. BÖLÜM VEKTÖRLER Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallaında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektiksel yük, gibi büyüklükle, cebisel kallaa göe ifade edilile. B tü çoklklaa Skale büyüklükle deni. Tanım: haeket, hız, kvvet, gibi hem yönü, hem doğlts, hem de büyüklüğü olan çoklklaa Vektöel Büyüklükle deni. Vektöel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı : Yönlü doğ paçalaına vektö deni. A : Başlangıç noktası, B : Bitim noktasıdı. = AB yada ile gösteili. A B 3 4
GENEL TANIMLAR Tanım: Başlangıç ve bitim noktalaı çakışık olan vektöe SIFIR vektöü deni. AA ya da 0 Sıfı vektöü sonsz sayıda doğlt ve yöne sahipti. Tanım: Sabit bi başlangıç noktasına sahip olan vektöe KONUM/YER vektöü deni. Tanım: Başlangıç noktası sabit bi doğ üzeinde değişen vektöe KAYAN vektö deni. Tanım: Eğe başlangıç noktası üzeinde hiçbi kısıt yoksa SERBEST vektö deni. GENEL TANIMLAR Tanım: ile v gibi iki vektöün, yönlei aynı ve büyüklüklei eşit ise EŞİT vektöledi. =v Tanım: ile yönü zıt fakat büyüklüğü eşit olan vektö - ile gösteili. v - 6 VEKTÖREL İŞLEMLER: Toplama Tanım: ve v gibi ili vektöün toplamı, v vektöünün başlangıç noktasını vektöünün bitim noktasına yeleştidikten sona vektöünün başlangıç noktasını v vektöünün bitim noktasına bileştien vektödü. = (, ) v = ( v, v ) ise + v = ( + v, + v ) Vektölein toplamı yine bi vektödü. v VEKTÖREL İŞLEMLER: Toplama Paalelkena Yöntemi +v toplam vektöü ve v vektöleinin olştdğ Paalelkenaın köşegenleinden biine eşitti. w
VEKTÖREL İŞLEMLER: n Adet Vektöün Toplanması v Tanım: Vektöle sıası ile biinin başlangıç noktası v v 3 v 4 diğeinin bitim noktasına gelecek şekilde yeleştiili ve ilk vektöün başlangıç noktasını son vektöün bitim noktası ile bileştien vektö TOPLAM ya da BİLEŞKE vektö olaak adlandıılı. v = v + v + L + v n ( v v v,, v v v ) v = + + L+ K + + L + n n n nn V v n VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektöün Bi Skale İle Çapımı + Tanım: Bi vektöü ve k bi skale olmak üzee k çapımı, vektöü ile aynı yönde ve znlğ vektöün k katı olan bi vektödü. Bi vektöün bi skale ile çapım sonc yine bi vektödü. k VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektöün Bi Skale İle Çapımı VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektölein Fakı Tanım: Bi vektöünün k çapımında k=- ise, (-) Eğe k ise elde edilen k vektöü vektöü ile aynı doğltda fakat zıt yöndedi. vektöüne, vektöünün toplamaya göe tesi deni: +(-)=0 Tanım: ve v he hangi iki vektö ise bnlaın fakı, vektölein kaşılıklı elemanlaının cebisel fakı ile elde -k edilen vektödü: +(-v)=-v=w ( v v ) w =,, K n n w -v v +v
VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektölein Fakı Paalelkena Yöntemi w fak vektöü ve v vektöleinin tanımladığı Paalelkenaın diğe köşegenidi. İki Noktanın Tanımladığı Vektö Tanım: İki boytl zayda (düzlemde) A(a,a ), B(b,b ) noktalaı veilmiş olsn. B iki noktanın tanımladığı vektöün elemanlaı: AB = OB OA AB = OB + ( OA ) AB = ( b, b ) + ( a, a ) AB = ( b a, b a ) AB = B A İki Noktanın Tanımladığı Vektö Tanım: İki boytl zayda (düzlemde) A(a,a ), B(b,b ) noktalaı veilmiş olsn. Düzlemdeki he K noktası için KB KA = AB VEKTÖRÜN UZUNLUĞU NORMU Tanım: Bi vektöünün znlğ vektö elemanlaının kaeleinin toplamının kaeköküdü ve ile tanımlanı: = + + L + n Uznlk skale bi değedi.
VEKTÖRÜN UZUNLUĞU NORMU: Geometisi Üç boytl konm vektöünün znlğnn kaesi; = OA = OC + CA = OB + BC + CA = x + y + z Uznlk, = x + y + z BİRİM (NORMALİZE) VEKTÖR Tanım: Uznlğ ya da salt değei BİR () e eşit olan vektölee BİRİM vektö deni. Bi vektöü, N = İşlemi ile biim vektöe dönüştüülebili. Bi vektöü biim vektö ve znlğ cinsinden yazılabili: = N NORMALİZE VEKTÖR Tanım: Bi vektöün nomalize edilmesi, znlğnn bi biim olacak şekilde ölçeklenmesidi. B amaçla vektöün tüm bileşenlei vektöün znlğna bölünüle. ise ( ) =,, K, n = + + L + n n N =,, K, İki Nokta Aasındaki Mesafe Tanım: Üç boytl zayda iki nokta P (x,y,z ) ve P (x,y,z ) veilmiş olsn. B iki nokta aasındaki mesafep P vektöünün, P P = ( x x, y y, z z ) znlğ olaak belileni ve d ile gösteili. ( ) ( ) ( ) d = P P = x x + y y + z z
İki Nokta Aasındaki Mesafe VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Tanım: Üç boytl katezyen sistemde başlangıç (oijin) O (0,0,0) noktasını; (,0,0), (0,,0) ve (0,0,) noktalaına bileştien vektölee sıası ile ox, oy, oz eksenleinin BİRİM vektölei deni. i, j, k ile gösteilile: i = (,0,0 ) j = ( 0,,0 ) k = ( 0,0,) Tanım: n-boytl zayda eksenlein biim vektölei e, e,,e n VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Tanım: Üç boytl katezyen sisteminde başlangıç O (0,0,0) noktasını bi A noktasına bileştien OA vektöüne A noktasının KONUM vektöü adı veili. = OA = OB + BC + CA = OB + OD + OE
VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Teoem: Üç boytl zaydaki he hangi bi = (,, ) 3 vektöü i, j, k biim vektöleinin doğsal delemesi olaak yazılabili: = i + j + k 3 B ifadeye vektöünün ANALİTİK gösteimi deni. VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Teoem: n-boytl zaydaki he hangi bi = ( K ),,, n konm vektöü e, e,,e n biim vektöleinin doğsal delemesi olaak yazılabili: = e + e + L + e n n B ifadeye konm vektöünün ANALİTİK gösteimi deni. VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Teoem: = i + j + k = (,, ) 3 3 (,, ) v = v i + v j + v k = v v v ve k olmak üzee, 3 3 ( v ) ( v ) ( v ) + v = + i + + j + + k 3 3 (,, ) k = k i + k j + k k = k k k 3 3 VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ: İki Boyt y j O i P M(x,y) M ( x, y ) x OM = OP + PM OP = xi PM = yj OM = xi + yj 8
VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ: Üç Boyt x i z k O j Şekil.5 M(x,y,z) y OM = [ x y z] OM = xi + y j + zk Vektölein Çapımı. Skale Çapım. Vektöel Çapım 9 Skale Çapım Tanım: ve v gibi sıfıdan faklı iki vektöün skale çapımı v ile gösteili: v = v Cosθ 0 < θ < π θ vektöle aasındaki açıdı. Önemli: Çapım sonc skale bi büyüklüktü. Skale çapım; İç (inne) Çapım ya da Nokta (dot) Çapım olaak da adlandıılı. Skale Çapım: Geometik Anlamı v = OAOB. = OC. OB = OC. OB OC Cosθ = OA OC = OA Cosθ v = OB OA Cosθ v = v Cosθ
Skale Çapım: Geometik Anlamı.İki vektö bibiine dik (otogonal) ise θ=π/ olp skale çapım: v = v Cosθ = 0. İki vektöün yönlei aynı ise θ=0 olp skale çapım: v = v Cosθ = v 3. İki vektöün yönlei zıt ise θ=π olp skale çapım: v = v Cosθ = v Skale Çapım: Analitik Anlamı Üç boytl iki vektöün; =,, v = ( ) 3 ( v, v, v ) 3 Skale çapımının analitik ifadesi: v = i + j + 3k vi + v j + v3k = v ii + vij + v3ik + v ji + v jj + v 3 jk + v ki + v kj + v kk ( )( ) 3 3 3 3 Skale Çapım: Analitik Anlamı Biim vektölein skale çapımı: ii = jj = kk = ve ij = ik = jk = 0 Skale çapım sonc: v = v + v + v 3 3 Genel dm: n-boytl vektöle için v = v + v + L + v n = v = n n Cosθ = İki Vektö Aasındaki Açı v v v + v + L+ v Cosθ = v n n v
Otogonal (Dik) Vektöle n- boytl iki vektö; =,,, n ( K ) v = ( v v K v ),,, n Bibiine Otogonal (dik) ise v = v + v + L + v = n n 0 Skale Çapımın Özelliklei, v, w sıfı olmayan üç vektö olmak üzee; a). v = v. b). =, ( = ) c).( v + w) =. v +. w d ) m (. v ) = ( m ). v =.( m v ) (m : skale) e ) =. = f ) v. v = 0 38 Vektöel Çapım Tanım: Sıfıdan faklı ve v gibi iki vektöün vektöel çapımı v v ya da v ile gösteili: θ w = v = e v Sinθ Vektöel çapımın sonc bi vektödü. Doğlts ve v vektöleinin olştdğ düzleme dikti. v v Vektöel Çapım: Paalelkenaın Alanı ve v vektölei düzlemde bi paalelkena tanımla. Paalelkenaın alanı A olsn. Şekilden göülebileceği gibi sinθ paalelkenaın yüksekliği v paalelkenaı taban znlğn vei. A = ( taban)( yükseklik ) = v sinθ
Vektöel Çapım: Sonç ve v vektöleinin vektöel çapımından elde edilen w = v vektöünün znlğ ve v vektöleinin tanımladığı paalelkenaın alanına eşitti. Biim Vektölein Vektöel Çapımı Daiesel Pemütasyon i i = 0 i j = k i k = j j i = k j j = 0 j k = i k i = j k j = i k k = 0 Vektöel Çapım: Analitik İfadesi Üç boytl iki vektöün; =,, v = ( ) 3 ( v, v, v ) 3 Skale çapımının analitik ifadesi: v = i + j + 3k vi + v j + v3k = v i i + vi j + v3i k + v j i + v j j + v 3 j k + v k i + v k j + v k k ( ) ( ) 3 3 3 3 Vektöel Çapım: Analitik İfadesi Biim vektölein vektöel çapımlaı kllanılaak: v = v v i + v v j + v v k ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 ( v v, v v, v v ) = 3 3 3 3 Not: Deteminant kons ile ilişkilidi.
Vektöel Çapım Teoem: Eğe ve v üç boytl zaydaki iki vektö ise,.. ( v ) = 0 v vektöü vektöüne otogonaldi.. v. ( v ) = 0 v vektöü v vektöüne otogonaldi. 3. v = v (. v ) Lagange özdeşliği Vektöel Çapım: Deteminant İfadesi v v = i j k x x y y z z Üçlü Vektöel Çapım Tanım:, v ve w vektöleinin üçlü vektöel çapımı: v w = w v v w ( ) ( ) ( ) Üçlü vektöel çapımın sonc yine bi vektödü. v w çapım vektöü ( ) v ve w vektöleinin olştdğ düzleme paalel, v w ikili vektöel çapım vektöüne dik bi vektödü. Vektöel Çapımın Özelliklei, v, w sıfı olmayan üç vektö olmak üzee; a) v = v b) ( v + w) = v + w c) m ( v) = ( m ) v = ( m v) (m : skale) d ) v = 0 ile v paaleldi. e) ve v vektöleinin vektöel çapımının değei (skale büyüklüğü) ve v vektölei üzeine klan PARALELKENAR ın alanını vei. 48
Kaışık Çapım Tanım:, v ve w aynı düzlemde blnmayan üç vektö olmak üzee, v w = v w Cosθ ( ) çapımına kaışık çapım deni. Kaışık çapım v w vektöü ile vektöünün skale çapımı oldğ için sonç bi skaledi. Kaışık Çapım: Geometik Anlamı Kaışık Çapım: Geometik Anlamı ( v w) = v w Cosθ İlk bileşen v w : OBCD paalelkenaının alanı İkinci bileşen Cosθ : paalelyüzün yüksekliği Kaışık Çapım:, v ve w vektölei üzeine klan paalelyüzün hacmine eşitti. Kaışık Çapım :Deteminatİfadesi x.( v w ) = x x 3 y y y 3 z z z 3 5
Vektölein İzdüşümü Vektöel İzdüşüm Skale İzdüşüm Vektölein İzdüşümü ox ekseni için biim vektö e olsn. OA vektöünün ox ekseni üzeindeki vektöel izdüşümü: izd. OA = OB OB = OB e OB = OA Cosθ e OA vektöünün ox ekseni üzeindeki skale izdüşümü: OB = OA Cosθ ya da OB = OA. e Vektölein İzdüşümü: Geometik BİRİNCİ BÖLÜM BİTTİİİİİİİ 56