STATIK VE MUKAVEMET 3. Rijit cisimlerin dengesi, Denge denklemleri, Serbest cisim diyagramı Yrd. Doç. Dr. NURHAYAT DEĞİRMENCİ
Rijit Cisimlerin Dengesi Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel kavramları ele alınacaktır: Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması Rijit cisimler için serbest cisim diyagramı çizilmesi Denge denklemlerini kullanarak, rijit cisimlerin denge problemlerinin çözülmesi Denge, hem ivmeli hareketle cismin ötelenmesini önlemek için kuvvetlerin dengesini, hem de cismin dönmesini önlemek için momentlerin dengesini gerektirir.
RİJİT CİSİMLERİN DENGESİ Kuvvet etkisindeki bir konstrüksiyon (yapı), rijit bir cisim gibi hareket etmiyorsa dengededir Rijit cismin hareketi, ötelenme yada dönmedir veya ikisinin birleşimi şeklinde olabilir. Yapının dengede kalabilmesi için, yapıyı döndürmeye veya ötelemeye sebep olan kuvvet mesnet noktalarındaki tepki kuvvetleri ile dengelenmelidir.
İki boyutlu bir yapının herhangi bir yönde hareket etmemesi için gerekli olan şart, o yapının birbirine dik herhangi iki yönde hareket etmemesi şeklinde tanımlanabilir. Normal olarak (şart olmamak koşulu ile) bu yönler yatay ve dikey alınır. Yapıya herhangi bir yönde kuvvet etki etmez ise yapı o yönde harekete zorlanmaz. Bundan dolayı yatay yönde herhangi bir hareket olmaması için o yönde etki eden bütün kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır (ΣFx= 0). Benzer şekilde, dikeyde hareket olmaması için (ΣFy= 0) olmalıdır. Bir yapının düzlem içinde dönmeme şartı, o yapının bir eksende dönmemesi ile belirlenir. Böylece, düzlemin herhangi bir noktasında kuvvetlerin bileşke momentinin olmaması lazım gelir. Bundan dolayı, düzlemde dönme olmaması için herhangi bir noktada momentlerin toplamı sıfır olmalıdır. Yani, sistemin içinde yada dışında noktaya göre alınan moment sıfır (ΣM = 0) olmalıdır.
Rijit cisim denge koşulları Şekilde cisme, kuvvet ve moment (kuvvet çifti) vektörleri etkimektedir. Bu kuvvetler, yerçekimi, elektriksel, manyetik veya temas kuvvetlerinden dolayı olabilir. İç kuvvetlerin toplamı sıfırdır, çünkü cisim içindeki parçacıklar arasındaki iç kuvvetler, Newtonun üçüncü kanununa göre eşit, fakat zıt yönlü doğrusal çiftler şeklindedir, yani dengededir.
Bir önceki bölümde anlatılan yöntemle, bir cisme etki eden kuvvet ve moment çifti sistemi, cismin herhangi bir O noktasına eşdeğer bir bileşke kuvvet ve bileşke moment çiftine indirgenebilir. Bu bileşke kuvvet ve moment çiftinin ikisi de sıfıra eşitse, cismin dengede olduğu söylenebilir. Denge için;σfx= 0 ;ΣFy= 0 i;σm= 0
İki boyutlu bir yapının tamamıyla dengede olabilmesi için; ΣFx= 0: bütün yatay kuvvetlerin cebirsel toplamısıfıra eşit ΣFy= 0:bütün dikey kuvvetlerin cebirsel toplamısıfıra eşit ΣM =0: bütün kuvvetlerin herhangi bir nokta (eksen) etrafındaki momentlerinin cebirsel toplamısıfıra eşit demektir.
Bunlar iki boyutlu (düzlem) yapıların statik dengesi için 3 denge denklemi olarak bilinir. Yukarıda denklemlerin sağlanabilmesi için yeterli bağların ve bunlara karşılık gelen mesnet reaksiyonların sağlanması lazımdır. Üç ayrı denklem ile üç bilinmeyenin şiddeti belirlenebilir. Eğer yapı sadece yeterli mesnetlerle bağlanmışsa (3 ten fazla olmayan bilinmeyen reaksiyonlar), yapı yukarıdaki eşitliklerle tamamıyla analiz edilebilir ve statik olarak belirlidir (İzostatik).
Eğer bilinmeyen sayısı üçten fazla ise, sadece yukarıdaki denklemleri kullanarak çözüm mümkün değildir ve yapı statik olarak belirsizdir (hiperstatik). Bu tip problemler, elastik cisim mekaniğinde cisimlerin şekil değiştirmelerine bağlı bilinmeyen sayısı kadar yeni denklem yazılabilirse bilinmeyen tepkiler bulunabilir. İki boyutlu yapılarda üçten az mesnet reaksiyonu varsa, eksik bağlıdır. Yapı rijit cisim olarak hareket eder. Bir cisim (yapı) üç ya da daha çok noktadan bağlı olmasına rağmen yukarıdaki denklemlerden birini sağlamıyorsa böyle sistemlere yetersiz bağlı sistemler denir.
Uyarı!!! Denge denklemleri uygulanırken, cismin rijit kaldığı, şekil değiştirmediği kabul edilmektedir. Gerçekte ise, yüklere maruz kalan cisimler deforme olur. Bununla birlikte, beton ve çelik gibi oldukça rijit olan malzemelerde bile durum böyledir. Ancak, birçok mühendislik uygulamasında denge denklemleri uygulanırken, cismin rijit olduğu kabulü yapılır. Cisim şekil değiştirse bile, bu şekil değişiminin kuvvetlerin doğrultusunu ve moment kollarının sabit bir referans eksenine göre değişmediği kabul edilir.
İki Boyutta Denge Bu bölümde aynı düzlemdeki kuvvetlerden ve bu düzleme dik momentlerin dengesi incelenecek. Bu tür sistemlere iki boyutlu kuvvet sistemleri denir. Şekildeki uçak, merkezden geçen eksene göre simetrik olduğu için, tekerleklerde oluşan kuvvetler T ve T, 2T olarak gösterilmiştir
Serbest Cisim Diyagramları Denge denklemlerinin başarıyla uygulanması için, cisim üzerine etkiyen bilinen ve bilinmeyen bütün dış kuvvetlerin cisim üzerinde gösterilmesi gerekir. Bunun için serbest cisim diyagramı çizilmelidir. Bu diyagram cismi, çevresinden izole edilmiş veya serbest kalmış bir şekilde ana hatlarını, yani bir serbest cismi gösteren bir taslaktır. Serbest cisim diyagramını çizmek için: 1) Cisim üzerine etkiyen dış kuvvetler, bilinen ve bilinmeyen tüm kuvvetler cisim üzerinde gösterilir. Bu kuvvetler: cisme etkiyen dış kuvvetler, reaksiyon/mesnet kuvvetleri ve cismin ağırlığıdır. 2) Bilinen kuvvetler/momentler bilinen şiddet ve yönleriyle gösterilmelidir. Bilinmeyen kuvvetler/momentlerin yön ve şiddetleri harflerle gösterilmelidir 3) Bir x-y koordinat ekseni oluşturulmalı ve bilinmeyen kuvvetler, bu eksenlerdeki bileşenlerine ayrılarak gösterilmelidir. 4) Cismin boyutları belirtilmelidir (bu boyutlar momentler bulunurken kullanılacaktır.)
İç Kuvvetler:
MESNETLER VE MESNET REAKSİYONLARI Genel kural: bir mesnet cismin verilen bir doğrultuda ötelenmesini engelliyorsa, cisim üzerinde söz konusu doğrultuda bir kuvvet ortaya çıkar. Aynı şekilde, cismin dönmesi engelleniyorsa, cisim üzerinde bir kuvvet çifti momenti uygulanır.
Kayıcı Mesnetler Sadece bilinmeyen bir reaksiyon sağlar ve hareket yönüne pozitif bir açı ile etki eder. Böylece kayıcı mesnetler, bir doğrultuda lineer harekete ve dönmeye müsaade ederler. Kuvvet mesnetten kirişe etkiyor şeklinde gösterildi (yani cisim üzerinde) Mesnet serbestçe döndüğü için ve yatay yönde hareket edebildiği için o yönlerde mesnet kuvvetleri oluşmaz.
Şekilden de anlaşılacağı üzere, y yönünde deplasman yoktur yani sıfırdır ama y yönünde bir tepki kuvveti meydana gelir. Kayıcı mesnet sadece kirişin düşey doğrultuda ötelenmesini önler, tekerlek kiriş üzerinde sadece bu doğrultuda bir kuvvet uygular
Kayıcı Mesnet
Sabit Mesnetler Kiriş şekildeki gibi, bir pim kullanılarak daha kısıtlayıcı bir şekilde mesnetlenebilir. Pim yere tutturulmuş iki elemandan ve kirişteki bir delikten geçer. Pim kirişin herhangi bir doğrultusunda, ötelenmesini önler ve bu yüzden pim kiriş üzerinde bu doğrultuda bir F kuvveti uygulamalıdır. Bu etkiyi Fx ve Fy bileşenleri ile ifade etmek daha kolaydır. Hem düşey hem yatay yönde hareket engellenmiştir, dolayısıyla reaksiyon kuvvetleri bu iki yönde oluşur. Kiriş sadece serbestçe dönebilir.
Sabit Mesnet
Kayar ve Sabit Mesnet in Birlikte Uygulanması
Ankastre (Konsol) Mesnetler Ankastre mesnet: Kirişi mesnetlemenin en kısıtlayıcı yolu, şekildeki gibi bir sabit mesnet (ankastre mesnet) kullanmaktır. Bu mesnet kirişin hem ötelenmesine, hem de dönmesine engel olur. Bu durumda, mesnette x ve y yönlerinde kuvvetler ve z ekseni doğrultusunda (moment ekseni) moment oluşacaktır. Kuvvet mafsallı mesnette olduğu gibi Fx ve Fy bileşenleri ile ifade edilir, ve bu kuvvetler bilinirse açısı da kolaylıkla bulunur. Kirişin bir noktadan her yöndeki hareketi sınırlanmıştır.
ÜÇ YERDEN PUNTALANMIŞ DÜZLEM YAPILAR Eğer yapı üç noktadan sabitlenmiş ise (menteşe gibi) öyle ki yapının bir parçası diğer parçanın dönmesinden bağımsız olarak pim etrafında dönebiliyor, böylece özel bir çeşit denge eşitliği daha yazılabilir, çünkü pim etrafındaki bütün kuvvetlerin momentleri toplamı sıfır olmalıdır. Bu mesnet reaksiyonunun bilinmeyen bir bileşeninin belirlenmesini sağlar.
Dış ve İç kuvvetler Bir rijit cisim parçacıkların birleşimi olduğundan, üzerine hem dış hem de iç yükler etki eder. Ancak cismin serbest cisim diyagramında iç kuvvetler gösterilmez. İçve ış kuvvetler daima eşit, fakat zıt yönlü doğrusal çiftler şeklinde ortaya çıkar ve bu nedenle cisim üzerindeki net etkileri sıfırdır. Motora etkiyen tüm iç kuvvetler ( bulon, vida vb. kuvvetleri) birbirlerini dengeler. Sadece zincir kuvvetleri ve motor ağırlığı serbest cisim diyagramında gösterilir.
Ağırlık ve Ağırlık Merkezi Cismin ağırlığı önemli mertebedeyse bu sorularda belirtilir. Ayrıca cisim üniform ise (aynı malzemeden yapıldıysa) ağırlık merkezi cismin geometrik merkeziyle çakışır. Cisim üniform değilse, veya karmaşık bir geometriye sahipse bu durumda ağırlık merkezi verilecektir.
İdealize edilmiş modeller Herhangi bir sistemin kuvvet analizi yapılacağı zaman, gerçek duruma en yakın analitik veya idealize modeli düşünülmelidir. Bunun için mesnet tipleri, malzeme davranışı ve cismin boyutları uygun bir şekilde seçilmelidir. Kompleks durumlarda birden fazla modelin analiz edilmesi gerekebilir
Örnek Problem Şekildeki üniform kirişin serbest cisim diyagramını çiziniz. Kirişin kütlesi 100 kg dır.
Örnek Problem 300 er kg kütleli iki sürtünmesiz boru şekildeki görüldüğü gibi traktörle taşınmaktadır. Serbest cisim diyagramını her boru için ve birlikte çiziniz.
Denge denklemleri Rijit bir cismin dengesi için gerekli ve yeterli olan iki koşul F=0 M=0 Cisim x-y düzleminde yer alan bir kuvvetler sistemine maruzsa, kuvvetler x ve y bileşenlerine ayrılabilir Fx=0 Fy=0 M=0 Cisim üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin toplamı Kuvvet çifti momentleri ile tüm kuvvet bileşenlerinin x-y düzlemine dik olan ve cismin üzerinde veya dışındaki keyfi bir O noktasından geçen bir eksene göre momentlerinin toplamı
Hesapta İzlenecek yol: Serbest Cisim Diyagramının çizilmesi: Cisim üzerine etkiyen tüm dış kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinin gösterilmesi gereklidir. Bu vektörlerin büyüklükleri ve oluşturulan bir x-y eksen takımına göre belirlenen doğrultuları belirtilmelidir. Kuvvetlerin momentlerinin hesaplanması için gerekli olan cismin boyutları da serbest cisim diyagramına dahil edilir. Bilinmeyenler belirlenir. Etki çizgisi bilinen ancak büyüklüğü bilinmeyen bir kuvvet veya kuvvet çifti momentinin yönü varsayım ile belirlenebilir Denge denklemlerinin uygulanması: Bütün denklemleri aynı anda çözmek zorunda kalmamak için iki bilinmeyen kuvvetin etki çizgilerinin kesişme noktasında yer alan bir O noktasına göre M0=0 moment denklemi uygulanır (ki bu bilinmeyen kuvvetlerin O noktasına göre momentleri sıfır olsun). Oluşturulan x-y eksenleri kullanılarak Fx=0 ve Fy=0 denge denklemleri uygulanır. Denge denkleminin çözümü sonucunda negatif bir skaler çıkarsa, söz konusu kuvvet veya momentinin yönünün, serbest cisim diyagramında varsayılanın tersine olduğu anlaşılır.
Örnek Problem Şekildeki yüklemeye maruz kalan kirişteki mesnet kuvvetlerini bulunuz
1- Serbest cisim diyagramı * Bilinmeyen reaksiyon kuvvetleri mesnet noktalarına, yön kabulüyle etki ettirildi.
2- Denge Denklemleri kontrol
Problem A ve B noktasında oluşan reaksiyon kuvvetlerini bulunuz.
Örnek Problem Şekildeki sistemin mesnet reaksiyonlarını bulunuz. Not: A noktası düşey yönde hareket edebiliyor
1- Serbest cisim diyagramı
2- Denge Denklemleri Ax ve NB kuvvet denklemlerinin dengesinden bulunabilir A noktasına göre moment alınır veya
Örnek Problem A noktasından mafsallı eleman B noktasında sürtünmesiz bir mesnetle desteklenmiştir. A mafsalındaki mesnet kuvvetlerini bulunuz.
Örnek Problem Mesnet tepkilerini ve C noktasında oluşan kuvveti bulunuz.
Bir kapıda; a) Tek menteşe olmasıdurumunda gelen kuvvetler b) Çift menteşe olmasıdurumunda meydana gelen kuvvetler
Arabanın dengesi
Örnek Problem Şekildeki kiriş A noktasından sabit B noktasından kayıcı mesnet ile mesnetlenmiştir. Kirişe üç noktadan kuvvetler etkimektedir. Reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız.
Çözüm A da yatay ve düşey olmak üzere iki reaksiyon kuvveti B de sadece düşey bir reaksiyon kuvveti vardır. Bu reaksiyonlar aşağıdaki serbest kuvvet diyagramında gösterilmiştir. Sadece üç bilinmeyen (Ax,Ay, By) vardır ve sistem statik olarak belirlidir ve bilinmiyenler belirlenebilir.
Örnek Problem Şekildeki kiriş 15 kn iki tekil ve 2kN/m lik yayılı yükün etkisi altındadır. Mesnet reaksiyonlarını bulunuz.
Örnek Problem Şekildeki somunu açmak için kuvvet uygulanmakta ve bu kuvvetler ile somun çözülmemektedir. Somunda oluşan moment ve kuvvetleri bulunuz