. SINIF KONU NLTIMLI. ÜNİTE: KUVVET ve HREKET 7. Konu İŞ ve ENERJİ ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ
.. Ünite 7. Konu ( fl ve Enerji) n n Çözümleri E K W s m./4v f s. /4x m.v f s.x f s mv x Cismin K noktas nda E P mg kadar bir potansiyel enerjisi vard r. Bu enerjinin bir k sm LM aras nda sürtünmeye arcan rken geriye kalan k sm da M noktas nda kinetik enerjidir. E top (K) W LM + E k (M) mg f s. LM + mv m..5 kmg. LM + mv 4. m 3 kg F 8 N 5,4.. LM +.(6) 5 4. LM + 8 LM 8 m m g.sin8 N fiekil I m g.sin3 N x k m 4 kg 3 fiekil II F N k x. Sürtünmesiz düzeneklerde areket ederek ayn yükseklikteki N düzeyine ç kan özdefl K ve L cisimlerinin bu yükseklikteki potansiyel enerjileri eflittir. Bu nedenle özdefl yaylar n K ve L cisimlerine verdikleri enerjiler eflittir. E pk E pl 3. k.x k.x x x Cisim P noktas nda durdu una göre, noktas nda saip oldu u kinetik enerji, sürtünme kuvvetinin yapt ifle eflittir. Buna göre, fiekil I deki m kütleli cismin a rl ndan dolay ipte oluflturdu u gerilme kuvvet F m g. sin 8 N; fiekil II deki m kütleli cismin a rl nda dolay ipte oluflturdu u gerilme kuvveti ise; F m g. sin 3 N dur. Buradan; F k.x 8 k.x k 8 x F k.x k.x k x Bu de erleri; E E k.x k.x k.x k.x enerji ba nt s nda yerine yazarsak;
3 4 5 8 x.x x.x x x 4 45 8 9 9x x v v / m m yer v v fiekildeki makaral sistemde m kütleli cisim ka- dar yer de ifltirdi inde m kütleli cisim kadar yer de ifltirir. Bu nedenle v v ise, v v olur. E E E E m v m v mv m4v 8 5. m x cm 8 cm 6 cm 7. raba a ivmesiyle zland nda e ik düzlem üzerindeki cisme fiekil I deki kuvvetler etki eder. m kg kütleli cisim; e ik düzlem üzerinde cm afla indi inde, cisim düfleyde 6 cm yol al r. Bu areketle cismin kaybetti i potansiyel enerji, yayda depolanan enerji ile sürtünmeye arcanan enerjinin toplam na eflittir. Bu nedenle; E P W s + E yay mg W s + kx..6. W s +.4 (,) 6 W s +. W s 4J yatay tepki (ma) m4 kg mg.sin a5 m/s Tepki kuvvetinin bileflenleri fiekil II deki gibidir. Cisme etki eden sürtünme kuvveti; f s mg.cos fiekil I N 6. 4 N 6 N fiekil II 3 N f s k N f s k.n k.(3 ) f s,5 () N dur. Bu cisim ayr ca fiekil II de gösterildi i gibi afla yönde (4 + 6) 4 N luk bir kuvvetin etkisindedir. Net kuvvet ise; F net 4 3 N dur. Net kuvvetin yapt ifl yayda potansiyel enerji olarak depolan r.
4 W net E yay F net.x.k.x f s m.a k.m.g m.a,5. a a 5m/s 3.x.3.x x 5 m Bu ivmeyi veren kuvvet yay taraf ndan sa land na göre; Yayda depolanan potansiyel enerji; E p.k.x E p.3.( 5 ) E p 6 J F kx m toplam.a. x 5.5 x 5 8 m Yayda depolanan enerji; E.k.x E.. 64 8. P 3 m m 3 P noktas n n yerden yüksekli i m ise, 3 lik aç - dan dolay R noktas n n yerden yüksekli i m olur. Cisim R noktas nda iken toplam enerjini, sürtünme ve di er yay taraf ndan paylafl l r. Buradan; mg top + k x W s + k x..+..() W s +. 3 (,) 4 + W s + 6 W s 4 J R m m yer. E 5 6 J 3at at at z x x Cismin yapt areketin z-zaman grafi i flekildeki gibi olur. Cismin yapt yer de ifltirmeler flekilde gösterilen x ve x dir. x üçgenin alan ndan x de yamu un alan ndan x at. t at 3at + at x.t 5 at t t zaman 9. a f s m m m tepki (m a) I. ve II. zaman aral nda cisme uygulanan kuvvetler F ma dan; F ma ma S k flt r lm fl yay-kütle sistemi (m + m ), serbest b rak ld nda kütleler a ivmesi ile ok yönünde zlan r. m kütleli cisme etki eden tepki kuvveti, onu kayd rmaya çal fl rken sürtünme kuvveti de tepki kuvvetine karfl koyarak dengeyi sa lar. Buradan; F ma ma Yap lan ifllerin oran,
5 W W F.x F.x W W 4 5 ma. at ma. 5 at. Cismin düfley do rultuda yer de ifltirmesi toplam 4 m dir. Buna göre, yer çekimi kuvvetinin yapt ifl; W yer mg W yer,.. 4 4 J. x 5 m v? L 3. m kütleli cisim L noktas ndan geçerken, K noktas nda saip oldu u potansiyel enerji, öteleme ve dönme kinetik enerjisine dönüflecektir. Buna göre; K v 9 m P yer E P (K) E k (L) mg mv +. Ιω Cismin K noktas ndaki toplam enerjisi kinetik enerji olup; E k (K) mv E k (K)..4 4 J kadard r. Cismin areketi esnas nda bu enerjinin; W s f s. x kadar sürtünmeye karfl arcan r. fiekil incelenirse, nin karfl s ndaki LP uzunlu u 9 m ise, KL, yani x uzunlu u 5 m olur. Buradan; W s f s. x W s kmg.cos. x W s,5...,8. 5 W s J L noktas ndaki toplam enerjisi ise, 4 8 J dur. Bu enerjinin bir k sm kinetik, bir k sm da potansiyel enerjidir. L noktas ndaki z; E L(top) mg + mv 8..9+..v v v m / s 7m mv +. 5 mr. v 4. m kütleli cisim yüksekli inden serbest b rak l p tablaya çarpt nda yükseklik potansiyel enerjisi yay enerjisine dönüflür. Buradan yay sabiti; mg( + ) kx 3 mg k( ) 3mg k 4 3mg k 4 k mg mg a rl ndaki cisim yukar dan afla ya do ru yay s k flt r rken yaydaki tepki kuvveti de cismi yukar do ru iter. rl k kuvveti ile yaydaki tepki kuvveti birbirine eflit oldu unda net kuvvet s - f r olur. Bu andan itibaren de art k cismin z azalmaya bafllar. Yay x kadar s k flt nda net kuvvetin s f r oldu unu düflünelim. r 7 v + v 5 7 7v v m / s
6 F net F yay mg k. x mg yazabiliriz. k n n de erini yerine yazarsak; k(x 3 ) k x 9 kadar potansiyel enerji aktar lm flt r. Toplam enerjiden geriye kalan k s m ise bu konumda kinetik enerjidir. mg.x mg x x Yay kadar s k flt nda cismin z v kinetik 3 enerisi E k olsun. E k kx k x 9 k 8x 9 5. Kuvvet-yol grafiklerinin alt ndaki alan yap lan ifli, dolay s yla kinetik enerjideki de iflimi verir. Grafi- in alan,. 45 9 J B noktas ndaki kg kütleli cismin saip oldu u kinetik enerjinin tümü, yaya aktar laca ndan;.m.v + W B.k.x.. + 9.5.x x m k 8x 9 fiimdi () nuramal ba nt ile buldu umuz k de erini () numaral ba nt da yerine yazal m.. mv x mv... (). 8x 9 mv v 3 v 7. Üç cisim birbirine ba l oldu undan ayn zla areket ederler. 3m kütleli cisim kadar afla yönde areket etti inde m kütleli cisim de kadar yukar ç kar. Sistemin potansiyel enerjisindeki de- iflme, sistemde kinetik enerjiye dönüflür. 6. E k kinetik enerjisiyle areket eden ci- mv sim, bu enerjinsinin tümünü yaya aktararak yay n x kadar s k flmas n sa l yor. Böylece yayda depolanan yay potarsiyel enerjisi, Bu iki enerjinin eflitli inden; mv kx Yay kadar s k flm fl durumda iken yaya; k mv x... () x 3 E P kx olur. ΔE p ΔE k 3mg mg mv + 5mv + 3mv g 5v v g 5
7. Ünite 7. Konu ( fl ve Enerji) Test in Çözümleri. Cismin noktas nda saip oldu u toplam enerji; E mv k ( ) E k ( )..( ) J olur. Cisim L noktas nda iki çeflit enerjiye saiptir. EkL () mv E kl ()..( 4 ) 6 J E P(L) mg.. 3 6 J E top (L) 76 J olur. ve L noktalar aras ndaki 76 4 J luk fark sürtünmeye arcanm flt r. Yan t B dir 3. Cismin K ve L noktalar ndaki toplam enerjileri aras ndaki fark, gidiflte sürtünmeye karfl yap lan ifl kadard r. Buradan, E top(k) E top(l) + W s mv mg + W s m. 9 m.. + W s W s 45 m W s 35m Sürtünme nedeniyle kaybolan enerji 35m, L noktas ndaki potansiyel enerji m oldu undan; Ws 35m EP m Ws 7 EP Yan t D dir 4. 37,4 m I,5 m,3 m, m II. Sürtünmesiz bir ortamda kadar yükseklikte duran bir cismin saip oldu u enerji potansiyel enerjidir. Cisim serbest b rak l p yere ulafl nca tüm potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüflür. Buradan; EP Ek mg Y mv Y & v g sürtünmesiz ortamda kütlenin önemli olmad sonucu E er sürtünme varsa m nin sürtünmeden kaybedece i enerji daa büyük olur, böylece v < v olurdu. Cisim I konumunda iken toplam enerjisi mg kadard r. Bu cisim serbest b rak l p II noktas na düflünce, I konumundaki enerjinin bir k sm yay enerjisine bir k sm da kinetik enerjiye dönüflür. Buradan, mg kx + mv..,3. 4. (,) +.. v 6., + v 4 v v > v olmas n n tek nedeni K cisminin arekete bafllarken bir ilk z n n olmas d r. v m/s Yan t B dir Yan t B dir
8 5. Bafllang çta sistemin toplam enerjisi, cisimlerin potansiyel enerjilerinin toplam na eflittir. 7. E sistem mg + 3mg 7mg Sistem serbest b rak l nca K ve L cisimlerinin em ivmeleri em de zlar eflit olur. ncak L nin kütlesi K n n kütlesinin 3 kat oldu undan, E k(l) 3E k(k) olur. L cismi yere çarp nca, K cismi bulundu u yerden yükselerek yerden 3 yukar da olur. Son durum için enerjinin korunumunu yazarak, E P(K) + E k(k) + E k(l) E toplam mg3 + mv + 3mv 7 mg mv 4 mg v g Yan t E dir 6. Cismin K noktas nda mg kadar potansiyel, mv kadar da kinetik enerjisi vard r. Cisim L noktas na yine mv kinetik enerjisi ile vard na göre, aradaki mg fark kadar sürtünmeye karfl ifl yap lm flt r. Buradan; W s mg f s. KL.. 3 f s. 6 6 f s N Cismin L noktas nda saip oldu u kinetik enerji, L den sonra sürtünme kuvvetine karfl yap lan iflte arcan r. Cismin L den sonra ald yol x olmak üzere; Ws mv fs. x... x 4 & x 4 m/s L x? Yan t C dir x x 3 yatay K Cisim e ik düzlem üzerinde x kadar yol al rsa, ayn x anda kadar da yükselmifl olur. Cismin K noktas nda saip oldu u enerji, kinetik enerjidir. Hareket es- nas nda bu enerjinin bir k sm sürtünmeye karfl arcanacak, bir k sm da potansiyel enerjiye dönüflecektir. Ek EP+ Ws mv mg x + f. x s x. 36.. +. x 36 x+ x & x 3 m Yan t D dir 8. Tablan n üstüne b rak lan cismin a rl mg N dur. Buna karfl l k yay cm, m s k flm flt r. Buradan yay sabiti; F kx k., k N/m yn yay 4 cm,4 m s k flt r l p serbest b - rak l rsa, yay enerjisi yükseklik potansiyel enerjisine dönüflecektir. kx mg..(, 4 ).. & 8,4 m 4 cm Yan t D dir
9 9. m kütleli cisim, L noktas ndan v z ile at l nca, kadar daa yükseliyor. O âlde, mg mv v g...( ) W m g + m g l 3 W mg + 4mg l W mgl + 6mgl 7mgl Yan t D dir yaz labilir. Bu cisim P noktas ndan sonra kendili inden geri dönmüfltür. Yani, yaz labilir. K noktas ndaki cismin saip oldu u (mg) potansiyel enerjiden baflka, bir de v z ndan dolay kinetik enerjisi vard r. () ile gösterilen v de erini yerine yazarsak; Buradan,. mg mv v 4g mg + mv mv g v v + g v g + & v 6g v v v v 6 4 6 3 L L L 3 L Yan t E dir 3 Kütlesi 4m olan çubu un a rl k merkezi l kadar, kütlesi m olan çubu un a rl k merkezi de l/ kadar yükselmifltir. Yer çekimine karfl yap lan ifl; a rl k merkezinin yükselme miktar ile do ru orant l d r. Buradan;. m kütlesinin bindi i makara areketli makarad r. Bu makarada kuvvet kazanc oldu undan yoldan kay p da dir. Yani F kuvvetinin uyguland ipi metre çekersek m kütleli cisim metre yükselir. m kütlesi yolunu alarak yere düflerken E m.g. 4mg kadar potansiyel enerji kaybeder. Bu esnada m kütleli cisim de kadar yükselerek mg potansiyel enerjisini kazan r. 4mg E ise olur. Yan t E dir. Hareketli makaradan dolay m kütleli cisim kadar afla inirse, m kütleli cisim kadar yükselir. Bu durumda sistemin potansiyel enerjisi ( mg mg ) kadar azal r. m kütleli cismin ald yol m kütleli cismin ald yolun kat oldu undan, m in z, m nin z n n kat d r (v v ). Potansiyel enerjideki azalma, iki cismin kinetik enerjilerinin toplam na eflittir. mg mg mv + mv mg sabit makara F E mg 4 m(v ) + mv g 4v + v areketli makara m. 5v v m/s Yan t B dir
3. Hareketli makaradaki kuvvet kazanc, ç kr ktaki kuvvet kazanc da dir. Sistemin toplam kuvvet kazanc, dolay s yla yoldan kay p miktar. 4 tür. Bu nedenle m kütleli cisim kadar afla inerse, m kütleli cisim kadar yukar ç kar. Buna göre m cisminin kay- 4 betti i potansiyel enerji mg kadar, m nin kazand potansiyel enerji mg mg olur. 4 m kütleli cismin z, m kütleli cismin z n n 4 kat oldu undan ve potansiyel enerjideki azalma kinetik enerjilerdeki art fla eflit olaca ndan; mg mg mg E k + E k mv + mv kadard r. radaki fark ise bu noktadaki kinetik enerjisidir. K ve L noktalar ndaki kinetik enerjilerin oran ; 5. 9x 7x EpK ( ) kx k( ) k( ) 6 6 7x E k( ) K 6 EL kx v 7 6 v y v x v Yan t D dir mg m.6v + mv B v x v yaz labilir. m cisminin kinetik enerjisi; 4. E k mv oldu undan, E k mg 8 m x 4 E k E p k x K Yan t D dir L 3 4 x E p E k k x v y v m/s Yatay do rultuda v z yla at lan cismin areket süresince yatay z de iflmez (v x v ). v x v v. cos.,8 6 m/s Bu z cismin noktas ndaki at fl z na eflittir. Cismin noktas ndaki mekanik enerjisi, yere çarpt andaki kinetik enerjisine eflit olaca ndan; E k () + E p () E k (B) mv E ( ) mv x + p m( 6) + E ( ) m( ) p Yay n s k flm fl durumdaki bütün enerjisi potansiyel enerjisi olup de eri kx dir. Kütle yay sistemi serbest b rak ld nda L noktas nda bütün enerjisi kinetik enerjiye dönüflür. Bu enerjinin de eri de kx dir. K noktas nda enerjinin bir k sm potansiyel bir k sm kinetiktir. K noktas ndaki potansiyel enerji; 3x 9x EpK ( ) k( ) k( ) 4 6 E p () m 8m 7m J noktas ndaki kinetik enerji ise; E k () mv x m.(6) E k () 8m J Buradan; Ep( ) 7 m Ek( ) 8 m 9 6 Yan t E dir
6. Δt v v günefl Δt Kepler'e göre; Her gezegen flekilde gösterildi i gibi odaklar ndan birinde Günefl in bulundu u elips yörüngede areket eder. Δt zaman nda taranan alan, yine Δt zamanda taranan alan na eflittir. O âlde, gezegen Günefl e yaklaflt nda yörünge z artar (v > v ). Kütlesi M olan Günefl ile, kütlesi m olan Dünya aras nda; GMm Ep r ba nt s ile verilen bir potansiyel enerji vard r. Ba- nt n n önündeki ( ) iflareti, kütleler aras ndaki uzakl k azald kça kütle çekim potansiyel enerjinin azalaca n gösterir. Buna göre I ve II do ru, III ise yanl flt r. Yan t C dir
. Ünite 7. Konu ( fl ve Enerji) Test 4 ün Çözümleri 3. Yayda depolanan potansiyel enerji, yay serbest b - rak ld nda cisimde kinetik enerjiye dönüflür.. m kütleli cisim dan B ye do ru v z yla ilerlerken yaln zca kinetik enerjiye saiptir. Sürtünmeler önemsiz oldu una göre, cisim ayn z ve ayn kinetik enerjiyle geri döner. Bu nedenle v z n n büyüklü ü yaln zca v in büyüklü üne ba l d r. E yay.m.v 4..v v m / s v m/s 3a 53 B x 4a. v y v x v v x 6 m/s fiekildeki taral üçgende nin karfl s ndaki kenar 3a ise 53 nin karfl s ndaki kenar 4a olur. Bir baflka ifadeyle, cismin düfleyde ald yol 3a iken yatayda ald yol x 4a d r. ve x de erlerinin oran ndan; Pisagor ba nt s kullan ld nda v m/s lik - z n bileflenleri v x 6 m/s, v y m/s kizkenar dik üçgene dikkat edilirse x oldu u görülür. x v x. t v y. t + g. t 6. t. t + 5. t 4 t s 5 Buldu umuz t de erini x ba nt s nda yerine yazarak; x v x. t 4 x 6.,8 m 5 x,8 m oldu undan, noktas ndaki potansiyel enerjinin bu noktadaki kinetik enerjiye oran ; E p() E k() x mg mv 45 g. v E p().,8 8 E k() 6 5 v y m/s B v m/s x.g.t v.t 3a 4a 5.t. t gt 5.(3) 45 m 4. Enerjinin korunumundan; ve B t kaçlar ndan ç kan s v lar n yere varma süreleri ΔE P ΔE K m g.9 m.g.49 t 3s 9 49 v v v v 3 7.m.v.m.v t 45, t 5 olur.
3 x x v.t v.t x x 3. 45 7. 5 x x 3 7. 9 9 7 E yay E k kx mv. 4...v v m / s Cisim B noktas na düflerken biri yatay (v x ), öteki düfley (v y ) olmak üzere iki çeflit za saiptir. v x v m/s dir. yüksekli i 45 m oldu una göre cismin B noktalar aras ndaki uçufl süresi; 5..g.t v x v m 53 K V y max L 45 5.t t 3s olur. Buradan v y gt 3 m/s oldu undan; x menzil Cismin K noktas ndan at lma z ; v B v x + v y E k mv v B + 3 3 m/s 5..v v 5 m / s dir. v y v sin53 4 m / s v y nin 4 m/s olmas cismin uçufl süresinin 4 s olmas demektir. 4 s sonra cisim maksimum yükseklikteki noktas ndan geçer. noktas nda sadece yatay z oldu undan cismin 4 s sonraki z yani v x 3 m/s dir. E k (B) mv. ( 3 ) B E k (B) 65 J 7. Günefl in çevresinde ve Günefl'ten r kadar uzakl kta eliptik bir yörüngede dolanan bir gezegen, em kinetik, em de potansiyel enerjiye saiptir. Böyle bir gezegenin toplam enerjisi; E toplam E k + E p mv G. M M r 6. k4 N/m m kg ba nt s ile verilir. Gezegenin Günefl e yaklafl p v uzaklaflmas ile v çizgisel z de iflir. Buna ba l olarak da kinetik enerjisi de iflir. Yine gezegenin 45 m Günefl e yaklafl p uzaklaflmas ile r uzakl de iflti- inden potansiyel enerjisi de iflir. ncak toplam enerji de iflmez. v x v X B v y v B Yayda depolanan potansiyel enerji cisme kinetik enerji olarak aktar l r. 8. m ve m kütleli cisimler yerden yüksekli inde iken em kinetik em de potansiyel enerjileri vard r. Bu cisimler yere ayn zlarla çarpt klar nda tüm enerjileri kinetik enerjiye dönüflür.
4 m kütleli cisim için; m g + m v m v m kütleli cisim için; () ve () numaral denklemlerin sa taraflar n eflit oldu undan sol taraflar n da eflitlersek; v v g + v v... () m g + m v m v g + v v... () g + v g + v olup oranlar dir.. x kadar s k flt r lan yayda depolanan yay potansiyel enerjsi; E P kx dir. Serbest b rak ld nda bu enerji cisimde kinetik enerjiye dönüflür. kx mv v kx m x. k m ile bulunan v de eri d v. t de yerine konulur. yn yay x kadar s k flt r l p önüne ayn cisim konuldu unda; k.(x) mv k.4x mv v x k m Dikkat edilirse v v O âlde ikinci durumunda cisim yatayda d yolunu al r. 9. Cismin K dan L ye uçufl süresi; 5t 45 5t t 3 s dir. Cisim K dan L ye yatay at fl areketi yaparak geldi inden; x v. t 3 v. 3 v m/s kg kütleli cisim K noktas na; E k.m.v.. E k J luk enerji ile varm flt r. Bu cisim B aras nda N luk kuvvetle itilirken yap lan ifl; w F. B w. J dur. K noktas ndaki kinetik enerji J ise aradaki fark ( ) olan J kadar sürtünmeye arcanm flt r.. Bir cisim, bir gezegenin yüzeyinde durgun âlde olabilir. Böyle bir cismin kinetik enerjisi s f rd r. Kütlesi m olan bu cismin saip oldu u enerji, cisim ile M kütleli gezegen aras ndaki genel çekim potansiyel enerjidir. R gezegenin yar çap olmak üzere bu cismin toplam enerjisi E toplam E p G Mm dir. R Bu cisim gezegenin yüzeyinden E k G Mm kadarl k kinetik enerji ile f rlat l rsa gezegenden kurtu- R lur. Bir cisim bir gezegenin çevresinde ve gezegenin merkezinden r kadar uzakl ktaki bir yörüngede dolan yor olabilir. Bu durumda cismin em potansiyel em de kinetik enerjisi vard r. Cismin toplam enerjisi;
5 E toplam E k + E p E toplam mv GMm R E toplam G Mm R GMm R olmaktad r. Yörüngesinden kopar larak sonsuza gitmesi için bu cisme verilmesi gereken kinetik enerji; E kinetik E kurtulma G Mm R E kurtulma G Mm R+ R 4R ( ) GMm GMm R 3. Çemberin K noktas nda saip oldu u dönme ve öteleme kinetik enerjilerin toplam L noktas nda potansiyel enerjiye dönüflür. mv + K Ιω mg K mv + v K mr K mg r v K g v K., 4 m / s. m kütleli cismin noktas nda saip oldu u potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüflür. Böylece cisim v z n kazanarak K noktas ndan yatay at fl yapar. E P E K mg mv v g Enerji ba nt lar n n er iki taraf nda bulunan m ler sadeleflti i için z etkilemez. lk durumda cisim yüksekli ine konulurken ikinci durumda 4 yüksekli ine konuluyor. kinci durumda cismin kazanaca z; v g. 4 g v olur. Yatayda al nan yol; x v. t x ise x v. t x 4. Silindir bir tam devir yapt nda πr kadar yol al rken πr kadar da ip boflalmas olur. Bu durumda m kütleli cisim 4πr kadar yol al r. Silindirin öteleme z v ise dönme z da v olur. m kütleli cismin ayn sürede ald yol, silindirin ald yolun iki kat oldu undan z v olur. m g m v + m v + Ιω mg m(v) + mv +. mr. v g 5 v + v g 4 v v 4 g v g 4 r
6 5. K v t v.sinα v α L v.cosα t max L cisminin ç kt maksimum yükseklik; (v y ) g (v. sin α) g L cisminin yüksekli ine ç kmas için geçen süre ile K cisminin kadar inip noktas na varmas için geçen süre ayn d r. t (v. sin α) g K cismi bu sürede düfleyde; g.(v. sin α ) g (v. sin α) g kadar yol al r. O âlde yüksekli i; + (v. sin α) + (v. sin α) g g (v. sin α) g (v. sin α) g (v. sin α) g