BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI

BÖLÜM 5 TÜREV ALMA KURALLARI ~ Türevin Tanýmý ~ Saðdan ve Soldan Türev ~ Türevin Süreklilikle Ýliþkisi ~ Türev Alma Kurallarý ~ Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Türevde Zincir Kuralý ~ Bileþke ve Ters Fonksiyonun Türevi ~ Trigonometrik Fonksiyonun Türevi ~ Ters Trigonometrik Fonksiyonun Türevi ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Kapalý Fonksiyonun Türevi ~ Parametrik Fonksiyon Türevi ~ Logaritmik Fonksiyon Türevi ~ Üstel Fonksiyon Türevi ~ Yüksek Mertebeden Türev ~ Diferansiyel Kavramý ~ Alýþtýrmalar ~ Test ~ Karma Test - - ~ ÖSYM Sorularý

Ýsterdim ki... Kavgayý bir aðacýn yapraðýna yazmak isterdim, Sonbahar gelince yapraklar kurusun diye... Öfkeyi bir bulutun üstüne yazmak isterdim; Yaðmur yaðsýn bulut yok olsun diye... Nefreti karlarýn üstüne yazmak isterdim; Güneþ açsýn, karlar erisin diye... Dostluðu ve sevgiyi yeni doðan bebeklerin yüreðine yazmak isterdim; Onlar büyüsün, dünyayý sarsýn diye... Türev Günün birinde birkaç fonksiyon bir kafede oturmuþ, sýfýra ne kadar hýzla yakýnsadýklarý gibi konular üzerinde tartýþýyorlarmýþ. Derken içlerinden biri kapýya bakarak aniden, baðýrmýþ, Dikkat türev geliyor! Hepsi apar topar sandalyelerinin altýna saklanmýþlar, ancak e hiç istifini bozmamýþ. Türev aðýr adýmlarla içeri girmiþ ve tek baþýna oturan fonksiyonu görüp sen benden korkmuyor musun? demiþ. Hayýr, ben e im diye yanýtlamýþ kendine güvenen bir tavýrla. Yaa demiþ türev. Peki benim e göre türev alacaðýmý kim söyledi?

Türev Alma Kurallarý. TÜREVÝN TANIMI f : A R, y = f() fonksiyonu a A da sürekli olmak üzere, lim f() f(a) a a limiti bir reel sayýya eþitse; bu deðere f() fonksiyonunun = a noktasýndaki türevi denir. y = f() fonksiyonunun = a noktasýndaki türevi f ý df dy (a) veya (a), sembollerinden d d = a biri ile gösterilir. d Burada e türev alma oparatörü denir. d Türev alma iþlemi deðiþik biçimde þöyle ifade edilebilir. h > 0 olmak üzere; = a + h a = h olur. a ( a) 0 olur. h 0 olur. Burada f() fonksiyonunun = a noktasýndaki türevi, ý f() f(a) f(a + h) f(a) f(a) = lim = lim a a h 0 h Eðer yukarýdaki limit bir reel sayý deðerine eþit deðilse fonksiyonun = a noktasýnda türevi yoktur denir. Buna göre, f() fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevi, ý f( + h) f() f() = lim h 0 h þeklinde gösterilmektedir. Örnek f : R R ve f() = fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm f() = f() = () = 5 ý f() f() f() = lim O halde f ý () = 8 bulunur. Örnek f : R R ve f() = + fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz. Çözüm ý f( + h) f() f() = lim h 0 h O halde f ý () = 6 bulunur. Örnek f : R + R ve f() = ñ fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz. Çözüm ý f() 5 = lim ( 4) = lim ( ) ( + ) = lim ( ) = lim ( + ) = ( + ) = 8 ( + h) + ( + ) = lim h 0 h + 6h + h + = lim h 0 h 6h + h = lim h 0 h h(6 + h) = lim h 0 h = lim (6 + h) = 6 + 0 = 6 h 0 f( + h) f() = lim h 0 h + h = lim h 0 h 5

Türev Alma Kurallarý dir. Örnek 4 f : R + R ve f() = sin fonksiyonunun herhangi bir deðeri için türevini tanýmdan yararlanarak bulunuz. Çözüm ý f() = ý f() ( + h ) ( + h + ) = lim h 0 h( + h+ ) + h = lim h 0 h( + h + ) = lim h 0 + h + = = + 0 + ) f( + h) f() = lim h 0 h sin( + h) sin = lim h 0 h sin cosh + sinh cos sin = lim h 0 h sin (cosh ) sinh.cos = lim + h 0 h h cosh sinh = sin lim + cos lim h 0 h h 0 h (cosh ).(cosh + ) = sin lim + cos h 0 h(cosh + ) sin h = sin lim + cos h 0h( + cosh) sinh sinh = sin lim + cos h 0 h + cosh = sin ( 0) + cos = cos bulunur.. SAÐDAN VE SOLDAN TÜREV A R, a A, f : A R ye tanýmlý f() fonksiyonu verilsin. i) limitinin bir reel sayý deðeri varsa buna f() in = a noktasýndaki saðdan türevi denir ve f ý (a + ) þeklinde gösterilir. ii) Çözüm f() f(a) lim + a a f() f(a) lim a a limitinin bir reel sayý deðeri varsa bu deðere f() in = a noktasýndaki soldan türevi denir ve f ý (a ) þeklinde gösterilir. = a noktasýnda f() in saðdan ve soldan türevleri birbirine eþit ise fonksiyonun bu noktada türevi vardýr denir. f ý (a + ) = f ý (a ) = f ý (a) dýr. Limitte olduðu gibi saðdan ve soldan türevler özel tanýmlý fonksiyonlarda uygulanýr. Örnek 5, < f() =, fonksiyonunun = noktasýndaki türevi nedir? ý + f() f() 0 f( ) = lim = lim + + ( )( + ) = lim = lim ( + ) = + ( ) + ý f() f() 0 f() = lim = lim = O halde, f() = sin ise f ý () = cos dir. f ý ( + ) f ý ( ) olduðundan f() fonksiyonunun = noktasýnda türevi yoktur. 5

Türev Alma Kurallarý Örnek 6 f : R R ye tanýmlý, fonksiyonunun o = 0 noktasýnda türevi nedir? Çözüm = 0 noktasýnda saðdan ve soldan türevleri farklý olduðundan f() in bu noktada türevi yoktur, fakat fonksiyon = 0 noktasýnda süreklidir. Örnek 7 f : R R ye tanýmlý, fonksiyonunun o = noktasýnda türevi nedir? Çözüm ý + ý f() f() f( ) = f() = lim olduðundan f() fonksiyonu = noktasýnda türevi vardýr ve f ý () = dir. = nok- olduðundan f() fonksiyonu o tasýnda süreklidir. Örnek 8, 0 f() =, > 0 ý + f() f(0) 0 f(0 ) = lim = lim = dir. + 0 0 + 0 ý f() f(0) 0 f(0 ) = lim = lim 0 0 0 = lim = 0 bulunur. 0 +, için f() =, = için + = lim = lim = lim f() = lim f() = lim ( + ) = = f() + +, f() = 6, =, < fonksiyonunun = noktasýnda türevi var mýdýr? Çözüm f() = 6 ý + f() f() f( ) = lim + ý f() f() f( ) = lim f ý ( + ) f ý ( ) olduðundan f() in = noktasýnda türevi yoktur. Burada, f() fonksiyonunun = noktasýnda sürekli olduðuna dikkat ediniz. Sürekli olan her fonksiyon ayný noktada türevlenemeyebilir.. TÜREVÝN SÜREKLÝLÝK ÝLE ÝLÝÞKÝSÝ Teorem: f : [a, b] R ve c [a, b] olsun. Eðer f() fonksiyonu = c noktasýnda türevi varsa bu noktada süreklidir. Ýspat : f() in = c noktasýnda türevi olduðundan, f() f(c) h() = ( c) c lim h() c = ý f (c) dir. Buradan, alýnýrsa, f() lim f() = lim f(c) + lim f( c) h() f(c) = ( c) h() c c c f() = f(c) = f(c) + ( + limc) f( h() c) lim h() c c her iki tarafýn limitini alalým. = f(c) + 0 h(c) = f(c) lim f() = f(c) c + 6 = lim + ( + )( ) = lim + ( ) 6 = lim ( ) ( + ) = lim = 8 bulunur. ( ) bulunur. = 5 bulunur. 5

Türev Alma Kurallarý Bu da f() fonksiyonunun = c noktasýnda sürekli olduðunu gösterir. Bu teoremden þu sonuçlar çýkartýlabilir. Sonuç : f() fonksiyonu herhangi bir o noktasýnda sürekli deðilse o noktada türevlenemez. y f() = de f() süreksiz = de türevi yok Gerçekten yukarýda verilen noktalarda teðetlerin çizilemediðini veya teðet çizildiðinde bu teðetlerin farklý olduðu görülür. y f() = de f() süreksiz = de türevi yok Örnek 9 + f() = fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarý bulunuz. Çözüm f() fonksiyonu süreksiz olduðu noktalarda türevi yoktur. Bundan dolayý fonksiyonun tanýmsýz olduðu noktalarý bulalým. = 0 ( 4)( + ) = 0 4 = 0 + = 0 = 4 = bulunur. O halde f() fonksiyonu = 4 ve = apsisli noktalarda süreksiz, dolayýsýyla bu noktalarda türevi yoktur. Sonuç : f() fonksiyonu o noktasýnda sürekli olsa bile bu noktada türevi olmayabilir. y f() Örnek 0 f() = + a a + fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn 5 apsisleri toplamý ise a nýn deðeri kaç- 4 týr? 4 d d = 4 noktasýnýn solunda artan saðýnda azalan veya saðdan teðet d soldan teðet d olup d d olduðundan fonksiyon = 4 noktasýndaki saðdan ve soldan türevleri farklýdýr, dolayýsýyla o noktada fonksiyonun türevi yoktur. Çözüm f() in süreksiz olduðu noktalarda türevinin olmadýðýný biliyoruz. Buna göre; a = 0 a + = 0 = = a a Yukarýdaki örneði inceleyiniz. Uyarý: Bir fonksiyon sürekli olup, türevi olmadýðý noktalara kýrýlma noktasý denir. türevsiz olduðu noktalarýn toplamý; 6 5 + = = = olur. a a a a Buradan, 5 5 = a = bulunur. a 4 54

Türev Alma Kurallarý 4. TÜREV ALMA KURALLARI Türevin tanýmýný kullanarak bir fonksiyonun türevini almak uzun iþlemler gerektirebilir. Bundan dolayý bir fonksiyonun türevini kýsa yoldan bulmamýzý saðlayacak kurallarý göreceðiz. ) Sabit fonksiyonun türevi : f : R R, f() = c, c R olmak üzere, n n n n + n. h+... + h = lim h 0 h n n n. h +... + h = lim h 0 h n n h[ n. +... + h ] = lim h 0 h n = n. + 0 +... + 0 n = n. f() = c ise f ý () = 0 Sabitin türevi sýfýrdýr. dýr. ý n f () = n. bulunur. Ýspat : ý f() f(c) c c f() = lim = lim h 0 h h 0 h 0 = lim = lim 0 = 0 dýr. h 0 h h 0 Örnek ~ f() = f ý () = ~ f() = 5 4 f ý () = 5 4 = 0 ~ ý y = = y = = Örnek ~ f() = ý f() = 0 ~ ý y = y = = ~ f() = t + ~ f(t) = + k ý dy f() = = 0 d ý dy f(t) = = 0 dt ~ y = a 5 ~ y = a 5 ~ y = t dy a 5 4 = d dy 5 = a da dy = t dt ) Bir polinomum türevi : n R {0}, f : R R, f() = n ~ y = t ~ y = a. dy = 0 dc dy = a d f() = n ise f ý () = n n dir. ~ y = t. dy = dt Ýspat: n n ý f( + h) f() ( + h) f() = lim = lim h 0 h h 0 h n n n n n n n ( 0) + ( ) h +... + ( n)h = lim h 0 h ) Fonksiyonlarýn toplamýnýn veya farkýnýn türevi : f ve g türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere, ý ý ý F() = f() g() F () = f () g () 55

Türev Alma Kurallarý Ýspat : ý F() = lim h 0 [ f( + h) g( + h) ] [ f() g() ] f( + h) f() g( + h) g() = lim h 0 h f( + h) f() g( + h) g() = lim lim h 0 h h 0 h ý ý h = f () g () bulunur. Örnek 6 Çözüm f() = ve g() = + olduðuna göre, (f + g) ý () nin eþiti nedir? ý ý f() = f() = = 0 ý g() = + g() = + = 5 ý ý ý (f + g) () = f () + g () ý = 0 + 5 = 5 bulunur. Örnek ~ f() = + 4 f ý () = 4 + 4 0 ~ f() = c k + t f ý () = c k + 0 ~ f() = a b f ý () = a a b b ~ y = k t + dy t = kt + d ~ y = a b + t dy b = ab + 0 d 4) Ýki fonksiyonun çarpýmýnýn türevi : f ve g fonksiyonlarý (a, b) aralýðýnda türevlenebilen iki fonksiyon ise f g fonksiyonu da ayný aralýkta türevlenebilir. F() = f().g() ý ý ý F () = f () g() + f() g () Örnek 4 f() = + ise f ý () in eþiti nedir? Çözüm ý f() = + ý f () = () + = bulunur. ý (f g)( + h) (f g)() (f g) () = lim h 0 h f( + h) g( + h) f() g( + h) + f() g( + h) f() g() = lim h 0 h [f( + h) f()] g( + h) +[ g( + h) g()] f() = lim h 0 h [f( + h) f()] g( + h) g() = lim g( + h) + lim f() h 0 h h 0 h Ýspat: ý ý = f() g() + g () f() bulunur. Örnek 5 f() = a ve f ý () = 6 ise a nýn eþiti kaçtýr? Çözüm ý f() = a f() = a = 6 ý a = 8 a = 4 bulunur. Uyarý : ~ f() = c g() f ý () = c g ý () ~ f() = [g()] f ý () = g() g ý () ~ f() = [g()] f ý () = [g()] g () ~ f() = [g()] n f ý () = n [g()] n g ý () 56

Türev Alma Kurallarý Örnek 7 Örnek 8 ~ y = ( ) y ý = ( ) ~ y = ( + ) y ý = ( + ) + = + ~ y = ( ) ( ) ise y ý eþiti nedir? y ý = ( ) + (4 ) ( ) h() = ( )( ) ise h ý () nin eþiti nedir? f( + h) f() = lim g() h 0g( h) g() + h g( + h) g() f() h f(+ h) f() = lim lim g() h 0 h 0 h [ g() ] [ g() ] g( + h) g() f() lim h 0 h lim ý ý = f () g() g () f() h 0 Çözüm h ý () = ( )( ) + ( ) ( ) = ý ý f () g() g () f() [ g() ] dir. h ý () = ( )( ) + ( ) ( ) h ý () = ( ) + ( 4) 6 h ý () = 4 = 5 dir. 5) Ýki fonksiyonun bölümününün türevi : f ve g, (a, b) aralýðýnda türevlenebilen iki f fonksiyon ve g() 0 ise fonksiyonu da g ayný aralýkta türevlenebilir. f() ý f () g() F() F () g () = = f() g() Ýspat : ý ý [ g() ] Örnek 9 ~ ~ ~ + f() = + f() = f() = 4 ý ( + ) ( + ) f() = ( + ) ý 0 f() = = 4 ý 0 4 f() = = dir. 4 5 ( ) ~ f() = + ise f ý () in eþiti nedir? + ý ( + ) ( ) f() = + 6 ( + ) ý F() f f ( + h) () g g = lim h 0 h f( + h) f() g( + h) g() = lim h 0 h Uyarý: ~ a + b ý ad y = y = bc c + d (c + d) a + b + c ~ y = m + n + t Bu ifadenin pay kýsmýna f() g() ifadesini bir çýkartýp bir de eklediðimizde, = lim h 0 f( + h) g() g( + h) f() = lim h 0 g( + h) g() h [ f( + h) f() ] g() f() [ g( + h) g() ] g( + h) g() h ý y = a b a c b c + + m n m t n t (m + n + t) ý (an bm) + (at cm) + (bt cn) y = (m + n + t) 57

Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi Örnek 0 Çözüm ise f ý () in deðeri kaçtýr? 5. ÖZEL TANIMLI FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ Özel tanýmlý fonksiyonlar her yerde sürekli deðildir. Dolayýsýyla süreksiz olduðu yerde türevlenemezler. Fonksiyonun verilen bir noktada türevinin olabilmesi için, i) fonksiyon verilen noktada sürekli olmalý ii) fonksiyon verilen noktada saðdan ve soldan türevleri birbirine eþit olmalýdýr. A) PARÇALI FONKSÝYONUN TÜREVÝ Örnek 4 6 + f() = 6 9 + 5 ý f() = 4 6 4 6 + + 6 9 6 5 9 5 (6 + 9 + 5) ý ( 6 + 6) + (0 ) + ( 0 + 8) f() = (6 9 + 5) ý 6 f() = (6 9 + 5) ý 6 4 f () = = = bulunur. (6 9 + 5) +, f() = +, < f() fonksiyonunun = noktasýnda türevi varsa bulunuz. Çözüm f() fonksiyonu = noktasýnda sürekli olduðundan türevlenebilir. O halde, f() f() + ý + f ( ) = lim ve f() = olduðundan, Örnek lim lim + + + (+ )( ) = = ( ) = lim ( + ) = + = + _ ý f() f() f() = lim,f() = _ >, f() = 6, =, < + ( )( + + ) = lim = lim ( ) _ = lim ( + + ) = + + = ý + _ f() = f( ) = olduðundan ý f () = bulunur. ý f() fonksiyonunun = noktasýndaki türevi varsa bulunuz. Çözüm f() fonksiyonu = noktasýnda sürekli olduðundan türevine bakýlabilir. ý + f() f() f ( ) = lim ve f() = 6 olduðundan, + 6 ( + )( ) = lim = lim + + ( ) = lim ( + ) =. + = 7 + _ ý f() f() f( ) = lim _ 6 = lim = lim _ _ ( )( + + 4) = lim _ ( ) = lim ( + + 4) = +. + 4 = _ O halde f ý ( + ) f ý ( _ ) olduðundan f() in = noktasýnda türevi yoktur. 58

Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi B) MUTLAKDEÐER FONKSÝYONUN TÜREVÝ g : A R, f() = g() a A, g(a) 0 olmak üzere; ý g(), g(a) < 0ise ý ý y = f () = ý g(), g(a) > 0ise ~ g(a) = 0 için f() in = a noktasýndaki saðdan ve soldan türevleri eþit ise fonksiyonun = a noktasýnda türevi vardýr, aksi takdirde türevi yoktur. ~ mutlak deðer fonksiyonun içi tamkare ise mutlak deðerin içini sýfýr yapan noktada saðdan ve soldan türevleri genelde eþit çýkacaktýr. Örnek 4 Çözüm f() = _ fonksiyonunun = ve = noktalarýndaki türevini bulunuz. Örnek 5 = için _ > 0 olduðundan f() = _ f ý () = _ f ý () = _. = 0 = için _ < 0 olduðundan f() = _ + f ý () = _ + f() = _ 4 + 4 f ý () = _ +. = 4 fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm Örnek f() = _ fonksiyonunun türevinin kuralýný bulunuz. Çözüm f() in _ = 0 ise = noktasýndaki türevine bakalým., > f() = +, < > ise f ý () = ve f ý ( + ) = < ise f ý () = _ ve f ý ( _ ) = _ f ý ( + ) f ý ( _ ) olduðundan = de türevi yoktur., > ise ý f () = yoktur, = ise, < ise Uyarý : Mutlak deðer fonksiyonu türevi alýnacak noktada önce tanýmlanýr, sonra türevi alýnýr. Daha sonra verilen nokta türevde yerine yazýlýr. = için f() = _ 4. + 4. = 0 = 0 olduðundan = nin saðýnda ve solunda fonksiyon ayný deðeri alacaðýndan = için saðdan ve soldan türevler daima birbirine eþittir. Örnek 6 ý f() = lim f() = 4 + 4 =. ( ) f : R [ _, ] ve f() = cos noktalarýn- π fonksiyonunun = ve = π daki türevlerini bulunuz. Çözüm ~ π = için cos > 0 olduðundan f() = cos f() f() 4 + 4 0 = lim. ( ) = lim = lim.( ) = 0 bulunur. f ý () = _ sin 59

Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi ý π π f = sin = ~ = π için cos < 0 olduðundan f() = Sgn(g()) ise, 0, g(a) 0 ise ý f(a) = yoktur, g(a) = 0 ise f() = _ cos f ý (π) = sinπ = 0 f ý () = sin ise Ýþaret fonksiyonu iþaret deðiþtirdiði noktada sýçrama yaptýðýndan süreksizdir dolayýsýyla türevlenemez. Örnek 7 f : IR IR, f() = _ 9 + fonksiyonu verildiðine göre f ýý () kaçtýr? Çözüm = için mutlakdeðerin içi negatif f() = _ + 9 + f ý () = _ + f ýý () = _ 6 + f ýý () = _ 6. + = _ 0 Örnek 9 f() = Sgn( 6) fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarý bulunuz. Çözüm 6 = 0 ( _ )( + ) = 0 = ve = _ Örnek 8 f() = _ 4 + + fonksiyonunun = noktasýnda türevini bulunuz. y Çözüm = noktasý mutlakdeðerin içini sýfýr yapan bir deðer olduðundan kritik noktadýr. = için saðdan ve soldan türevler farklý olacaðýndan f ý ( + ) f ý ( _ ) dýr. Dolayýsýyla bu noktada f() in türevi yoktur. = noktasýnýn dýþýndaki noktalarda türevleri vardýr. C) ÝÞARET FONKSÝYONUNUN TÜREVÝ g : A R, a A, f() = Sgn(g()) fonksiyonu verilsin. Eðer f() = Sgn(g()) fonksiyonu, ~ = a noktasýnda sürekli ise bu nokta da türevi vardýr ve bu türev sýfýrdýr. (sabitin türevi sýfýr olduðundan) ~ = a noktasýnda f() sürekli deðilse bu noktada türevi yoktur. f() fonksiyonu = ve = _ de iþaret deðiþtiriyor. Grafikte görüldüðü gibi fonksiyon bu noktalarda sýçrama yapmýþtýr. Dolayýsýyla süreksizdir. O halde türevi yoktur. Örnek 0 _ f() = + Sgn( _ ) fonksiyonunun = ve = noktalarýndaki türevlerini bulunuz. Çözüm = ve = için _ 0 dýr. O halde bu noktalar f() in kritik noktasý (iþaret deðiþtirdiði) noktalar deðildir. = için f() = _ f ý () = f ý () =. = = için f() = + f ý () = f ý () =. = 7 bulunur. 60

Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi Örnek f() = ( _ ). Sgn( _ ) fonksiyonunun = noktasýnda türevi var mýdýr? Çözüm i) = de f() sürekli midir? ii) [ ] lim f() = lim ( )Sgn( ) = ( ). = 0 + + [ ] lim f() = lim ( )Sgn( ) = ( ).( ) = 0 = için f() = 0 olduðundan bu noktada f() süreklidir. O halde f() in = noktasýnda saðdan ve soldan türevlerine bakalým. ý + f() f() ( ). 0 f( ) = lim = lim = + + ý f() f() ( ).( ) 0 f( ) = lim = lim = f ý ( + ) f ý ( _ ) olduðundan f() in = noktasýnda türevi yoktur. Uyarý : Yukarýdaki örnekte de görüldüðü gibi fonksiyon iþaret deðiþtirdiði (kritik) noktada sürekli ise bu noktada türevinin olup olmadýðýný anlamak için saðdan ve soldan türevine bakýlýr. O halde fonksiyonun sürekli olduðu kritik noktada türevi olmayabilir. Fonksiyonlar sürekli olduðu bütün noktalarda türevlenemiyebilir. ~ Eðer g(a) Z ise f() in = a noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakýlýr. Eðer fonksiyon sürekli ise ayný noktada saðdan ve soldan türevine bakýlýr. Fonksiyon sürekli deðilse türevi yoktur. Örnek f() = + fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm 5 = için. + = Z olduðundan f() in = sýfýrdýr. ý f = 0 dýr. Örnek f() = noktasýnda türevi vardýr ve bu türev + fonksiyonunun = noktasýnda varsa türevini bulunuz. Çözüm + + lim f() = lim + =, + = 5 lim f() = lim + =,9 + = 4 O halde f() fonksiyonu = noktasýnda sürekli olmadýðýndan dolayý türevi yoktur. D) TAMDEÐER FONKSÝYONUNUN TÜREVÝ g : A R, a A, f() = fonksiyonu veriliyor. ~ Eðer g(a) Z ise f() in = a noktasýnda türevi vardýr ve bu türev sýfýrdýr. (sabit sayýnýn türevi sýfýr olduðundan) g() Örnek 4 f() = 4+ 4 fonksiyonunun = noktasýnda varsa türevini bulunuz. Çözüm = için + = 5 Z ise f() in = noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakalým. = için _ 4. + 4 = 0 Z olduðundan f() = noktasýnda sürekli olup olmadýðýna bakalým. 6

Özel Tanýmlý Fonksiyonlarýn Türevi lim f() = lim ( ) = lim 0 = 0 + + + = için f() = _ + ( _ ) = _ lim f() = lim ( ) = lim 0 = 0 _ olduðundan f() = noktasýnda süreklidir. O halde fonksiyonun bu noktada saðdan ve soldan türevlerine bakalým. f() f() ( ) 0 + ý f( ) = lim = lim + + 0 = lim = lim 0 = 0 + + f() f() ( ) 0 ý f( ) = lim = lim 0 = lim = lim 0 = 0 f ý ( + ) = f ý ( _ ) f ý () = 0 dýr. f() = _ ise, Örnek 7 Çözüm ý ý f () = f = bulunur. f : R R, f() =. + fonksiyonu verildiðine göre, deðeri kaçtýr?. sgn() = de f() =. +. f() = + dir. ý ý f () = f =. = bulunur. ý f nin Örnek 5 f : [ _, 5] R, f() = + fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn kümesini bulunuz. Çözüm [ _, 5] aralýðýnda ifadesini tamsayý + yapan noktalarýnýn kümesini bulmalýyýz. Bunun için e verilecek sayýlarýn ile bölünmesi gerekiyor. Bu sayýlar { _, 0,, 4} dür. Örnek 6 f : R R, f() = + + sgn ý fonksiyonu verildiðine göre f kaçtýr? Çözüm = de özel tanýmlý fonksiyonlarý tanýmlýyalým, sonra türevlerini alalým. Örnek 8 f() = + + 6+ 9 fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? Çözüm = için olup tamdeðerin içi kare olduðundan fonksiyon bu noktada süreklidir, dolayýsýyla türevlenebilir. = için f() = + + 0 f ý () = + f ý () =. + = 9 bulunur. Uyarý : f() = g() ( ) = 0 Z fonksiyonu ý 0, g(a) Z f(a) = yoktur, g(a) Z = de fonksiyon süreklidir. Bazý istisnalar hariç bu formül kullanýlabilir. 6

ALIÞTIRMALAR. f() = _ olduðuna göre, f( + h) f() lim h 0 h ifadesinin sonucu nedir? Cevap : _ Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. f() = _ 9 + sgn( _ ) fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýn apsislerini bulunuz. Cevap : {,, 0,, }. f() = + a ve f() f() lim = 0 a nýn deðeri kaçtýr? olduðuna göre, Cevap : 4 7. f() = + a _ + fonksiyonu için f() = f ý () olduðuna göre, a nýn deðeri kaçtýr? Cevap : _. f() = _ olduðuna göre, f() f() lim ifadesinin sonucu kaçtýr? Cevap : 0 8. f() = a dy + k olduðuna göre, d kaçtýr? Cevap : 0 4., > ise f() = 4, ise fonksiyonu tanýmlandýðýna göre, f ý ( + ) + f ý ( _ ) nin eþiti kaçtýr? Cevap : 8 9. f(a) = a dy k + olduðuna göre, kaçtýr? da Cevap : ak 5., ise f() =, < ise fonksiyonunun = noktasýndaki türevini bulunuz. Cevap : yoktur. 0. f() = + 5 _ 4 + olduðuna göre, dy = f ý () d kaçtýr? Cevap : + 0 _ 4 6

ALIÞTIRMALAR. f(m) = m _ m + 5 olduðuna göre, d f(m) = f ý (m) =? dm Cevap : m _ Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. f() = + + 5 + olduðuna göre, ý 6 f in deðeri kaçtýr? 5 Cevap : 5. f() = ( _ ) 5 olduðuna göre, f ý () i bulunuz. Cevap : 5( _ ) 4. ( _ ) 7. f() = _ + olduðuna göre, f ý () + f ý ( _ ) kaçtýr? Cevap : 9. f() = _ + olduðuna göre, f(+h) f() lim h 0 h ifadesinin deðeri kaçtýr? Cevap : 5 8. f() =. sgn( _ ) + olduðuna göre, f ý (5) in deðeri kaçtýr? Cevap : 0 4. f() = ( _ ). ( + ) olduðuna göre, f ýý () ün deðeri kaçtýr? Cevap : _ 4 + 9. f() = olduðuna göre, Sgn( ) f ý () ün deðeri kaçtýr? Cevap : 6 5. f() = ( _ ), g() = _ olduðuna göre, d d f () g kaçtýr? Cevap : 5 9 0. f() = Sgn( _ ), g() = ( _ ) 5 olduðuna göre, (f.g) ý () nin deðeri kaçtýr? Cevap : 0 64

TEST. f() = _ fonksiyonu verildiðine göre; f() f(c) lim c c ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 6 B) 6 C) 6c D) c E) 0 Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. Aþaðýdaki grafiklerden hangisinin = o noktasýnda türevi vardýr? y A) B) y C) y o o o y D) E) y. f() =.t _.t fonksiyonu verildiðine göre; dy dt nin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? o o A) 6.t _ t B) _ t C) 6 _ t D) 6 _.t E) _ t. 7. (a + h) (a) lim h 0 h ifadesinin deðeri aþaðýdakilerden hangisidir?. f() = _ + fonksiyonu verildiðine göre; f( + h) f() lim h 0 h ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 5 8. A) B) a C) a D) a E) a f() = + a a + 4 fonksiyonunun türevsiz olduðu noktalarýnýn ap- sisler toplamý 5 ise, a nýn deðeri kaçtýr? A) 5 B) 4 C) D) E) 4. f : R R, f() = _ a + fonksiyonu için f ý () = olduðuna göre, a nýn deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 9. + 6, > f() = +, fonksiyonu verildiðine göre, f ý ( + ) + f ý ( _ ) eþiti kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. +, > f() = + c, fonksiyonu = noktasýnda türevi olduðuna göre, c nin deðeri kaçtýr? A) B) C) 0 D) _ E) _, 0. f() = fonksiyonu veriliyor., > Buna göre f ý () in deðeri kaçtýr? A) Yoktur. B) C) D) E) 0 65

TEST. f() =.( _ ) fonksiyonu verildiðine göre, f ý () in deðerini bulunuz. A) 9 _ B) 9 _ 5 4 C) 9 _ 4 D) _ 4 4 E) _ 4 Türev Alma Kurallarý - Özel Tanýmlý Fonk. Türevi 6. f() = _ 4 + Sgn( _ ) + fonksiyonu verildiðine göre, f ý ( + ) nin deðeri kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4. f : R _ {} R, n f() = fonksiyonunun = noktasýndaki türevi _ ise, n nin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 7. f() = + _ 4 + _ fonksiyonu verildiðine göre, f ý () nin deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 6 D) 7 E) 8. f() = + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (8) in deðeri kaçtýr? 5 A) B) C) D) E) 4 6 6 8. f() = _ _ + fonksiyonunun = _ noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 8 B) C) D) 0 E) Yoktur. 4. f() = _ + fonksiyonu için, f() + f ý () = f ý () denkleminin kökü kaçtýr? A) _ B) 0 C) D) E) 9. f() = _ +.Sgn( _ + ) + fonksiyonu verildiðine göre, f ý () ün deðeri kaçtýr? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. f() = _ fonksiyonu veriliyor. Buna göre d f () eºiti kaçtýr? d A) 4 _ 6 + B) _ + C) _ + D) 4 _ + E) 4 _ 6 + 0. f() = + _ 4 + fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f ý (0) ýn deðeri kaçtýr? A) _ 4 B) _ C) _ D) E) Yoktur. Cevaplar: -C -E -B 4-D 5-A 6-D 7-D 8-A 9-E 0-A -B -C -C 4-E 5-A 6-E 7-E 8-C 9-E 0-A 66

Türev Alma Kurallarý 6. TÜREVDE ZÝNCÝR KURALI þeklinde türev alýnýr. Genelde iç içe fonksiyonlarýn türevlerinin daha kolay bir þekilde alýnmasýnda kullanýlýr. Örnek 7 y = u dy ise, in eºiti kaçtýr? u = + d Bu tür fonksiyonlar, f() = ( + _ ) 7 þeklinde karþýmýza çýkabilir. Bu durumda üste göre türev sonrada içinin türevi çarpý olarak yazýlýr. Örnek Çözüm Örnek çözüm y = f(u) dy dy du d u = g() ise, =.. dt du d dt = h(t) dy dy du =. d du d 6 = 7.u.( + ) f ý () = 7.( + _ ) 6.( + ) dir. f() = 5 8 ( ) 5 8 f() = = 5( ) 8 ( ) þeklinde yazýlýr ve türev alýnýrsa, ý 8 f () = 5. 8( ).( ) 40.( ) = bulunur. 9 ( ) f() = 6 = 7.( + ) ( + ) ise, dy in eºiti kaçtýr? d fonksiyonunun türevini bulunuz. f() = = olur. ( ) Uyarý : Köklü ifadelerin türevi alýnýrken iç içe fonksiyonlar gibi düþünebiliriz, yani kökün derecesi üstel biçimde yazýlarak türevde zincir kuralý uygulanýr. Örnek 4 Çözüm Bu örneklerden sonra aþaðýdaki sonuçlarý verebiliriz: u, e baðlý bir fonksiyon olmak üzere, Örnek 5 f() = + + 5 ise, ( ) ý f() =..( ) = =. ( ) ( ) f() = + + 5 ( ) ( ) ý f() = +. + 5.(+ ) = +. + 5.( + ) = + +. ( + 5) ý u f() = u ise, f () = u ý ý u f() = u ise, f () =. u ý p q ý q.u p p q f() = u ise, f () = p. u ý y = y = ý + y = + y = + dy in eºiti kaçtýr? d ý y = y =. y = ý y =. ( ) ý 67

Türev Alma Kurallarý BÝLEÞKE FONKSÝYONUN TÜREVÝ F : A R, a o A da türevlenebilen bir fonksiyon olsun. Eðer taným kümesi f(a) olan bir g fonksiyonunda y o = f( o ) f(a) da türevlenebiliyor ise bu taktirde (gof)() fonksiyonu da o noktasýnda türevlenebilir ve bu türev; Örnek f()= _ ve g()= + ise, y = (fog)() bileþke fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm y ý ý ý ý ý ý ý (fog) () = f(g()) = f (g()). g () = f (g()). g () = (4 )o( + ). = 4( + ). = 4 + 8. = 8 + 0 bulunur. Örnek < 0 olmak üzere, f( _ ) = _ + ise, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? Çözüm f ý ( _ ). ( _ ) = 6 _ Ayrýca _ = 4 olmalýdýr. Buradan, 4 = 0 ise ( + )( _ 4) = 0 = _ ve = 4 bulunur. < 0 olduðundan = _ i türevde yerine yazalým. = _ için, f ý [( _ ) _ ( _ )](.( _ ) _ ) = 6.( _ ) _ f ý (4).( _ 5) = _ 8 f ý (4) = Örnek 4 Çözüm 8 5 bulunur. f() = g( _ ), g ý (6) = 5 ise f ý () ün deðeri kaçtýr? f ý () = g ý ( _ ).( _ ) f ý () = g ý ( _ ).(. _ ) = g ý (6). 5 = 5.5 = 5 bulunur. Örnek f()= _, g()= + fonksiyonlarý verilsin, h() = (fog)() in türevi nedir? Çözüm h() = (fog) ý () = f ý (g()). g ý () dir. = [g() _ ]. ( + ) = [( + ) _ ]. ( + ) = 6 5 + 6 _ + 8 _ II. Yol : fog() = f(g()) = g() _ g() = ( + ) _ ( + ) = 6 + 4 4 + 4 ise (fog) ý () = 6 5 + 6 _ + 8 _ þeklinde de bileþke fonksiyonunun türevi alýnabilir. Örnek 5 f( _ ) = Çözüm ý.( + ). f( ).= ( + ) Örnek 6 = için, + ise, f ý () ün eþiti kaçtýr? ý.( + ) 6. f(. ).= ( + ) ý 5 4 f().= 5 ý 9 f() = bulunur. 50 [f()] =.f() + 6 ve f() = ise, f ý () ün deðeri kaçtýr? 68

Türev Alma Kurallarý Çözüm Eþitliðin her iki tarafýn türevini alalým..f().f ý () =.f() + f ý ()..f().f ý () =..f() + f ý ()...f ý () = 6. + f ý ().9.f ý () = 6 + 9. f () ý ý 6 7.f () = 6 f () = bulunur. 7 TERS FONKSÝYONUN TÜREVÝ A, B R ve f : A B bire-bir ve örten fonksiyon olsun. Bu taktirde f _ : B A ya ters fonksiyonu vardýr. o A ise, f( o ) = y o B dir. y o B ise, f _ (y o ) = o A dýr. tersine Bu taktirde f fonksiyonu o A noktasýnda türevli ve f ( o ) 0 ise f _ fonksiyonu da o ýn f altýndaki görüntüsü olan y o noktasýnda türevlidir ve bu türev, + 4 = _ + 4 + = 0 ise (+)(+) = 0 buradan = _ ve = _ bulunur. Taným kümesi [ _, ) olduðunda = _ olamaz. O halde o = _ dir, o = _ için y o = _ dür. f() = + 4 f ý () = + 4 f ý ( _ ) = Bu taktirde (f _ ) ý ( _ ) = bulunur. II. Yol: Önce verilen fonksiyonunun tersini bulup sonra türevini alalým. y = + 4 ise, y = + 4 + 4 _ 4 y = (+) _ 4 y + 4 = (+) ó+4 = + _ +óy+4 = y o = _ için, f( ) = ý f _ () = _ + ó+4 f _ (y) = _ + óy+4 ý (f ) (y) = y+ 4 ý (f ) (y o) = ý f( ) o ý (f ) ( ) = = + 4 bulunur. Bu kural yardýmýyla f _ ters fonksiyonu bulunmadan f _ in türevi bulunabilir. Eðer f fonksiyonunun tersi kolayca bulunabiliyorsa fonksiyonunun önce tersini bulur, sonra türevini alýrýz. Örnek [ _, ) [ _ 4, ), f() = + 4 verildiðine göre, f _ fonksiyonunun y o = _ noktasýndaki türevini bulunuz. Çözüm f fonksiyonu bire-bir ve örten olduðundan tersi vardýr. Fakat bu fonksiyonun tersini bulmak zor olabilir, biz fonksiyonun tersini bulmadan yukarýdaki formül yardýmýyla tersinin türevini bulalým. Önce bu fonksiyonda yerine hangi sayý yazýlarak y o = _ deðeri bulunmuþtur, bunu araþtýralým. Örnek f : R R, f() = _ olduðuna göre, (f _ ) ý (4) in deðeri kaçtýr? Çözüm y o = 4 için, _ = 4 denkleminden o = bulunur. Bu taktirde (f _ ) ý (4) = 0 bulunur. f() = ý Örnek f : R _ {} R _ {}, Çözüm f() = fonksiyonu veriliyor. (f _ ) ý () in deðeri kaçtýr? I. Yol : Fonksiyonunun tersini almak kolaysa önce tersi alýnýr daha sonra da türevi bulunabilir. 69

Türev Alma Kurallarý f() = ise, f () = ý.( ).( ) (f ) () = ( ) ý.( ).( ) (f ) () = ( ) II. Yol : y o = ise _ = _ ise = 0 bulunur. ý.( ) ( ) f() = ( ) ý + f(0) = = = ( ) ý (f ) () = = = bulunur. ý f(0) Örnek 4 f : [, ) R, f() = + fonksiyonu veriliyor. (f _ ) ý (4) ün deðeri kaçtýr? Çözüm I. Yol : y o = 4 için o deðerini bulalým. 4 = + = 4 = _ ise, o = 7 ý ý f() = f(7) = = 7 4 ý (f ) (4) = = = 4 ý f(7) 4 II. Yol : Verilen fonksiyonun önce tersini bulup sonra türevini alalým. f() = + y _ = 0 = = = ( ) = (y _ ) = _ f _ () = ( _ ) + (f _ ) ý () = ( _ ) dir. (f _ ) ý (4) = (4 _ ) =. = 4 bulunur. 7. TRÝGONOMETRÝK FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ y = f(u) u = u() olmak üzere,. f() = sinu f () = cosu. u. f() = cosu f () = sinu. u. f() = tanu ý ý u ý f() = (+ tan u).u = = usec u cos u 4. f() = cotanu ý ý u ý f () = (+ cotan u).u = = u cosec u sin u ~ y = sin ise y ý = cos. ~ y = sin( ) ise y ý = cos( ). ~ y = sinñ ise y ý = cosñ. ~ y = cos( +) ise y ý = sin( + ). ~ y = cos(sin) ise y ý = sin(sin).cos ~ y = sin ise y ý = sin.cos = sin ~ y = cos ise y ý = cos.( sin) ~ y = tan ise y ý = ( + tan ). ~ y = cotan(sin) ise y ý = [+cotan (sin)].cos ~ y = tan ise y ý = tan.( + tan ) Örnek f() =.sin ise f ý () in eþiti kaçtýr? Çözüm Çarpýmýn türevini uygulayalým. f ý () =.sin + cos. =.sin +.cos dir. Örnek f() = tan + tan Çözüm ý ý ise f ý () kaçtýr? f() = (tan) + tan( ) f ý () = (tan).( + tan ) + ( + tan ). ý ý ý ý 70

Örnek sin f() = tan ise, f ý () kaçtýr? Türev Alma Kurallarý TERS TRÝGONOMETRÝK FONKSÝYONLARIN TÜREVLERÝ Çözüm ý sin cos..sin f() = + tan. ( ). f() = y = arcsin fonksiyonu π π f:[, ], ve f() = arcsin dir. ý sin.cos sin f() = + tan. f() = arcsin = siny dir. Örnek 4 f : R R, f( + 4) = sina ve f ý (4) = ise, a nýn deðeri kaçtýr? Çözüm f ý ( + 4). = cosa.a bu türevde = 0 deðerini yerine koyalým. ý dy f() = = = = d d d cosy (siny) dy dy = = sin y (sin y + cos y = ise cosy = olduðuna dikkat ediniz.) sin y f ý (.0 + 4). = cos(a.0).a f ý (4). = cos0.a. =.a a = 6 bulunur. ý f() = arc sin f () = dir. Örnek 5 f() = sin (tan) ise f ý () kaçtýr? Çözüm f() = [sin(tan)] f ý () =.[sin(tan)].cos(tan).( + tan ) þeklinde bulunur.. f() = arccos fonksiyonu f() = arccos = cosy ý dy f() = = = = d d d siny (cosy) dy dy = cos y = cosy yi yerine yazarsak Örnek 6 f() = sin ise, ý π f nin deðeri kaçtýr? Çözüm f ý () =.sin.cos. f ý () =.sin6 bulunur. ý π π π f =.sin 6. =.sin =. = bulunur. f() = arc cos ý f () = dir.. f() = arc tan fonksiyonu f() = arctan = tany ý dy f() = = = = d d (tany) + tan y + dy ý f() = arc tan f () = dir. + 7

Türev Alma Kurallarý 4. f() = arccotan fonksiyonu f() = arccotan = cotany ý dy f() = = = = d d d + (cot any) ( cot an y) dy dy = + dir. Örnek f() = arctanñ ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý f() = = = dir. + (+ ) ý ( ) + ( ) ý f() = arc cot an f () = + u = g() þeklinde e baðlý bir fonksiyon ve u nun herhangi bir noktasýndaki türevi u ý olsun. Bu taktirde; Örnek 4 f() = arctan( ) ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý ( ) f() = = + ( ) + ( ) dir. d (arcsinu) = d u ý u d (arccosu) = d u u d u (arc tanu) = d + u d u (arc cotanu) = d + u ý ý ý Örnek 5 f() = arccotan(cos) ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý.(cos ) sin f() = = dir. + cos + cos Örnek f() = arcsin( +) ise f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý ( + ) f() = = ( + ) ( + ) Örnek 6 f() = arccotan(tan) ise, f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý.(tan ).( + tan ) f() = = = dir. + tan + tan Örnek f() = arccos(sin), 0 < < f ý () kaçtýr? Çözüm π ise Örnek 7 Çözüm f() = arccos(sin ), 0 < < f ý () kaçtýr? ý ý.(sin ).cos. f() = = (sin ) sin π ise ý ý (sin ) cos cos f() = = = = sin cos cos.cos.cos = = = cos cos 7

Türev Alma Kurallarý Örnek 8 f() = arctanó+ ise f ý () kaçtýr? Çözüm Örnek 9 f() = sin(arctan) ise f ý () kaçtýr? Çözüm ý ý ( + ) + f() = = = + ( + ) + + + (+ ) bulunur. y= sinu dy dy du =. u= arctan d du d Zincir kuralýný uygulayalým. dy = cosu. = cos(arctan ). d + + bunu daha kýsa yazmak gerekirse, u = arctan = tanu Bu oraný bir dik üçgende gösterelim. ý f() = ý ( ) = =.. ý f = = 4 = = =. = bulunur. 4 Örnek f() = sin.arctan ise, f ý () kaçtýr? Çözüm Çarpýmýn türevini alalým, f ý () = cos. arctan +. ( sin) + ý sin f () = cos. arctan + dir. ó+ cosu = + u y= sinu y = cosu. u ý = cosu. =. bulunur. + + + ý Örnek 0 ý f() = cos(arcsin) ise f Çözüm f() = cos(arcsin) = cosu u = arcsin = sinu kaçtýr? u ó f() = cosu = dir. Bu düzenlenmiþ fonksiyonun türevini alalým. 7

ALIÞTIRMALAR Türevde Zincir Kuralý-Bileþke Fonk.-Ters Fonk.-Trigonometrik Fonk.Türevi. f() = ( ) 0 ise, df kaçtýr? d Cevap: 0( ) 9.( ) 7. f() = + fonksiyonu verildiðine göre, f ý () in deðeri kaçtýr? Cevap: 5 4 d. ( + ) 5 + eþiti kaçtýr? d Cevap: 5( + ) 4. 8. f() = 7 + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? Cevap: 4. f( ) = + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (5) in deðeri kaçtýr? Cevap: p 9. f() = 4p ise, f ý (p) kaçtýr? Cevap: 4. > 0 olmak üzere, f( ) = + + fonksiyonu veriliyor. Buna göre f ý () + f() toplamý kaçtýr? 0. f() = ise, (f _ ) ý (7) kaçtýr? Cevap: 5 9 Cevap: 5. f[( + g()] = + 8 fonksiyonu ve f ý () =, g() = 0 deðerleri verildiðine göre, g ý () in deðeri kaçtýr? Cevap:. f : [, ) [ 9, ), f() = 6 ise, (f _ ) ý ( 8) nin deðeri kaçtýr? Cevap : 6. h() = f( ) + f (), f() = ve f ý () = ise, h ý () in deðeri kaçtýr? Cevap: 6. f : [, ) R, f() = + + ise, (f _ ) ý (5) nin deðeri kaçtýr? Cevap : 6 74

ALIÞTIRMALAR Türevde Zincir Kuralý-Bileþke Fonk.-Ters Fonk.-Trigonometrik Fonk.Türevi d sin. eþiti kaçtýr? d cos Cevap : sin π 9. 0 < < olmak üzere, f(sin ) = tan ise, ý f nin deðeri kaçtýr? Cevap : 4. f() = sin ý π () ise, f nýn deðeri kaçtýr? 6 Cevap : 9 4 0. f() =.arctan ise, f ý () in deðeri kaçtýr? Cevap : π+ 4 ý π 5. f() = tan(cotan) ise, f nýn deðeri kaçtýr? Cevap :. f() = arctan ise, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? Cevap : 0 6. d sin d eþiti kaçtýr? Cevap : sin(cos).( sin) d. arc sin eþiti kaçtýr? d d 7..sin eþiti kaçtýr? d Cevap : cos.sin Cevap : 4 8. f() =.sin + cos ise, f ý () in deðeri kaçtýr? Cevap : 0 d. arc tan(sin ) eþiti kaçtýr? d Cevap : cos + sin 75

TEST. f() = ( _ ) 0 fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 48 B) 40 C) 0 D) E) 0 Türevde Zincir Kuralý - Bileþke Fonk. - Trigonometrik Fonk.Türevi 6. f( + ) = + + fonksiyonu veriliyor. Buna göre, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 5 E) 6. f : R R, f() = 0 + 5 ise, f(+ h) f() lim h 0 h ifadesinin deðeri kaçtýr? 7. f( + ) =.g( + ) fonksiyonu ve g() = 6 ise, f ý () in deðeri kaçtýr? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 A) 0 B) 60 C) 70 D) 90 E) 0. f() = 7 + fonksiyonu verildiðine göre, f ý (4) ün deðeri kaçtýr? 5 9 5 A) B) C) D) E) 4 6 f() 8. f() =, lim = 6 ve h() =.f() ise, h ý () in deðeri kaçtýr? A) B) 6 C) 5 D) 8 E) 0 4. f() = fonksiyonunun = 9 noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 9 B) C) D) E) 6 9 9. g() = 4, g ý g() () = 6 ve f() = þeklinde verildiðine göre, f() fonksiyonunun = nok- tasýndaki türevi kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4 5. f() = + fonksiyonunun = 5 noktasýndaki türevi kaçtýr? 8 0 A) B) C) D) E) 0. f : R R, f() = fonksiyonu verildiðine göre, (f _ ) ý (6) nýn deðeri kaçtýr? A) B) 6 C) D) E) 6 76

TEST. f : [, ) R, f() = ó+ fonksiyonu verildiðine göre, f ý () + (f _ ) ý () ifadesinin deðeri kaçtýr? 5 7 9 A) B) 4 C) D) E) 4 4 4 4 Türevde Zincir Kuralý - Bileþke Fonk. - Trigonometrik Fonk.Türevi π 6. f() = tan fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? A) 0 B) C) D) E) 4. f() = 6 fonksiyonu verildiðine göre, (f _ ) ý (0) ýn deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) 4 4 6 0 7. d.sin d eþiti kaçtýr? A) cos B) cos C) (sin+cos) D) sin E) (sin+.cos). f() = sin + tan fonksiyonunun = noktasýndaki türevi kaçtýr? A) B) C) D) + E) π 4 8. a > 0, f() = arccos fonksiyonu veriliyor. a ý f( ) = ise, a nýn deðeri kaçtýr? A) B) C) D) 4 E) 5 4. f() = cos cos fonksiyonu verildiðine ý π göre, f nýn deðeri kaçtýr? 6 A) B) 0 C) D) E) ñ 9. d sin =? ( ) d =π A) B) 4 C) D) 4 E) 6 d 5. sin eþiti kaçtýr? d A) cos B) cos C) sin D) sin.cos E) cos 77 0. f() = cos(arcsin) fonksiyonu verildiðine göre, ý f nin deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) Cevaplar: -B -B -D 4-E 5-C 6-A 7-B 8-C 9-C 0-E -D -C -A 4-B 5-E 6-D 7-E 8-B 9-C 0-A

Maksimum Minimum Problemleri

İ:K

The End

Grafik Çizimleri 4. GRAFÝK ÇÝZÝMLERÝ. POLÝNOM FONKSÝYONLARIN GRAFÝKLERÝ f() = a n n + a n n + a n n +... + a + a o þeklindeki polinom fonksiyonunun grafiðini çizerken aþaðýdaki yollar izlenir. a) f() in taným kümesi bulunur. Yani bu fonksiyonlar R için tanýmlýdýr. b) f() in eksenleri kestiði noktalar bulunur. = 0 için oy eksenini kestiði nokta, y = 0 için o eksenini kestiði nokta bulunur. y = 0 için bir deðeri bulunamýyorsa fonksiyonun o eksenini kesmediði anlaþýlýr. c) Fonksiyonun geliþ ve gidiþ yönüne bakýlýr. n lim (a +...) limiti hesaplanýr, bulunan ± n deðerler eðrinin uç noktalarýnýn hangi bölgede olduðunu gösterir. II. bölge (, +) (, ) III. bölge y I. bölge (+, +) (+, ) IV. bölge e) f() in türevine bakýlýr; yani fonksiyonun birinci türevi alýnýp sýfýra eþitlenir, varsa kökler bulunur, bulunan bu kökler fonksiyonda yerine yazýlarak y deðerleri elde edilir. Bu deðerler fonksiyonun maksimum veya minimum deðerlerini verir. f) Deðiþim tablosu yapýlýr. Yukarýdaki tüm bilgiler tabloya aktarýlýr, türevin iþareti incelenir, fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarý belirlenir. Bu bilgilerin tamamý koordinat düzlemine aktarýlarak grafik çizilmiþ olur. Örnek f : R R, f() = fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm a) Taným kümesi tüm reel sayýlardýr. b) Eksenleri kestiði noktalar; = 0 için y = y = 0 için = 0 ( + )( ) = 0 ise, =, = c) Fonksiyonun uç noktalarý, + için y + I. bölge için y + II. bölge d) Çift katlý kök yoktur. e) Türevine bakalým. f ý () = = 0 ise = bulunur. = f() = = 4 f) Deðiþim tablosunu inceleyelim. + için y + ise I. bölge için y + ise II. bölge için y ise III. bölge + için y ise IV. bölge olduðu anlaþýlýr. 0 + f ý () + + f() 0 4 0 + y Bu iþlemleri yaparken f() in derecesinin tek veya çift olduðuna dikkat edilmesi gerekir. d) f() in tam kareli bir çarpaný, veya baþka bir deyiþle y = 0 için çift katlý bir kökü varsa bu kökte grafik o eksenine teðettir, tek katlý kökünde grafik o eksenini keser. 4 47

Grafik Çizimleri Uyarý : Polinom fonksiyonun grafiði verilirse denklemi þöyle olur: Not : Fonksiyonun derecesi, tepe noktasý sayýsýndan bir fazla olduðuna dikkat ediniz. I) Parabolün eksenleri kestiði noktalar verilmiþ ise denklem, y = a( + ).( ) þeklinde yazýlýp = 0 için y = deðeri denklemde yeyerine yazýlarak a y f() Örnek f() = ( ) ( + ) fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm. f() bir polinom olduðundan R için tanýmlýdýr. bilmeyeni bulunur.. Eksenleri kestiði noktalar, = 0 için y = 4, A(0, 4) y = 0 için ( ) (+) = 0 II) Parabolün oy eksenini kestiði nokta ve tepe noktasý verilmiþ ise denklemi, y f(). Fonksiyonun uç noktalarý, = =, = bulunur. y = a( ) þeklinde yazýlýp (0, ) noktasý denklemde yerine yazýlarak a deðeri bulunur. + için y + için y I. bölge III. bölge 4. Fonksiyonun ( ) çarpaný tamkare olduðundan eðri = apsisli noktada eksenine teðettir. 5. Türevine bakalým. III) Parabol o eksenine teðet ise denklemi, y = a( ) þeklinde yazýlýr. (0, ) noktasý denklemde yerine yazýla- y f() f() = ( ) ( + ) ise f ý () = ( )( + ) + ( ) = 0 ( ) [( + ) + ] = 0 ( ) () = 0 =, = 0 türevin kökleridir. 6. Deðiþim tablosu ve grafik, rak a deðeri bulunur. 0 + y ý + + + IV) Yanda görülen þekildeki gibi bir grafik verildiðinde denklemi, y = a(+4)( ) þeklinde yazýlýr. (0, ) noktasý denk- 4 y f() y 0 4 0 + f() = ( ) ( + ) f(0) = (0 ) (0 + ) = 4 ise f(0) = 4 f() = ( ) ( + ) = 0 ise f(0) = 0 lemde yerine yazýlarak a deðeri bulunur. f() = ( ) ( + ) Fonksiyonunun grafiði aþaðýdaki gibidir. 48

Grafik Çizimleri 4 y Örnek 4 f() = ( ) fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm. f() fonksiyonu her yerde tanýmlýdýr. Örnek f() = + fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm. f() fonksiyonu R için tanýmlýdýr.. Eksenleri kestiði noktalar, = 0 için y = y = 0 için + = 0 ( ) + = 0 ( ).( + ) = 0 = 0 veya + = 0 ise Çk = {} dir.. Fonksiyonun uç noktalarý, + için y + I. bölge için y III. bölge 4. Fonksiyonda çift katlý kök yok. 5. Türevine bakalým. f() = + ise f ý () = 4 + = 0 ( )( ) = 0 ise =, = 0 + y ý + + + + y 50 0 + 7 min ma. Eksenleri kestiði noktalar, = 0 için y = y = 0 için ( ) = 0 ( ). ( + ) = 0 ise = = = 4 = dir.. Fonksiyonun uç noktalarýna bakalým, + için y + I. bölge için y + II. bölge 4. f() = ( ) = ( ). ( + ) olduðundan fonksiyonun iki tane tam kareli kökü vardýr. Yani grafik = ve = de o eksenine teðettir. 5. Türevine bakalým. f() = ( ) ise f ý () = ( )..( )( + ). = 0 ise = 0 = ve = bulunur. 0 + f ý () + + f() + 0 0 + Y.min Y.ma Y.min y y 50 7 49

Grafik Çizimleri Örnek 5 y ASÝMPTOTLAR Yukarýda grafiði verilen fonksiyonun denklemini bulunuz. Çözüm Verilen grafiðin denklemi = de o eksenine teðet ve = den geçtiðine göre, f() = a.( + ). ( ) þeklinde ifade edebiliriz. Bu fonksiyon oy eksenini ordinatlý noktada kestiðine göre, (0, ) noktasý denklemi saðlar. = a.(0 + ). (0 ) = a.4.( ) ise a = dýr. 6 Örnek 6 Buna göre, f() = bulunur. y 6 ( + ). ( ) olarak Yukarýdaki grafik f() = a + b 9 + c fonksiyonunun grafiði olduðuna göre, a, b, c nin iþaretlerini bulunuz. Çözüm ~ = 0 için y = c ise c < 0 dýr. Çünkü grafik oy eksenini negatif bölgede kesmektedir. Grafikten de görüldüðü gibi köklerin üçü de pozitiftir. Buna göre, c ( 9) ~.. = > 0 > 0 a a olduðundan a > 0 dýr. b ~ + + = > 0 ve a > 0 a olduðundan b > 0 ise b < 0 dýr. O halde a > 0, b < 0, c < 0 dýr. f() Asimptotlar fonksiyona sonsuzda teðet olan doðru ve eðrilerdir. Asimptotlar kesirli ve köklü fonksiyonlarda vardýr. Asimptotlar kendi özelliðine göre ad alýr. ~ Düþey bir doðrudan oluþan asimptota düþey asimptot, ~ Yatay bir doðrudan oluþan asimptota yatay asimptot, ~ Eðik bir doðrudan oluþan asimptota eðik asimptot, ~ Bir eðriden oluþan asimptota eðri asimptot denir. A) DÜÞEY ASÝMPTOT P() f() = kesirli fonksiyonunda paydayý Q() sýfýr yapan deðerlerine düþey asimptot denir. Yani; P() f() = ( a)( b) fonksiyonunun paydasýný sýfýra eþitlersek ( a).( b) = 0 denkleminden = a, = b deðerleri bulunur. Burada a ve b noktalarýndaki limitler ± gider. a y lim f() =± ve lim f() =± dýr. b lim f() =+ ve lim f() = a + b + lim f() = ve lim f() =+ a b y b 50

Grafik Çizimleri Not : Grafik hiçbir zaman düþey asimptotu kesmez, ancak düþey asimptota sonsuzda teðet olur. P() f() = kesirli fonksiyonu verildiðinde Q() ) Q() = 0 denkleminin kökleri düþey asimptotlarý verir. Q() = 0 denkleminin kökleri yoksa, fonksiyonun düþey asimptotlarý da yoktur. Çözüm y + 6 = 0 + ( )( + ) = 0 =, = düþey asimptotlardýr. = = + + lim =±, lim =± + 6 + 6 ) Düþey asimptot grafiði parçalar yani düþey asimptot sayýsý n tane ise grafik n+ parçadan oluþmaktadýr. Yukarýdaki f() fonksiyonunun = a ve = b þeklinde iki düþey asimptotu olduðundan grafiðin üç parçaya ayrýlacaðýný söyleyebiliriz. ) Kesirli fonksiyonlarýn paydasý ( a) gibi tam kare ise = a düþey asimptottur ve = a da eðrinin (± ) a atýlmýþ bir ekstremumu vardýr. (Aklýmýzda kalmasý için biz buna = a da bir baca vardýr diyeceðiz.) y y Uyarý : P() f() = kesirli fonksiyonunda Q() = 0 Q() denkleminin kökleri P() = 0 denkleminin kökü deðilse düþey asimptotturlar. Eðer Q() = 0 denkleminin kökü, P() = 0 denkleminin de kökü ise, bu noktada f() in sað ve sol limitlerine bakýlýr bu limitlerden en az biri ± ise o kök düþey asimptottur. Örnek + f() = 4 = a da a atýlmýþ bir ekstremum (baca) vardýr. = a de + a atýlmýþ bir ekstremum (baca) vardýr. eðrisinin düþey asimptotlarýný bulunuz. Çözüm Paydayý sýfýra eþitleyelim, 4 = 0 = = bulunur. Bunlarýn düþey asimptot olabilmesi için bu noktalardaki limitlerin ± a gitmesi gerekir. + 0 lim 4 0 lim 4 +. 4. + 5 = =. 4 Örnek + f() = + 6 eðrisinin düþey asimptotlarýný bulunuz. olduðundan = düþey asimptot deðildir. + 8 8 0 lim = = =± 4 0 0 olduðundan = düþey asimptottur. 5

Grafik Çizimleri Örnek + f() = + a+ 4 y y eðrisinin düþey asimptotu yoksa a nýn deðeri kaçtýr? Çözüm Eðrinin paydasýndaki + a + 4 = 0 denkleminin reel kökünün olmamasý gerekir. Bunun için Δ = b 4.a.c = a 4..4 < 0 olmalý a < 6 her iki tarafýn karekökünü alýrsak, a < 4 olur, burdan 4 < a < 4 bulunur. B) YATAY ASÝMPTOT P() f() = Q() kesirli fonksiyonunda P() lim f() = lim = a ise ± Q() ± y = a doðrusuna yatay asimptot denir. Bu kesirli fonksiyonda; i) Payýn derecesi paydanýn derecesinden büyükse, Uyarý : Eðri düþey asimptotu kesmez. Fakat yatay asimtot eðri ve eðik asimtotlarý kesebilir. Fonksiyonla asimtot denklemi ortak çözüldüðünde bu kesim noktalarý bulunur. Örnek 4 + + 5 f() = 5 eðrisinin yatay asimtotunu bulunuz. Çözüm + + 5 lim = 5 olduðundan y = yatay asimtottur. y ii) iii) lim ± olduðundan yatay asimptot yoktur (eðik veya eðri asimtot vardýr.) Payýn derecesi paydanýn derecesine eþitse eþit dereceli terimlerin önündeki katsayýlarýn oraný limitin deðeridir. lim ± Q() ± q b +... olduðundan yatay asimptottur. Paydanýn derecesi payýn derecesinden daha büyükse, P() a +... lim = lim = 0 ± P() a +... = lim = + Q() ± q b... P() a +... a = lim = b a y = b Q() ± q b +... p p p olduðundan y = 0 yani ekseni yatay asimptottur. y = Örnek 5 f() = + eðrisinin yatay asimtotlarýný bulunuz. Çözüm lim = olduðundan + y = yatay asimptottur. lim = olduðundan y = de yatay asimptottur. 5

Grafik Çizimleri Örnek 6 + f() = + eðrisinin yatay asimtotunu bulunuz. Çözüm lim + =± ± + olduðundan verilen eðrinin yatay asimptotu yoktur. Örnek 7 f() = 5 eðrisinin yatay asimptotunu bulunuz. Çözüm lim 5 = 5 =, lim 5 = 5 = = = 0 5 olduðundan y = 0 doðrusu yatay asimptottur. Örnek 8 / f() = e eðrisinin yatay asimptotunu bulunuz. Çözüm / / o lim e = e = e = / / lim e = e = = = = / o e e olduðundan y = yatay asimptottur. Örnek 9 f() =(a b) + b + asimptotu ise, a nin deðeri kaçtýr? b Çözüm (a b) + b + c f() = eðrisinin yatay haline getirilir. Burada yatay asimptotun reel bir sayý olabilmesi için pay ve paydanýn dereceleri eþit olmalýdýr. c Buna göre; a b = 0 dýr. Buradan a = b dir. b + c f() = b + c lim = b ise y = b yatay asimptottur dolasýyla b = ; a = b ise a = a = =. = bulunur. b a Burada oraný sorulduðundan b'yi bulma b a dan a = b eºitliðinden = bulunabilir. b Not : f() = (a b) + b + eðrisinde y = (a b) + b ifadesi yatay asimptota özdeþtir. (a b) + b = eþitliðinden a b = 0 ve b = a =, b = bulunur. Örnek 0 olur. f() = (m ) + n + + fonksiyonunun yatay asimptotu ise, m + n nin deðeri kaçtýr? Çözüm + f() = (m ) + n + + y = (m ) + n + + + y = (m ) + n yatay asimptottur. (m ) + n = 0 eþitliðinden m = ve n = olup, m + n = bulunur. c 5

Grafik Çizimleri C) EÐÝK VE EÐRÝ ASÝMPTOTLAR P() f() = kesirli fonksiyonunda payýn derecesi paydanýn derecesinden bir derece Q() büyük ise eðik, daha fazla dereceden büyükse eðri asimptot vardýr. y = f() eðrisi için, lim f() K() = 0 veya lim f() K() = 0 olacak þekilde bir K() polinomu varsa buna f() eðrisinin bir eðri veya eðik asimptotu denir. Bu asimptot K() = m + n þeklinde ise eðik, K() = m + n + t þeklinde ise eðri asimptot adýný alýr. P() R() f() = = K() + Q() Q() þeklinde yazýlarak K() elde edilir. Örnek + 5 f() = eðrisinin varsa asimptotunu bulunuz. Çözüm +5 +5 = + ± + 5 olduðundan ± ± y = eðik asimptottur. lim f() k() = lim + ( ) ± ± = lim = 0 dýr. ± y y = Örnek + f() = + fonksiyonunun eðri asimptotunu bulunuz. Çözüm + + + ± = + + 0 olduðundan ± ± y = eðri asimptottur. y Uyarý : y = f() fonksiyonunun y = m + n biçiminde bir eðik asimptotu varsa f() m = lim, n = lim [f() m] veya f() m = lim, n = lim [f() m] þeklinde bulunur. Örnek + f() = eðrisinin asimptotlarýný bulunuz. Çözüm i) Düþey asimptot = 0 ise = 0 ve = dir. ii) + lim = olduðundan yatay asimptotu yoktur. 54

Grafik Çizimleri iii) Eðik asimptotunu bulalým. + i) a > 0 ise lim f() = lim a +b +c ± + + ± 4 4 + + 4 + f() = = + + b = a. + a ifadesi eðik asimptottur. Bu asimptot b için y = a + a b için y = a + dýr. a olduðundan y = + eðik asimptottur. KÖKLÜ FONKSÝYONLARIN ASÝMPTOTLARI f() = + 4 þeklindeki irasyonel fonksiyonlarýn eðik asimptotlarýný araþtýralým. ± lim + + = lim ( ) + ± = lim ( ). + ± ( ) ii) iii) a < 0 ise lim f() = lim a +b +c limiti hesaplanamaz, çünkü kökün içi için negatiftir. f()= lim a +b+c+p+q fonksiyonunun yatay asimptotu b y = a + + p +q dir. a Bu da yukarýdakiler gibi elde edilir. olduðundan eðik asimptotlar için y = için y = + doðrularýdýr. Uyarý : f() = = lim. + ± ( ) = + lim. lim ± ± ( ) = lim. + ± = lim ± a +b +c þeklindeki fonksiyonlarýn eðik asimptotlarý kýsaca þöyle bulunur. Örnek 4 f() = 4 + fonksiyonunun asimptotunu bulunuz. Çözüm Bunu da yukarýdaki formülün çýkýþýný kullanarak yapalým. f() = 4 + 4 4 + = ( ) = ( ). =. ( ) ( ) için karekökün limiti olacaðýndan eðik asimptot y = dir. + için y = ve için y = + bulunur. 55

Grafik Çizimleri Örnek 5 f() = + 4 8 + 7 fonksiyonunun eðik asimptotlarýný bulunuz. Çözüm Bunu da elde ettiðimiz formülden yapalým. 8 y = + 4 +.4 y = +. y = + = 5 y = + = + dir. Örnek 6 y= + + 4 5 eðrisinin asimptotlarý hangi noktada kesiþir? Çözüm Fonksiyonun asimptotlarýný bulup, bunlarý ortak çözerek kesim noktasýný ortaya çýkartalým. 4 y = + + +. y = + + = + y = + + = 5 y = y 5 = + =, y = 5 Asimptotlarýn kesim noktasý (, 5) dir. a b = 0 = Yatay asimptotu Asiptotlarýn kýsým noktasý y = + doðrusu üzerinde ise b b+ a = + ise = a + b = bulunur. a a a a Örnek 8 b+ 4 f() = + c eðrisinin simetri merkezi (, ) noktasý olduðuna göre, b c nin deðeri kaçtýr? Çözüm Fonksiyonun simetri merkezi asimptotlarýn kesim noktasý olduðuna göre; ~ + c = 0 = c düþey asimptot olup = verilmiþtir. Buna göre = c = ise c = bulunur. ~ Eðik Asimptot b a lim y = y = a a b A, a a b + 4 +c ise y = (b + c) ± c (b+c) eðik asimptottur. (b+c) + 4 ± (b + c) + c(b + c) Uyarý : Bir fonksiyonun simetri merkezi asimptotlarýn kesim noktasýdýr. 4 + c(b + c) Asimptotlarýn kesim noktasý A(, ) y = (b + c) y asimptotu üzerinde Örnek 7 + y = a b olduðundan, = (b + c) (, ) eðrisinin simetri merkezi y = + doðrusu üzerinde ise a + b nin deðeri kaçtýr? b + c = 5 bulunur. b = 5 ise b = 7 Çözüm + y = a b eðrisinin düþey asimptotu Buna göre; b c = 7 ( ) = 7 + = 9 bulunur. 56

Grafik Çizimleri KESÝRLÝ FONKSÝYONLARIN GRAFÝKLERÝ Bir f() fonksiyonunun grafiðini çizmek için aþaðýdaki yollar sýrasýyla izlenir.. f() in tanýmlý olduðu aralýk bulunur, fonksiyon trigonometrik ise peryodu tespit edilir.. f() fonksiyonunun asimptotlarý bulunur.. f() fonksiyonunun eksenleri kestiði noktalar bulunur. ~ = 0 için y = f(0), A[0, f(0)] noktasý fonksiyonun y eksenini kestiði noktadýr. ~ y = 0 için f() = 0, B(, 0) noktasý fonksiyonun eksenini kestiði noktadýr. 4. Fonksiyon kesirli ise pay, kesirsiz ise çarpanlarýndan biri tam kare ise tam karenin kökünde grafik eksenine teðettir. y 5. Türevine bakýlýr yani f ý () = 0 denklemi çözülerek eðrinin ekstremum noktalarý bulunur. Deðiþim tablosu yapýlarak artan ve azalan olduðu aralýklar tesbit edilir. Bütün bilgiler bu deðiþim tablosu üzerine yazýlýr ve bu bilgiler ýþýðýnda grafik çizilir. Örnek fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm i) f() = y nin taným kümesi R {} dir. ii) = 0 ise = düþey asimptot iii) y = lim = = 0, y = 0 doðrusu yani ekseni yatay asimptottur. Eksenleri kestiði noktalar = 0 için y = A 0, noktasý y eksenini kestiði noktadýr. f() = ( ) (...) y = 0 için 0 = 0 yani eðri eksenini kesmez. ( + ) (...) f() = (...) y iv) Deðiþim tablosunu inceleyelim. ý 0.. f() = = = 0 ( ) ( ) olduðundan denklemin kökü yoktur. Dolayýsýyla fonksiyon her yerde azalandýr. 0 + Eðer kesirli fonksiyonun paydasýnda tam kareli terim varsa tamkarenin kökünde fonksiyon ± a atýlmýþ bir ekstremumu vardýr. y y y ý y 0 + 0 bu incelemelerden sonra grafiði rahatlýkla çizebiliriz. y f() = (...) ( ) 57

Grafik Çizimleri Örnek + y = f() = fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm i) f() in taným kümesi R {, } dir. ii) = 0 ise = ve = düþey asimptotlardýr. iii) iv) + lim f() = lim = ± ± y = yatay asimptottur. Eksenleri kestiði noktalar = 0 için y =, A(0, ) y = 0 için + = 0 denkleminin kökü yoktur. Dolayýsýyla eðri eksenini kesmez. Deðiþim tablosunu inceleyelim. Bunun için türevinin iþaretini inceleyerek artan, azalan aralýklarý bulalým. ý ( ) ( + ) f() = ( ) ý 6 f() = = 0 ( ) ise 8 = 0 = 0 dýr. 0 + y ý + + y + + bu deðiþim tablosundan yararlanarak f() in grafiðini çizelim. y Örnek fonksiyonunun deðiþimini inceleyip grafiðini çiziniz. Çözüm i) f() in taným kümesi R {} dir. ii) ( ) = 0 ise = = düþey asimptottur. iii) iv) y = f() = ( ) lim f() = = ± ( ) yatay asimptottur. Eksenleri kestiði noktalar = 0 için y = =, A(0, ) y = 0 için = 0 ( + )( ) = 0 =, = eðrinin eksenini kestiði noktalardýr. Deðiþim tablosu; ( )( ) ( )( ) f() = = 0 4 ( ) ( ) ( )( ) = 0 ( )[ + + + ] = 0 ( )(4) = 0 8( ) = 0 denkleminden = bulunur. + y ý + + y 0 0 lim f() =, lim f() = + bu deðiþim tablosundan yararlanýlarak grafiði çizelim. y 58

Grafik Çizimleri Örnek 4 + 4 f() = fonksiyonunun deðiþimini inceleyip grafiðini çiziniz. Çözüm i) f() in taným kümesi R {} dir. ii) = 0 ise = düþey asimptottur. + 4 lim f() = lim = Bu bilgiler ýþýðý altýnda grafik aþaðýdaki gibidir. 5 y olduðundan yatay asimptot yoktur. O halde eðik asimptotu araþtýralým. + 4 + 4 4 = + ± 4 y = eðik asimptottur. Örnek 5 f() = + iii) iv) Eksenleri kestiði noktalar = 0 için y = 4, A(0, 4) + 4 y = 0 için = 0 ise + 4 = 0 denkleminin kökleri olmadýðýndan eðri eksenini kesmez. Deðiþim tablosu; ý ( )( ) ( + 4) f() = = 0 ( ) + + 4 = 0 = 0 denklemini çözelim. ( + )( ) = 0 ( + ) = 0 = ise y = ( ) = 0 = ise y = 5 + y ý + + fonksiyonunun deðiþimini inceleyip grafiðini çiziniz. Çözüm i) f() in taným kümesi ii) 0 olmalý + + + T.k = { < < } { < + } dir. Eksenleri kestiði noktalar = 0 için y = R olduðundan eðri oy eksenini kesmez. y = 0 için + + + = 0 ise = dir. y + 5 + + 4 lim f() = lim = + + + + 4 lim f() = lim = iii) iv) + = 0 ise = düþey asimptottur. lim f() = lim = ise y = ± ± + yatay asimptottur. Deðiþim tablosunu inceleyelim. 59

Grafik Çizimleri ý.( + ).( ) ý + ( + ) f() = =.. + + 4 =. ( + ). + ( + ) türevin kökü yoktur. Türev daima pozitif olduðundan f() daima artan bir fonksiyondur. + y ý + + y + 0 lim f() = lim = + + = 0 0 olduðundan + Örnek 6 f() = fonksiyonunun grafiðini çiziniz. Çözüm i) f() in taným kümesi R dir. ii) Asimptot yoktur. iii) Eksenleri kestiði noktalar = 0 için f(0) = y = o = oy eksenini A(0, ) noktasýnda keser. iv) Türevine bakalým. f ý () =. ln R için f ý () =. ln 0 olduðundan türevin kökü yoktur. + y ý + + + + + y fonksiyon her yerde artandýr. Buna göre f() = grafiði; y y y = þeklinde çizilir. 60

TEST 5 Grafik Çizimleri. y = + 6. m + 6 0 f() = 5 asimptotlarýnýn kesim noktasý aþaðýdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, 8) fonksiyonunun düþey asimptot deðerlerinin aritmetik ortalamasý yatay asimptot deðerine eþitse, m nin deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E). a + + c y = 5+ 4 fonksiyonunun yatay ve düþey asimptotlarýnýn geometrik ortalamasýnýn olmasý için a ne olmalýdýr? A) B) C) D) E) 7. a + b f() = 6 eðrisinin asimptotlarýnýn kesim noktasý g() = + 6 eðrisinin minimum noktasýna eþit ise, a nýn deðeri kaçtýr?. + m n y = a A) 4 B) C) D) E) eðrisinin eðik asimptotu ile y = 9 doðrusu o ekseni üzerinde kesiþiyorsa, m + a nýn deðeri kaçtýr? 8. + 4 f() = (m ) A) 7 B) 5 C) D) 7 E) 9 eðrisinin asimptotlarýnýn kesim noktasý (, n) ise, m + n nin deðeri kaçtýr? A) B) C) D) E) 4 4. 4 + + 5 f() = fonksiyonunun eðri asimptotunun o eksenini kestiði noktalarýn apsisler toplamý kaçtýr? 9. y 7 5 A) B) C) D) E) 4 5. f() = a + b eðrisinin eðik asimptotu ile düþey asimptotu y = ( ) + parabolünün tepe noktasýnda kesistiðine göre, a + b nin deðeri kaçtýr? A) B) 0 C) D) E) Yukarýdaki grafik hangi fonksiyona aittir? 4 + 4 A) y = B) y = C) y = + 6 4 4 4 D) y = E) y = + 6

TEST 5 Grafik Çizimleri 0. Yandaki grafik hangi fonksiyona aittir? y. Yandaki grafiðin fonksiyonu y + m y = n + A) y = ( + )( ) B) y = ( ) ( + ) C) y = /.( )( + ) D) y = ( )( + ) E) y = /.( )( + ) olduðuna göre (m, n) nin deðeri nedir? A) (/, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). Yandaki grafik hangi fonksiyona aittir? y 4. Yanda grafiði verilen fonksiyonun denklemi aþaðýdakilerden hangisi olabilir? y + + A) y = B) y = + C) y = D) y = E) y = + A) y = ( ) B) y = ( ) C) y = ( ) D) y = ( ) E) y = ( ) 5. y = + fonksiyonunun grafiði aþaðýdakilerden hangisidir? A) y B) y. Grafiði yanda verilen eðrinin denklemi aþaðýdakilerden hangisidir? y C) y D) y A) y = B) (y ) = y + y y C) = D) = y y E) y E) y = Cevaplar: -D -D -C 4-D 5-E 6-D 7-B 8-E 9-E 0-D -A -C -E 4-D 5-B 6

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 974 975 976 977 978 980 98 98 98 984 985 986 987 988 989 990 99 99 99 994 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 4 4 4 4 4 5 4 4 4 6 6 4 5 4 4 TÜREV VE UYGULAMALARI a- TÜREVİN TANIMI b- TÜREV ALMA KURALLARI c- L'HOSPİTAL KURALI d- BİR FONKSİYONUN EXTREMUM NOKTALARI e- MAKSİMUM VE MİNUMUM PROBLEMLERİ f- DONÜM NOKTASI g- FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ BÖLÜM 4 69

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ Türevin Tanımı. Soru Tipi:. Gerçek sayılar kümesi üzerinde, tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(+y) = f ()+f (y)+ y f(h) lim = olduğuna göre, f'() kaçtır? 0 h 5. y = f() fonksiyonu + = olarak tanımlı y olduğuna göre f'()değeri kaçtır? A) B) C) D) E) (989 - ÖYS) A) B) C) 4 D) 5 E) 6 (007 - ÖSS - II). f() = + f( + h) f() olduğuna göre lim 0 h değeri kaçtır? A) 0 B) C) D) 4 E) 5 (99 - ÖYS). f() = e tan olduğuna göre, π f() f 4 lim π π 4 4 değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) e B) e C) e D)e E)e (996 - ÖYS) www.teslimozdemir.com 6. f() = ( ) ( t) f' (0) = 0 olduğuna göre, t kaçtır? A) 4 B) C) 0 D) E) 4 (99 - ÖYS) 7. P () polinom fonksiyonunun türevi P'() ve P() P'() = + olduğuna göre, P() in katsayılarının toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 (006 - ÖSS - II) Türev Alma Kuralları aşağıdakilerden hangi- 4. y y = 0 olduğuna göre, sine eşittir? dy d y y + A) B) C) y + + D) E) y y (997 - ÖYS) 8. f( 5) = + olduğuna göre f'() kaçtır? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 (99 - ÖYS) 70

TÜREV VE UYGULAMALARI 9. y 4 6 + = fonksiyonunun türevi aşağı 6 9 + 5 dakilerden hangisidir? 7 + 6 6 A) y'= B) y' = (6 9 + 5) (6 9 + 5) 7 + 6 8 6 C) y' = D) y' = (6 9 + 5) (6 9 + 5) 7 + 8 E) y' = (6 9 + 5). Soru Tipi: (968) 0. = 6 sin t y = 6 cos t denklemleri ile verilen y = f() fonksiyonun, = apsisli noktadaki türevinin değeri kaçtır?. A) B) C)0 D) E) = t + t d y olursa,t için nin = y= t t d (995 - ÖYS) değeri ne olur? A) B)0 C) D) E)6 6 (975) altı n nokta yayı nları π π. f() = tg cos ise,f ' ün değeri ne olur? A) π B) π C) π D) π E) π (975) π 4. f() = cos fonksiyonu 0, aralığı veriliyor π f( ) f(0) f'(u) = şartını sağlayan u sayısı aşağı π dakilerden hangisidir? π π A) arccos B) arccos C) arccos π D) arcsin E) arcsin π π (977) π 5. 0 < y < olmak üzere, y = arcsin fonksiyonunun = nok + tasındaki türevinin değeri kaçtır? (arcsin θ =sin - θ) A) B) C) 0 D) E) (998 - ÖYS). y = cotg fonksiyonunun türevi aşağıdaki ifadelerden hangisidir? A)y' = tg B)y' = tg C)y' = sin D)y' = E)y' = sin cos (969) 6. f() = ln ( +7) fonksiyonunun türevi hangisidir? A) B) ( + 7) C) D) E) + 7 + 7 (974) 7

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 7. d (ln(cosc)) d aşağıdakilerden hangisidir? A) tan B) sec C) cot D) E) sin cos (99 - ÖYS). d e ( e ) d in kısaltılmışı aşağıdakilerden hangisidir? A) + + B) + +6 C) + +9 D) +6 +6 E) +9 + (990 - ÖYS) 8. f() = ln( ) olduğuna göre f - (0) + (f - )' (0) kaçtır? 4. Soru Tipi: A) B) C) 0 D) E) (994 - ÖYS) 9. f() = ln ( cos5 ) olduğuna göre, π f' kaçtır? 0 A) ln B) 5 ln C) ln5 D) ln 5 E) ln 5 (995 - ÖYS) www.teslimozdemir.com. f() = fonksiyonunun 0 = apsisli nok tasında, türevinin değerini, varsa bulunuz? A) B) C) 0 D) E) Türevi yoktur (97). f: f() = sin fonksiyonunun = 0 için türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) ± E) = 0 için türev yoktur. (97). Soru Tipi: d 0. (sin ) aşağıdakilerden hangisidir? d A) 8sin 6 B) 8cos 6 C) 6(sin + cos ) D) 6(sin cos) E) 6cos (99 - ÖYS) 4. f() = 8 olduğuna göre f'' ( ) in değeri nedir? A) 8 B) 4 C) D) E) 4 (978) 7

TÜREV VE UYGULAMALARI 5. f: f() = + olduğuna göre, f() + f'() ün değeri nedir? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 (988 - ÖYS) 9. f: her noktada türevli bir fonksiyon ve f'() = olduğuna göre, f( + h) ( h) lim h 0 h A) 5 B) C) 9 D) 6 E) (006 - ÖSS - II) L'Hospital Kuralı Teğet ve Normal Denklemleri cos 6. lim değeri nedir? π tan 5. Soru Tipi: A) B) C) 4 D) E)4 (988 - ÖYS) altı n nokta yayı nları 0. Yandaki şekilde y = f() eğrisinin bir parçası ile bu eğrinin A(,) noktasındaki tegeti verilmiştir. Teğetin denklemi y = + ve g()= f()( 5) ise g'() türev fonksiyonunun = için değeri nedir? 6. Soru Tipi: A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) y A=(,) y=f() (980) cos( π ) + 7. lim değeri nedir?. y A) B) C)0 D) E) (989 ÖYS) M(,) y=f() - 0 ln 8. lim değeri kaçtır? A) B) C)0 D) E) (99 - ÖYS) Şekildeki doğrusu, y = f() fonksiyonunun grafiğinin M (, ) noktasındaki teğetidir. f() h() = olduğuna göre, h'() ün değeri nedir? (h'(), h () in türevidir.) 5 A) B) - C) - D) 9 9 9 4 E) (98 - ÖYS) 7

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ.. y (,) 4 f() Yukarıdaki eğri f () fonksiyonuna aittir. f() g() = olduğuna göre g () fonksiyonunun = noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 y y (985 - ÖYS) 5. Gerçel sayılar kümesi üzerinde, tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(0) = f' (0) = 4 olduğuna göre, g() = f(.f()) ile tanımlanan g fonksiyonu için g'(0) kaçtır? A) 0 B) 4 C) 8 D) E) 6 (007 - ÖSS - II ) Fonksiyona Verilen Bir Noktadan Teğet Olma 7. Soru Tipi: 6. y < 0 olmak üzere + y = 9 çemberinin = noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? 0 - A(,-) y=f() Yukarıdaki grafikte, A(, ) noktası f() fonksiyonunun yerel minimum noktası f() ve h() = olduğuna göre, h'() ün değeri kaçtır? h' () ( ) ifadesinin türevi h () www.teslimozdemir.com A) B) C) 6 D) E) (99 - ÖYS) π 7. Denklemi f() = sin (cos5) olan eğrinin = 0 noktasındaki normalinin eğimi kaçtır? 4 4 A) B) C) D) E) 5 5 5 5 5 (99 - ÖYS) A) - B) C) D) E) 4 9 (998 - ÖYS) 4. y A 4 f() 8. y= + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin eğimi m = olur? - o Şekildeki d doğrusu, f() fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğettir. h() =.f() olduğuna göre, h'( ) kaçtır? A) -4 B) - C) 0 D) E) 7 d (006 - ÖSS - II) 0 55 4 8 A) ; B) ; C) ; 9 8 9 8 4 56 D) ; E) ; 9 9 (968) 74

TÜREV VE UYGULAMALARI 9. y = + a + b fonksiyonunun grafiği, apsisi 4 olan noktada eksenine teğet olduğuna göre, b nin değeri kaçtır? A) 0 B) 4 C) 6 D) E) 48 8. Soru Tipi: (998- ÖYS) 4. y = 4 parabolünün üzerindeki A, noktasından çizilen teğetin üzerinde değme nokta- 9 sından itibaren AB = birim olacak şekilde bir B noktası alınıyor. B nin ve A nın ordinatları farkı kaçtır? 5 4 4 A) B) C) D) E) 5 5 5 (985 - ÖYS) 40. y = + eğrisi üzerinde hangi noktadaki teğet OX eksenlerine paraleldir? A) (, ) B) (, 0) C) (, ) D) (0, ) E) (,0) (967) 44. a > 0 olmak üzere, y = fonksiyonunun = a ve = a noktalarındaki teğetleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a 5 4. y = fonksiyonunun gösterdiği 7 eğrinin, apsisi = olan noktasındaki teğetinin y= doğrusuna paralel olması 4 için a nın alacağı değer, aşağıdaki sayılardan hangisidir? 68 68 A) B) 4 C) D) 4 E) 7 7 (968) altı n nokta yayı nları A) Birbirine diktir. B) Birbirine paraleldir. C) 0 lik bir açıyla kesişir. D) ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişir. E) y ekseni üzerinde sabit bir noktada kesişir. (990 - ÖYS) 9. Soru Tipi: 45. + y = 5 dairesinin y = + n doğrusuna teğet olması için n aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A) ± B) ± C)± D) ±4 E)±5 (967) 4. den ye, f : f()= + g : g() = a + b + fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonların grafiklerinde aynı apsisli noktalardaki teğetlerin birbirine paralel olması için (a, b) ikilisi ne olmalıdır? A) (, -) B) (, ) C) (-, ) D) (, ) E) (, ) (98 - ÖYS) 46. Denklemi y = olan parabol, a nın hangi a değeri için, denklemi y = olan doğruya teğettir? A) B) C) D) 4 E) 5 (989 - ÖYS) 75

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 47. y 0-45 A T 5. y = ++ parabolünün y = + doğrusuna en yakın noktası aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C), ) D) (, ) E) (, ) ( 967 ) Şekildeki parabolün denklemi y = a + b + c dir. AT doğrusu bu parabolün A noktasındaki teğeti olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri nedir? A) B) C) 0 D) E) (98 - ÖYS) 4 5. y = fonksiyonunun başlangıç noktasına en yakın olan noktasının başlangıç noktasına uzaklığı kaç birimdir? A) 8 B) 4 C) D) 4 E) (990 - ÖYS) 0. Soru Tipi: 48. +y = 5 dairesinin A(5;0) noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 5 B) +y = 5 C) y 5 = 0 D) 5 = 0 E) y = 0 ( 966 ) www.teslimozdemir.com 5. Yandaki şekilde y = fonksiyonunun grafiği ile A(, 0) noktası verilmiştir. Grafiğin A ya en yakın noktası P olduğuna göre AP uzaklığı kaç birimdir? y 0 y= P(,y) A(,0) 49. Üzerindeki (4;) noktasından + y 4 + y = 0 çemberine çizilen teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir. A) +y 5=0 B) y = 0 C) y 5 = 0 D) +y 6 = 0 E) +y 5 = 0 A) B) C) D) E) 5 (ÖYS 98) ( 966 ) Ekstremum Noktalar. Soru Tipi: 50. y = eğrisinin apsisi = ve odinatı y = olan noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) +y = 0 B) y+ = 0 C) y + = 0 D) y+ = 0 E) +y+ = 0 ( 969 ) 54. y = in [0,] aralığındaki en küçük değeri nedir? A) 0 B) C) D) E) 4 8 ( 975 ) 76

TÜREV VE UYGULAMALARI 55. y = (cos +5) (7 cos ) ifadesinin en büyük değeri nedir? A) 48 B) 4 C) 40 D) 6 E) 5 ( 976 ) + m 60. Denklemi f() = olan fonksiyonun = noktasında ekstremum noktasının olması için m kaç olmalıdır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 (994 - ÖYS) 56. f() = +8 fonksiyonunun [, ] aralığında alabileceği en küçük değer kaçtır? A) B) 6 C) 8 D)0 E) (990 - ÖYS) 57. π y = sin + cos in 0, aralığında aldığı en büyük değer kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6. Soru Tipi: (995 - ÖYS) m+ 0 58. y = fonksiyonunun, = için bir maksimum olduğuna göre m, aşağıdakilerden hangi değeri alır? A) 5 B) 4 C) D) E) ( 974 ) altı n nokta yayı nları 6. m, n R olmak üzere f : R R fonksiyonu f() = m + n ile tanımlıdır. f fonksiyonunun = ve = noktasında yerel ekstremumu olduğuna göre, n m farkı kaçtır? 7 9 7 A) B) 4 C) D) E) 5 (996 - ÖYS) 6. a bir parametre (değişken) olmak üzere, y = a + a eğrilerinin ekstremum noktalarının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) y = + B) y = + C) y = D) y = + E) y = + (998 - ÖYS) 59. f() = a + fonksiyonunda f'() in yerel (bağıl ) minimum değerinin olması için a nın pozitif değeri aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A) 0 B) C) D) E) 4 (98 - ÖYS) 6. f() = 7 + 4 parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 0 B) 8 C) 6 D) 5 E) (996 - ÖYS) 77

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 64. y. Soru Tipi: 67. D.. C F O. A(6,) Köşesi A(6, ) olan şekildeki dik açının kenar ları koordinat eksenlerini E ve F de kesmektedir. Buna göre, EF nin en küçük değeri kaçtır? A) 5 B) 5 C) D)5 E 4 E (99 - ÖYS) A.. Dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin [AD] kena rının tümü ile [AB] kenarının yarısına şekildeki gibi duvar örülmüş; kenarlarının geriye kalan kısmına bir sıra tel çekilmiştir. Kullanılan telin uzunluğu 0 metre olduğu na göre, bahçenin alanı en fazla kaç m olabilir? A) 00 B) 50 C) 00 D) 50 E) 400 B (997 - ÖYS) 65. E.. α A 8 O 7 B Yukarıda verilenlere göre, tan α nın hangi değeri için OE + OF toplamı en küçüktür? A) B) C) D) E) 4 F O [AB] üzerinde [AE] [AB] [BF] [AB] [OE] [OF] OA = 8 birim OB = 7 birim m FOB =α www.teslimozdemir.com 5. Soru Tipi: 68. Yandaki +y = 5 çemberin üzerinde alınan bir P noktasından (>0, y>0 bölgesinde) P eksenlere paralel çizilerek elde edilen R a PQOR dikdörtgeninin alanının maksimum O Q olması için α nın değeri ne olmalıdır? 5π π π π π A) B) C) D) E) 6 4 ( 977 ) (99 - ÖYS) Maksimum Minimum Problemleri 4. Soru Tipi: 66. Şekildeki gibi dikdörtgen biçiminde ve bir kenarında duvar bulunan bir bahçenin üç kenarına bir Duvar. sıra tel çekilmiştir... Kullanılan telin uzunluğu 80 m olduğuna göre, bahçenin alanı en fazla kaç m olabilir? A) 800 B) 000 C) 00 D) 400 E) 000 (987 - ÖYS) 69. Bir kenarı y = 4 doğrusu, diğer kenarı y ekseni ve bir köşesi de y = eğrisi üzerinde değişen dikdörtgenlerin en büyük alanlısının alanı ne olur? 6 6 6 A) B) C) 9 9 9 4 D) E) 6 5 ( 977 ) 78

TÜREV VE UYGULAMALARI 70. A ve B noktaları O ekseni üzerinde, C ve D noktaları ise y = parabolü üzerinde pozitif ordinatlı noktalar olmak üzere şekildeki ABCD dikdörtgenleri oluşturuluyor. 7. y P A y = O. H B Bu dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın alanı kaç birim karedir? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 (007 - ÖSS - II) Denklemi y = olan şekildeki parabolün A ve P noktalarının ekseni üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla B(6, 0) ve H(, 0) dır. HBP üçgeninin alanı, in hangi değeri için en büyüktür? A) B) 9 C) 8 D) 6 E) 4 7. 4 B L. N 74. y (99 - ÖYS). O A K 4 Yukarıdaki şekilde merkezi O, yarıçapı OA = OB = 4 cm olan dörtte bir çember yayı üzerindeki bir N noktasından yarıçaplara inen dikme ayakları K ve L dir. Buna göre, OKNL dikdörtgeninin en büyük alanı kaç cm dir? A) B) C) D) 6 E) 8. (996 - ÖYS) altı n nokta yayı nları O Şekildeki P(,y ) noktası, denklemi y = (5 ) olan parabol üzerindedir. in hangi değeri için + y maksimumdur? A),50 B),75 C),00 D),5 E) 4,00 P 5 (989 - ÖYS) 6. Soru Tipi: Dönüm Noktası 7. y B 75. Denklemi y= +a +(a+7) olan eğrinin dönüm (büküm) noktasının apsisi ise ordinatı kaçtr? A) - B) - C) 0 D) E) (99 - ÖYS) O. A(,0) Şekilde, denklemi + y = 9 olan dörtte bir çemberin B noktasının ekseni üzerindeki dik izdüşümü A (, 0) noktasıdır. Buna göre, OAB üçgeninin alanı in hangi değeri için en büyüktür? A) B C) D) E) 4 4 (994 - ÖYS) 76. y = + b +c fonksiyonunda apsisi = olan nokta dönüm (büküm) noktasıdır? Fonsiyonun bu noktadaki teğetinin eğimi olduğuna göre c nin değeri kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) (98 - ÖYS) 79

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 77. a 0 olmak üzere, y = a + b + c+ d fonksiyonu ile ilgili olarak, I. Büküm (Dönüm) noktası vardır. II. Yerel minimum noktası vardır. III. Yerek maksimum noktası vardır. Yargılarından hangisi doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III (998 - ÖYS) Artan ve Azalan Fonksiyonlar 7. Soru Tipi: k + 8. k nın hangi aralıktaki değerleri için y = + k fonksiyonu daima eksilendir (azalandır)? A) < k < B) < k < C) < k < D) < k < E) 0 < k < 9. Soru Tipi: (996 - ÖYS) D) f() E) [f()] 8. f(), 0 < < için azalan bir fonksiyon olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta artan bir fonksiyondur? A) f() B) f( ) C) f() (98 - ÖYS) 78. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima artandır? + A) y = B) y = C) y = ( ) + D) y = E) y = + ( 974 ) 79. f() = + 5 fonksiyonu aşağıdakilerden hangisinde azalandır? A), B), C),0 D) 0, E), (006 - ÖSS - II) www.teslimozdemir.com 8. f () fonksiyonu (a, b) aralığında pozitif olarak tanımlı ve artan ise aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta azalandır? A) f() B) C) f () f() D) f () E) f () (985 - ÖYS) 84. 0 < a < b ve [a, b] için f'() > 0 olduğuna göre [a,b] için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) f () = f(b) B) f () > f(b) C) f () < 0 D) f () >0 E) f () > f (a) (986 - ÖYS) 8. Soru Tipi: 80. f : R R f () = + 6 + k veriliyor. f() fonksiyonu (, + ) aralığında artan olduğuna göre, k için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) k = 7 B) k = C) k < D) k < 6 E) k > (997 - ÖYS) 85. f ve g bir l aralığında türevli olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlar için aşağıdaki bağıntılardan hangisi sağlanırsa g(). f() çarpımı l aralığında artandır? A) f'() > g() B) f(). g() > f'(). g() C) f'(). f()> f(). g'() D) f(). g'() > f'(). g() E) f(). g() > f'(). g'() (987 - ÖYS) 80

TÜREV VE UYGULAMALARI 0 Soru Tipi: Soru Tipi: 86. y 88. y'=f() y y'''=f'''() - - - 0 f'() y'=f'() Yukarıdaki eğri, f() fonksiyonunun f'() türevinin eğrisidir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi f() fonksiyonunun ekstremum (yerel maksimum, minimum) noktalarından birinin apsisidir? A) B) 0 C) - D) - E) - (988 - ÖYS) altı n nokta yayı nları Yukarıdaki eğriler, y=f() fonksiyonu ile bunun türevlerinin grafikleridir. Bu grafiklerden yararlanarak aşağıdakilerden hangisi söylenemez? A) y' = 0 olduğu noktalarda (y) nin minimumu ya da maksimumu vardır. B) y'' = 0 olduğu bir noktalarda (y') nin maksimumu vardır. C) y nin minimum, maksimum noktalarında y'' = 0 dır. D) y'' > 0 olduğu bölgelerde y' artandır. E) y''' < 0 olduğu bölgelerde y'' eksilendir. ( 976 ) 89. Aşağıda, her noktada türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevinin (f' nün) gafiği verilmiştir. 87. y y=f'() - - 0 4 6 Türevinin grafiği yukarıda verilen f fonksiyonu, hangi değeri için maksimum değerini alır? A) - B) - C) D) 4 E) 6 (984 - ÖYS) Yukarıdaki verilere uygun olarak alınacak her f fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) < < aralığında artandır? B) 0 < < aralığında azalandır? C) = de bir yerel maksimumu vardır. D) = de bir yerel maksimumu vardır. E) = te bir yerel maksimumu vardır. ( 007 - ÖSS - II ) 8

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 90. Yandaki şekil. dereceden bir f() polinomunun grafiği olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) = için f () = 0 dır. B) = için f' () = 0 dır. C) = 0 için f () = dir. D) = için f () = 0 dır. E) = için f' () < 0 dır. - - y (984 - ÖYS) 9. -4 y Yandaki eğri aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği olabilir? A) y = + 4 B) y = 6 + 4 4 C) y = + 4 D) y = + 4. 4 E) y = ( ) ( + 4) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (98 - ÖYS) Grafikler. Soru Tipi: 94. y 9. Yukarıda grafiği çizili olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? A) y = B) y = + C) y = + + D) y = + + E)y = + www.teslimozdemir.com O Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi şekildeki eğrinin karşılığıdır. + A) y = B) y = C) y = + D) y = E) y = + ( 966 ) (969) 9. 95. y O Grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir? A) y = ( ) B) y = ( ) C) y = ( ) D) y = (+) E) y = ( ) ( 976 ) Şekildeki grafik, aşağıdaki fonksiyonların hangisine ait olabilir? + A) y = B) y = C) y = + D) y = E) y = + (997 - ÖYS) 8

TÜREV VE UYGULAMALARI 96. y Soru Tipi: - 0 /4 99. y = ( ) (+) fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) y B) y C) y Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine ait olabilir? + A) y = B) y = ( ) ( ) C) y = D) y = ( + ) ( + ) E) y = ( ) (996 - ÖYS) - D) y - - -9 9 - E) y 9 97. y - - π Yukarıda grafiği çizilmiş olan fonksiyonun aşağıdakilerden hangisidir? A) y = cos B) y = sin C) y = tg D) sec E) cotg ( 968 ) π altı n nokta yayı nları ( 976 ) 6 00. y = fonksiyonunun grafiği aşağıdakiler + den hangisidir? A) y B) y 0 - C) D) y - y 98. - y - y - - - - - Yukarıdaki eğrilerden bir y = 4 +a +b fonksiyonunun grafiği olduğuna göre a ve b ne olmalıdır? A) a =, b = B) a =, b = C) a =, b = D) a =, b = E) -6 - y 4 E) a =, b = (976 - ÖYS) ( 969 ) 8

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ + 0. y = fonksiyonunun grafiği aşağı + + dakilerden hangisidir? A) y B) y - 0-0 a 8 04. y = fonksiyonunun gösterdiği b eğrinin y eksenini +8 de kesmesi ve y = doğrusunu eğik asimptot kabul etmesi için a nın değeri ne olmalıdır? A) 4 B) C) 0 D) E) 4 ( 978 ) C) y - 0 D) y 05. E) y (98 - ÖYS ) - 0 + 0. y = fonksiyonunun grafiği ( ) aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) C) ( )( ) y - y B) D) y - y www.teslimozdemir.com -6 Grafiği verilen fonksiyon y =(+) ( )(a+6) olduğuna göre a nın değeri nedir? A) 6 B) C) D) E) (98 - ÖYS ) - - E) y - 06. y = +p +q+r eğrisi için aşağıdakilerden hangisi yanlış olabilir? A) eksenini keser B) y eksenini keser C) y = eğrisini keser D) y = doğrusunu keser - E) y = eğrisini keser ( 978 ) (985 - ÖYS) a 0. y = fonksiyonunun gösterdiği eğrinin B( ;) noktasından geçmesi için a ne olmalıdır? A) B) C) D) E) 0 ( 966 ) 07. y = eğrisi ile y =m doğrusunun, A(, ) + nooktasına göre simetrik iki noktada kesişebilmesi için, m nin değeri ne olmalıdır? 4 A) B) C) D) E) 5 ( 98 ) 84

TÜREV VE UYGULAMALARI 4. BÖLÜMÜN ÇÖZÜMLERİ 6. ( ) = ( ).( t) f ( ) = ( + ) ( ) f. t... 4. f(h) lim = f '(0) = olur h 0 f(+y)=f( ) + f(y)+y ifadesini 'e göre türev alırsak; f'(+y)=f'( ) + y olur. = 0, y = için f'() = f'(0)+ = + = 4 f( + h) f() im = f '() dir. h f() = + f '() = 4 f'() = 4 h 0 π f() f 4 π im = f ' tür. π π 4 4 4 tan tan f() = e f '() = e ( + tan ) π π tan 4 π f' = e + tan 4 4 = e y y = 0 F' y' = F' y y y + = = altı n nokta yayı nları = t 4 + t + t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () = t + 4 + t + t f' = 6 t + 8 + t + f" = t + 8 f" 0 = t 8 = 0 t = 4 7. ( ) () () () () P polinomu.dereceden olmal ýdýr. P = a + b + c alýnýrsa, P' = a + b olur. P P' = + a + ( b a ) + c b = + ( ) a + b + c a b = + a =, b = 7, c = 6 olur. P = + 7 + 6 polinomunun katsayýlarý toplamý + 7 + 6 = 5 tir. 8. f( 5) = +, f() =. + = 9 f( 5) = +.f '( 5) = 4 + () () f' ( ) + f( ) = + 9 =, f' = 9 f' = 5. + = = y y = y y = 9. f() f '().g'() g'().f() y= y' = g() g() y 4 6 + = 6 9 + 5 (8 6)(6 9 + 5) ( 9)(4 6 + ) y' = (6 9 + 5) gerekli düzenlemeler yapılırsa y = f'() = = ( ) 6 y' = (6 9 + 5) olur. 85

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 0. cos t + sin t = cos t = sin t ( ) y = 6cos t = 6. sin t y = 6 y = 6 6 6 y ' = = için ' y = olur. 5. y = arc sin + ( + ) ( ) ( + ). y' = + = için y' = = 0 4 4. = t t dy t olur. y= d t + = t t y' ' t dy' t + = = d + = dy d t olur. d y 6t(t + ) 6t(t ) olur. d (t + ). (t + ) 6.6 6.0 6.6 t = için ise = = 6.6 6.6 6 6. f '() = n( + 7) f'() = olur. + 7 d d 7. ( n(cos )) sin = = tan cos. y= cot y' = olur. sin. π f() = tg( cos) π π f'() = sin.( + tg (.(cos) ) π π π π π t '( ) =.sin ( + tg (.(sin ) π π =. (+ tg ) 4 π π =.( + ) = olur. 4 ) www.teslimozdemir.com 8. () = () = ( ) f 0 a f a 0 a = a = ' f 0 = tür. f' ()() na = 0 f' () = f' = = Ohalde, ' ()( f 0) = olur. İstenen toplam ise, ' ()( f 0) + ()( f 0) = + = 4. π π f( ) = cos( ) = 0 f'() = cos f(0) = cos(0) = ' f() = cos f () = sin π f( ) f(0) f (u) = cosu f '(u) = sinu = π π cos( ) cos(0) sinu = = sinu = π π π sinu = arcsin = u.olur. π π 9. cos5 f( ) = ln( ) () f' = cos5. n ( ) = 5sin5. n π π f' = 5sin n 0 = 5.. n = 5 n 86

TÜREV VE UYGULAMALARI 0. d d (sin ) = (sin.cos.) d d d = (sin6) =.6.cos6 d = 8cos6 6. cos 0 im = belirsizliði tan 0 π cos sin im = im tan + tan π π π sin = = = π 4 + tan + ( ). ' ( ) = [ + ] f().e f() f '().e tir. d e. (.e ) d d = e. ( + )e d = e.( + + + 6)e = + 6 + 6 7. ( ).cos π + 0 im = 0.cos. sin = im = cos π πsin π= ( π ) π ( π ) 0.. > = < + f'( ) = f'( ) = olduğundan bu noktada türev yoktur. sin 0 sin = sin < 0 + f'(0 ) = cos0= olduğundan f'(0 ) = cos0 = altı n nokta yayı nları 8. im = im n 0 = 0 = im 0 = = 0 = 0 noktasında türev yoktur. 4. = için fonksiyonu tanımlayalım. f () =8 olur. f ' () = f '' () = 6 f '' ( ) = 6 = 4 olur. 9. ( + ) ( ) f h f h 0 im = h 0 h 0.f ' h.f ' h = im h 0 = f' () + f' () = 5 f'() = 5 ( + ) + ( ) 5. f() = + = = için f () = + = + + = f'() = ve f'() = olur. f() + f '() = + = 4 0. g() = f()( 5) g'() = f '().( 5) + f() g'() = f '(). ( ) + 4.f() m demektir. T =.( ) + 4. = + = 87

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ. - M(,) α. l y=f() 5. g() = f (.f() ) g'() = ( f() +.f '() ).f ' (.f() ) g'(0) = ( f(0)+0.f(0) ).f '(0.f(0) ) g'(0) = f(0).f '(0) g'(0) = 4.4 = 6 f' ( ) = m = tanα= = tür. 6 f() f'. f h ( ) = h' ( ) = f' (). f() h' ( ) = = 9 9 = 9 () () 6. = için + y = 9 y = 6 y = 6 F ' y' = = = = F y ' y y 6 =. g' ( ). 4. ( ) ( ) ( ) = f g' ( ) = f'. f. f' ( ). f( ) 0. g' () = = 4 4 = 4 ( ) f h () = f'. ( ) f(. ) h' () = f '( ) f ( ).0 ( ) h' () = = = 9 9 9 y=f() 4 www.teslimozdemir.com 7. 8. m N = dur. π f' 0 ( ) = ( ) ( ) f ' cos cos5. 5.sin5 π π π f ' = cos cos.( 5 ) sin =. ( 5 ). = 5 0 mn = = 5 5 y = + 4 f'( 0) = demektir. f'() = f'( 0) = 0 = 0 = 8 0 = olur. bu değeri fonksiyonda yerine yazarsak y 0 bulunur. Ama şıklara bakıldığında 8 0 = olan sadece D şıkkı vardır. 4. α - d 4 md = f' ( ) = tanα= = 4 h f h'.f f' ( ) = ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h' = f.f' = 4. = 7 9. m T ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = 0 dýr. f ' 4 0 ve f 4 0 olmalýdýr. f' = + a f' 4 = 48 8a = 0 a = 6 f 4 = 0 64 + 6.a+ b = 0 6 b = 88

TÜREV VE UYGULAMALARI 40. Teğetler O e paralel olduğuna göre eğim 0 dır. dolayısı ile f'( 0 )=0 olmalı f'( 0 )=0 0 =0 0 =± olur. = için y= -.+ den y= 0 olur. bu da (,0) noktası olur. 44. = a > 0 için y = = y' = m = a T = a < 0 için y = = y' = T ( ) m = a = a Eğimler aynı olduğundan paraleldirler. a 5 4. y = fonksiyonuna = noktasında 7 çizilen teğet y= doğrusuna paralel ise 4 ' f( ) = demektir. 4 ( a).( 7) ( a 5) f'() = olur. ( 7) ( a).( 8) ( + a 5) f'( ) = = ( 8) 4 6 + 8a a + 5 0 + 7a 0 + 7a = = = 64 4 64 4 6 6 7a + 0 = 48 7a = 8 a = 4olur. 4. = () = () mt f' g' olmalý = a + b = a ve = b = ( a,b) (, ) altı n nokta yayı nları 45. + y = 5 dairesi y = + n doğrusuna teğet ise, ortak çözümü Δ =0 dır. y = + 5 ( +n ) + 5 = 0 olur. 4 +4n+n + 5 = 0 5 + 4n + n 5 = 0 b Δ= ' ac= 0 olmalı (yarım delta) 4n 5(n 5) = 0 4n 5n + 5 = 0 n = 5 n= 5olur. 4. y = y' = 4 mt =. = B a,b olsun n =? ( ) mab = mt n =? 4 b 9 4 = a = m n = 4k ve m = k alýnabilir. AB = 4 b + a = 9 6k + 9k = 4 k = b = 4k 5 9 4 n = 4k = 5 46. y = mt = dir. y = y' = = a a a = Değme noktasının apsisi a yerine yazılırsa, a a = a a a = 4 a = a 4 a = 4 olup denklemlerde (Bu soruyu türev kullanmadan, parabol bilgileri ile de çözebiliriz.) 89

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 47. mat = tan 45 = f ' = f' () () f = a + b + c f ' = a + b () f 0 = c = olduðundan a + b + c = = 0 olur. f' = a+ b = a + b 50. y + = 0 (,) noktasý 4 + f'(,y) = y 4+ f'(,) = mt = = = y y = m.( ) 0 0 y = ( ) y = y + = 0 olur. 48. (5, 0 ) noktası biliniyor şimdi eğimi bulalım. + y 5 = 0 mt y mt y 5 mt = = 0 dolayısıyla y paralel bir doğru olmalı 49. Verilen nokta (4, ) www.teslimozdemir.com 5. y = ++ parabolünün y = - + doğrusuna paralel tegetinin P değme noktası parabolün y = -+ doğrusuna en yakın noktasıdır. Bu nedenle, y' = + + = buradan = bulunur. = değeri y = ++ denkleminde kullanılırsa y = bulunur. Aradığımız nokta P (, ) olur. 4 5., noktasının orijine uzaklığı, 6 A= + dir. ' 6 + = = 0 = 4 = = 6 A= + = 4 + 4 = fonksiyon + y 4 + y = 0 4 f'(,y) = y + 8 4 4 mt = = = + 4 m = T şimdi eğimi ve bir noktası bilinen doğru denkleminden y y = m. ( ) y = ( 4) y = +4 y + 5 = 0 5. P,y ( ) = P, ( ) AP = ( ) + ( 0) 4 S = 6 + 9 + 4 ( ) + 6 + 9 ' = 0 4 + 6 = 0 + = 0 = S = 6 + 9 + = 5 90

TÜREV VE UYGULAMALARI 54. m+ 0 y= in[ 0,] = 0 ( ) = 0 58. f() = fonksiyonunun = 0;= = için bir maksimumu olduğuna göre f'() = 0 dır. [ 0,] aralýðýnda, ( m)( ) ( m + 0) f'() = ( ) y = ( ) = + = ( m)( ) ( m + 0) f'() = = 0 [, ] aralýðýnda y = ( ) = + = ( ) b ( m) + m = 0 [ 0,] aralýðýnda = = = dür. a. 4 m 4 + m = 0 m 5 = 0 min y = ( ) =. = = = 4 4 6 4 8 4 8 8 8 m = 5 [, ] aral ýðýn da min y = dir. min(y,y ) = y= dir. 8 55. y = (cos + 5)(7 cos ) y = 7cos cos + 5 5cos y = cos + cos + 5 cos R için cos = alý rsak y= + + 5= 6 olur. 56. ( ) () f = + 8 f' = = 0 = V = f'() - - + + y.ma. f () = + 8= 6 y.min. altı n nokta yayı nları 59. f'() in yerel minimum değeri ise f" ( ) = 0 olmalıdır. f() = a + f'() = 6a + f" () = 6 6a f" ( ) = 6-6a = 0 a = 60. f' ( ) f() () f' = () = 0dýr. + m = ( + m)( ) ( + m) ( ) ( 6+ m ). ( 9 + m) f' = = 0 4 + m 9 m = 0 m = 57. y = sin + cos y' = cos sin = 0 cos = sin tan =. sin + cos = 5 + = = 5 5 5 5 5 6. ( ) ( ) f' = f' = 0dýr. f( ) = m + n ( ) () () f' = m + n f' = 4 4m + n = 0 f' = 9 6m + n = 0 4m n = 4 + n 6m = 9 m = 5 5 m = ve n = 6 5 7 n m = 6 = 9

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 6. y = a +a 66. y' = a = 0 = a y= a a + a= a + a O halde istenen geometrik yer y = + olur. a.... a b 6. y = 7+ 4 söz konusu nokta (,y) olsun A = +y = + 7+ 4 = 6 + 4 A' = 6 = 0 = A min = 6. + 4 = 5 a + b = 80 b = 80 a ( ) Alan = S = a.b = a. 80 a S = 80a a S' = 80 4a = 0 a = 0 Sma = 80.0.0 = 600 800 = 800 m 64. AF ile AE en küçük A dan eksenlere indirilen 65. dikmeler alınırsa, F EF min= 5 olur. E. 6. A(6,) E. www.teslimozdemir.com α F 67. a y b b A. α 8 O 7.. 8 7 sin α=, cos α= y S = + y 8 7 S = + sin α cos α 8cos α 7sin α S' = + = 0 sin α cos α 8cos α+ 7sin α= 0 sin α 8 = cos α 7 tan α = B a + b = 0 b = 0 a ma a ( ) Alan = S = a.b = a 0 a S = 40a 6a S' = 40 a = 0 a = 0 S = 40.0 6.0 = 4800 400 = 400 a 9

TÜREV VE UYGULAMALARI 68. 7. B R O P 5 α Q 5. cos α= sin α= 5 5 = 5cos 5 = 5sin A(OQPR) =. 5 5 A = 5cos.5sin = sin 5 A ' = cos = 0 4 cos = 0 π os = cos π = olur. 4 L O. ( ) N 4 a.. S = Alan OKNL = a.b dir. b K a + b = 6 b = 6 a S = a. 6 a S' = 6 a + a 6 a a = 0 6 = a 6 a a = ve b = olur. Sma = ab=. = 8dir. A a 6 a = 0 69. 4- A =.(4 ) y= A = + 4 4 A' = 0 + 4= 0 = = 5 4 6 A = ( 4 ) = olur. 9 altı n nokta yayı nları 7. 7. Taralı üçgen ikizkenar olmalıdır. O halde = =. (, ) y = 70. (a,-a ) H. 6- B a A = a.( a ) A = 6a a A'= 6 6a = 0 6 = 6a a = a ( ). 6 S = S' = ( 6 ). ( ) 0 + = 6 = 0 6 = = A = a ( a ) A =. ( ) A =. = 4 9

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 74. y = (5 ) = 5 A = +y = 6 A' = 6 = 0 A = f = + 5 f' = < 0 79. ( ) ( ) f'() 0 - + + 75. f "( ) = 0 olmalýdýr. ( ) ( ) f' () = + a + a + 7 f" ( ) = 6+ a ( ) f( ) = + 4 f ( ) = + 4 = f = + a + a + 7 f" = 6+ a = 0 a = 80. 0<< ( ) ( ) f' () k 0 f ' > 0 olmalýdýr. f = + 6 + k = + + > Δ< 0 4..k < 0 < k 76. ( ) ( ) () ( ) f" ( ) = 6+ b () () f" = 0 ve f' = dir. f = + b + c f' = + b + c f" = 6+ b = 0 b = f' = + b + c = 6 c = 4 www.teslimozdemir.com 8. y' < 0 olmalýdýr. ( + ) ( + ) ( + k) ( + k) k. k k k y' = = < 0 k < 0 k < < k < 77. y = a + b + c + d y = a + b + c = 0 denkleminin kökleri olmayabilir. y = 6a + b = 0 denkleminin kökü vardır. Yani dönüm noktası kesinlikle vardır. 8. f' () < 0dýr. Şimdi şıkları inceleyelim. ( ) ( ) f f ' < 0 azalan f().f'( ) < 0 azalan + f() f' () > 0 artan. 78. f' () >0 ise f() artandır. C şıkkında f'() = ( + ) {} olur. R için f'() > 0 olur. 8. f ()> 0 ve f' () > 0 dır. f () f' () > 0 artan f'() > 0azalan f() f () 94

TÜREV VE UYGULAMALARI 84. f' () > 0 ise f () artandır. Dolayısıyla, a < <b f (a) <f () <f (b) olur. 9. Grafik incelendiğinde fonksiyonun = de bir maksimum değeri vardır. Yani f'( ) = 0 olmalı. Bu şartı sağlayan A şıkkıdır. 85. ( ) ( ) > ( ) ( ) + ( ) ( ) > f' () g() > f() g' () g.f ' 0 olmalýdýr. g' f g.f ' 0 9. f (0) = şartını sadece E deki fonksiyon sağlar. 86. f' ( ) = 0 olduğundan = de ekstremum vardır. 94. = 0 düşey asimptottur. y = yatay asimptottur. =0 ın düşey asimptot olduğu tek şık B dir. ( ) ( ) 87. f' = f' 6 = 0 olduğundan ve 6 da ekstremum vardır. de türev ( ) den (+) ya geçtiğinden yerel minimum, 6 da ise türev (+) dan ( ) ye geçtiği için yerel maksimum vardır. 88. y '' = 0 noktasında y' nin dönüm noktası vardır. altı n nokta yayı nları 95. = 0 düşey asimtot olduğundan A ve B şıkları olabilir. y = eğrisi eksenini = de sağ tarafta keser. 96. Grafik eksenini ve de kestiğinden çarpanı olmalı. Yani B ve C olabilir. y = yatay asimptot olduğundan B deki olabilir. 89. f' () = noktasından + dan ye geçtiği için bu noktada yerel maksimum vardır. 97. =0, π ve π değerleri için 0 olan fonksiyon y=sin tir. 90. f' ( ) > 0 dır. Çünkü de f() artandır. 9. Verilen grafik bir parabol grafiği ve de kollar yukarı doğru olduğuna göre yanıt B dir. 98. y = 4 + a +b olduğuna göre kollar aşağı doğru olmalı dolayısı ile. grafik bunu sağlar. y = 4 + a +b fonksiyonu = ± de 0 dır. -+a+b=0 a+b= de =0 için y=- dir. Bundan b = olur ve a = bulunur. 95

DEĞİŞMEYEN MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ 99. y = ( ) ( +) fonksiyonu = te O e teğettir. = 0 için y = 9 olur. Bu şartı sağlayan seçenek E dir. 00. 6 y = + yatay asimptotu y = dir. düşey asimptotu = dir. Bu şartları sağlayan tek şık B dir. a 8 04. y = fonksiyon y eksenini +8 de kesiyorsa b = 0 dır. 0 a.0 8 8= 0 b b= olur. a 8 y = a 8 ± ( a) 8 ( a) ± ( a) 7 a -=+-a -a=- + a eğik asimtot a= bulunur. 0. + + y= = olur. + + ( + ) yatay asimptot y = dir. düşey asimptot = dir. Payda (+) olduğundan fonksiyon = de baca yapmaktadır. www.teslimozdemir.com 05. y = (+) ( ) (a+6) = için y = 0 dır. 0 = 9. (a+6) n + 6 = 0 a = 06. y= +p +q + r eğrisi. dereceden bir eğri ve de en az bir kökü vardır. A kökünden dolayı doğru B =0 için y = r olur. doğru D kökünden dolayı doğru E kökünden dolayı doğru C P, q ve r nin seçimine göre kesişmeyebilir. 0. Paydada ( ) olduğundan = asimptotunda baca görüntüsü olacaktır. Yani A ve E olabilir. Yatay asimptotu y = olacağından A olabilir. 07. = m = m + m + ( m) m = 0 olur. a a 0. y = = a = olur. bu fonksiyon kökleri = ' e göre simetrik ise b = dir. a m = m= m m m= olur. 96