Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha çok ve saylar n tane olan kümeler varsa, bu kümeleri A 1,A 2,...,A n simgeleriyle temsil edebiliriz. Bu durumda, her bir A i (i = 1,2,...,n) kümesi i ile damgalanm³tr (indislenmi³tir), diyece iz. imdi bu kavram biraz daha genelle³tirelim. Herhangi bir I kümesi dü³ünelim. Her i I ö esine kar³lk bir A i kümesi var olsun. Bütün bu kümelerden olu³an toplulu u A ile gösterelim. A = {A i i I} (7.1) olsun. (7.1) gere ince, A toplulu u, ö eleri A i kümeleri olan bir kümedir. Ancak "Kümelerin kümesi" kavram, bizi, ileride açklayaca mz Russel paradoksuna götürdü ü için, bu deyimi kullanmayacak, bunun yerine, A ya bir "kümeler ailesi", bir "kümeler toplulu u" ya da bir "snf" diyece iz. Burada I kümesine ailenin damgalayan (index) kümesi, her bir A i kümesine i ile damgalanm³ küme ve herbir i I ö esine de bir damga (indis) diyece iz. Bu aileyi bazan A = {A i } (7.2) biçiminde yazaca z. Hattâ, aileyi olu³turan kümeler A 1,A 2,...,A n ³eklindeyse, bunu diye de gösterebiliriz. {A 1,A 2,...,A n } (7.3) 7.1.1 Kümeler Ailesinin Bile³imi Bir A = {A i i I} ailesi verilsin. Bu ailenin bile³imi öyle bir kümedir ki, bir x ö esinin bu bile³ime ait olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, en az bir α I için 65
66 BÖLÜM 7. KÜME A LELER x A α olmasdr. Bu bile³imi A = A A A = A i = {A i i I} (7.4) simgelerinden birisiyle temsil edece iz. Bile³im tanmn simgelerle açklamak istersek, A = A i = {x α(α I) (x A α )} (7.5) yazabiliriz. Burada, sa yandaki ifadeyi ³öyle okuyaca z: "Kümenin içerdi i x ö eleri ³u özeli e sahiptir: öyle bir α var ki, α damgalayan I kümesine ve x ise A α kümesine aittir". Burada, damgalayan I kümesi iki ö eli ise (7.5) ifadesi, özel olarak, (5.1) biçimini alr. 7.1.2 Kümeler Ailesinin Arakesiti Bir A = {A i i I} ailesi verilsin. Bu ailenin arakesiti öyle bir kümedir ki, bir x ö esinin bu arakesite ait olmas için gerekli ve yeterli ko³ul her bir α I için x A α olmasdr. Bu arakesiti A = A A A = A i = {A i i I} (7.6) simgelerinden birisiyle temsil edece iz. Arakesit tanmn simgelerle açklamak istersek, A = A i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) yazabiliriz. Burada, sa yandaki ifadeyi ³öyle okuyaca z: "Kümenin içerdi i x ö eleri ³u özeli e sahiptir: her α ö esi için, α nn damgalayan I kümesine ait olmas, x ö esinin A α kümesine ait olmasn gerektirir". Burada, damgalayan I kümesi iki ö eli ise (7.7) ifadesi, özel olarak, (5.2) biçimini alr. 7.1.3 Ayrk Aile Bir A = {A i i I} ailesi verilsin. E er bu aileyi olu³turan kümeler iki³er iki³er birbirlerinden ayrk iseler; yani (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) ise, A ailesine ayrktr, denilir.
7.1. DAMGALANMI KÜMELER 67 7.1.4 Kuvvet Kümesi Bir A kümesinin kuvvet kümesi, A nn bütün alt kümelerinin ailesidir. Bunu P(A) simgesiyle temsil edece iz; yani P(A) = {Y Y A} (7.9) dr. Teorem 5.3.1 gere ince bo³ küme A nn bir alt kümesidir ; yani A dr. Ohalde P(A) dr. Örne in, A = {a,b} kümesinin kuvvet kümesi dir. P(A) = {,{a},{b},{a,b}} 7.1.5 Alt Aile Bir A = {A i i I} ailesi verilsin. E er J I ise B = {A j j J} (7.10) ailesine, P(A) nn bir alt ailesi, denilir ve P(B) P(A) simgesiyle gösterilir. 7.1.6 Bir Kümenin Ayr³m Tanm 7.1.1. Bo³ olmayan bir A kümesi verilsin. A³a daki özeliklere sahip bir A ailesine A kümesinin bir ayr³m denilir: (i) A ya ait kümeler A nn alt kümesidirler. (ii) Bo³ küme A ailesine ait de ildir. (iii) A ailesi ayrktr. (iv) A ailesinin bile³imi A kümesine e³ittir Bunu simgelerle açklamak istersek ³öyle diyebiliriz: A³a daki özeliklere sahip A ailesine A kümesinin bir ayr³mdr, denilir: (i) A P(A) (ii) / A (iii) (α,β I) (α β) A α A β = (iv) A = A Buradan hemen anla³ld üzere A ailesi A kümesinin bir ayr³m ise, A nn her ö esi, A ya ait bir ve yalnzca bir küme tarafndan içerilir.
68 BÖLÜM 7. KÜME A LELER 7.1.7 Bir Kümenin Örtüsü Bir A kümesi ile bir B = {B i i I} ailesi verilsin. E er A B BB = B i (7.11) oluyorsa, verilen aileye A kümesinin bir örtüsüdür, denilir. Teorem 7.1.1. Bir bo³ ailenin arakesiti evrensel kümeye, bile³imi ise bo³ kümeye e³ittir. spat: Bir A ailesinin bo³ bir aile olmas demek, A ailesine ait hiçbir küme yok demektir. Ba³ka bir deyi³le ailesi bo³ bir ailedir. A = {A i i } (7.12) A i = E (7.13) i A i = (7.14) i oldu unu gösterece iz. (7.7) ve (7.5) gere ince (i) y i A i α(α ) (y A α ) (ii) y i A i β(β ) (y A β ) oldu unu biliyoruz. imdi sa yandaki önermeleri ayr ayr inceleyelim, Birincide α önermesi yanl³ oldu undan, (2.4) kurallar gere ince, evrensel kümeye ait her y ö esi için (α ) (y A α ) önermesi her zaman do rudur (totoloji, çeli³mez). O halde (7.13) sa lanr. kincide (β ) yanl³ bir önerme oldu undan, gene (2.1) kurallar gere ince, evrensel kümeye ait her y ö esi için (β ) (y A α ) önermesi her zaman yanl³tr (olmazlk, çeli³ki). Demek ki bile³ime ait hiç bir ö e yoktur. O halde (7.14) sa lanr. Önerme 7.1.1 (Genelle³mig de Morgan Kural). Bir ailesi için a³a daki e³itlikler sa lanr: A = {A i i I} ( i) = A A i (7.15) ( i) = A A i (7.16)
7.1. DAMGALANMI KÜMELER 69 spat: (7.15): ( ) ( ) x A i x / A i { α(α I) (x A α )} { α(α I) (x / A α )} { α(α I) (x A α)} ( ) x A i spat: (7.16): Yukardakine benzer yolla yaplabilen bu ispat ö renciye bir al³trma olarak braklm³tr. Önerme 7.1.2 (Genelle³mig Da lma Kural). A = {A i i I} ve B = {B j j J} aileleri için a³a daki e³itlikler sa lanr: ( A i ) j = j JB i B j ) (7.17) j J(A = ( ) (A i B j ) j J ( A i ) j = j JB i B j ) (7.18) j J(A = ( ) (A i B j ) j J spat: (7.17): ( x A i ) j JB ( j x A i ) x j JB j α((α I) (x A α )) β((β J) (x B β )) α((α I) β(β J)) (x A α B β ) α((α I) x j J(A i B j ) x j J((A i B j ) spat: (7.17): bu ispat da yukardakine benzer dü³ünü³le yaplabilir.
70 BÖLÜM 7. KÜME A LELER 7.2 PROBLEMLER 1. A = {A i i I} ve B = {B i i I} aileleri verilsin. E er her i I için A i B i ise a³a daki ba ntlarn varl n gösteriniz. A i B i A i 2. Bir {A i i I} ailesi verilsin. E er J I ise a³a daki ba ntnn varl n gösteriniz. j JA j A i B i 3. Bir {A i i I} ailesi ile bir B kümesi verilsin. Her i I için A i B ise a³a daki ba ntnn varl n gösteriniz. A i B 4. A = {A i i I} ve B = {B i i I} aileleri verilsin. A³a daki ba ntnn varl n gösteriniz. ( ( ) (A i B i ) = A i ) B i 5. Bir {B i i I} ailesi ile bir A kümesi veriliyor. A³a daki ba ntnn varl n gösteriniz. ( ) A B i = (A B i ) 6. {A i i I} ile {B i i I} aileleri verilsin. A³a daki ba ntlarn varl n gösteriniz. ( (A i )\ j = j JB i \B j ) j J(A ( (A i )\ j JB j j J(A i \B j ) = 7. Bir A kümesi ile bunun mathscra ve B gibi farkl iki örtüsü verilmi³ olsun. Bu iki örtünün arakesitinin de bir örtü oldu unu gösteriniz.
7.3. KÜME D Z LER 71 7.3 KÜME D Z LER Tanm 7.3.1. Her n do al saysna kar³lk bir A n kümesi verilmi³ olsun. Böylece {A 0,A 1,A 2,...,A n,...} gibi bir kümeler ailesi elde edilir. Bu aileye bir kümeler dizisi diyece iz. Ba³ka bir deyi³le, bir A = {A i i I} ailesinin I damgalayan (index) kümesi N = {0,1,2,...,n,...} do al saylar kümesine e³itse, A ya bir kümeler dizisi, denilir. Tanm 7.3.2. Bir {A n n N} kümeler dizisi verilsin. Bu dizinin üst ve alt limitlerini, srasyla, diye tanmlanr. lim sup A n = A n+k (7.19) n Nk N ( ) = A k k=n lim inf A n = A n+k (7.20) n Nk N ( ) = A k (7.21) k=n E er üst ve alt limitleri e³itse, bu kümeler dizisinin limiti vardr, diyecek ve bu limiti, lim A n (7.22) simgesiyle gösterece iz. Önerme 7.3.1. {A n } ve {B n } herhangi iki kümeler dizisi ise a³a daki ba nt sa lanr: lim sup (A n B n ) (limsup A n ) (limsupb n ) (7.23)
72 BÖLÜM 7. KÜME A LELER spat: x limsup (A n B n ) = x n N (A n+k B n+k ) k N = n N x k N(A n+k B n+k ) = n N ( k N)(x A n+k B n+k )) = n N ( k N)(x A n+k ) (x B n+k ) = n N ( k N)(x A n+k ) ( k N)(x B n+k ) = n N (x A n+k ) (x n+k )) k N k NB Önerme 7.3.2. lim sup = n N (x A n+k ) n N (x n+k ) k N k NB = x n+k x n Nk NA B n+k ) n Nk N = (x limsup = (x limsup (A n B n ) = limsup A n ) (x limsupb n ) A n ) (limsupb n )) A n limsupb n (7.24) dir. spat: x limsup (A n B n ) x n N (A n+k B n+k ) k N n N x k N(A n+k B n+k ) n N ( k N)(x A n+k B n+k )) n N ( k N)(x A n+k ) (x B n+k ) n N ( k N)(x A n+k ) ( k N)(x B n+k ) n N (x k N A n+k ) (x k NB n+k )) n N (x A n+k ) n N (x n+k ) k N k NB x n+k x n Nk NA B n+k ) n Nk N (x limsup (x limsup A n ) (x limsupb n ) B n )) A n ) (limsup
7.3. KÜME D Z LER 73 Önerme 7.3.3. Her kümeler dizisinden ayn bile³ime sahip ayrk bir dizi türetilebilir. spat: A = {A n n N} herhangi bir kümeler dizisi olsun. B 0 = A 0 B 1 = A 1 B 0 B 2 = A 2 (B 0 B 1 ) = A 2 B 1 B 3 = A 3 (B 0 B 1 B 2 ) = A 3 B 2 B 4 = A 4 (B 0 B 1 B 2 B 3 ) = A 4 B 3. B n = A n (B 0 B 1 B 2 B 3... B n 1 ) = A n B n 1. biçiminde yinelgen olarak tanmlanan B = {B n n N} (7.25) kümeler dizisini dü³ünelim. Gösterece iz ki, B dizisi a³a daki iki özeli e sahiptir. (a) B ailesi ayrk kümelerden olu³ur. (b) B ailesinin bile³imi A ailesinin bile³imine e³ittir. (a) nn kant: n m oldu unda B n B m = oldu unu göstermeliyiz. n > m oldu unu varsayalm. x B m x A m x / m 1 k=1 A k n 1 x A m x / A n x / B n k=1 A k olacaktr. O halde B ailesi ayrktr. (b) nin kant: A n = B n
74 BÖLÜM 7. KÜME A LELER oldu unu gösterece iz. x A n n(n N x A n ) den istenen gey görülür. n n(n N) (x B m ) x 7.4 PROBLEMLER m=1 B m 1. X 0 X 1 X 2... X n... Y 0 Y 1 Y 2... Y n... olacak ³ekilde {X n n N} ve {Y n n N} küme dizileri (aileleri) veriliyor. ( ( ) (X n Y n ) = X n ) Y n oldu unu gösteriniz. 2. {A n n N} bir kümeler dizisi ise A n (liminf A n) (limsupa n ) oldu unu gösteriniz. 3. x (liminf A n ) olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, x ö esinin sonlu saydaki A n kümeleri hariç, geriye kalan bütün A n kümelerine ait olmasdr. Gösteriniz. 4. x (limsup A n ) olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, x ö esinin sonsuz çoklukta A n kümelerine ait olmasdr. Gösteriniz. 5. (X,d) bir metrik uzay ve F X kapal bir alt küme olmak üzere { A n = x d(f,x) < 1 },(n = 1,2,3,... n tanmlanyor. oldu unu gösteriniz. lim A n = F (7.26)