EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin fonksiyonu olarak yazılır. Bu fonksiyonun maksimum ya da minimum değeri, birinci türevin kökü (kökleri bulunarak belirlenir. Çünkü fonksiyonun maksimum ya da minimum noktalarında birinci türev (tanımlıysa sıfırdır. f( fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır? f( f ( 0.( çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır? f( f ( f (.( f (.( (. 0 6 0 dir. 6 f ( 6 0 dır. Birinci türevin kökü, ikinci türevi negatif yaptığına göre f( fonksiyonu de en büyük değerini alır. f(..( bulunur. Toplamı 90 olan iki doğal sayıdan birinin karesi ile diğerinin çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır? Bu sayılardan biri ise diğeri 90 tir. in karesi ile 90 in çarpımı f ( olsun. Birinci türev artıdan (+, eksiye (- geçtiği noktada, fonksiyon maksimum değerini alır. fonksiyonun alabileceği en büyük değer: f( f (.(90 90 0 0 0 veya 60 tır. f(. olur. II.Yol f( f ( f ( 0 f ( 0 Birinci türevin kökü, ikinci türevi negatif yaptığına göre f( fonksiyonu de en büyük değerini alır. Birinci türev artıdan (+, eksiye (- geçtiği noktada, fonksiyon maksimum değerini alır. fonksiyonun alabileceği en büyük değer: f(60 60.(90 60 0000 olur. f(. bulunur.
II.Yol Uyarı f( f ( 90 0 0 0 veya 60 Yukarıdaki örnekte, türev tablosu da yapılmadı; ikinci türeve de bakılmadı. Çünkü birinci türevin bir tek kökü bulundu. Ekstremum değer, bulunan köke karşılık gelir. Diğer bir ifadeyle, bir tek kök bulunduğu için, sorulan ekstremum değer bu köke karşılık gelmelidir. f ( 0 6 f (0 f (60 0 6.0 0 0 0 6.60 0 0 Birinci türevin kökü, ikinci türevi negatif yaptığında f( fonksiyonu en büyük değerini alır. 60 için bu durum gerçekleştiğinden, f( fonksiyonunun en büyük değeri: f(60 60.(90 60 0000 bulunur. Şekildeki gibi dikdörtgen biçiminde ve bir kenarında duvar bulunan bir baçenin üç kenarına bir sıra tel çekilmiştir. Kullanılan telin uzunluğu 00 metre olduğuna göre, baçenin alanı en fazla kaç metre kare olabilir? Baçenin eni: metre olsun. Bu durumda boyu: 00 olur. baçenin alanı: TD DP birim ise, AT birim olur. A(BCPT A( Şekildeki ABCD karesinin bir kenarı birimdir. TD DP olduğuna göre, BCPT dörtgeninin alanı en çok kaç birim karedir? A(ABCD A(PTD A(TAB AB TD AT. AB (. A ( dir. 0 dir. A(. 0 birim karedir. A( A (.(00 olur. 00 0 5 tir. Buna göre baçenin alanı en fazla; A(5 5.(00.5 50 m olur. BC br AH 6 br olmak üzere DEPT dikdörtgenin alanı en çok kaç birim karedir?
ABC üçgeninin çevresi en az, DE TP birim, DT EP y birim olsun. Ç(ABC AB AC BC AK AH KH AH EP 6 y olur. Ç( 9 ( 9 ATˆP ABˆC benzerliğinden, TP BC AK 6 y y AH 6 A(DEPT A( A ( A(. DE. EP.y 0... birim karedir. Bir ABC üçgeninde a birim ve birim olduğuna a göre, ABC üçgeninin çevresi en az kaç birim karedir? BC br AH br BH br ise, HC br olur. ABH dik üçgeninde pisagor bağıntısını yazalım: Ç ( 9 6 ( 9 6 0 tür. 9 ( 9 Ç( 9 ( 9 birimdir. Çevresi cm olan dikdörtgenlerden alanı en büyük olan dikdörtgenin alanı kaç santimetre karedir? Dikdörtgenin alanı: A( A (.( olur. 0 6 tir. AB br ise, Buna göre dikdörtgenin alanı en fazla; A(6 6.( 6 6 m olur. BC br olur. BH AH AB AB Sonuç AB 9 AHC dik üçgeninde pisagor bağıntısını yazalım: HC AH AC ( AC ( AC 9 Oluşan şeklin kare olduğuna dikkat ediniz. Çevreleri eşit olan dikdörtgenlerden alanı en büyük olanı karedir. Bu durum genellenebilir. Şöyle ki: çevreleri eşit olan üçgenlerden alanı en büyük olan eş kenar üçgendir. Çevreleri eşit olan beşgenlerden alanı en büyük olanı düzgün beşgendir. Çevreleri eşit olan altıgenlerden alanı en büyük olanı düzgün altıgendir.
Yarıçapı cm olan çember içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgenin alanı kaç cm karedir? Dikdörtgenin alanı: A( A ( A( Sonuç AB br, BC y br olsun..y. 6 dir. y y 6 dir..(6 0 dir.. 6. 6 ( br dir. Oluşan dikdörtgenin kare olduğuna dikkat ediniz. Bir çember içine çizilebilecek en büyük alanlı dikdörtgen karedir. Bu durum genellenebilir. Şöyle ki: bir çember içine çizilebilecek en büyük alanlı üçgen eş kenar üçgendir. Bir çember içine çizilecek en büyük alanlı beşgen, düzgün beşgendir. Bir çember içine çizilecek en büyük alanlı altıgen düzgün altıgendir. Şekildeki denklemi y olan dörtte bir çemberin, B noktasının ekseni üzerindeki dik izdüşümü A (,0 noktasıdır. OAB üçgeninin alanı in angi değeri için en büyüktür? A (,0 noktasının apsisi olduğuna göre, B noktasının apsisi de olur. y y dir. Üçgenin alanı:.y. A A( dir. A (.... dir. maksimum olur? B noktasının ordinatı y olsun. B(,y noktası çemberin üzerinde olduğuna göre çemberin denklemini sağlar. OA br ve BA y br ise. 0. 0 0 Şekilde P (, y noktası, denklemi y olan parabol üzerindedir. in angi değeri için y ise, y dir. A(, y y olsun. A( olur. A ( 0 bulunur. y
Dikdörtgenin alanı: B noktası y doğrusu üzerinde olmak üzere, OABC dikdörtgeninin alanı en fazla kaç birim karedir? A a.b A(a a.(9 a dir. A (a 6a 0 a tür. A(.(9 ( birim kare bulunur. Uyarı B noktasının apsisi, ordinatı y olsun. B noktası y doğrusunun üzerinde olduğu için denklemi sağlar. Uzunluk, negatif olamayacağı için, yukarıdaki örneklerde, negatif değerlerin üzerinde durmaya gerek yoktur. Yani y tir. A(AOBC.y.( A( tir. A ( A( 0 dir... br bulunur. y 5 ve y eğrisiyle sınırlanan bölgeye çizilen maksimum alanlı ABCD dikdörtgeninin alanı kaç birim karedir? O ekseni ve y 9 parabolü ile sınırlanan bölgeye çizilebilecek maksimum alanlı dikdörtgenin alanı kaç birim karedir? C noktasının apsisi a ise, D noktasının apsisi de a dır. D noktası y doğrusu üzerinde olduğundan ordinatı a tür. DC a br olur. b 9 a dir. P (a, b noktası parabolün üstünde olsun. P (a, b noktası parabolün üzerinde olduğuna göre, parabolün denklemini sağlar. AB DC olduğu için, A noktasının ordinatı da a tür. Şimdi bu noktaya karşılık gelen apsisi bulalım: A noktası y 5 doğrusunun üzerinde olduğu için ordinatı a olan noktanın apsisi, Grafikte de görüldüğü gibi, dikdörtgenin eni a birim, boyu b birim olur. a 5 a dir. 5
OB ( a br OC a br DC DF FC y y ( ( * 6 olur. BC OB OC a br olur. ABCD dikdörtgeninin alanı: A(ABCD A(a A( BC. DC (a.( a A (a (a.( a A (a a 0 a.( a.(a (..( birim kare bulunur. y ve y eğrisiyle sınırlanan bölgeye çizilebilecek maksimum alanlı dikdörtgenin alanı kaç birim karedir? LC OF DC 6 ise, A(KLCD LC. DC.(6 ABCD dikdörtgeninin alanı: A(ABCD A( A ( A( Uyarı.A(KLCD.(6..(6 0..(6. birim kare bulunur. Uzunluk, negatif olamayacağı için, yukarıdaki örnekte FC uzunluğu belirlerken Oy ekseninin negatif değerlerine karşılık geldiği için (* eşitliğinde y nin önüne eksi işareti konulmuştur.. Parabollerin tepe noktaları Oy ekseni üzerinde olduğundan, şekil Oy eksenine göre simetriktir. Bunun için, KLCD dikdörtgeninin alanının iki katı istenen sonuç olur. F noktasının apsisi olsun. Yandaki şekilde y fonksiyonunun grafiği ile A (,0 noktası verilmiştir. Grafiğin A ya en yakın noktası P olduğuna göre AP kaç birimdir? OF olur. Şekilde görüldüğü gibi, DC uzunluğunun bir kısmı y parabolü ile, bir kısmı y parabolü ile belirlenmiştir. y olduğu için P(, y P(, dir. Buna göre AP uzunluğu: DF y ve FC y olsun. AP ( (0 6
U( 6 9 dur. 6 U ( 0 dir.. 6 9 Yarıçapı birim olan küre içine çizilebilecek maksimum acimli silindirin acmi kaç birim küptür? AP U( ( (0 5 tir Bir kenarının uzunluğu 6 m olan kare şeklindeki bir saç leva köşelerinden bir miktar kesilerek üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutu yapılacaktır. Kutunun acmi en çok kaç metre küp olabilir? O, kürenin merkezi ve silindirin yüksekliği birim olsun. OK olur. OBK dik üçgeninde pisagor bağıntısını yazalım: r r 6 tür. Köşelerden kesilecek parçanın bir kenarı m olsun. Bu durumda oluşacak üstü açık dikdörtgenler prizmasının (kare dik prizma acmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır. acim: Silindirin acmi: H.r. olduğundan, H(.(6..(6 H( H ( (6. tir..(6.(..(6 H (.(6 0 Silindirin acmi:.(6.(. (6 0 veya tür. H( (. 6. 56 9 birim küptür. Değişim tablosundan da görüleceği gibi H ( maksimum değerini de alır. acim en çok, H( (6.. 6 m tür. Yarıçapı birim olan kürenin dışına maksimum acimli koni çizilecektir. Koni, küreye yan yüzlerinden ve tabanından teğet olduğuna göre, koninin yüksekliği kaç birimdir? 7
Çözümlü Sorular O, kürenin merkezi ve silindirin yüksekliği birim olsun. OH AH ise,. Yarıçapı 6 cm olan yarım çemberin içine çizilebilecek dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın alanı kaç santimetrekaredir? Şekilde ifade edilenlere göre AO olur. y 6 AKO dik üçgeninde pisagor bağıntısını yazalım: AK ( AK ( 6 dır. AKO AHB benzerliğinden, AK AH KO HB ( 6 r 6 6 r olur. ( 6 A(ABCD A (.(6 y 6 olur. y A(. 6. 6 6. 6.(6 6 0 6 0 dir. dikdörtgenin alanı maksimum: r nin bu değerini acim formülünde yerine yazarak sonuca gidelim. A(.. 6 ( 6 cm bulunur. H.r H ( H (. 6 6 H(....(.6. ( 6 56. 0 6 56 0 (. AB 0 BC olmak üzere, BDEF dikdörtgeninin alanı en çok kaç birim kare olabilir? 6 birim bulunur. BF ve FE y olsun. AFE ABC benzerliğinden,
AF AB FE 0 y 0 y olur. BX 0 5 A(BDEF.y A( A ( 0. 0. 0 5 tir. 5 5 Buna göre dikdörtgenin alanı en çok: 5. Denklemi y olan şekildeki parabolün P (, y Oy ekseni üzerindeki dik izdüşümü B (0, y dir. Üçgenin bir köşesi A (0, dir. ABP üçgeninin alanı, in angi değeri için en büyük olur? A(BDEF 0.5 A(5 5. 5. 0 birim karedir. 5. (m m 0 denkleminin kökleri dir. kaçtır? ve ( ( toplamının maksimum değeri ( ( (.. ( m.(m m m m A(ABP BP. AB.( A(.( A (0,, B (0,, P (, olduğuna göre, A ( BP,( 0 AB olur. m m 6 ( ( toplamı maksimum değeri aldığında 5. 0 dir. f(m f (m m m 6 m 0 m dir. ( ( m m 6 ifadesinin en büyük değeri, f(. 6 0 olur. AE nin eğimi m ise AF nin eğimi dir. m Köşesi A (5, olan şekildeki dik üçgenin kenarları koordinat eksenlerini E ve F noktalarında kesmektedir. EF uzunluğu en az kaç birimdir? AE nin denklemi: y m( 5 9
AE nin denklemi: y ( 5 olur. m E noktasının apsisi 0 olduğuna göre, ordinatı: olur. y 5m olur. F noktasının ordinatı 0 olduğuna göre, apsisi: A(ABCD ( DC HB. (. m 5 olur., EF uzunluğu: EF (m 5 ( 5m A( A ( (. (... f(m f (m (m 5 ( 5m.(m 5..( 5m.( 5. (m 5 ( 5m 0 dir. A( (. bulunur..(m 5..( 5m.( 5. (m 5 ( 5m 0 m 0 7. O, [AB] üzerinde f(0 (.0 5 ( 5.0 olur. [ AE] [ BF] [AB] [AB] 6. Çap uzunluğu birim olan yarım çemberin içine şekildeki gibi ABCD yamuğu çiziliyor. Buna göre, yamuğun alanı en çok kaç birim karedir? ABCD yamuk olduğu için, üst tabanı alt tabanına paraleldir. Bu sebeple [OH], [DC] yi iki eşit parçaya böler. [ OE] [OF], AO br, OB 7 br Yukarıdaki verilenlere göre, OE OF toplamı en küçük olur? AO sin OE OB cos OF OE 7 OF tan nın angi değeri için OE sin 7 OF cos DH HC ve HO olsun. DOH dik üçgeninde pisagor bağıntısını yazalım: DH HO DO 7 OE OF dır. sin cos 7 f ( olsun. sin cos 0
f ( cos sin 7. sin cos H(...(6..(6 cos sin 7. sin cos. 0 cos sin 7 sin 0. cos. cos 7. sin 0. cos 7. sin 0 H ( H(.(.(6 H( birim küp bulunur. 0 0 H(.(6. sin cos 7 tan tan olur. KONU BİTMİŞTİR. Yarıçapı birim olan küre içine çizilebilecek maksimum acimli koninin acmi kaç birim küptür? OB r olsun [AD], kürenin çapı; [BC] koninin taban yüzeyinin çapı olsun. Kürenin çapı 6 birim olduğuna göre, AO ise, OD 6 olur. ABD açısı çapı gördüğü için, ölçüsü 90 derecedir. ABD dik üçgeninde yükseklik bağıntısını yazalım: r.(6 Koninin acmi: H..r.