BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (005.7. BİR TOPACN DÖNME MİKTAR ÜZERİNE BİR İNCEEME Adnan TEĞMEN Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü, 0600 Tandoğan-Ankara ÖZET Serbest bir katı cismin dönme hareketinde, eylemsiz bir koordinat sistemine göre sabit olan açısal momentum vektörü, cismin kütle merkezine sabitlenmiş koordinat sisteminden bakıldığında periyodik bir harekete sahiptir. Fakat açısal momentum vektörü bir periyodluk hareketini tamamladığında cisim bir bütün olarak periyodik bir hareket sergilememektedir. Robot ve uydu hareketlerinde önemli düzeltmeler gerektiren bu hareket tarzı analiz edilerek, simetrik bir topaç için cismin net dönme miktarı alternatif bir yaklaşımla türetilmiştir. Anahtar Kelimeler: Katı cisim, cisim koordinat sistemi, dinamik faz, geometrik faz. ABSTRACT n the rotational motion of a free rigid body, the angular momentum vector which is constant with respect to an inertial frame has a periodic motion when viewed from the frame fixed at the center of mass of the body. But when the angular momentum vector completes its one-period motion, the body as a whole does not exhibit a periodic motion. This kind of motion which generates important corrections in the motions of robots and satelites has been analyzed and, for a symmetrical top, the net amount of rotation of the rigid body has been derived via an alternative approach. Keywords: Rigid body, body frame, dynamical phase, geometric phase.. GİRİŞ Chasles teoremine göre katı bir cismin en genel yerdeğiştirmesi öteleme ve dönme hareketlerinden ibarettir []. Bu teoreme paralel olarak katı bir cismin hareketinin tam bir incelemesi iki koordinat sisteminin kullanılması ile mümkündür. Bunlardan birisi cismin dışında yer alan eylemsiz bir koordinat sistemi X X, diğeri ise cismin üzerine sabitlenmiş ve cisim ile birlikte hareket eden X xx koordinat sistemidir (cisim koordinatları. Diğer taraftan, eylemsiz koordinatlar ve cisim koordinatları cismin kütle merkezinde çakıştırılıp salt dönme hareketi incelendiğinde ilginç gözlemler yapılabilmektedir. Bir noktasından sabitlenmiş katı cismin en genel hareketi ise, Euler teoremine göre bir eksene göre anlık dönme hareketidir. Dolayısıyla belli bir dönme ekseni belirlenmemiş olsa bile açısal hız vektörü anlık olarak tanımlanabilir. Aşağıda dikkate x tegmen@science.ankara.edu.tr 57
BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (005.7. alınan bütün dönme eksenleri, ölçüm anında sonsuz küçük dönmelere karşı gelen anlık dönme eksenleridir. Cisim koordinatları, cismin asal eylemsiz dönme eksenleri ile çakıştırılıp kütle merkezine sabitlendiğinde cismin dönme kinetik enerjisi çok iyi bilinen T dön ( + +, ( bağıntısı ile verilir. Burada seçimi ile verilen nicelikler, asal eylemsizlik momentleridir ve i ( i,, cismin açısal hız vektörü nın cisim koordinat sistemindeki bileşenleridir. vektörü cisim koordinat sisteminin yerinin seçiminden bağımsızdır, yani xx x koordinat sisteminin orijini kütle merkezinde seçilmese bile değişmez kalır. Dolayısıyla, bu anlamı ile vekörü mutlak bir özelliğe sahiptir. Gözönüne alınacağı gibi, cisim serbest olduğunda sistemde herhangi bir dış kuvvet olmayacağından dolayı ( bağıntısı toplam enerjiye indirgenir ve bir hareket sabitidir: T dön E sabit. ( Sistemde doğal olarak herhangi bir dış kuvvet momenti yani tork da olmayacağından, bileşenleri i i i ( ile verilen açısal momentum vektörü, eylemsiz koordinatlara göre hem yönce hem de boyca sabit bir vektördür: + + sabit. (4 Fakat cisim koordinatlarından bakıldığında, cismin spin hareketi yapmasından dolayı, vektörü periyodik davranır. Açısal momentum vektörü bir periyodluk tam bir dönme yaptığında cismin kendisi bir bütün olarak π kadar dönmemekte, dolayısıyla asla başlangıçtaki konumuna gelememektedir. Bu tespit ilk olarak simetrik bir topaç ( için. D. andau ve E. M. ifshitz tarfından yapılmış, fakat cismin net dönme miktarının ne olduğu hesaplanmamıştır []. Bu çalışmada, bir adım daha öteye gidilerek bahsedilen çalışmada eksik olan net dönme miktarı açık bir şekilde türetilmiştir (Bkz. Denk. (8. Bulunan bu sonuç, özette de bahsedildiği gibi robot ve uydu hareketlerinde hiç hesapta olmayan sürpriz düzeltmeler gerektirdiği için günümüzde oldukça önem kazanmış ve literatürde değişik yollarla türetilmiştir. Örneğin, daha sonraları Poinsot teoremi kullanılarak ilk defa genel bir türetme yapılmıştır []. Aynı sonuç, asal lif demetlerinde paralel taşıma teorisinin kullanılmasıyla [4] ve pdq eylem-formunun, katı cismin klasik faz uzayında Stokes teoreminin kullanılarak integre edilmesiyle doğrulanmıştır [5]. Ayrıca, Poincare-Cartan eylem formunun katı cismin üç-boyutlu faz uzayında integre edilerek aynı sonucun bulunması mümkündür [6]. Bu çalışmada ise, diğerlerinden farklı olarak. D. andau ve E. M. ifshitz in çalışmalarının devamı niteliğinde, klasik bir yaklaşımla aynı sonuç doğrulanmış ve konunun daha anlaşılabilir hale getirilmesi amaçlanmıştır. 58
BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (005.7.. YÖNTEM VE BUGUAR.. Simetrik topacın X X koordinat sisteminde incelenmesi X Küresel bir topaç için (, kütle merkezinden geçen herhangi bir dönme ekseni doğrudan asal eylemsizlik ekseni olacağından, açısal momentum ve açısal hız vektörleri paralel kalırlar ve açısal momentum olabilecek en basit halini alır:. (5 Fakat, genel bir durum olarak, anlık dönme ekseni asal eksenlerin haricinde herhangi bir eksen olduğundan artık ve vektörleri paralel kalmayacaktır (Şekil. ψ, spin X ϕ pr x x θ ϕ X ψ x X N θ Şekil. Serbest simetrik bir topacın hareketi. Hareketin rahat takip edilebilmesi için ekseni vektörü ile çakıştırılmıştır. N doğrusu, düzlemi ile X X düzleminin X x x kesişim doğrultusu boyuncadır. θ, x ile X, ϕ, X ile N ve ψ ise N ile x arasındaki açılardır. Şekildeki gibi simetrik bir topaç dikkate alındığında cismin simetrisinden dolayı asal eksenlerinin seçilmesinde bir keyfiyet vardır. Dolayısıyla x ekseni, vektörü ile ekseninin oluşturduğu düzleme dik olarak seçilebilir. (Cisim koordinat sistemi kütle x x x merkezine sabitlendiğinden ekseninin cismin simetri ekseni ile çakışacağı aşikardır. Bu seçimin sonucu olarak, 0 olur ve doğal olarak, ve x hareket süresince hep aynı düzlemde kalırlar. açısal hız vektörü Euler açılarından gelen katkıları içerdiğinden x ve θ+ ϕ + ψ (6 59
BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (005.7. genel biçimi ile yazılabilir. (Bu kesimdeki hesapların ayrıntıları Ek de bulunabilir. θ açısı x ekseni ile arasındaki açı olarak tanımlandığından θ vektörü x -- üçlüsünün oluşturduğu düzleme dik kalmak zorundadır. Bu ise nın θ bileşeni olmadığı anlamına gelir. Dolayısı ile cismin dönmesinde θ ile ilgili bir değişim söz konusu değildir: θ sabit. Diğer taraftan, x ve x asal eksenlerinin seçimleri keyfi olduğundan cisim harekete ψ 0 şartı ile başlatılabilir. Bu şart altında, (6 daki diğer iki bileşen ψ + ϕ cosθ ( ϕ, (7 denklemleri ile belirlenir. (7 den ϕ sabit, dolayısıyla (8 den ψ sabit sonuçları aşikardır. ψ deki değişimin sonucu olarak cisim x ekseni etrafında düzgün bir spin hareketi yaparken aynı zamanda ϕ deki değişimin sonucu olarak da bir bütün olarak etrafında konik bir presesyon hareketi yapar. Bu tespitlerin sonucunda (6 ifadesine fiziksel bir anlam kazandırılmış olur: pr + spin, (9 burada pr, cismin etrafındaki presesyon hareketine karşı gelen açısal hız, spin ise cismin x doğrultusunda kendi ekseni etrafındaki dönmesine karşı gelen açısal hızdır. nın x üzerine izdüşümü olan sin θ (0 pr ifadesinden faydalanılırsa, ( ün yardımıyla (7 ye uygun olarak pr ϕ ( sinθ ( elde edilir. Diğer taraftan, (8 e uygun olarak cosθ spin ψ + ϕ cosθ. ( olur... Simetrik topacın x x koordinat sisteminde incelenmesi x Cisim koordinat sisteminde katı cismin hareketi, (a, (b, (c (8 60
BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (005.7. Euler denklemleri ile verilir []. ( diferensiyel denklem takımı katı cismin üç-boyutlu faz uzayında yazılmış denklemler olarak yorumlanabilir ve çözümü elipsoidi ile E + + (4 S ( + + (5 küresinin kesişimi olan eğri olarak verilir. Bu durumda ( denklem takımı daha yalın bir biçimde ( i, E, S i (6 (,, Jakobiyeni ile yazılabilir [7]. Denklem takımı (4 ve (5 çözümlerini aynı anda sağlamak zorunda olduğundan vektörünün ucu kesişim eğrisi üzerinde gezinir. Simetrik topaç durumunda vektörün hareket tarzı açıkça belirlenebilir: (c eşitliğinden sabit olduğu hemen görülür. Bu ise vektörünün konik bir hareket yaptığı anlamına gelir ve daha önce yapılan θ sabit tespitini doğrular. Hareketi daha açık bir şekilde belirlemek için (7 tanımlaması yapılırsa,, (8a (8b denklem takımı elde edilir. Çözümler ise, sabiti, vektörünün düzlemine izdüşümü olmak üzere cost (9a sint (9b şeklindedir. Dolayısıyla bu sonuç, x x koordinat sisteminden bakıldığında vektörünün, x boyu sabit kalacak şekilde x etrafında ψ açısal hızı ile periyodik bir hareket yaptığını gösterir. ( ifadesinden dolayı vektörü de benzer bir davranış gösterir... Simetrik topacın dönme miktarı Bu kesimde, açısal momentum vektörünün bir periyodluk dönmesi sonucu, cismin ne kadar döndüğünü belirlemek için ϕ açısının değişimi incelenecektir. vektörünün periyodu (7 bağıntısından kolaylıkla T π (0 ( 6
BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (005.7. olarak bulunur. ϕ açısının zaman içindeki davranışı, başlangıçtaki değeri sıfır olacak şekilde alındığında, ( denkleminden ϕ ( t t ( ile belirlenir. T süre sonunda cisim tarafından taranan açı miktarı ϕ ( T π ( ise, π den daha büyük bir değere sahip olmakta ve dolayısıyla başlangıç konumunu aşmaktadır. π yi aşan kısım doğal olarak ϕ ϕ( T π ( ile verilir. ( denklemi, (4, (4 ve ( E (4 ile verilen yardımcı eşitliğin kullanılması ile ET ϕ ( T + π (5 haline gelir. (Denk. (4 ile Denk. (7 arasındaki hesapların ayrıntıları Ek de bulunabilir. Bunun sonucu olarak ET ϕ π ( cosθ (6 olarak bulunur; burada Ω π ( cosθ, (7 vektörünün kesişim eğrisi boyunca taradığı katı açıdır. Nihayetinde, cismin net dönme miktarı ET ϕ Ω (8 ile bir kez daha doğrulanmış olur.. TARTŞMA VE SONUÇ (8 eşitliği, her ne kadar simetrik bir topaç için türetilmiş ise de, cismin simetrik olması şartından bağımsız olarak, genel bir bağıntıdır. Topacın periyodikliği açısal momentum vektörü ile tanımlandığında, net bir dönme miktarının var olup olmadığı sistemin hangi koordinat sisteminde incelendiğine bağlı kalmaktadır. Diğer taraftan, değişik bir yaklaşım olarak topacın periyodiklik tanımı açısal hız vektörü ile tanımlanırsa sistemin hareketi, uzay ve cisim konilerinin birbirleri üzerinde yuvarlanma problemine indirgenir: Bilindiği gibi, XX X koordinat sisteminde vektörü etrafında ϕ hızı ile uzay konisi denilen bir koni çizer. xx x koordinat sisteminde ise x etrafında ψ hızı ile cisim konisini çizer. İki koninin değme doğrultusunda yer alan vektörü anlık dönme eksenidir ve hareket boyunca değme doğrultusundaki yerini korur. Dolayısıyla cisim konisi 6
BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (005.7. uzay konisi üzerinde kaymadan yuvarlanma hareketi yapar. Cisim konisi, uzay konisi üzerinde ( ve ( den T C π (9 ( ile verilen tam bir periyodluk hareketini tamamladığında, vektörü uzay konisi üzerinde ϕ( T C π ϕ( T (0 kadarlık bir açı tarar. Bu ise cismin toplam dönme miktarıdır. İşaretlerdeki zıtlık, ve vektörlerinin birbirlerine göre zıt yönlerde dönüyor olmalarından kaynaklanır. Sonuçta mutlak değerce cismin net dönme miktarı (8 ile uyum içindedir. (8 in sağ tarafındaki birinci ve ikinci terimler sırasıyla dinamik ve geometrik faz faktörü olarak adlandırılırlar ve aslında kuantum mekaniksel bir incelemeden kaynaklanmışlardır [8]. Dinamik kısım, sabit T ve değerleri için toplam enerjinin bir fonksiyonudur ve dolayısıyla cisim döndüğü sürece varolan bir niceliktir. Geometrik kısım ise sistemde etkin olan parametre ya da parametrelerin ( ki bu örnekte açısal momentumdur parametre uzayında kapalı bir yörünge oluşturduğu zaman sistemin genel yapısındaki değişime karşı gelir. Nitekim θ 0 ile verilen, açısal momentum vektörünün cisim koordinat sisteminde bile sabit kaldığı durum için, parametre uzayında kapalı bir eğrinin oluşması mümkün değildir ve geometrik kısım ortadan kalkar. Geometrik fazlar genel olarak Berry fazı olarak adlandırılırlar ve geometrik optikten nükleer magnetik rezonansa kadar pek çok alanda gözlenmiştir. Bunların en önemlilerinden bir tanesi Ahoronov-Bohm olayıdır. Bu tür fazların klasik karşılığı genel anlamı ile Hannay açısı olarak bilinir ve katı cisim fazları Hannay açısının bir uygulamasıdır [9]. KAYNAKAR [] Goldstein, H., Poole, C. and Safko, J., Classical Mechanics, Addison-Wesley, 6, (00 [] andau,. D. and ifshitz, E. M., Mechanics, Bristol, Pergamon, (960 [] evi, M., Geometric Phases in the Motion of Rigid Bodies, Arch. Rational Mech. Anal,, -9, (99, ( Önbasım olarak 990 [4] Marsden, J. E., Montgomery, R. and Ratiu, T., Reduction, Symmetry and Berry s Phase in Mechanics, Memoirs of AMS, 46, -0, (990 [5] Montgomery, R., How Much Does the Rigid Body Rotate? A Berry s Phase from the 8th Century, Am. J. Phys., 59(5, 94-98, (990 [6] Teğmen, A., Rigid Body Phase Formula in terms of Poincare-Cartan nvariant Action Form, (Basım için hazırlanmaktadır. [7] Nambu, Y., Generalized Hamiltonian Dynamics, Phys. Rev. D, 7, 405-4, (97 [8] Berry, M. V., Quantal Phase Factors Accompanying Adiabatic Changes, Proc. R. Soc. ond. A, 9, 45-57, (984 6
BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (005.7. [9] Hannay, J. H., Angle Variable Holonomy in Adiabatic Excursion of an ntegrable Hamiltonian, J. Phys. A, 8, -0, (985 Ek: Kesim.. için hesap ayrıntıları nın x xx cisim koordinat sistemindeki ifadesi x + x + x (Ek- ile verilirken sistemindeki eşdeğeri NX x θ+ ϕ+ ψ θ N + ϕ X + ψ x (Ek- olacaktır. nın bileşenlerinin xx x sisteminde Euler açıları cinsinden ayrışımı ise aşağıdaki gibidir. θ θ N θ x + θ x + θ x θ cosψ x θ sinψ x, (Ek-a ϕ ϕ X ϕ x + ϕ x + ϕ x ϕ sinθ cos(90 ψ x + ϕ sinθ cosψ x + ϕ cosθ x, (Ek-b ϕ x ψ x ψ, (Ek-c burada ϕ sinθ, nın x düzlemine olan izdüşümüdür. Bu durumda Denk. (Ek- ( θ cosψ + ϕ sinθ sinψ x + ( ϕ sinθ cosψ θ sinψ x + ( ψ + ϕ cosθ x (Ek-4 olurken, bu ifade ψ 0 şartı altında θ, ϕ sinθ, ψ + ϕ cosθ (Ek-5 halini alır. 0 olduğu hatırlanırsa xx x sisteminde x + x + x ile verilen açısal momentum vektörünün bileşenleri 0, (Ek-6a ( ϕ sinθ sinθ, (Ek-6b ( ψ + ϕ cosθ (Ek-6c 64
BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (005.7. olur. Diğer taraftan ϕ ϕ X pr ve ψ ψ x spin tanımlamaları yapılırsa (Ek- denklemi (9 denklemine dönüşür. Ek: Kesim.. için hesap ayrıntıları Denk. (4 ile verilen enerji ifadesi simetrik topaç ( için E + + (Ek- şeklinde yeniden düzenlenebilir. (4 denkleminden elde edilen önceki denklemde değerlendirilirse ( E bağıntısı elde edilir. Bu ifadenin periyod ifadesi için yeni bir eşitlik verir: + (Ek- ( E ifadesi bir şeklindeki eşdeğeri (0 deki T π. (Ek- ( E ET Son ifadenin T + π şeklindeki eşdeğeri ( ile beraber değerlendirildiğinde ET ϕ ( T T + π (Ek-4 ile verilen (5 denklemi elde edilmiş olur. Diğer taraftan katı açı tanımını, (4 ile verilen sabit yarıçaplı küreye, da sinθdθdϕ yüzey elemanı olmak üzere Ω dω da (Ek-5 şeklinde uyarlarsak sabit θ için Ω geometrik faz katkısı bulunur. θ 0 π sinθdθ dϕ π ( cosθ 0 (Ek-6 65