Oran ve Orantının Tanımı

4. Oran ve Orantı a d b c a d b c b d b d b d dir. 4.. Oran ve Orantının Tanımı İlköğretim yıllarınızda; - Aynı türden iki çokluktan birinin diğerine bölümünü gösteren kesre oran denildiğini; - a b oranında a nın b ye bölünmesi ile elde edilen gerçek sayıya a b - k ve k k R oranının değeri denildiğini; olmak üzere, b d eşitliğine orantı denildiğini öğrenmiştiniz. b d Bu bölümde, bu tanımları modern matematik kavramları ile vereceğiz. Tanım 4.75 RxR nin her a, b ikilisine bir oran denir. a a,b oranı a,b, a : b veya biçiminde b gösterilir; a oran b veya a nın b ye oranı diye okunur. Örneğin;,, 0, 6, 0,... birer orandır. 7 0 0 b 0 iken a b oranına, a nın b ye bölümü de denilebilir. Bu durumda a k R b sayısına a b oranının değeri denir. Ancak; ve 0 gibi oranlar bir 0 0 bölüm olarak düşünülemez. Böyle oranların değerleri ya tanımsız ya da belirsizdir. Tanım 4.76 a, b, c, d a d b c bağıntısı- RxR de, nın elemanı olan her orantı denir. b d 0 olmak üzere; a, b, c, d ikilisine bir a c olduğu düşünülürse, b d a,b ve c, d ya- b d 0 için a,b, c,d ise a,b c, d zılabilir. a,b c, d eşitliğini küçük bir pürüz dışında b d 0 olduğu durumlar için de yazabiliriz: a, b, c, d R olmak üzere; a,b c, d a d b c dir. veya Örnek 4.80 a d b c b d a.,6 4,8 8 6 4 b. 0 0 5 0 5 0 c., 6 6, 6 6 d. 0 0 0 0 e. a,b ka,kb a kb b ka f. a 0 b 0 a 0 b 0 a,b ka,kb orantısına göre; her her kr sayısı ile genişletildiğinde, eşit olan oranlar elde edilir. Örnek 4.8 a,b oranı a,b oranına oranını, 0, sayıları ile genişletelim: 0 ; ; elde edilir. 6 0 9 0 Her a b oranını 0 a eşit saymamız, eşitliğin 0 geçişme özeliği ile çelişir. Örneğin; 0 ve 0 iken, tir. 0 0 5 5 Yukarıda sözü geçen pürüz budur. Bu pürüzü 0 0 oranı belirsizdir. diyerek gidereceğiz. 0 0 oranını bir geçişme elemanı olarak kullanmayacağız.

Orantının özeliklerini ortaya koyduğumuzda, neden bazı sorunları göze alarak a 0 dediğimizi b 0 daha iyi anlayacaksınız. Böyle yapmakla, orantı kavramı ile ilgili olarak ortaya çıkabilecek daha önemli sorunları nasıl önlemiş; nasıl daha işlevsel bir orantı kavramı elde etmiş olduğumuzu göreceksiniz. Etkinlik 4.75 Aşağıdaki eşitliklerin birer orantı olmasını sağlayan x değerlerinin kümelerini bulunuz. a. x 0 b. 0 5 c. 0 x 0 0 x 8 d. 5 5 e. f. 0 x x 5 x a c orantısında a, b, c, d sayılarına sırasıyla; orantının I. terimi, II. terimi, III. terimi, b d IV. terimi denir. I. ve IV. terimlere dışlar (yanlar); II. ve III. Terimlere içler (ortalar) adı verilir. Tanım gereği, dışların çarpımı içlerin çarpımına eşittir. a d b c b d (Yanlar) Dışlar a : b c : d İçler (Ortalar) Tanım 4.78 a b a, b, c R olmak üzere, orantısında b ye b c a ile c sayılarının orta orantılısı veya a ile c nin geometrik ortası denir. Örnek 4.8 6 ve 6 sayıları arasında orta orantılı sayıyı bulalım: 6 x x 6 6 x 6 ve b b b b x 6 x 6 a a a a a orantıları, ancak 0 b 0 a a ise a orantısını gerektirir. 0 iken a b b b 0 b a oranı b oranına eşit olmayabilir. Bu durumu, daha önce de 0 ın belirsizliği ile açıklamıştık. 0 Tanım 4.79 a : a : a :... b : b : b :... eşitliği a a a... anlamına gelir. b b b Örnek 4.84 Tanım 4.77 orantısında d ye a, b, c sayılarının dördüncü orantılısı b d denir. Örnek 4.8,, 6 sayılarının dördüncü orantılısını bulalım: 6 x 6 x x tür. : x : 0 : y 4 : 5 : z : 6 olduğuna göre x, y ve z sayılarını bulalım: Verilen orantı x 0 y dır. 4 5 z 6 x 5 5 4 x x ; 4 5 0 z 4 0 z 0 4 z y değeri 0 y orantısından değil, y orantısından bulunmalıdır. 0 6 4 6 (Neden?) y y bulunur. 4 6

Orantının Özelikleri Teorem 4.4 Bir orantıda içler kendi aralarında, dışlar kendi aralarında yer değiştirebilir. a b d c b d dir. b d c d b a Etkinlik 4.76 R olduğundan Ç dir. 0 x x x b. x x x x x x 0 x x 0 x bulunur. x değeri için eşitlik bir orantıdır. 0 0 x Oranlar kümesinin gerçek sayılar kümesini kapsadığını söyleyebilir miyiz? Teorem-4.4 ü ispatlayınız. Örnek 4.87 Örnek 4.85 a. 6 orantısına dayanarak 5 0 0 6 5 5 0,, yazılır. 5 6 0 6 b. 0 0 orantısına dayanarak 4 4 0 4 0,, yazılır. 0 0 0 4 0 ( 0 0 5 ve x y 6 ise x ve y sayılarını bulunuz. x y 5 x y k olsun. x y 5 x k ve y 5k x y 6 k 5k 6 k 9 bulunur. x 9 8 ve y 5 9 45 tir. oranından söz etmeseydik. Bu örnekteki durumları açıklayamayacaktık.) Örnek 4.86 x a. R de denklemini çözünüz. x x x b. bir orantı olduğuna göre, x in x x alabileceği değerlerin kümesini yazınız. a. Eşitliğin iki yanını x ile çarpalım: x x x x x x bulunur. x değeri kesrin paydasını sıfır yapar. Teorem 4.5 bir orantı olmak üzere, b d a c a c b d b d b d dir. Etkinlik 4.77 Teorem-4.5 i ispatlayınız. Örnek 4.88 5 denklemini çözünüz. x x

Her kesir bir oran olduğuna göre, R deki denklemlerin çözümünde orantının özeliklerinden yararlanılır. 5 x x 5 x x 4 x x bulunur. x Teorem-4.5, Teorem-4.4 ün genelleştirilmiş biçimidir. Teorem 4.6 a a a b b b ve k, k, k R olmak üzere; a a a ka k a ka b b b kb k b k b dir. Etkinlik 4.78 Teorem-4.6 yı ispatlayınız. Örnek 4.89 I. yol x y z k olsun. 4 x k, y k, z 4k x y z k k 4k x y z 0 bulunur. II. yol x y z x y z x y z 4 4 0 Bu orantı ancak x y z 0 iken gerçekleşir. x y z 0 dır. 4 0 Teorem 4.7 b d ise. a b c d dir.. a b c d dir.. 4. a b c d a b c d dir. xa y b xc yd za tb zc td dir. a b c a b c a b c olduğuna göre, a : b : c oranını 8 9 yazınız. a b c a b c a b c 4 a b c 8 9 0 a b c a b c bulunur. 5 a : b : c : : dir. Örnek 4.90 x y z ise x y z kaçtır? 4 Etkinlik 4.79 Teorem-4.7 yi ispatlayınız. Örnek 4.9 a b x y olduğuna göre, a a b x y b türünden bulunuz. I. yol a b x y a b x y oranını x ve y 4

a b a b x y x y a b a b x y x y a x a x b x y b x y b. c. d. 5 x x 4 6x x x x x x 4 x x x x x x x x 4 II. yol a b x y a b x y a 4x y b x y a x y b x y a 4x y x y b x y x y a x a x b x y b x y Örnek 4.9 x x x 5 R de denklemini, orantının x x 4x 9 özeliklerinden yararlanarak çözünüz. x x x 5 x x 4x 9 x x 5 x 4x 9 x x x x 4x 9 x x 4 0 x x 4x 9 x 9 x 0 x x 9 orantısı, x 0 veya x 9 0 eşitliklerini gerektirir. Buna göre; x veya x olmalıdır. Bu x değerleri, verilen denklemdeki kesirleri gerçek Ç,, sayı yaptığından Etkinlik 4.80 Aşağıdaki denklemleri, orantının özeliklerinden yararlanarak, R de çözünüz. a. x x 4 x 8 x Etkinlik 4.8 a 4 b c 4 olduğuna göre, b c a 7 4 a b c toplamını bulunuz. Etkinlik 4.8 Aşağıda verilen orantılardan, istenilen oranları bulunuz. a. a b ise a : b? a b b. a ve b ise a : b : c? b 4 c 5 c. a b a c b c ise a : b : c? b c a b a c d. a b c a b a c ise a : b : c? 7 5 e. a b a b ise a : b? a b a b f. a b a 5b ise a : b? a b 4b 4.. Orantılı Çokluklar Doğru Orantılı Çokluklar Etkinlik 4.8 Ekmek sayıları ile bunların tutarları tabloda verilmiştir. x ekmek sayısı, y ekmeklerin tutarı, x ve y birbirlerine i i karşılık gelen ekmek sayısı ve tutarı olsun. Ekmek sayısı Tutarı(kr) x 0 y x 60 y x 90 y x 0 y 4 x 50 y 5 x 80 y 4 4 5 5 6 6 6 5

a. ; ; 4 4 x y x5 y5 x6 y6 x y x y x y orantılarının varlığını gösteriniz. 5 6 b. 4 x x x x4 x5 x6 y y y y y y olduğunu gösteriniz. c. y ile x arasındaki bağıntıyı bulunuz. Tanım 4.80 Değişen iki çokluktan birinin herhangi iki değerinin oranı, diğerinin bunlara karşılık gelen değerlerinin oranına eşit ise; bu çokluklara doğru orantılı (ya da orantılı) çokluklar denir. Etkinlik-4.8 teki ekmeklerin sayısı ile ekmeklerin tutarı doğru orantılıdır. x ile y doğru orantılı çokluklar olsun. x x iken y y ve x x iken y y ise, x y y y x y x x Karşılıklı tüm x ve y değerleri için y y y... k bulunur. x x x Demek ki; doğru orantılı iki çokluğun birbirlerine karşılık gelen değerleri x ve y ise y k x dır. Bir y çokluğunun bir x çokluğu ile doğru orantılı olduğu y x ile gösterilir ve y orantılı x diye okunur. y yx k x y kx x 0 iken kr dir. ( y oranının değerinin y 0 iken belirsiz, y 0 0 iken tanımsız olduğunu hatırlayınız.) Örnek 4.9 a. Bir işçinin çalışma süresi ile bu süreye karşılık alacağı ücret doğru orantılıdır. b. Satın aldığınız kalemlerin sayısı ile buna ödenecek para doğru orantılıdır. c. Hızı değişmeyen bir hareketlinin aldığı yol ile bu yolu alma süresi doğru orantılıdır. d. Denk işçilerin sayısı ile eşit sürede ürettikleri iş miktarı doğru orantılıdır. Örnek 4.94 Bir işçi 4 saatte 4 m duvarı boyarsa, 0 saatte kaç m duvarı boyar? İşçinin çalıştığı sürelerin oranı, bu sürelerde boyanan duvarların alanlarının oranına eşittir. 4 saat 4 m x 5 m bulunur. 0 saat x Bu tür problemlerde işlemleri uzatmamak için, yukarıdaki orantı problemin ifadesi içinde oluşturulur. Şöyle ki; İşçi 4 saatte 0 saatte 4 m boyarsa x m boyar. Doğru Orantı 4 x 0 4 (D.O.) x 5 bulunur. (Okların işaret ettiği çoklukların çarpımları eşitlenir.) Örnek 4.95 4800 lirayı, 8 ve 0 yaşlarındaki iki kardeş yaşları ile orantılı olarak paylaşırsa; her birinin payı kaç lira olur? Küçük kardeş x lira, büyük kardeş y lira alsın. x 8 x y k y 0 8 0 x 8k ve y 0k x y 4800 8k 0k 4800 k 00 x 800 ve y 000 bulunur. 6

Örnek 4.96 x ve y 5 çoklukları doğru orantılıdır. a. x iken y ise, x 4 iken y kaçtır? b. x iken y 4 ise y 5 iken x kaçtır? c. x 6 iken y 5 ise x 0 iken y kaçtır? a. I. yol Doğru orantılı iki çokluğun oranı sabittir. x k dır. y 5 x ve y için k k 5 6 x y 5 6 orantısında x 4 iken, 4 y 5 bulunur. y 5 6 II. yol x ün alacağı değerlerin oranı, y 5 in bunlara karşılık gelen değerlerinin oranına eşit olacaktır. x y 5 tir. x y 5 x, x 4 ve y değerleri yerlerine konulursa y 5 bulunur. 5 4 y 5 b. x, y 4, y 5 ve x y 5 x y 5 4 5 9 x 5 5 x 0 c. x 6, x 0, y 5 ve x y 5 x y 5 x bulunur. 6 5 5 9 0 0 y 5 7 y 5 y 5 bulunur. Etkinlik 4.84 Aşağıdaki soruları yanıtlayınız. a. Bir araç 8 litre benzinle 00 km yol alırsa, 4 litre benzinle kaç km yol alır? b. 9 işçinin 5 m duvarı ördüğü sürede, duvarı kaç işçi örer? 0 m c. 48 kalem 7 ve 9 yaşlarındaki iki kardeş arasında, yaşlarıyla orantılı olarak paylaştırılıyor. Her birine kaç kalem düşer? d. Üç kişi 60000 lirayı,, 5 sayıları ile orantılı olarak paylaşıyor. Her birinin payı kaç lira olur? e. x ile y doğru orantılı çokluklardır. I. x iken y 9 ise, x 8 iken y kaçtır? II. x 5 iken y 0 ise, x 9 iken y kaçtır? III. x iken y 6 ise, x 0 iken y kaçtır? f. y ile x doğru orantılı çokluklardır. x 4 iken y 9 ise, x 6 iken y kaçtır? Etkinlik 4.85 Bir balıkçı elinde kalan 6 kg balığı Ali ve Veli ye, paraları ile doğru orantılı olarak paylaştıracaktır. a. Ali nin 4 lirası, Veli nin 8 lirası varsa; b. Ali nin 5 lirası varsa, Veli nin parası yoksa; c. Ali nin de Veli nin de parası yoksa, balıkçı paylaştırmayı nasıl yapar? Doğru orantılı x ve y çoklukları arasında y kx bağıntısı olduğundan, y nin x e göre değişiminin grafiği orijinden geçen bir doğrudur. k>0 y k k x y kx x çokluğu hep sıfır olarak kalıyorsa, grafik x 0 doğrusu; y çokluğu hep sıfır olarak kalıyorsa, grafik y 0 doğrusu k k y k>0 x y kx 7

Ters Orantılı Çokluklar Etkinlik 4.86 60 tane elmanın değişik sayıdaki kişiler arasında paylaşılmasında, kişi başına düşen elma sayıları tabloda gösterilmiştir. x kişi sayısı, y kişi başına düşen elma sayısı; x i ve y i birbirlerine karşılık gelen kişi sayısı ve kişi başına düşen elma sayısı olsun. a. x y 4 4 x y x y,, x y x 5 y 5 x 6 y 6 olduğunu gösteriniz. b. x y x y x y x4 y 4... olduğunu gösteriniz. c. x ile y arasındaki bağıntıyı bulunuz. Tanım 4.8 Değişen iki çokluktan birinin herhangi iki değerinin oranı, diğerinin bunlara karşılık gelen değerlerinin oranının tersine eşit ise; bu çokluklara ters orantılı çokluklar denir. Etkinlik-4.86 daki kişi sayısı ile kişi başına düşen elma sayısı ters orantılıdır. x ile y ters orantılı çokluklar olsun. x x iken y y ve x x iken y y ise, x y x y x y x y x y x y Karşılıklı tüm x ve y değerleri için, x y x y x x... k bulunur. Demek ki; ters orantılı iki çokluğun birbirlerine karşılık gelen değerleri x ve y ise, x y k dır. k R için, Kişi sayısı Kişi başına elma sayısı x 60 y x 0 y x 0 y x 5 y 4 x y 5 x 0 y 4 4 5 5 6 6 y k x y k yazılabilir. x 6 y k y k olduğundan y, x ile ters oran- x x tılı ise; x Örnek 4.97 ile doğru orantılıdır. a. Belli bir işin bitirilmesi süresi, denk işçilerin sayısı ile ters orantılıdır. b. Belli bir yolu alma süresi,y hareketlinin hızı ile ters orantılıdır. Örnek 4.98 9 işçi belli bir işi 0 günde yaparsa, 6 işçi aynı işi kaç günde yapar? I. yol İşçi sayısı, çalışılan gün sayısı ile ters orantılıdır. 6 işçi işi x günde yapsın. 9 0 9 x x 5 6 x 6 0 II. yol bulunur. İşçi sayısı, çalışılan gün sayısı ile ters orantılı olduğundan, bunların çarpımı sabittir. 9 işçi 0 günde yaparsa, 6 işçi x günde yapar. Ters orantı 6 x 9 0 (T.O.) x 5 bulunur. Örnek 4.99 80000 liralık ödül, bir takımın iki kalecisine yedikleri gollerin sayısı ile ters orantılı olarak paylaştırılacaktır. Kalecilerden biri 7 gol, diğeri 9 gol yediğine göre; her birinin payı kaç lira olur? I. yol Kalecilerden 7 gol yiyeni x lira, 9 gol yiyeni y lira alsın. 8

x 7 x 9 y 9 y 7 x y k 9 7 x 9k ve y 7k x y 80000 9k 7k 80000 k 5000 x 45000 TL y 5000 TL bulunur. 7 gol yiyen kaleci 45000 TL, diğeri 5000 TL alacaktır. II. yol 7 gol yiyen kaleci x lira, diğeri 80000 x lira alsın. Bir kalecinin yediği gollerin sayısı alacağı para ile ters orantılı olduğundan, bunların çarpımı sabittir. 7 x 9 80000 x x 45000 TL bulunur. Örnek 4.00 x, y, z çoklukları sırasıyla,, 4 sayıları ile ters orantılıdır. x, y, z nin orantılı olduğu en küçük sayma sayılarını bulunuz.,, 4 ile ters orantılı olan sayılar,, 4 ile doğru orantılıdır. x : y : z : : 4 Oranlar ile genişletilirse; x : y : z 6 : 4 : bulunur. Etkinlik 4.87 Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. 6 kişi bir miktar peyniri paylaşacaktır. Paylaşıma kişi daha katılsaydı, kişi başına düşen peynir miktarı kg azalacaktı. Paylaşılacak peynir kaç kg dır? b. 6000 TL, ve 40 yaşlarındaki iki kardeş arasında yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırılırsa, küçük kardeşin payı kaç TL olur? c. 8 elma,, 5 sayıları ile ters orantılı olarak üçe bölünürse, her grupta kaçar elma bulunur? d. x ve y 4 ters orantılı çokluklardır. x 4 iken y olduğuna göre x iken y kaçtır? Etkinlik 4.88 Miray, Senay ve Giray ın programlarında 8 farklı ders bulunmakta ve karnelerindeki notlar 4 ve 5 lerden oluşmaktadır. Karnelerdeki notların dağılımı tabloda verilmiştir. Babaları toplam 404 liralık ödülü, a. 4 lerin sayısı ile ters orantılı olarak paylaştırırsa; b. 5 lerin sayısı ile doğru orantılı olarak paylaştırırsa; c. not toplamları ile doğru orantılı olarak paylaştırırsa her birine kaç lira düşer? Etkinlik 4.89 Etkinlik-4.87 deki soruları yandaki tabloya göre yanıtlayınız. 4 lerin sayısı 5 lerin sayısı Toplam Miray 7 9 Senay 7 9 Giray 4 4 6 4 lerin sayısı 5 lerin sayısı Toplam Miray 0 8 40 Senay 4 4 6 Giray 8 0 Ters orantılı x ve y çoklukları arasında x y k bağıntısı bulunduğundan, y nin x e göre değişiminin grafiği aşağıdakiler gibidir. y k k/ k/ k/ k/ k k>0 x k/ k/ k y k k/ k<0 k/ x 9

k 0 için grafik, x 0 ve y 0 doğrularının oluşturduğu şekildir. Bileşik Orantı Teorem 4.8 Bir z çokluğu x ve y çoklukları ile ayrı ayrı doğru orantılı ise, x y çokluğu ile de doğru orantılıdır. İspat zx y z k x y dir. z k x y eşitliğinde x sabit tutulursa, z k x y z ky k z y ; y sabit tutulursa, z k y x z kx k z x Teorem-4.7 den şu sonuçlar çıkarılır:. U, x, y, z, t birer değişken ve k sabit olmak üzere, m n xy z m n U k ise U değişkeni x, y ve z ile t ayrı ayrı doğru orantılı; t ile ters orantılıdır.. Bir z çokluğu x ve y ile doğru, t ile ters orantılı olsun. x x iken y y, t t, z z ve x x iken y y, t t, z z ise z x y t dir. z x y t Örnek 4.0 6 işçinin günde 8 saat çalışarak 0 günde bitirebilecekleri işi, 5 işçi günde 6 saat çalışarak kaç günde bitirir? I. yol (Bire indirgeme yöntemi) 6 işçi günde 8 saat çalışarak 0 günde bitirirse 8 6 0 günde 6 0 8 günde 5 5 6 bitirir. II. yol Problemi iki aşamada çözelim: 6 işçi; 6 0 8 günde 5 6 0 8 6 günde 5 6 günde 8 saat çalışarak 0 günde bitirirse günde 6 saat çalışarak x günde bitirir. T.O. 6 x 8 0 40 x gün Günde 6 saat çalışarak; 6 işçi 40 günde bitirirse 5 işçi y günde bitirir. T.O. III. yol 40 5 y 6 y 6 gün bulunur. Bileşik orantıdaki değişen çoklukların her biri bilinmeyen çoklukla karşılaştırılır. Bunların doğru orantılı mı, ters orantılı mı oldukları belirlenir. 6 işçi günde 8 saat çal. 0 günde bitirirse 5 işçi günde 6 saat çal. x günde bitirir. T.O. T.O. (Gün sayısı ile) (Gün sayısı ile) İşçi sayısının aynı kaldığı düşünülürse; günlük çalışma süresi ile gün sayısı ters orantılıdır. Buna göre, 6 ile x ve 8 ile 0 çarpılacaktır. Bu, orantıda oklarla gösterilmiştir. Günlük çalışma süresinin aynı kaldığı düşünülürse; işçi sayısı ile gün sayısı (ya da toplam çalışma süresi) ters orantılıdır. Buna göre, 5 ile 6 x ve 6 ile 8 0 çarpılıp eşitlenecektir. Bu da orantıda oklarla gösterilmiştir. Açıklamalarımızı işleme dökersek, 5 6 x 6 8 0 x 6 bulunur. IV. yol III. yolda yaptığımız açıoklamaları daha özlü biçimde yapabiliriz: Çalışılan gün sayısı, işçi sayısı ve günlük çalışma süresi ile ters orantılıdır. 0

Çalışılan gün sayısı g, işçi sayısı i, günlük çalışma süresi s ile gösterilirse; g i s g i s g i s 0 5 6 g i s x 6 8 x 6 bulunur. Biz, bu tür problemlerde IV. yolu öneriyoruz. V. yol 6 işçi günde 8 saat çalışarak 0 günde 6 8 0 480 saatlik iş yapar. 5 işçi bir günde 5 6 0 saatlik iş yapacağına göre, 480 saatlik işi 480 : 0 6 günde bitirir. Etkinlik 4.90 x, y, z, t, u çoklukları arasında x y z t u bağıntısı bulunduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur? a. x ile t doğru orantılıdır. b. x ile y ters orantılıdır. c. z ile t ters orantılıdır. d. t ile u ters orantılıdır. Etkinlik 4.9 Aşağıdaki problemleri, Örnek-4.0 de belirtilen yollarla çözünüz. a. işçi 4 dönüm tarlayı 0 saatte çapalarsa, 5 işçi 6 dönüm tarlayı kaç saatte çapalar? b. 8 er tonluk 6 kamyonun seferde taşıdığı kömürü, 9 ar tonluk 4 kamyon kaç seferde taşır? c. Her biri birim zamanda birim iş üreten 0 işçi günde 8 saat çalışarak 0 birim işi 9 günde üretirse; her biri birim zamanda 5 birim iş üreten 9 işçi günde 6 saat çalışarak 80 birim işi kaç günde üretir? d. 6 işçi her biri 50 cm olan parkelerle 8 saatte 0 m tabanı döşerse; 4 işçi her biri 60 cm olan parkelerle 5 saatte kaç m tabanı döşer? (Farklı parkelerin döşenme süreleri eşittir.) e. Her işçi birim zamanda eşit sayıda parça üretmektedir. Birim zamanda ürettiği parçalardan biri bozuk çıkan 6 işçi 540 sağlam parçayı 5 günde; birim zamanda ürettiği parçalardan si bozuk çıkan 5 işçi 50 sağlam parçayı 6 günde ürettiğine göre; birim zamanda ürettiği parçalardan ü bozuk çıkan 0 işçi 640 sağlam parçayı kaç günde üretir? f. 8 ton demirden, çapı cm olan 500 m uzunluğunda demir çubuk üretilirse; 6 ton demirden çapı 5 cm olan kaç m uzunluğunda demir çubuk üretilir?! Üretilen iş miktarı, (y) - İşçi sayısı ile; (n) - Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş miktarı ile; (p) - Günlük çalışma süresi ile; (r) - Çalışılan gün sayısı ile (t) doğru orantılıdır. Buna göre; Her biri birim zamanda p birim iş yapan n işçi günde r saat çalışarak y birim işi t günde; her biri birim zamanda p birim iş yapan n işçi günde r saat çalışarak y birim işi t günde yaparsa, y n p r t y n p r t Bu sonuç; I. iş miktarı I. işle ilgili değişkenlerin çarpımı II. iş miktarı II. İşle ilgili değişkenlerin çarpımı biçiminde sağlıksız bir genellemeye yol açabilir. Bu genelleme ile problem çözmeye alışan bir öğrenci kolayca yanıltılabilir. Doğru olanı, her değişkenin iş miktarı ile doğru orantılı mı, ters orantılı mı olduğunu ayrı ayrı belirlemektir. Örnek 4.0 8 işçi her biri birim zamanda yapılan 600 parça işi saatte yaparsa; 6 işçi her biri birim zamanda yapılan 500 parça işi kaç saatte yapar? Yapılan parça sayısı, işçi sayısı ve çalışma süresi ile doğru orantılı; bir parçanın üretilme süresi ile ters orantılıdır.

Buna göre; 600 8 500 6 x 600 8 500 6 x x 0 saat bulunur. Örnek 4.0 y çokluğu, x ve p ile doğru; t ile ters orantılıdır. x 7, p ve t iken y ise; x, p ve t iken y kaçtır? I. yol y k x p t yazılır. x 7, p, t, y iken; 7 k k x, p ve t iken; y y 8 bulunur. II. yol y x p t y x p t 7 y y 8 bulunur. Etkinlik 4.9 Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. x tane makine günde y saat çalışarak z parça işi 8 günde yapmaktadır. Makina sayısı ü kadar artırılır, günlük çalışma süresi 4 ü kadar azaltılır ve iş miktarı 5 günde biter? katına çıkarılırsa iş kaç b. Bir terzi ceket diktiği sürede 5 pantolon dikebilmektedir. terzi 40 pantolonu 6 günde dikerse; 5 terzi 80 ceketi kaç günde diker? c. ceket için gereken kumaş ile 5 pantolon dikilebilmektedir. 7 m kumaşla 60 pantolon dikilirse, 90 m kumaşla kaç ceket dikilir. d. A tipi muslukların birim zamanda akıttıkları suyun, B tipi muslukların birim zamanda akıttıkları suya oranı tür. C tipi kovaların hacimlerinin D tipi kovaların hacimlerine oranı 5 tir. A tipi 5 musluktan 6 saatte C tipi 00 kova doldurulursa; B tipi 8 musluktan 0 saatte D tipi kaç kova doldurulur? Etkinlik 4.9 Aşağıdaki soruları yanıtlayınız. a. y çokluğu, x ile doğru ve t ile ters orantılıdır. b. x 6 ve t iken y 8 ise, y ve x 5 iken t kaçtır? y çokluğu x ve t ile doğru orantılıdır. x ve t iken y 9 ise, x ve t 9 iken y kaçtır? Etkinlik 4.94 Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. Bir grup işçinin günde 8 saat çalışarak belli bir sürede yapabileceği işi bu işçilerin 5 sı günde 6 6 saat çalışarak 6 gün daha uzun sürede bitirmiştir. İş kaç günde bitirilmiştir? b. 4 çırak ile usta 4 parça işi 8 günde, 7 çırak ile usta parça işi 5 günde bitirmiştir. çırak ile usta 6 parça işi kaç günde bitirir?

Alıştırmalar ve Problemler 4.. Aşağıdaki eşitliklerin birer orantı olmalarını sağlayan x değerlerinin kümelerini bulunuz. a. x 0 b. 5 5 x c.,6 x,8 7 d. 0 0 x 0 e. 0 x 0 x f. x x x. Aşağıdaki orantılarda bilinmeyen terimleri bulunuz. a. : x 6 : b. : : 6 : x : y c. : 0 : : x : y : z : d. x : : y : 8 6 : 4 : 8 : z. Aşağıdaki sayıların dördüncü orantılılarını bulunuz. a. 4 ; ; b.,;,6;,9 c. ; ; 6 d. 9 6 ; 6; 6 4 e. a b c a ise b c? 5 a b c f. a 5 ve b 4 ise a : b : c? b 6 c 5 g. a b a b a b c ise a : b : c? 6 h. a b c b c a c ise a : b : c? 8 9 i. a b a c b c ise a : b : c? c b a j. a b c ise a : b : c? b c a c a b 6. Aşağıda verilen orantılarda a : b : c oranlarını, mutlak değerleri en küçük olan tam sayılarla ifade ediniz. 7. a. a : b : c : : b. a : b : 4c : 4 : 5 c. 5 a : b : c : : 4 6 d. a : 4b : 6c : : 4 a b c a b b c c d ve 64 olduğub c d b c d na göre a d oranını bulunuz. 4. Aşağıdaki sayıların orta orantılılarını bulunuz. a. ; 6 b. 0 8 6; 45 8 6 c. ; d. 50; 7 8. Aşağıda verilen orantılardan x : y : z oranlarını bulunuz. a. x y y z x z b. xy yz xz 0 6 4 5. Aşağıda verilen orantılardan, istenilen oranları bulunuz. 9. a b a b b c b 5 ise a b c kaçtır? a. a b 4 ise a : b? a b a b ise a b : a 4b? a 5b 4 b. c. a b a b ise a : b? a b d. a b b a ise a : b? a b 0. 4a b 6 ise b kaçtır? 6a c 9 c. a c a ve b a c 7 b d b d b b d göre c oranı kaçtır? d olduğuna

. x y 4z ve ise x y z x y z kaçtır?. ax by cz 8 ve x y z 6 olduğuna abc göre, oranı kaçtır? ab bc ac xy xz yz 4. ve 6 x y z göre; x, y, z değerlerini bulunuz. olduğuna 5. Aşağıda verilenlere göre; x, y ve z nin değerlerini bulunuz. a. x y z ve y z 40 4 6 b. y z x ve x y z c. x y z ve x y 80 4 5 d. x y z ve x y z 0 4 5 6. a 5 b c ve b c a olduğuna 4 5 göre, a nın alabileceği gerçek sayı değerlerinin kümesini bulunuz. 7. Aşağıda verilen orantılardan yararlanarak a b 8. oranlarını bulunuz. a. b. a b x y a b x y a b x y b a 5x y x 4y 5z ve x y z 8 olduğuna göre; (x, y, z) üçlülerinin kümesini bulunuz. 9. Aşağıdaki denklemleri, orantının özeliklerinden yararlanarak, R de çözünüz. a. x x x x 4 b. c. d. e. f. 5 x 7 x x x x x 5 x x x x x x x 5 x x 4 x x x x 9 5 x x x 4x 4 x 6 x x 0. Aşağıdaki soruları yanıtlayınız. a. x ile y doğru orantılı çokluklardır. x iken y 9 ise, x 8 iken y kaçtır? b. x ile y ters orantılı çokluklardır. x 9 iken y 8 ise, x 6 iken y kaçtır? c. x ile y 5 doğru orantılı çokluklardır. d. I. x iken y ise x 5 iken y kaçtır? II. x 4 iken y ise x iken y kaçtır? 5 III. x 5 iken y ise x iken y kaçtır? x 9 ile y z ters orantılı çokluklardır. I. x için y 4 ise x 5 için y kaçtır? II. x için y 5 ise x 4 için y kaçtır? III. x 6 için y ise y için x kaçtır? e. y çokluğu x ve t ile doğru orantılıdır. x ve t iken y 8 ise x ve y 5 iken t kaçtır? f. y çokluğu x ile doğru, t ile ters orantılıdır. 4

x ve t iken y ise t ve y 70 iken x kaçtır? g. y çokluğu x ve t ile doğru, z ile ters orantılıdır. x t ve z 5 iken y 9 ise, x z 0 ve t iken y kaçtır? h. p çokluğu x ve y ile doğru, t ile ters orantılıdır. x y z ve t 4 iken p ise, z ve y 4, z, t 8 ve p 60 için x kaç- tır? p z. x y k eşitliğinde k sabittir. t x, y, p, z, t değişkenlerinin ikişer ikişer ters orantılı mı, doğru orantılı mı olduklarını belirtiniz.. Aşağıdaki sayılarla doğru orantılı olan çokluklar, mutlak değeri en küçük hangi tam sayılarla ters orantılıdır? a., b., 4, 5 c.,, 4 d.,, 4, 6. Aşağıdaki sayılarla ters orantılı olan çokluklar, mutlak değeri en küçük hangi tam sayılarla doğru orantılıdır? a.,, 6 b., 4, 8 c.,, 4, 6 d.,,, 4 4 5 7 4. Aşağıdaki çoklukları, verilen sayılarla doğru orantılı parçalara ayırınız. a. 80 ceviz;, 5, 7 b. 460 lira;,, 4 c. 4 kg fındık; 0,, 5 5. Aşağıdaki çoklukları, verilen sayılarla ters orantılı parçalara ayırınız. a. 600 lira;,, 5 b. 50 kg bal;,, 5 c. 4 elma; 0,, 5 6. Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. 9 tanesi lira olan kalemlerin tanesi kaç lira olur? b. 4 kişinin 5 günde bitirebileceği yiyeceği, 5 kişi kaç günde bitirir? c. 6 işçi toplam 6 m halıyı 6 günde dokursa, 9 işçi toplam 9 m halıyı kaç günde dokur? d. Alanı 00 cm olan fayanslarla her biri m olan 6 parça yüzey 8 saatte döşenirse; alanı 400 cm olan fayanslarla her biri 8 m olan 8 parça yüzey kaç saatte döşenir? (Farklı fayansların döşenme süreleri eşittir.) 7. Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. 9 işçinin yapacağı bir işin bitirilmesi, işçinin gelmemesi yüzünden 4 gün gecikiyor. Bu işi 8 işçi kaç günde yapardı? b. Bir işi Gevher 9 günde, Tunca günde yapmaktadır. Gevher tek başına gün çalışırsa, kalan işi Tunca kaç günde tamamlar? c. Bir grup işçi dönümlük bahçenin fındığını 8 günde toplarken, bu işçilerin fazlası 8 dönümlük bahçenin fındığını 6 günde toplamıştır. Bu işçilerden 8 i, 4 dönümlük bahçenin fındığını kaç günde toplar? d. Bir balıkçı grubu 60 kg balığı paylayacaktır. Gruptaki balıkçı sayısı fazla olsaydı, kişi başına 4 kg daha az balık düşecekti. Gruptaki balıkçı sayısı eksik olsaydı, kişi başına kaç kg balık düşerdi? 8. Aşağıdaki problemleri çözünüz. a. Alüminyumun yoğunluğunun demirin yoğunluğuna oranı 9 6 dır. 080 kg alüminyum ile kalınlığı mm olan 00 m levha üretilirse, 40 kg demir ile kalınlığı mm olan kaç m levha üretilir? b. Bir çırağın birim iş ürettiği sürede, bir usta 5 birim iş üretmektedir. Hem çırak 5

hem usta pantolon diktiği sürede gömlek dikmektedir. usta 8 saatte 0 pantolon dikerse, 8 çırak saatte kaç gömlek diker? c. hızıyla hareket eden bir otomobilin, frene basıldıktan sonra durana kadar aldığı yolun uzunluğu; ile doğru orantılı, lastiklerle yol arasındaki sürtünme katsayısı ile ters orantılıdır. 80 km/h hızla giden bir otomobil sürtünme katsayısının k olduğu bir yolda 40 m de durabiliyorsa; 00 km/h hızla giden bir otomobil sürtünme katsayısının k olduğu bir yolda kaç m de durabilir? 6