Matematiksel modellerin elemanları

Matematiksel modellerin elemanları Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları 6. DERS 1. Karar değişkenleri: Bir karar verme durumunda ilgilenilen sistem dikkatli bir şekilde gözlemlenir ve değerleri kontrol edilebilen ve sistemin performansını etkileyen değişkenler belirlenir. Bu değişkenler yöneticilerin kontrolü altındadır ve karar değişkenleri olarak tanımlanırlar. Bir üretim sisteminde farklı ürünlerin üretilecek miktarları, bir yerden başka yere taşınacak ürün miktarı, işçi sayısı, makina sayısı vb. 2. Amaç fonksiyonu: Karar değişkenlerinin amaç üzerindeki etkilerinin analitik olarak gösterilmesiyle amaç fonksiyonu oluşturulur. 3. Kısıtlar: Sistemin içinde bulunduğu koşullardan kaynaklanmaktadır (talep kısıtları, kapasite kısıtları gibi) Spreadsheet Modeling and Decision Analysis: A Practical Introduction to Management Science by Cliff T. Ragsdale Matematiksel Programlama Matematiksel programlama yöneylem araştırmasının, amaçlara ulaşmak için sınırlı kaynakların optimal veya en etkin şekilde kullanılmasının yollarını arayan bir dalıdır. Literatürde matematiksel programlama problemleri yerine optimizasyon problemleri de kullanılmaktadır. Tek ya da çok değişkenin sayısal bir fonksiyonu ile ilgili maksimum ya da minimum değerleri araştıran problemlere optimizasyon problemleri denir. Optimizasyon modelleri, bir sistem çıktısını en iyilemek için, sistemin ilişkilerinin matematiksel ifadelerle tanımlanmış biçimidir. Optimizasyon Problemi MAX (veya MIN): f 0 (X 1, X 2,, X n ) ş.k.g.: f 1 (X 1, X 2,, X n ) <= b 1 f k (X 1, X 2,, X n ) >= b k f m (X 1, X 2,, X n ) = b m Bir optimizasyon probleminde tüm fonksiyonlar doğrusal ise, problem doğrusal programlama modelidir. Spreadsheet Modeling and Decision Analysis: A Practical Introduction to Management Science by Cliff T. Ragsdale Spreadsheet Modeling and Decision Analysis: A Practical Introduction to Management Science by Cliff T. Ragsdale Modellemeye Giriş Yrd. Doc. Dr. Ceyda GÜNGÖR ŞEN 1

Doğrusal Programlama (DP) Bir doğrusal programlama modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal fonksiyonun değerini maksimize veya minimize etmeye çalışır. y = mx + b bir doğrunun denklemidir. Örn: y = -4/3x + 6 düzenlenirse 4x + 3y = 18 (2 değişkenli doğrusal fonksiyon) Bir doğrusal fonksiyon bir pozitif, negatif veya sıfır sabitinin değişkenlerle çarpımlarının toplamıdır: Örn: 5x 1-4x 2 + 0x 3 + 6x 4 Doğrusal bir fonksiyonda x 1 2, x 1 /x 2, x 1 gibi değerler yer almaz. Doğrusal Programlama (DP) Doğrusal programlama, kaynakların optimal dağılımını elde etmeye, maliyetleri minimize, karı ise maksimize etmeye yarayan bir tekniktir. Doğrusal Programlama, optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan bir yöntemdir. Doğrusal Programlama, kıt kaynakların optimum şekilde dağılımını içeren deterministik bir matematiksel tekniktir. Doğrusal programlama, iyi tanımlanmış doğrusal eşitliklerin veya eşitsizliklerin kısıtlayıcı koşulları altında doğrusal bir amaç fonksiyonunu en iyi (optimum / maksimizasyon - minimizasyon) kılan değişken değerlerinin belirlenmesinde kullanılan matematiksel programlama tekniğidir. DP Modelinin Yapısal Unsurları 1. Amaç fonksiyonu Karar vericinin ulaşmak istediği hedef doğrusal bir denklem ile açıklanır. Amaç fonksiyonu olarak bilinen bu denklem, karar değişkenleri ile karar vericinin amacı arasındaki fonksiyonel ilişkiyi gösterir. Z enk/enb = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n 2. Kısıtlayıcı fonksiyonlar (kısıtlayıcılar/kısıtlar) Karar değişkenleri ve karar değişkenleriyle parametrelerin birbirleriyle olan ilişkilerinde sağlanması zorunlu olan ilişkilerin matematiksel olarak açıklanmasıyla elde edilen denklemlere kısıtlayıcı fonksiyonlar denir. Kısıtlayıcıların değerleri kesin olarak önceden belirlenmiş olup sistemin tanımlanmasında kullanılır. Kısıtlayıcı fonksiyonlar sadece kaynakların sınırlarını değil, gereksinim ve yönetim kararlarını ifade etmekte de kullanılır. a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n = b 2 DP Modelinin Yapısal Unsurları 3. Negatif olmama koşulları Karar değişkenlerinin değerleri negatif olmaz. x 1, x 2,..., x n 0 veya kısaca x j 0 (j = 1, 2, 3,, n) 4. Karar değişkenleri Karar vericinin denetimi altında olan niteliklere karar değişkenleri denir. Bunlar modele ilişkin bilinmeyenler olup değerleri modelin çözümünden sonra belirlenir. Bu değişkenler karar vericinin denetimi altında olduklarından bunlara kontrol değişkenleri de denir. x j : Belirli bir zaman döneminde j. ürünün üretim miktarı veya faaliyet düzeyi. j=1, 2, 3,, n : Ürün çeşidi, faaliyet sayısı. a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n = b m Modellemeye Giriş Yrd. Doc. Dr. Ceyda GÜNGÖR ŞEN 2

11/11/11 DP Modelinin Yapısal Unsurları (Devam) 5. Parametreler Alabileceği değerlerde karar vericinin hiçbir etkisi olmayan niteliklere parametre veya kontrol dışı değişkenler denir. Belirli koşullarda belirli değerler alan parametreler problem için veri durumundadır. DP Modelinin Genel Görünümü Amaç Fonksiyonu Zenk/enb = c1x1 + c2x2 +... + cnxn Kısıtlayıcı Fonksiyonlar Cj : j. karar değişkeninin amaç fonksiyonu katsayısı (parametre) - (birim kar, birim fiyat, birim maliyet vs.). a11x1+a12x2+...+a1nxn = b1 aij : j. üründen bir birim üretmek için i. kaynaktan tüketilen kaynak miktarı veya girdi katsayısı bi : n sayıdaki ürün için elde bulunan i. sınırlı kaynak miktarı. i = 1, 2, 3,, m: Üretim bölümlerinin veya üretim kaynaklarının sayısı. DP Modelinin Matris Gösterimi a21x1+a22x2+...+a2nxn = b2 am1x1+am2x2+...+amnxn = bm Negatif Olmama Koşulu x1, x2,..., xn 0 DP nin Varsayımları Amaç Fonksiyonu 1. Belirlilik (Certainity) 2. Doğrusallık (Linearity) 3. Bölünebilirlik (Divisibility) Kısıtlayıcı Fonksiyonlar 4. Toplanabilirlik (Additivity) 5. Orantısallık (Proportionality) Modellemeye Giriş Yrd. Doc. Dr. Ceyda GÜNGÖR ŞEN 3

DP nin Varsayımları 1. Belirlilik Varsayımı : Bir DP modelinde yer alan parametrelerin bilindiği ve değişmediği kabul edilir. Yani, birim başına kar ya da maliyetlerin (c j ), her faaliyet için gerekli olan kaynak miktarlarının (a ij ) ve mevcut kaynak miktarlarının (b i ) kesin olarak bilindiği varsayılır. Bu varsayımın kabul edilmesiyle DP problemlerinin çözümu kolaylaşmaktadır. Ancak, uygulamada bu parametrelerin sık sık değişme eğiliminde olması, DP de duyarlılık analizi çalışmalarının yürütülmesini gerektirmektedir. Problemin optimum çözümu elde edildikten sonra duyarlılık analizi başlığı altında parametrelerdeki değişmelerin optimal çözüm üzerindeki etkileri incelenebilir. 2. Bölünebilirlik Varsayımı : Bölünebilirlik varsayımı ile karar değişkenlerinin optimal çözüm değerlerinin kesirli değerler alabileceği kabul edilir. Örneğin herhangi bir DP modelinin optimal çözümünde 4.6 adet araba üretileceği gibi bir üretim çıktısı sonucuna ulaşılabilir. Kesirli optimal çözüm değerleri Tam Sayı Programlama algoritmalarıyla tamsayılaştırılır. DP nin Varsayımları 3. Doğrusallık Varsayımı : Bir DP modelinin amaç fonksiyonu ve kısıt denklemleri doğrusal olmalıdır. Bir başka deyişle x j ler birinci dereceden değişkenler olmalıdır. Bir işletmenin girdileri ile çıktıları arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayılır. 4. Toplanabilirlik Varsayımı : Herhangi bir değişkenin amaç fonksiyonuna katkısı, diğer karar değişkenlerinin değerlerinden bağımsızdır. Örnek olarak, Zmaks. = 3x 1 + 2x 2 şeklinde bir amaç fonksiyonu olsun. x 2 nin değeri ne olursa olsun x 1 birim ünite üretimiyle amaç fonksiyonuna her zaman 3x 1 pb. katkı yapılacaktır. Bir değişkenin her bir kısıt denkleminin sol tarafına yaptığı katkı diğer değişkenlerin değerlerinden bağımsızdır. 2x 1 + 1x 2 6 (Kısıt I) x 1 + 3x 2 9 (Kısıt II) şeklinde 2 adet kısıt denklemi olsun. x 1 in değeri ne olursa olsun x 2 birim ünite üretimi 1 birim Kaynak I ve 3 birim Kaynak II kullanımı gerektirir. DP nin Varsayımları 5. Orantısallık Varsayımı : Her bir karar değişkeninin amaç fonksiyonuna ve kısıt denklemlerinin sol tarafına yapacağı katkı karar değişkeninin değeri ile orantılıdır. Örnek olarak bir adet A tipi oyuncağın amaç fonksiyonu katkısı 0.8 TL ise dört adet A tipi oyuncağın amaç fonksiyonuna toplam katkısı bunun dört katı olan 3.2 TL (4x0.8) olacaktır. Bir adet A tipi oyuncak plastik departmanında 4 dakikada işleniyorsa, 5 adet A tipi oyuncak bunun beş katı olan 20 dakikada (4x5=20) işlenecektir. DP nin Uygulama Alanları Ulaştırma ve dağıtım kanalları Beslenme ve karıştırma problemleri Üretim planlaması Yatırım planlaması Görev dağıtımı Arazi kullanımı planlaması Kuruluş yeri seçimi Oyun teorisi Modellemeye Giriş Yrd. Doc. Dr. Ceyda GÜNGÖR ŞEN 4

DP Problemlerinin Modelinin Kurulması DP Problemlerinin modelinin kurulmasında aşağıdaki adımların izlenmesi gerekmektedir: Adım 1: Problemin anlaşılması Adım 2: Karar değişkenlerinin tanımlanması ve bunların sembolize edilmesi. Adım 3: Amacın belirlenerek amaç fonksiyonun karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonu olarak yazılması Adım 4: Tüm kısıtlamaların karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonları olarak eşitlik veya eşitsizlik olarak yazılması Adım 5: Negatif olmama koşullarının yazılması. Örnek Bir Doğrusal Programlama Problemi Bir firma iki tip jakuzi üretmektedir: Aqua Spa ve Hydro Lux. JAKUZİ AQUA SPA HYDRO - LUX Pompalar 1 1 İşçilik 9 saat 6 saat Tesisat 12 metre 16 metre Birim Kar $ 350 $ 300 Firmanın çeşitli sebeplerden dolayı 200 adet pompa, 1566 işçilik saati ve 2880 metre tesisat kısıtı bulunmaktadır. Verilen kısıtlar altında firmanın amacı mümkün olan en yüksek karı sağlayacak üretim miktarlarını belirlemektir. DP Modeli Kurarken 5 Adım 1. Problemi anla. 2. Karar değişkenlerini belirle. X 1 = Üretilecek Aqua Spa tipi jakuzi sayısı X 2 = Üretilecek Hydro Lux tipi jakuzi sayısı DP Modeli Kurarken 5 Adım - Devam 4. Karar değişkenlerinin doğrusal fonksiyonları şeklinde kısıtları yaz. 1 X 1 + 1 X 2 <= 200 } pompalar 9 X 1 + 6 X 2 <= 1566 } işçilik 12 X 1 + 16 X 2 <= 2880 } tesisat 3. Karar değişkenlerinin doğrusal bir fonksiyonu şeklinde amaç fonksiyonunu oluştur. MAX. Z = 350 X 1 + 300 X 2 5. Negatif olmama koşullarını yaz. X 1 >= 0 X 2 >= 0 Modellemeye Giriş Yrd. Doc. Dr. Ceyda GÜNGÖR ŞEN 5

DP Modeli Kurarken 5 Adım - Devam MAX. Z = 350 X 1 + 300 X 2 S.T.: 1 X 1 + 1 X 2 <= 200 9 X 1 + 6 X 2 <= 1566 12 X 1 + 16 X 2 <= 2880 X 1 >= 0 X 2 >= 0 Maksimizasyon Modeli Örneği 1 (1 / 3) Ürün karışımı problemi: Kase ve kupa üreten bir firma üretim için kil kullanmaktadır. Bir kase üretimi için 4 kg kil, bir kupa üretimi için 3 kg kil gerekmektedir. Bir kase 1 saatte, 1 kupa ise 2 saatte üretilmektedir. Çeşitli nedenlerden dolayı firmanın sağlayabildiği kil miktarı günlük 120 kg ile sınırlıdır. Günde 40 saat çalışılmaktadır. Üretilen kaselerin herbiri firmaya 40$, kupaların herbiri ise 50$ kar bırakmaktadır. Verilen işçilik ve malzeme kısıtları altında firmanın amacı mümkün olan en yüksek karı sağlayacak üretim bileşimini seçmektir. ÜRÜN KAYNAK İHTİYAÇLARI İşçilik (saat / birim) Kil (kg / birim) Kar ($ / birim) Kase 1 4 40 Kupa 2 3 50 Kaynaklar 40 saat / gün 120 kg Maksimizasyon Modeli Örneği 1 (2 / 3) Maksimizasyon Modeli Örneği 1 (3 / 3) Kaynaklar: Günde 40 saat işçilik Karar Değişkenleri: Amaç Fonksiyonu: Kaynak Kısıtları: Negatif olmama Kısıtları: 120 kg kil x 1 = günlük üretilecek kase sayısı x 2 = günlük üretilecek kupa sayısı Maximize Z = $40x 1 + $50x 2 1x 1 + 2x 2 40 saat işçilik 4x 1 + 3x 2 120 kg kil x 1 0 ; x 2 0 Maximize Z = $40x 1 + $50x 2 subject to: 1x 1 + 2x 2 40 4x 1 + 3x 2 120 x 1, x 2 0 Modellemeye Giriş Yrd. Doc. Dr. Ceyda GÜNGÖR ŞEN 6

Fizibil Çözüm Fizibil Olmayan Çözüm Bir fizibil çözüm hiçbir kısıtı bozmaz (ihlal etmez). Örn: x 1 = 5 kase x 2 = 10 kupa Z = $40x 1 + $50x 2 = $700 İşçilik kısıtı kontrolü: 1(5) + 2(10) = 25 < 40 saat, Kil kısıtı kontrolü: 4(5) + 3(10) = 70 < 120 kg Fizibil olmayan bir çözüm kısıtlardan en az birini ihlal etmektedir. Örn: x 1 = 10 kase x 2 =20 kupa İşçilik kısıtı kontrolü: 1(10) + 2(20) = 50 < 40 saat Maksimizasyon Modeli Örneği 2 (1 / 2) Mügesüt şirketi kapasite sorunu yüzünden günde 120.000 kg. dan daha çok süt işleyememektedir. Yönetim, yağ veya işlenmiş süt için kullanılan sütün dengelenmesi için peynir fabrikasında en az 10.000 kg. lık günlük süt kullanmak istemektedir. Bir kg. sütün yağ üretimi için kullanıldığında, kara katkısı, 4 TL., şişe sütü olarak kullanıldığında katkısı 8 TL. ve peynir üretimi için kullanıldığında ise katkısı 6 TL. dir. Yağ bölümü günde 60.000 kg., süt şişeleme donanımı günde 40.000 kg., peynir donanımı ise günde 30.000 kg. süt işleyebilir. Şirket karını maksimize etmek istediğine göre problemi doğrusal programlama modeli olarak ifade ediniz. Maksimizasyon Modeli Örneği 2 (2 / 2) Karar Değişkenleri x 1 = Yağ yapımında kullanılan süt miktarı (kg) x 2 = Şişelemede kullanılan süt miktarı (kg) x 3 = Peynir yapımında kullanılan süt miktarı (kg) İşletmenin karını maksimize edecek amaç fonksiyonu; Maksimum z = 4x 1 + 8x 2 + 6x 3 Kısıtlar ise; x 3 10.000 x 1 60.000 x 2 40.000 x 3 30.000 x 1 + x 2 + x 3 120.000 Negatif Olmama Koşulu; x 1, x 2, x 3 0 Modellemeye Giriş Yrd. Doc. Dr. Ceyda GÜNGÖR ŞEN 7

Minimizasyon Modeli Örneği 1 (1 / 3) Problem : 1000 gr malzeme içeren sandviç Malzemeler: İki çeşit, tavuk ($3/gr) ve biftek ($5/gr) Tarif gereksinimi: en az 500 gr tavuk en az 200 gr biftek Tavuğun bifteğe oranı en az 2 ye 1 olmalı. Maliyetleri minimize edecek optimal malzeme karışımını belirleyiniz. Minimizasyon Modeli Örneği 1 (2 / 3) Adım 1: Karar değişkenlerini tanımla. x 1 = tavuk (gr) x 2 = biftek (gr) Adım 2: Amaç fonksiyonunu belirle. Minimize Z = $3x 1 + $5x 2 $3x 1 = tavuk maliyeti $5x 2 = biftek maliyeti Minimizasyon Modeli Örneği 1 (3 / 3) Adım 3: Model kısıtlarını tanımla. x 1 + x 2 = 1,000 gr x 1 500 (tavuk gramı kısıtı) x 2 200 (biftek gramı kısıtı) x 1 / x 2 2 / 1 veya x 1 2 x 2 0 (tavuk-biftek oranı kısıtı) x 1, x 2 0 Model: Minimize Z = $3x 1 + $5x 2 subject to: x 1 + x 2 = 1,000 x 1 500 x 2 200 x 1 2x 2 0 x 1, x 2 0 Minimizasyon Modeli Örneği 2 (1 / 2) İnci kimya firması X ve Y gibi iki tip kimyasal madde üretmektedir. 1 litre X ürününün maliyeti 160 TL., 1 litre Y ürününün maliyeti ise 240 TL. dir. Müşteri talebine göre, firma, gelecek hafta için en az 6 litre X ve en az 2 litre Y ürünu üretmelidir. X ve Y kimyasal ürünlerinde kullanılan hammaddelerden birisinin sunumu azdır ve sadece 30 gr. sağlanabilmektedir. X ürününün bir litresinde bu hammaddeden 3 gr. ve Y nin litresinde de 5 gr. gerekli olmaktadır. İnci firması, toplam maliyetini minimize etmek için X ve Y ürünlerinden kaçar litre üretmesi gerektiği konusunda çok büyük bir kararsızlık içerisine girmiştir. Bu soruyu yanıtlayacak modeli kurunuz. Modellemeye Giriş Yrd. Doc. Dr. Ceyda GÜNGÖR ŞEN 8

Minimizasyon Modeli Örneği 2 (2 / 2) Problemde karar değişkenleri, x 1 = Üretilecek X ürününün miktarı (litre) x 2 = Üretilecek Y ürününün miktarı (litre) Minimize edilmek istenen toplam maliyet 160 x 1 + 240 x 2 dir. İstenen gerekli minimum miktar ise x 1 6 ve x 2 2 dir. Hammadde kısıtlayıcısı ise 3 x 1 + 5 x 2 30 dur. Böylece minimizasyon modeli şöyle olacaktır. Min. z = 160 x 1 + 240 x 2 x 1 6 x 2 2 3 x 1 + 5 x 2 30 x 1, x 2 0 Modellemeye Giriş Yrd. Doc. Dr. Ceyda GÜNGÖR ŞEN 9