = F a + g a + g, b F a + g, b + F a + gb, () F a + gb, F( a, b) F a + gb, F( a, b) dir. a ve a, M de değişkeler olsular. Böylece 44

51 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN { ( )} S = sup F a + gb, F a, b a M { ( )} if F a + gb, F a, b = I a M dir. r sayısı S r I koşuluu sağlaya herhagi bir sayı olsu. a = a = a alısı. Bu durumda () eşitsizliği, F a+ gb, F ab, r F a+ gb, F ab, olur. Burada her terime F( ab, ) ekleirse elde edilir. Böylece () buluur. F a+ gb, r+ F ab, F a+ gb, F ab, + r F a+ gb, G foksiyou, N [ b] biçimide taımlası. üzeride, (, ) (, ) G a+ βg αb = αf ab + αβr ( + β + + β, α + α ) = ( + ) + ( β+ β),( α+ α) = ( α+ α) ( +, ) + ( α+ α)( β+ β) = αf( a, b) + αf( a, b) + α F( a, b) + α F( a, b) G a g a g b b G a a g b F a a b r + αβ r+ αβ r+ αβ r+ αβr ( αf( a, b) ) + (, ) + ( (, ) ) (, ) G( a βg, αb) G( a βg, αb) + G( a + β g α b) + G( a + β g α b) = + αβ r α F a b αβr + α F a b + αβ r + α F a b + αβr = + + +,,. ( δ ( + β ), εα ) = ( δ + δβ, εα ) = (, ) + = εδ αf( ab, ) + αβ = εδg( a+ βg, αr). G a g b G a g b αεf δab αεδβ r ( r) 45

52 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN Böylece G, F i geişletilmişi ola, bir lieer -foksiyoeldir. Gerçekte, β 0 ike () de a yerie a β yazılırsa, a a F, b + r F + gb, β β elde edilir. Burada eşitsizliği her iki tarafı β ile çarpılırsa, tüm β lar içi buluur. olur ve burada (* ) de dolayı (, ) + β + β, (* ) F ab r F a gb (, ) (, ) α F( ab, ) G a+ βg αb = αf ab + αβr buluur. Böylece G sıırlıdır ve G = + βr G a+ βg, αb α F a+ βgb, = F a+ βg, αb (* ) F dir. Çükü: { ( β α ) β α } G = if K : G a+ g, b K a+ g, b dir. (* ) eşitsizliğide K = F olur. Böylece if de dolayı G F olur. Buula beraber G i N [ b] [ b] M üzeride, olduğuda dolayı G üzerideki taımıda β = 0 alıırsa, o zama G( a, αb) = F( a, αb) G a+ 0 g, αb = αf ab, + α0r = F ve dolayısıyla G = F olur. Şimdi ise N, bir lieer maifold ve G, taım kümesi N [ b] ola sıırlı bir lieer -foksiyoel ike { NG, } ikilisi göz öüe alısı. { NG, } { N, G } < dir acak ve acak N N ve G = G olacak biçimde G, G i bir 46

53 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN geişletilmişidir. T, { M, F} < { NG, } olacak biçimde {, } NG i bir sııfı olsu. Burada T, < bağıtısı ile kısmi olarak sıralıdır. L, T i bir sıralı alt kümesi olsu. K = U N içi L, T de bir maksimal elemaa sahiptir ve I( a, α b) foksiyoeli, G, N L a yı kapsaya bir N L üzeride taımlı ike, G( a, α b) ye eşittir. Böylece Zor Lemmasıa göre T, { AH, } biçimide bir maksimal elema içerir. A yukarıdaki savlarla B de taımlı olacak biçimde geişletilebilir. = B değil ise, H Souç 4..: B, bir -Baach uzayı ve M ve [ b ] ise B de birer lieer maifold olsular. F, taım kümesi [ b] olsu. Bu durumda ) Her ( βba, ) [ b] M içi H( βba, ) = F( βba, ) ) H = F koşullarıı sağlaya ve taım kümesi [ b] vardır. M ola bir sıırlı lieer -foksiyoel B ola bir sıırlı lieer -foksiyoel H Teorem 4..8: B, bir -Baach uzayı ve a ile b B i lieer bağımsız elemaları olsular. Bu durumda taım kümesi [ b] foksiyoel F ve taım kümesi [ a] öyle ki F G = = ve F( ab, ) F ab, G( ab, ) İspat: F, [ a] [ b] olarak taımlası. üzeride B ola bir sıırlı lieer - B ola bir sıırlı lieer -foksiyoel G vardır = = dir. F αa, βb = αβ ab, ( α +, β + δ ) = ( α + ),( β + δ) = ( α + v)( β + δ) ab, = ( αβ + αδ + β + δ) F a va b b F v a b = αβ ab, + αδ ab, v v ab, + vβ ab, + vδ ab, 47

54 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN ve dir. ( α, β ) ( α, δ ) (, β ) (, δ ) = F a b + F a b + F va b + F va b ( δα, εβ ) = ( δε)( αβ ), = δεf( αa, βb) F a b ab F αa, βb = αβ ab, =. αa, βb dir. Böylece F bir sıırlı lieer -foksiyoeldir ve F = dir. Teorem 4..7 ile F, [ b] B ye geişletilebilir. Bezer yaklaşımlar G içide doğrudur. olsu. F dir. Teorem 4..9: ( B,, ), { e i} i B olsu. Bu durumda, = bazı ile -boyutlu bir -ormlu vektör uzayı F e e = F e e αi i, β j j ( αβ i j αβ j i) ( i, j) i= j= i, j= i< j İspat: B, taım kümesi B B ola sıırlı lieer -foksiyoeller uzayı olduğuda F, bir sıırlı lieer -foksiyoeldir. Bu durumda olduğuda burada dir. ( i j i j) ( j i) ( i j) 0 = F e + e, e + e = F e + e + F e + e ( i, j) = F( ej, ei) F e e F αe, β e = F α e α e, eβ e β = αβ F e e + + i i j j i= j= (, )... αβf( e, e) F( e, e )... αβf( e, e) F( e e ) αβf( e e ) + αβ αβ, , 48

55 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN = i= j= (, ) ( αβ i j αβ j i) F( ei, ej) i, j= i< j αβ = F e e i j i j olur. Bu durum olmasıı gerektirir. B, bazı {, } (, ) = F( ba, ) F ab e e ola bir -Baach uzayıı, * B ise taım kümesi B B ola sıırlı lieer -foksiyoelleri kümesii göstersi. Souç 4..: Eğer * F B ise o zama F = (, ) F e e e, e dir. İspat: ( α + α, β + β ) = αβ αβ (, ) F( e, e ) F e e e e F e e = αβ αβ e, e (, ) e, e F e e = α e + α e, β e + β e e, e dir. Bu yüzde F = (, ) F e e e, e olur. * Souç 4..3: Eğer F B { 0} ise o zama (, ) F ab, B üzeride bir - orm taımlar. 49

56 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN (N): İspat: ( α + α, β + β ) = αβ αβ (, ) F e e e e F e e ifadesii sıfıra eşit olabilmesi içi gerek ve yeter koşul αe+ αeve βe+ βe α α ifadelerii lieer bağımlı olmasıdır. Bu durumda = olur ve böylece β β αβ αβ 0 = dır. (N): Teorem 4..9 u soucuda F( ab, ) F( ba, ) = olduğu biliiyor. Bu durumda elde edilir. (N3): (, ) = F( ba, ) = F( ba, ) = F( ba, ) F ab (, β ) = β (, ) = β F( ab, ) F a b F ab (N4): (, + ) = (, ) + (, ) F( ab, ) + F( ac, ) F ab c F ab F ac Souç olarak, (N)-(N4) koşulları sağladığıda, F( ab, ), B üzeride bir -orm taımlar. * Souç 4..4: F B { 0} olsu. ( ab) = F( e, a) F( e, b) + F( ae, ) + F( be, ) bağıtısı B üzeride bir iç çarpım taımlar. İspat: a= αe+ αeve b= βe+ βeolsu. Teorem 4..9 da 50

57 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN ( ab) F( e, a) F( e, b) F( ae, ) F( be, ) ( αβ αβ ) = + + = + (*) olduğuda dolayı ( ) foksiyou bir iç çarpım taımlar. Gerçekte: dir. Bu durumda (, ) (, ) = ( + 0, α + α ) ( + 0, β + β ) = ( α 0α )( β 0β ) F e a F e b F e e e e F e e e e = αβ (, ) (, ) = ( α + α,0 + ) ( β + β,0 + ) = ( α α 0)( β β 0) F ae F be F e e e e F e e e e = αβ (, ) (, ) + (, ) + (, ) = ( + ) F e a F e b F ae F be αβ αβ olur. Şimdi ise (*) bağıtısıı iç çarpımı özelliklerii sağladığı gösterelim: ( I ) : ( aa) 0, ( aa ) = 0 acak ve acak a = 0 olmalıdır. Gerçekte: ( aa) α α olur. = + dır. a = 0 ise α α 0 0 I : ( ab) ( ba) 3 olduğuda = olduğu açıktır. I :( a bc) ( ac) ( bc) = = olur ve böylece + = + olmalıdır. Burada c ( γ, γ ) aa = 00 = 0 olur. = olsu. ( a+ bc) = F( e, a+ b) F( e, c) + F( a+ be, ) F( ce, ) elde edilir. Böylece (* ) ve ( ) ( α β ) γ ( α β ) γ (* ) = ( ac) = ( αγ + αγ ) ( bc) = ( βγ + βγ ) ( ac) + ( bc) = ( αγ + αγ ) + ( βγ + βγ ) ( α β ) γ ( α β ) γ (* ) = * de ( a bc) ( ac) ( bc) + = + olur. 5

58 4. SINIRLI LİNEER -FONKSİYONELLER Serka ÖKTEN olur. 4 I : ( αab) α( ab) = olmalıdır. Gerçekte: ( αab) = F( e, αa) F( e, b) + F( αae, ) F( be, ) = αα β + αα β ( αβ ) ( ab) = α αβ + = α Souç olarak ( I ) - ( 4 ) bir iç çarpım taımlar. I özellikleri sağladığıda (*) bağıtısı B üzeride Souç 4..5: Eğer F( e, e ) = ise ( ) çarpımıa göre {, } ortaormal bazıdır. İspat: x= xe + xe olsu. x = ( xx) (, ) F( xe, ) = F e x + ( 0, ) (,0 ) = F e + e xe + xe + F xe + xe e + e (, ) (, ) = x F e e + x F e e (, ) = x + x F e e = x + x olduğuda iddiaı doğruluğu görülür. Souç 4..6: ( B,, ) bir -Baach uzayı ve (, ) uzayı olsu. Eğer (, ) = F ab ae be ae be biçimide taımlaır ise bu durumda F( ab, ) B dır. İspat: a= αe+ αeve b= βe+ βeolsu. * e e, B i bir B bir gerçel iç çarpım 5